第七章 机械的运动及其速度波动 的调节
◆ 机械的运动方程式
◆ 机械运动方程式的求解
◆ 稳定运转状态下机械的周期性速
度
波动及其调节
◆ 机械的非周期性速度波动及其调
节
◆ 了解机器运动和外力的定量关系
◆ 了解机器运动速度波动的原因、特点、
危害
◆ 掌握机器运动速度波动的调节方法
本章教学目的
本章教学内容 本章重点：
? 等效质量、等效转动惯
量、等效力、等效力矩
的概念及其计算方法；
? 机械运动产生速度波动
的原因及其调节方法。
难点：
计算飞轮转动惯量时最大
盈亏功的计算。
§ 7-1 概述
一．研究目的和内容
1,由于机械的运动规律是由各构件的质量, 转动惯量和作用
力等因素决定的, 随时间变化而变化, 要对机械进行精确的运
动分析和力分析, 就要 研究在外力作用下, 机械的真实运动规
律 。
2,由于机械在运动过程中会出现速度波动, 导致运动副产生
附加动压力, 并引起振动, 从而降低机械使用寿命, 效率和工
作质量, 因此需 研究机械运转过程中, 速度的波动及其调节方
法 。
运动分析时，都假定原动件作匀速运动，实际上是多个参
数的函数。
二．机械运转的三个阶段
1,起动阶段 —— 原动件的速度由零逐渐上升到开始稳定的过程。
ω
ω
起动 稳定运转 停车
图11-1
根据动能定理
Wd－ Wc=E
驱动功 阻抗功
输出功
Wr和损
失功 Wf
之和
动能
?功 (率 )特征,外力对系统做正功 Wd-Wc>0
?动能特征,系统的动能增加 E=Wd-Wc>0
?速度特征,系统的速度增加 ?=0??m
ω
ω
起动 稳定运转 停车
图11-1
2,稳定运转阶段 ——
原动件速度保持常数或
在正常工作速度的平均
值上下作周期性的速度
波动 。
?功 (率 )特征,Wd-Wc?T=0
?动能特征,E= Wd-Wc?T=0
?速度特征,?T=?T+1
此阶段分两种情况：
① ? ?常数, 但在正常工作速度的平均值 ?m上下作周期性速度
波动 —— 周期变速稳定运转
② ? =常数 —— 等速稳定运转
ω
ω
起动 稳定运转 停车
图11-1
3,停车阶段 ——
驱动力为零, 机械
系统由正常工作速
度逐渐减速, 直到
停止 。
?功 (率 )特征,Wd-Wc= -Wc
?动能特征,E= Wd-Wc= -Wc<0
?速度特征,?i+1< ?i
三．作用在机械上的力
1,作用在机械上力的的种类
内力
外力
惯性力
驱动力
生产阻力
重力
2,驱动力和生产阻力
?驱动力 —— 由原动机产生。其变化规律决定于原动机的
机械特性 。
原动机的机械特性,原动机发出的驱动力与运动参数（位移、
速度或时间）之间的关系称为原动机的机械特性。
不同的原动机具有不同的机械特性。
)(vfF ? )(?fM ?或
—— 反力、摩擦力
?交流异步电动机机械特性
曲线 —— 驱动力是转动速度
的函数 。
其特征曲线可以用一条通过 N点和
C点的直线近似代替 。 直线方程为：
? ? ? ?nnd MM ???? ??? 00 / ?
M
0?
n?
A
C
B
N
?
O
?直流电机机械特性曲线
—— 驱动力是转动速度的函数 。
?
M
O
直流串
激电机
直流并
激电机
Mn,电动机的额定转矩；
?n：电动机的额定角速度；
?o：电动机的同步角速度；
Md,?,任意点的驱动力矩和角速度
?内燃机的机械 特性曲线
—— 驱动力是转动位置的函数 。
?
M
?工作阻力 —— 机械工作时需要克服的工作负荷，
它决定于机械的工艺特性。
1）生产阻力常数
3）生产阻力是速度的函数2）生产阻力是位移的函数
4）生产阻力是时间的函数
§ 7-2 机械的运动方程式
一．机械运动方程式的一般表达式
机械运动方程式 —— 机械上的力, 构件的质量, 转动惯量和
其运动参数之间的函数关系 。
对于单自由度机械系统采用 动能定理 建立运动方程式 。
即,dE = dW
1,建立机械运动方程式的基本原理
动能定理 —— 机械系统在某一瞬间 (dt)内动能的增量 (dE)
应等于在该瞬间内作用于该机械系统的各外
力所作的元功 (dW)之和 。
2,机械运动方程式的一般表达式
dE = dW
如果机械系统由 n个构件组成, 作用在构件 i上的作用力为 Fi，
力矩为 Mi, 力 Fi作用点的速度为 vi, 构件的角速度为 ?i, 则机
构的总动能为
? ? ? ? ? ?? ????????
????
n
i SiiiSi
n
i Sii
n
i iSi
n
i i
vmJvmJEE
1
22
1
2
1
2
1 2
1212121 ??
机构在 dt时间内的 动能增量, ? ?? ?
? ?? ?ni SiiiSi vmJddE 1 22 2121 ?
机构上所有外力在 dt时间内作的 功,
? ?? ?ni iiiii dtMvFdW 1 )]c o s([ ??
? ? ???
? ?
n
i
n
i iiiiiiSiSii
dtMvFJvmd
1 1
22 )]c o s([)]
2
1
2
1([ ???
机械运动方程式的一般表达式
曲柄滑块机构中：
已知,J1； m2,JS2； m3； M1,F3 。
设,?1,?2,vs2,v3 。
)21212121( 2332222 22211 vmJvmJddE SSS ???? ??
P d tdtvFMdW ??? )( 3311?
机械运动方程式：
dtvFMvmJvmJd SSS )()21212121( 33112332222 22211 ????? ???
eM
eJ
二．机械系统的等效动力学模型
选曲柄 1的转角 ?1为独
立的广义坐标 （ 单自由度
系统 ）, 可将上式改写 。
dtvFMvmJvmJd SSS )()21212121( 33112332222 22211 ????? ???
dtvFMvmvmJJd SSS ?????? ?????????????? ?????? ?????????????????????
1
3
311
2
1
3
3
2
1
2
2
2
1
2
21
2
1
2 ?????
??
等效转动惯量 )( 1?ee JJ ? 等效力矩
),,( 11 tMM ee ???
用等效转动惯量 （ Je） 和等效力矩 （ Me） 表示的机械运动方程式
的一般表达式为
dttMJd ee 111211 ),,(])(21[ ????? ?
一个单自由度机械系统的运动,
可以等效为一个具有等效转动
惯量 Je(?),在其上作用有等效
力矩 Me(?,?,t)的假想简单构件
的运动, 该假想的构件称为 等
效构件, 也称为原机械系统的
等效动力学模型 。
等效转动惯量, 等效力矩是机构位置的函数,
与速比有关, 与机构的真实速度无关 。注意！
eFem
等效构件也可选用移动构件 。 在上图所示的曲柄滑块机构中, 如
选取滑块 3为等效构件 (其广义坐标为滑块的位移 s3),运动方程式
可改写成下列形式：
? ?? ?dtFvMvmvJvvmvJvd SSS 3
3
1
133
2
3
2
2
2
3
2
2
2
3
1
1
2
3 )()()(
2 ????
?
??
?
??
?
??
? ??? ???
等效质量 )( 3smm ee ? 等效力 ),,( 33 tvsFF ee ?
用等效转质量 （ me） 和等效力 （ Fe） 表示的机械运动方程式的一
般表达式为
dtvtvsFvsmd ee 333233 ),,(])(21[ ?
曲柄滑块机构
等效力学模型
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
???
?
?
??
?
???
?
??
?
???
?
??
?
???
1
3
31
2
1
3
3
2
1
2
2
2
1
2
21
?
???
?
v
FMM
v
m
v
mJJJ
e
S
SSe
? ???
?
?
?
??
????
3
3
1
1
3
2
3
2
2
2
3
2
2
2
3
1
1 )()()(
F
v
MF
m
v
J
v
v
m
v
Jm
e
S
S
Se
?
??
等效质量, 等效力也是机构位置的函数, 与
速比有关, 与机构的真实速度无关 。注意！
等效转动惯量 ? ?
?
??
?
? ?
????????????? ?
n
i
iSiSiie JvmJ
1
22
?
?
?
等效力矩 ? ?????? ??????????????
?
n
i
iSiiiie MvFM
1
2c o s
?
?
??
等效质量 ? ?????? ??????????????
?
n
i
iSiiSie vJvvmm
1
22 ?
等效力 ? ?????? ??????????????
?
n
i
iiiiie MvFF
1 c o s ?
???
一般推广
1）取转动构件为等效构件
2）取移动构件为等效构件
?等效条件：
1） me (或 Je)的等效条件 —— 等效构件的 动能 应 等于原机械系
统的总动能 。
2） Fe (或 Me)的等效条件 —— 等效力 Fe (或等效力矩 Me)的 瞬
时功率 应 等于原机构 中所有外力在同一瞬时 的功率 代数和 。
一般意义的等效动力学模型
等效质量
(转动惯量 ) ? ?????? ?????????????? ?
n
i
iSiSiie JvmJ
1
22
?
?
?
等效力 (矩 ) ? ?
?
??
?
? ?
????????????? ?
n
i
iSiiiie MvFM
1
2c o s
?
?
??
? ?????? ??????????????
?
n
i
iSiiSie vJvvmm
1
22 ?
? ?????? ?????????????? ?ni iiiiie MvFF 1 c o s ????
等效力 (矩 )的特征：
? 等效力 (矩 )是一个假想力 (矩 )；
? 等效力 (矩 )为正, 是等效驱动力 (矩 ),反之,
为等效阻力 (矩 )；
? 等效力 (矩 )不仅与外力 (矩 )有关, 而且与各
构件相对于等效构件的速度比有关；
? 等效力 (矩 )与机械系统驱动构件的真实速度
无关 。
? 等效质量 (转动惯量 )是一个假想质量 (转动
惯量 )；
? 等效质量 (转动惯量 )不仅与各构件质量和转
动惯量有关, 而且与各构件相对于等效构
件的速度比平方有关；
? 质量 (转动惯量 )与机械系统驱动构件的真实
速度无关 。
质量 (转动惯量 )的特征：
例,已知 z1= 20,z2 = 60,J1,J2、
m3,m4,M1,F4及曲柄长为 l,现
取曲柄为等效构件 。 求图示位置时
的 Je,Me。
解
22224222322121 )/s i n()/()/( ????? lmlmJzzJJ e ????故
22242321 s i n9 ?lmlmJJ ????
)/(180c o s)/( 244211 ??? vFMM e ???
2412224121 s i n3)/s i n()/( ???? lFMlFzzM ????
lvv C 23 ???
CDDC vvv ??? ??
等效转动惯量 ? ?
?
??
?
? ?
?
??
?
???
?
??
?
??
?
n
i
iSiSiie JvmJ
1
22
?
?
?
等效力矩 ?
?????? ?????????????? ?
n
i
iSiiiie MvFM
1
2
c o s ????
2244223322211 )/()/()/( ???? vmvmJJJ e ????
)/(1 8 0co s)/( 244211 ??? vFMM e ???
2224 s i ns i n ??? lvvv CD ???
均为机
构位置
的函数
三．机械运动方程式的表达
1,机械运动方程的一般表达式
对于由 n个活动构件所组成机械系统, 可得其运动方程式的一般
表达式为
? ? ???
? ?
n
i
n
i iiiiiiSiSii
dtMvFJvmd
1 1
22 )]c o s([)]
2
1
2
1([ ???
由于机械运动方程的一般表达式比较繁琐，也不便求解，所以机械的真实运
动可通过建立等效构件的运动方程式求解。
2,能量形式的运动方程式
?以回转构件为等效构件时 dttMJd
ee ????? ),,(])(2
1[ 2 ?
????? dMdttMJd eee ???????? ),,(2
2
????? dMdttMJd eee ???????? ),,(2
2
eee Md
dJ
d
dJ ??
?
?
?
?
2
)2/( 22
dt
d
dt
d
d
dt
dt
d
d
d
?
?
??
?
?
?
?
??
?
1
)2/()2/( 22
ee Md
Jd ?
?
? )2/( 2
eee Md
dJ
dtdJ ?? ??? 2
2
能量微分形式的
机械运动方程式
积分可得 能量积分形
式的机械运动方程式 ??? ?? ???
0
2002 2121 dMJJ eee
?以移动构件为等效构件时，同理可得类似的运动方程
eee Md
dJ
dtdJ ?? ??? 2
2
能量积分形式的
机械运动方程式 ??? ?? ??? 02002 2121 dMJJ eee
能量微分形式的
机械运动方程式
?以回转构件为等效构件时
??? ss eee dsFvmvm 02002 2121
能量积分形式的
机械运动方程式
eee Fds
dmv
dtdvm ?? 2
2
能量微分形式的
机械运动方程式
以上三种方程形式在解决不同的问题时, 具有不同的作用, 可以灵活运用 。
—— 力矩形式
—— 力矩形式
—— 动能形式
—— 动能形式
§ 7-3 机械运动方程式的求解
一．等效转动惯量和等效力矩均为位置的函数时
Je = Je(?),Me = Me(?)
??? ?? ?????? 0 )(21)()(21 2002 dMJJ eee
应用机械运动方程式的 动能形式, 有
)(t?? ?
)()()(2)( 0200 ???????? ?? ???? dMJJ J e
ee
e
dtd /)( ??? ?
??? ?? ?? ?00 )(ddttt
??? ?? ?? ?0 )(0 dtt
???????? dddtddddtd ???
等效构件的角加速度
假设 Me = 常数,Je = 常数。应用 力矩形式, 有
ee MdtdJ ?/?
ee JMdtd /?? ??
如果已知边界条件为：当 t = t0 时, ?= ?0,?= ?0,则由上
式积分可得
t??? ?? 0
再次积分即可得 2/2
00 tt ???? ???
二．等效转动惯量是常数，等效力矩是速度的
函数时 Je =常数, Me = Me(?)
应用机械运动方程式的 力矩形式,有
dtdJMMM eerede /)()()( ???? ???
)(/ 2 ?? MdJdt e?
??? ?? ??0 )(0
ee M
dJtt
设 t = t0= 0 时,?0= 0，则
?? ? ??0 )(
ee M
dJt
积分得 ??? tt dtt
0 )(0 ???
设 t0= 0 时,φ0= 0，则 ?? t dtt
0 )(??
dtd /?? ?
dtdt ???? ?? 时，可利用式欲求 )(
三．等效转动惯量是位置的函数，等效力矩是位
置和速度的函数时 Je = Je(?),Me = Me(?,?)
????? dMJd ee ),(]2/)([ 2 ?
???????? dMdJdJ eee ),()(2/)( 2 ??
将转角 ?等分为 n个微小的转角, 其
中每一份为
),,2,1,0(1 niii ???? ? ????
ii iiii iiei J
JJ
J
M ?
?
?????
2
3),( 1
1 ??
???
应用机械运动方程式的 微分形式,有
????
????
),(
)(2/)( 121
iie
iiiiiii
M
JJJ
?
??? ??
§ 7-4 稳定运转状态下机械的周期性
速度波动及其调节
一．产生周期性速度波动的
原因
作用在机械上的驱动力矩 Md (?)和阻力矩
Mr (?)往往是原动机转角的周期性函数 。
Med
?a
Mer
?a
Med M
er
a b c d e a' ?
在一个运动循环内, 驱动力矩 和 阻力矩 所
作的功分别为：
??? ?? dMW a edd ?? )()(
?? ?? ??? a dMW er )()(
机械动能的增量为：
22
2
1)()(
2
1
)]()([)()(
aeae
eredrd
JJ
dMMWWE
a
????
?????? ??
??
? ????
Med M
er
a b c d e a' ?
?盈功,?E >0, 用, +”号表示 。
?亏功,?E <0, 用, -”号表示 。
?在盈功区, 等效构件的 ??
?在亏功区, 等效构件的 ??
在一个公共周期内,Wd = Wr
02/2/
)(
22 ???
? ??
?
?
aeaaea
a
a
ered
JJ
dMME
??
??
Me和 Je的公共周期 —— TM?TJ；
在其始末 Me和 Je分别相同
说明经过一个运动循环之后, 机械又回复到初始状态,其运转
速度呈现周期性波动 。
?
E
?
?
二, 周期性速度波动的调节
1,速度波动程度的衡量指标
ω
φ
O φ
T
ω
m
in
ω
m
in ω
m
ax
ω
m
ax
(1),平均角速度 ?m
(2),角速度的变化量 ?max-?min
可反映 机械速度波动的绝对量, 但不能反映机械运转的不均匀程度 。
2 )( mi nma x ??? ??m
?例如：当 ?max- ?min=5rad/s时, 对于 ?m =10 rad/s 和 ?m =100rad/s的机械,
低速机械的速度波动要明显一些 。
(3),速度不均匀系数 ?,角速度变化量和其平均角速度的比值。
工程上用来表示机械运转的速度波动程度。
m?
??? m i nm a x ??
对于不同的机器, 因工作性质不同, ? 的要求也不同, 故规定
有许用值 [?] 。
常用机械运转不均匀系数的许用值 [?]
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
22
m i n
2
m a x
m i n
m a x
2
)
2
1(
)
2
1(
m
m
m
????
?
??
?
??
2
)( mi nma x ??? ??
m
m??? /)( m i nm a x ??
上述各速度量间的关系：
? ??? ?
2,周期性速度波动的调节
??? ?? 一定eM ??? ?eJ 机械运转平稳?
e
eJM???
为了减少机械运转时产生的周期性速度
波动, 常用的方法是在机械中 安装具有
较大转动惯量 JF的飞轮 来进行调节 。
?飞轮相当于一个储能器。
?当机械出现盈功时, 它以动能的形式将多余的能量储存
起来, 使主轴角速度上升幅度减小；
?当出现亏功时, 它释放其储存的能量, 以弥补能量的不
足, 使主轴角速度下降的幅度减小 。
3,飞轮设计的基本原理 Med Mer
a b c d e a' ?
?
E
?
?
? ?? m a xm i n )]()([m a x ???? ???? dMMW ered
2m i n2m a x 2121 ?? ee JJ ??
?最大盈亏功 ?Wmax —— Emax和 Emin的
位置之间所有外力作的功的代数和 。
m inm ax EE ??
))((21 m i nm a xm i nm a x ???? ??? eJ ?? 2meJ?
2
m a x
meJ
W
?
?? ??
?在 Emax处,?max 对应的 ?角记作 ??max
max??
?在 Emin处,?min 对应的 ?角记作 ??min
min??
??Wmax的求法 —— 能量指示图法
能量指示图,以 a点为起点, 按一定
比例用向量线段依次表示相应位置
Med和 Mer之间所包围的面积 Aab、
Abc,Acd,Ade和 Aea?的大小和正负的
图形 。
Med M
er
a b c d e a' ?
?
E
?
?
0 0a
b
abA
c
bcA
d
cdA
e
deA
a?
aeA? maxA
Amax 代表最大盈亏功 ?Wmax的大小
?飞轮转动惯量 JF的计算,
e
m
e
m
F J
WJWJ ?????
][2
m a x
2
m a x
??
?
??
?
??? ?? ?? Fe JJ ][2 m a x???
m
F
WJ ?
][?? ?
)(2 m a x Fem JJ
W
?? ?
??
?????? ?? mrn ?代替用 m i n )/( ][9 0 0 22 m a x?? ?n WJ F ?
结论：
1) 当 ?Wmax与 ?m一定时，如 [?]取值很小，则飞轮的转动惯量就
需很大。 所以，过分追求机械运动速度 均匀性，将会使飞轮
过于笨重。
2) JF 不可能为无穷大,所以 [?]不可能为零。 即 周期性速度只能
减小，不可能消除。
3) 当 ?Wmax 与 [?]一定时,JF与 ?m的平方成反比。所以，最好 将
飞轮安装在机械的高速轴上。
?
400
M（ N·m ）
?0 2?
Mr
例,等效阻力矩 Mr变化曲线如图示，
等效驱动力矩 Md为常数，
?m=100 rad/s, [?]=0.05,
不计机器的等效转动惯量 J 。
求,1） Md=?；
2） ?Wmax=?；
3）在图上标出 ??max和 ??min的位置；
4） JF =? 。
解,1） Md ?2?=（ 2??400） /2
Md = 200 N·m
Md
200 a b c a′
?/2 3?/2
a
b（ 50?）
c（ -50?）
a′
??max ??min
2）画能量指示图
3） ??max和 ??min的位置如图示
22
2 /628.005.0100
100 smKg ??
??
?
][)4 2
m a x
??
?
m
F
WJ ?
?Wmax= -100 ? N·m
本 章 总 结
一、重点
1．机械系统 等效动力学模型的概念 ；
2．等效转动惯量、等效质量、等效力矩、等效力的概念及 计算方法；
3．机械运转速度波动及其调节方法,飞轮转动惯量的计算 。
二、难点
1．等效转动惯量（等效质量）、等效力矩（等效力）的计算
为了计算等效转动惯量（等效质量）、等效力矩（等效力），可以从等效构
件的动能与原机械系统的动能相等，以及等效力矩（等效力）的瞬时功率与
原机械系统的所有外力的瞬时功率之和相等入手求解。
2．最大盈亏功 ?Wmax的计算
最大盈亏功 ?Wmax是指机械系统在一个运动循环中动能变化的最大差值，即
一个运动循环中最大角速度与最小角速度之间盈功与亏功的代数和，所以其
大小不一定等于系统盈功或亏功的最大值，应根据能量指示图来确定。
◆ 机械的运动方程式
◆ 机械运动方程式的求解
◆ 稳定运转状态下机械的周期性速
度
波动及其调节
◆ 机械的非周期性速度波动及其调
节
◆ 了解机器运动和外力的定量关系
◆ 了解机器运动速度波动的原因、特点、
危害
◆ 掌握机器运动速度波动的调节方法
本章教学目的
本章教学内容 本章重点：
? 等效质量、等效转动惯
量、等效力、等效力矩
的概念及其计算方法；
? 机械运动产生速度波动
的原因及其调节方法。
难点：
计算飞轮转动惯量时最大
盈亏功的计算。
§ 7-1 概述
一．研究目的和内容
1,由于机械的运动规律是由各构件的质量, 转动惯量和作用
力等因素决定的, 随时间变化而变化, 要对机械进行精确的运
动分析和力分析, 就要 研究在外力作用下, 机械的真实运动规
律 。
2,由于机械在运动过程中会出现速度波动, 导致运动副产生
附加动压力, 并引起振动, 从而降低机械使用寿命, 效率和工
作质量, 因此需 研究机械运转过程中, 速度的波动及其调节方
法 。
运动分析时，都假定原动件作匀速运动，实际上是多个参
数的函数。
二．机械运转的三个阶段
1,起动阶段 —— 原动件的速度由零逐渐上升到开始稳定的过程。
ω
ω
起动 稳定运转 停车
图11-1
根据动能定理
Wd－ Wc=E
驱动功 阻抗功
输出功
Wr和损
失功 Wf
之和
动能
?功 (率 )特征,外力对系统做正功 Wd-Wc>0
?动能特征,系统的动能增加 E=Wd-Wc>0
?速度特征,系统的速度增加 ?=0??m
ω
ω
起动 稳定运转 停车
图11-1
2,稳定运转阶段 ——
原动件速度保持常数或
在正常工作速度的平均
值上下作周期性的速度
波动 。
?功 (率 )特征,Wd-Wc?T=0
?动能特征,E= Wd-Wc?T=0
?速度特征,?T=?T+1
此阶段分两种情况：
① ? ?常数, 但在正常工作速度的平均值 ?m上下作周期性速度
波动 —— 周期变速稳定运转
② ? =常数 —— 等速稳定运转
ω
ω
起动 稳定运转 停车
图11-1
3,停车阶段 ——
驱动力为零, 机械
系统由正常工作速
度逐渐减速, 直到
停止 。
?功 (率 )特征,Wd-Wc= -Wc
?动能特征,E= Wd-Wc= -Wc<0
?速度特征,?i+1< ?i
三．作用在机械上的力
1,作用在机械上力的的种类
内力
外力
惯性力
驱动力
生产阻力
重力
2,驱动力和生产阻力
?驱动力 —— 由原动机产生。其变化规律决定于原动机的
机械特性 。
原动机的机械特性,原动机发出的驱动力与运动参数（位移、
速度或时间）之间的关系称为原动机的机械特性。
不同的原动机具有不同的机械特性。
)(vfF ? )(?fM ?或
—— 反力、摩擦力
?交流异步电动机机械特性
曲线 —— 驱动力是转动速度
的函数 。
其特征曲线可以用一条通过 N点和
C点的直线近似代替 。 直线方程为：
? ? ? ?nnd MM ???? ??? 00 / ?
M
0?
n?
A
C
B
N
?
O
?直流电机机械特性曲线
—— 驱动力是转动速度的函数 。
?
M
O
直流串
激电机
直流并
激电机
Mn,电动机的额定转矩；
?n：电动机的额定角速度；
?o：电动机的同步角速度；
Md,?,任意点的驱动力矩和角速度
?内燃机的机械 特性曲线
—— 驱动力是转动位置的函数 。
?
M
?工作阻力 —— 机械工作时需要克服的工作负荷，
它决定于机械的工艺特性。
1）生产阻力常数
3）生产阻力是速度的函数2）生产阻力是位移的函数
4）生产阻力是时间的函数
§ 7-2 机械的运动方程式
一．机械运动方程式的一般表达式
机械运动方程式 —— 机械上的力, 构件的质量, 转动惯量和
其运动参数之间的函数关系 。
对于单自由度机械系统采用 动能定理 建立运动方程式 。
即,dE = dW
1,建立机械运动方程式的基本原理
动能定理 —— 机械系统在某一瞬间 (dt)内动能的增量 (dE)
应等于在该瞬间内作用于该机械系统的各外
力所作的元功 (dW)之和 。
2,机械运动方程式的一般表达式
dE = dW
如果机械系统由 n个构件组成, 作用在构件 i上的作用力为 Fi，
力矩为 Mi, 力 Fi作用点的速度为 vi, 构件的角速度为 ?i, 则机
构的总动能为
? ? ? ? ? ?? ????????
????
n
i SiiiSi
n
i Sii
n
i iSi
n
i i
vmJvmJEE
1
22
1
2
1
2
1 2
1212121 ??
机构在 dt时间内的 动能增量, ? ?? ?
? ?? ?ni SiiiSi vmJddE 1 22 2121 ?
机构上所有外力在 dt时间内作的 功,
? ?? ?ni iiiii dtMvFdW 1 )]c o s([ ??
? ? ???
? ?
n
i
n
i iiiiiiSiSii
dtMvFJvmd
1 1
22 )]c o s([)]
2
1
2
1([ ???
机械运动方程式的一般表达式
曲柄滑块机构中：
已知,J1； m2,JS2； m3； M1,F3 。
设,?1,?2,vs2,v3 。
)21212121( 2332222 22211 vmJvmJddE SSS ???? ??
P d tdtvFMdW ??? )( 3311?
机械运动方程式：
dtvFMvmJvmJd SSS )()21212121( 33112332222 22211 ????? ???
eM
eJ
二．机械系统的等效动力学模型
选曲柄 1的转角 ?1为独
立的广义坐标 （ 单自由度
系统 ）, 可将上式改写 。
dtvFMvmJvmJd SSS )()21212121( 33112332222 22211 ????? ???
dtvFMvmvmJJd SSS ?????? ?????????????? ?????? ?????????????????????
1
3
311
2
1
3
3
2
1
2
2
2
1
2
21
2
1
2 ?????
??
等效转动惯量 )( 1?ee JJ ? 等效力矩
),,( 11 tMM ee ???
用等效转动惯量 （ Je） 和等效力矩 （ Me） 表示的机械运动方程式
的一般表达式为
dttMJd ee 111211 ),,(])(21[ ????? ?
一个单自由度机械系统的运动,
可以等效为一个具有等效转动
惯量 Je(?),在其上作用有等效
力矩 Me(?,?,t)的假想简单构件
的运动, 该假想的构件称为 等
效构件, 也称为原机械系统的
等效动力学模型 。
等效转动惯量, 等效力矩是机构位置的函数,
与速比有关, 与机构的真实速度无关 。注意！
eFem
等效构件也可选用移动构件 。 在上图所示的曲柄滑块机构中, 如
选取滑块 3为等效构件 (其广义坐标为滑块的位移 s3),运动方程式
可改写成下列形式：
? ?? ?dtFvMvmvJvvmvJvd SSS 3
3
1
133
2
3
2
2
2
3
2
2
2
3
1
1
2
3 )()()(
2 ????
?
??
?
??
?
??
? ??? ???
等效质量 )( 3smm ee ? 等效力 ),,( 33 tvsFF ee ?
用等效转质量 （ me） 和等效力 （ Fe） 表示的机械运动方程式的一
般表达式为
dtvtvsFvsmd ee 333233 ),,(])(21[ ?
曲柄滑块机构
等效力学模型
?
?
?
??
?
?
?
?
??
?
???
?
?
??
?
???
?
??
?
???
?
??
?
???
1
3
31
2
1
3
3
2
1
2
2
2
1
2
21
?
???
?
v
FMM
v
m
v
mJJJ
e
S
SSe
? ???
?
?
?
??
????
3
3
1
1
3
2
3
2
2
2
3
2
2
2
3
1
1 )()()(
F
v
MF
m
v
J
v
v
m
v
Jm
e
S
S
Se
?
??
等效质量, 等效力也是机构位置的函数, 与
速比有关, 与机构的真实速度无关 。注意！
等效转动惯量 ? ?
?
??
?
? ?
????????????? ?
n
i
iSiSiie JvmJ
1
22
?
?
?
等效力矩 ? ?????? ??????????????
?
n
i
iSiiiie MvFM
1
2c o s
?
?
??
等效质量 ? ?????? ??????????????
?
n
i
iSiiSie vJvvmm
1
22 ?
等效力 ? ?????? ??????????????
?
n
i
iiiiie MvFF
1 c o s ?
???
一般推广
1）取转动构件为等效构件
2）取移动构件为等效构件
?等效条件：
1） me (或 Je)的等效条件 —— 等效构件的 动能 应 等于原机械系
统的总动能 。
2） Fe (或 Me)的等效条件 —— 等效力 Fe (或等效力矩 Me)的 瞬
时功率 应 等于原机构 中所有外力在同一瞬时 的功率 代数和 。
一般意义的等效动力学模型
等效质量
(转动惯量 ) ? ?????? ?????????????? ?
n
i
iSiSiie JvmJ
1
22
?
?
?
等效力 (矩 ) ? ?
?
??
?
? ?
????????????? ?
n
i
iSiiiie MvFM
1
2c o s
?
?
??
? ?????? ??????????????
?
n
i
iSiiSie vJvvmm
1
22 ?
? ?????? ?????????????? ?ni iiiiie MvFF 1 c o s ????
等效力 (矩 )的特征：
? 等效力 (矩 )是一个假想力 (矩 )；
? 等效力 (矩 )为正, 是等效驱动力 (矩 ),反之,
为等效阻力 (矩 )；
? 等效力 (矩 )不仅与外力 (矩 )有关, 而且与各
构件相对于等效构件的速度比有关；
? 等效力 (矩 )与机械系统驱动构件的真实速度
无关 。
? 等效质量 (转动惯量 )是一个假想质量 (转动
惯量 )；
? 等效质量 (转动惯量 )不仅与各构件质量和转
动惯量有关, 而且与各构件相对于等效构
件的速度比平方有关；
? 质量 (转动惯量 )与机械系统驱动构件的真实
速度无关 。
质量 (转动惯量 )的特征：
例,已知 z1= 20,z2 = 60,J1,J2、
m3,m4,M1,F4及曲柄长为 l,现
取曲柄为等效构件 。 求图示位置时
的 Je,Me。
解
22224222322121 )/s i n()/()/( ????? lmlmJzzJJ e ????故
22242321 s i n9 ?lmlmJJ ????
)/(180c o s)/( 244211 ??? vFMM e ???
2412224121 s i n3)/s i n()/( ???? lFMlFzzM ????
lvv C 23 ???
CDDC vvv ??? ??
等效转动惯量 ? ?
?
??
?
? ?
?
??
?
???
?
??
?
??
?
n
i
iSiSiie JvmJ
1
22
?
?
?
等效力矩 ?
?????? ?????????????? ?
n
i
iSiiiie MvFM
1
2
c o s ????
2244223322211 )/()/()/( ???? vmvmJJJ e ????
)/(1 8 0co s)/( 244211 ??? vFMM e ???
2224 s i ns i n ??? lvvv CD ???
均为机
构位置
的函数
三．机械运动方程式的表达
1,机械运动方程的一般表达式
对于由 n个活动构件所组成机械系统, 可得其运动方程式的一般
表达式为
? ? ???
? ?
n
i
n
i iiiiiiSiSii
dtMvFJvmd
1 1
22 )]c o s([)]
2
1
2
1([ ???
由于机械运动方程的一般表达式比较繁琐，也不便求解，所以机械的真实运
动可通过建立等效构件的运动方程式求解。
2,能量形式的运动方程式
?以回转构件为等效构件时 dttMJd
ee ????? ),,(])(2
1[ 2 ?
????? dMdttMJd eee ???????? ),,(2
2
????? dMdttMJd eee ???????? ),,(2
2
eee Md
dJ
d
dJ ??
?
?
?
?
2
)2/( 22
dt
d
dt
d
d
dt
dt
d
d
d
?
?
??
?
?
?
?
??
?
1
)2/()2/( 22
ee Md
Jd ?
?
? )2/( 2
eee Md
dJ
dtdJ ?? ??? 2
2
能量微分形式的
机械运动方程式
积分可得 能量积分形
式的机械运动方程式 ??? ?? ???
0
2002 2121 dMJJ eee
?以移动构件为等效构件时，同理可得类似的运动方程
eee Md
dJ
dtdJ ?? ??? 2
2
能量积分形式的
机械运动方程式 ??? ?? ??? 02002 2121 dMJJ eee
能量微分形式的
机械运动方程式
?以回转构件为等效构件时
??? ss eee dsFvmvm 02002 2121
能量积分形式的
机械运动方程式
eee Fds
dmv
dtdvm ?? 2
2
能量微分形式的
机械运动方程式
以上三种方程形式在解决不同的问题时, 具有不同的作用, 可以灵活运用 。
—— 力矩形式
—— 力矩形式
—— 动能形式
—— 动能形式
§ 7-3 机械运动方程式的求解
一．等效转动惯量和等效力矩均为位置的函数时
Je = Je(?),Me = Me(?)
??? ?? ?????? 0 )(21)()(21 2002 dMJJ eee
应用机械运动方程式的 动能形式, 有
)(t?? ?
)()()(2)( 0200 ???????? ?? ???? dMJJ J e
ee
e
dtd /)( ??? ?
??? ?? ?? ?00 )(ddttt
??? ?? ?? ?0 )(0 dtt
???????? dddtddddtd ???
等效构件的角加速度
假设 Me = 常数,Je = 常数。应用 力矩形式, 有
ee MdtdJ ?/?
ee JMdtd /?? ??
如果已知边界条件为：当 t = t0 时, ?= ?0,?= ?0,则由上
式积分可得
t??? ?? 0
再次积分即可得 2/2
00 tt ???? ???
二．等效转动惯量是常数，等效力矩是速度的
函数时 Je =常数, Me = Me(?)
应用机械运动方程式的 力矩形式,有
dtdJMMM eerede /)()()( ???? ???
)(/ 2 ?? MdJdt e?
??? ?? ??0 )(0
ee M
dJtt
设 t = t0= 0 时,?0= 0，则
?? ? ??0 )(
ee M
dJt
积分得 ??? tt dtt
0 )(0 ???
设 t0= 0 时,φ0= 0，则 ?? t dtt
0 )(??
dtd /?? ?
dtdt ???? ?? 时，可利用式欲求 )(
三．等效转动惯量是位置的函数，等效力矩是位
置和速度的函数时 Je = Je(?),Me = Me(?,?)
????? dMJd ee ),(]2/)([ 2 ?
???????? dMdJdJ eee ),()(2/)( 2 ??
将转角 ?等分为 n个微小的转角, 其
中每一份为
),,2,1,0(1 niii ???? ? ????
ii iiii iiei J
JJ
J
M ?
?
?????
2
3),( 1
1 ??
???
应用机械运动方程式的 微分形式,有
????
????
),(
)(2/)( 121
iie
iiiiiii
M
JJJ
?
??? ??
§ 7-4 稳定运转状态下机械的周期性
速度波动及其调节
一．产生周期性速度波动的
原因
作用在机械上的驱动力矩 Md (?)和阻力矩
Mr (?)往往是原动机转角的周期性函数 。
Med
?a
Mer
?a
Med M
er
a b c d e a' ?
在一个运动循环内, 驱动力矩 和 阻力矩 所
作的功分别为：
??? ?? dMW a edd ?? )()(
?? ?? ??? a dMW er )()(
机械动能的增量为：
22
2
1)()(
2
1
)]()([)()(
aeae
eredrd
JJ
dMMWWE
a
????
?????? ??
??
? ????
Med M
er
a b c d e a' ?
?盈功,?E >0, 用, +”号表示 。
?亏功,?E <0, 用, -”号表示 。
?在盈功区, 等效构件的 ??
?在亏功区, 等效构件的 ??
在一个公共周期内,Wd = Wr
02/2/
)(
22 ???
? ??
?
?
aeaaea
a
a
ered
JJ
dMME
??
??
Me和 Je的公共周期 —— TM?TJ；
在其始末 Me和 Je分别相同
说明经过一个运动循环之后, 机械又回复到初始状态,其运转
速度呈现周期性波动 。
?
E
?
?
二, 周期性速度波动的调节
1,速度波动程度的衡量指标
ω
φ
O φ
T
ω
m
in
ω
m
in ω
m
ax
ω
m
ax
(1),平均角速度 ?m
(2),角速度的变化量 ?max-?min
可反映 机械速度波动的绝对量, 但不能反映机械运转的不均匀程度 。
2 )( mi nma x ??? ??m
?例如：当 ?max- ?min=5rad/s时, 对于 ?m =10 rad/s 和 ?m =100rad/s的机械,
低速机械的速度波动要明显一些 。
(3),速度不均匀系数 ?,角速度变化量和其平均角速度的比值。
工程上用来表示机械运转的速度波动程度。
m?
??? m i nm a x ??
对于不同的机器, 因工作性质不同, ? 的要求也不同, 故规定
有许用值 [?] 。
常用机械运转不均匀系数的许用值 [?]
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
22
m i n
2
m a x
m i n
m a x
2
)
2
1(
)
2
1(
m
m
m
????
?
??
?
??
2
)( mi nma x ??? ??
m
m??? /)( m i nm a x ??
上述各速度量间的关系：
? ??? ?
2,周期性速度波动的调节
??? ?? 一定eM ??? ?eJ 机械运转平稳?
e
eJM???
为了减少机械运转时产生的周期性速度
波动, 常用的方法是在机械中 安装具有
较大转动惯量 JF的飞轮 来进行调节 。
?飞轮相当于一个储能器。
?当机械出现盈功时, 它以动能的形式将多余的能量储存
起来, 使主轴角速度上升幅度减小；
?当出现亏功时, 它释放其储存的能量, 以弥补能量的不
足, 使主轴角速度下降的幅度减小 。
3,飞轮设计的基本原理 Med Mer
a b c d e a' ?
?
E
?
?
? ?? m a xm i n )]()([m a x ???? ???? dMMW ered
2m i n2m a x 2121 ?? ee JJ ??
?最大盈亏功 ?Wmax —— Emax和 Emin的
位置之间所有外力作的功的代数和 。
m inm ax EE ??
))((21 m i nm a xm i nm a x ???? ??? eJ ?? 2meJ?
2
m a x
meJ
W
?
?? ??
?在 Emax处,?max 对应的 ?角记作 ??max
max??
?在 Emin处,?min 对应的 ?角记作 ??min
min??
??Wmax的求法 —— 能量指示图法
能量指示图,以 a点为起点, 按一定
比例用向量线段依次表示相应位置
Med和 Mer之间所包围的面积 Aab、
Abc,Acd,Ade和 Aea?的大小和正负的
图形 。
Med M
er
a b c d e a' ?
?
E
?
?
0 0a
b
abA
c
bcA
d
cdA
e
deA
a?
aeA? maxA
Amax 代表最大盈亏功 ?Wmax的大小
?飞轮转动惯量 JF的计算,
e
m
e
m
F J
WJWJ ?????
][2
m a x
2
m a x
??
?
??
?
??? ?? ?? Fe JJ ][2 m a x???
m
F
WJ ?
][?? ?
)(2 m a x Fem JJ
W
?? ?
??
?????? ?? mrn ?代替用 m i n )/( ][9 0 0 22 m a x?? ?n WJ F ?
结论：
1) 当 ?Wmax与 ?m一定时，如 [?]取值很小，则飞轮的转动惯量就
需很大。 所以，过分追求机械运动速度 均匀性，将会使飞轮
过于笨重。
2) JF 不可能为无穷大,所以 [?]不可能为零。 即 周期性速度只能
减小，不可能消除。
3) 当 ?Wmax 与 [?]一定时,JF与 ?m的平方成反比。所以，最好 将
飞轮安装在机械的高速轴上。
?
400
M（ N·m ）
?0 2?
Mr
例,等效阻力矩 Mr变化曲线如图示，
等效驱动力矩 Md为常数，
?m=100 rad/s, [?]=0.05,
不计机器的等效转动惯量 J 。
求,1） Md=?；
2） ?Wmax=?；
3）在图上标出 ??max和 ??min的位置；
4） JF =? 。
解,1） Md ?2?=（ 2??400） /2
Md = 200 N·m
Md
200 a b c a′
?/2 3?/2
a
b（ 50?）
c（ -50?）
a′
??max ??min
2）画能量指示图
3） ??max和 ??min的位置如图示
22
2 /628.005.0100
100 smKg ??
??
?
][)4 2
m a x
??
?
m
F
WJ ?
?Wmax= -100 ? N·m
本 章 总 结
一、重点
1．机械系统 等效动力学模型的概念 ；
2．等效转动惯量、等效质量、等效力矩、等效力的概念及 计算方法；
3．机械运转速度波动及其调节方法,飞轮转动惯量的计算 。
二、难点
1．等效转动惯量（等效质量）、等效力矩（等效力）的计算
为了计算等效转动惯量（等效质量）、等效力矩（等效力），可以从等效构
件的动能与原机械系统的动能相等，以及等效力矩（等效力）的瞬时功率与
原机械系统的所有外力的瞬时功率之和相等入手求解。
2．最大盈亏功 ?Wmax的计算
最大盈亏功 ?Wmax是指机械系统在一个运动循环中动能变化的最大差值，即
一个运动循环中最大角速度与最小角速度之间盈功与亏功的代数和，所以其
大小不一定等于系统盈功或亏功的最大值，应根据能量指示图来确定。
