数 学 分 析第七章 实数的完备性
教学目标,
1 理解确界定理、区间套定理、
柯西收敛准则，有限覆盖定
理、聚点定理、致密性定理
、单调有界定理及其相互推
证、应用。
2 培养严密的逻辑推理能力
第 七 章 实 数 的完备性
§ 1 关于实数集完备性的 基本定理
一 区 间 套定理 与柯西收敛准则
定义 1 区 间 套, 设 } ],[ {
nn
ba 是一 闭 区 间 序列, 若 满 足条件
ⅰ ） 对 n ?,有 ],[
11 ?? nn
ba ? ],[
nn
ba,即
nnnn
bbaa ???
?? 11
,亦即
后一个 闭 区 间 包含在前一个 闭 区 间 中 ;
ⅱ ）,0??
nn
ab )( ??n, 即当 ??n 时 区 间长 度 趋 于零,
则 称 该闭 区 间 序列 为闭 区 间 套,简 称 为 区 间 套,
区间套还可表达为,
,
1221
bbbaaa
nn
????????? ????,0??
nn
ab
)( ??n,
我 们 要提 请 大家注意的是,这 里 涉 及两个数列 } {
n
a 和 } {
n
b,其
中 } {
n
a 递 增,} {
n
b 递 减,
例如 } ]
1
,
1
[ {
nn
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1
,0 [ {
n
都是区 间 套, 但
} ]
2
1,
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1 [ {
nn
n
?
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?,
} ]
1
,0 ( {
n
和 } ]
1
1,
1
[ {
nn
?? 都不是,
一 区间套定理
定理 7.1( 区 间 套定理 ) 设 } ],[ {
nn
ba 是一 闭 区 间 套, 则 在实数系
中 存在唯一的点 ?,使 对 n ? 有 ?? ],[
nn
ba, 简 言之,区 间 套必有
唯一公共点,
二 聚点定理与有限覆盖定理
定 义 设 E 是无 穷 点集, 若在点 ? ( 未必属于 E ) 的任何 邻 域内
有 E 的无 穷 多个点,则 称点 ? 为 E 的一个聚点,
数集 E = }
1
{
n
有唯一聚点 0,但 E?0 ;
开 区 间 ) 1,0 ( 的全体聚点之集是 闭 区 间 ] 1,0 [ ;
定理 7.2 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收 敛 子列,
2,聚点原理, Weierstrass 聚点原理,
Th 6 每 一个有界无 穷 点集必有聚点,
1,列 紧 性, 亦称 为 Weierstrass 收 敛 子列定理,
四,Cauchy 收 敛 准 则 —— 数列收 敛 的充要 条件,
1,基本列, 回 顾 基本列概念, 基本列的直 观 意 义, 基本列
亦称 为 Cauchy 列,
例 1 验证 以下两数列 为 Cauchy 列,
⑴
nn
n
x 9.0s i n9.09.0s i n9.09.0s i n9.0
2
???? ?,
⑵
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n
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npn
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p
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当 p 为 偶数 时,注意到上式 绝对值 符号内有偶数 项 和下式 每 个
括号均 为 正号,有
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当 p 为 奇数 时,
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综 上,对 任何自然数 p,有
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Cauchy 列的否定,
例 1
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n
k
n
k
x
1
1
, 验证 数列 }{
n
x 不是 Cauchy 列,
证 对 n?,取 np ?,有
2
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n
n
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npn
?,
因此,取
2
1
0
??,??
1,Cauchy 收 敛 原理,
Th 4 数列 } {
n
a 收 敛 ? } {
n
a 是 Cauchy 列,
( 要求学生 复习 函数极限、函数 连续 的 Cauchy 准 则,并以 Cauchy 收
敛 原理 为 依据，利 用 Heine 归 并原 则给 出 证 明 )
五, 致密性定理,
六, Heine – Borel 有限 复 盖定理,
1,复 盖, 先介 绍 区 间 族 },{ ??? ?
?
IG,
定 义 ( 复 盖 ) 设 E 是一个数集,G 是区 间 族, 若 对
??????,,?Ex
?
Ix ?,
则 称区 间 族 G 复 盖了 E,或称区 间 族 G 是数集 E 的一个 复 盖, 记为
.,??? ?
?
?
IE ?
若 每 个
?
I 都是 开 区 间,则 称区 间 族 G 是 开 区 间 族, 开 区 间 族常
记为
},,),( { ???? ?????
????
M,
定 义 ( 开复 盖 ) 数集 E 的一个 开 区 间 族 复 盖称 为 E 的一个 开
复 盖,简 称 为 E 的一个 复 盖, 子 复 盖、有限 复 盖、有限子 复 盖,
} ) 1,0 ( ),23,2 ( { ?? xxxM 复 盖了区 间 ) 1,0 (,但不能
例 1 复 盖 ] 1,0 [ ;
} ),(,)
2
,
2
( { bax
xb
x
xb
xH ?
?
?
?
?? 复 盖 ),[ ba,但不能 复
盖 ],[ ba,
1,Heine – Borel 有限 复 盖定理,
定理 闭 区 间 的任一 开复 盖必有有限子 复 盖,
§ 2 实 数基本定理等价性的 证 明
证 明若干个命 题 等价的一般方法,
本 节证 明七个 实 数基本定理等价性的路 线, 证 明按以下三条路
线进 行,
Ⅰ, 确界原理 ? 单调 有界原理 ? 区 间 套定理 ? Cauchy 收
敛 准 则 ? 确界原理 ;
Ⅱ, 区 间 套定理 ? 致密性定理 ? Cauchy 收 敛 准 则 ;
Ⅲ, 区 间 套定理 ? Heine – Borel 有限 复 盖定理 ? 区 间 套
定理,
一,,Ⅰ” 的 证 明, (,确界原理 ? 单调 有界原理,已 证 明
过 ),
1,用“确界原理” 证 明,单调 有界原理”,
定理 单调 有界数列必收 敛,
2,用,单调 有界原理” 证 明“区 间 套定理,,
定理 设 } ],[ {
nn
ba 是一 闭 区 间 套, 则 存在唯一的点 ?,使 对 n ?
有 ?? ],[
nn
ba,
推论 1 若 ?? ],[
nn
ba 是区 间 套 } ],[ {
nn
ba 确定的公共点,则
对 0?? ?,,N? 当 Nn ? 时,总 有 ],[
nn
ba ),( ????,
推论 2 若 ?? ],[
nn
ba 是区 间 套 } ],[ {
nn
ba 确定的公共点,
则 有
n
a ↗ ?,
n
b ↘ ?,) ( ??n,
3,用“区 间 套定理” 证 明,Cauchy 收 敛 准 则,,
Th 4 数列 } {
n
a 收 敛 ? } {
n
a 是 Cauchy 列,
引理 Cauchy 列是有界列, ( 证 )
证 明, ( 只 证 充分性 ) 现 采用 三等分的方法 证明,该证 法比 较
直 观,
4, 用,Cauchy 收 敛 准 则, 证 明“确界原理”,
Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确
界,
证 （只 证,非空有上界数集必有上确界”） 设 E 为 非空有上界
数集, 当 E 为 有 限集 时,显 然有上 确界, 下 设 E 为 无限集,取
1
a 不是 E 的上界,
1
b 为 E 的上界, 对 分区 间 ],[
11
ba,取
],[
22
ba,使
2
a 不是 E 的上界,
2
b 为 E 的上界, 依此得 闭 区 间 列
} ],[ { nn ba, 验证 } { nb 为 Cauchy 列,由 Cauchy 收 敛 准 则,} { nb 收 敛 ;
同理 } { na 收 敛, 易 见 nb ↘, 设 nb ↘ ?, 有 na ↗ ?,
下 证 ??Es u p, 用反 证 法 验证 ? 的上界性和最小性,
二,,Ⅱ” 的 证 明,
1,用“区 间 套定 理” 证 明,致密性定理”,
定理 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收 敛 子列,
证 （ 突出子列抽取技巧 ）
定理 6 每 一个有界无 穷 点集必有聚点,
2,用“致密性定理” 证 明,Cauchy 收 敛 准 则,,
定理 数列 } {
n
a 收 敛 ? } {
n
a 是 Cauchy 列,
证 （ 只 证 充分 性 ） 证 明思路, Cauchy 列有界 ? 有收 敛 子
列 ? 验证 收 敛 子列的极限即 为 } {
n
a 的极限,
“Ⅲ” 的 证 明,
1,用“区 间 套定理” 证 明,Heine – Borel 有限 复 盖定理,,
2,用,Heine – Borel 有限 复 盖定理, 证 明“区 间 套定理”,
§ 3 闭 区 间 上 连续 函数性 质 的 证 明
一, 有界性,
命 题 1 ],[)( baCxf ?,? 在 ],[ ba 上 )( xf ? ) 1 (O,
证 法 一 ( 用区 间 套定理 ),反 证 法,
证 法 二 ( 用列 紧 性 ),反 证 法,
证 法 三 ( 用有限 复 盖定理 ),
二, 最 值 性,
命 题 2 ],[)( baCxf ?,? )( xf 在 ],[ ba 上取得最大 值 和
最小 值, ( 只 证 取得最大 值 )
证 ( 用确界原理 )
介值性, 证明与其等价的“零点定理,
§ 3 闭 区 间 上 连续 函数性 质 的 证 明
一, 有界性,
命 题 1 ],[)( baCxf ?,? 在 ],[ ba 上 )( xf ? ) 1 (O,
证 法 一 ( 用区 间 套定理 ),反 证 法,
证 法 二 ( 用列 紧 性 ),反 证 法,
证 法 三 ( 用有限 复 盖定理 ),
二, 最 值 性,
命 题 2 ],[)( baCxf ?,? )( xf 在 ],[ ba 上取得最大 值 和最小
值, ( 只 证 取得最大 值 )
证 ( 用确界原理 ) 参 阅 [1]P226[ 证 法 二 ] 后半段,
三, 介 值 性, 证 明与其等价的,零点定理,,
命 题 3 ( 零点定理 )
证 法 一 ( 用区 间 套定理 ),
证 法 二 ( 用确界原理 ),不妨 设,0)( ?af 0)( ?bf,
令 } ],[,0)( | { baxxfxE ???,则 E 非空有界,? E 有上确
界, 设 Es u p?? 有 ?? ],[ ba, 现证 0)( ??f,( 为 此 证 明
)( ?f 0? 且 )( ?f 0? ),取
n
x > ? 且
n
x ) (,??? n?, 由 )( xf 在点 ? 连续 和 0)( ?
n
xf,?
0)(lim)( ??
??
n
n
xff ?,
? ? E?, 于是 ) (,?????? ntEt nn ?, 由 )( xf 在点 ? 连续
和 0)( ?ntf,
? 0)(lim)( ??
??
n
n
tff ?, 因此只 能有 0)( ??f,
证 法 三 ( 用有限 复 盖定理 ),
二, 一致 连续 性,
命 题 4 ( Cantor 定理 )
证 法 一 ( 用区 间 套定理 ),
证 法 二 ( 用列 紧 性 ),
习 题 课 （ 4 时 ）
一,实 数基本定理互 证举 例,
用“区 间 套定理” 证 明,单调 有界原理”
证 设 数列 } {
n
x 递 增有上界, 取 闭 区 间 ],[
11
ba,使
1
a 不是
} {
n
x 的上界,
1
b 是 } {
n
x 的上界, 易 见 在 闭 区 间 ],[
11
ba 内含有数
列 } {
n
x 的无 穷 多 项,而在 ],[
11
ba 外 仅 含有 } {
n
x 的有 限 项, 对 分
],[
11
ba,取 ],[
22
ba 使有 ],[
11
ba 的性 质, ??, 于是得区 间 套
],[ {
nn
ba },有公共点 ?, 易 见 在点 ? 的任何 邻 域内有数列 } {
n
x 的
无 穷 多 项 而在其外 仅 含有 } {
n
x 的有限 项,? ??
??
n
n
xlim,
例 1 用“确界原理” 证 明“区 间 套定理”,
证 ],[ {
nn
ba } 为 区 间 套, 先 证每 个
m
a 为 数列 } {
n
b 的下界,而 每
个
m
b 为 数列 的上界, 由确 } {
n
a 界原理,数列 } {
n
a 有上确界,
数列 } {
n
b 有下确界, 设 i n f?? } {
n
b,s u p?? } {
n
a, 易 见 有
nn
ba ?? ? 和
nn
ba ?? ?,
由 ) (,0 ???? nab
nn
,?? ??,
例 1 用“有限 复 盖定理, 证 明,聚点原理”,
证 ( 用反 证 法 ) 设 S 为 有界无限点集,],[ baS ?, 反 设
],[ ba 的 每 一点 都不是 S 的聚点,则对 ?? x ],[ ba,存在 开 区 间
),(
xx
??,使在 ),(
xx
?? 内 仅 有 S 的有限个点, ??,
例 2 用“确界原理” 证 明,聚点原理”,
证 设 S 为 有界无限点集, 构造数集 ExE | {? 中大于 x 的点
有无 穷 多个 },
易 见 数集 E 非空有上界,由确界 原理,E 有上确界, 设 Es u p??,
则对 0 ?? ?,由 ?? ? 不是 E 的上界,? E 中大于 ?? ? 的点有无 穷
多个 ; 由 ?? ? 是 E 的上界,? E 中大于 ?? ? 的点 仅 有 有限个, 于
是,在 ),( ???? ?? 内有 E 的无 穷 多个点,即 ? 是 E 的一个聚点,
一,确界存在定理：回 顾 确界概念,
Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有 下界数集必有下确
界,
二, 单调 有界原理, 回 顾单调 和有界概念,
Th 2 单调 有界数列必收 敛,
二, 实 数基本定理 应 用 举 例,
例 1 设 )( xf 是 闭 区 间 ],[ ba 上的 递 增函数,但不必 连续,
如果 aaf ?)(,bbf ?)(,则 ??
0
x ],[ ba,使
00
)( xxf ?, ( 山
东 大学研究生入学 试题 )
证 法 一 ( 用确界技 术 )
设 集合 },)( | { bxaxxfxF ????, 则 Fa ?,F 不空 ;
F ? ],[ ba,F 有界, 由确界原理,F 有上确界,
设 Fx s u p
0
?,则 ?
0
x ],[ ba,
下 证
00
)( xxf ?,
)( xf 递 增和
00
)( xxf ?,有 ?))((
0
xff )(
0
xf,可 见 )(
0
xf ? F, 由
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)( xxf ?,
ⅱ ） 若 ?
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x F,则 存在 F 内的数列 } {
n
x,使
n
x ↗
0
x,
) ( ??n ; 也存在数列
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t,,
0
btx
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t ↘
0
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n
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t F?,就有式
nnnn
ttfxfxfx ???? )()()(
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对 任何 n 成立, 令 ??n,得
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000
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教学目标,
1 理解确界定理、区间套定理、
柯西收敛准则，有限覆盖定
理、聚点定理、致密性定理
、单调有界定理及其相互推
证、应用。
2 培养严密的逻辑推理能力
第 七 章 实 数 的完备性
§ 1 关于实数集完备性的 基本定理
一 区 间 套定理 与柯西收敛准则
定义 1 区 间 套, 设 } ],[ {
nn
ba 是一 闭 区 间 序列, 若 满 足条件
ⅰ ） 对 n ?,有 ],[
11 ?? nn
ba ? ],[
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ba,即
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,亦即
后一个 闭 区 间 包含在前一个 闭 区 间 中 ;
ⅱ ）,0??
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ab )( ??n, 即当 ??n 时 区 间长 度 趋 于零,
则 称 该闭 区 间 序列 为闭 区 间 套,简 称 为 区 间 套,
区间套还可表达为,
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1221
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我 们 要提 请 大家注意的是,这 里 涉 及两个数列 } {
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例如 } ]
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定理 7.1( 区 间 套定理 ) 设 } ],[ {
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ba 是一 闭 区 间 套, 则 在实数系
中 存在唯一的点 ?,使 对 n ? 有 ?? ],[
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ba, 简 言之,区 间 套必有
唯一公共点,
二 聚点定理与有限覆盖定理
定 义 设 E 是无 穷 点集, 若在点 ? ( 未必属于 E ) 的任何 邻 域内
有 E 的无 穷 多个点,则 称点 ? 为 E 的一个聚点,
数集 E = }
1
{
n
有唯一聚点 0,但 E?0 ;
开 区 间 ) 1,0 ( 的全体聚点之集是 闭 区 间 ] 1,0 [ ;
定理 7.2 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收 敛 子列,
2,聚点原理, Weierstrass 聚点原理,
Th 6 每 一个有界无 穷 点集必有聚点,
1,列 紧 性, 亦称 为 Weierstrass 收 敛 子列定理,
四,Cauchy 收 敛 准 则 —— 数列收 敛 的充要 条件,
1,基本列, 回 顾 基本列概念, 基本列的直 观 意 义, 基本列
亦称 为 Cauchy 列,
例 1 验证 以下两数列 为 Cauchy 列,
⑴
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12
1
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?
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?
pn
pnpnnn
?
?
??
??
?
?
? 1)(2
1
32
1
12
1
pnnn
?
12
1
1)(2
1
3)(2
1
52
1
32
1
12
1
?
?
?
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?
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???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
pnpnnnn
?
,
综 上,对 任何自然数 p,有
12
1
1)(2
)1(
32
1
12
1
0
1
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
npnnn
p
?
n
1
?, ??
Cauchy 列的否定,
例 1
?
?
?
n
k
n
k
x
1
1
, 验证 数列 }{
n
x 不是 Cauchy 列,
证 对 n?,取 np ?,有
2
1
2
1
2
1
1
1
|| ??
?
??
?
?
?
??
?
n
n
nnnn
xx
npn
?,
因此,取
2
1
0
??,??
1,Cauchy 收 敛 原理,
Th 4 数列 } {
n
a 收 敛 ? } {
n
a 是 Cauchy 列,
( 要求学生 复习 函数极限、函数 连续 的 Cauchy 准 则,并以 Cauchy 收
敛 原理 为 依据，利 用 Heine 归 并原 则给 出 证 明 )
五, 致密性定理,
六, Heine – Borel 有限 复 盖定理,
1,复 盖, 先介 绍 区 间 族 },{ ??? ?
?
IG,
定 义 ( 复 盖 ) 设 E 是一个数集,G 是区 间 族, 若 对
??????,,?Ex
?
Ix ?,
则 称区 间 族 G 复 盖了 E,或称区 间 族 G 是数集 E 的一个 复 盖, 记为
.,??? ?
?
?
IE ?
若 每 个
?
I 都是 开 区 间,则 称区 间 族 G 是 开 区 间 族, 开 区 间 族常
记为
},,),( { ???? ?????
????
M,
定 义 ( 开复 盖 ) 数集 E 的一个 开 区 间 族 复 盖称 为 E 的一个 开
复 盖,简 称 为 E 的一个 复 盖, 子 复 盖、有限 复 盖、有限子 复 盖,
} ) 1,0 ( ),23,2 ( { ?? xxxM 复 盖了区 间 ) 1,0 (,但不能
例 1 复 盖 ] 1,0 [ ;
} ),(,)
2
,
2
( { bax
xb
x
xb
xH ?
?
?
?
?? 复 盖 ),[ ba,但不能 复
盖 ],[ ba,
1,Heine – Borel 有限 复 盖定理,
定理 闭 区 间 的任一 开复 盖必有有限子 复 盖,
§ 2 实 数基本定理等价性的 证 明
证 明若干个命 题 等价的一般方法,
本 节证 明七个 实 数基本定理等价性的路 线, 证 明按以下三条路
线进 行,
Ⅰ, 确界原理 ? 单调 有界原理 ? 区 间 套定理 ? Cauchy 收
敛 准 则 ? 确界原理 ;
Ⅱ, 区 间 套定理 ? 致密性定理 ? Cauchy 收 敛 准 则 ;
Ⅲ, 区 间 套定理 ? Heine – Borel 有限 复 盖定理 ? 区 间 套
定理,
一,,Ⅰ” 的 证 明, (,确界原理 ? 单调 有界原理,已 证 明
过 ),
1,用“确界原理” 证 明,单调 有界原理”,
定理 单调 有界数列必收 敛,
2,用,单调 有界原理” 证 明“区 间 套定理,,
定理 设 } ],[ {
nn
ba 是一 闭 区 间 套, 则 存在唯一的点 ?,使 对 n ?
有 ?? ],[
nn
ba,
推论 1 若 ?? ],[
nn
ba 是区 间 套 } ],[ {
nn
ba 确定的公共点,则
对 0?? ?,,N? 当 Nn ? 时,总 有 ],[
nn
ba ),( ????,
推论 2 若 ?? ],[
nn
ba 是区 间 套 } ],[ {
nn
ba 确定的公共点,
则 有
n
a ↗ ?,
n
b ↘ ?,) ( ??n,
3,用“区 间 套定理” 证 明,Cauchy 收 敛 准 则,,
Th 4 数列 } {
n
a 收 敛 ? } {
n
a 是 Cauchy 列,
引理 Cauchy 列是有界列, ( 证 )
证 明, ( 只 证 充分性 ) 现 采用 三等分的方法 证明,该证 法比 较
直 观,
4, 用,Cauchy 收 敛 准 则, 证 明“确界原理”,
Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确
界,
证 （只 证,非空有上界数集必有上确界”） 设 E 为 非空有上界
数集, 当 E 为 有 限集 时,显 然有上 确界, 下 设 E 为 无限集,取
1
a 不是 E 的上界,
1
b 为 E 的上界, 对 分区 间 ],[
11
ba,取
],[
22
ba,使
2
a 不是 E 的上界,
2
b 为 E 的上界, 依此得 闭 区 间 列
} ],[ { nn ba, 验证 } { nb 为 Cauchy 列,由 Cauchy 收 敛 准 则,} { nb 收 敛 ;
同理 } { na 收 敛, 易 见 nb ↘, 设 nb ↘ ?, 有 na ↗ ?,
下 证 ??Es u p, 用反 证 法 验证 ? 的上界性和最小性,
二,,Ⅱ” 的 证 明,
1,用“区 间 套定 理” 证 明,致密性定理”,
定理 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收 敛 子列,
证 （ 突出子列抽取技巧 ）
定理 6 每 一个有界无 穷 点集必有聚点,
2,用“致密性定理” 证 明,Cauchy 收 敛 准 则,,
定理 数列 } {
n
a 收 敛 ? } {
n
a 是 Cauchy 列,
证 （ 只 证 充分 性 ） 证 明思路, Cauchy 列有界 ? 有收 敛 子
列 ? 验证 收 敛 子列的极限即 为 } {
n
a 的极限,
“Ⅲ” 的 证 明,
1,用“区 间 套定理” 证 明,Heine – Borel 有限 复 盖定理,,
2,用,Heine – Borel 有限 复 盖定理, 证 明“区 间 套定理”,
§ 3 闭 区 间 上 连续 函数性 质 的 证 明
一, 有界性,
命 题 1 ],[)( baCxf ?,? 在 ],[ ba 上 )( xf ? ) 1 (O,
证 法 一 ( 用区 间 套定理 ),反 证 法,
证 法 二 ( 用列 紧 性 ),反 证 法,
证 法 三 ( 用有限 复 盖定理 ),
二, 最 值 性,
命 题 2 ],[)( baCxf ?,? )( xf 在 ],[ ba 上取得最大 值 和
最小 值, ( 只 证 取得最大 值 )
证 ( 用确界原理 )
介值性, 证明与其等价的“零点定理,
§ 3 闭 区 间 上 连续 函数性 质 的 证 明
一, 有界性,
命 题 1 ],[)( baCxf ?,? 在 ],[ ba 上 )( xf ? ) 1 (O,
证 法 一 ( 用区 间 套定理 ),反 证 法,
证 法 二 ( 用列 紧 性 ),反 证 法,
证 法 三 ( 用有限 复 盖定理 ),
二, 最 值 性,
命 题 2 ],[)( baCxf ?,? )( xf 在 ],[ ba 上取得最大 值 和最小
值, ( 只 证 取得最大 值 )
证 ( 用确界原理 ) 参 阅 [1]P226[ 证 法 二 ] 后半段,
三, 介 值 性, 证 明与其等价的,零点定理,,
命 题 3 ( 零点定理 )
证 法 一 ( 用区 间 套定理 ),
证 法 二 ( 用确界原理 ),不妨 设,0)( ?af 0)( ?bf,
令 } ],[,0)( | { baxxfxE ???,则 E 非空有界,? E 有上确
界, 设 Es u p?? 有 ?? ],[ ba, 现证 0)( ??f,( 为 此 证 明
)( ?f 0? 且 )( ?f 0? ),取
n
x > ? 且
n
x ) (,??? n?, 由 )( xf 在点 ? 连续 和 0)( ?
n
xf,?
0)(lim)( ??
??
n
n
xff ?,
? ? E?, 于是 ) (,?????? ntEt nn ?, 由 )( xf 在点 ? 连续
和 0)( ?ntf,
? 0)(lim)( ??
??
n
n
tff ?, 因此只 能有 0)( ??f,
证 法 三 ( 用有限 复 盖定理 ),
二, 一致 连续 性,
命 题 4 ( Cantor 定理 )
证 法 一 ( 用区 间 套定理 ),
证 法 二 ( 用列 紧 性 ),
习 题 课 （ 4 时 ）
一,实 数基本定理互 证举 例,
用“区 间 套定理” 证 明,单调 有界原理”
证 设 数列 } {
n
x 递 增有上界, 取 闭 区 间 ],[
11
ba,使
1
a 不是
} {
n
x 的上界,
1
b 是 } {
n
x 的上界, 易 见 在 闭 区 间 ],[
11
ba 内含有数
列 } {
n
x 的无 穷 多 项,而在 ],[
11
ba 外 仅 含有 } {
n
x 的有 限 项, 对 分
],[
11
ba,取 ],[
22
ba 使有 ],[
11
ba 的性 质, ??, 于是得区 间 套
],[ {
nn
ba },有公共点 ?, 易 见 在点 ? 的任何 邻 域内有数列 } {
n
x 的
无 穷 多 项 而在其外 仅 含有 } {
n
x 的有限 项,? ??
??
n
n
xlim,
例 1 用“确界原理” 证 明“区 间 套定理”,
证 ],[ {
nn
ba } 为 区 间 套, 先 证每 个
m
a 为 数列 } {
n
b 的下界,而 每
个
m
b 为 数列 的上界, 由确 } {
n
a 界原理,数列 } {
n
a 有上确界,
数列 } {
n
b 有下确界, 设 i n f?? } {
n
b,s u p?? } {
n
a, 易 见 有
nn
ba ?? ? 和
nn
ba ?? ?,
由 ) (,0 ???? nab
nn
,?? ??,
例 1 用“有限 复 盖定理, 证 明,聚点原理”,
证 ( 用反 证 法 ) 设 S 为 有界无限点集,],[ baS ?, 反 设
],[ ba 的 每 一点 都不是 S 的聚点,则对 ?? x ],[ ba,存在 开 区 间
),(
xx
??,使在 ),(
xx
?? 内 仅 有 S 的有限个点, ??,
例 2 用“确界原理” 证 明,聚点原理”,
证 设 S 为 有界无限点集, 构造数集 ExE | {? 中大于 x 的点
有无 穷 多个 },
易 见 数集 E 非空有上界,由确界 原理,E 有上确界, 设 Es u p??,
则对 0 ?? ?,由 ?? ? 不是 E 的上界,? E 中大于 ?? ? 的点有无 穷
多个 ; 由 ?? ? 是 E 的上界,? E 中大于 ?? ? 的点 仅 有 有限个, 于
是,在 ),( ???? ?? 内有 E 的无 穷 多个点,即 ? 是 E 的一个聚点,
一,确界存在定理：回 顾 确界概念,
Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有 下界数集必有下确
界,
二, 单调 有界原理, 回 顾单调 和有界概念,
Th 2 单调 有界数列必收 敛,
二, 实 数基本定理 应 用 举 例,
例 1 设 )( xf 是 闭 区 间 ],[ ba 上的 递 增函数,但不必 连续,
如果 aaf ?)(,bbf ?)(,则 ??
0
x ],[ ba,使
00
)( xxf ?, ( 山
东 大学研究生入学 试题 )
证 法 一 ( 用确界技 术 )
设 集合 },)( | { bxaxxfxF ????, 则 Fa ?,F 不空 ;
F ? ],[ ba,F 有界, 由确界原理,F 有上确界,
设 Fx s u p
0
?,则 ?
0
x ],[ ba,
下 证
00
)( xxf ?,
)( xf 递 增和
00
)( xxf ?,有 ?))((
0
xff )(
0
xf,可 见 )(
0
xf ? F, 由
Fx s u p
0
?,? )(
0
xf
0
x?, 于是,只能有
00
)( xxf ?,
ⅱ ） 若 ?
0
x F,则 存在 F 内的数列 } {
n
x,使
n
x ↗
0
x,
) ( ??n ; 也存在数列
} {
n
t,,
0
btx
n
??
n
t ↘
0
x,) ( ??n, 由 f 递 增,Fx
n
? 以及
n
t F?,就有式
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ttfxfxfx ???? )()()(
0
对 任何 n 成立, 令 ??n,得
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000
xxfx ??
