二, 用标准齿条型刀具加工标准齿轮
1,标准齿条型刀具
1）齿条型刀具的齿顶较基准
齿条高出 c* m，以保证切
制出顶隙 c。
GB1356-88规定了标准齿条型刀具的基准齿形 。
c* m
?? 20?
顶线
mha*
mha*
2m? 2m?
2)上述刀刃部分加工出来的
不是渐开线。
3)刀具齿根部分的圆弧是为了保证刀具与轮坯外圆之间的
顶隙 c* m 。
c* m
分度线
分度圆
hf=(h*a+ c*)m
ha=h*am
e
s
2,用标准齿条型刀具加工标准齿轮
刀具分度线刚好与轮
坯的分度圆作纯滚动 。
加工结果,s＝ e＝ ?m/2
ha=ha*m
hf=(ha*+ c*)m
N1
加工齿轮时, 安装刀具齿顶线超过啮
合线上的啮合极限点 N1时的加工情况：
N1
刀具的顶部切入了轮齿的根部, 出现
了将齿根已形成的渐开线齿廓切去一
部分的现象 。
—— 根切
(undercutting)
3,渐开线齿廓的根切
1),根切现象及其后果
?根切 —— 用范成法加工齿轮时, 刀具的顶
部切入了轮齿的根部, 将齿根的渐开线齿廓
切去一部分的现象 。
?根切的后果
?降低轮齿的抗弯强度；
?降低齿轮传动的重合度。
2),产生根切的原因
P?
?
rb
rra
N1
O1
2B1 3
B2
1刀具在位置 1开始切削齿间；
在位置 2开始切削渐开线齿廓；
在位置 3切削完全部齿廓；
?当 B2落在 N1点的下方, PB2?PN1
PB2?PN1 不根切
刀具在位置 1开始切削齿间；
在位置 2开始切削渐开线齿廓；
在位置 3切削完全部齿廓；
?当 B2与 N1点重合, PB2=PN1
P?
?
rb
rra
N1
O1
1 2B1 3
B2
P?
?
rb
rra
N1
O1
1
B12
3
B2
PB2=PN1 不根切
?当 B2落在 N1点的上方, PB2?PN1
PB2>PN1 根切
?结论：
用范成法切齿时, 刀具的齿
顶线超过了理论啮合点 N1发
生根切 。
3),不发生根切的条件
恰好不发生根切时，刀具的齿顶线通过理论啮合点 N1，即：
21 PBP Ν ?
P?
?
rb
rra
N1
O1
ha
1 3
B2
被加工齿轮：
?? s i n2s i n 11 ???? mzrP Ν
齿条刀具：
?? s i ns i n
*
2
mhhPB aa ??
?? s i n2s i n 1* mzmh a ?
当 ha*=1,?=20° 时,被切齿轮不发生根切的最少
齿数 zmin=17。
为了保证无根切现象，要求 minzz ?
m i n2
*
1 s i n
2 zhz a ??
?
不发生根切
的最小齿数
为了制造齿数 z < zmin,而又不发生根切的
齿轮, 可以使刀具的齿顶线不超过理论啮
合点 N1,即使：
PBP Ν ?1
降低刀具 B2
点 的 位 置
4),避免根切的措施
P?
?
rb
rra
N1
O1
ha
1 3
B2
提高轮坯 N1
点 的 位 置
ha*?
?? zmin?
??? 对传动不利
zmin?
??? 对传动不利
功率损耗 ?
改变刀具中线与轮坯分度圆的相对位置 —— 变位齿轮
齿条刀具中线 外移距离 xm，使刀具的齿顶线通过理论啮合点 N1
x称为 径向变位系数
x >0 刀具远离轮坯,正变位 ；
x =0 标准齿轮；
x< 0 刀具移近轮坯,负变位 ；
三, 变位齿轮概述
1,变位修正问题的提出
?标准齿轮存在的不足之处
1) 一般不能采用齿数 z < zmin 的齿轮；
2) 不适用于中心距 a??a 的场合；
3) 一对标准齿轮相互啮合时, 小齿轮齿廓渐开线的曲率半径和齿根厚度
较小, 啮合次数较多, 强度较低 。
?变位齿轮的意义
（ 1）避免根切现象。切削 z < zmin的齿轮而不发生根切；
（ 2）配凑中心距。一对齿轮在非标准中心距的情况下不仅均能安装，而
且能满足侧隙为零、顶隙为标准值的要求；
（ 3）改善小齿轮的强度和传动啮合特性，能提高齿轮机构的承载能力。
（ 4）修复已磨损的旧齿轮。
2,加工变位齿轮时刀具的变位
?径向变位量 xm,切制变位齿轮时，刀具由切制标准齿轮的位
置沿径向从轮坯中心向外移开或向内移入的距离。
?径向变位系数 x（ 变位系数 modification coefficient）
x >0 刀具远离轮坯,正变位 ；
x< 0 刀具移近轮坯,负变位 ；
—— 正变位齿轮
—— 负变位齿轮
3,不发生根切的刀具最小变位系数 xmin
P?
?
rb
rra
N1
O1
ha
1 3
B2
xm
被加工齿轮：
?? s i n2s i n 11 ???? mzrP Ν
齿条刀具：
? ?
?? s i ns i n
*
2
mxhxmhPB aa ????
2
s i n 2* ?zhx
a ???
zmin = 2h*a / sin2?
m i n
m i n
m i n
* )( x
z
zzhx a ???
—— 不发生根切的最小变位系数
3,变位齿轮的参数及尺寸
由于刀具相同, 故 变位齿轮 的 基本参数 m,z,?,ha*,c*与 标准
齿轮 均相同, d,db与标准齿轮也相同, 齿廓曲线取自同一条渐
开线的不同段 。 变位后, 齿轮的齿顶高与齿根高有变化 。
正变位齿轮 x>0
ha
hf
标准齿轮 x＝ 0
分度圆
负变位齿轮 x<0
hf
ha
hf
ha
?基本参数 z,m,?,ha*, c*,x
?尺寸计算
mzd ?
?? c o smzc o sdd b ??
分度圆
基圆
分度圆周节 mp ??
齿厚 mtgxPJms ?
?
??
?
? ???? ??? 2
222
齿槽宽 mtgxPJme ?
?
??
?
? ???? ??? 2
222
齿顶高
mxh
xmmhh
a
aa
)( *
*
??
?? 正变位齿轮 x>0
ha
hf
标准齿轮 x＝ 0
分度圆
hf
ha
xm
xm
齿根高
mxch
xmmcmhh
a
af
)( **
**
???
???
!
)22(2 xhzmhdd *aaa ?????
)xchz(mhdd **aff 2222 ??????
齿顶圆
齿根圆
齿全高 mchhhh *
afa )2( *????
mzd?
?? c o smzc o sdd b ??
分度圆
基圆
分度圆周节 mp ??
齿厚 mtgxPJms ?????? ???? ??? 2222
齿 槽 宽 mtgxPJme ?
????? ???? ??? 2222
齿 顶 高 m)xh(xmmhh *a*aa ????
)22(2 xhzmhdd *aaa ?????
)xchz(mhdd **aff 2222 ??????
齿 顶 圆
齿根圆
齿全高 mchhhh *afa )2( *????
齿 根 高 m)xch(xmmcmhh **a**af ??????
标准齿轮尺寸 变位齿轮尺寸
mzd?
?? c o smzc o sdd b ??
mp ??
2ms ??
2me ??
mhh *aa ?
)2(2 *aaa hzmhdd ????
)chz(mhdd **aff 222 ?????
mchhhh *afa )2( *????
mchmcmhh **a**af )( ????
四, 变位齿轮传动
1,正确啮合条件
同标准齿轮传动一样, 两齿轮的相邻两
齿同侧齿廓间的法向距离 （ 法节 ） 应相
等,pn1= pn2
pb1= pb2
pb1=p1cos?1
=?m1cos?1
pb2=p2cos?2
=?m2cos?2
m1cos?1= m2cos?2
m1=m2 =[m]
?1 = ?2 =20?
rb2r2
O2
?2
rb1
r1
O1
?
1
P
N1
N2
B1
B2
pb1
2,连续传动条件
? ? ? ? 1
2
1
2211
2121
????????
???
?
?
?????
?
??
?
)tg( t gz)tg( t gz
c osm
PBPB
p
BB
aa
b
rb2r2
O2
?2
O1
rb1
r1
?1
pb
??
?a2
?a1
??
同标准齿轮传动重合度表达式一样 。
3,无侧隙啮合传动条件
由无侧隙啮合传动条件
??
?
???
???
12
21
es
es
2111 ssesp ?????????
????? c osc ospp
任意圆上的齿厚公式
?
?
?
?
?
????
?
??
????
?
??
)i n v( i n v2
)i n v( i n v2
22
2
2
2
11
1
1
1
??
??
rs
r
r
s
rs
r
r
s
??
?
?
?
???
???
?
?
?
?
c os
c os
c os
c os
22
11
rr
rr
各齿轮分度圆齿厚
??
?
?
?
???
???
??
??
tg22
tg22
22
11
mxms
mxms
? ?? ? ??? i n vtg2i n v
21
21 ?? ???? zz xx—— 无侧隙啮合方程式
4,中心距安装条件
由于 变位齿轮齿廓曲线 与 标准齿轮齿廓曲线 取自同一条渐开线
的不同段，故同样满足中心距的可分性，即
?? c o sc o s ????? aa
5,标准顶隙条件
a?
r1
r2
????
rb2
O2
ω 2
N1
O1
ω 1 rb1
P
N2
ym
1)无侧隙啮合中心距 a?
变位齿轮传动作无侧隙啮合时
（满足无侧隙啮合方程），两
轮分度圆分离（相割），位移
为 ym
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
????
1
c o s
c o s
)(
2
1
1
c o s
c o s
21
?
?
?
?
zzm
aaaym
?????? ? ????? ? ??c o s c o sc o s)(21 21 zzy
—— 分度圆分离系数
无侧隙安装中心距为：
?
?
?????? c o s
c o saymaa
2) 标准顶隙啮合中心距 a??
? ?
? ? ? ?? ?
? ? mxxa
cmxchmxha
chhachrhrcrra
aa
fafafa
21
2
**
1
*
21221121
???
???????
??????????????
一般有,a??> a?,故当以上两项同时满足时，必须将齿高减短
(?ym),故有：
? ?? ? ? ? ? ?? ? myxxymamxxaaaym ????????????? 2121?
? ? yxxy ??? 21? —— 齿顶高变动系数
如此变动后, 既能保证按 中心距 a?安装, 传动无侧隙和标准顶隙 。
3) 齿顶高和齿根高：
? ?
? ???
?
???
???
mxchh
myxhh
af
aa
*
* ? ? ?mychh
a ???? **2
齿全高：
变位齿轮传动的参数与尺寸
参数,m,z, ?,ha*, c*, x1, x2, ??, y
尺寸：
节圆 ?????? c o sc o s
ii rr
啮合角 ? ?
? ? ?
?? i n vtg2i n v
21
21 ?? ???? zz xx
中心距
?? ?????? c o sc o saymaa
传动比
12121221 zzrrrri ??????? ??
节圆周节 ?? ???? c osc ospp
侧隙 0??
mccc *???顶隙
五, 变位齿轮传动的类型及其特点 ? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
?
?
??
??
yxxy
aaym
aa
zz
xx
21
21
21
c o sc o s
i n v
tg2
i n v
?
??
?
?
?
1,标准齿轮传动,x1 + x2 = 0
1）,参数特点,x1 + x2 =0,
且 x1 = x2 =0,
??=?,a? = a,
y =0,△ y = 0
2）,齿数条件,z ? zmin
变位齿轮传动方程
3）,传动优缺点：
?抗弯曲强度的能力较弱 。 因小齿轮
的齿根较薄, 抗弯曲强度较弱, 从
而限制了一对齿轮的承载能力和使
用寿命 。
?小齿轮的齿数如小于不发生根切的
最少齿数, 必将发生根切 。
?齿廓磨损沿齿高方向不均匀, 齿根
磨损严重, 尤其小齿轮齿根部分磨
损更严重 。
?当实际中心距与标准中心距不等时,
如 a>a' 则会产生齿侧间隙, a<a'又
无法安装 。
2,等变位齿轮传动 （高度变位齿轮传动）, x1 + x2 = 0
1）,参数特点,x1 + x2 =0, 且 x1 = -x2 ? 0,??=?,a? = a,
y =0,△ y = 0
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
?
?
??
??
yxxy
aaym
aa
zz
xx
21
21
21
c o sc o s
i n v
tg2
i n v
?
??
?
?
?
变位齿轮传动方程
一般，小齿轮采用正变位，
大齿轮采用负变位，以改善
传动的磨损及应力状态。
3）,传动优缺点：
?大小齿轮趋于等强度，从而使一对齿轮的承载能力相对提高；
?可以制造 z1 <zmin的小齿轮而无根切，结构紧凑、尺寸小；
?两齿轮必须成对使用，互换性差；
?重合度略有减小。
? ?
mi n
21mi n21 20 z zzzxx ????? ? ? m i n21 2 zzz ??
为零传动的齿数条件
2）,齿数条件：
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
m i n
2m i n
*
2
m i n
1m i n
*
1
)(
)(
z
zzh
x
z
zzh
x
a
a
? ?? ?
m i n
21m i n
*
21
2
z
zzzhxx a ????
ha*=1
? ?
mi n
21mi n21 2 z zzzxx ????
3,不等变位齿轮传动 (角度变位齿轮传动 ),x1 + x2 ?0
1）,参数特点：
2）,齿数条件：
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
?
?
??
??
yxxy
aaym
aa
zz
xx
21
21
21
c o sc o s
i n v
tg2
i n v
?
??
?
?
?
（ 1）,正传动 x1 + x2 >0
?
?
?
??
?
?
?
?
??
??
0
0
y
y
aa
?
??
? ?
mi n
21mi n21 2 z zzzxx ????
齿数 z1+ z2
无限制
? ? m i n21 2 zzz ?? —— 凑中心距
? ? m i n21 2 zzz ?? —— 避免根切
3）,传动优缺点：
?大小齿轮趋于等强度，从而使一对齿轮的承载能力有较
大提高；
?可以制造 z1 <zmin的小齿轮而无根切，结构紧凑、尺寸小；
?可以凑中心距；
?两齿轮必须成对使用，互换性差；
?正变位齿轮齿顶变尖，需验算齿顶厚度；
?重合度略有减小。
1）,参数特点：
2）,齿数条件：
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
?
?
??
??
yxxy
aaym
aa
zz
xx
21
21
21
c o sc o s
i n v
tg2
i n v
?
??
?
?
?
（ 2）,负传动 x1 + x2 <0
?
?
?
??
?
?
?
?
??
??
0
0
y
y
aa
?
??
? ?
mi n
21mi n21 20 z zzzxx ????? ? ? m i n21 2 zzz ??
3）,传动优缺点：
? 可以凑中心距；
? 重合度增大；
? z1+ z2 > 2zmin,结构尺寸大；
? 齿轮机构的承载能力减小；
? 两齿轮必须成对使用，互换性差。
六,变位系数的选择
1,不发生根切：
?
??
tg2
)i n v) ( i n v( 21
21
????? zzxx
m i n
m i n
*
m i n
)(
z
zzhxx ia
i
???
2,满足无侧隙啮合方程：
3,满足重合度要求,? ??? ?? ?
4,满足齿顶厚度要求,? ? mss aa )4.0~25.0(??
5,满足等强度、等磨损原则。
七,变位齿轮传动的设计步骤
2,已知,z1、, z2, m, ?, a′
设计步骤：
1）,计算啮合角 ??,??= arccos (a cos?/ a′)
2）,确定变位系数和,x1+x2 = ( inv ??- inv ? )( z1 + z2 ) / ( 2tg? )
3）,确定中心距变动系数,y=( a′- a ) / m
4）,确定齿顶高降低系数,△ y = (x1+x2) - y
5）,分配变位系数，并按表 10-4计算齿轮的几何尺寸。
1,已知,z1、, z2, m, ?, x1, x2
设计步骤：
1）,计算啮合角 ??,??? tg)(2i n vi n v
21
21 zz xx ?????
2）,确定中心距 a′,a?= acos?/ cos??
3）,确定中心距变动系数,y=( a′- a ) / m
4）,确定齿顶高降低系数,△ y = (x1+x2) - y
5）,按表 10-4计算齿轮的几何尺寸。
1,标准齿条型刀具
1）齿条型刀具的齿顶较基准
齿条高出 c* m，以保证切
制出顶隙 c。
GB1356-88规定了标准齿条型刀具的基准齿形 。
c* m
?? 20?
顶线
mha*
mha*
2m? 2m?
2)上述刀刃部分加工出来的
不是渐开线。
3)刀具齿根部分的圆弧是为了保证刀具与轮坯外圆之间的
顶隙 c* m 。
c* m
分度线
分度圆
hf=(h*a+ c*)m
ha=h*am
e
s
2,用标准齿条型刀具加工标准齿轮
刀具分度线刚好与轮
坯的分度圆作纯滚动 。
加工结果,s＝ e＝ ?m/2
ha=ha*m
hf=(ha*+ c*)m
N1
加工齿轮时, 安装刀具齿顶线超过啮
合线上的啮合极限点 N1时的加工情况：
N1
刀具的顶部切入了轮齿的根部, 出现
了将齿根已形成的渐开线齿廓切去一
部分的现象 。
—— 根切
(undercutting)
3,渐开线齿廓的根切
1),根切现象及其后果
?根切 —— 用范成法加工齿轮时, 刀具的顶
部切入了轮齿的根部, 将齿根的渐开线齿廓
切去一部分的现象 。
?根切的后果
?降低轮齿的抗弯强度；
?降低齿轮传动的重合度。
2),产生根切的原因
P?
?
rb
rra
N1
O1
2B1 3
B2
1刀具在位置 1开始切削齿间；
在位置 2开始切削渐开线齿廓；
在位置 3切削完全部齿廓；
?当 B2落在 N1点的下方, PB2?PN1
PB2?PN1 不根切
刀具在位置 1开始切削齿间；
在位置 2开始切削渐开线齿廓；
在位置 3切削完全部齿廓；
?当 B2与 N1点重合, PB2=PN1
P?
?
rb
rra
N1
O1
1 2B1 3
B2
P?
?
rb
rra
N1
O1
1
B12
3
B2
PB2=PN1 不根切
?当 B2落在 N1点的上方, PB2?PN1
PB2>PN1 根切
?结论：
用范成法切齿时, 刀具的齿
顶线超过了理论啮合点 N1发
生根切 。
3),不发生根切的条件
恰好不发生根切时，刀具的齿顶线通过理论啮合点 N1，即：
21 PBP Ν ?
P?
?
rb
rra
N1
O1
ha
1 3
B2
被加工齿轮：
?? s i n2s i n 11 ???? mzrP Ν
齿条刀具：
?? s i ns i n
*
2
mhhPB aa ??
?? s i n2s i n 1* mzmh a ?
当 ha*=1,?=20° 时,被切齿轮不发生根切的最少
齿数 zmin=17。
为了保证无根切现象，要求 minzz ?
m i n2
*
1 s i n
2 zhz a ??
?
不发生根切
的最小齿数
为了制造齿数 z < zmin,而又不发生根切的
齿轮, 可以使刀具的齿顶线不超过理论啮
合点 N1,即使：
PBP Ν ?1
降低刀具 B2
点 的 位 置
4),避免根切的措施
P?
?
rb
rra
N1
O1
ha
1 3
B2
提高轮坯 N1
点 的 位 置
ha*?
?? zmin?
??? 对传动不利
zmin?
??? 对传动不利
功率损耗 ?
改变刀具中线与轮坯分度圆的相对位置 —— 变位齿轮
齿条刀具中线 外移距离 xm，使刀具的齿顶线通过理论啮合点 N1
x称为 径向变位系数
x >0 刀具远离轮坯,正变位 ；
x =0 标准齿轮；
x< 0 刀具移近轮坯,负变位 ；
三, 变位齿轮概述
1,变位修正问题的提出
?标准齿轮存在的不足之处
1) 一般不能采用齿数 z < zmin 的齿轮；
2) 不适用于中心距 a??a 的场合；
3) 一对标准齿轮相互啮合时, 小齿轮齿廓渐开线的曲率半径和齿根厚度
较小, 啮合次数较多, 强度较低 。
?变位齿轮的意义
（ 1）避免根切现象。切削 z < zmin的齿轮而不发生根切；
（ 2）配凑中心距。一对齿轮在非标准中心距的情况下不仅均能安装，而
且能满足侧隙为零、顶隙为标准值的要求；
（ 3）改善小齿轮的强度和传动啮合特性，能提高齿轮机构的承载能力。
（ 4）修复已磨损的旧齿轮。
2,加工变位齿轮时刀具的变位
?径向变位量 xm,切制变位齿轮时，刀具由切制标准齿轮的位
置沿径向从轮坯中心向外移开或向内移入的距离。
?径向变位系数 x（ 变位系数 modification coefficient）
x >0 刀具远离轮坯,正变位 ；
x< 0 刀具移近轮坯,负变位 ；
—— 正变位齿轮
—— 负变位齿轮
3,不发生根切的刀具最小变位系数 xmin
P?
?
rb
rra
N1
O1
ha
1 3
B2
xm
被加工齿轮：
?? s i n2s i n 11 ???? mzrP Ν
齿条刀具：
? ?
?? s i ns i n
*
2
mxhxmhPB aa ????
2
s i n 2* ?zhx
a ???
zmin = 2h*a / sin2?
m i n
m i n
m i n
* )( x
z
zzhx a ???
—— 不发生根切的最小变位系数
3,变位齿轮的参数及尺寸
由于刀具相同, 故 变位齿轮 的 基本参数 m,z,?,ha*,c*与 标准
齿轮 均相同, d,db与标准齿轮也相同, 齿廓曲线取自同一条渐
开线的不同段 。 变位后, 齿轮的齿顶高与齿根高有变化 。
正变位齿轮 x>0
ha
hf
标准齿轮 x＝ 0
分度圆
负变位齿轮 x<0
hf
ha
hf
ha
?基本参数 z,m,?,ha*, c*,x
?尺寸计算
mzd ?
?? c o smzc o sdd b ??
分度圆
基圆
分度圆周节 mp ??
齿厚 mtgxPJms ?
?
??
?
? ???? ??? 2
222
齿槽宽 mtgxPJme ?
?
??
?
? ???? ??? 2
222
齿顶高
mxh
xmmhh
a
aa
)( *
*
??
?? 正变位齿轮 x>0
ha
hf
标准齿轮 x＝ 0
分度圆
hf
ha
xm
xm
齿根高
mxch
xmmcmhh
a
af
)( **
**
???
???
!
)22(2 xhzmhdd *aaa ?????
)xchz(mhdd **aff 2222 ??????
齿顶圆
齿根圆
齿全高 mchhhh *
afa )2( *????
mzd?
?? c o smzc o sdd b ??
分度圆
基圆
分度圆周节 mp ??
齿厚 mtgxPJms ?????? ???? ??? 2222
齿 槽 宽 mtgxPJme ?
????? ???? ??? 2222
齿 顶 高 m)xh(xmmhh *a*aa ????
)22(2 xhzmhdd *aaa ?????
)xchz(mhdd **aff 2222 ??????
齿 顶 圆
齿根圆
齿全高 mchhhh *afa )2( *????
齿 根 高 m)xch(xmmcmhh **a**af ??????
标准齿轮尺寸 变位齿轮尺寸
mzd?
?? c o smzc o sdd b ??
mp ??
2ms ??
2me ??
mhh *aa ?
)2(2 *aaa hzmhdd ????
)chz(mhdd **aff 222 ?????
mchhhh *afa )2( *????
mchmcmhh **a**af )( ????
四, 变位齿轮传动
1,正确啮合条件
同标准齿轮传动一样, 两齿轮的相邻两
齿同侧齿廓间的法向距离 （ 法节 ） 应相
等,pn1= pn2
pb1= pb2
pb1=p1cos?1
=?m1cos?1
pb2=p2cos?2
=?m2cos?2
m1cos?1= m2cos?2
m1=m2 =[m]
?1 = ?2 =20?
rb2r2
O2
?2
rb1
r1
O1
?
1
P
N1
N2
B1
B2
pb1
2,连续传动条件
? ? ? ? 1
2
1
2211
2121
????????
???
?
?
?????
?
??
?
)tg( t gz)tg( t gz
c osm
PBPB
p
BB
aa
b
rb2r2
O2
?2
O1
rb1
r1
?1
pb
??
?a2
?a1
??
同标准齿轮传动重合度表达式一样 。
3,无侧隙啮合传动条件
由无侧隙啮合传动条件
??
?
???
???
12
21
es
es
2111 ssesp ?????????
????? c osc ospp
任意圆上的齿厚公式
?
?
?
?
?
????
?
??
????
?
??
)i n v( i n v2
)i n v( i n v2
22
2
2
2
11
1
1
1
??
??
rs
r
r
s
rs
r
r
s
??
?
?
?
???
???
?
?
?
?
c os
c os
c os
c os
22
11
rr
rr
各齿轮分度圆齿厚
??
?
?
?
???
???
??
??
tg22
tg22
22
11
mxms
mxms
? ?? ? ??? i n vtg2i n v
21
21 ?? ???? zz xx—— 无侧隙啮合方程式
4,中心距安装条件
由于 变位齿轮齿廓曲线 与 标准齿轮齿廓曲线 取自同一条渐开线
的不同段，故同样满足中心距的可分性，即
?? c o sc o s ????? aa
5,标准顶隙条件
a?
r1
r2
????
rb2
O2
ω 2
N1
O1
ω 1 rb1
P
N2
ym
1)无侧隙啮合中心距 a?
变位齿轮传动作无侧隙啮合时
（满足无侧隙啮合方程），两
轮分度圆分离（相割），位移
为 ym
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
????
1
c o s
c o s
)(
2
1
1
c o s
c o s
21
?
?
?
?
zzm
aaaym
?????? ? ????? ? ??c o s c o sc o s)(21 21 zzy
—— 分度圆分离系数
无侧隙安装中心距为：
?
?
?????? c o s
c o saymaa
2) 标准顶隙啮合中心距 a??
? ?
? ? ? ?? ?
? ? mxxa
cmxchmxha
chhachrhrcrra
aa
fafafa
21
2
**
1
*
21221121
???
???????
??????????????
一般有,a??> a?,故当以上两项同时满足时，必须将齿高减短
(?ym),故有：
? ?? ? ? ? ? ?? ? myxxymamxxaaaym ????????????? 2121?
? ? yxxy ??? 21? —— 齿顶高变动系数
如此变动后, 既能保证按 中心距 a?安装, 传动无侧隙和标准顶隙 。
3) 齿顶高和齿根高：
? ?
? ???
?
???
???
mxchh
myxhh
af
aa
*
* ? ? ?mychh
a ???? **2
齿全高：
变位齿轮传动的参数与尺寸
参数,m,z, ?,ha*, c*, x1, x2, ??, y
尺寸：
节圆 ?????? c o sc o s
ii rr
啮合角 ? ?
? ? ?
?? i n vtg2i n v
21
21 ?? ???? zz xx
中心距
?? ?????? c o sc o saymaa
传动比
12121221 zzrrrri ??????? ??
节圆周节 ?? ???? c osc ospp
侧隙 0??
mccc *???顶隙
五, 变位齿轮传动的类型及其特点 ? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
?
?
??
??
yxxy
aaym
aa
zz
xx
21
21
21
c o sc o s
i n v
tg2
i n v
?
??
?
?
?
1,标准齿轮传动,x1 + x2 = 0
1）,参数特点,x1 + x2 =0,
且 x1 = x2 =0,
??=?,a? = a,
y =0,△ y = 0
2）,齿数条件,z ? zmin
变位齿轮传动方程
3）,传动优缺点：
?抗弯曲强度的能力较弱 。 因小齿轮
的齿根较薄, 抗弯曲强度较弱, 从
而限制了一对齿轮的承载能力和使
用寿命 。
?小齿轮的齿数如小于不发生根切的
最少齿数, 必将发生根切 。
?齿廓磨损沿齿高方向不均匀, 齿根
磨损严重, 尤其小齿轮齿根部分磨
损更严重 。
?当实际中心距与标准中心距不等时,
如 a>a' 则会产生齿侧间隙, a<a'又
无法安装 。
2,等变位齿轮传动 （高度变位齿轮传动）, x1 + x2 = 0
1）,参数特点,x1 + x2 =0, 且 x1 = -x2 ? 0,??=?,a? = a,
y =0,△ y = 0
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
?
?
??
??
yxxy
aaym
aa
zz
xx
21
21
21
c o sc o s
i n v
tg2
i n v
?
??
?
?
?
变位齿轮传动方程
一般，小齿轮采用正变位，
大齿轮采用负变位，以改善
传动的磨损及应力状态。
3）,传动优缺点：
?大小齿轮趋于等强度，从而使一对齿轮的承载能力相对提高；
?可以制造 z1 <zmin的小齿轮而无根切，结构紧凑、尺寸小；
?两齿轮必须成对使用，互换性差；
?重合度略有减小。
? ?
mi n
21mi n21 20 z zzzxx ????? ? ? m i n21 2 zzz ??
为零传动的齿数条件
2）,齿数条件：
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
m i n
2m i n
*
2
m i n
1m i n
*
1
)(
)(
z
zzh
x
z
zzh
x
a
a
? ?? ?
m i n
21m i n
*
21
2
z
zzzhxx a ????
ha*=1
? ?
mi n
21mi n21 2 z zzzxx ????
3,不等变位齿轮传动 (角度变位齿轮传动 ),x1 + x2 ?0
1）,参数特点：
2）,齿数条件：
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
?
?
??
??
yxxy
aaym
aa
zz
xx
21
21
21
c o sc o s
i n v
tg2
i n v
?
??
?
?
?
（ 1）,正传动 x1 + x2 >0
?
?
?
??
?
?
?
?
??
??
0
0
y
y
aa
?
??
? ?
mi n
21mi n21 2 z zzzxx ????
齿数 z1+ z2
无限制
? ? m i n21 2 zzz ?? —— 凑中心距
? ? m i n21 2 zzz ?? —— 避免根切
3）,传动优缺点：
?大小齿轮趋于等强度，从而使一对齿轮的承载能力有较
大提高；
?可以制造 z1 <zmin的小齿轮而无根切，结构紧凑、尺寸小；
?可以凑中心距；
?两齿轮必须成对使用，互换性差；
?正变位齿轮齿顶变尖，需验算齿顶厚度；
?重合度略有减小。
1）,参数特点：
2）,齿数条件：
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
?
?
??
??
yxxy
aaym
aa
zz
xx
21
21
21
c o sc o s
i n v
tg2
i n v
?
??
?
?
?
（ 2）,负传动 x1 + x2 <0
?
?
?
??
?
?
?
?
??
??
0
0
y
y
aa
?
??
? ?
mi n
21mi n21 20 z zzzxx ????? ? ? m i n21 2 zzz ??
3）,传动优缺点：
? 可以凑中心距；
? 重合度增大；
? z1+ z2 > 2zmin,结构尺寸大；
? 齿轮机构的承载能力减小；
? 两齿轮必须成对使用，互换性差。
六,变位系数的选择
1,不发生根切：
?
??
tg2
)i n v) ( i n v( 21
21
????? zzxx
m i n
m i n
*
m i n
)(
z
zzhxx ia
i
???
2,满足无侧隙啮合方程：
3,满足重合度要求,? ??? ?? ?
4,满足齿顶厚度要求,? ? mss aa )4.0~25.0(??
5,满足等强度、等磨损原则。
七,变位齿轮传动的设计步骤
2,已知,z1、, z2, m, ?, a′
设计步骤：
1）,计算啮合角 ??,??= arccos (a cos?/ a′)
2）,确定变位系数和,x1+x2 = ( inv ??- inv ? )( z1 + z2 ) / ( 2tg? )
3）,确定中心距变动系数,y=( a′- a ) / m
4）,确定齿顶高降低系数,△ y = (x1+x2) - y
5）,分配变位系数，并按表 10-4计算齿轮的几何尺寸。
1,已知,z1、, z2, m, ?, x1, x2
设计步骤：
1）,计算啮合角 ??,??? tg)(2i n vi n v
21
21 zz xx ?????
2）,确定中心距 a′,a?= acos?/ cos??
3）,确定中心距变动系数,y=( a′- a ) / m
4）,确定齿顶高降低系数,△ y = (x1+x2) - y
5）,按表 10-4计算齿轮的几何尺寸。
