（三十二）数学分析试题（二年级第一学期） 一 叙述题（每小题10分，共30分） 1 叙述含参变量反常积分一致收敛的Cauchy收敛原理。 2 叙述Green公式的内容及意义。 3 叙述n重积分的概念。 二 计算题（每小题10分，共50分） 1．计算积分，其中C为椭圆，沿逆时针方向。 2．已知  其中存在着关于两个变元的二阶连续偏导数，求关于的二阶偏导数。 3．求椭球体的体积。 4．若为右半单位圆周，求。 5．计算含参变量积分()的值。 三 讨论题（每小题10分，共20分） 1 若积分在参数的已知值的某邻域内一致收敛，则称此积分对参数的已知值一致收敛。试讨论积分  在每一个固定的处的一致收敛性。 2 讨论函数的连续性，其中在上是正的连续函数。 数学分析试题（二年级第一学期）答案1 一 叙述题（每小题10分，共30分） 1 含参变量反常积分关于在上一致收敛的充要条件为：对于任意给定的， 存在与无关的正数， 使得对于任意的， 成立。 2 Green公式：设为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。如果函数在上具有连续偏导数，那么 ， 其中取正向，即诱导正向。 Green公式说明了有界闭区域上的二重积分与沿区域边界的第二类曲线积分的关系。 3．设为上的零边界区域，函数在上有界。将用曲面网分成个小区域（称为的一个分划），记为的体积，并记所有的小区域的最大直径为。在每个上任取一点，若趋于零时，和式  的极限存在且与区域的分法和点的取法无关，则称在上可积，并称此极限为在有界闭区域上的重积分，记为 。 二 计算题（每小题10分，共50分） 1 解 令 则 . 2 解 令 则     ，. 故    即     3 解 由于对称性，只需求出椭球在第一卦限的体积，然后再乘以8即可。 作广义极坐标变换 （）。 这时椭球面化为 。 又 ， 于是    。 所以椭球体积 。 4 解 的方程为：。由，  符号的选取应保证，在圆弧段上，由于，故  而在圆弧段上，由于，故  所以  。 5 解 。当时，由于 ， 故为连续函数且具有连续导数，从而可在积分号下求导。      。 于是，当时，（常数）。但是，，故，从而。 三 讨论题（每小题10分，共20分） 1 解 设为任一不为零的数，不妨设。取，使。下面证明积分在内一致收敛。事实上，当时，由于 ， 且积分  收敛，故由Weierstrass判别法知积分  在内一致收敛，从而在点一致收敛。由的任意性知积分在每一个处一致收敛。 下面说明积分在非一致收敛。事实上，对原点的任何邻域有：，有 。 由于 ， 故取，在中必存在某一个，使有 ， 即  因此，积分在点的任何邻域内非一致收敛，从而积分在时非一致收敛。 2．解 当时，被积函数是连续的。因此，为连续函数。 当时，显然有。 当时，设为在上的最小值，则。由于  及 ， 故有 。 所以，当时不连续。  （三十三）数学分析试题（二年级第一学期） 一 叙述题（每小题10分，共30分） 1叙述二重积分的概念。 2 叙述Gauss公式的内容。 3 叙述Riemann引理。 二 计算题（每小题10分，共50分） 1．求球面与锥面所截出的曲线的点处的切线与法平面方程。 2．求平面，圆柱面，锥面所围成的曲顶柱体的体积。 3．计算三重积分 。 其中 。  4 利用含参变量积分的方法计算下列积分 。 5 计算 其中为上半椭球面  定向取上侧. 三 证明题（每小题10分，共20分） 1．若及 证明不等式 2．证明关于在上一致收敛，但在上非一致收敛. 数学分析试题（二年级第一学期）答案 一 叙述题（每小题10分，共30分） 1．设为上的零边界区域，函数在上有界。将用曲线网分成个小区域（称为的一个分划），记为的面积，并记所有的小区域的最大直径为。在每个上任取一点，若趋于零时，和式  的极限存在且与区域的分法和点的取法无关，则称在上可积，并称此极限为在有界闭区域上的二重积分，记为 。 2．设是中由光滑或分片光滑的封闭曲面所围成的二维单连通闭区域，函数，和在上具有连续偏导数。则成立等式 ， 这里的定向为外侧。 3．设函数在可积且绝对可积，则成立 。 二 计算题（每小题10分，共50分） 1 求球面与锥面所截出的曲线的点处的切线与法平面方程。 解 设 ，。它们在处的偏导数和雅可比行列式之值为：       和 ， ， 。 所以曲线在处的切线方程为： ， 即  法平面方程为 ， 即 。 2 求平面，圆柱面，锥面所围成的曲顶柱体的体积。 解 其体积，其中。设。。故  3 解  4 解： 首先，令，则，在积分中，再令，其中为任意正数，即得再对上式两端乘以，然后对从到积分，得  注意到积分次序可换，即得  由于 故 5 利用广义球面坐标代入曲面方程就可得曲面的参数方程为  易得    因此  三 证明题（每小题10分，共20分） 1．证明 考虑函数在条件下的极值问题，设  解方程组  可得从而如果时，则结论显然成立. 2．证明 首先证在上一致收敛. 由于  因而一致有界，而是的单调减少函数且 由于与无关，因此这个极限关于是一致的，于是由Dirichlet判别法知在上一致收敛. 再证在上非一致收敛. 对于正整数，取，这时  只要取 则对于任意 总存在正整数满足 取，这时成立  由Chauchy收敛原理知在上非一致收敛.