（十六）数学分析2考试题 单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分） 函数在[a,b]上可积的必要条件是（ ） A连续 B有界 C 无间断点 D有原函数 2、函数是奇函数，且在[-a,a]上可积，则（ ） A B C D 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A  B  C  D  4、级数收敛是部分和有界且的（ ） A 充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A 和收敛，也收敛 B 和发散，发散 C 收敛和发散，发散 D收敛和发散，发散 6、在[a，b]收敛于a（x），且an（x）可导，则（ ） A B a（x）可导 C D 一致收敛，则a（x）必连续 7、下列命题正确的是（ ） A在[a，b]绝对收敛必一致收敛 B在[a，b] 一致收敛必绝对收敛 C 若，则在[a，b]必绝对收敛 D在[a，b] 条件收敛必收敛 8、的和函数为 A B C D 9、函数的定义域是（ ） A B C D  10、函数f(x,y)在（x0,,y0）偏可导与可微的关系（ ） A可导必可微 B可导必不可微 C可微必可导 D 可微不一定可导 二、计算题：（每小题6分，共30分） 1、，求 2、计算  3、计算的和函数并求 4、设，求 5、求 三、讨论与验证题：（每小题10分，共20分） 讨论在（0，0）点的二阶混合偏导数 讨论的敛散性 四、证明题：（每小题10分，共30分） 1、设在[a，b]上Riemann可积， ，证明函数列在[a，b]上一致收敛于0 2、设，证明它满足方程 设在[a，b]连续，证明，并求 参考答案 一、1、B 2、B3、A4、C5、C6、D7、D8、C9、C10、C 二、1、（3分）令，（3分） 2、=（6分） 3、解：令=，由于级数的收敛域（2分），=，=（2分），令，得 4、解：两边对x求导（3分）（2分）（1分） 5、解：（5分）（1分） 由于x=-2，x=2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分） 三、1、解、（2分） (4分）  （6分） 2、解：由于（3分），即级数绝对收敛条件收敛，级数发散（7分） 所以原级数发散（2分） 四、证明题（每小题10分，共20分） 1、证明：因为在[a，b]上可积，故在[a，b]上有界，即，使得，（3分）从而一般来说，若对有（5分）则，所以在[a，b]上一致收敛于0（2分） （2）（4分） 将式（2）代入（1）得证（2分） ，，（7分）则（3分） 证明：令 得证（7分）（3分） （十七）数学分析2考试题 单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分） 函数在 [a,b] 上可积的充要条件是（ ） A ((>0,( (>0和(>0使得对任一分法(，当(（(）<(时，对应于(i((的那些区间(xi长度之和∑(xi< ( B ((>0,(>0, (>0使得对某一分法(，当(（(）<(时，对应于(i((的那些区间(xi长度之和∑(xi< ( C ((>0,((>0使得对任一分法(，当(（(）<(时，对应于(i((的那些区间(xi长度之和∑(xi< ( D ((>0, (>0，( (>0使得对任一分法(，当(（(）<(时，对应于(i((的那些区间(xi长度之和∑(xi< ( 2、函数连续，则在[a,b]上=（ ） A  B  C  D  （ ） A -2 B 2 C 0 D 发散 4、，则( ) A 必收敛 B必发散 C必条件收敛 D 敛散性不定 5、若级数是更序级数，则（ ） A 和同敛散 B 可以发散到+∞ C 若绝对收敛，也收敛 D若条件收敛，也条件收敛 6、在[a，b]一致收敛，且an(x)可导（n=1,2…），那么( ) A f（x）在[a，b]可导，且 B f（x）在[a，b]可导，但不一定等于 C点点收敛，但不一定一致收敛 D不一定点点收敛 7、函数项级数在D上一致收敛的充要条件是（ ） A ((>0,( N（(）>0，使(m>n> N有 B ((>0, N>0，使(m>n> N有 C ((>0, ( N（(）>0，使(m>n> N有 D ((>0,( N（(）>0，使(m>n> N有 8、的收敛域为（ ） A (-1,1) B (0,2] C [0,2） D [-1,1） 9、重极限存在是累次极限存在的（ ） A充分条件 B必要条件 C充分必要条件 D 无关条件 10、（ ） A B C D  计算题：（每小题6分，共30分） 1、 2、计算由曲线和围成的面积 3、求的幂级数展开 已知可微，求 求在（0，0）的累次极限 三、判断题（每小题10分，共20分） 讨论的敛散性 判断的绝对和条件收敛性 四、证明题（每小题10分，共30分） 1、设f(x)是[-a，a]上的奇函数，证明 2、证明级数满足方程 证明S为闭集的充分必要条件是Sc是开集。 参考答案 一、1、D 2、B3、D4、B5、C6、D7、A8、C9、D10、B 二、1、解：=（2分）由于为奇函数=0（2分）=（2分）所以积分值为（1分） 解：两曲线的交点为（1，2）（2分） 所求的面积为：1/2(2(2+（4分） 3、解：由于（3分），（3分） 4、解：==（3分）（3分） 5、解：，（3分）（3分） 三、1、解：由于（6分），又收敛（2分） 所以原级数收敛（2分） 2、解：当时，有，所以级数绝对收敛（4分）， 当时，，原级数发散（2分） 当时，有，由上讨论知级数绝对收敛（4分） 四、证明题（每小题10分，共30分） 1、证明： （1）（4分） （ 2）（4分） 将式（2）代入（1）得证（2分） 2、证明：所给级数的收敛域为，在收敛域内逐项微分之，得（8分）代入得证（2分） 3、证明：必要性 若S为闭集，由于S的一切聚点都属于S，因为，对于任意的。x不是S的聚点，也就是说，存在x的邻域使得，即，因此Sc是开集。 充分性 对任意的，由于Sc是开集，因此存在x的邻域使得， 即x不是S的聚点。所以如果S有聚点，它就一定属于S.