（十八）数学分析2考试试题 一、叙述题：（每小题6分，共18分） 牛顿-莱不尼兹公式 收敛的cauchy收敛原理 全微分 计算题：（每小题8分，共32分） 1、 2、求由曲线和围成的图形的面积和该图形绕x轴旋转而成的几何体的体积。 3、求的收敛半径和收敛域，并求和 4、已知 ，求 三、（每小题10分，共30分） 1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数 2、讨论反常积分的敛散性 3、讨论函数列的一致收敛性 四、证明题（每小题10分，共20分） 1、设，证明发散 2、证明函数 在（0，0）点连续且可偏导，但它在该点不可微。， 参考答案 一、1、设在连续，是在上的一个原函数，则成立 2、使得，成立 3、设为开集，是定义在上的二元函数，为中的一定点，若存在只与点有关而与无关的常数A和B，使得则称函数f在点处是可微的，并称为在点处的全微分 二、1、分子和分母同时求导 （8分） 、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分） 所求的面积为：（3分） 所求的体积为：（3分） 解：设，，收敛半径为1，收敛域 [-1，1]（2分）(3分） x=0级数为0，x=1，级数为1，x=-1，级数为1-2ln2（3分） 4、解： =（3分）(5分） 三、1、解、有比较判别法，Cauchy,D’Alembert,Raabe判别法等（应写出具体的内容4分） （4分）由D’Alembert判别法知级数收敛（1分） 2、解：（2分），对，由于故p>0时收敛（4分）；，由于（4分）故对一切的p收敛，综上所述p>0，积分收敛 3、解：收敛于（4分）所以函数列一致收敛性（6分） 四、证明题（每小题10分，共20分） 1、证明：（6分） 发散，由比较判别法知级数发散（4分） 2、证明：（4分）=0所以函数在（0，0）点连续，（3分）又，存在切等于0，（4分）但不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分） （十九）数学分析2考试题 叙述题：(每小题5分，共10分） 叙述反常积分为奇点收敛的cauchy收敛原理 二元函数在区域D上的一致连续 计算题：（每小题8分，共40分） 1、 2、求摆线与x轴围成的面积 3、求 4、求幂级数的收敛半径和收敛域 5、， 求 讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、，求；是否存在？为什么？ 2、讨论反常积分的敛散性。 3、讨论的敛散性。 证明题：（每小题10分，共20分） 设f（x）在[a,b]连续，但不恒为0，证明 设函数u和v可微，证明grad(uv)=ugradv+vgradu 参考答案 1、使得，成立 2、设为点集，为映射，使得，成立 二、1、由于在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分） =（6分） 、所求的面积为：（8分） 解： (3分） 4、解：，r=1（4分） 由于x=0，x=2时，级数均收敛，所以收敛域为[0，2]（4分） 5、解： =（3分）（5分） 三、1、解、 （5分）由于沿趋于（0，0）极限为所以重极限不存在（5分） 2、解：（2分），对，由于故p<2时收敛（4分）；，由于（4分）故p>1收敛，综上所述1<p<2，积分收敛 3、解：所以级数收敛（10分） 四、证明题（每小题10分，共20分） 1、证明：由但不恒为0，至少有一点 f（x）在[a,b]连续（2分），存在包含x0的区间，有（4分），（4分） 2、证明：以二元函数为例（10分） （二十）数学分析2考试题 叙述题：（每小题5分，共15分） 1、定积分 2、连通集 3、函数项级数的一致连续性 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 2、求三叶玫瑰线围成的面积 3、求的上下极限 4、求幂级数的和 5、为可微函数， 求在极坐标下的表达式 讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知，求，问是否存在？为什么？ 2、讨论反常积分的敛散性。 3、讨论的一致收敛性。 证明题：（每小题10分，共20分） 设f（x）在[a,+∞）上单调增加的连续函数，，记它的反函数f--1（y），证明 设正项级数收敛，证明级数也收敛 参考答案 一、1、设有定数I，使得对任意的分法 和任意的点，只要，成立 S的任意两点x，y之间，都存在S中的一条道路r，则称S为连通集 3、使得，成立 二、1、（5分）（2分） 由对称性知，所求的面积为：（7分） 解：上极限为0.5，下极限为 (7分） 4、解：，r=2（3分） 收敛域为（-3，1），级数的和为（4分）， 5、解： 设极坐标方程为=（5分）=（2分） 三、1、解、由于有界，为无穷小，0 （5分） ，而极限不存在，极限存在，故整体极限不存在，同理不存在（5分） 2、解：（2分），对，由于故时收敛（4分）；，由于（4分）故收敛，综上所述，时，积分收敛（2分） 3、解：（3分），所以函数列一致收敛（7分） 四、证明题（每小题10分，共20分） 1 证明：当时，（4分） 当时，（3分） 当时，（3分） 2、证明：由于收敛，故（2分），于是，总存在使得时，有，从而，当时，有（5分），由于级数收敛，当然收敛，故级数收敛，从而也收敛（3分）