第三章 平面机构的运动分析
基本要求：
?明确机构运动分析的目的
和方法；
?理解速度瞬心 （ 绝对瞬心
和相对瞬心 ） 的概念, 并能
运用, 三心定理, 确定一般
平面机构各瞬心的位置；
?能用瞬心法对简单高, 低
副进行速度分析 。
?能用图解法和解析法对平
面二级机构进行运动分析 。
本章重点,
?速度瞬心的概念和, 三心定理,
的应用；
?通过机构位置矢量多边形建立
机构的位置矢量方程；
?应用相对运动图解法原理求二
级机构构件上任意点和构件的运
动参数 。
本章难点,
对有共同转动且有相对移动的两
构件重合点间的运动参数的求解 。
1,机构运动分析的任务
在已知机构尺寸和原动件运动规律的情况下, 确定机构中其
它构件上某些点的 轨迹, 位移, 速度及加速度 和某些构件的
角位移, 角速度及角加速度 。
3-1 机构运动分析的任务、目的及方法
2,机构运动分析的目的
? 位移, 轨迹分析
A
C
B
ED
HE
HD① 确定机构的位置 （ 位形 ）, 绘制
机构位置图 。
② 确定构件的运动空间, 判断是否发生
干涉 。
③ 确定构件 (活塞 )行程, 找出上下极限
位置 。
④ 确定点的轨迹（连杆曲线）。
? 速度分析
① 通过分析, 了解从动件的速度变化
规律是否满足工作要求 。 如牛头刨床；
② 为加速度分析作准备 。
? 加速度分析
① 确定各构件及其上某些点的加速度；
② 了解机构加速度的变化规律；
③ 为机构的力分析打基础。
3,机构运动分析的方法
● 图解法
● 解析法
速度瞬心法
矢量方程图解法
3-2 用速度瞬心作平面机构的速度分析
?速度瞬心 (瞬心 ):
两个互相作平面相对运动的刚体
（ 构件 ） 上绝对速度相等的重合点 。
—— 两构件的 瞬时等速重合点
一、速度瞬心 (Instantaneous Center of Velocity—— ICV)
12
A2(A1)
B2(B1)
P21
VA2A1
VB2B1
?相对瞬心 － 重合点绝对速度不为零 。
?绝对瞬心 － 重合点绝对速度为零 。
瞬心的表示 —— 构件 i 和 j 的瞬心用 Pij表示。
特点：
① 该点涉及两个构件 。 ② 绝对速度相同, 相对速度为零 。
③ 相对回转中心 。
二、机构中瞬心的数目
∵ 每两个构件就有一个瞬心
∴ 根据排列组合有
若机构中有 N个 构件 （ 包括机架 ）, 则
? ? 2
)1(
!2!2
!2 ??
????
NN
N
NCK
N
三、机构中瞬心位置的确定 ?
1,通过运动副直接相联的两构件的瞬心位置确定
1）以 转动副 相联
的两构件的瞬心
1 2
P12
—— 转动副的中心。
2）以 移动副 相联的
两构件的瞬心
—— 移动副导路的
垂直方向上的无穷
远处。
1 2
P12 ∞
3） 以 平面高副 相联的两构件的瞬心
?当两高副元素作 纯滚动 时
—— 瞬心在接触点上。
t
1
2
n
n
t ?当两高副元素之间 既有相对滚动,
又有相对滑动 时
—— 瞬心在过接触点的公法线 n-n 上,
具体位置需要根据其它条件确定 。
V12
1
2
P12
2,不直接相联两构件的瞬心位置确定 —— 三心定理
三心定理
—— (Kennedy’s theory)
三个彼此作平面平行运
动的构件的三个瞬心必
位于同一直线上。 其中
一个瞬心将另外两个瞬
心的联线分成与各自角
速度成反比的两条线段 。
3
2
?2 ?3
1
VK2
VK1
P12 P13
证明,(1) ?2 1P23 P23P23
VP23
?3
(2)
??
?
?
?
??
??
23133
23122
3
2
PPV
PPV
P
P
?
?
2312
2313
3
2
PP
PP??
?
?
K(K2,K3)
四、用瞬心法进行机构速度分析
例 1 如图所示为一平面四杆机构, （ 1） 试确定该机构在图示
位置时其全部瞬心的位置 。 （ 2） 原动件 2以角速度 ω 2顺时针方
向旋转时, 求图示位置时其他从动件的角速度 ω 3, ω 4 。
解 1、首先确定该机构所有瞬心的数目
K = N（ N－ 1） / 2
= 4（ 4－ 1） / 2 = 6
2、求出全部瞬心
两种方法：
①三心定理。
②瞬心多边形法：构件用点代替，瞬心用线段来代替。
瞬心 P13,P24用
三 心 定理 来求
P24
P13
3
2
4
1
ω4
ω2
1 2
34
P12
P34
P14
P23
P24
P13
3
2
4
1
ω4
ω2P
12
P34
P14
P23
∵P 24为构件 2,4等速重合点
lp
lp
ppv
ppv
??
??
24144
24122
24
24
?
?
2414
2412
4
2
2414
2412
24
pp
pp
pp
pp
?
??
?
?
??
或
构件 2：
构件 3：
同理可以求得
2312
2313
3
2
PP
PP?
?
?
21
34
1?
4 1
23
例 2, 图示为一曲柄滑块机构，设各构件尺寸为已知，又已原动
件 1以角速度 ω 1，现需确定图示位置时从动件 3的移动速度 V3。
P34?∞ P34?∞
23P
12P
14P
解 1,首先确定该机构
所有瞬心的数目
K = N（ N－ 1） / 2
= 4（ 4－ 1） / 2
= 6
2、求出全部瞬心
24P
13P
VP13
∵ P13为构件 1,3等速重合点
21
34
1?
13P
24P
P34?∞ P34?∞
23P
12P
14P
3、求出 3的速度
? ?
13
13
3
13141
P
lP
vv
ppv
?
? ??
? ?lppv ?? 131413 ??
1
2
3 K
例 3 图示为一凸轮机构, 设各构件尺寸为已知, 又已原动
件 2的角速度 ω2,现需确定图示位置时从动件 3的移动速度 V3。
解, 先求出构件 2,3的瞬心 P23
? ?lP ppv ?? ?? 2312223? P13→∞
n
n
1
23
P12
P13→∞
P23
? ?lP ppvv ?? ???? 231223 23
3-3 机构运动分析的矢量方程图解法
一、矢量方程图解法的基本原理和作法
?基本原理 —— (1)矢量加减法； (2)理论力学 运动合成原理 。
因每一个矢量具有大小和
方向两个参数, 根据已知
条件的不同, 上述方程有
以下四种情况：
设有矢量方程,D＝ A + B + C
(1)矢量加减法
CBAD ???? ???
大小,？ ? ? ?
方向,？ ? ? ?
A B
D C
§ 3－ 3 用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析 CBAD ???? ???
大小,? ?
方向,? ? ? ?
CD
CBAD ???? ???
大小,? ? ? ?
方向,? ?
CBAD ???? ???
大小,?? ? ?
方向,? ?? ?
A B A
D C
B
CD
A B ?特别注意矢
量箭头方向 ！
?作法,1）根据运动合成原理 —— 列出矢量方程式。
2）根据矢量方程式 —— 作图求解。
构件间的相对运动问题可分为两类：
绝对运动 = 牵连运动 + 相对运动
(2) 理论力学运动合成原理
?同一构件上的两点间的运动关系
?两构件重合点间的运动关系
A
B
1 A(A1,A2)
2
二、同一构件上两点间的速度及加速度的关系 ?
作机构运动简图。图示尺寸实际尺寸取长度比例尺,/ mmml ??
现以图示曲柄滑块机构为例, 说明用矢量方程图解法作
机构的速度分析和加速度分析的具体步骤 。
已知图示曲柄滑块机构原动件 AB
的运动规律和各构件尺寸 。 求：
① 图示位置连杆 BC的角速度和其
上各点速度 。
② 连杆 BC的角加速度和其上 C点加
速度 。
（ 1） 速度关系：
① 根据运动合成原理，列出速度矢量方程式：
2222 BCBC VVV
??? ??
大小：
方向：
ω1lAB?
∥ xx ⊥ AB ⊥ BC
② 确定速度图解比例尺 μv( (m/s)/mm)
c
b
smpcv VC /??
smbcv VCB /??
速度多边形③ 作图求解未知量：
p
极点
CBCB l/2 v?? （逆时针方向）
2222 BEBE vvv
??? ??
如果还需求出该构件上 E点的速度 VE
大小：
方向：
√?
⊥ AB ⊥ EB ∥ xx ⊥ EC
c
b
p
极点 e
√?
222 CEC vv
?? ??
△ bce ~ △ BCE,叫做 △ BCE 的 速度影像,
字母的顺序方向一致。
?速度影像原理：
同一构件上若干点形成的几
何图形与其速度矢量多边形
中对应点构成的多边形相似,
其位置为构件上的几何图形
沿该构件的 ?方向转过 90o。
? 速度多边形的特性：
3）在速度多边形中，极点 p 代表机构中速度为零的点。
1） 在速度多边形中, 由极点 p
向外放射的矢量代表构件上相应
点的绝对速度, 方向由极点 p 指
向该点 。
4） 已知某构件上两点的速度, 可用 速度影象法 求该构件上第
三点的速度 。
2）在速度多边形中，联接绝对速度矢端两点的矢量，代
表构件上相应两点的相对速度，例如, 代表
CBv
?bc
c
b
速度多边形
p
极点
(2) 加速度关系：
a) 根据运动合成原理，列出加速度矢量方程式：
方向,√ √ C→B ⊥ BC
大小,？ √ ?22lBC？
t
CB
n
CBBCBBC aaaaaa ?????
作矢量多边形。
b) 根据矢量方程式，取 加速度比例尺
图示尺寸
实际加速度,/
mm
s2m
a ??
b?n
c
b
p
极点 e
c′
p?
2/ smcpa aC ??? ?
由加速度多边形得：
b?n
c′
p? acbt
acbn
BCa
BCtCB
lcn
la
??
?
?
? 2
同样, 如果还需求出该构件上 E
点的加速度 aE,则
tEBnEBBE aaaa ???? ???
方向,？ ? E→B ⊥ BE
大小,？ ? ω2 2 lBE ?2 lCE
同理，按照上述方法作出矢量多边形，
则代表ep?? Ea?
n?
e? b?n
c′
p?
aE epa ????
由加速度多边形得：
tEBnEBBE aaaa ???? ???
方向,？ ? E→B ⊥ BE
大小,？ ? ω2 2 lBE ?2 lCE
△ b’c’e’ ~ △ BCE,叫做
△ BCE 的 加速度影像, 字
母的顺序方向一致 。
?加 速度影像原理：
同一构件上若干点形成的几何图形与其加速度矢量多边
形中对应点构成的多边形相似；其位置为构件上的几何
图形沿 该构件 的 ?方向转过 (180o-?)。
n?
e? b?n
c′
p?2?
(?-?)
?
acbt
acbn
22
2
22
2
?
?
?
?? ?
?
???
?
??
BC
BC
a
a
bn
cntg
nCB
tCB
??????? ? 21 ??? tg
? 加速度多边形的特性：
b?n
c′
p? acbt
acbn
1） 在加速度多边形中, 由极
点 p′ 向外放射的矢量代表构
件上相应点的绝对加速度, 方
向由极点 p′ 指向该点 。
2） 在加速度多边形中, 联接绝对加速度矢端两点的矢量, 代
表构件上相应两点的相对加速度, 例如, 代表 。
3）在加速度多边形中，极点 p′ 代表机构中加速度为零的点。
4） 已知某构件上两点的加速度, 可用加速度影象法求该构件上
第三点的加速度 。
cb ?? CBa?
ω1
A
D
C
1
4
3
2B
?1
三、两构件 重合点 间的速度和加速度的关系 ?
已知图示机构尺寸和原动件 1的运动 。 求重合点 C的运动 。
4
?原理 —— 构件 2的运动可以认
为是随同构件 1的 牵连运动 和构件
2相对于构件 1的 相对运动 的合成 。
?分析 —— 构件 1和 2组成移动副, 点 C为两个构件的
一个重合点 。 Vc2,ac2根据两构件重合点间的关系可由
vc1,ac1求出, 而构件 2和 3在 C点的速度和加速度相等 。
ω1
A
D
C
1
4
3
2B
4
1) 依据原理列矢量方程式
将构件 1扩大至与 C2点重合。
?1
1212 CCCC VVV
??? ??
大小：
方向：
？ √?
⊥ CD
vC2
2) 取速度比例尺 ?v,作速
度多边形, 由速度多边
形得：c
2 (c3)
( 顺时针 ）
CD
v
CD
C
vCC
vCC
l
pc
l
v
ccv
pcvv
?
?
?
?
23
3
2112
223
??
?
??
c1
P
vC1
⊥ AC ∥ AB
1,速度分析：
1) 依据原理列矢量方程式
c2 (c3)
c1
P
ω1
A
D
C
1
4
3
2B
4
?1
akC2C1
科氏加速度方向 —— 将 vC2C1沿 牵连角速度 ?1转过 90o。
2,加速度分析：
k CCr CCCC aaa
121212
??? ??
aC2 aC2C1+aC1=
科氏加速度
rk va ??? ?? ?2
当牵连点系 （ 动参照系 ） 为
转动时, 存在科氏加速度 。
动系转动速度 相对速度
分析：
？
C
c2 (c3)
c1
P
A 4
4
ω1
D1
3
2B
?1
方向,？ √ √ ∥ AB
大小,？ 已知 √？
akC2C1
1212 12 CCk CC va ??
由于上式中有三个未知数,
故无法求解 。
可根据 3构件上的 C3点进
一步减少未知数的个数 。
arC2C1
aC1n a
C1t
r CCk CCCC aaaa
121212
???? ???
r CCk CCCt DCn DCC aaaaaa
12121332
?????? ?????
大小：
方向,C→D ⊥ CD √ √ ∥ AB
323l? 33l?
√
1212 CCv?
？
c2 (c3)
c1
P
C
A 4
4
ω1
D1
3
2B
?1
akC2C1
arC2C1
aC1n a
C1t
？
r CCk CCCt DCn DCC aaaaaa
12121332
?????? ?????
大小：
方向,C→D ⊥ CD √ √ ∥ AB
323l? √ 1212 CCv?？
c1′
n′
c2′(c3′ )
k′
p’
2) 取速度比例尺 ?a,作
加速度多边形 。
由加速度多边形可得：
（顺时针）
c2 (c3)
c1
P
C
A 4
4
ω1
D1
3
2B
?1
akC2C1
arC2C1
aC1n a
C1t
c1′
n′
c2′(c3′ )
k′
p’
CD
a
CD
t
DC
aCC
l
cn
l
a
cpaa
?
?
?
23
3
223
??
??
????
atC3
arC2C1
B
1
2 3
B1
23 B
1 2
3
B1
2
3
1B
2
3
B1
2
3
B1
2
3
B
123
无 ak 无 ak 有 ak
有 ak
有 ak 有 ak
有 ak
有 ak
?哥氏加速度存在的条件：
判断下列几种情况取 B点为重合点时有无 ak
2）两构件要有相对移动。
1）牵连构件要有转动；
rk va ??? ?? ?2
如图所示为一偏心轮机构 。 设已知机构各构件的尺寸, 并知原动件 2以
角速度 ?2等速度转动 。 现需求机构在图示位置时,
? 滑块 5移动的速度 vF,加速度 aF
? 构件 3,4,5的角速度 ?3,?4,?5和角速度 ?3,a4,?5。
典型例题分析
解,1,画机构运动简图
E
(E5,E6)
a3
ω3
a6
ω6
3
D
B
2 ω
2
5
6Cα
4
ω4
x
xA
2,速度分析：
(1) 求 vB:
2?ABB lv ?
E
(E5,E6)
a3
ω3
a6
ω6
3
D
B
2 ω
2
5
6Cα
4
ω4
x
xA
（ 2） 求 vC:
c
e3(e5)
be
6
P(a,d,f)
（ 3） 求 vE3,用速度影像求解
（ 4） 求 vE6,5656 EEEE vvv ??
大小：
方向：
？ √?
⊥ EF √ ∥ xx
sr a dCDpclv
l
v
CD
C /
4 ?
?? ??
sr adlpelv
EF
v
EF
E /66
6
?? ??
（ 5） 求 ?3,?4,?5;/3 sradBCbclv
l
v
BC
CB
?
?? ??
)( '5'3 ee
3,加速度分析
22?ABnBAB laa ??(1) 求 aB,E
(E5,E6)
a3
ω3
a6
ω6
3
D
B
2 ω
2
5
6Cα
4
ω4
x
xA
(2) 求 aC及 ?3,?4
tCBnCBBtCDnCDC aaaaaa ?????
大小：
方向：
√？ √ √？
C→D ⊥ CD B→A C→B ⊥ CD
BC
a
BC
tCB
l
cn
l
a ?? ???? 3
3 CD
a
CD
tCD
l
cn
l
a ?? ???? 4
4
aC cpa ????
其方向与 ;一致cp ??
b?
3n?
4n? )( fdap ????,、
c?
aE epa ????3(3) 求 aE, 利用影像法求解
(4) 求 aE6和 ?6
r EEk EEEt FEn FEE aaaaaa
56565666
?????? ?????
E→F ⊥ EF √ ⊥ xx ∥ xx
EF
a
EF
t
FE
l
en
l
a ?? '66
6
6 ???
大小：
方向：
√？ √ √？
E
(E5,E6)
a3
ω3
a6
ω6
3
D
B
2 ω
2
5
6Cα
4
ω4
x
xA
)( '5'3 ee
b?
3n?
4n? )( fdap ????,、
c? n?
6
k? aE
epa ?66 ???
e6?
akE6E5 = 2?5?vrE6E5
矢量方程图解法小结
1.列矢量方程式
第一步：判明机构的级别 —— 适用二级机构
第二步：分清基本原理中的两种类型
第三步：矢量方程式图解求解条件 —— 只能有两个未
知数
2,做好速度多边形和加速度多边形
（ 1）分清 绝对矢量 和 相对矢量 的作法，并掌握判别
指向的规律
（ 2）比例尺的选取及单位。
3,注意速度影像法和加速度影像法的应用原则和方向
4,构件的角速度和角加速度的求法
5,科氏加速度存在条件、大小、方向的确定。
基本要求：
?明确机构运动分析的目的
和方法；
?理解速度瞬心 （ 绝对瞬心
和相对瞬心 ） 的概念, 并能
运用, 三心定理, 确定一般
平面机构各瞬心的位置；
?能用瞬心法对简单高, 低
副进行速度分析 。
?能用图解法和解析法对平
面二级机构进行运动分析 。
本章重点,
?速度瞬心的概念和, 三心定理,
的应用；
?通过机构位置矢量多边形建立
机构的位置矢量方程；
?应用相对运动图解法原理求二
级机构构件上任意点和构件的运
动参数 。
本章难点,
对有共同转动且有相对移动的两
构件重合点间的运动参数的求解 。
1,机构运动分析的任务
在已知机构尺寸和原动件运动规律的情况下, 确定机构中其
它构件上某些点的 轨迹, 位移, 速度及加速度 和某些构件的
角位移, 角速度及角加速度 。
3-1 机构运动分析的任务、目的及方法
2,机构运动分析的目的
? 位移, 轨迹分析
A
C
B
ED
HE
HD① 确定机构的位置 （ 位形 ）, 绘制
机构位置图 。
② 确定构件的运动空间, 判断是否发生
干涉 。
③ 确定构件 (活塞 )行程, 找出上下极限
位置 。
④ 确定点的轨迹（连杆曲线）。
? 速度分析
① 通过分析, 了解从动件的速度变化
规律是否满足工作要求 。 如牛头刨床；
② 为加速度分析作准备 。
? 加速度分析
① 确定各构件及其上某些点的加速度；
② 了解机构加速度的变化规律；
③ 为机构的力分析打基础。
3,机构运动分析的方法
● 图解法
● 解析法
速度瞬心法
矢量方程图解法
3-2 用速度瞬心作平面机构的速度分析
?速度瞬心 (瞬心 ):
两个互相作平面相对运动的刚体
（ 构件 ） 上绝对速度相等的重合点 。
—— 两构件的 瞬时等速重合点
一、速度瞬心 (Instantaneous Center of Velocity—— ICV)
12
A2(A1)
B2(B1)
P21
VA2A1
VB2B1
?相对瞬心 － 重合点绝对速度不为零 。
?绝对瞬心 － 重合点绝对速度为零 。
瞬心的表示 —— 构件 i 和 j 的瞬心用 Pij表示。
特点：
① 该点涉及两个构件 。 ② 绝对速度相同, 相对速度为零 。
③ 相对回转中心 。
二、机构中瞬心的数目
∵ 每两个构件就有一个瞬心
∴ 根据排列组合有
若机构中有 N个 构件 （ 包括机架 ）, 则
? ? 2
)1(
!2!2
!2 ??
????
NN
N
NCK
N
三、机构中瞬心位置的确定 ?
1,通过运动副直接相联的两构件的瞬心位置确定
1）以 转动副 相联
的两构件的瞬心
1 2
P12
—— 转动副的中心。
2）以 移动副 相联的
两构件的瞬心
—— 移动副导路的
垂直方向上的无穷
远处。
1 2
P12 ∞
3） 以 平面高副 相联的两构件的瞬心
?当两高副元素作 纯滚动 时
—— 瞬心在接触点上。
t
1
2
n
n
t ?当两高副元素之间 既有相对滚动,
又有相对滑动 时
—— 瞬心在过接触点的公法线 n-n 上,
具体位置需要根据其它条件确定 。
V12
1
2
P12
2,不直接相联两构件的瞬心位置确定 —— 三心定理
三心定理
—— (Kennedy’s theory)
三个彼此作平面平行运
动的构件的三个瞬心必
位于同一直线上。 其中
一个瞬心将另外两个瞬
心的联线分成与各自角
速度成反比的两条线段 。
3
2
?2 ?3
1
VK2
VK1
P12 P13
证明,(1) ?2 1P23 P23P23
VP23
?3
(2)
??
?
?
?
??
??
23133
23122
3
2
PPV
PPV
P
P
?
?
2312
2313
3
2
PP
PP??
?
?
K(K2,K3)
四、用瞬心法进行机构速度分析
例 1 如图所示为一平面四杆机构, （ 1） 试确定该机构在图示
位置时其全部瞬心的位置 。 （ 2） 原动件 2以角速度 ω 2顺时针方
向旋转时, 求图示位置时其他从动件的角速度 ω 3, ω 4 。
解 1、首先确定该机构所有瞬心的数目
K = N（ N－ 1） / 2
= 4（ 4－ 1） / 2 = 6
2、求出全部瞬心
两种方法：
①三心定理。
②瞬心多边形法：构件用点代替，瞬心用线段来代替。
瞬心 P13,P24用
三 心 定理 来求
P24
P13
3
2
4
1
ω4
ω2
1 2
34
P12
P34
P14
P23
P24
P13
3
2
4
1
ω4
ω2P
12
P34
P14
P23
∵P 24为构件 2,4等速重合点
lp
lp
ppv
ppv
??
??
24144
24122
24
24
?
?
2414
2412
4
2
2414
2412
24
pp
pp
pp
pp
?
??
?
?
??
或
构件 2：
构件 3：
同理可以求得
2312
2313
3
2
PP
PP?
?
?
21
34
1?
4 1
23
例 2, 图示为一曲柄滑块机构，设各构件尺寸为已知，又已原动
件 1以角速度 ω 1，现需确定图示位置时从动件 3的移动速度 V3。
P34?∞ P34?∞
23P
12P
14P
解 1,首先确定该机构
所有瞬心的数目
K = N（ N－ 1） / 2
= 4（ 4－ 1） / 2
= 6
2、求出全部瞬心
24P
13P
VP13
∵ P13为构件 1,3等速重合点
21
34
1?
13P
24P
P34?∞ P34?∞
23P
12P
14P
3、求出 3的速度
? ?
13
13
3
13141
P
lP
vv
ppv
?
? ??
? ?lppv ?? 131413 ??
1
2
3 K
例 3 图示为一凸轮机构, 设各构件尺寸为已知, 又已原动
件 2的角速度 ω2,现需确定图示位置时从动件 3的移动速度 V3。
解, 先求出构件 2,3的瞬心 P23
? ?lP ppv ?? ?? 2312223? P13→∞
n
n
1
23
P12
P13→∞
P23
? ?lP ppvv ?? ???? 231223 23
3-3 机构运动分析的矢量方程图解法
一、矢量方程图解法的基本原理和作法
?基本原理 —— (1)矢量加减法； (2)理论力学 运动合成原理 。
因每一个矢量具有大小和
方向两个参数, 根据已知
条件的不同, 上述方程有
以下四种情况：
设有矢量方程,D＝ A + B + C
(1)矢量加减法
CBAD ???? ???
大小,？ ? ? ?
方向,？ ? ? ?
A B
D C
§ 3－ 3 用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析 CBAD ???? ???
大小,? ?
方向,? ? ? ?
CD
CBAD ???? ???
大小,? ? ? ?
方向,? ?
CBAD ???? ???
大小,?? ? ?
方向,? ?? ?
A B A
D C
B
CD
A B ?特别注意矢
量箭头方向 ！
?作法,1）根据运动合成原理 —— 列出矢量方程式。
2）根据矢量方程式 —— 作图求解。
构件间的相对运动问题可分为两类：
绝对运动 = 牵连运动 + 相对运动
(2) 理论力学运动合成原理
?同一构件上的两点间的运动关系
?两构件重合点间的运动关系
A
B
1 A(A1,A2)
2
二、同一构件上两点间的速度及加速度的关系 ?
作机构运动简图。图示尺寸实际尺寸取长度比例尺,/ mmml ??
现以图示曲柄滑块机构为例, 说明用矢量方程图解法作
机构的速度分析和加速度分析的具体步骤 。
已知图示曲柄滑块机构原动件 AB
的运动规律和各构件尺寸 。 求：
① 图示位置连杆 BC的角速度和其
上各点速度 。
② 连杆 BC的角加速度和其上 C点加
速度 。
（ 1） 速度关系：
① 根据运动合成原理，列出速度矢量方程式：
2222 BCBC VVV
??? ??
大小：
方向：
ω1lAB?
∥ xx ⊥ AB ⊥ BC
② 确定速度图解比例尺 μv( (m/s)/mm)
c
b
smpcv VC /??
smbcv VCB /??
速度多边形③ 作图求解未知量：
p
极点
CBCB l/2 v?? （逆时针方向）
2222 BEBE vvv
??? ??
如果还需求出该构件上 E点的速度 VE
大小：
方向：
√?
⊥ AB ⊥ EB ∥ xx ⊥ EC
c
b
p
极点 e
√?
222 CEC vv
?? ??
△ bce ~ △ BCE,叫做 △ BCE 的 速度影像,
字母的顺序方向一致。
?速度影像原理：
同一构件上若干点形成的几
何图形与其速度矢量多边形
中对应点构成的多边形相似,
其位置为构件上的几何图形
沿该构件的 ?方向转过 90o。
? 速度多边形的特性：
3）在速度多边形中，极点 p 代表机构中速度为零的点。
1） 在速度多边形中, 由极点 p
向外放射的矢量代表构件上相应
点的绝对速度, 方向由极点 p 指
向该点 。
4） 已知某构件上两点的速度, 可用 速度影象法 求该构件上第
三点的速度 。
2）在速度多边形中，联接绝对速度矢端两点的矢量，代
表构件上相应两点的相对速度，例如, 代表
CBv
?bc
c
b
速度多边形
p
极点
(2) 加速度关系：
a) 根据运动合成原理，列出加速度矢量方程式：
方向,√ √ C→B ⊥ BC
大小,？ √ ?22lBC？
t
CB
n
CBBCBBC aaaaaa ?????
作矢量多边形。
b) 根据矢量方程式，取 加速度比例尺
图示尺寸
实际加速度,/
mm
s2m
a ??
b?n
c
b
p
极点 e
c′
p?
2/ smcpa aC ??? ?
由加速度多边形得：
b?n
c′
p? acbt
acbn
BCa
BCtCB
lcn
la
??
?
?
? 2
同样, 如果还需求出该构件上 E
点的加速度 aE,则
tEBnEBBE aaaa ???? ???
方向,？ ? E→B ⊥ BE
大小,？ ? ω2 2 lBE ?2 lCE
同理，按照上述方法作出矢量多边形，
则代表ep?? Ea?
n?
e? b?n
c′
p?
aE epa ????
由加速度多边形得：
tEBnEBBE aaaa ???? ???
方向,？ ? E→B ⊥ BE
大小,？ ? ω2 2 lBE ?2 lCE
△ b’c’e’ ~ △ BCE,叫做
△ BCE 的 加速度影像, 字
母的顺序方向一致 。
?加 速度影像原理：
同一构件上若干点形成的几何图形与其加速度矢量多边
形中对应点构成的多边形相似；其位置为构件上的几何
图形沿 该构件 的 ?方向转过 (180o-?)。
n?
e? b?n
c′
p?2?
(?-?)
?
acbt
acbn
22
2
22
2
?
?
?
?? ?
?
???
?
??
BC
BC
a
a
bn
cntg
nCB
tCB
??????? ? 21 ??? tg
? 加速度多边形的特性：
b?n
c′
p? acbt
acbn
1） 在加速度多边形中, 由极
点 p′ 向外放射的矢量代表构
件上相应点的绝对加速度, 方
向由极点 p′ 指向该点 。
2） 在加速度多边形中, 联接绝对加速度矢端两点的矢量, 代
表构件上相应两点的相对加速度, 例如, 代表 。
3）在加速度多边形中，极点 p′ 代表机构中加速度为零的点。
4） 已知某构件上两点的加速度, 可用加速度影象法求该构件上
第三点的加速度 。
cb ?? CBa?
ω1
A
D
C
1
4
3
2B
?1
三、两构件 重合点 间的速度和加速度的关系 ?
已知图示机构尺寸和原动件 1的运动 。 求重合点 C的运动 。
4
?原理 —— 构件 2的运动可以认
为是随同构件 1的 牵连运动 和构件
2相对于构件 1的 相对运动 的合成 。
?分析 —— 构件 1和 2组成移动副, 点 C为两个构件的
一个重合点 。 Vc2,ac2根据两构件重合点间的关系可由
vc1,ac1求出, 而构件 2和 3在 C点的速度和加速度相等 。
ω1
A
D
C
1
4
3
2B
4
1) 依据原理列矢量方程式
将构件 1扩大至与 C2点重合。
?1
1212 CCCC VVV
??? ??
大小：
方向：
？ √?
⊥ CD
vC2
2) 取速度比例尺 ?v,作速
度多边形, 由速度多边
形得：c
2 (c3)
( 顺时针 ）
CD
v
CD
C
vCC
vCC
l
pc
l
v
ccv
pcvv
?
?
?
?
23
3
2112
223
??
?
??
c1
P
vC1
⊥ AC ∥ AB
1,速度分析：
1) 依据原理列矢量方程式
c2 (c3)
c1
P
ω1
A
D
C
1
4
3
2B
4
?1
akC2C1
科氏加速度方向 —— 将 vC2C1沿 牵连角速度 ?1转过 90o。
2,加速度分析：
k CCr CCCC aaa
121212
??? ??
aC2 aC2C1+aC1=
科氏加速度
rk va ??? ?? ?2
当牵连点系 （ 动参照系 ） 为
转动时, 存在科氏加速度 。
动系转动速度 相对速度
分析：
？
C
c2 (c3)
c1
P
A 4
4
ω1
D1
3
2B
?1
方向,？ √ √ ∥ AB
大小,？ 已知 √？
akC2C1
1212 12 CCk CC va ??
由于上式中有三个未知数,
故无法求解 。
可根据 3构件上的 C3点进
一步减少未知数的个数 。
arC2C1
aC1n a
C1t
r CCk CCCC aaaa
121212
???? ???
r CCk CCCt DCn DCC aaaaaa
12121332
?????? ?????
大小：
方向,C→D ⊥ CD √ √ ∥ AB
323l? 33l?
√
1212 CCv?
？
c2 (c3)
c1
P
C
A 4
4
ω1
D1
3
2B
?1
akC2C1
arC2C1
aC1n a
C1t
？
r CCk CCCt DCn DCC aaaaaa
12121332
?????? ?????
大小：
方向,C→D ⊥ CD √ √ ∥ AB
323l? √ 1212 CCv?？
c1′
n′
c2′(c3′ )
k′
p’
2) 取速度比例尺 ?a,作
加速度多边形 。
由加速度多边形可得：
（顺时针）
c2 (c3)
c1
P
C
A 4
4
ω1
D1
3
2B
?1
akC2C1
arC2C1
aC1n a
C1t
c1′
n′
c2′(c3′ )
k′
p’
CD
a
CD
t
DC
aCC
l
cn
l
a
cpaa
?
?
?
23
3
223
??
??
????
atC3
arC2C1
B
1
2 3
B1
23 B
1 2
3
B1
2
3
1B
2
3
B1
2
3
B1
2
3
B
123
无 ak 无 ak 有 ak
有 ak
有 ak 有 ak
有 ak
有 ak
?哥氏加速度存在的条件：
判断下列几种情况取 B点为重合点时有无 ak
2）两构件要有相对移动。
1）牵连构件要有转动；
rk va ??? ?? ?2
如图所示为一偏心轮机构 。 设已知机构各构件的尺寸, 并知原动件 2以
角速度 ?2等速度转动 。 现需求机构在图示位置时,
? 滑块 5移动的速度 vF,加速度 aF
? 构件 3,4,5的角速度 ?3,?4,?5和角速度 ?3,a4,?5。
典型例题分析
解,1,画机构运动简图
E
(E5,E6)
a3
ω3
a6
ω6
3
D
B
2 ω
2
5
6Cα
4
ω4
x
xA
2,速度分析：
(1) 求 vB:
2?ABB lv ?
E
(E5,E6)
a3
ω3
a6
ω6
3
D
B
2 ω
2
5
6Cα
4
ω4
x
xA
（ 2） 求 vC:
c
e3(e5)
be
6
P(a,d,f)
（ 3） 求 vE3,用速度影像求解
（ 4） 求 vE6,5656 EEEE vvv ??
大小：
方向：
？ √?
⊥ EF √ ∥ xx
sr a dCDpclv
l
v
CD
C /
4 ?
?? ??
sr adlpelv
EF
v
EF
E /66
6
?? ??
（ 5） 求 ?3,?4,?5;/3 sradBCbclv
l
v
BC
CB
?
?? ??
)( '5'3 ee
3,加速度分析
22?ABnBAB laa ??(1) 求 aB,E
(E5,E6)
a3
ω3
a6
ω6
3
D
B
2 ω
2
5
6Cα
4
ω4
x
xA
(2) 求 aC及 ?3,?4
tCBnCBBtCDnCDC aaaaaa ?????
大小：
方向：
√？ √ √？
C→D ⊥ CD B→A C→B ⊥ CD
BC
a
BC
tCB
l
cn
l
a ?? ???? 3
3 CD
a
CD
tCD
l
cn
l
a ?? ???? 4
4
aC cpa ????
其方向与 ;一致cp ??
b?
3n?
4n? )( fdap ????,、
c?
aE epa ????3(3) 求 aE, 利用影像法求解
(4) 求 aE6和 ?6
r EEk EEEt FEn FEE aaaaaa
56565666
?????? ?????
E→F ⊥ EF √ ⊥ xx ∥ xx
EF
a
EF
t
FE
l
en
l
a ?? '66
6
6 ???
大小：
方向：
√？ √ √？
E
(E5,E6)
a3
ω3
a6
ω6
3
D
B
2 ω
2
5
6Cα
4
ω4
x
xA
)( '5'3 ee
b?
3n?
4n? )( fdap ????,、
c? n?
6
k? aE
epa ?66 ???
e6?
akE6E5 = 2?5?vrE6E5
矢量方程图解法小结
1.列矢量方程式
第一步：判明机构的级别 —— 适用二级机构
第二步：分清基本原理中的两种类型
第三步：矢量方程式图解求解条件 —— 只能有两个未
知数
2,做好速度多边形和加速度多边形
（ 1）分清 绝对矢量 和 相对矢量 的作法，并掌握判别
指向的规律
（ 2）比例尺的选取及单位。
3,注意速度影像法和加速度影像法的应用原则和方向
4,构件的角速度和角加速度的求法
5,科氏加速度存在条件、大小、方向的确定。
