§ 10-2 齿轮的齿廓曲线
?工作原理,依靠主动轮齿廓推动从动轮齿廓实现运动的传递 。
?啮合 (mesh),两条齿廓曲线的相互接触 。
?传动比 (speed ratio),两轮的瞬时角速度之比 i12=?1/?2
一．齿廓啮合的基本要求
n
n
VK
2
VK
1
?2
O2
?1
O1
K
对齿轮传动的基本要求是保证瞬时传动比：
i12=?1/?2= Const
任一瞬时（任意点 K接触）的传动比：
i12=?1/?2=？ !
VK2K1012 ??? nV KK ??
n —— 两齿廓接触点的公法矢
VK2K1 —— 两齿廓接触点间的相对速度
—— 齿廓啮合的基本方程式
vP
O1
?1
?2
O2
二．齿廓啮合的基本定律 —— Willis定律
n
n
K
P
根据三心定律可知,P点为相对瞬心。
POV P 11 ?? ?? PO 22 ?? ?
PO
POi
1
2
2
1
12 ??? ?
?
从上面的分析可看出,互相啮合的一对齿
轮在任一位置时的传动比, 都与连心线
O1O2被其啮合齿廓在接触处的公法线所分
成的两段成反比 。
该定律表明了齿轮传动比与齿廓曲线的关系。
—— 齿廓啮合基本定律
三．相关基本概念
1,啮合节点 (节点 ) (pitch point)
两齿廓接触点公法线 nn与两轮连心线 O1O2的交点。
即两齿轮的
相 对 瞬 心
O1
?1
?2
O2
K
n
n
P
r?1
r?2
2,节圆 (pitch circle)
节点在齿轮动平面上的轨迹。
节点与节圆均为啮合时出现的。
22221111 rPOrPOV P ?????????? ?????
1
2
1
2
2
1
12 r
r
PO
POi
?
?????
?
?
?两齿轮的啮合传动相当于两节圆作无滑
动的纯滚动 。
3,定传动比条件
1
2
1
2
2
1
12 r
r
PO
POi
?
?????
?
?
要使两齿轮作定传动比传动，则其齿廓曲线必须满足,
不论两齿廓在何位置接触, 过接触点所作的齿廓公法线必须
与两齿轮的连心线相交于一 固定点 P。
4,节线
实现变传动比传动的两
齿轮的相对瞬心线, 为
某种非圆曲线 。
四．齿廓曲线的选择 —— 共轭齿廓
理论上, 满足齿廓啮合定律的曲线有无穷多, 但考虑到便
于制造和检测等因素, 工程上只有极少数几种曲线可作为齿廓
曲线 。 其中应用最广的是 渐开线, 其次是 摆线 (仅用于钟表 )和
变态摆线 (摆线针轮减速器 ),近年来提出了 圆弧 和 抛物线 。
渐开线齿廓 (involute)的提出已有近两百多年的历史, 目前还
没有其它曲线可以替代 。 主要在于它 具有很好的传动性能, 而
且 便于制造, 安装, 测量和互换使用等优点 。 本章只研究渐开
线齿轮 。
满足齿廓啮合定律一对齿廓称为 共轭齿廓 (conjugate profile)。
§ 10-3 渐开线齿廓的啮合特点
一,渐开线及其性质
1,渐开线的形成：
当一直线 BK 沿半径为 rb的圆
作纯滚动时, 该直线上任一点
K 的轨迹就是该圆的渐开线 。
基圆 rb(base circle)
发生线 BK(generating line)
展角 ?K(generating angle)
向径 rK—— rK=OK
曲率半径 ?K—— ?K=BK 压力角 ?K
?k
?k
?k
t
t
rk
rb O
K
A
B
2,渐开线的特性：
1） 发生线沿基圆滚过的长度, 等于基圆上被滚过的圆弧长度,
即,AB = BK
2）渐开线上任意点的法线必切于基圆。
3） 切点 B是点 K的曲率中心, 而 线段
BK是渐开线在点 K的曲率半径 。
4） 渐开线距基圆越远的部分, 曲率
半径愈大, 反之亦然 。
? ? ??,r?
?k
?k
?k
t
t
rb O
K
A
B
rk
?K
基圆上有,?A=0; ?A=0
5）基圆内无渐开线。
6） 渐开线的形状取决于基圆大小 。 基圆半径愈大, 渐开线越平
缓 。 rb?? 渐开线 ?直线 ?齿条
7） 同一基圆上的任意两条渐开线沿公法线方向的对应点之间的
距离处处相等 。 （ 无论是同向的还是反向的 ）
A1 B
1
o1
θ k
K
B3
o3
θ k
A2
B2
o2
二, 渐开线方程
1,压力角 ?k
K点所受正压力的方向 (渐开线法线方向 )
与 K点速度方向线之间所夹的锐角 。
?k
?k
?k
t
t
rb O
K
A
B
rk
?K
在 ?KOB中，有：
kkb rr ?c o s?
k
b
k
rr
?co s??且 有：
AB = BK kbk tgr ?? ???? ? ??? kkbr ??
kkkk i n vtg ???? ????
—— 渐开线函数
2,渐开线方程
??
?
?
?
???
?
kkkk
k
b
k
i n vtg
rr
????
?c o s
三, 渐开线齿廓的啮合特点
1．渐开线齿廓啮合过程
O1
?1
rb1
?2
O2
rb2
N2
N1
P
过 K 作两齿廓的公法线 N1N2,为两
齿轮啮合点的轨迹 —— 理论啮合线
理论啮合线 N1N2必同时与两轮的
基圆相切, 且即为其内公切线,
又为力作用线, 在齿轮啮合过程
中, 其位置, 方向均不变 。
C1
C2
K
N1N2与 O1O2的交点 P(节点 )为一定点 。
渐开线性质
N1,N2—— 极限啮合点
??
2．渐开线齿廓能保证定传动比传动
O1
?1
rb1
?2
O2
rb2
N2
N1
C1
C2
K
理论啮合线 N1N2与 O1O2的交点 P
(节点 )为一定点 。 在齿轮啮合过程
中, 其位置, 方向均不变 。
常数??? PO POi
1
2
2
112
?
?
?啮合角 ??, 节圆压力角 。
3．渐开线齿廓间的正压力方向
不变
渐开线齿轮在传动过程中，理论啮合线
和啮合角始终不变，传动平稳。
P
??
4．渐开线齿廓传动具有可分性
O1
?1
rb1
?2
O2
rb2
N2
N1
C1
C2
K
P
??
??
PNOPNO 2211 ~ ??
故 i12=?1/?2=rb2 /rb1
渐开线齿轮的传动比取决于两轮基圆
半径比
实际安装中心距略有变化时, 不影
响 i12,这一特性称为 运动可分性,
对加工和装配很有利 。
由于上述特性，工程上广泛采用渐开线齿廓曲线。
§ 10-4 渐开线标准齿轮各部分名称和尺寸
pn
r
ha
hfh
B
p
s e
ei
rf
rb
O
一,外齿轮 (external gear）
1,各部分名称和符号
ra
si
pb
齿顶圆 (addendum circle) da,ra
齿根圆 (dedendum circle) df,rf
齿厚 (tooth thickness) si
齿槽宽 (space width) ei
齿距 (周节 ) (circular pitch) pi= si +ei
法向齿距 (周节 )—— pn= pb
分度圆 —— 规定的计算基准圆, e=s
表示符号,d,r,s,e,p= s+e
齿顶高 (addendum) ha
齿根高 (dedendum) hf
齿全高 (whole depth) h= ha+hf
齿宽 (whole width) B
2,基本参数和尺寸
1) 齿数 (teeth number) Z
2) 齿顶圆直径 da —— da=d+2ha
3) 齿根圆直径 df—— df=d-2hf
4) 基圆直径 db—— db= dcos?
5) 齿厚 si,齿槽宽 ei
6) 周节 (齿距 )pi—
— ii
ii sezdp ??? ??
7) 基节 (基圆齿距 ) pb——
z
dp b
b
???
法节 (法向齿距 ) pn——
z
dpp b
bn
??? ? 简写 pn= pb
8) 分度圆直径 d—— e=s
2
pse ??
分度圆周长 pzdl ??? ? ?pzd ??
模数 m
人为规定,p/?只
能取某些简单值
9) 模数 (module)m
?
pm ?
mpmzd ???? ;
22 m
pse ?????
模数的单位,mm
为了便于制造, 检验和互换使用,
国标 GB1357-87规定了标准模数
系列 。
m=4 z=16
m=2 z=16
m=1 z=16
模数 是决定齿轮尺寸的一个基本参数 。 齿数相同的齿轮,
模数大, 尺寸也大 。
10) 齿顶高 ha rrh
aa ?? mha*?
齿根高 hf
ff rrh ??
? ?mch a ** ??
C=c*m
齿全高 h
mchhhh afa )2( ** ????
齿顶高系数,ha*；
顶隙系数, c*
正常齿,ha*＝ 1,c*＝ 0.25
短齿制,ha*＝ 0.8, c*＝ 0.3
标准规定两种齿制：
11) 压力角 ?i
O
?
rb
ri
Bi
Ki
?1
A
α i
α i
B1
K1
r1
由渐开线方程,rb＝ ri cos?i
i
b
i r
ra rc co s??
对于同一条渐开线,ri? ?i?
基圆上的压力角 ?b＝ 0
分度圆上的压力角
r
rrr b
b ??? ?? c o sc o s
或 db＝ dcos?
分度圆大小相同的齿轮, 其齿廓渐开线的形状随压力角 ?不同
而不同 。 压力角 ?是决定渐开线齿廓形状的一个重要参数 。
GB1536-88规定标准值,?＝ 20?
?分度圆 —— 齿轮上具有标准模数和标准压力角的圆 。
任一齿轮都有一分度圆，且只有一个分度圆。
?基本参数
?标准齿轮
—— 齿数 Z,模数 m,压力角 ?,齿顶高系数 ha*,
顶隙系数 c*
—— m,?, ha*, c*均为标准值, 且 s = e的齿轮 。
重要概念
12) 任意圆上的齿厚 si
?
?
?i
rb
AA
O
sb
BB
s
r
C Csi
ri
? ?
??
?
??
? ???
?????
)(2
2
??
?
ii
iii
r
sr
B O CO Brrs
)(2 ?? i n vi n vrsrrs iiii ????
)(2)/( ?? i n vi n vrrsrs aaaa ???
齿顶圆齿厚
节圆齿厚 )(2)/( ?? i n vi n vrrrss ???????
基圆齿厚 )c o s2c o s2)/( ???? i n vrsi n vrrsrs
bbb ????
)(c o s ?? m z i n vs ??
主要计算公式
?基本参数 Z,m,?,ha*, c*
?尺寸计算
弧
类
mp ??
???
???
c osc os
c os
????
???
pm
z
d
z
dp b
b
22 m
pse ????
)(2 ?? i n vi n vrsrrs iiii ???
圆
类
zmd ?
?? c o szc o s mdd b ??
)2z(2 *aaa hmhdd ????
)22z(2 ** chmhdd aff ?????
直
线
类
?c o s??? ppp bn
mhh aa *?
? ?mchh af ** ??
? ?mchhhh afa **2 ????
二．齿条 (rack)
e s
p
pn
ha
hf
α
α
α
B
z??，齿廓曲线（渐开线） ?直线
特点：
1)齿条齿廓上各点的压力角都相同, 其大小等于齿廓的倾斜角
（ 齿形角 ）, ?为常数 。
2)齿距处处相等, p=?m,pn=pcos?
其它参数计算与外齿轮相同,如：
?齿条的齿顶高 ha=ha*m
?齿条的齿根高 hf=(ha* +c*)m
?齿条的齿厚 s= ? m/2
?齿条的齿槽宽 e=?m/2
三．内齿轮 (internal gear）
rb r
a
pn
h N
?
s e
hahf
p B
O
r
rf
结构特点：轮齿分布在空心圆柱体内表面上。
不同点：
1)轮齿与齿槽正好与外齿轮相反。
2) df >d >da，
da＝ d-2ha，
df＝ d+2hf
3) 为保证齿廓全部为渐开线，
要求 da>db。
§ 10-5 渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动
一,渐开线直齿圆柱齿轮的啮合过程
O1
?1
rb1
?2
O2
rb2
N2
N1
?理论啮合线 —— N1N2,为两齿轮
啮合点的轨迹
?啮合起始点 B2—— 主动轮齿根部
分推动从动轮齿顶部分 。
?N1,N2—— 极限啮合点
B2
B1
?a2
?a1
ra2
ra1
?啮合终止点 B1—— 主动轮齿顶部
分推动从动轮齿根部分 。
??a1,?a2—— 齿顶圆压力角 。
?啮合角 ??—— 节点处的压力角 。
a
?中心距 a —— 两轮中心距离 。
?实际啮合线 —— B1B2
??
??
P
二, 一对渐开线齿轮正确啮合的条件
rb1
r1
O1
?
1
rb2r2
O2
?2
P
N1
N2
B1 B2
pb1
pb1< pb2
rb2r2
O2
?2
rb1
r1
O1
?
1
P
N1
N2
B1
B2
pb1
pb1 > pb2
rb2r2
O2
?2
rb1
r1
O1
?
1
P
N1
N2
B1
B2
pb1
pb1 = pb2
不能正确啮合 ! 不能正确啮合 !能正确啮合 !
要使进入啮合区内的各对齿轮都能正确地进入啮合, 两齿轮的
相邻两齿同侧齿廓间的法向距离 （ 法节 ） 应相等,pn1= pn2
pb1= pb2
pb1=p1cos?1
=?m1cos?1
pb2=p2cos?2
=?m2cos?2
m1cos?1= m2cos?2
一对渐开线齿轮的正确啮合条件是 —— 两轮的模数
和压力角应分别相等 。
m1=m2 =[m]
?1 = ?2 =20?
结论：
三, 渐开线齿轮连续传动的条件
1,渐开线齿轮连续传动的条件
为保证齿轮能连续传动, 必须使得前
一对轮齿尚未脱离啮合时, 后一对轮
齿进入啮合, 即
rb2r2
O2
?2
O1
rb1
r1
?
1
pb
nb ppBB ??21
令：
???bp
BB 21 称为一对齿轮的
重合度 (contact ratio)
若要连续传动, 必须 1?
??
[??]的推荐值：
使用场合 一般机械制造业 汽车拖拉机 金属切削机床
[??] 1.4 1.1~1.2 1.3
2,重合度的计算公式
1）外啮合传动
)tg(tgc o s2)tg(tg 11111 ????? ?????? aab mzrPB
)tg(tgc o s2)tg(tg 22222 ????? ?????? aab mzrPB
? ?)tg(tg)tg(tg
2
1
c os
2211
2121
????
?
??
? ?
??????
?
??
aa
b
zz
m
PBPB
p
BB
2121 PBPBBB ??
?
?
?
??
?
?
?
?
??
??
??
??
co sco s
co sco s
r
r
r
r
i
ai
i
ia
其中
2）内啮合传动
3）齿轮与齿条啮合传动
? ?)tg(tg)tg(tg
2
1
c os
1122
1221
????
?
??
? ?
??????
?
??
aa
b
zz
m
PBPB
p
BB
)tg(tgc o s2)tg(tg 11111 ????? ???? aab mzrPB
?? s ins in
*
2
mhhPB aa ??
2121 PBPBBB ??
??
??
?
??
? ?
2s i n
2
)tg(tg
2
c o s
*
1
1
2121
a
a
b
hz
m
PBPB
p
BB
???
?
??
4）讨论
? ?)tg(tg)tg(tg2 1 2211 ?????? ? ?????? aa zz
? ?)tg(tg)tg(tg2 1 1122 ?????? ? ?????? aa zz
?????? ? 2s i n
2)tg(tg
2
*
11 aa
hz ???
外啮合
内啮合
齿轮齿条
? ??与模数 m无关
? ha*? ???
? ?? ???
? z? ??? 当 z??,????? max
??
?
??
??????
15;546.2
20;981.1
2s i n
4
c o ss i n
22 **221
m a x ?
?
?????? ?
aa
bb
h
m
mh
p
PB
p
BB
3,重合度的物理意义
??实质上表明同时参与啮合的轮齿对数的多少。
?当 ?? ＝ 1：
在齿轮传
动的过程
中, 始终
有一对轮
齿参加啮
合；
rb2r2
O2
?2
rb1
r1
O1
?
1
P
N1
N2
B1
B2
pb1
rb2r2
O2
?2
O1
rb1
r1
?
1
pb pb
?当 ?? ＝ 2：
在齿轮传动
的过程中,
始终有两对
齿啮合；
?当 ?? ＝ 1.3：在齿轮传动的
过程中, 有两个 0.3pb的长
度上, 有两对轮齿同时啮
合, 在 0.7pb的长度上, 则
只有一对轮齿啮合 。
重合度是衡量齿轮传动质量的指标。
重合度 ??传动平稳性 ??承载能力 ?
[例 ] 已知 z1=19,z2=52,?=20?,m =5mm,ha*=1。求 ?? 。
解
k
bk rra rcco s??
ra= r +ha rb= r cos?
r1= mz1 /2=47.5 mm
r2=mz2/2=130 mm
ra1= r1+ha1=52.5 mm
ra2= r2+ha1=135 mm
rb1= r1cosα=44.63 mm
rb2= r2cosα=122.16 mm
??? 77.31)/a r c c o s ( 111 aba rr?
??? 19.25)/a r c c o s ( 222 aba rr?
65.1
2/)]'()'([ 2211
?
???? ?????? ? tgtgztgtgz aa
B1 B2
pb p
b
0.65pb 0.65pb0.35pb
双齿啮合区 双齿啮合区单齿啮合区
四, 无侧隙啮合传动的条件
P
b b'
a a'
? 无侧隙啮合传动 —— 一个齿轮
齿厚的两侧齿廓与其相啮合的
另一个齿轮的齿槽两侧齿廓在
两条啮合线上均紧密相切接触 。
? 无侧隙啮合传动条件 —— 一齿
轮轮齿的节圆齿厚必须等于另
一齿轮节圆齿槽宽 。
21 es ???
12 es ???
五, 安装条件 —— 中心距的可分性
1.标准安装 —— 两齿轮的分度圆相切安装
此时有,?? ???? ;ii rr 的特征。
ar
b2
O2
O1
ω 1
ω 2
P
N1
N2
rb1r?1 =r1
r?2 =r2
中心距：
? ?121212 21 zzmrrrra ????????
—— 标准中心距
标准安装时节圆与分度圆重合。
??=?
2.非标准安装 —— 两齿轮的分度圆分离安装
此时有,?? ???? ;ii rr 的特征。
中心距,12 rra ?????
—— 中心距可分性公式
非标准安装时节圆与分度圆分离。
ar
b2
O2
O1
ω 1
ω 2
P
N1
N2
rb1r?1 =r1
r?2 =r2
??=?
a?
r1
r2
????
ω
N1
O1
ω 1 rb1
P
N2
r?1
r?2
?? c o sc o s ????? aa
?? c o sc o s ?????? iibi rrr?
?? ????? c o sc o sii rr
?? ???? c osc osaa
非标准安装中心距：
?
?
????? c os
c osaa
a?
r1
r2
????
rb2
O2
ω 2
N1
O1
ω 1 rb1
P
N2
r?1
r?2
a
rb2
O2
O1
ω 1
ω 2
P
N1
N2
rb1r?1 =r1
r?2 =r2
??=?
六, 标准顶隙条件
标准顶隙 c
c=c*m
?a
标准安装
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ?
mc
mchrmhrrr
hrhrrrrrac
aa
fafa
*
**
2
*
121
22112121
?
???????
????????? 非标准安装
? ?
amc
rraac fa
?
?
??
?????
*
21
c
小结
正确啮合条件 m1=m2 =[m]； ?1 = ?2 =20?
连续传动条件 ? ? 1)tg(tg)tg(tg
2 1 1122 ??????? ?????? ? aa zz
无侧隙啮合传动条件 21 es ??? 12 es ???
安装条件 ?? c o sc o s ????? aa
标准顶隙条件 按标准中心距安装能保证标准顶隙
?工作原理,依靠主动轮齿廓推动从动轮齿廓实现运动的传递 。
?啮合 (mesh),两条齿廓曲线的相互接触 。
?传动比 (speed ratio),两轮的瞬时角速度之比 i12=?1/?2
一．齿廓啮合的基本要求
n
n
VK
2
VK
1
?2
O2
?1
O1
K
对齿轮传动的基本要求是保证瞬时传动比：
i12=?1/?2= Const
任一瞬时（任意点 K接触）的传动比：
i12=?1/?2=？ !
VK2K1012 ??? nV KK ??
n —— 两齿廓接触点的公法矢
VK2K1 —— 两齿廓接触点间的相对速度
—— 齿廓啮合的基本方程式
vP
O1
?1
?2
O2
二．齿廓啮合的基本定律 —— Willis定律
n
n
K
P
根据三心定律可知,P点为相对瞬心。
POV P 11 ?? ?? PO 22 ?? ?
PO
POi
1
2
2
1
12 ??? ?
?
从上面的分析可看出,互相啮合的一对齿
轮在任一位置时的传动比, 都与连心线
O1O2被其啮合齿廓在接触处的公法线所分
成的两段成反比 。
该定律表明了齿轮传动比与齿廓曲线的关系。
—— 齿廓啮合基本定律
三．相关基本概念
1,啮合节点 (节点 ) (pitch point)
两齿廓接触点公法线 nn与两轮连心线 O1O2的交点。
即两齿轮的
相 对 瞬 心
O1
?1
?2
O2
K
n
n
P
r?1
r?2
2,节圆 (pitch circle)
节点在齿轮动平面上的轨迹。
节点与节圆均为啮合时出现的。
22221111 rPOrPOV P ?????????? ?????
1
2
1
2
2
1
12 r
r
PO
POi
?
?????
?
?
?两齿轮的啮合传动相当于两节圆作无滑
动的纯滚动 。
3,定传动比条件
1
2
1
2
2
1
12 r
r
PO
POi
?
?????
?
?
要使两齿轮作定传动比传动，则其齿廓曲线必须满足,
不论两齿廓在何位置接触, 过接触点所作的齿廓公法线必须
与两齿轮的连心线相交于一 固定点 P。
4,节线
实现变传动比传动的两
齿轮的相对瞬心线, 为
某种非圆曲线 。
四．齿廓曲线的选择 —— 共轭齿廓
理论上, 满足齿廓啮合定律的曲线有无穷多, 但考虑到便
于制造和检测等因素, 工程上只有极少数几种曲线可作为齿廓
曲线 。 其中应用最广的是 渐开线, 其次是 摆线 (仅用于钟表 )和
变态摆线 (摆线针轮减速器 ),近年来提出了 圆弧 和 抛物线 。
渐开线齿廓 (involute)的提出已有近两百多年的历史, 目前还
没有其它曲线可以替代 。 主要在于它 具有很好的传动性能, 而
且 便于制造, 安装, 测量和互换使用等优点 。 本章只研究渐开
线齿轮 。
满足齿廓啮合定律一对齿廓称为 共轭齿廓 (conjugate profile)。
§ 10-3 渐开线齿廓的啮合特点
一,渐开线及其性质
1,渐开线的形成：
当一直线 BK 沿半径为 rb的圆
作纯滚动时, 该直线上任一点
K 的轨迹就是该圆的渐开线 。
基圆 rb(base circle)
发生线 BK(generating line)
展角 ?K(generating angle)
向径 rK—— rK=OK
曲率半径 ?K—— ?K=BK 压力角 ?K
?k
?k
?k
t
t
rk
rb O
K
A
B
2,渐开线的特性：
1） 发生线沿基圆滚过的长度, 等于基圆上被滚过的圆弧长度,
即,AB = BK
2）渐开线上任意点的法线必切于基圆。
3） 切点 B是点 K的曲率中心, 而 线段
BK是渐开线在点 K的曲率半径 。
4） 渐开线距基圆越远的部分, 曲率
半径愈大, 反之亦然 。
? ? ??,r?
?k
?k
?k
t
t
rb O
K
A
B
rk
?K
基圆上有,?A=0; ?A=0
5）基圆内无渐开线。
6） 渐开线的形状取决于基圆大小 。 基圆半径愈大, 渐开线越平
缓 。 rb?? 渐开线 ?直线 ?齿条
7） 同一基圆上的任意两条渐开线沿公法线方向的对应点之间的
距离处处相等 。 （ 无论是同向的还是反向的 ）
A1 B
1
o1
θ k
K
B3
o3
θ k
A2
B2
o2
二, 渐开线方程
1,压力角 ?k
K点所受正压力的方向 (渐开线法线方向 )
与 K点速度方向线之间所夹的锐角 。
?k
?k
?k
t
t
rb O
K
A
B
rk
?K
在 ?KOB中，有：
kkb rr ?c o s?
k
b
k
rr
?co s??且 有：
AB = BK kbk tgr ?? ???? ? ??? kkbr ??
kkkk i n vtg ???? ????
—— 渐开线函数
2,渐开线方程
??
?
?
?
???
?
kkkk
k
b
k
i n vtg
rr
????
?c o s
三, 渐开线齿廓的啮合特点
1．渐开线齿廓啮合过程
O1
?1
rb1
?2
O2
rb2
N2
N1
P
过 K 作两齿廓的公法线 N1N2,为两
齿轮啮合点的轨迹 —— 理论啮合线
理论啮合线 N1N2必同时与两轮的
基圆相切, 且即为其内公切线,
又为力作用线, 在齿轮啮合过程
中, 其位置, 方向均不变 。
C1
C2
K
N1N2与 O1O2的交点 P(节点 )为一定点 。
渐开线性质
N1,N2—— 极限啮合点
??
2．渐开线齿廓能保证定传动比传动
O1
?1
rb1
?2
O2
rb2
N2
N1
C1
C2
K
理论啮合线 N1N2与 O1O2的交点 P
(节点 )为一定点 。 在齿轮啮合过程
中, 其位置, 方向均不变 。
常数??? PO POi
1
2
2
112
?
?
?啮合角 ??, 节圆压力角 。
3．渐开线齿廓间的正压力方向
不变
渐开线齿轮在传动过程中，理论啮合线
和啮合角始终不变，传动平稳。
P
??
4．渐开线齿廓传动具有可分性
O1
?1
rb1
?2
O2
rb2
N2
N1
C1
C2
K
P
??
??
PNOPNO 2211 ~ ??
故 i12=?1/?2=rb2 /rb1
渐开线齿轮的传动比取决于两轮基圆
半径比
实际安装中心距略有变化时, 不影
响 i12,这一特性称为 运动可分性,
对加工和装配很有利 。
由于上述特性，工程上广泛采用渐开线齿廓曲线。
§ 10-4 渐开线标准齿轮各部分名称和尺寸
pn
r
ha
hfh
B
p
s e
ei
rf
rb
O
一,外齿轮 (external gear）
1,各部分名称和符号
ra
si
pb
齿顶圆 (addendum circle) da,ra
齿根圆 (dedendum circle) df,rf
齿厚 (tooth thickness) si
齿槽宽 (space width) ei
齿距 (周节 ) (circular pitch) pi= si +ei
法向齿距 (周节 )—— pn= pb
分度圆 —— 规定的计算基准圆, e=s
表示符号,d,r,s,e,p= s+e
齿顶高 (addendum) ha
齿根高 (dedendum) hf
齿全高 (whole depth) h= ha+hf
齿宽 (whole width) B
2,基本参数和尺寸
1) 齿数 (teeth number) Z
2) 齿顶圆直径 da —— da=d+2ha
3) 齿根圆直径 df—— df=d-2hf
4) 基圆直径 db—— db= dcos?
5) 齿厚 si,齿槽宽 ei
6) 周节 (齿距 )pi—
— ii
ii sezdp ??? ??
7) 基节 (基圆齿距 ) pb——
z
dp b
b
???
法节 (法向齿距 ) pn——
z
dpp b
bn
??? ? 简写 pn= pb
8) 分度圆直径 d—— e=s
2
pse ??
分度圆周长 pzdl ??? ? ?pzd ??
模数 m
人为规定,p/?只
能取某些简单值
9) 模数 (module)m
?
pm ?
mpmzd ???? ;
22 m
pse ?????
模数的单位,mm
为了便于制造, 检验和互换使用,
国标 GB1357-87规定了标准模数
系列 。
m=4 z=16
m=2 z=16
m=1 z=16
模数 是决定齿轮尺寸的一个基本参数 。 齿数相同的齿轮,
模数大, 尺寸也大 。
10) 齿顶高 ha rrh
aa ?? mha*?
齿根高 hf
ff rrh ??
? ?mch a ** ??
C=c*m
齿全高 h
mchhhh afa )2( ** ????
齿顶高系数,ha*；
顶隙系数, c*
正常齿,ha*＝ 1,c*＝ 0.25
短齿制,ha*＝ 0.8, c*＝ 0.3
标准规定两种齿制：
11) 压力角 ?i
O
?
rb
ri
Bi
Ki
?1
A
α i
α i
B1
K1
r1
由渐开线方程,rb＝ ri cos?i
i
b
i r
ra rc co s??
对于同一条渐开线,ri? ?i?
基圆上的压力角 ?b＝ 0
分度圆上的压力角
r
rrr b
b ??? ?? c o sc o s
或 db＝ dcos?
分度圆大小相同的齿轮, 其齿廓渐开线的形状随压力角 ?不同
而不同 。 压力角 ?是决定渐开线齿廓形状的一个重要参数 。
GB1536-88规定标准值,?＝ 20?
?分度圆 —— 齿轮上具有标准模数和标准压力角的圆 。
任一齿轮都有一分度圆，且只有一个分度圆。
?基本参数
?标准齿轮
—— 齿数 Z,模数 m,压力角 ?,齿顶高系数 ha*,
顶隙系数 c*
—— m,?, ha*, c*均为标准值, 且 s = e的齿轮 。
重要概念
12) 任意圆上的齿厚 si
?
?
?i
rb
AA
O
sb
BB
s
r
C Csi
ri
? ?
??
?
??
? ???
?????
)(2
2
??
?
ii
iii
r
sr
B O CO Brrs
)(2 ?? i n vi n vrsrrs iiii ????
)(2)/( ?? i n vi n vrrsrs aaaa ???
齿顶圆齿厚
节圆齿厚 )(2)/( ?? i n vi n vrrrss ???????
基圆齿厚 )c o s2c o s2)/( ???? i n vrsi n vrrsrs
bbb ????
)(c o s ?? m z i n vs ??
主要计算公式
?基本参数 Z,m,?,ha*, c*
?尺寸计算
弧
类
mp ??
???
???
c osc os
c os
????
???
pm
z
d
z
dp b
b
22 m
pse ????
)(2 ?? i n vi n vrsrrs iiii ???
圆
类
zmd ?
?? c o szc o s mdd b ??
)2z(2 *aaa hmhdd ????
)22z(2 ** chmhdd aff ?????
直
线
类
?c o s??? ppp bn
mhh aa *?
? ?mchh af ** ??
? ?mchhhh afa **2 ????
二．齿条 (rack)
e s
p
pn
ha
hf
α
α
α
B
z??，齿廓曲线（渐开线） ?直线
特点：
1)齿条齿廓上各点的压力角都相同, 其大小等于齿廓的倾斜角
（ 齿形角 ）, ?为常数 。
2)齿距处处相等, p=?m,pn=pcos?
其它参数计算与外齿轮相同,如：
?齿条的齿顶高 ha=ha*m
?齿条的齿根高 hf=(ha* +c*)m
?齿条的齿厚 s= ? m/2
?齿条的齿槽宽 e=?m/2
三．内齿轮 (internal gear）
rb r
a
pn
h N
?
s e
hahf
p B
O
r
rf
结构特点：轮齿分布在空心圆柱体内表面上。
不同点：
1)轮齿与齿槽正好与外齿轮相反。
2) df >d >da，
da＝ d-2ha，
df＝ d+2hf
3) 为保证齿廓全部为渐开线，
要求 da>db。
§ 10-5 渐开线直齿圆柱齿轮的啮合传动
一,渐开线直齿圆柱齿轮的啮合过程
O1
?1
rb1
?2
O2
rb2
N2
N1
?理论啮合线 —— N1N2,为两齿轮
啮合点的轨迹
?啮合起始点 B2—— 主动轮齿根部
分推动从动轮齿顶部分 。
?N1,N2—— 极限啮合点
B2
B1
?a2
?a1
ra2
ra1
?啮合终止点 B1—— 主动轮齿顶部
分推动从动轮齿根部分 。
??a1,?a2—— 齿顶圆压力角 。
?啮合角 ??—— 节点处的压力角 。
a
?中心距 a —— 两轮中心距离 。
?实际啮合线 —— B1B2
??
??
P
二, 一对渐开线齿轮正确啮合的条件
rb1
r1
O1
?
1
rb2r2
O2
?2
P
N1
N2
B1 B2
pb1
pb1< pb2
rb2r2
O2
?2
rb1
r1
O1
?
1
P
N1
N2
B1
B2
pb1
pb1 > pb2
rb2r2
O2
?2
rb1
r1
O1
?
1
P
N1
N2
B1
B2
pb1
pb1 = pb2
不能正确啮合 ! 不能正确啮合 !能正确啮合 !
要使进入啮合区内的各对齿轮都能正确地进入啮合, 两齿轮的
相邻两齿同侧齿廓间的法向距离 （ 法节 ） 应相等,pn1= pn2
pb1= pb2
pb1=p1cos?1
=?m1cos?1
pb2=p2cos?2
=?m2cos?2
m1cos?1= m2cos?2
一对渐开线齿轮的正确啮合条件是 —— 两轮的模数
和压力角应分别相等 。
m1=m2 =[m]
?1 = ?2 =20?
结论：
三, 渐开线齿轮连续传动的条件
1,渐开线齿轮连续传动的条件
为保证齿轮能连续传动, 必须使得前
一对轮齿尚未脱离啮合时, 后一对轮
齿进入啮合, 即
rb2r2
O2
?2
O1
rb1
r1
?
1
pb
nb ppBB ??21
令：
???bp
BB 21 称为一对齿轮的
重合度 (contact ratio)
若要连续传动, 必须 1?
??
[??]的推荐值：
使用场合 一般机械制造业 汽车拖拉机 金属切削机床
[??] 1.4 1.1~1.2 1.3
2,重合度的计算公式
1）外啮合传动
)tg(tgc o s2)tg(tg 11111 ????? ?????? aab mzrPB
)tg(tgc o s2)tg(tg 22222 ????? ?????? aab mzrPB
? ?)tg(tg)tg(tg
2
1
c os
2211
2121
????
?
??
? ?
??????
?
??
aa
b
zz
m
PBPB
p
BB
2121 PBPBBB ??
?
?
?
??
?
?
?
?
??
??
??
??
co sco s
co sco s
r
r
r
r
i
ai
i
ia
其中
2）内啮合传动
3）齿轮与齿条啮合传动
? ?)tg(tg)tg(tg
2
1
c os
1122
1221
????
?
??
? ?
??????
?
??
aa
b
zz
m
PBPB
p
BB
)tg(tgc o s2)tg(tg 11111 ????? ???? aab mzrPB
?? s ins in
*
2
mhhPB aa ??
2121 PBPBBB ??
??
??
?
??
? ?
2s i n
2
)tg(tg
2
c o s
*
1
1
2121
a
a
b
hz
m
PBPB
p
BB
???
?
??
4）讨论
? ?)tg(tg)tg(tg2 1 2211 ?????? ? ?????? aa zz
? ?)tg(tg)tg(tg2 1 1122 ?????? ? ?????? aa zz
?????? ? 2s i n
2)tg(tg
2
*
11 aa
hz ???
外啮合
内啮合
齿轮齿条
? ??与模数 m无关
? ha*? ???
? ?? ???
? z? ??? 当 z??,????? max
??
?
??
??????
15;546.2
20;981.1
2s i n
4
c o ss i n
22 **221
m a x ?
?
?????? ?
aa
bb
h
m
mh
p
PB
p
BB
3,重合度的物理意义
??实质上表明同时参与啮合的轮齿对数的多少。
?当 ?? ＝ 1：
在齿轮传
动的过程
中, 始终
有一对轮
齿参加啮
合；
rb2r2
O2
?2
rb1
r1
O1
?
1
P
N1
N2
B1
B2
pb1
rb2r2
O2
?2
O1
rb1
r1
?
1
pb pb
?当 ?? ＝ 2：
在齿轮传动
的过程中,
始终有两对
齿啮合；
?当 ?? ＝ 1.3：在齿轮传动的
过程中, 有两个 0.3pb的长
度上, 有两对轮齿同时啮
合, 在 0.7pb的长度上, 则
只有一对轮齿啮合 。
重合度是衡量齿轮传动质量的指标。
重合度 ??传动平稳性 ??承载能力 ?
[例 ] 已知 z1=19,z2=52,?=20?,m =5mm,ha*=1。求 ?? 。
解
k
bk rra rcco s??
ra= r +ha rb= r cos?
r1= mz1 /2=47.5 mm
r2=mz2/2=130 mm
ra1= r1+ha1=52.5 mm
ra2= r2+ha1=135 mm
rb1= r1cosα=44.63 mm
rb2= r2cosα=122.16 mm
??? 77.31)/a r c c o s ( 111 aba rr?
??? 19.25)/a r c c o s ( 222 aba rr?
65.1
2/)]'()'([ 2211
?
???? ?????? ? tgtgztgtgz aa
B1 B2
pb p
b
0.65pb 0.65pb0.35pb
双齿啮合区 双齿啮合区单齿啮合区
四, 无侧隙啮合传动的条件
P
b b'
a a'
? 无侧隙啮合传动 —— 一个齿轮
齿厚的两侧齿廓与其相啮合的
另一个齿轮的齿槽两侧齿廓在
两条啮合线上均紧密相切接触 。
? 无侧隙啮合传动条件 —— 一齿
轮轮齿的节圆齿厚必须等于另
一齿轮节圆齿槽宽 。
21 es ???
12 es ???
五, 安装条件 —— 中心距的可分性
1.标准安装 —— 两齿轮的分度圆相切安装
此时有,?? ???? ;ii rr 的特征。
ar
b2
O2
O1
ω 1
ω 2
P
N1
N2
rb1r?1 =r1
r?2 =r2
中心距：
? ?121212 21 zzmrrrra ????????
—— 标准中心距
标准安装时节圆与分度圆重合。
??=?
2.非标准安装 —— 两齿轮的分度圆分离安装
此时有,?? ???? ;ii rr 的特征。
中心距,12 rra ?????
—— 中心距可分性公式
非标准安装时节圆与分度圆分离。
ar
b2
O2
O1
ω 1
ω 2
P
N1
N2
rb1r?1 =r1
r?2 =r2
??=?
a?
r1
r2
????
ω
N1
O1
ω 1 rb1
P
N2
r?1
r?2
?? c o sc o s ????? aa
?? c o sc o s ?????? iibi rrr?
?? ????? c o sc o sii rr
?? ???? c osc osaa
非标准安装中心距：
?
?
????? c os
c osaa
a?
r1
r2
????
rb2
O2
ω 2
N1
O1
ω 1 rb1
P
N2
r?1
r?2
a
rb2
O2
O1
ω 1
ω 2
P
N1
N2
rb1r?1 =r1
r?2 =r2
??=?
六, 标准顶隙条件
标准顶隙 c
c=c*m
?a
标准安装
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ?
mc
mchrmhrrr
hrhrrrrrac
aa
fafa
*
**
2
*
121
22112121
?
???????
????????? 非标准安装
? ?
amc
rraac fa
?
?
??
?????
*
21
c
小结
正确啮合条件 m1=m2 =[m]； ?1 = ?2 =20?
连续传动条件 ? ? 1)tg(tg)tg(tg
2 1 1122 ??????? ?????? ? aa zz
无侧隙啮合传动条件 21 es ??? 12 es ???
安装条件 ?? c o sc o s ????? aa
标准顶隙条件 按标准中心距安装能保证标准顶隙
