第三节 人口增长
索洛模型说明，资本积累本身并不能解释持续
的经济增长。高储蓄率引起暂时的高增长，但经济
最终要达到资本与产出不变的稳定状态。为了解释
我们在世界上大多数国家所观察到的持续经济增长，
我们必须把索洛模型扩大到包括其它两个经济增长
的源泉 — 人口增长和与技术进步。在这一节中，我
们把人口增长加入到模型中。
这里我们不像前述那样假设人口是固定的，而
是假设人口和劳动力按一个不变的比率 n在增长。
一、人口增长时的稳定状态
人口增长如何影响稳定状态呢？为了回答这个问题，
我们必须讨论人口增长如何与投资和折旧一起影响人均
资本积累。正如我们以前提到过的，投资增加了资本存
量，而折旧减少了资本存量。但现在有第三种作用于人
均资本变动的力量,工人数量增加引起人均资本的减少。
人均资本存量的变动是：
Δk=i-（ δ+n） k
这个式子表明，新投资、折旧和人口增长如何影响
人均资本存量。新投资增加了人均资本存量，而折旧和
人口增长减少了资本存量。
我们可以把 （ δ+n） k项定义为 收支相抵的投资 --保持人
均资本存量不变的投资量 。 收支相抵的投资包括现有资本
的折旧, 它等于 δk,它还包括为新工人提供资本所需要的
投资量, 为这一目的所需要的投资量是 nk。 这个式子表明,
人口增长减少人均资本积累的方法与折旧类似 。 折旧通过
磨损资本存量 k,而人口增长通过把资本存量更少地分散
到大量工人中而减少 k。
我们现在对人口增长进行的分析的做法也与以前类似。
首先，我们用 sf(k)代替 i。这个式子可以写为：
Δk=sf（ k） -（ δ+n） k
为了说明什么因素决定了稳定状态的人均资本水平,
我们看图 2.11。
如果人均资本 k是不变的, 一个经济处于稳定状态 。
与前一样, 我们用 k*表示稳定状态时 k的值 。 如果 k小于 k*，
投资就大于收支相抵的投资, 因此, k就增加；如果 k大于
k*,投资就小于收支相抵的投资, 因此, k就减少, 因此
我们把 k*看成是 稳定状态的人均资本水平 。
在稳定状态时，投资对人均资本存量的正效应正
好与折旧和人口增长的负效应平衡。这就是说，在 k*
时,Δk =0，而且,i*=δk*+ n k* 。一旦经济处于稳
定状态，投资有两个目的。一些投资（ δk*）用于替代
折旧的资本，而另一些投资（ nk*）为新工人提供稳定
状态的资本量。
二、人口增长的影响
人口增长在两方面改变了基本索洛模型。
第一，它使我们更接近于解释持续的经济增长。在人口增
长的稳定状态中，人均资本和人均产量是不变的。但是，由于
工人数量以 n这一比率增长。因此，尽管人口增长不能解释生
活水平的持续提高（ 由于在稳定状态时人均产出不变），但
它有助于解释总产出的持续增长。
第二，人口增长对为什么一些国家富有而另一些国家贫困
提供了另一种解释。考虑人口增长的影响。图 2.12表明，人口
增长率从 n1提高到 n2使稳定状态资本水平从 k*1下降为 k*2。由
于 k*减少了，以及由于 y*=f(k*)，所以人均产量水平也降低了。
因此索洛模型预言，人口增长率较高的国家，人均 GDP水平较
低。
人口增长率从 n1提高到 n2使代表人口增长和折
旧的线向上移动 。 新稳定状态的人均资本存量水
平 k*2低于原来的稳定状态 k*1。 因此, 索洛模型
预言, 人口增长率较高的国家, 人均资本水平较
低, 从而人均收入水平也较低 。
最后，人口增长影响我们决定黄金规则（消费最大化）
资本水平的标准。为了说明这个标准如何变动，要注意人
均消费是：
c=y-i
由于稳定状态产量是 f(k*)，稳定状态的投资是 (δ+n)k*，
所以我们可以把稳定状态的消费表示为：
c*= f(k*)-(δ+n)k*
用以前大致相同的推理，我们可以得出这样的一个结论：
使消费最大化的 k*的水平应满足条件：
MPK=δ+n
或者换个说法：
MPK-δ=n
案例研究：世界各国的人口增长
现在我们再回到为什么世界各国生活水平
差别如此巨大的问题。我们刚刚完成的分析表
明，人口增长可能是一个答案。根据索洛模型，
人口增长率高的国家稳定状态的人均资本存量
低，从而人均收入也低。换言之，高人口增长
率总使一国状态恶化是因为工人数量增长迅速
时很难维持高水平的人均资本。
这个结论引起了决策者的注意。那些力图使世界上
最贫困的国家走出贫困的人，例如，世界银行派到发
展中国家的顾问，通常都建议通过增加控制生育方法
的教育和扩大妇女工作机会来降低出生率。为了达到
同样的目的，中国实行只允许一对夫妇生一个孩子的
严厉政策。如果索洛模型正确的话，这些降低人口增
长率的政策在长期中提高了人均收入。
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索洛模型说明，资本积累本身并不能解释持续
的经济增长。高储蓄率引起暂时的高增长，但经济
最终要达到资本与产出不变的稳定状态。为了解释
我们在世界上大多数国家所观察到的持续经济增长，
我们必须把索洛模型扩大到包括其它两个经济增长
的源泉 — 人口增长和与技术进步。在这一节中，我
们把人口增长加入到模型中。
这里我们不像前述那样假设人口是固定的，而
是假设人口和劳动力按一个不变的比率 n在增长。
一、人口增长时的稳定状态
人口增长如何影响稳定状态呢？为了回答这个问题，
我们必须讨论人口增长如何与投资和折旧一起影响人均
资本积累。正如我们以前提到过的，投资增加了资本存
量，而折旧减少了资本存量。但现在有第三种作用于人
均资本变动的力量,工人数量增加引起人均资本的减少。
人均资本存量的变动是：
Δk=i-（ δ+n） k
这个式子表明，新投资、折旧和人口增长如何影响
人均资本存量。新投资增加了人均资本存量，而折旧和
人口增长减少了资本存量。
我们可以把 （ δ+n） k项定义为 收支相抵的投资 --保持人
均资本存量不变的投资量 。 收支相抵的投资包括现有资本
的折旧, 它等于 δk,它还包括为新工人提供资本所需要的
投资量, 为这一目的所需要的投资量是 nk。 这个式子表明,
人口增长减少人均资本积累的方法与折旧类似 。 折旧通过
磨损资本存量 k,而人口增长通过把资本存量更少地分散
到大量工人中而减少 k。
我们现在对人口增长进行的分析的做法也与以前类似。
首先，我们用 sf(k)代替 i。这个式子可以写为：
Δk=sf（ k） -（ δ+n） k
为了说明什么因素决定了稳定状态的人均资本水平,
我们看图 2.11。
如果人均资本 k是不变的, 一个经济处于稳定状态 。
与前一样, 我们用 k*表示稳定状态时 k的值 。 如果 k小于 k*，
投资就大于收支相抵的投资, 因此, k就增加；如果 k大于
k*,投资就小于收支相抵的投资, 因此, k就减少, 因此
我们把 k*看成是 稳定状态的人均资本水平 。
在稳定状态时，投资对人均资本存量的正效应正
好与折旧和人口增长的负效应平衡。这就是说，在 k*
时,Δk =0，而且,i*=δk*+ n k* 。一旦经济处于稳
定状态，投资有两个目的。一些投资（ δk*）用于替代
折旧的资本，而另一些投资（ nk*）为新工人提供稳定
状态的资本量。
二、人口增长的影响
人口增长在两方面改变了基本索洛模型。
第一，它使我们更接近于解释持续的经济增长。在人口增
长的稳定状态中，人均资本和人均产量是不变的。但是，由于
工人数量以 n这一比率增长。因此，尽管人口增长不能解释生
活水平的持续提高（ 由于在稳定状态时人均产出不变），但
它有助于解释总产出的持续增长。
第二，人口增长对为什么一些国家富有而另一些国家贫困
提供了另一种解释。考虑人口增长的影响。图 2.12表明，人口
增长率从 n1提高到 n2使稳定状态资本水平从 k*1下降为 k*2。由
于 k*减少了，以及由于 y*=f(k*)，所以人均产量水平也降低了。
因此索洛模型预言，人口增长率较高的国家，人均 GDP水平较
低。
人口增长率从 n1提高到 n2使代表人口增长和折
旧的线向上移动 。 新稳定状态的人均资本存量水
平 k*2低于原来的稳定状态 k*1。 因此, 索洛模型
预言, 人口增长率较高的国家, 人均资本水平较
低, 从而人均收入水平也较低 。
最后，人口增长影响我们决定黄金规则（消费最大化）
资本水平的标准。为了说明这个标准如何变动，要注意人
均消费是：
c=y-i
由于稳定状态产量是 f(k*)，稳定状态的投资是 (δ+n)k*，
所以我们可以把稳定状态的消费表示为：
c*= f(k*)-(δ+n)k*
用以前大致相同的推理，我们可以得出这样的一个结论：
使消费最大化的 k*的水平应满足条件：
MPK=δ+n
或者换个说法：
MPK-δ=n
案例研究：世界各国的人口增长
现在我们再回到为什么世界各国生活水平
差别如此巨大的问题。我们刚刚完成的分析表
明，人口增长可能是一个答案。根据索洛模型，
人口增长率高的国家稳定状态的人均资本存量
低，从而人均收入也低。换言之，高人口增长
率总使一国状态恶化是因为工人数量增长迅速
时很难维持高水平的人均资本。
这个结论引起了决策者的注意。那些力图使世界上
最贫困的国家走出贫困的人，例如，世界银行派到发
展中国家的顾问，通常都建议通过增加控制生育方法
的教育和扩大妇女工作机会来降低出生率。为了达到
同样的目的，中国实行只允许一对夫妇生一个孩子的
严厉政策。如果索洛模型正确的话，这些降低人口增
长率的政策在长期中提高了人均收入。
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