（二十一）数学分析期终考试题 一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 2、求绕x轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数的收敛半径和收敛域 4、 5、，l为从点P0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求fl(P0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知，验证函数的偏导数在原点不连续，但它在该点可微 2、讨论级数的敛散性。 3、讨论函数项级数的一致收敛性。 四 证明题：（每小题10分，共20分） 1 若收敛，且f（x）在[a,+∞）上一致连续函数，则有 2 设二元函数在开集内对于变量x是连续的，对于变量y满足Lipschitz条件：其中为常数证明在D内连续。 参考答案 一、1、若集合S中的每个点都是它的内点，则称集合S为开集；若集合S中包含了它的所有的聚点，则称集合S为闭集。 2 设函数项级数满足（1）在[a，b]连续可导 在[a，b]点态收敛于 在[a，b]一致收敛于 则=在[a，b] 可导，且 3、有界函数在[a，b]上可积的充分必要条件是，对于任意分法，当时Darboux大和与Darboux小和的极限相等 二、1、令（2分）（5分） 2、，（2分）所求的体积为：（5分） 3、解：由于收敛半径为(4分），当时，，所以收敛域为 (3分） 4、（7分） 5、解： 设极坐标方程为（4分）（3分） 三、1、解、（4分）由于当趋于（0，0）无极限。所以不连续，同理可的也不连续，（2分） 2、解：（5分）收敛，所以原级数收敛（5分） 3、解：部分和（3分）， 取，时有，所以级数一致收敛（7分） 四、证明题（每小题10分，共20分） 1、证明：用反证法 若结论不成立，则 ，使得，（3分）又因为在f（x）在[a,∞）上一致连续函数，，只要，有，（3分）于是，取上述使的点，不妨设，则对任意满足的，有取A和A‘分别等于和，则有，由Cauchy收敛定理，不收敛，矛盾（4分） 2、证明：，由Lipschitz条件（1），（6分）又由二元函数在开集内对于变量x是连续的，（1）式的极限为0，在连续，因此在D内连续（4分） （二十二）数学分析期末考试题 一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 Darboux和 2 无穷限反常积分的Cauchy收敛原理 3 Euclid空间 二 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积  3、(n是非负整数） 4、设具有二阶连续偏导数，求 5、求的幂级数展开式 三 讨论与验证题：（每小题10分，共20分） 1、讨论二元函数连续、偏可导、可微之间的关系。对肯定的结论任选一进行证明；对否定的结论，给出反例 2、讨论级数的绝对和条件收敛性。 四 证明题：（每小题10分，共30分） 1 f（x）在[0，+∞）上连续且恒有f（x）>0，证明在[0，+∞）上单调增加 2 设正项级数收敛，单调减少，证明 3 ，证明：不存在 参考答案 一、1、有界函数定义在上，给一种分法，和记，则分别称为相应于分法的Darboux大和和Darboux小和。 2、使得，成立 3、向量空间上定义内积运算构成Euclid空间 二、1、由于（7分） 2、解：两曲线的交点为（2，2），（0，0），（2分） 所求的面积为：（5分） 解： =+=+（6分） (1分） 4、：=（3分）（4分） 5、解： 由于余项，（3分）所以（4分） 三、1、解、可微必可偏导和连续，证明可看课本133页（4分），可偏导不一定连续和可微例子可看课本135页（6分） 2、解：当时，级数绝对收敛，（4分）当，由Dirichlet定理知级数收敛，但，所以发散，即级数条件收敛（4分），当时，级数的一般项不趋于0，所以级数不收敛（2分） 四、证明题（每小题10分，共30分） 1 证明：（8分） 所以函数单调增加（2分） 2 证明：，有由此得，（4分）由级数收敛，故可取定使得，又，故使得时，有，（4分）于是当时，有，得证（2分） 3、证明：，所以不存在（10分） （二十三）数学分析期末考试题 一 叙述题：(每小题5分，共15分） 1 微积分基本公式 2 无穷项反常积分 3 紧几合 二 计算题：(每小题7分，共35分） 1、 2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积  3、求的收敛半径和收敛域 4、设，求偏导数和全微分 5、 三 讨论与验证题：(每小题10分，共30分） 1 讨论的二重极限和二次极限 2 讨论的敛散性 3、讨论函数项的一致收敛性。 四 证明题：(每小题10分，共20分） 1 设f（x）连续，证明 2 证明满足 参考答案 一、1、设在连续，是在上的一个原函数，则成立。 2、设函数在有定义，且在任意有限区间上可积。若极限存在，则称反常积分收敛，否则称反常积分发散 3、如果S的任意一个开覆盖中总存在一个有限子覆盖，，即存在中的有限个开集，满足，则称S为紧集 二、1、=（7分） 2、解：两曲线的交点为（-2，4），（1，1），（2分） 所求的面积为：（5分） 3 ：，收敛半径为1（4分），由于时，级数不收敛，所以级数的收敛域为（-1，1）（3分） 4：===（4分）（3分） 5、解：（7分） 三、1、解、由于沿趋于（0，0）时，，所以重极限不存在（5分） ，（5分） 2：，由于故收敛（4分）；，由于（4分）故收敛，，，发散（2分）。 3、（3分），，所以函数列一致收敛（7分） 四、证明题（每小题10分，共20分） 1 证明：==（10分） 2、证明：，（6分）（4分）