（十四） 《数学分析Ⅱ》考试题 一 填空（共15分，每题5分）： 1 设 1 ,  0 ; 2 设； 3 设在 1 ，  0 。 二 计算下列极限：（共20分，每题5分） 1 ; 解: 由于又 故  2 ； 解: 由stolz定理,     3 ； 解:   4 。 解:  三 计算导数（共15分，每题5分）： 1  解:  2 解: 3 设 解: 由Leibniz公式     四 （12分）设，满足：  证明：收敛，并求 解: （1） 证明：易见， 从而有： ， 故单调减少，且有下界。所以收敛。 （2）求： 设，由（1）知：。 在两边同时取极限得  解之得，即。 五 （10分）求椭圆 处方程。 解: 在方程两边对求导数得： 故从而，所以椭圆处方程为 ，即 六（10分）利用Cauchy收敛原理证明：单调有界数列必收敛。 证明：设单调有界，不妨设单调增加。 假定不收敛，则由Cauchy收敛原理，存在常数 ，于是 令存在  ， 再令存在  ， 一般地令存在  ， 这样得到的一个子列： 满足：。从而有， ，由此式递推可知：  因而无界，与条件矛盾，故收敛。 七（8分）设   1  2  证明：1. 由条件知，， 故：， ， 可见 2.      ,故 八（10分）设为实常数，证明：   证明：令 则 故由Rolle中值定理， 即 故 （十五）数学分析2考试题 单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分） 函数在 [a,b] 上可积，那么（ ） A在[a,b]上有界 B在[a,b]上连续 C在[a,b]上单调 D在[a,b]上只有一个间断点 2、函数在 [a,b] 上连续，则在[a,b]上有（ ） A B C D 在[a，+∞]上恒有，则（ ） A收敛也收敛 B发散也发散 C和同敛散 D 无法判断 4、级数收敛是（ ）对p=1,2…， A 充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D 无关条件 5、若级数收敛，则必有（ ） A B C D 6、在[a，b]一致收敛，且an(x)可导（n=1,2…），那么（ ） A f（x）在[a，b]可导，且 B f（x）在[a，b]可导，但不一定等于 C点点收敛，但不一定一致收敛 D不一定点点收敛 7、下列命题正确的是（ ） A在[a，b]绝对收敛必一致收敛 B在[a，b] 一致收敛必绝对收敛 C在[a，b] 条件收敛必收敛 D若，则在[a，b]必绝对收敛 8、的收敛域为（ ） A (-1,1) B (-1,1] C [-1,1] D [-1,1） 9、下列命题正确的是（ ） A 重极限存在，累次极限也存在并相等 B累次极限存在，重极限也存在但不一定相等 C重极限不存在，累次极限也不存在 D 重极限存在，累次极限也可能不存在 10、函数f(x,y)在（x0,,y0）可偏导，则（ ） A f(x,y)在（x0,,y0）可微 B f(x,y)在（x0,,y0）连续 C f(x,y)在（x0,,y0）在任何方向的方向导数均存在 D 以上全不对 二、计算题：（每小题6分，共30分） 1、 2、计算由曲线和围成的面积 3、求极限 已知，求 计算的收敛半径和收敛域 三、讨论判断题（每小题10分，共30分） 1、讨论的敛散性 判断的敛散性 判断的一致收敛性 四、证明题（每小题10分，共20分） 1、设f(x)是以T为周期的函数，且在[0，T]上可积，证明 2、设级数收敛，则当时，级数也收敛 参考答案 一、1、A 2、B3、D4、A5、D6、D7、C8、A9、D10、D 二、1、由于在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分） （4分） 、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分） 所求的面积为：（4分） 3、解：由于有界，（2分） =（3分）==2（1分） 4、解：=（3分）=（3分） 5、解：，r=2（3分） 由于x=-2，x=2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分） 三、1、解、因为被积函数可能在x=0和x=1处无界，所以将其分为 =+（2分） 考虑奇点x=0应要求p-1<1；奇点x=1应要求p+q<1；（4分）当时，由于，知2p+q-1>1时积分收敛（2分） 所以反常积分满足p<2且2(1-p)<q<1-p收敛，其余发散（2分） 2、解：由于（6分），又发散（2分） 所以原级数发散（2分） 3、解：（6分），由weierstrass判别法原级数一致收敛性（4分） 四、证明题（每小题10分，共20分） 1、证明：（1）（4分） （2）（4分） 将式（2）代入（1）得证（2分） 2、证明：（4分）单调下降有界（3分）由Abel定理知原级数收敛（3分）