第六章 机械的平衡
◆ 刚性转子的平衡计算
◆ 刚性转子的平衡实验
◆ 转子的许用不平衡量
◆ 平面机构的平衡
◆ 掌握刚性转子静、动平衡的原理和方法；
◆ 了解平面四杆机构的平衡原理。
本章教学目的
本章教学内容
本讲重点：
? 刚性转子静、动平衡的原理
和方法
§ 6-1 机械平衡的目的及内容
一．机械平衡的目的
构件的不平衡惯性力 ? ? 运动副中的动压力 ? ? 摩擦和内
应力 ??机械的效率和使用寿命 ?,严重的会导致共振 。
1,惯性力的不良影响：
2,机械平衡的目的：
将构件的不平衡惯性力加以平衡以消除或减小惯性力的不良
影响 。
有一些机械是利用不平衡惯性力来工作的, 如：振实机,
按摩机, 蛙式打夯机, 振动打桩机, 振动运输机等 。
二．机械平衡的内容
1,绕固定轴回转的构件惯性力的平衡
1）刚性转子的平衡
2）挠性转子的平衡
2,机构的平衡
转子
刚性转子 —— 刚性好, 共振转速高, 工作转速
一般低于, 弹性小 。
(1)静平衡,只要求惯性力达到平衡；
(2)动平衡,要求惯性力和惯性力矩都达到平衡。
方
法
挠性转子 —— 质量很大, 跨度很大, 径向尺寸小,
共振转速低, 产生的变形较大 。
方法：基于弹性梁的横向振动理论 。
对整个机构加以研究, 设法使各运动构件惯性力的合力和合力偶达到
完全地或部分的平衡 。
§ 6-2 刚性转子的平衡计算
一, 刚性转子的静平衡计算 (static balance)
当转子的工作转速一般低于 (0.6～ 0.75)nc1(转子的第一阶共振转速 )时，
转子产生的弹性变形很小，这类转子称为 刚性转子 。
1,静不平衡
当转子 (回转件 )的宽度与直径之比 （ 宽径比 ）
b/D ?0.2时, 其所有的质量都可以看作分布在垂
直于轴线的同一个平面内 。 如果转子的质心位置
不在回转轴线上, 则当转子转动时,其偏心质量
就会产生离心惯性力,从而在运动副中引起附加
动压力 。 因为不平衡现象在转子静止时就能显示
出来, 故称为静不平衡 。
如果转子的质心位于回转轴线上就称为 静平衡
(static balance)。
b
工程中符合这种条件的构件有, 齿轮, 带轮, 车轮, 风扇叶轮, 飞机的螺旋
桨, 砂轮等等
2,静平衡条件
在转子上增加或除去一部分质量，使其质心与回转轴线重合，
从而使转子的惯性力得以平衡。 力学条件为：
特点 —— 若重心不在回转轴线上, 则在静止状态下, 无论其
重心初始在何位置, 最终都会落在轴线的铅垂线的下方这种
不平衡现象在静止状态下就能表现出来, 故称为 静不平衡 。
3,静平衡计算
如图为一盘状转子 。 已知 m1和 m2和 r1和 r2
? 当转子以角速度 w回转时，各偏心
质量所产生的离心惯性力为：
)2,12 ?? irmF iiIi （?? w
FI1
FI2
m2
m1
r2 r1
0?? F?
? 为平衡这些离心惯性力, 在转子上加一
平衡质量 mb,使 Fb与 FIi相平衡, 即：
02211 ??? bb rmrmrm ???????? ?? ? bbb rmF ?? 2w设
? ??? 0bIi FFF ???
平衡质径积 Wb的 大小 和 方位 可根据上式用图
解法求出。
)2,12 ?? irmF iiIi （?? w
?矢
径 ir
? ?质径积 iii Wrm ?? ?
02211 ?? ???? bibb WWrmrmrm ?????
FI1
FI2
m2
m1
r2 r1
mb
rb
F
b
W1
W2
Wb ?W
?求出 mbrb后, 可以根据转子的结构
选定 rb, 即可定出平衡质量 mb 。
?也可在 rb的 反方向 rb?处除去一部分质
量 mb?来使转子得到平衡, 只要保证
mbrb = mb?rb?即可 。
m2
m1
r2 r1
FI1
FI2
mb
rb
F
b
mb?
rb?
4,结论
（ 1） 静平衡的条件 —— 分布于转子上的各个偏心
质量的离心 惯性力的合
力为零 或 质径积的向量
和为零 。
（ 2）对于静不平衡的转子，不论它有多少个平衡质量，都只
需在 同一平衡面内 增加或除去一个平衡质量就可以获得
平衡 ———— 单面平衡 (one-plane balance)
0?? F?
例题,图示盘状转子上有两个不平衡质量,m1=1.5kg,m2=0.8kg，
r1=140mm,r2=180mm，相位如图。现用去重法来平衡，求所需挖去的质量
的大小和相位 (设挖去质量处的半径 r=140mm)。
解,不平衡质径积 mmkgrm ?? 210
11
mmkgrm ?? 14422
静平衡条件 0
2211 ??? bb rmrmrm ???
作图解得,mmkgrm bb ?? 140
应加平衡质量 mmkgm b ??? 11 4 0/1 4 0
去除的质量应在矢量的反方向,140mm处
去除 1kg质量。
11rm
22rm
bbrm
?????? ?mmmmkgmr?
去除质量方向
m2
m1
r2
r1
二, 刚性转子的动平衡计算 (Dynamic balance)
1,动不平衡
—— 在转子运动的情况下才能显示出来的不平衡现象。
对于 b/D>0.2的转子, 其质量不能
再视为分布在同一平面内, 即使质
心在回转轴线上, 由于各惯性力不
在同一回转平面内, 所形成惯性力
偶仍使转子处于不平衡状态 。
m1
m2
工程中符合这种条件的构件有,多缸发动机的曲轴, 汽轮机转子,
电机转子, 机床主轴等 。
螺杆泵转子动平衡 低速风机转子动平衡 汽轮机转子动平衡
3,动平衡计算
2,动平衡条件
当转子各偏心质量引起的 惯性力 的和力和 惯性力偶 的和力偶
都均为零时,则转子就达到了动平衡 。 力学条件为：
??
?
? ?
??
0
0
M
F??
?动平衡与静平衡之间的关系：
?静平衡的回转件不一定是动平衡的
?动平衡的回转件一定是静平衡的
选择两个平衡基面, 并根据力的平行分解原理, 将各不平衡质量的质径
积分别等效到两平衡基面上, 再 分别按每个平衡基面建立质径积的平衡
方程式, 最后用图解法或解析法求解出两平衡基面的平衡质量的大小及
方位 。 由此可见, 动平衡计算是通过简化为两个平衡基面的静平衡问题
来进行计算的 。
I
II
L
m1
r1
m2
r2
m3
r3
F2
F3F1
l1
l2
l3F1I
F2I
F3I
F2II
F1II
F3II
LlFF iii ??
L
lLFF ii
iII
)( ??
?首先在转子上选定两个回转平面 Ⅰ 和 Ⅱ 作为平衡基面，该平面
用来加装或去掉平衡质量。
?将三个不同回转面内的离心惯性力向平面 Ⅰ 和 Ⅱ 上分解。
I
II
F2I
F1I
F3I
L
F2
F3m1
r1
m2
r2
m3
r3
F1
l1
l2
l3
F2II
F1II
F3II
IIrm 11bIbIrm
IIrm 22
IIrm 33
Imr?
IImr?
bIIbIIrm
IIIIrm 33
IIIIrm 22
IIIIrm 11
?分别按每个平衡基面建立质径积的平衡方程式, 用图解法求
解出两平衡基面的平衡质量的大小及方位 。
4,结论
（ 2） 动不平衡的转子, 不论有多少个偏心质量, 分布在多少
个回转平面内, 都只需要在两个选定的平衡面内分别增
加或除去一个平衡质量, 即可完全平衡 。 —— 双面平衡
(double-plane balance)
（ 1） 动平衡的条件 —— 当转子转动时, 转子分布在不同平面
内的各个质量所产生的 空间离心惯性
力系的合力和合力矩 均为零 。
??
?
? ?
??
0
0
M
F??
（ 3） 动平衡同时满足静平衡的条件 —— 经过动平衡的转子一
定静平衡；经过静平衡的转子不一定动平衡 。
例题,高速水泵的凸轮轴系由三个互相错开 120o的偏心轮组成, 每一偏心轮
的质量为 m, 其偏心距为 r,设在平衡平面 A和 B上各装一个平衡质量 mA和
mB, 其回转半径为 2r,其他尺寸如图示 。 试求 mA和 mB的大小和方向 。
解,不平衡质径积
mrrmrmrm EEDDCC ???
分别分解到平衡平面 A和 B
? ?
? ?
? ???
??
?
??
??
??
5/2 5 0/50
2/2 5 0/1 2 5
5/42 5 0/2 0 0
mrmrrm
mrmrrm
mrmrrm
AEE
ADD
ACC
? ?
? ?
? ???
??
?
??
??
??
5/42 5 0/2 0 0
2/2 5 0/1 2 5
5/2 5 0/50
mrmrrm
mrmrrm
mrmrrm
BEE
BDD
BCC
动平衡条件
? ? ? ? ? ? ? ? 0bb ???? AEEADDACCA rmrmrmrm ????
? ? ? ? ? ? ? ? 0bb ???? BEEBDDBCCB rmrmrmrm ????
解得：
? ?
? ???
?
?
?
2/
2/
bb
bb
mrrm
mrrm
B
A rb=2r ? ?
? ???
?
?
?
mm
mm
B
A
25.0
25.0
b
b 方向如图示。
◆ 刚性转子的平衡计算
◆ 刚性转子的平衡实验
◆ 转子的许用不平衡量
◆ 平面机构的平衡
◆ 掌握刚性转子静、动平衡的原理和方法；
◆ 了解平面四杆机构的平衡原理。
本章教学目的
本章教学内容
本讲重点：
? 刚性转子静、动平衡的原理
和方法
§ 6-1 机械平衡的目的及内容
一．机械平衡的目的
构件的不平衡惯性力 ? ? 运动副中的动压力 ? ? 摩擦和内
应力 ??机械的效率和使用寿命 ?,严重的会导致共振 。
1,惯性力的不良影响：
2,机械平衡的目的：
将构件的不平衡惯性力加以平衡以消除或减小惯性力的不良
影响 。
有一些机械是利用不平衡惯性力来工作的, 如：振实机,
按摩机, 蛙式打夯机, 振动打桩机, 振动运输机等 。
二．机械平衡的内容
1,绕固定轴回转的构件惯性力的平衡
1）刚性转子的平衡
2）挠性转子的平衡
2,机构的平衡
转子
刚性转子 —— 刚性好, 共振转速高, 工作转速
一般低于, 弹性小 。
(1)静平衡,只要求惯性力达到平衡；
(2)动平衡,要求惯性力和惯性力矩都达到平衡。
方
法
挠性转子 —— 质量很大, 跨度很大, 径向尺寸小,
共振转速低, 产生的变形较大 。
方法：基于弹性梁的横向振动理论 。
对整个机构加以研究, 设法使各运动构件惯性力的合力和合力偶达到
完全地或部分的平衡 。
§ 6-2 刚性转子的平衡计算
一, 刚性转子的静平衡计算 (static balance)
当转子的工作转速一般低于 (0.6～ 0.75)nc1(转子的第一阶共振转速 )时，
转子产生的弹性变形很小，这类转子称为 刚性转子 。
1,静不平衡
当转子 (回转件 )的宽度与直径之比 （ 宽径比 ）
b/D ?0.2时, 其所有的质量都可以看作分布在垂
直于轴线的同一个平面内 。 如果转子的质心位置
不在回转轴线上, 则当转子转动时,其偏心质量
就会产生离心惯性力,从而在运动副中引起附加
动压力 。 因为不平衡现象在转子静止时就能显示
出来, 故称为静不平衡 。
如果转子的质心位于回转轴线上就称为 静平衡
(static balance)。
b
工程中符合这种条件的构件有, 齿轮, 带轮, 车轮, 风扇叶轮, 飞机的螺旋
桨, 砂轮等等
2,静平衡条件
在转子上增加或除去一部分质量，使其质心与回转轴线重合，
从而使转子的惯性力得以平衡。 力学条件为：
特点 —— 若重心不在回转轴线上, 则在静止状态下, 无论其
重心初始在何位置, 最终都会落在轴线的铅垂线的下方这种
不平衡现象在静止状态下就能表现出来, 故称为 静不平衡 。
3,静平衡计算
如图为一盘状转子 。 已知 m1和 m2和 r1和 r2
? 当转子以角速度 w回转时，各偏心
质量所产生的离心惯性力为：
)2,12 ?? irmF iiIi （?? w
FI1
FI2
m2
m1
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0?? F?
? 为平衡这些离心惯性力, 在转子上加一
平衡质量 mb,使 Fb与 FIi相平衡, 即：
02211 ??? bb rmrmrm ???????? ?? ? bbb rmF ?? 2w设
? ??? 0bIi FFF ???
平衡质径积 Wb的 大小 和 方位 可根据上式用图
解法求出。
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? ?质径积 iii Wrm ?? ?
02211 ?? ???? bibb WWrmrmrm ?????
FI1
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W2
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?求出 mbrb后, 可以根据转子的结构
选定 rb, 即可定出平衡质量 mb 。
?也可在 rb的 反方向 rb?处除去一部分质
量 mb?来使转子得到平衡, 只要保证
mbrb = mb?rb?即可 。
m2
m1
r2 r1
FI1
FI2
mb
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F
b
mb?
rb?
4,结论
（ 1） 静平衡的条件 —— 分布于转子上的各个偏心
质量的离心 惯性力的合
力为零 或 质径积的向量
和为零 。
（ 2）对于静不平衡的转子，不论它有多少个平衡质量，都只
需在 同一平衡面内 增加或除去一个平衡质量就可以获得
平衡 ———— 单面平衡 (one-plane balance)
0?? F?
例题,图示盘状转子上有两个不平衡质量,m1=1.5kg,m2=0.8kg，
r1=140mm,r2=180mm，相位如图。现用去重法来平衡，求所需挖去的质量
的大小和相位 (设挖去质量处的半径 r=140mm)。
解,不平衡质径积 mmkgrm ?? 210
11
mmkgrm ?? 14422
静平衡条件 0
2211 ??? bb rmrmrm ???
作图解得,mmkgrm bb ?? 140
应加平衡质量 mmkgm b ??? 11 4 0/1 4 0
去除的质量应在矢量的反方向,140mm处
去除 1kg质量。
11rm
22rm
bbrm
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去除质量方向
m2
m1
r2
r1
二, 刚性转子的动平衡计算 (Dynamic balance)
1,动不平衡
—— 在转子运动的情况下才能显示出来的不平衡现象。
对于 b/D>0.2的转子, 其质量不能
再视为分布在同一平面内, 即使质
心在回转轴线上, 由于各惯性力不
在同一回转平面内, 所形成惯性力
偶仍使转子处于不平衡状态 。
m1
m2
工程中符合这种条件的构件有,多缸发动机的曲轴, 汽轮机转子,
电机转子, 机床主轴等 。
螺杆泵转子动平衡 低速风机转子动平衡 汽轮机转子动平衡
3,动平衡计算
2,动平衡条件
当转子各偏心质量引起的 惯性力 的和力和 惯性力偶 的和力偶
都均为零时,则转子就达到了动平衡 。 力学条件为：
??
?
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0
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M
F??
?动平衡与静平衡之间的关系：
?静平衡的回转件不一定是动平衡的
?动平衡的回转件一定是静平衡的
选择两个平衡基面, 并根据力的平行分解原理, 将各不平衡质量的质径
积分别等效到两平衡基面上, 再 分别按每个平衡基面建立质径积的平衡
方程式, 最后用图解法或解析法求解出两平衡基面的平衡质量的大小及
方位 。 由此可见, 动平衡计算是通过简化为两个平衡基面的静平衡问题
来进行计算的 。
I
II
L
m1
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?首先在转子上选定两个回转平面 Ⅰ 和 Ⅱ 作为平衡基面，该平面
用来加装或去掉平衡质量。
?将三个不同回转面内的离心惯性力向平面 Ⅰ 和 Ⅱ 上分解。
I
II
F2I
F1I
F3I
L
F2
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m2
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m3
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l1
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IIrm 22
IIrm 33
Imr?
IImr?
bIIbIIrm
IIIIrm 33
IIIIrm 22
IIIIrm 11
?分别按每个平衡基面建立质径积的平衡方程式, 用图解法求
解出两平衡基面的平衡质量的大小及方位 。
4,结论
（ 2） 动不平衡的转子, 不论有多少个偏心质量, 分布在多少
个回转平面内, 都只需要在两个选定的平衡面内分别增
加或除去一个平衡质量, 即可完全平衡 。 —— 双面平衡
(double-plane balance)
（ 1） 动平衡的条件 —— 当转子转动时, 转子分布在不同平面
内的各个质量所产生的 空间离心惯性
力系的合力和合力矩 均为零 。
??
?
? ?
??
0
0
M
F??
（ 3） 动平衡同时满足静平衡的条件 —— 经过动平衡的转子一
定静平衡；经过静平衡的转子不一定动平衡 。
例题,高速水泵的凸轮轴系由三个互相错开 120o的偏心轮组成, 每一偏心轮
的质量为 m, 其偏心距为 r,设在平衡平面 A和 B上各装一个平衡质量 mA和
mB, 其回转半径为 2r,其他尺寸如图示 。 试求 mA和 mB的大小和方向 。
解,不平衡质径积
mrrmrmrm EEDDCC ???
分别分解到平衡平面 A和 B
? ?
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5/2 5 0/50
2/2 5 0/1 2 5
5/42 5 0/2 0 0
mrmrrm
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动平衡条件
? ? ? ? ? ? ? ? 0bb ???? AEEADDACCA rmrmrmrm ????
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B
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mm
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B
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25.0
25.0
b
b 方向如图示。
