掌握反常积分敛散性的定义，奇点 ;
掌握一些重要的反常积分收敛和发散
的例子 ;
理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念，
并能用反常积分的 Cauchy收敛原理、
非负函数反常积分的比较判别法、
Cauchy判别法，以及一般函数反常积
分的 Abel,Dirichlet判别法判别基本的
反常积分。
第十一章 反常积分
教学目标,
第十一章 反常积分
§ 1 反常积分概念
一 问题的提出
例 1 （第二宇宙速度问题）
在地球表面初值发射火箭，要是 火箭克服地球引力，无限远离地球,问初速
度至少多大？
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解 设地球半径为 R,火箭质量为 m 地面重力加速度为 g,有万有引力定理,
在距地心 x 处火箭受到的引理为
2
2
()
m gR
Fx
x
?
于是火箭上升到距地心 r 处需要做到功为
2
2
2
11
()
r
R
m gR
dx m gR
x R r
??
?
当 r ?? 时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功
22
22
l i m
r
r
RR
m gR m gR
dx dx m gR
xx
?
??
??
??
再 由能量守恒定律，可求得处速度
0
v 至少应使
2
00
1
2 11,2 ( / )
2
m v m gR v gR k m s? ? ? ?
O
xO
h
例 2 从盛满水开始打开小孔，问需多
长时间才能把桶里水全部放完？
解 由物理学知识知道，（在不计摩擦情
况下），桶里水位高度为 hx ? 时，水从小
孔里流出的速度为
2 ( )v g h x??
设 在很短一段时间 t? 内,桶里 水面降低的
高度 为 x?,则有下面关系,
22
R x v r t?? ? ? ?
由此得
2
2
,[ 0,]
2 ( )
R
t x x h
r g h x
? ? ? ?
?
所以流完一桶水所需的时间应为
2
2
0
( 2 ( )
h
f
R
t dx
r g h x
?
?
?
但是，被积函数在 ( 0,]h 上是无界函数，，所一我们取
2
2
0
22
22
lim
( 2 ( )
22
l i m ( )
u
f
uh
uh
R
t d x
r g h x
R h R
h h u
g r g r
?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
相对于以前学习的定积分 （正常 积分）,我们把这里 的积分叫做反常积分。
a
无穷限反常积分的定义
?
?
A
a
AF )(,
?
??
????
a
aFFf )()(,
无穷限反常积分几何意义
例 1 ⑴ 讨论积分
?
??
?
0
2
1 x
dx
,
?
??
?
0
2
1 x
dx
,
?
??
??
?
2
1 x
dx
的敛散性,
⑵ 计算积分
?
??
??
0
2
52 xx
dx
,
例 2 讨论以下积分的敛散性,
⑴
?
??
1
p
x
dx; ⑵
?
??
2
)( l n
p
xx
dx
,
例 3 讨论积分
?
??
a
x dxc os 的敛散性,
二, 瑕积分, （先介绍函数的瑕点）
1, 瑕积分的定义, 以点 b 为瑕点给出定义, 然后就点 a 为瑕点、点 ),( bac ?
为 瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明,
例 9 判断积分
?
?
1
0
2
1 x
dx
的敛散性,
例 1 0 讨论瑕积分
?
?
1
0
) 0 ( q
x
dx
q
的敛散性,并讨论积分
?
??
0
p
x
dx
的敛散性,
2,瑕积分与无穷积分的关系,
设函数 )( xf 连续,b 为瑕点, 有
? ?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??????
b
a
ab
xb
t
dt
tt
bfdxxf
1
2
1
11
)(,
3,把瑕积分化成了无穷积分 ;
设 0?a,有
? ? ?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?????
a
a
a
x
t
t
dt
t
g
t
dt
t
gdxxg
0
1
1
0
22
1
11
)(,
把无穷积分化成了瑕积分,
可见,瑕积分与无穷积分可以互化, 因此,它们有平行的理论和结果,
例 1 1 证明瑕积分
?
1
0
1
s i n
1
dx
xx
?
当 2?? 时收敛,
证明
??
??
?
?
????
1
2
1
1
0
s i n
dt
t
t
t
x
?
,由例 6,该积分当 2?? 时收敛,
§ 2 无穷积分的性质与收敛判别
一 无穷积分的性质,
⑴ )( xf 在区间 ),[ ??a 上可积,k — C o n s t,则函数 k )( xf 在区
),[ ??a 上可积,且
?
??
?
a
kdxxkf )(
?
??
a
dxxf )(,
⑵ )( xf 和 )( xg 在区间 ),[ ??a 上可积,? )( xf ? )( xg 在区间 ),[ ??a
上可积,且
?
??
??
a
gf )(
?
??
?
a
f
?
??
a
g,
⑶ 无穷积分收敛的 C a u c h y 准则,
Th 积分
?
??
a
dxxf )( 收敛
?? ???????????
?
??
?
A
A
dxxfAAAA )(,,,,0,
⑷ 绝对收敛与条件收敛, 定义概念,
绝对收敛 ? 收敛,( 证 ) 但反之不确, 绝对型积分与非绝对型积
分,
3,无穷积分判敛法,
非负函数无穷积分判敛法, 对非负函数,有 )( AF ↗, 非负函数无穷积
分敛散性记法,
⑴ 比较判敛法, 设在区间 ),[ ??a 上函数 )( xf 和 )( xg 非负且
)( xf ? )( xg,又对任何 A > a,)( xf 和 )( xg 在区间 ],[ Aa 上可积, 则
?
??
a
g < ??,?
?
??
a
f < ?? ；
?
??
a
f ? ??,?
?
??
a
g ? ??, ( 证 )
例 4 判断积分
?
??
?
?
0
2
2
5
)1s i n (
dx
x
x
的敛散性,
比较原则的极限形式, 设在区间 ),[ ??a 上函数
0,0 ?? fg,c
g
f
x
?
???
lim,
则
ⅰ > 0 < c < ??,?
?
??
a
f 与
?
??
a
g 共敛散,
ⅱ > c ? 0,?
?
??
a
g < ?? 时,
?
??
a
f < ?? ；
ⅲ > c ? ??,?
?
??
a
g ? ?? 时,
?
??
a
f ? ??, ( 证 )
⑵ Cauchy 判敛法,
( 以
?
??
1
p
x
dx
为比较对象,即取 )( xg ?
p
x
1
,以下 a > 0 )
设对任何 A > a,)( xf ? ],[ AaC,0 ? )( xf ?
p
x
1
且 p 1?,
?
?
??
a
f < ?? ；
若 )( xf ?
p
x
1
且 p 1?,?
?
??
a
f ? ??,
Cauchy 判敛法的极限形式, 设 )( xf 是在任何有限区间 ],[ Aa 上可积
的正值函数, 且 ??
???
)(lim xfx
p
x
, 则
ⅰ >,0,1 ?????? ?p
?
??
a
f < ?? ；
ⅱ > ??????,0,1 ?p
?
??
a
f ? ??, ( 证 )
例 5 讨论以下无穷积分的敛散性,
ⅰ >
?
??
?
?
0
);0(,?
?
dxex
x
ⅱ >
?
??
?0
5
2
.
1
dx
x
x
⑶ 其他判敛法,
Abel 判敛法, 若 )( xf 在区间 ),[ ??a 上可积,)( xg 单调有界,则
积分
?
??
a
dxxgxf )()( 收敛,
Dirichlet 判敛法, 设
?
?
A
a
fAF )( 在区间 ),[ ??a 上有界, )( xg 在
),[ ??a 上单调,且当 ???x 时,)( xg 0?, 则积分
?
??
a
dxxgxf )()( 收
敛,
例 6 讨论无穷积分
?
??
1
s i n
dx
x
x
p
与
?
??
1
c os
dx
x
x
p
) 0 ( ?p 的敛散性,
例 7 证明下列无穷积分收敛,且为条件收敛,
?
??
1
2
s i n dxx,
?
??
1
2
c os dxx,
?
??
1
4
s i n dxxx,
例 8 ( 乘积不可积的例 ) 设 )( xf
x
xs i n
?,?x ),1 [ ??, 由例 6 的
结果,积分
?
??
1
)( dxxf 收敛, 但积分
?
??
1
)()( dxxfxf
?
??
?
1
2
s i n
dx
x
x
却发
散,( 参阅 例 6 )
§ 3 瑕积分 的性质与收敛判别,
Th ( 比较原则 )
推论 1 ( Cauchy 判别法 )
推论 2 ( Cauchy 判别法的极限形式 )
例 12 判别下列瑕积分的敛散性,
⑴
?
1
0
,
ln
dx
x
x
( 注意被积函数非正 ),⑵
?
2
1
ln
dx
x
x
,
例 13 讨论非正常积分
?
?? ?
?
0
1
1
dx
x
x
?
的敛散性, [1]P330 E13
§ 4 C — R 积分与 R 积 分的差异,
1,)( xf ? R ],[ ba,? 在 ],[ ba 上 )( xf ? )1(0 ; 但 )( xf 在区间
),[ ??a 上可 积,?? )( xf 在区间 ),[ ??a 上有界, 例如函数
?
?
?
??
?
?
,1,0
,,
)(
nxx
nxn
xf
但
2,)( xf ? R ],[ ba,? | )( xf | ? R ],[ ba,但反之不确, R 积分是绝对型
积分,| )( xf | 在区间 ),[ ??a 上可积,? )( xf 在区间 ),[ ??a
上可积,但反之不确, C — R 积分是非绝对型积分,
3,)( xf,)( xg ? R ],[ ba,? )( xf )( xg ? R ],[ ba ;
但 )( xf 和 )( xg 在区间 ),[ ??a 上可积,?? )( xf )( xg 在区间
),[ ??a 上可积, 可见,)( xf 在区间 ),[ ??a 上可积,?? )(
2
xf 在区间
),[ ??a 上可积,
掌握一些重要的反常积分收敛和发散
的例子 ;
理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念，
并能用反常积分的 Cauchy收敛原理、
非负函数反常积分的比较判别法、
Cauchy判别法，以及一般函数反常积
分的 Abel,Dirichlet判别法判别基本的
反常积分。
第十一章 反常积分
教学目标,
第十一章 反常积分
§ 1 反常积分概念
一 问题的提出
例 1 （第二宇宙速度问题）
在地球表面初值发射火箭，要是 火箭克服地球引力，无限远离地球,问初速
度至少多大？
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解 设地球半径为 R,火箭质量为 m 地面重力加速度为 g,有万有引力定理,
在距地心 x 处火箭受到的引理为
2
2
()
m gR
Fx
x
?
于是火箭上升到距地心 r 处需要做到功为
2
2
2
11
()
r
R
m gR
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x R r
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?
当 r ?? 时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功
22
22
l i m
r
r
RR
m gR m gR
dx dx m gR
xx
?
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再 由能量守恒定律，可求得处速度
0
v 至少应使
2
00
1
2 11,2 ( / )
2
m v m gR v gR k m s? ? ? ?
O
xO
h
例 2 从盛满水开始打开小孔，问需多
长时间才能把桶里水全部放完？
解 由物理学知识知道，（在不计摩擦情
况下），桶里水位高度为 hx ? 时，水从小
孔里流出的速度为
2 ( )v g h x??
设 在很短一段时间 t? 内,桶里 水面降低的
高度 为 x?,则有下面关系,
22
R x v r t?? ? ? ?
由此得
2
2
,[ 0,]
2 ( )
R
t x x h
r g h x
? ? ? ?
?
所以流完一桶水所需的时间应为
2
2
0
( 2 ( )
h
f
R
t dx
r g h x
?
?
?
但是，被积函数在 ( 0,]h 上是无界函数，，所一我们取
2
2
0
22
22
lim
( 2 ( )
22
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?
相对于以前学习的定积分 （正常 积分）,我们把这里 的积分叫做反常积分。
a
无穷限反常积分的定义
?
?
A
a
AF )(,
?
??
????
a
aFFf )()(,
无穷限反常积分几何意义
例 1 ⑴ 讨论积分
?
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2
1 x
dx
,
?
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?
0
2
1 x
dx
,
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2
1 x
dx
的敛散性,
⑵ 计算积分
?
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dx
,
例 2 讨论以下积分的敛散性,
⑴
?
??
1
p
x
dx; ⑵
?
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2
)( l n
p
xx
dx
,
例 3 讨论积分
?
??
a
x dxc os 的敛散性,
二, 瑕积分, （先介绍函数的瑕点）
1, 瑕积分的定义, 以点 b 为瑕点给出定义, 然后就点 a 为瑕点、点 ),( bac ?
为 瑕点以及有多个瑕点的情况给出说明,
例 9 判断积分
?
?
1
0
2
1 x
dx
的敛散性,
例 1 0 讨论瑕积分
?
?
1
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) 0 ( q
x
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q
的敛散性,并讨论积分
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的敛散性,
2,瑕积分与无穷积分的关系,
设函数 )( xf 连续,b 为瑕点, 有
? ?
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3,把瑕积分化成了无穷积分 ;
设 0?a,有
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)(,
把无穷积分化成了瑕积分,
可见,瑕积分与无穷积分可以互化, 因此,它们有平行的理论和结果,
例 1 1 证明瑕积分
?
1
0
1
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1
dx
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?
当 2?? 时收敛,
证明
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dt
t
t
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,由例 6,该积分当 2?? 时收敛,
§ 2 无穷积分的性质与收敛判别
一 无穷积分的性质,
⑴ )( xf 在区间 ),[ ??a 上可积,k — C o n s t,则函数 k )( xf 在区
),[ ??a 上可积,且
?
??
?
a
kdxxkf )(
?
??
a
dxxf )(,
⑵ )( xf 和 )( xg 在区间 ),[ ??a 上可积,? )( xf ? )( xg 在区间 ),[ ??a
上可积,且
?
??
??
a
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?
a
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??
a
g,
⑶ 无穷积分收敛的 C a u c h y 准则,
Th 积分
?
??
a
dxxf )( 收敛
?? ???????????
?
??
?
A
A
dxxfAAAA )(,,,,0,
⑷ 绝对收敛与条件收敛, 定义概念,
绝对收敛 ? 收敛,( 证 ) 但反之不确, 绝对型积分与非绝对型积
分,
3,无穷积分判敛法,
非负函数无穷积分判敛法, 对非负函数,有 )( AF ↗, 非负函数无穷积
分敛散性记法,
⑴ 比较判敛法, 设在区间 ),[ ??a 上函数 )( xf 和 )( xg 非负且
)( xf ? )( xg,又对任何 A > a,)( xf 和 )( xg 在区间 ],[ Aa 上可积, 则
?
??
a
g < ??,?
?
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a
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g ? ??, ( 证 )
例 4 判断积分
?
??
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?
0
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)1s i n (
dx
x
x
的敛散性,
比较原则的极限形式, 设在区间 ),[ ??a 上函数
0,0 ?? fg,c
g
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x
?
???
lim,
则
ⅰ > 0 < c < ??,?
?
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a
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a
g 共敛散,
ⅱ > c ? 0,?
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g < ?? 时,
?
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a
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⑵ Cauchy 判敛法,
( 以
?
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1
p
x
dx
为比较对象,即取 )( xg ?
p
x
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,以下 a > 0 )
设对任何 A > a,)( xf ? ],[ AaC,0 ? )( xf ?
p
x
1
且 p 1?,
?
?
??
a
f < ?? ；
若 )( xf ?
p
x
1
且 p 1?,?
?
??
a
f ? ??,
Cauchy 判敛法的极限形式, 设 )( xf 是在任何有限区间 ],[ Aa 上可积
的正值函数, 且 ??
???
)(lim xfx
p
x
, 则
ⅰ >,0,1 ?????? ?p
?
??
a
f < ?? ；
ⅱ > ??????,0,1 ?p
?
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f ? ??, ( 证 )
例 5 讨论以下无穷积分的敛散性,
ⅰ >
?
??
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0
);0(,?
?
dxex
x
ⅱ >
?
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5
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.
1
dx
x
x
⑶ 其他判敛法,
Abel 判敛法, 若 )( xf 在区间 ),[ ??a 上可积,)( xg 单调有界,则
积分
?
??
a
dxxgxf )()( 收敛,
Dirichlet 判敛法, 设
?
?
A
a
fAF )( 在区间 ),[ ??a 上有界, )( xg 在
),[ ??a 上单调,且当 ???x 时,)( xg 0?, 则积分
?
??
a
dxxgxf )()( 收
敛,
例 6 讨论无穷积分
?
??
1
s i n
dx
x
x
p
与
?
??
1
c os
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x
x
p
) 0 ( ?p 的敛散性,
例 7 证明下列无穷积分收敛,且为条件收敛,
?
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1
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?
??
1
2
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?
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1
4
s i n dxxx,
例 8 ( 乘积不可积的例 ) 设 )( xf
x
xs i n
?,?x ),1 [ ??, 由例 6 的
结果,积分
?
??
1
)( dxxf 收敛, 但积分
?
??
1
)()( dxxfxf
?
??
?
1
2
s i n
dx
x
x
却发
散,( 参阅 例 6 )
§ 3 瑕积分 的性质与收敛判别,
Th ( 比较原则 )
推论 1 ( Cauchy 判别法 )
推论 2 ( Cauchy 判别法的极限形式 )
例 12 判别下列瑕积分的敛散性,
⑴
?
1
0
,
ln
dx
x
x
( 注意被积函数非正 ),⑵
?
2
1
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,
例 13 讨论非正常积分
?
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0
1
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dx
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的敛散性, [1]P330 E13
§ 4 C — R 积分与 R 积 分的差异,
1,)( xf ? R ],[ ba,? 在 ],[ ba 上 )( xf ? )1(0 ; 但 )( xf 在区间
),[ ??a 上可 积,?? )( xf 在区间 ),[ ??a 上有界, 例如函数
?
?
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,1,0
,,
)(
nxx
nxn
xf
但
2,)( xf ? R ],[ ba,? | )( xf | ? R ],[ ba,但反之不确, R 积分是绝对型
积分,| )( xf | 在区间 ),[ ??a 上可积,? )( xf 在区间 ),[ ??a
上可积,但反之不确, C — R 积分是非绝对型积分,
3,)( xf,)( xg ? R ],[ ba,? )( xf )( xg ? R ],[ ba ;
但 )( xf 和 )( xg 在区间 ),[ ??a 上可积,?? )( xf )( xg 在区间
),[ ??a 上可积, 可见,)( xf 在区间 ),[ ??a 上可积,?? )(
2
xf 在区间
),[ ??a 上可积,
