1 掌握原函数与不定积分概念；
2 掌握基本积分方法
分部积分 法、换元积分法、有理
函数积分法、三角函数有理式的
积分、几种无理函数的积分。
教学目标：
第八章 不定积分
一 原函数与不定积分
前面我们学习了导数与微分，由已知函数利用基本求导公式和求
导法则可以求出它的导数，那自然会想到：求导运算能否和数的四则
运算那样，知道了 )( xf 导数反过来就能求出 )( xf？比如知道了物体
的运动速度，求路程，知道了加速度求速度？
例 1 一个静止的物体，其质量为 m 在力 tAF s i n? 的作用下沿
直线运动，求物体的运动速度。
解 由牛顿第二定理 tA
m
F
a s i n?? 即
m
tA
m
F
dt
vd s i n
??
这就归结为已知
dt
dv
求 v, 由求导运算
§ 1 不定积分的概念
m
tA
Ct
m
A s i n
)c os( ????
得 Ct
m
A
v ??? c os, 其中 C 为待定常数，若初始时刻是静止的
0)0( ?v
m
A
CC
m
A
v ?????? 0c os)0(0,
从而 得
m
A
t
m
A
v ??? c os
我们称这类由 )( xf ? 求 )( xf 的运算为积分法
定义（原函数） 如果在区间 I 上 )()( xfxF ??,则称 )( xF 为
)( xf 在区间 I 上的原函数。
例如例 1 中的 Ct
m
A
?? c o s 是 t
m
A
s i n 的原函数；
C
x
?
?
?
1
1
?
?
是 )1( ???
?
x 的原函数，等等
因为常数导数为零，所以如果 )( xf 的原函数 )( xF 存在，则对任
意常数 C, CxF ?)( 都是 )( xf 的原函数。这就是说，原函数存在的话，
它有无限多个。而且容易证明,)( xf 的任意两个原函数之间相差一个
常数。换句话说 )( xf 的原函数的全体为 })({ CxF ?, C 为任意常数。
定义（不定积分） )( xf 在区间 I 上原函数的全体称为 )( xf 在 I
上的不定积分。记作
?
dxxf )( 。 其中
?
为积分号,)( xf 为积分
函数,x 为积分变量。
不定积分的几何意义
一个函数的原函数尽管有无限多个,但它们的几何图形是一模
一样的,最多是在坐标系中的高低位置不一样,相差一个上下平移
关系,
F(x)+C
F(x)
二 基本积分公式
怎样求不定积分呢？我们先按照不定积分的定义给出 一些常见函
数的不定积分,
)1( ??
?
?
?
dxx
?
?? Cxdx
x
ln
1
?
?? C
a
a
dxa
x
x
ln
?
??? Cxx dx c oss i n
?
?? Ct gxx dx
2
s e c
?
??? Cc t gxdx
2
c s c
Cxt gx dxx ???
?
s e cs e c Cxc t gx dxx ????
?
c s cc s c
Cx
x
dx
??
?
?
a r c s i n
1
2
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??
?
Car c t gxdx
x
2
1
1
这些积分公式是我们后面计算不定积分的基础，一定要把它记住。
2,不定 积 分的基本性 质, 以下 设 )( xf 和 )( xg 有原函数,
⑴ ? ?
??
??
?
dxxfdxxfdxfdxxf )()( ),( )(, ( 先 积 后 导,
形式不 变 ),
⑵
? ?
????? cxfxdfcxfdxxf )()(,)()(, ( 先 导 后 积,多
一个 常数 )
⑶ 0?? 时,
? ?
?,)()( dxxfdxxf ??
⑷
? ? ?
???,)()())()(( dxxgdxxfdxxgxf
由⑶、⑷可 见,不定 积 分是 线 性运算,即 对 R,?? ??,有
? ? ????,)()())()(( dxxgdxxfdxxgxf ????
( 当 0?? ?? 时,上式右端 应 理解 为 任意常数, )
三．利用不定 积 分基本公式 计 算不定 积 分
例 6
nn
nn
axaxaxaxP ?????
?
?
1
1
10
)( ?, 求
?
dxxP )(,
例 7
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.)
1
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1
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dx
x
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x
x
,
例 8
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2
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dxx
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例 9
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dx
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)1(
2
2
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例 10 ⑴ ?
?
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xx 2
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.2
132
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xx
例 11 ? ?
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x
x
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22
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分部积分 法、换元积分法、有理
函数积分法、三角函数有理式的
积分、几种无理函数的积分。
教学目标：
第八章 不定积分
一 原函数与不定积分
前面我们学习了导数与微分，由已知函数利用基本求导公式和求
导法则可以求出它的导数，那自然会想到：求导运算能否和数的四则
运算那样，知道了 )( xf 导数反过来就能求出 )( xf？比如知道了物体
的运动速度，求路程，知道了加速度求速度？
例 1 一个静止的物体，其质量为 m 在力 tAF s i n? 的作用下沿
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定义（原函数） 如果在区间 I 上 )()( xfxF ??,则称 )( xF 为
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例如例 1 中的 Ct
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因为常数导数为零，所以如果 )( xf 的原函数 )( xF 存在，则对任
意常数 C, CxF ?)( 都是 )( xf 的原函数。这就是说，原函数存在的话，
它有无限多个。而且容易证明,)( xf 的任意两个原函数之间相差一个
常数。换句话说 )( xf 的原函数的全体为 })({ CxF ?, C 为任意常数。
定义（不定积分） )( xf 在区间 I 上原函数的全体称为 )( xf 在 I
上的不定积分。记作
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为积分号,)( xf 为积分
函数,x 为积分变量。
不定积分的几何意义
一个函数的原函数尽管有无限多个,但它们的几何图形是一模
一样的,最多是在坐标系中的高低位置不一样,相差一个上下平移
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二 基本积分公式
怎样求不定积分呢？我们先按照不定积分的定义给出 一些常见函
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三．利用不定 积 分基本公式 计 算不定 积 分
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