§ 1 连续性的概念
内容：
1 函数在 点 的连续性
2 间断点及其的分类
3 区间上的连续函数的性质
重点：函数在 点 的连续性
难点：连续、一致连续的证明
要求：理解连续的定义，间断点的分类，会用
用定义证明函数的连续性 。
0x
0x
第四章 函数的连续性
下页
一 函数在一点
0
x 的连续
先回顾一下函数在
0
x 点的极限 Axf
xx
?
?
)(lim
0
设函 数 )( xf 在
0
x 的某个空心邻域内有定义,A 是一个确定的
数，若对 0,0 ???? ??,当 ???? ||0
0
xx 时，都有
??? |)(| Axf,则称 )( xf 在
0
xx ? 时, 以 A 为极限。
这里 )(
0
xf 可以有三种情况
1 ） )(
0
xf 无定义，比如上章讲过的特殊极限 1
)s i n (
lim
0
0
0
?
?
?
?
xx
xx
xx
下页
2 ） Axf ?)(
0
，比如
?
?
?
??
?
?
0
0
,1
,
)(
xxx
xxx
xf,
)()(lim
00
0
xfxxf
xx
??
?
3 ） Axf ?)(
0
0x
0x
0x
下页
对 1, 2 两种情况，曲线在
0
x 处都出现了 间断 ; 第 3 种情况与
前两种情况不同，曲线在
0
x 处连绵不断，我们称这种情况为,)( xf 在
0
x 处连续。
定义 1 设函数 )( xf 在
0
x 的某邻域内有定义，若
)()(lim
0
0
xfxf
xx
?
?
)2(
则称函数 )( xf 在
0
x 点连续。
例如 函数 12)( ?? xxf 在点 2?x 连续，因为
)2(5)22(lim)(lim
22
fxxf
xx
????
??
下页
)0(0
1
s i nlim)(lim
00
f
x
xxf
xx
???
??
若记 )()(,
00
xfxfyxxx ?????? 则 )()(lim
0
0
xfxf
xx
?
?
可等价
的叙述为 0lim ??
??
y
xx
，于是函数 )( xf 在
0
x 点连续的定义又可以叙述
为
定义 1 （ 2 ） 设函数 )( xf 在
0
x 的某邻域内有定义，若
0lim ??
??
y
xx
则称 )( xf 在
0
x 点连续。
另外，由于函数 )( xf 在
0
x 点连续是用极限形式表述的，若将
)()(lim
0
0
xfxf
xx
?
?
改用 ?? ? 语言叙述，则 )( xf 在
0
x 点连续又可以定义
为,下页
定义 1 （ 3 ） 设函数 )( xf 在
0
x 的某邻域内有定义，若对
0,0 ???? ??,使得当 ??? ||
0
xx 时，都有
??? |)()(|
0
xfxf, )2(
则称 )( xf 在
0
x 点连续。
注意 函数 )( xf 在
0
x 点连续，不仅要求 )( xf 在
0
x 点有定义，而且要求
0
xx ? 时,
)( xf 的极限等于 )(
0
xf,因此这里在极限的,?? ?, 语言叙述中把
,???? ||0
0
xx,换成了,??? ||
0
xx,。最后,)1( 式又可表示
为
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可见,f 在 0?x 连续”意味着极限运算
0
lim
xx ?
对应法则 f 的可交换性。
例 1 证明函数 )()( xxDxf ? 在点 0?x 连续,其中 )( xD 为狄利克雷
函数。
证明 由 0)0( ?f 及 1)( ?xD,对于任意的 0??,为使
????? xxxDfxf )()0()(
只要取 ?? ?,即可按 ?? ? 定义推得在连续。
相应于在的左、右极限的概念，我们给出左右连续的定一如下,
定义 2 设函数 )( xf 在
0
x 的某左（右）邻域内有定义，若
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2
－ 2
0
)()(lim
0
0
xfxf
xx
?
??
（ )()(lim
0
0
xfxf
xx
?
??
）
则称 )( xf 在
0
x 点左（右）连续。
由极限与单侧极限的关系不难得出,
定理 4.1 函数 )( xf 在
0
x 点连续的充分必要条件为,)( xf 在
0
x 点
既左连续又右连续。
例 2 讨论函数
?
?
?
??
??
?
0,2
0,2
)(
xx
xx
xf 在 0?x 的连续性 。
解 因为
)0(2)2(lim)(lim
)0(2)2(lim)(lim
00
00
fxxf
fxxf
xx
xx
?????
????
???
???
所以 )( xf 在 0?x 右连续，但不左连续，从
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二 间断点及其分类
定义 3 设函数 f 在某 )(
0
xU
o
内有定义。若 f 在点
0
x 无定义，或在
点
0
x 有定义但不连续，则称点
0
x 为函数 f 的间断点或不连续点。
由连续的定义 知，函数 )( xf 在
0
x 点不连续必出现如下情形,
1 ） Axf
xx
?
?
)(lim
0
，而 f 在点
0
x 无定义，或有定义但
)()(lim
0
0
xfAxf
xx
??
?
2 ）左、右极限都存在，但不相等,称 |)(lim)(lim|
00
xfxf
xxxx ????
???
为跳跃度
3 ）左、右极限至少一个不存在
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1,可去间断点 情况 1 ）
0
x 称为
可去间断点（或可去不连续点）；
例
?
?
?
?
?
??
?
?
0,1
0,
s i n
)(
x
x
x
x
xf,)0(11)(lim
0
fxf
x
????
?
0?x 是 )( xf 的可去间断点。
例 0)(,1)(lim,|)s g n (|)( ????
?
afxfaxxf
ax
,ax ? 是 )( xf
的可去间断点。
a
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1 2 3 4 5
-4
-4 -3 -2 -1 -1 xo
4
2,跳跃间断点 情况 2 ）
0
x 称为可跳跃间断点；
情况 1 ）,2 ）统称第一类间断点。
例 ][ xy ? 因为 1lim,)(lim
0
???
????
nnxf
xxnx
，所以 ][ xy ? 的
整数点为跳跃间断点，跳跃度等 1,
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例 xxf s g n)( ? 因为 1lim,1s g nlim
00
???
???? xx
x
所以 xxf s g n)( ? 在 0?x 处为跳跃间断点，跳跃度等 2,
3,情况 3 ）
0
x 称为可第二类间断点；
例 )(lim,
1
)(
0
xf
x
xf
x ?
? 不存在，所以 0?x 是 )( xf 的第二类不
连续点。
为了加强理解和记忆，我们画出两类不连续点的图象
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-0.5 0 0.5
0.96
0.97
0.98
0.99
1
x
sin(x)/x
-1 -0.5 0 0.5 1
-2
-1
0
1
2
x
sin(x)+sign(x)
-0.5 0 0.5
-1
-0.5
0
0.5
1
x
sin(1/x)
-0.5 0 0.5
5
10
15
20
25
x
abs(1/(x+eps))
下页
三 区间上的连续函数
定义 若函数 )( xf 在区间 I 上每一点都连续，则称 )( xf 为 I 上的
连续函数,对于区间端点上的连续性则按左、右连续来确定。
例如 cy ?, xyxyxy c o s,s i n,??? 是 ),( ???? 内的连续函
数，
2
1 xy ?? 在 )1,1( ? 的每一点都连续，在 1?x 左连续性，在 1??x
右连续性，因而是 ]1,1[ ? 上的连续函数（参见上章§ 1 的例题）。
定义 如果 )( xf 在区间 ],[ ba 上仅有有限个第一类不连续点，则称
函数 )( xf 在间 ],[ ba 上按段连续。
例如 xyxy s g n,][ ?? 是按段连续函数 。
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?
?
?
?
?
?
?
?
1,0,0
,
1
)(
x
q
p
x
qxR
的连续性
证明 设 )1,0(?? 为无理数，任给 ? ?
2
1
0 〈不妨设 ?? ?,满足 ??
q
1
正
数显然只有有限个 q ( 但至少有有一个,如 2?q ),从而使 ??)( xR 的有
理数 )1,0(?x 只有有限个 ( 至少有有一个,如
2
1
),设为
n
xx,,
1
?,取
? ? 1,,,m i n
1
????? ????
n
xx ?,( 显然 0?? )
及 )1,0( 内的无理数
,（ p,q ）为正整数,p/q 为既约真分数
则对任何 )),1,0()(;( ?? ??Ux 当 x 为有理数时有 ??)( xR,当 x 为无理
数时 0)( ?xR, 于是，对任何 );( ??Ux ?,总有
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?? ??? )()()( xRRxR
这就证明了
)( xR
在无理点
?
处连续。
现设
q
p
为
)1,0(
内任一有理数，取
q2
1
0
??
，对任何正数 ? （无论
多么小），在
);( ?
q
p
U
内总可取无理数
))1,0((0 ?x
，使得
00
1
)()( ????
qq
p
RxR
所以
)( xR
在任何有理点处都不连续。
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小结,1 ）函数在一点连续的三个等价定义；
2 ）函数的左右连续性；
3 ）不连续的分类：可去不连续点；跳跃不连续；第二类不连续
点；
4 ）区间上连续函数的定义。