(二十四)二年级（上）数学分析期末考试题 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 正交多项式 2 正项级数的比较判别法 3 Rn上的基本列 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 2、计算 的cauchy主值 3、求的收敛半径和收敛域 4、设，求函数的梯度 5、求在（1，1，1）点的全微分 讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1 讨论，（x，y）沿任何直线趋于（0，0）时的极限和函数的二重极限 2 讨论的敛散性 3 讨论函数项的一致收敛性。 证明题：（每小题10分，共20分） 1 证明Riemann函数在[0，1]上可积 2 设，证明它满足方程 参考答案 一、1、设是定义在上的多项式，若对任意的和，，在上可积，且有则称是上的正交多项式连续。 2、设是两个正项级数，若存在常数，成立则（1）当收敛时，也收敛（2）当发散时，也发散 3、如果上的点列满足：对于任意给定的，存在正整数对任意的，成立，则称为基本列。 二、1、（7分） 2、解：（7分） ：，收敛半径为1/3（4分），由于时，级数收敛，级数发散，所以级数的收敛域为（3分） 4、：==（4分）（3分） （4分） （3分） 三、1、解、由于沿趋于（0，0）时，，，而沿趋于 （0，0）时极限为0，所以重极限不存在（5分） 函数非负递减，（3分）且，（5分） 由此仅，收敛（2分）。 3、（3分），取，所以函数列不一致收敛（7分） 四、证明题（每小题10分，共20分） 1 证明：由Riemann函数的性质，在[0,1]上使得的点至多只有有限个,(3分）不妨设是k个，记为作[0,1]的分点，使满足，由于，而在右边的第一个和式中，有且，在第二个和式中有且，因此得到，所以函数可积（7分） 2 证明：，（6分）（4分） （二十五）一 年 级《数学分析Ⅱ》期末考试题 单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分） 函数在上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2、函数是奇函数，且在上可积，则（ ） A  B  C  D  下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A  B  C  D  4、级数收敛是部分和有界的（ ） A 必要条件 B 充分条件 C充分必要条件 D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A 和收敛，也收敛 B 和发散，发散 C 收敛和发散，发散 D 收敛和发散，发散 6、在收敛于，且可导，则（ ） A  B 可导 C  D 一致收敛，则必连续 7、下列命题正确的是（ ） A 在绝对收敛必一致收敛 B 在一致收敛必绝对收敛 C 若，则在必绝对收敛 D 在条件收敛必收敛 8、的和函数为（ ） A  B  C  D  9、函数的定义域是（ ） A  B  C  D  10、函数在可导与可微的关系（ ） A 可导必可微 B 可导必不可微 C 可微必可导 D 可微不一定可导 二、计算题：（每小题6分，共30分） 1、，求  2、计算  3、计算的和函数，并求 4、设，求  5、计算 三、讨论与验证题：（每小题10分，共20分） 讨论 在点的可导性、连续性和可微性 讨论的敛散性 四、证明题：（每小题10分，共30分） 1、设，证明在上一致收敛 2、设，证明它满足方程 设在连续，证明，并求 参考答案 一、1、B 2、B 3、A 4、B 5、C 6、D 7、D 8、C 9、B 10、C 二、1、（3分）令，（3分） 2、=（6分） 3、解：令=，由于级数的收敛域（2分），=，=（2分），令，得 4、解：两边对x求导,（3分）（3分） 5、解：（5分）（1分） 由于x=-2，x=2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分） 三、1、解、，同理（4分），又但沿直线趋于（0，0），，所以不存在，也即函数在（0，0）点不连续，（4分），因而函数在（0，0）点也不可微（2分） 2、解：由于（3分），即级数绝对收敛条件收敛，级数发散（7分） 所以原级数发散（2分） 四、证明题（每小题10分，共20分） 1、证明：因为（2分），因为，（4分），，取，当时，，对一切成立，所以在上一致收敛（4分） 2、，，（7分）则（3分） 证明：令 得证（7分）（3分） （二十六）一年级《数学分析Ⅱ》期末考试题 一 单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分） 函数在 [a,b] 上可积的充要条件是（ ） A ((>0,( (>0和(>0使得对任一分法(，当(（(）<(时，对应于(i((的那些区间(xi长度之和∑(xi< ( B ((>0,(>0, (>0使得对某一分法(，当(（(）<(时，对应于(i((的那些区间(xi长度之和∑(xi< ( C ((>0,((>0使得对任一分法(，当(（(）<(时，对应于(i((的那些区间(xi长度之和∑(xi< ( D ((>0, (>0，( (>0使得对任一分法(，当(（(）<(时，对应于(i((的那些区间(xi长度之和∑(xi< ( 2、函数连续，则在[a,b]上=（ ） A  B  C  D  （ ） A -2 B 2 C 0 D 发散 4、，则( ) A 必收敛 B必发散 C必条件收敛 D 敛散性不定 5、若级数是级数的更序级数，则（ ） A 和同敛散 B 可以发散到+∞ C 若绝对收敛，也收敛 D 若条件收敛，也条件收敛 6、在一致收敛，且可导（n=1,2…），那么( ) A f（x）在可导，且 B f（x）在可导，但不一定等于 C 点点收敛，但不一定一致收敛 D 不一定点点收敛 7、函数项级数在D上一致收敛的充要条件是（ ） A ((>0,( N（(）>0，使(m>n> N有 B ((>0, N>0，使(m>n> N有 C ((>0, ( N（(）>0，使(m>n> N有 D ((>0,( N（(）>0，使(m>n> N有 8、的收敛域为（ ） A (-1，1) B (0，2] C [0，2） D [-1，1） 9、重极限存在是累次极限存在的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C充分必要条件 D 无关条件 10、（ ） A  B  C  D  二 计算题：（每小题6分，共30分） 1、 2、计算由曲线和围成的面积 3、求的幂级数展开 已知可微，求 求在（0，0）的累次极限 三、判断题（每小题10分，共20分） 讨论的敛散性 判断的绝对和条件收敛性 四、证明题（每小题10分，共30分） 1、设是上的奇函数，证明 2、证明级数满足方程 证明为闭集的充分必要条件是是开集。 参考答案 一、1、D 2、B 3、D 4、B 5、C 6、D 7、A 8、C 9、D 10、B 二、1、解：=（2分）由于为奇函数=0（2分）=（2分）所以积分值为（1分） 2、解：两曲线的交点为（1，2）（2分） 所求的面积为：1/2(2(2+（4分） 3、解：由于（3分），（3分） 4、解：==（3分）（3分） 5、解：，（3分）（3分） 三、1、解：由于（6分），又收敛（2分） 所以原级数收敛（2分） 2、解：当时，有，所以级数绝对收敛（4分）， 当时，，原级数发散（2分） 当时，有，由上讨论知级数绝对收敛（4分） 四、证明题（每小题10分，共30分） 1、证明：（1）（4分） （2）（4分） 将式（2）代入（1）得证（2分） 2、证明：所给级数的收敛域为，在收敛域内逐项微分之，得（8分）代入得证（2分） 3、证明：必要性 若S为闭集，由于S的一切聚点都属于S，因为，对于任意的。x不是S的聚点，也就是说，存在x的邻域使得，即，因此Sc是开集。 充分性 对任意的，由于Sc是开集，因此存在x的邻域使得， 即x不是S的聚点。所以如果S有聚点，它就一定属于S. 量，求证：