三．用解析法设计四杆机构
建立解析关系式 —— 求解所需的机构尺度参数
1,按预定的运动规律设计四杆机构
（ 1）按预定的两连架杆对应位置设计四杆机构
O
θ
θ
θ
α
φ
图6-45
已知设计要求：从动件 3和主动件 1的转角之间满足一系列对应位置关系
nif ii,、,?21),( 13 ?? ?? 分析：
设计参数 —— 杆长 a,b,c,d和 ?0, ?0
令 a/a=1,b/a=m,
c/a=n,d/a=l。
m,n,l,?0, ?0
建立直角坐标系，并标出各杆
矢，写出矢量方程
O
θ
θ
θ
α
φ
图6-45
向 x,y 轴投影，得
??
?
????
?????
)s i n (s i n)s i n (
)co s (co s)co s (
03201
03201 ????? ?????
iii
iii cba cdba
cdba ???? ???
将相对长度代入上式，并移项，得
??
?
????
?????
)s i n ()s i n (s i n
)co s ()co s (co s
01032
01032 ????? ?????
iii
iii nm nlm
将等式两边平方和，消去 ?2i,并整理得
)2/()1(
)c o s ()/()c o s ()c o s (
222
01030301
lmnl
lnn iiii
????
??????? ????????
P2
P1
P0
20103103001 )c o s ()c o s ()c o s ( PPP iiii ???????? ????????
将两连架杆的已知对应角代入上式，列方程组求解
注意,方程共有 5个待定参数, 根据解析式可解条件：
★ 当两连架杆的对应位置数 N=5时, 可以实现精确解 。
★ 当 N?5时, 不能精确求解, 只能近似设计 。
★ 当 N?5时, 可预选尺度参数数目 N0=5-N,故有无穷多解 。
注意,N=4或 5时, 方程组为非线性
例题：试设计如图所示铰
链四杆机构, 要求其两连
架杆满足如下三组对应位
置关系,? 11=45o,?31=50o,
? 12=90o,? 32=80o,? 13=135o,
? 33=110o。
分析,N=3 则 N0=2, 常选 ?0=?0=0o
求解,将三组对应位置值代入解析式得：
2
00
1
0
0
0
2
00
1
0
0
0
2
00
1
0
0
0
)135110c o s (110c o s135c o s
)9080c o s (80c o s90c o s
)4550c o s (50c o s45c o s
??
?
?
?
????
????
????
PPP
PPP
PPP P0=1.533
P1=-1.0628
P2=0.7805
?
?
?
?
?
????
??
?
)2/()1(
)/(
222
3
1
0
lmnlP
lnP
nP n= 1.533
l =1.442
m=1.783
根据结构要求, 确定曲柄长
度, 可求各构件实际长度 。
（ 2）按预期函数设计四杆机构
★ 期望函数：要求四杆机
构两连架杆转角之间实现
的函数关系 y=f(x)。
★ 再现函数：连杆机构实
际实现的函数 y=F(x)。
★ 设计方法 —— 插值逼近法
（ 1） 插值结点,再现函数和期望函数曲线的交点
（ 2） 插值逼近法,按插值结点的值来设计四杆机构
（ 3）用插值逼近法设计四杆机构的作法
在给定自变量 x0~xm区间内
选取结点, 则有 f(x)= F(x)
将结点对应值转化为
两连架杆的对应转角
代入解析方程式, 列
方程组求解未知参数
（ 4）插值结点的选取
在结点处应有 f(x)-F(x)=0
结点以外的其他位置的偏差为 0)()( ??? xFxfy?
结点数：最多为 5个
结点位置的分布根据函数逼近理论按下式选取：
偏差大小取决结点数目
和分布位置
2/)]) / ( 21(2) c o s [ 1 8 0(-) / 2( 00 mixxxxx mmi ?????
i =1,2,……, m; m为插值结点总数 。
α
α
φ 0
φ m
图6- 48
例题：如图所示，设两连架杆转角之间的对应函数关系为
y = logx,1?x?2,其设计步骤如下：
1） 根据已知条件 x0=1,xm=2；可求得 y0=log x0=0,ym=log xm=0.301。
2）根据经验取主、从动件的转角范围分别为 α m=60°,φm=90°,则自
变量和函数与转角的比例分别为
???? 60/1/)( 0 mm xx ?? ?
???? 90/301.0/)( 0 mm yy ?? ?
3）由式 （ 6-16） 求插值结点处的自变量（设总数 m=3）,则
x1=(2+1)/2-(2-1)cos[180° (2× 1-1)/(2× 3)]/2=1.067 ；
x2=1.500； x3=1.933
求结点处的函数值
y1=log1.067=0.0282； y2=0.1761； y3=0.2862
求主、从动件在结点处的相应转角
4）试取初始角 α0=86°, φ0=23.5° (一般 α0及 φ0不同时为零 )。
5）将各结点的坐标值及初始角代入式
??
??
??
57.85,98.55
65.52,30
43.8/)(,02.4/)(
33
22
0110011
??
??
??????
??
??
???? ?yyxx
20103103001 )c o s ()c o s ()c o s ( PPP iiii ???????? ????????
cos90.02° = P0cos31.93° +P1cos58.09° +P2
cos116° = P0cos76.15° +P1cos39.85° +P2
cos141.98° = P0cos109.07° +P1cos32.91° +P2
得
解得 P0= 0.568719,P1=-0.382598,P2=-0.280782
6）求机构各构件相对长度为
a =1,b=2.0899,c=0.56872,d=1.4865
7）检验偏差值 Δφ
消去 ?2，并将变量符号 ?2换为 ?,? 3换为 ?，得
b2=a2+d2+c2+2cdcos (φ+φ0) -2adcos (α+α0) -2accos[(α+α0) - (φ+φ0)]
令 A=sin（ ? + ? 0)
B=cos（ ? + ? 0)－ d/a
C= (a2+d2+c2-b2) / (2ac)d cos(? + ? 0)
则上式可化为 A=sin（ ? + ? 0)+Bcos (? + ? 0)=C
解之得 0)]/()2 ?? ????? CB222 CBAa r c t g [ ( A -
期望值为 ?? ???? /])[ l o g ( 00 yx ????
偏差为
0
00
)]/()2
/])[ l o g (
?
??????? ??
?????
??????
CB
yx
222 CBAa r c t g [ ( A -
2、按预定的连杆位置设计四杆机构
设计要求,要求连杆上某
点 M能占据一系列的预定
位置 Mi(xMi,yMi) 且连杆
具有相应的转角 ?2i 。
设计思路,建立坐标系
Oxy，将四杆机构分为左
侧双杆组和右侧双杆组分
别讨论。
连杆位置的表示
连杆上任一基点 M的坐标 (xM,yM)
连杆方位角 θ2
左侧杆组
右侧杆组
◆ 左侧双杆组分析：
??
?
?????
?????
0)s i n (s i n
0)c o s (c o s
21
21
MiiiA
MiiiA
ykay
xkax
???
???
0???? iiii OMMBABOA
由矢量封闭图得
写成分量形式为
消去 ?1i整理得
0)s i n ()()c o s ()(
2/)(
22
222222
???????
???????
iMiAiMiA
MiAMiAAAMiMi
yykxxk
yyxxakyxyx
????
式中有 5个待定参数,xA,yA,a,k,γ。
可按 5个预定位置精确求解。 N <5 时，可预选参数数目
N0=5-N，故有无穷多解。
当预定连杆位置数 N=3：
0)s i n ()()c o s ()(
2/)(
22
222222
???????
???????
iMiAiMiA
MiAMiAAAMiMi
yykxxk
yyxxakyxyx
????
可预选参数 xA,yA
0322110 ???? iii AXAXAX
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
s i n
co s
2/)(
2
1
22
0
kX
kX
akX
?
?
?
??
?
?
?
??
??
21
0
2
2
2
2
1
2
/XXtg γ
Xka
XXk
代入连杆三
组位置参数
X0,X1,X2
??
?
???
???
)s i n (
)c o s (
2
2
iMiBi
iMiBi
kyy
kxx
??
??
◆ 右侧杆组分析, 同上 可以求得右侧杆组的参数 e,c,α 及 xCi、
yCi。
??
???
????
????
22
22
)()(
)()(
DADA
ciBiciBi
yyxxd
yyxxb根据左右杆组各参数有：
3、按预定的运动轨迹设计四杆机构
设计要求,确定机构的各尺度
参数和连杆上的描点位置 M，
使该点所描绘的连杆曲线与预
定的轨迹相符。
设计思路,分别按左侧杆组
和右侧杆组的矢量封闭图形
写出方程解析式。
22
22222
s i n)]()([2
c o s)]()([2)()(
ayyexxf
yyfxxefeyyxx
AA
AAAA
?????
?????????
?
?
22
22222
s i n)]()([2
c o s)]()([2)()(
cyygxxf
yyfxxgfgyyxx
DD
DDDD
?????
?????????
?
?
联
立
求
解
左侧杆组
右侧杆组
待定参数 9个,xA,yA,xD,yD, a,c,e,f,g
在按预定轨迹设计四杆机构时
可按 9个点精确设计
常用 4~6点设计，以利于机构优化
22
22222
s i n)]()([2
c o s)]()([2)()(
ayyexxf
yyfxxefeyyxx
AA
AAAA
?????
?????????
?
?
22
22222
s i n)]()([2
c o s)]()([2)()(
cyygxxf
yyfxxgfgyyxx
DD
DDDD
?????
?????????
?
?
四．用实验法设计四杆机构
1,按两连架杆对应角位移设计四杆机构
A1 A2 A3
A4
A5
A6
A7A
9O
B1
B7
B6
B5
B4B3
B2
D
D1 D2 D
3 D
4
D5
D6
D7
设计步骤：
C
K7K
6
K1
K2K
3 K5
K4
D
2,按预定的运动轨迹设计
设计要求：
已知原动件 AB长度
及中心 A和连杆上一
点 M,要求设计四杆
机构使 M沿预定轨迹
运动 。
连杆曲线仪
连杆曲线图谱例：
小结
基本要求,了解平面连杆机构的组成及其主要优缺点；掌握平
面连杆机构的基本形式 —— 平面铰链四杆机构；了
解其演化和应用；对曲柄存在条件, 传动角, 死点,
急回运动, 行程速比系数, 运动连续性等有明确的
概念；了解平面四杆机构综合的基本命题, 掌握按
简单运动条件设计平面四杆机构的一些基本方法 。
重 点,曲柄存在条件、传动角、死点、急回运动、行程速
比系数；平面四杆机构设计的一些基本方法。
难 点,平面四杆机构最小传动角的确定；给定固定铰链中
心设计平面四杆机构；按两连架杆预定的对应位置
设计平面四杆机构等。
建立解析关系式 —— 求解所需的机构尺度参数
1,按预定的运动规律设计四杆机构
（ 1）按预定的两连架杆对应位置设计四杆机构
O
θ
θ
θ
α
φ
图6-45
已知设计要求：从动件 3和主动件 1的转角之间满足一系列对应位置关系
nif ii,、,?21),( 13 ?? ?? 分析：
设计参数 —— 杆长 a,b,c,d和 ?0, ?0
令 a/a=1,b/a=m,
c/a=n,d/a=l。
m,n,l,?0, ?0
建立直角坐标系，并标出各杆
矢，写出矢量方程
O
θ
θ
θ
α
φ
图6-45
向 x,y 轴投影，得
??
?
????
?????
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03201
03201 ????? ?????
iii
iii cba cdba
cdba ???? ???
将相对长度代入上式，并移项，得
??
?
????
?????
)s i n ()s i n (s i n
)co s ()co s (co s
01032
01032 ????? ?????
iii
iii nm nlm
将等式两边平方和，消去 ?2i,并整理得
)2/()1(
)c o s ()/()c o s ()c o s (
222
01030301
lmnl
lnn iiii
????
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P2
P1
P0
20103103001 )c o s ()c o s ()c o s ( PPP iiii ???????? ????????
将两连架杆的已知对应角代入上式，列方程组求解
注意,方程共有 5个待定参数, 根据解析式可解条件：
★ 当两连架杆的对应位置数 N=5时, 可以实现精确解 。
★ 当 N?5时, 不能精确求解, 只能近似设计 。
★ 当 N?5时, 可预选尺度参数数目 N0=5-N,故有无穷多解 。
注意,N=4或 5时, 方程组为非线性
例题：试设计如图所示铰
链四杆机构, 要求其两连
架杆满足如下三组对应位
置关系,? 11=45o,?31=50o,
? 12=90o,? 32=80o,? 13=135o,
? 33=110o。
分析,N=3 则 N0=2, 常选 ?0=?0=0o
求解,将三组对应位置值代入解析式得：
2
00
1
0
0
0
2
00
1
0
0
0
2
00
1
0
0
0
)135110c o s (110c o s135c o s
)9080c o s (80c o s90c o s
)4550c o s (50c o s45c o s
??
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PPP
PPP
PPP P0=1.533
P1=-1.0628
P2=0.7805
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222
3
1
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lmnlP
lnP
nP n= 1.533
l =1.442
m=1.783
根据结构要求, 确定曲柄长
度, 可求各构件实际长度 。
（ 2）按预期函数设计四杆机构
★ 期望函数：要求四杆机
构两连架杆转角之间实现
的函数关系 y=f(x)。
★ 再现函数：连杆机构实
际实现的函数 y=F(x)。
★ 设计方法 —— 插值逼近法
（ 1） 插值结点,再现函数和期望函数曲线的交点
（ 2） 插值逼近法,按插值结点的值来设计四杆机构
（ 3）用插值逼近法设计四杆机构的作法
在给定自变量 x0~xm区间内
选取结点, 则有 f(x)= F(x)
将结点对应值转化为
两连架杆的对应转角
代入解析方程式, 列
方程组求解未知参数
（ 4）插值结点的选取
在结点处应有 f(x)-F(x)=0
结点以外的其他位置的偏差为 0)()( ??? xFxfy?
结点数：最多为 5个
结点位置的分布根据函数逼近理论按下式选取：
偏差大小取决结点数目
和分布位置
2/)]) / ( 21(2) c o s [ 1 8 0(-) / 2( 00 mixxxxx mmi ?????
i =1,2,……, m; m为插值结点总数 。
α
α
φ 0
φ m
图6- 48
例题：如图所示，设两连架杆转角之间的对应函数关系为
y = logx,1?x?2,其设计步骤如下：
1） 根据已知条件 x0=1,xm=2；可求得 y0=log x0=0,ym=log xm=0.301。
2）根据经验取主、从动件的转角范围分别为 α m=60°,φm=90°,则自
变量和函数与转角的比例分别为
???? 60/1/)( 0 mm xx ?? ?
???? 90/301.0/)( 0 mm yy ?? ?
3）由式 （ 6-16） 求插值结点处的自变量（设总数 m=3）,则
x1=(2+1)/2-(2-1)cos[180° (2× 1-1)/(2× 3)]/2=1.067 ；
x2=1.500； x3=1.933
求结点处的函数值
y1=log1.067=0.0282； y2=0.1761； y3=0.2862
求主、从动件在结点处的相应转角
4）试取初始角 α0=86°, φ0=23.5° (一般 α0及 φ0不同时为零 )。
5）将各结点的坐标值及初始角代入式
??
??
??
57.85,98.55
65.52,30
43.8/)(,02.4/)(
33
22
0110011
??
??
??????
??
??
???? ?yyxx
20103103001 )c o s ()c o s ()c o s ( PPP iiii ???????? ????????
cos90.02° = P0cos31.93° +P1cos58.09° +P2
cos116° = P0cos76.15° +P1cos39.85° +P2
cos141.98° = P0cos109.07° +P1cos32.91° +P2
得
解得 P0= 0.568719,P1=-0.382598,P2=-0.280782
6）求机构各构件相对长度为
a =1,b=2.0899,c=0.56872,d=1.4865
7）检验偏差值 Δφ
消去 ?2，并将变量符号 ?2换为 ?,? 3换为 ?，得
b2=a2+d2+c2+2cdcos (φ+φ0) -2adcos (α+α0) -2accos[(α+α0) - (φ+φ0)]
令 A=sin（ ? + ? 0)
B=cos（ ? + ? 0)－ d/a
C= (a2+d2+c2-b2) / (2ac)d cos(? + ? 0)
则上式可化为 A=sin（ ? + ? 0)+Bcos (? + ? 0)=C
解之得 0)]/()2 ?? ????? CB222 CBAa r c t g [ ( A -
期望值为 ?? ???? /])[ l o g ( 00 yx ????
偏差为
0
00
)]/()2
/])[ l o g (
?
??????? ??
?????
??????
CB
yx
222 CBAa r c t g [ ( A -
2、按预定的连杆位置设计四杆机构
设计要求,要求连杆上某
点 M能占据一系列的预定
位置 Mi(xMi,yMi) 且连杆
具有相应的转角 ?2i 。
设计思路,建立坐标系
Oxy，将四杆机构分为左
侧双杆组和右侧双杆组分
别讨论。
连杆位置的表示
连杆上任一基点 M的坐标 (xM,yM)
连杆方位角 θ2
左侧杆组
右侧杆组
◆ 左侧双杆组分析：
??
?
?????
?????
0)s i n (s i n
0)c o s (c o s
21
21
MiiiA
MiiiA
ykay
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???
???
0???? iiii OMMBABOA
由矢量封闭图得
写成分量形式为
消去 ?1i整理得
0)s i n ()()c o s ()(
2/)(
22
222222
???????
???????
iMiAiMiA
MiAMiAAAMiMi
yykxxk
yyxxakyxyx
????
式中有 5个待定参数,xA,yA,a,k,γ。
可按 5个预定位置精确求解。 N <5 时，可预选参数数目
N0=5-N，故有无穷多解。
当预定连杆位置数 N=3：
0)s i n ()()c o s ()(
2/)(
22
222222
???????
???????
iMiAiMiA
MiAMiAAAMiMi
yykxxk
yyxxakyxyx
????
可预选参数 xA,yA
0322110 ???? iii AXAXAX
?
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Xka
XXk
代入连杆三
组位置参数
X0,X1,X2
??
?
???
???
)s i n (
)c o s (
2
2
iMiBi
iMiBi
kyy
kxx
??
??
◆ 右侧杆组分析, 同上 可以求得右侧杆组的参数 e,c,α 及 xCi、
yCi。
??
???
????
????
22
22
)()(
)()(
DADA
ciBiciBi
yyxxd
yyxxb根据左右杆组各参数有：
3、按预定的运动轨迹设计四杆机构
设计要求,确定机构的各尺度
参数和连杆上的描点位置 M，
使该点所描绘的连杆曲线与预
定的轨迹相符。
设计思路,分别按左侧杆组
和右侧杆组的矢量封闭图形
写出方程解析式。
22
22222
s i n)]()([2
c o s)]()([2)()(
ayyexxf
yyfxxefeyyxx
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c o s)]()([2)()(
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yyfxxgfgyyxx
DD
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?????
?????????
?
?
联
立
求
解
左侧杆组
右侧杆组
待定参数 9个,xA,yA,xD,yD, a,c,e,f,g
在按预定轨迹设计四杆机构时
可按 9个点精确设计
常用 4~6点设计，以利于机构优化
22
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s i n)]()([2
c o s)]()([2)()(
ayyexxf
yyfxxefeyyxx
AA
AAAA
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?????????
?
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s i n)]()([2
c o s)]()([2)()(
cyygxxf
yyfxxgfgyyxx
DD
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?????????
?
?
四．用实验法设计四杆机构
1,按两连架杆对应角位移设计四杆机构
A1 A2 A3
A4
A5
A6
A7A
9O
B1
B7
B6
B5
B4B3
B2
D
D1 D2 D
3 D
4
D5
D6
D7
设计步骤：
C
K7K
6
K1
K2K
3 K5
K4
D
2,按预定的运动轨迹设计
设计要求：
已知原动件 AB长度
及中心 A和连杆上一
点 M,要求设计四杆
机构使 M沿预定轨迹
运动 。
连杆曲线仪
连杆曲线图谱例：
小结
基本要求,了解平面连杆机构的组成及其主要优缺点；掌握平
面连杆机构的基本形式 —— 平面铰链四杆机构；了
解其演化和应用；对曲柄存在条件, 传动角, 死点,
急回运动, 行程速比系数, 运动连续性等有明确的
概念；了解平面四杆机构综合的基本命题, 掌握按
简单运动条件设计平面四杆机构的一些基本方法 。
重 点,曲柄存在条件、传动角、死点、急回运动、行程速
比系数；平面四杆机构设计的一些基本方法。
难 点,平面四杆机构最小传动角的确定；给定固定铰链中
心设计平面四杆机构；按两连架杆预定的对应位置
设计平面四杆机构等。
