§ 4-4 不计摩擦时机构的受力分析
根据机构所受 已知外力 （ 包括惯性力 ） 来确定个 运动副中的
反力 和需加于该机构上的 平衡力 。 由于运动副反力对机构来说是
内力, 必须将机构分解为若干个杆组, 然后依次分析 。
?平衡力 （ 矩 ） —— 与作用于机构构件上的已知外力和惯性力
相平衡的未知外力 （ 矩 ）
已知生产阻力 平衡力（矩）
—— 求解保证原动件按预定运动规律运动时所需要的驱动力（矩）
已知驱动力（矩） 平衡力（矩）
—— 求解机构所能克服的生产阻力
一, 构件组的静定条件
—— 该构件组所能列出的 独立的 力平衡方程式的数目,
应等于构件组中所有力的未知要素的数目 。
独立的力平衡方程式的数目 =所有力的未知要素的数目 。
1,运动副中反力的未知要素
1）转动副 O
FR方向 ——？
大小 ——？
作用点 —— 转动副中心
RF?
—— （ 2个）
FR
K
2）移动副
方向 —— 垂直移动导路
大小 ——？
作用点 ——？
RF?
FR
C
n
n
3）平面高副
方向 —— 公法线
大小 ——？
作用点 —— 接触点
RF?
—— （ 1个）
—— （ 2个）
2,构件组的静定条件
3n = 2Pl+ Ph
而当构件组仅有低副时，则为,3n = 2Pl
设某构件组共有 n个构件,pl个低副,ph个高副
? 一 个构件可以列出 3个 独立的 力平衡方程,n个构件共有 3n
个力平衡方程
? 一 个平面低副引入 2个力的未知数,pl个低副共引入 2pl个力
的未知数
? 一 个平面高副引入 1个力的未知数,ph个低副共引入 ph个力
的未知数
构件组的静定条件,
结论,基本杆组都满足静定条件
二,用图解法作机构的动态静力分析
步骤：
1) 对机构进行运动分析，求出个构件的 ?及其质心的 as；
2) 求出各构件的惯性力，并把它们视为外力加于构件上；
3) 根据静定条件将机构分解为若干个构件组 和平衡力作用
的构件；
4) 对机构进行力分析，从有已知力的构件开始,对各构件
组进行力分析；
5) 对平衡力作用的构件作力分析。
A
B
C
D
E
F1
2
3 4
5
6
x
xG
G2
S2
G5
S5
Fr
?1
[例 ] 如图所示为一往复式
运输机的机构运动简图 。 已
知各构件尺寸, G2,JS2,G5、
ω1,Fr。 不计其他构件的重
量和惯性力 。 求各运动副反
力及需加于构件 1上 G点 的平
衡力 Fb（ 沿 xx方向 ） 。
解,（ 1）运动分析：
选比例尺 μl,μv,μa,作
机构运动简,速度图（图
b）、加速度图（图 c）。
（ 2）确定各构件的惯性力
及惯性力偶矩：
速度图 加速度图
A
B
C
D
E
F1
2
3 4
5
6
x
xG
G2
S2
G5
S5
Fr
?1
aF F
I5
h2?2
FI2
构件 2：
F?I2 ； h2=MI2/FI2
构件 5：
fpgGamF aFI ???? ?)/( 555
（ FI5与 aF反向 ）
??
???
?????
????
22222
2222
//
)/(
222
2
lcnJlaJJM
spgGamF
aStCBSSI
aSI
??
?
（ FI2与 aS2反向,MI2与 ?2反向 ）
（ 3）机构的动态静力分析：
1） 将各构件产生的惯性力视为
外力加于相应的构 件上 。
2）分解杆组,4-5,2-3
B
C
D
2
3 E
F4 5
3）进行力分析：
?先从构件组 5-4
开始, 由于不考虑
构件 4的重量及惯
性力, 故构件 4为
二力杆, 且有：
B
C
D
E
2
3
G2
S2
h2?2
FI2
nRF63
tRF63
nRF12
tRF12
43RF
3h?
2h?
1h?
F 5
G5
S5
Fr
FI5
45RF
65RF
3454 RR FF
?? ??
此时可取滑块 5为分离体，列方程
0654555 ????? RRIr FFFFG ?????
方向,√ √ √ √ √
大小,√ √ √？？
e
方向,√ √ √ √ √
0654555 ????? RRIr FFFFG ?????
大小,√ √ √？？
a
b
G5
c
Fr
d
FI5
FR45
取力比例尺 μF
（ N / mm）
作力多边形
??
?
?
?
deF
eaF
FR
FR
?
?
65
45
由力多边形得：
A
B
C
D
E
F1
2
3 4
5
6
x
xG
G2
S2
G5
S5
Fr
?1
aF F
I5
h2?2
FI2
F 5
G5
S5
Fr
FI5
45RF
65RF
B
C
D
E
2
3G
2
S2
h2?2
FI2
nRF63
tRF63
nRF12
tRF12
43RF
3h?
2h?
1h?
FR65
?再分析杆组 2,3
ΣMC = 0构件 2：
01222212 ?????? hFhGlF ItR
构件 3,0
34363 ??? hFlF RCDtR
c
a
b
eG5
Fr FI5 FR65
FR45
g
F?I2 h
G2
f?
F tR12
F tR63
F nR63方向,√ √ √ √ √ √ √
0
0
121222436363
32
????????
??
nRtRIRtRnR FFGFFFF
F ????? ?,
大小,？ √ √ √ √ √？ FR12
F nR12
FR63
FR32
FR43按 ?
F作力多边形
由力多边形得：
feFfaFhfF FRFRFR ??? ??? 326312
f?
f
B
C
D
E
2
3G
2
S2
h2?2
FI2
nRF63
tRF63
nRF12
tRF12
43RF
3h?
2h?
1h?
F 5
G5
S5
Fr
FI5
45RF
65RF
222212 /)( lhFhGF ItR ?????
CDRtR lhFF /34363 ??
杆组 2,3：
c
a
b
eG5
Fr FI5 FR65
FR45
g
F?I2 h
G2
f?
F tR12
F tR63
F nR63
FR12
F nR12
FR63
FR32
FR43
f?
f
A
B
C
D
E
F1
2
3 4
5
6
x
xG
G2
S2
G5
S5
Fr
?1
aF F
I5
h2?2
FI2
B
C
D
E
2
3G
2
S2
h2?2
FI2
nRF63
tRF63
nRF12
tRF12
43RF
3h?
2h?
1h?
F 5
G5
S5
Fr
FI5
45RF
65RF
A
B
1
x
x
G
FR21
F
b
FR6
1
?最后取构件 1为分离体
0
0
6121
1
???
??
RbR FFF
F ????
方向,√ √ √
大小, √？？
由力多边形得：
按 ?F作力多边形
hiF
ifF
FR
Fb
?
?
?
?
61
i
F R21
FR61
Fb
三,用解析法作机构的动态静力分析
1,矢量方程解析法
在图 4 – 6中,设为刚体上 A点的作用
力, 当该力对刚体上任意点 0取矩时, 则
故
以图 4 – 7所示机构为例，
确定各运动副中的反力及需
加于主动件 1上的平衡力矩 Mb。
(1)首先建立一直角坐标系, 并将各
构件的杆矢量及方位角示出, 如图
所示 。 然后再设各运动副中的反力
为
(2)首解运动副,机构中首解副的条件是：组成该运动副的两个构件上的作用
外力和力矩均为已知者 。在本实例中，运动副 C为应为首解副。
(3)求 RC
取构件 3为分离体, 并取该构件上的诸力对 D点取矩 (规定力矩的方向逆时针
者为正, 顺时针者为负 ),则
于是得
同理，取构件 2为分离体，并取诸力对 B点取矩，则
因此可得
(3) 求 RD
根据构件 3上的诸力平衡条件
(4)求 RB
根据构件 2上的诸力平衡条件
(5)求 RA
同理, 根据构件 1的平衡条件 得
至此，机构的受力分析进行完毕。
2 矩阵法
如图为一四杆机构, 图中 1,2,3
分别为作用于质心 S1,S2,S3处的已知
外力 （ 含惯性力 ）, M1,M2,M3为作
用于各构件上的已知外力偶矩 （ 含惯性
力偶矩 ）, 另外, 在从动件上还受着一
个已知的生产阻力矩 Mr。 现需确定各运
动副中的反力及需加于原动件 1上的平
衡力偶矩 Mb。
如图所示先建立一直角坐标系,
以便将各力都分解为沿两坐标轴
的两个分力, 然后再分别就构件 1、
2及 3列出它们的力的平衡方程式 。
又为便于列矩阵方程,
1) 可解性分析,在四杆机构中, 共有四个低副, 每个低副中的反力都有两个
未知要素 (即 反力的大小及方向 ),此外, 平衡力 尚 有一个力的未知要素,
所以在此机构中共有九个未知要素待定；而另一方面, 在此机构中, 对三
个活动构件共可列出九个平衡方程, 故此机构中所有的力的未知要素都是
可解的 。
2) 反力的统一表示,用运动副中反力 Rij,表示构件 i作用于构件 j上的反力,
而 Rji=-Rij,所以各运动副中的反力统一写成 Rij的形式 (即反力 Rji用 -Rij表示之 )。
式中 xI,yI—— 力作用点 I的坐标,
xK,yK—— 取矩点 K的坐标 。
3) 力矩的统一表达式,作用于构件上任一点 I
上的力 PI对该构件上另一点 K之矩 (规定 逆时
针方向时为正, 顺时针方向时为负 ),可表
示为下列统一的形式
4) 各构件的力平衡方程式
?对于构件 1分别根据 可得
?对于构件 2有
?对于构件 3有
以上共列出九个方程式, 故可解出上述各运动副反力和平衡力的九个力
的未知要素 。 又因为以上九式为一线性方程组, 因此可按构件 1,2,3上待
定的未知力 Mb,R41x,R41y,R12x,R12y,R23x,R23y,R34x,R34y的次序整理成以下的
矩阵形式：
上式可以简化为 [C ]{ R }=[D ]{P }
式中 {P }—— 已知力的列阵；
{R }—— 未知力的列阵；
[D ]—— 已知力的系数矩阵；
[C ]—— 未知力的系数矩列阵。
对于各种具体机构, 都不难按上述的步骤进行分析, 即按顺序对
机构的每一活动构件写出其力平衡方程式, 然后整理成为一个线性方
程, 并写成矩阵方程式 。 利用上述形式的矩阵方程式, 可以同时求出
各运动副中的反力和所需的平衡力, 而不必按静定杆组逐一进行推算,
而且根据这种矩阵方程式便于利用标准程序且计算机解算 。
§ 4-5 考虑摩擦时机构的力分析
考虑摩擦时，机构受力分析的步骤为：
1） 计算出 摩擦角 和 摩擦圆半径, 并 画出摩擦圆 ；
2） 从二力杆着手分析, 根据杆件受拉或受压及该杆相对于另一
杆件的转动方向, 求得作用在该构件上的二力方向；
3） 对有已知力作用的构件作力分析；
4） 对要求的力所在构件作力分析 。
掌握了对运动副中的摩擦分析的方法后, 就不难在考虑有
摩擦的条件下, 对机构进行力的分析了, 下面我们举两个例子
加以说明 。
FR12
FR32
ω21
ω23
?
M3M
1ω
1 1
2
3
4A
B
C
D
例, 图示为一四杆机构,
构件 1为主动件, 已知驱
动力矩 M1,不计构件的
重量和惯性力 。 求各 运动
副中的反力 及作用在构件
3上的平衡力矩 M3。
解,1）,求构件 2所受的两力 FR12,FR32的方位。
2）,取曲柄 1为分离体 ——其上作用有：
FR21,FR41,M1 1
A
B
M1
ω1
FR21
FR41
L
由力平衡条件得,FR41= - FR21
且有,M1 = FR21L?FR21= M1/L
3）,取构件 2为分离体 ——其上作用有：
FR12,FR32
FR32= - FR12= FR21
3）,取构件 3为分离体 ——其上作用有,FR23,FR43,M3
由力平衡条件得,FR43= - FR23= FR21 M3 = FR23L′
3
C
D
1
M3
ω1
FR23
FR43
L?
例 如图所示为一曲柄滑块机构, 设各构件的尺寸 (包括转动
副的半径 )已知, 各运动副中的摩擦系数均为 f,作用在滑
块上的水平阻力为 Q,试对该机构在图示位置时进行力分
析 (设各构件的重力及惯性力均略而不计 ),并确定加于点
B与曲柄 AB垂直的平衡力 Pb的大小 。
解, 1）根据已知条件作
出各转动副处的摩擦
圆 (如图中虚线小圆
所示 )。
2）取二力杆连杆 3为研究对象
?构件 3在 B,C两运动副处分别受到 R23及 R43的作用
?R23和 R43分别切于该两处的摩擦圆外，且 R23=-R43。
R23
R43
R23
R43
滑块 4 在 Q,R34及 R14三个力的作用下平衡
3）根据 R23及 R43的方向，定出 R32
及 R34的方向。
4）取滑块 4为分离体
R32
R34
且三力应汇于一点 F
j R14
5）取曲柄 2为分离体
曲柄 2在 Pb, R32和 R12作用下平衡
?Pb＋ R32＋ R12＝ 0
R12
E
6） 用图解法求出各运动副的反力 R14、
R34(= -R43),R32(= -R23= R43),R12,及平
衡力 Pb的大小 。
?Q＋ R34＋ R14＝ 0
§ 4-6 平衡力的简易求法
—— 茹可夫斯基杠杆法
1,应用场合,只需要知道为了维持机械按给定规律运动时应加
于机械上的平衡力, 而不要求知道各运动副中的反力 。
? ?? ??? 0c o s iii dsP ?
2,理论基础,根据达朗伯尔原理, 当
机构各构件的惯性力视为外力加于相应
的构件上后, 即可认为该机构处于平衡
状态 。 因此, 由 虚位移原理 可得：
?i v
i
Pi
?i
? ?? ????? 0c o s iiii NdvP ?
?i v
i
Pi
?i
两边都除以 dt，则得
即 当机构处于平衡状态时, 其上
作用的所有外力的 瞬时功率 之和
等于零 。
i
?i
hi
90o( 沿 -?i
方向 )
Pi
i
ip
由速度图可见：
viii hv ?? ??? c o s ? ?? ?? 0ii hP
?作用于机构上所有外力对沿原动件
?之逆向转过 90o的速度多边形极点的
矩之和为零。 —— 茹可夫斯基杠杆法
PI2
MI2
h
PI2
S2?
C
S2
A
B
Pr
?1
1 2
3
4 PI3
h2
90o(沿 -?方向 ) c
p
b
c
b
(a)
Pr PI2
S2?
PI3
例：已知生产阻力 Pr，求解所需平衡
力矩。
解,将作出机构的转向速度多边形 (即
将机构原速度多边形整个转过 900),并
将各力平移至其转向多边形的对应点
上, 则得
0322 ?????????? pcPpcPhPpbPM rIIbp P
b
pb
hPpcPpcPP IIr
b
223 ??????
ABPM bb ??
当机构上的其它外力均为已知时, 应用茹可夫斯基杠杆法便可
很方便地将平衡力求出来 。
此方法在求解过程中, 相当于将机构的转向速度多边形视为刚
性杠杆, 而各力对其极点取矩, 所以称为 速度多边形杠杆法 。
小结
基本要求：
?了解机构中作用的各种力及机构力分析的方法；
?会确定各运动副中的反力及需加于机械上的平衡力或平衡
力偶矩；
?了解一般平面机构进行力分析的过程。
重 点：
?作用在机械上的力及机构力分析的目的和方法；
?构件惯性力的确定；
?考虑摩擦时运动副总反力的确定 。
难 点,考虑摩擦时运动副总反力的确定 。
根据机构所受 已知外力 （ 包括惯性力 ） 来确定个 运动副中的
反力 和需加于该机构上的 平衡力 。 由于运动副反力对机构来说是
内力, 必须将机构分解为若干个杆组, 然后依次分析 。
?平衡力 （ 矩 ） —— 与作用于机构构件上的已知外力和惯性力
相平衡的未知外力 （ 矩 ）
已知生产阻力 平衡力（矩）
—— 求解保证原动件按预定运动规律运动时所需要的驱动力（矩）
已知驱动力（矩） 平衡力（矩）
—— 求解机构所能克服的生产阻力
一, 构件组的静定条件
—— 该构件组所能列出的 独立的 力平衡方程式的数目,
应等于构件组中所有力的未知要素的数目 。
独立的力平衡方程式的数目 =所有力的未知要素的数目 。
1,运动副中反力的未知要素
1）转动副 O
FR方向 ——？
大小 ——？
作用点 —— 转动副中心
RF?
—— （ 2个）
FR
K
2）移动副
方向 —— 垂直移动导路
大小 ——？
作用点 ——？
RF?
FR
C
n
n
3）平面高副
方向 —— 公法线
大小 ——？
作用点 —— 接触点
RF?
—— （ 1个）
—— （ 2个）
2,构件组的静定条件
3n = 2Pl+ Ph
而当构件组仅有低副时，则为,3n = 2Pl
设某构件组共有 n个构件,pl个低副,ph个高副
? 一 个构件可以列出 3个 独立的 力平衡方程,n个构件共有 3n
个力平衡方程
? 一 个平面低副引入 2个力的未知数,pl个低副共引入 2pl个力
的未知数
? 一 个平面高副引入 1个力的未知数,ph个低副共引入 ph个力
的未知数
构件组的静定条件,
结论,基本杆组都满足静定条件
二,用图解法作机构的动态静力分析
步骤：
1) 对机构进行运动分析，求出个构件的 ?及其质心的 as；
2) 求出各构件的惯性力，并把它们视为外力加于构件上；
3) 根据静定条件将机构分解为若干个构件组 和平衡力作用
的构件；
4) 对机构进行力分析，从有已知力的构件开始,对各构件
组进行力分析；
5) 对平衡力作用的构件作力分析。
A
B
C
D
E
F1
2
3 4
5
6
x
xG
G2
S2
G5
S5
Fr
?1
[例 ] 如图所示为一往复式
运输机的机构运动简图 。 已
知各构件尺寸, G2,JS2,G5、
ω1,Fr。 不计其他构件的重
量和惯性力 。 求各运动副反
力及需加于构件 1上 G点 的平
衡力 Fb（ 沿 xx方向 ） 。
解,（ 1）运动分析：
选比例尺 μl,μv,μa,作
机构运动简,速度图（图
b）、加速度图（图 c）。
（ 2）确定各构件的惯性力
及惯性力偶矩：
速度图 加速度图
A
B
C
D
E
F1
2
3 4
5
6
x
xG
G2
S2
G5
S5
Fr
?1
aF F
I5
h2?2
FI2
构件 2：
F?I2 ； h2=MI2/FI2
构件 5：
fpgGamF aFI ???? ?)/( 555
（ FI5与 aF反向 ）
??
???
?????
????
22222
2222
//
)/(
222
2
lcnJlaJJM
spgGamF
aStCBSSI
aSI
??
?
（ FI2与 aS2反向,MI2与 ?2反向 ）
（ 3）机构的动态静力分析：
1） 将各构件产生的惯性力视为
外力加于相应的构 件上 。
2）分解杆组,4-5,2-3
B
C
D
2
3 E
F4 5
3）进行力分析：
?先从构件组 5-4
开始, 由于不考虑
构件 4的重量及惯
性力, 故构件 4为
二力杆, 且有：
B
C
D
E
2
3
G2
S2
h2?2
FI2
nRF63
tRF63
nRF12
tRF12
43RF
3h?
2h?
1h?
F 5
G5
S5
Fr
FI5
45RF
65RF
3454 RR FF
?? ??
此时可取滑块 5为分离体，列方程
0654555 ????? RRIr FFFFG ?????
方向,√ √ √ √ √
大小,√ √ √？？
e
方向,√ √ √ √ √
0654555 ????? RRIr FFFFG ?????
大小,√ √ √？？
a
b
G5
c
Fr
d
FI5
FR45
取力比例尺 μF
（ N / mm）
作力多边形
??
?
?
?
deF
eaF
FR
FR
?
?
65
45
由力多边形得：
A
B
C
D
E
F1
2
3 4
5
6
x
xG
G2
S2
G5
S5
Fr
?1
aF F
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F 5
G5
S5
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FI5
45RF
65RF
B
C
D
E
2
3G
2
S2
h2?2
FI2
nRF63
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nRF12
tRF12
43RF
3h?
2h?
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FR65
?再分析杆组 2,3
ΣMC = 0构件 2：
01222212 ?????? hFhGlF ItR
构件 3,0
34363 ??? hFlF RCDtR
c
a
b
eG5
Fr FI5 FR65
FR45
g
F?I2 h
G2
f?
F tR12
F tR63
F nR63方向,√ √ √ √ √ √ √
0
0
121222436363
32
????????
??
nRtRIRtRnR FFGFFFF
F ????? ?,
大小,？ √ √ √ √ √？ FR12
F nR12
FR63
FR32
FR43按 ?
F作力多边形
由力多边形得：
feFfaFhfF FRFRFR ??? ??? 326312
f?
f
B
C
D
E
2
3G
2
S2
h2?2
FI2
nRF63
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43RF
3h?
2h?
1h?
F 5
G5
S5
Fr
FI5
45RF
65RF
222212 /)( lhFhGF ItR ?????
CDRtR lhFF /34363 ??
杆组 2,3：
c
a
b
eG5
Fr FI5 FR65
FR45
g
F?I2 h
G2
f?
F tR12
F tR63
F nR63
FR12
F nR12
FR63
FR32
FR43
f?
f
A
B
C
D
E
F1
2
3 4
5
6
x
xG
G2
S2
G5
S5
Fr
?1
aF F
I5
h2?2
FI2
B
C
D
E
2
3G
2
S2
h2?2
FI2
nRF63
tRF63
nRF12
tRF12
43RF
3h?
2h?
1h?
F 5
G5
S5
Fr
FI5
45RF
65RF
A
B
1
x
x
G
FR21
F
b
FR6
1
?最后取构件 1为分离体
0
0
6121
1
???
??
RbR FFF
F ????
方向,√ √ √
大小, √？？
由力多边形得：
按 ?F作力多边形
hiF
ifF
FR
Fb
?
?
?
?
61
i
F R21
FR61
Fb
三,用解析法作机构的动态静力分析
1,矢量方程解析法
在图 4 – 6中,设为刚体上 A点的作用
力, 当该力对刚体上任意点 0取矩时, 则
故
以图 4 – 7所示机构为例，
确定各运动副中的反力及需
加于主动件 1上的平衡力矩 Mb。
(1)首先建立一直角坐标系, 并将各
构件的杆矢量及方位角示出, 如图
所示 。 然后再设各运动副中的反力
为
(2)首解运动副,机构中首解副的条件是：组成该运动副的两个构件上的作用
外力和力矩均为已知者 。在本实例中，运动副 C为应为首解副。
(3)求 RC
取构件 3为分离体, 并取该构件上的诸力对 D点取矩 (规定力矩的方向逆时针
者为正, 顺时针者为负 ),则
于是得
同理，取构件 2为分离体，并取诸力对 B点取矩，则
因此可得
(3) 求 RD
根据构件 3上的诸力平衡条件
(4)求 RB
根据构件 2上的诸力平衡条件
(5)求 RA
同理, 根据构件 1的平衡条件 得
至此，机构的受力分析进行完毕。
2 矩阵法
如图为一四杆机构, 图中 1,2,3
分别为作用于质心 S1,S2,S3处的已知
外力 （ 含惯性力 ）, M1,M2,M3为作
用于各构件上的已知外力偶矩 （ 含惯性
力偶矩 ）, 另外, 在从动件上还受着一
个已知的生产阻力矩 Mr。 现需确定各运
动副中的反力及需加于原动件 1上的平
衡力偶矩 Mb。
如图所示先建立一直角坐标系,
以便将各力都分解为沿两坐标轴
的两个分力, 然后再分别就构件 1、
2及 3列出它们的力的平衡方程式 。
又为便于列矩阵方程,
1) 可解性分析,在四杆机构中, 共有四个低副, 每个低副中的反力都有两个
未知要素 (即 反力的大小及方向 ),此外, 平衡力 尚 有一个力的未知要素,
所以在此机构中共有九个未知要素待定；而另一方面, 在此机构中, 对三
个活动构件共可列出九个平衡方程, 故此机构中所有的力的未知要素都是
可解的 。
2) 反力的统一表示,用运动副中反力 Rij,表示构件 i作用于构件 j上的反力,
而 Rji=-Rij,所以各运动副中的反力统一写成 Rij的形式 (即反力 Rji用 -Rij表示之 )。
式中 xI,yI—— 力作用点 I的坐标,
xK,yK—— 取矩点 K的坐标 。
3) 力矩的统一表达式,作用于构件上任一点 I
上的力 PI对该构件上另一点 K之矩 (规定 逆时
针方向时为正, 顺时针方向时为负 ),可表
示为下列统一的形式
4) 各构件的力平衡方程式
?对于构件 1分别根据 可得
?对于构件 2有
?对于构件 3有
以上共列出九个方程式, 故可解出上述各运动副反力和平衡力的九个力
的未知要素 。 又因为以上九式为一线性方程组, 因此可按构件 1,2,3上待
定的未知力 Mb,R41x,R41y,R12x,R12y,R23x,R23y,R34x,R34y的次序整理成以下的
矩阵形式：
上式可以简化为 [C ]{ R }=[D ]{P }
式中 {P }—— 已知力的列阵；
{R }—— 未知力的列阵；
[D ]—— 已知力的系数矩阵；
[C ]—— 未知力的系数矩列阵。
对于各种具体机构, 都不难按上述的步骤进行分析, 即按顺序对
机构的每一活动构件写出其力平衡方程式, 然后整理成为一个线性方
程, 并写成矩阵方程式 。 利用上述形式的矩阵方程式, 可以同时求出
各运动副中的反力和所需的平衡力, 而不必按静定杆组逐一进行推算,
而且根据这种矩阵方程式便于利用标准程序且计算机解算 。
§ 4-5 考虑摩擦时机构的力分析
考虑摩擦时，机构受力分析的步骤为：
1） 计算出 摩擦角 和 摩擦圆半径, 并 画出摩擦圆 ；
2） 从二力杆着手分析, 根据杆件受拉或受压及该杆相对于另一
杆件的转动方向, 求得作用在该构件上的二力方向；
3） 对有已知力作用的构件作力分析；
4） 对要求的力所在构件作力分析 。
掌握了对运动副中的摩擦分析的方法后, 就不难在考虑有
摩擦的条件下, 对机构进行力的分析了, 下面我们举两个例子
加以说明 。
FR12
FR32
ω21
ω23
?
M3M
1ω
1 1
2
3
4A
B
C
D
例, 图示为一四杆机构,
构件 1为主动件, 已知驱
动力矩 M1,不计构件的
重量和惯性力 。 求各 运动
副中的反力 及作用在构件
3上的平衡力矩 M3。
解,1）,求构件 2所受的两力 FR12,FR32的方位。
2）,取曲柄 1为分离体 ——其上作用有：
FR21,FR41,M1 1
A
B
M1
ω1
FR21
FR41
L
由力平衡条件得,FR41= - FR21
且有,M1 = FR21L?FR21= M1/L
3）,取构件 2为分离体 ——其上作用有：
FR12,FR32
FR32= - FR12= FR21
3）,取构件 3为分离体 ——其上作用有,FR23,FR43,M3
由力平衡条件得,FR43= - FR23= FR21 M3 = FR23L′
3
C
D
1
M3
ω1
FR23
FR43
L?
例 如图所示为一曲柄滑块机构, 设各构件的尺寸 (包括转动
副的半径 )已知, 各运动副中的摩擦系数均为 f,作用在滑
块上的水平阻力为 Q,试对该机构在图示位置时进行力分
析 (设各构件的重力及惯性力均略而不计 ),并确定加于点
B与曲柄 AB垂直的平衡力 Pb的大小 。
解, 1）根据已知条件作
出各转动副处的摩擦
圆 (如图中虚线小圆
所示 )。
2）取二力杆连杆 3为研究对象
?构件 3在 B,C两运动副处分别受到 R23及 R43的作用
?R23和 R43分别切于该两处的摩擦圆外，且 R23=-R43。
R23
R43
R23
R43
滑块 4 在 Q,R34及 R14三个力的作用下平衡
3）根据 R23及 R43的方向，定出 R32
及 R34的方向。
4）取滑块 4为分离体
R32
R34
且三力应汇于一点 F
j R14
5）取曲柄 2为分离体
曲柄 2在 Pb, R32和 R12作用下平衡
?Pb＋ R32＋ R12＝ 0
R12
E
6） 用图解法求出各运动副的反力 R14、
R34(= -R43),R32(= -R23= R43),R12,及平
衡力 Pb的大小 。
?Q＋ R34＋ R14＝ 0
§ 4-6 平衡力的简易求法
—— 茹可夫斯基杠杆法
1,应用场合,只需要知道为了维持机械按给定规律运动时应加
于机械上的平衡力, 而不要求知道各运动副中的反力 。
? ?? ??? 0c o s iii dsP ?
2,理论基础,根据达朗伯尔原理, 当
机构各构件的惯性力视为外力加于相应
的构件上后, 即可认为该机构处于平衡
状态 。 因此, 由 虚位移原理 可得：
?i v
i
Pi
?i
? ?? ????? 0c o s iiii NdvP ?
?i v
i
Pi
?i
两边都除以 dt，则得
即 当机构处于平衡状态时, 其上
作用的所有外力的 瞬时功率 之和
等于零 。
i
?i
hi
90o( 沿 -?i
方向 )
Pi
i
ip
由速度图可见：
viii hv ?? ??? c o s ? ?? ?? 0ii hP
?作用于机构上所有外力对沿原动件
?之逆向转过 90o的速度多边形极点的
矩之和为零。 —— 茹可夫斯基杠杆法
PI2
MI2
h
PI2
S2?
C
S2
A
B
Pr
?1
1 2
3
4 PI3
h2
90o(沿 -?方向 ) c
p
b
c
b
(a)
Pr PI2
S2?
PI3
例：已知生产阻力 Pr，求解所需平衡
力矩。
解,将作出机构的转向速度多边形 (即
将机构原速度多边形整个转过 900),并
将各力平移至其转向多边形的对应点
上, 则得
0322 ?????????? pcPpcPhPpbPM rIIbp P
b
pb
hPpcPpcPP IIr
b
223 ??????
ABPM bb ??
当机构上的其它外力均为已知时, 应用茹可夫斯基杠杆法便可
很方便地将平衡力求出来 。
此方法在求解过程中, 相当于将机构的转向速度多边形视为刚
性杠杆, 而各力对其极点取矩, 所以称为 速度多边形杠杆法 。
小结
基本要求：
?了解机构中作用的各种力及机构力分析的方法；
?会确定各运动副中的反力及需加于机械上的平衡力或平衡
力偶矩；
?了解一般平面机构进行力分析的过程。
重 点：
?作用在机械上的力及机构力分析的目的和方法；
?构件惯性力的确定；
?考虑摩擦时运动副总反力的确定 。
难 点,考虑摩擦时运动副总反力的确定 。
