工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(18)
§ 7,2 桁 架内 力的计算
7.2.1 桁 架的特点及内力
1,桁 架的特点
（ 1）全部为直杆，各直杆两端铰接组成结构，
构成平面 桁 架或空间 桁 架。
（ 2）各杆不计自重，且全部载荷（主动力）均
作用在节点处。
（ 3）各杆均为二力杆（拉杆或压杆）
A
B
C
D EF
P?
P?
P?
2,桁 架的内力
A B
AF
?OO FF ??
研究 桁 架结构中的 任意
二力杆，如 AB，有,
假想在 O处将 AB切断，
则 BO对 AO的作用为一分布力系，
该力系可简化为一个力
OF
?
同理,OB段受 AO的作用力为
OF?
?
O
OF?
?
OF
?
BF
?BO
AF
? A O
BF
?根据 AO或 OB的平衡方程有：
BAOO FFFF ????
BA FF ?
A
B
C
D EF
P?
P?
P?
通常约定 二力杆的内力未知时按受拉假设,
当求得二力杆的内力为正时，即为受拉，
当求得二力杆的内力为负时，即为受压。
OF?
?
OF
?
BF
?BO
AF
? A O
或 称为 二力杆的内力 。可用代数值 FO表示。
OF?
?
OF
?
二力杆内力的符号规定：
二力杆的内力以 拉力为正，压力为负。
A B
ABF
?
ABF?
?
AB杆内力 FAB为正
C D
CDF
?
CDF?
?
CD杆内力 FCD为负
3,桁 架内力分析步骤
（ 1）判断 桁 架是否为静定结构
(2) 先从 桁 架中找出 零杆 和 等轴力杆
零杆 —— 内力为零的二力杆
等轴力杆 —— 内力相同的二力杆
（ 3）利用节点法或截面法求解杆的内力
作为一个整体的桁 架中，杆数为 S，节点数为 n,
静定 桁 架,S=2n - 3
静不定 (超静定 )桁 架,S > 2n - 3
桁 架若可以作为一个整体，外界的支承条
件是否为静定？
★
桁 架作为一个整体本身是否为静定 桁 架？★
可判断出零杆和等轴力杆的情况：
无主动力的三杆节
点，其中二杆共线
0杆
等轴力杆
无主动力的不
共线二杆节点0杆 0杆
F?
不共线的二杆节点，
主动力沿其中一杆
0杆
无主动力，共线的二杆节
点或两两共线的四杆节点
等轴力杆 两对等轴力杆
还可利用对称性：
F?
等轴力杆
求桁架的内力通常有两种方法：
节点法 和 截面法 。
注意：桁架中的零杆，不承担载荷，只起到维
持结构几何稳定性的作用。故虽列平衡方程时
零杆不起作用，但不可将零杆去掉。
7.2.2 节点法
因各杆间通过销钉联接，取销钉为研究对象，外
力及各杆对销钉的作用力为汇交力系。
以节点 D为例：
当各杆的内力设为受拉时，各杆对销钉的作用力的
方向由节点指向外，沿杆的方向作用。
P?
1F
? 2F?
3F
?D
从桁 架中取出销钉 D为分离体，画出受力图。
A
B
C
D EF
P?
P?
P?
每个节点可建立 2个平衡方程，对有 n个节点,S根杆
的静定桁架，共有 2n个独立方程，此外，对桁架整体，
共有 S+3个未知力 (S个未知内力,3个对桁架整体的未
知外部约束力），各杆的内力可根据各节点的平衡方
程一步步求得。
P?
1F
? 2F?
3F
?D
节点法的求解步骤：
（ 1）先列桁架整体的平衡方程，求出支座约束力。
（ 2）依次对各节点取分离体列平衡方程。
（ 3）首先取 只有二杆的节点,再依次取 只有二个
未知力的节点 。
（ 4）各杆内力统一设为拉力（即各
节点处力矢从节点向外）。
例 题 7
§ 7 力系的平衡
?例题
判断结构中的零杆和等轴力杆。
F?
F? F?
A B
C
O
例 题 7
§ 7 力系的平衡
?例题
解,此桁 架整体为静定结构（简支）,桁 架本身 S=21,n=12,
故 2n-3=24-3=21=S，为静定桁 架。
对整体列平衡方程,0??
ixF 0?AxF
0?? OM ByAy FF ?
F?
F? F?
A B
C
OAxF?
AyF
?
ByF
?①
②
③ ④
⑤
⑥⑦ ⑧ ⑨
⑩ 11 12
20
13 14 15
16 17 18 19
21
F?
F? F?
A B
C
O
例 题 7 § 7 力系的平衡
?例题
AyF
?
ByF
?0 0 0 0 0 0? ?
判断零杆和等轴力杆：
① =② =⑤ =⑥③ =④,
①
②
③ ④
⑤
⑥⑦ ⑧ ⑨
⑩ 11 12
20
13 14 15
16 17 18 19
21
零杆：⑦,⑧, ⑨, 13,14,15
等轴力杆,16 = 17 = 18 = 19 = 20 = 21, ⑩ = 12
例 题 8
§ 7 力系的平衡
?例题
P?
A B
C
D
E G
桁架结构受力如图，杆
AE=EC=CG=GB=AD=
ED=DG=DB=a, 求各
杆的内力。
例 题 8
§ 7 力系的平衡
?例题
解：
P?
A B
C
D
E G
结构整体对外约束静定；桁架 S=9,
n=6,2n-3=12-3=9=S,为静定桁架；
1.对整体取分离体
0?? ixF
PFAx ?
(←) P?
A B
AxF
?
AyF
?
ByF
?
0
2
32 ???? PaFa
By
0?? iAM
PF By 43?? (↑)
0?? iyF PFF ByAy 43??? (↓)
ED杆为零杆,AE与 EC为等轴力杆。
例 题 8
§ 7 力系的平衡
?例题
P?
A B
AxF
?
AyF
?
ByF
?
C
D
E G
2,取节点 B
ByF
?
B
DBF
?
GBF
?
0?? iyF 060s i n ??? ByGB FF
24
3
3
2 PPF
GB ??????
0?? ixF 060co s ??? DBGB FF
4)2(2
1 PPF
DB ??????
PF By 43? (↑)
已求得：
例 题 8 § 7 力系的平衡
?例题
P?
A B
AxF
?
AyF
?
ByF
?
C
D
E G
3,取节点 G
G
0?? ?iF 030co s30co s ????? PF GD
PF GD ??
GDF
?
GCF
?
P?
GBF
?
??
2
PF
GB ??
已求得：
0?? ?iF 060c o s60c o s ?????? GDGBGC FPFF
2222
PPPPF
GC ??????
例 题 8
§ 7 力系的平衡
?例题
PFPF AyAx 43,??
P?
A B
AxF
?
AyF
?
ByF
?
C
D
E G
4.取节点 A
AAxF?
AyF
?
AEF
?
ADF
?
0?? iyF 060s i n ??? AyAE FF
23
2
4
3 PPF
AE ???? 2
PFF
AEEC ???
0?? ixF 060co s ???? AxAEAD FFF
PPPF AD 43212 ?????
例 题 8
§ 7 力系的平衡
?例题
P?
A B
AxF
?
AyF
?
ByF
?
C
D
E G
5.取节点 C
C
2
PF
GC ?
已求得：
2
PF
EC ?
ECF
?
GCF
?
CDF
?
0?? iyF 030co s30co s ????? GCECCD FFF
PPPF CD 2 322 322 3 ????????
6,取节点 D，可列平衡方程作为验证。
例 题 9
§ 7 力系的平衡
?例题
图示连续梁，载荷和尺
寸如图，各杆的自重不
计,A端为固定端,B、
C,D,G,F均为光滑
铰链。求固定端 A的约
束力和三根支撑杆 GD、
FG,BG的内力。
A B C D E
H G
2m 2m 2m 2m
3m
?
F?
例 题 9 § 7 力系的平衡
?例题
A B C D E
H G
2m 2m 2m 2m
3m
?
F?
解,此结构为混合结构。
F?
DGF
?
未知约束力,A端,,,
AxF
?
AyF
? AM
CyF
?
CxF
?C处,, 未知内力：,, 。
DGF
?
GBF
?
GHF
?
可判断为静定结构。独立方程数,3+3+2=8
CxF
?
CyF
?
1.取 CE杆为研究对象
D E
C
0?? iCM 04s i n2 ????? FF DG ?
FFF DG 310s i n2 ????? ?
? ?0ixF 0co s ?? ?DGCx FF
FFF Cx 38c o t2 ????? ?
? ?0iyF 0s i n ??? ?DGCy FFF FFFF
Cy ????? ?? s i ns i n
2
例 题 9
§ 7 力系的平衡
?例题
A B C D E
H G
2m 2m 2m 2m
3m
?
F?2.取节点 G为研究对象
G
GBF
?
GHF
?
DGF
?
0?? ixF 0co s ?? GHDG FF ?
FFF GH 3831054 ??????
0?? iyF 0s i n ?? ?DGGB FF
FFF GB 231053 ????
FF DG 310??已求得
例 题 9
§ 7 力系的平衡
?例题
F?
GHF
?
B C D E
H
G
2m 2m 2m 2m
3m
?
A
AyF
?
AxF
?AM
3.取整体为研究对象
0?? ixF 0?? GHAx FF
FF GH 38??已求得
FFF GHAx 38????
0?? iyF 0?? FF Ay
FF Ay ??
0?? iAM 038 ????? GHA FFM
03388 ????? FFM A
7.2.3 截面法
适用于求结构中某一杆的内力。
用一假想截面（可为平面或曲面）将桁架的一
部分杆切开，使桁架整体分为两部分；取其中
任意一部分为研究对象列出平衡方程，切断的
杆中内力以未知力形式出现在方程中。
截面法的求解步骤：
（ 1）先列桁架整体的平衡方程，求出支座约束力。
（ 2）根据所求杆的内力，适当选择截面将桁架整体
切开为两部分，取其中一部分为研究对象，切断的
杆的内力为未知力。
（ 3）列出适当形式的平衡方程，求出未知力。
注意 （ 1）对受平面力系作用的平面桁架 —
— 仅有 3个独立方程，故选择切开的截
面时，应注意切断的杆一般不能多于 3
根。（ 2）若切断的杆多于 3根，则必须满足：
a.除一个待求未知力外，其余未知力汇交于一点。
b.除待求杆外，其余被切断的杆都平行。
（ 3）截面切开时不应切在节点上。
（ 4）求解时，先找出全部零杆，并尽可能利用矩
形式的平衡方程。
例 题 10
§ 7 力系的平衡
?例题
P?
A B
C
D
E G
桁架结构受力如图，杆
AE=EC=CG=GB=AD=
ED=DG=DB=a, 求 CD
杆的内力。
例 题 10
§ 7 力系的平衡
?例题
P?
A B
C
D
E G
解,1.判断零杆 ED杆为零杆。
2.以 m-m截面切开，取右半部分：
0
m
m
P?
B
D
G
ADF
?
GCF
?
CDF
?
? ? 0iBM 0
2
3 ???? aPaF
CD
PF CD
2
3???
例 题 11
§ 7 力系的平衡?例题
解, (1)求 支座约束 力
以整体为研究对象：
0?? iAM 0213 21 ????? PPF By ByF?
3
2 21 PP ?? 8? kN
A B
C D
E
F
G
1P
?
2P
?
AyF
?
AxF
?
图示桁架各杆长均为 1m,P1=10kN,P2=7kN,求杆
EG的内力。
AxF? 0?0?? ixF
AyF? ByFPP ??? 21 9? kN
0?? iyF
ByF
?
B
D
F
G
2P
?
ByF
?
(2)用截面 m-m切开桁架，取右
半部分为分离体：
对平面一般力系，有三
个独立的平衡方程。
当切断杆的数目不超过三根
时，可将切断杆的内力求出。
3F?
82.9? kN (受拉 )
m
m
E
1F
?
2F
?
3F
?
A B
C D
E
F
G
1P
?
2P
?
1
2
3
例 题 11
§ 7 力系的平衡
?例题
0
2
35.05.1
32 ?????? FPF By
? ? 0iDM
AyF
?
AxF
?
ByF
?
即杆 EG的内力为 9.82kN(拉力 )。
例 题 11 § 7 力系的平衡
?例题
0?? iyF
1F 2
3
12 2
?
????
?
PF By 4.10?? kN
(受压 )
030c o s22 ??? ?FPF By
?30c o s
2PF By ??2F
15.1? kN
(受拉 )
E
1F
?
2F
?
3F
? B
D
F
G
2P
?
ByF
?
012 32 21 ?????? PFF By0?? iEM
例 题 12
§ 7 力系的平衡
?例题
1P?
2P?
3P?
4P?
5P?
4a
3a ?①
桁架结构受力
如图，试求其
中①杆的内力。
例 题 12
§ 7 力系的平衡
?例题
1P?
2P?
3P?
4P?
5P?
4a
3a ?①
解,1.受力分析：
此桁架 S=,n=,27 15
2n-3=2× 15-3=27=S
为静定桁架。
2.用 m-m截面将桁
架切开，取其上半
部分为分离体：
m m
例 题 12
§ 7 力系的平衡
?例题
1P?
2P?
3P?
4P?
5P?
4a
3a ?①m
m
①
3.对分离体列平衡方程
由于除①杆外，其
余切断的杆均为铅
垂方向，故可列：
0?? ixF
0co s121 ??? ?FPP
)(
4
5
5
4 21
21
1 PP
PPF ?????
（拉力）
1F
?
例 题 13
§ 7 力系的平衡
?例题
1P?
3P?
2P?
1
2
3
4
5
6
7
8
?
?
d ddd
h
h/2
图示平面桁架，已知,P1=P,P2=2P,P3=3P,求桁
架中的杆 24，杆 25，杆 35的内力。
例 题 13 § 7 力系的平衡
?例题
1P?
3P?
2P?
1
2
3
4
5
6
7
8
?
?
d ddd
h
h/2
解,1.受力分析,此为静定桁架,其中杆 23，杆 67为零杆。
0 0
2.求支座约束力
xF1
?
yF1
?
yF8
?
00 1 ???? xix FF
0324 3218 ???????? dPdPdPdF y
PF y 278 ??
01 ?? iM
0?? iyF 03281 ????? PPPFF yy PF y 2
5
1 ??
例 题 13 § 7 力系的平衡
?例题
Ⅰ
Ⅰ
1P?
3P?
2P?
1
2
3
4
5
6
7
8
?
?
d ddd
h
h/2
1P?
1
2
3
4
5
?
?
d d
3.沿 I-I截面切
开，取左半部
分为分离体：
? ? 05iM
0223c o s 124 ?????? dPdFhF y?24F?
35F
?
25F
?
22
22
1
24 43
4
4
2
2
3
2
5
2
c o s
2
3
2
hd
P
hd
d
h
PdPd
h
dFPd
F y ???
?
?
??
?
?
?
?
（压力）
例 题 13
§ 7 力系的平衡
?例题
02 ?? iM 0351 ?? hFdF y P
h
dF
h
dF
y 2
5
135 ???
（拉力）
1P?
1
2
3
4
5
?
?
d d
24F
?
35F
?
25F
?
00 ?? iM 023c o s 125 ?????? dPdFdF y?
0
d
h
dhP
dh
h
PP
F
6
3
2
2
5
22
22
25
?
?
?
?
?
??
（拉力）
例 题 14
§ 7 力系的平衡
?例题
A B
O1
O2
半径为 R 的均质薄壁无
底圆筒，放置于光滑水
平面上，筒内装有两个
重 P,半径为 r 的均质
球，已知 R/2 < r < R,不
计摩擦和筒厚，试求系
统能够平衡的圆筒重量。
例 题 14
§ 7 力系的平衡
?例题
A B
O1
O2
解,1.受力分析
O1
O2
A B
P?
P?
1F
?
DF
?
2F
?
1F?
?
RF?
?
2F?
?
W
x
分别以两球和圆筒为分离体画
出受力图。
圆筒受地面的支持力为沿筒壁
周边的分布力，其合力为
RF
?
例 题 14
§ 7 力系的平衡
?例题
O1
O2
P?
P?
1F
?
DF
?
2F
?
2.以两圆球为对象
0?? ixF 21 FF ??
01 ?? iOM 0s i n2co s2 2 ???? ?? rFrP
?co t12 PFF ???
?
例 题 14
§ 7 力系的平衡
?例题
A B
1F?
?
RF?
?
2F?
?
W?
x
3.以圆筒为对象
和 组成一力偶，故 和 也必组成一力偶。
1F?
?
2F?
? W?
RF?
?
0?? iM 0)(s i n22 ???? xRWrF ?
W
rPRPRW
W
rRPRx 22)(2 ???????
显然，应有 Rx ??0
)1(20 RrPWx ????
由
而已知 r < R, 保证了 x<R
§ 7.3 考虑摩擦的平衡问题
1.摩擦
P?
NF
?
F?
摩擦力的存在性实例：
实际工程问题一般都存在摩擦。但在有些工程问
题中，当摩擦阻力不大或摩擦并不起主要作用时，
可忽略不计摩擦的作用。
实际接触面并非理
想光滑,必须足够大，
才可推动重物滑动。故
一定有摩擦力 存在。
F?
fF
?
fF
?
摩擦的存在既有利也有弊：
利 —— 用于传动机械、启动或制动。
弊 —— 消耗能量，磨损零件，降低精度和机械效率。
摩擦的分类：
滑动摩擦
滚动摩擦
静摩擦
动摩擦
干摩擦
湿摩擦
—— 仅有相对运动趋势时产生的
—— 已有相对运动时产生的
—— 接触表面凸凹不平引起的
—— 物体接触面之间有液体成膜的
fs-----静滑动摩擦因数 (无量纲 ),
可由工程手册中查出。
静摩擦力是当物体在相互接触的位置有相对滑动趋势
(但并未发生相对滑动 )时，约束作用于物体的切向反
力。其方向与滑动趋势方向相反，其大小
m a x,ff FF ?
?
静摩擦力的最大值 可由实验测得，设 为约
束对物体的法向约束力，则 max,fF N
F?
2.静摩擦力（静滑动摩擦力）
库仑定律
Nsff FfFF ?? m a x,
? (7.7)
P?
NF
?
F? fF
?
静滑动摩擦因数 fS 与材料、接触面光滑度、温度、
湿度有关，与接触面积大小无关。
（ 1）来源 —— 接触面非光滑
（ 2） 的方向 —— 与物体相对接触面的 运动趋势相反
fF
?
物体受到的静摩擦力 的特点：
fF
?
（ 3） 的大小
fF
?
物体处于 临界 平衡时：
摩擦力参与平衡，且 FS=FS,max=fSFN
物体处于平衡时：摩擦力参与平衡，
但
NSff FfFF ?? m a x,
?
3.静摩擦因数的几何意义 —— 摩擦角
RF
?
NF
?
?
静平衡时全约束力 的
作用线一定在摩擦角内 R
F?
当 时
m a x,0 ff FF ?? f?? ??0
f?t an
N
f
F
F m a x,
?
N
NS
F
Ff? Sf?
对应的夹角 称为 摩擦角 。f?
当
ma x,ff FF
?? ? 时
称为全约束力
fNR FFF
??? ??
非光滑面约束对物体的约束力包
括法向约束力（正压力）及切向
约束力（静摩擦力），其 合力
摩擦角大小仅由
摩擦因数决定
P?
f?
RF
?
NF
?
max,fF
?
P?
fF
?
利用摩擦角判断受力物体是否平衡 —— 自锁现象
f?
n
F?
平衡，自锁现象
若某接触面上的物体所受
主动力的合力作用线在摩
擦角的范围之内,则不论
此力有多大,物体总是平
衡的 。－－自锁现象
不平衡，非自锁现象
F?
若某接触面上的物体所
受 主动力的合力作用线在
摩擦角的范围之外,则不
论此力有多小（只要不等
于零）,物体总不能平衡 。
f?
n
例如：斜面上的重物
?
n
f?
f?? ?
非自锁
P?
f?? ?
临界平衡
?
n
自锁
f?? ?
f?
P?
?
f?n
P?
测定 的方法f?
当物体相对于约束表面有相对滑动速度时，摩擦
力为动 (滑动 )摩擦力。
4,动滑动摩擦力
F′= f FN (7.8)
sff ?
f 近似是常数，称为动 (滑动 )摩擦因数，通常
P?
NF
?
fF
?
思考题
若主动力 的作用线向上移，结果如何？F?
F?
P?
NF
?
fF
?
F?
P?
F?
NF
?
fF
?
5、滚动摩阻力偶
考虑圆轮置于不光滑的水平路面上，
设轮子与路面均是刚性的 (不变形 ),
A处为点接触（ 理想状态！ ）。
由
FhFM
n
i
iA ??
? 1
)(
?
因此，无论 F 值多小，轮子都会滚动。
时，轮子会连滚带滑。
NS FfF ?
当 时，轮子作纯滚动。
NS FfF ?
而 实际情况, F 需大于某一值时，轮子才会滚动。
因此，路面不仅有阻碍轮子滑动的静摩擦力 存在，
而且还有阻止轮子滚动的阻力，称为 滚动摩阻 。fF
?
h
F? C
NF
?
P?
fF
? A
原因,轮子与地面实际上都会发生 变形,形成面接触，
因此地面对轮子的约束力为一分布力系。
由平衡条件：,,
PFN ? FFf ? FhM f ?
由于 阻碍轮子的滚动，称为滚 (动摩 )阻力偶。
fM
组成的力偶称为主动力偶，其力偶矩为),(
fFF
?? Fh
将该力系向 A点简化为法向约束力 和切向约束力
外，还应有一力偶，其力偶矩为 。
fF
?
fM
NF
?
F? C
P?
A
h
F? C
NF
?
P?
fF
? A
fM
或
h
F? C
NF
?
P?
fF
? A
?
滚阻力偶与主动力偶大小相等，方向相反，随主动力
偶的增大而增大。但滚阻力偶不可能无限制的增大。
其力偶矩的最大值为：
maxfM,N
F??
? 称为 滚动摩阻系数 。
轮子不发生滚动的物理条件：
Nm a xff FMM ????,0
与物体接触面的变形相关，而与接触面的粗糙程
度无关。材料越硬，接触面变形越小,也就越小。?
?
的量纲为长度，通常 很小，只要主动力偶的
力偶矩 Fh大于,轮子即可滚动。? ?
NF?
?的几何意义：使法向约束力 FN向前进方向平移的最
大距离。
h
F? C
NF
?
P?
fF
? A fM
讨论 轮子在水平方向的运动
状态 —— 滚动与滑动
由轮子的平衡条件：
FFf ?
FhM f ?
0?? ixF
0?? iAM
物理条件：
NSf FfF ? Nf FM ??
故轮子平衡时所受的主动力满足,及
NS FfF ?
h
FF N??
若材料接触面的静摩擦因数与摩阻系数满足：
hf S
??
A点无滑动
轮子不滚动
故,当 时，轮子静止。
NFhF
??
NSN FfFFh ??
?当 时，轮子纯滚动。
NS FfF ?
当 时，轮子连滚带滑。
若材料接触面的静摩擦因数与摩阻系数满足：
hf S
??
则,当 时，轮子静止。
NS FfF ?
NNS FhFFf
???当 时，轮子纯滑动。
NFhF
??当 时，轮子连滚带滑。
h
F? C
NF
?
P?
fF
? A fM
6.考虑摩擦的平衡问题的分析要点
（ 1）考虑摩擦的物体系处于平衡时（包括静摩擦力
达到其最大值的临界平衡状态），平衡方程仍满足。
（ 2）静摩擦力方向的判断：
a.画出受力图，由主动力判断其相对运动趋势而定。
b.若相对运动趋势可有选择时，先假定一个运动的
方向及摩擦力指向，求解后摩擦力的范围应为：
NSfNS FfFFf ???
根据摩擦力的正负号可判断。
c.同一物体在 多个接触点处存在摩擦的,注意判断运
动趋势时各接触点的 滑动趋势之间的相容性 。
（ 3）静摩擦力的大小：
物体处于平衡状态时，摩擦力 Ff 大小未知，且 NSf FfF ??
物体处于临界平衡状态时,摩擦力不独立。
NSff FfFF ?? m a x,
?
带摩擦圆轮的滚动问题：
设轮的重量为 W,半径为 r，不计重量的 AB杆长 l,轮
与杆及轮与地面的摩擦因数分别为 fSC,fSD,试求：
保证轮子静止时 fSC 和 fSD 应满足的条件？
例 题 15
§ 7 力系的平衡
?例题
D
F?
C
O
?
W?
A
B
(1)对轮子列平衡方程：
0?? iOM 0?? rFrF fDfC fDfC FF ??
解：以轮为对象,轮有向右运动的趋势。
例 题 15
§ 7 力系的平衡
?例题
故 C,D处的摩擦力方向如图。
C
D
O
W??/2
A
B
NDF
?
NCF
?fCF?
fDF
?
BF
?
? ? 0ixF 0c o ss i n ??? fDfCNC FFF ??
NCfC FF ?
?
c o s1
s i n
???
? ? 0iAM
0?????? aFaWaF NCND
WFF NCND ???
例 题 15
§ 7 力系的平衡
?例题
fDF
?
C
D
O
W??/2
A
B
NDF
?
NCF
?fCF?
BF
?
(2)物理条件：
NCSCfC FfF ? NDSDfD FfF ?
NCSCNCfC FfFF ???? ?
?
c o s1
s i n
?
?
c o s1
s i n
??? SCf
例 题 15 § 7 力系的平衡
?例题
(3)以杆 AB为对象：
F?
C
A
B
NCF?
?
fCF?
?
AxF
?
AyF
?
?
? ? 0iAM 0????? lFaF NC Fa
lFF
NCNC ????
WFalWFF NCND ?????
FalFFF NCfCfD ?????? ???? c o s1 s i nc o s1 s i n
)( WFalfFfF SDNDSDfD ???? C
D
O
W??/2
A
B
NDF
?
NCF
?fCF?
BF
?
fDF
?
例 题 15
§ 7 力系的平衡
?例题
)c o s1)((
s inc o s1
s in
?
??
?
??
?
?
?
???
aWFl
Fl
WF
a
l
F
a
l
f SD
fDF
?
C
D
O
W??/2
A
B
NDF
?
NCF
?fCF?
BF
?
F?
C
A
B
NCF?
?
fCF?
?
AxF
?
AyF
?
?
例 题 15 § 7 力系的平衡
?例题
（ 1） C,D处摩擦因数均满足条件时轮子才能保持静止。
结论
（ 2） C处是否打滑（摩擦因数的条件 ），只
与 ?角有关，与力 F、轮子重量 W无关。 ?
?
c o s1
s i n
??SCf
（ 3） D处是否打滑（摩擦因数的条件 ）
)c o s1)((
s in
?
?
??? aWFl
Flf
SD
则与 ?,F,W有关。
（ 4）仅 C处摩擦因数不满足条件，轮子相对于地面纯滚
动，而 C处连滚带滑。
（ 5）若仅 D处摩擦因数不满足条件，轮子相对于杆 AB纯
滚动，而 D处连滚带滑。
（ 6）若 C,D处均不满足条件，轮相对地面、杆均为连滚
带滑向右运动。
D
F?
C
O
? W?A
B
例 题 16
§ 7 力系的平衡
?例题
A
?
?
B
C 重 W，长 2l 的细长均
质杆，放于直角槽内，
已知杆与槽壁间的摩
擦角为 ?m，求平衡时
杆与左槽壁的夹角 ?。
例 题 16 § 7 力系的平衡
?例题
解,1.受力分析
题中所求的平衡状态，
并不一定是临界平衡，
但临界状态是其平衡范
围的边界。
分析杆的滑动趋势，
m in?? ?
和
ma x?? ?
是两个临界平衡状态。
A
?
?
B
C
例 题 16 § 7 力系的平衡
?例题
2.当杆处于 B点下滑,A点上滑的临界状态时 m i n1 ??? ??
A
?
?
B
C
A
?
?1
B
C
xy
W?
NBF
?
fBF
?
NAF
?
fAF
?
0?? ixF 0s i n ??? ?WFF fBNA
①
0?? iyF 0c o s ??? ?WFF fANB
②
? ? 0iCM
0c o sc o s
s inc o s
11
11
?????
???
??
??
lFlF
lFlF
fBNB
fANA
③
物理条件要求：
NBfNBSfBfB FFfFF ???? ?t a nm a x,
④
NAfNAfA FfFF ??? ?t a n ⑤
例 题 16 § 7 力系的平衡
?例题
A
?
?1
B
C
xy
W?
NBF
?
fBF
?
NAF
?
fAF
?
①,②、④、⑤联立求出 后代入③得：
fBfANBNA FFFF,,,
f???? 21m i n ???
3.当杆处于 A点下滑,B点上滑的临界状态时,m a x2 ??? ??
A
?
?2
BCxy
W?
NBF
?
fBF
?
NAF
?
fAF
?
同理，列出平衡方程 和物理条
件 可得：
? ?? ??? 0,0,0 iCiyix MFF
NBfNBfBNAffAfA FfFFFFF ?????? ?? t a n,t a nm a x,
f???? 22m a x ???
故杆平衡的条件为 ff ????? 22 ????
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(18)
§ 7,2 桁 架内 力的计算
7.2.1 桁 架的特点及内力
1,桁 架的特点
（ 1）全部为直杆，各直杆两端铰接组成结构，
构成平面 桁 架或空间 桁 架。
（ 2）各杆不计自重，且全部载荷（主动力）均
作用在节点处。
（ 3）各杆均为二力杆（拉杆或压杆）
A
B
C
D EF
P?
P?
P?
2,桁 架的内力
A B
AF
?OO FF ??
研究 桁 架结构中的 任意
二力杆，如 AB，有,
假想在 O处将 AB切断，
则 BO对 AO的作用为一分布力系，
该力系可简化为一个力
OF
?
同理,OB段受 AO的作用力为
OF?
?
O
OF?
?
OF
?
BF
?BO
AF
? A O
BF
?根据 AO或 OB的平衡方程有：
BAOO FFFF ????
BA FF ?
A
B
C
D EF
P?
P?
P?
通常约定 二力杆的内力未知时按受拉假设,
当求得二力杆的内力为正时，即为受拉，
当求得二力杆的内力为负时，即为受压。
OF?
?
OF
?
BF
?BO
AF
? A O
或 称为 二力杆的内力 。可用代数值 FO表示。
OF?
?
OF
?
二力杆内力的符号规定：
二力杆的内力以 拉力为正，压力为负。
A B
ABF
?
ABF?
?
AB杆内力 FAB为正
C D
CDF
?
CDF?
?
CD杆内力 FCD为负
3,桁 架内力分析步骤
（ 1）判断 桁 架是否为静定结构
(2) 先从 桁 架中找出 零杆 和 等轴力杆
零杆 —— 内力为零的二力杆
等轴力杆 —— 内力相同的二力杆
（ 3）利用节点法或截面法求解杆的内力
作为一个整体的桁 架中，杆数为 S，节点数为 n,
静定 桁 架,S=2n - 3
静不定 (超静定 )桁 架,S > 2n - 3
桁 架若可以作为一个整体，外界的支承条
件是否为静定？
★
桁 架作为一个整体本身是否为静定 桁 架？★
可判断出零杆和等轴力杆的情况：
无主动力的三杆节
点，其中二杆共线
0杆
等轴力杆
无主动力的不
共线二杆节点0杆 0杆
F?
不共线的二杆节点，
主动力沿其中一杆
0杆
无主动力，共线的二杆节
点或两两共线的四杆节点
等轴力杆 两对等轴力杆
还可利用对称性：
F?
等轴力杆
求桁架的内力通常有两种方法：
节点法 和 截面法 。
注意：桁架中的零杆，不承担载荷，只起到维
持结构几何稳定性的作用。故虽列平衡方程时
零杆不起作用，但不可将零杆去掉。
7.2.2 节点法
因各杆间通过销钉联接，取销钉为研究对象，外
力及各杆对销钉的作用力为汇交力系。
以节点 D为例：
当各杆的内力设为受拉时，各杆对销钉的作用力的
方向由节点指向外，沿杆的方向作用。
P?
1F
? 2F?
3F
?D
从桁 架中取出销钉 D为分离体，画出受力图。
A
B
C
D EF
P?
P?
P?
每个节点可建立 2个平衡方程，对有 n个节点,S根杆
的静定桁架，共有 2n个独立方程，此外，对桁架整体，
共有 S+3个未知力 (S个未知内力,3个对桁架整体的未
知外部约束力），各杆的内力可根据各节点的平衡方
程一步步求得。
P?
1F
? 2F?
3F
?D
节点法的求解步骤：
（ 1）先列桁架整体的平衡方程，求出支座约束力。
（ 2）依次对各节点取分离体列平衡方程。
（ 3）首先取 只有二杆的节点,再依次取 只有二个
未知力的节点 。
（ 4）各杆内力统一设为拉力（即各
节点处力矢从节点向外）。
例 题 7
§ 7 力系的平衡
?例题
判断结构中的零杆和等轴力杆。
F?
F? F?
A B
C
O
例 题 7
§ 7 力系的平衡
?例题
解,此桁 架整体为静定结构（简支）,桁 架本身 S=21,n=12,
故 2n-3=24-3=21=S，为静定桁 架。
对整体列平衡方程,0??
ixF 0?AxF
0?? OM ByAy FF ?
F?
F? F?
A B
C
OAxF?
AyF
?
ByF
?①
②
③ ④
⑤
⑥⑦ ⑧ ⑨
⑩ 11 12
20
13 14 15
16 17 18 19
21
F?
F? F?
A B
C
O
例 题 7 § 7 力系的平衡
?例题
AyF
?
ByF
?0 0 0 0 0 0? ?
判断零杆和等轴力杆：
① =② =⑤ =⑥③ =④,
①
②
③ ④
⑤
⑥⑦ ⑧ ⑨
⑩ 11 12
20
13 14 15
16 17 18 19
21
零杆：⑦,⑧, ⑨, 13,14,15
等轴力杆,16 = 17 = 18 = 19 = 20 = 21, ⑩ = 12
例 题 8
§ 7 力系的平衡
?例题
P?
A B
C
D
E G
桁架结构受力如图，杆
AE=EC=CG=GB=AD=
ED=DG=DB=a, 求各
杆的内力。
例 题 8
§ 7 力系的平衡
?例题
解：
P?
A B
C
D
E G
结构整体对外约束静定；桁架 S=9,
n=6,2n-3=12-3=9=S,为静定桁架；
1.对整体取分离体
0?? ixF
PFAx ?
(←) P?
A B
AxF
?
AyF
?
ByF
?
0
2
32 ???? PaFa
By
0?? iAM
PF By 43?? (↑)
0?? iyF PFF ByAy 43??? (↓)
ED杆为零杆,AE与 EC为等轴力杆。
例 题 8
§ 7 力系的平衡
?例题
P?
A B
AxF
?
AyF
?
ByF
?
C
D
E G
2,取节点 B
ByF
?
B
DBF
?
GBF
?
0?? iyF 060s i n ??? ByGB FF
24
3
3
2 PPF
GB ??????
0?? ixF 060co s ??? DBGB FF
4)2(2
1 PPF
DB ??????
PF By 43? (↑)
已求得：
例 题 8 § 7 力系的平衡
?例题
P?
A B
AxF
?
AyF
?
ByF
?
C
D
E G
3,取节点 G
G
0?? ?iF 030co s30co s ????? PF GD
PF GD ??
GDF
?
GCF
?
P?
GBF
?
??
2
PF
GB ??
已求得：
0?? ?iF 060c o s60c o s ?????? GDGBGC FPFF
2222
PPPPF
GC ??????
例 题 8
§ 7 力系的平衡
?例题
PFPF AyAx 43,??
P?
A B
AxF
?
AyF
?
ByF
?
C
D
E G
4.取节点 A
AAxF?
AyF
?
AEF
?
ADF
?
0?? iyF 060s i n ??? AyAE FF
23
2
4
3 PPF
AE ???? 2
PFF
AEEC ???
0?? ixF 060co s ???? AxAEAD FFF
PPPF AD 43212 ?????
例 题 8
§ 7 力系的平衡
?例题
P?
A B
AxF
?
AyF
?
ByF
?
C
D
E G
5.取节点 C
C
2
PF
GC ?
已求得：
2
PF
EC ?
ECF
?
GCF
?
CDF
?
0?? iyF 030co s30co s ????? GCECCD FFF
PPPF CD 2 322 322 3 ????????
6,取节点 D，可列平衡方程作为验证。
例 题 9
§ 7 力系的平衡
?例题
图示连续梁，载荷和尺
寸如图，各杆的自重不
计,A端为固定端,B、
C,D,G,F均为光滑
铰链。求固定端 A的约
束力和三根支撑杆 GD、
FG,BG的内力。
A B C D E
H G
2m 2m 2m 2m
3m
?
F?
例 题 9 § 7 力系的平衡
?例题
A B C D E
H G
2m 2m 2m 2m
3m
?
F?
解,此结构为混合结构。
F?
DGF
?
未知约束力,A端,,,
AxF
?
AyF
? AM
CyF
?
CxF
?C处,, 未知内力：,, 。
DGF
?
GBF
?
GHF
?
可判断为静定结构。独立方程数,3+3+2=8
CxF
?
CyF
?
1.取 CE杆为研究对象
D E
C
0?? iCM 04s i n2 ????? FF DG ?
FFF DG 310s i n2 ????? ?
? ?0ixF 0co s ?? ?DGCx FF
FFF Cx 38c o t2 ????? ?
? ?0iyF 0s i n ??? ?DGCy FFF FFFF
Cy ????? ?? s i ns i n
2
例 题 9
§ 7 力系的平衡
?例题
A B C D E
H G
2m 2m 2m 2m
3m
?
F?2.取节点 G为研究对象
G
GBF
?
GHF
?
DGF
?
0?? ixF 0co s ?? GHDG FF ?
FFF GH 3831054 ??????
0?? iyF 0s i n ?? ?DGGB FF
FFF GB 231053 ????
FF DG 310??已求得
例 题 9
§ 7 力系的平衡
?例题
F?
GHF
?
B C D E
H
G
2m 2m 2m 2m
3m
?
A
AyF
?
AxF
?AM
3.取整体为研究对象
0?? ixF 0?? GHAx FF
FF GH 38??已求得
FFF GHAx 38????
0?? iyF 0?? FF Ay
FF Ay ??
0?? iAM 038 ????? GHA FFM
03388 ????? FFM A
7.2.3 截面法
适用于求结构中某一杆的内力。
用一假想截面（可为平面或曲面）将桁架的一
部分杆切开，使桁架整体分为两部分；取其中
任意一部分为研究对象列出平衡方程，切断的
杆中内力以未知力形式出现在方程中。
截面法的求解步骤：
（ 1）先列桁架整体的平衡方程，求出支座约束力。
（ 2）根据所求杆的内力，适当选择截面将桁架整体
切开为两部分，取其中一部分为研究对象，切断的
杆的内力为未知力。
（ 3）列出适当形式的平衡方程，求出未知力。
注意 （ 1）对受平面力系作用的平面桁架 —
— 仅有 3个独立方程，故选择切开的截
面时，应注意切断的杆一般不能多于 3
根。（ 2）若切断的杆多于 3根，则必须满足：
a.除一个待求未知力外，其余未知力汇交于一点。
b.除待求杆外，其余被切断的杆都平行。
（ 3）截面切开时不应切在节点上。
（ 4）求解时，先找出全部零杆，并尽可能利用矩
形式的平衡方程。
例 题 10
§ 7 力系的平衡
?例题
P?
A B
C
D
E G
桁架结构受力如图，杆
AE=EC=CG=GB=AD=
ED=DG=DB=a, 求 CD
杆的内力。
例 题 10
§ 7 力系的平衡
?例题
P?
A B
C
D
E G
解,1.判断零杆 ED杆为零杆。
2.以 m-m截面切开，取右半部分：
0
m
m
P?
B
D
G
ADF
?
GCF
?
CDF
?
? ? 0iBM 0
2
3 ???? aPaF
CD
PF CD
2
3???
例 题 11
§ 7 力系的平衡?例题
解, (1)求 支座约束 力
以整体为研究对象：
0?? iAM 0213 21 ????? PPF By ByF?
3
2 21 PP ?? 8? kN
A B
C D
E
F
G
1P
?
2P
?
AyF
?
AxF
?
图示桁架各杆长均为 1m,P1=10kN,P2=7kN,求杆
EG的内力。
AxF? 0?0?? ixF
AyF? ByFPP ??? 21 9? kN
0?? iyF
ByF
?
B
D
F
G
2P
?
ByF
?
(2)用截面 m-m切开桁架，取右
半部分为分离体：
对平面一般力系，有三
个独立的平衡方程。
当切断杆的数目不超过三根
时，可将切断杆的内力求出。
3F?
82.9? kN (受拉 )
m
m
E
1F
?
2F
?
3F
?
A B
C D
E
F
G
1P
?
2P
?
1
2
3
例 题 11
§ 7 力系的平衡
?例题
0
2
35.05.1
32 ?????? FPF By
? ? 0iDM
AyF
?
AxF
?
ByF
?
即杆 EG的内力为 9.82kN(拉力 )。
例 题 11 § 7 力系的平衡
?例题
0?? iyF
1F 2
3
12 2
?
????
?
PF By 4.10?? kN
(受压 )
030c o s22 ??? ?FPF By
?30c o s
2PF By ??2F
15.1? kN
(受拉 )
E
1F
?
2F
?
3F
? B
D
F
G
2P
?
ByF
?
012 32 21 ?????? PFF By0?? iEM
例 题 12
§ 7 力系的平衡
?例题
1P?
2P?
3P?
4P?
5P?
4a
3a ?①
桁架结构受力
如图，试求其
中①杆的内力。
例 题 12
§ 7 力系的平衡
?例题
1P?
2P?
3P?
4P?
5P?
4a
3a ?①
解,1.受力分析：
此桁架 S=,n=,27 15
2n-3=2× 15-3=27=S
为静定桁架。
2.用 m-m截面将桁
架切开，取其上半
部分为分离体：
m m
例 题 12
§ 7 力系的平衡
?例题
1P?
2P?
3P?
4P?
5P?
4a
3a ?①m
m
①
3.对分离体列平衡方程
由于除①杆外，其
余切断的杆均为铅
垂方向，故可列：
0?? ixF
0co s121 ??? ?FPP
)(
4
5
5
4 21
21
1 PP
PPF ?????
（拉力）
1F
?
例 题 13
§ 7 力系的平衡
?例题
1P?
3P?
2P?
1
2
3
4
5
6
7
8
?
?
d ddd
h
h/2
图示平面桁架，已知,P1=P,P2=2P,P3=3P,求桁
架中的杆 24，杆 25，杆 35的内力。
例 题 13 § 7 力系的平衡
?例题
1P?
3P?
2P?
1
2
3
4
5
6
7
8
?
?
d ddd
h
h/2
解,1.受力分析,此为静定桁架,其中杆 23，杆 67为零杆。
0 0
2.求支座约束力
xF1
?
yF1
?
yF8
?
00 1 ???? xix FF
0324 3218 ???????? dPdPdPdF y
PF y 278 ??
01 ?? iM
0?? iyF 03281 ????? PPPFF yy PF y 2
5
1 ??
例 题 13 § 7 力系的平衡
?例题
Ⅰ
Ⅰ
1P?
3P?
2P?
1
2
3
4
5
6
7
8
?
?
d ddd
h
h/2
1P?
1
2
3
4
5
?
?
d d
3.沿 I-I截面切
开，取左半部
分为分离体：
? ? 05iM
0223c o s 124 ?????? dPdFhF y?24F?
35F
?
25F
?
22
22
1
24 43
4
4
2
2
3
2
5
2
c o s
2
3
2
hd
P
hd
d
h
PdPd
h
dFPd
F y ???
?
?
??
?
?
?
?
（压力）
例 题 13
§ 7 力系的平衡
?例题
02 ?? iM 0351 ?? hFdF y P
h
dF
h
dF
y 2
5
135 ???
（拉力）
1P?
1
2
3
4
5
?
?
d d
24F
?
35F
?
25F
?
00 ?? iM 023c o s 125 ?????? dPdFdF y?
0
d
h
dhP
dh
h
PP
F
6
3
2
2
5
22
22
25
?
?
?
?
?
??
（拉力）
例 题 14
§ 7 力系的平衡
?例题
A B
O1
O2
半径为 R 的均质薄壁无
底圆筒，放置于光滑水
平面上，筒内装有两个
重 P,半径为 r 的均质
球，已知 R/2 < r < R,不
计摩擦和筒厚，试求系
统能够平衡的圆筒重量。
例 题 14
§ 7 力系的平衡
?例题
A B
O1
O2
解,1.受力分析
O1
O2
A B
P?
P?
1F
?
DF
?
2F
?
1F?
?
RF?
?
2F?
?
W
x
分别以两球和圆筒为分离体画
出受力图。
圆筒受地面的支持力为沿筒壁
周边的分布力，其合力为
RF
?
例 题 14
§ 7 力系的平衡
?例题
O1
O2
P?
P?
1F
?
DF
?
2F
?
2.以两圆球为对象
0?? ixF 21 FF ??
01 ?? iOM 0s i n2co s2 2 ???? ?? rFrP
?co t12 PFF ???
?
例 题 14
§ 7 力系的平衡
?例题
A B
1F?
?
RF?
?
2F?
?
W?
x
3.以圆筒为对象
和 组成一力偶，故 和 也必组成一力偶。
1F?
?
2F?
? W?
RF?
?
0?? iM 0)(s i n22 ???? xRWrF ?
W
rPRPRW
W
rRPRx 22)(2 ???????
显然，应有 Rx ??0
)1(20 RrPWx ????
由
而已知 r < R, 保证了 x<R
§ 7.3 考虑摩擦的平衡问题
1.摩擦
P?
NF
?
F?
摩擦力的存在性实例：
实际工程问题一般都存在摩擦。但在有些工程问
题中，当摩擦阻力不大或摩擦并不起主要作用时，
可忽略不计摩擦的作用。
实际接触面并非理
想光滑,必须足够大，
才可推动重物滑动。故
一定有摩擦力 存在。
F?
fF
?
fF
?
摩擦的存在既有利也有弊：
利 —— 用于传动机械、启动或制动。
弊 —— 消耗能量，磨损零件，降低精度和机械效率。
摩擦的分类：
滑动摩擦
滚动摩擦
静摩擦
动摩擦
干摩擦
湿摩擦
—— 仅有相对运动趋势时产生的
—— 已有相对运动时产生的
—— 接触表面凸凹不平引起的
—— 物体接触面之间有液体成膜的
fs-----静滑动摩擦因数 (无量纲 ),
可由工程手册中查出。
静摩擦力是当物体在相互接触的位置有相对滑动趋势
(但并未发生相对滑动 )时，约束作用于物体的切向反
力。其方向与滑动趋势方向相反，其大小
m a x,ff FF ?
?
静摩擦力的最大值 可由实验测得，设 为约
束对物体的法向约束力，则 max,fF N
F?
2.静摩擦力（静滑动摩擦力）
库仑定律
Nsff FfFF ?? m a x,
? (7.7)
P?
NF
?
F? fF
?
静滑动摩擦因数 fS 与材料、接触面光滑度、温度、
湿度有关，与接触面积大小无关。
（ 1）来源 —— 接触面非光滑
（ 2） 的方向 —— 与物体相对接触面的 运动趋势相反
fF
?
物体受到的静摩擦力 的特点：
fF
?
（ 3） 的大小
fF
?
物体处于 临界 平衡时：
摩擦力参与平衡，且 FS=FS,max=fSFN
物体处于平衡时：摩擦力参与平衡，
但
NSff FfFF ?? m a x,
?
3.静摩擦因数的几何意义 —— 摩擦角
RF
?
NF
?
?
静平衡时全约束力 的
作用线一定在摩擦角内 R
F?
当 时
m a x,0 ff FF ?? f?? ??0
f?t an
N
f
F
F m a x,
?
N
NS
F
Ff? Sf?
对应的夹角 称为 摩擦角 。f?
当
ma x,ff FF
?? ? 时
称为全约束力
fNR FFF
??? ??
非光滑面约束对物体的约束力包
括法向约束力（正压力）及切向
约束力（静摩擦力），其 合力
摩擦角大小仅由
摩擦因数决定
P?
f?
RF
?
NF
?
max,fF
?
P?
fF
?
利用摩擦角判断受力物体是否平衡 —— 自锁现象
f?
n
F?
平衡，自锁现象
若某接触面上的物体所受
主动力的合力作用线在摩
擦角的范围之内,则不论
此力有多大,物体总是平
衡的 。－－自锁现象
不平衡，非自锁现象
F?
若某接触面上的物体所
受 主动力的合力作用线在
摩擦角的范围之外,则不
论此力有多小（只要不等
于零）,物体总不能平衡 。
f?
n
例如：斜面上的重物
?
n
f?
f?? ?
非自锁
P?
f?? ?
临界平衡
?
n
自锁
f?? ?
f?
P?
?
f?n
P?
测定 的方法f?
当物体相对于约束表面有相对滑动速度时，摩擦
力为动 (滑动 )摩擦力。
4,动滑动摩擦力
F′= f FN (7.8)
sff ?
f 近似是常数，称为动 (滑动 )摩擦因数，通常
P?
NF
?
fF
?
思考题
若主动力 的作用线向上移，结果如何？F?
F?
P?
NF
?
fF
?
F?
P?
F?
NF
?
fF
?
5、滚动摩阻力偶
考虑圆轮置于不光滑的水平路面上，
设轮子与路面均是刚性的 (不变形 ),
A处为点接触（ 理想状态！ ）。
由
FhFM
n
i
iA ??
? 1
)(
?
因此，无论 F 值多小，轮子都会滚动。
时，轮子会连滚带滑。
NS FfF ?
当 时，轮子作纯滚动。
NS FfF ?
而 实际情况, F 需大于某一值时，轮子才会滚动。
因此，路面不仅有阻碍轮子滑动的静摩擦力 存在，
而且还有阻止轮子滚动的阻力，称为 滚动摩阻 。fF
?
h
F? C
NF
?
P?
fF
? A
原因,轮子与地面实际上都会发生 变形,形成面接触，
因此地面对轮子的约束力为一分布力系。
由平衡条件：,,
PFN ? FFf ? FhM f ?
由于 阻碍轮子的滚动，称为滚 (动摩 )阻力偶。
fM
组成的力偶称为主动力偶，其力偶矩为),(
fFF
?? Fh
将该力系向 A点简化为法向约束力 和切向约束力
外，还应有一力偶，其力偶矩为 。
fF
?
fM
NF
?
F? C
P?
A
h
F? C
NF
?
P?
fF
? A
fM
或
h
F? C
NF
?
P?
fF
? A
?
滚阻力偶与主动力偶大小相等，方向相反，随主动力
偶的增大而增大。但滚阻力偶不可能无限制的增大。
其力偶矩的最大值为：
maxfM,N
F??
? 称为 滚动摩阻系数 。
轮子不发生滚动的物理条件：
Nm a xff FMM ????,0
与物体接触面的变形相关，而与接触面的粗糙程
度无关。材料越硬，接触面变形越小,也就越小。?
?
的量纲为长度，通常 很小，只要主动力偶的
力偶矩 Fh大于,轮子即可滚动。? ?
NF?
?的几何意义：使法向约束力 FN向前进方向平移的最
大距离。
h
F? C
NF
?
P?
fF
? A fM
讨论 轮子在水平方向的运动
状态 —— 滚动与滑动
由轮子的平衡条件：
FFf ?
FhM f ?
0?? ixF
0?? iAM
物理条件：
NSf FfF ? Nf FM ??
故轮子平衡时所受的主动力满足,及
NS FfF ?
h
FF N??
若材料接触面的静摩擦因数与摩阻系数满足：
hf S
??
A点无滑动
轮子不滚动
故,当 时，轮子静止。
NFhF
??
NSN FfFFh ??
?当 时，轮子纯滚动。
NS FfF ?
当 时，轮子连滚带滑。
若材料接触面的静摩擦因数与摩阻系数满足：
hf S
??
则,当 时，轮子静止。
NS FfF ?
NNS FhFFf
???当 时，轮子纯滑动。
NFhF
??当 时，轮子连滚带滑。
h
F? C
NF
?
P?
fF
? A fM
6.考虑摩擦的平衡问题的分析要点
（ 1）考虑摩擦的物体系处于平衡时（包括静摩擦力
达到其最大值的临界平衡状态），平衡方程仍满足。
（ 2）静摩擦力方向的判断：
a.画出受力图，由主动力判断其相对运动趋势而定。
b.若相对运动趋势可有选择时，先假定一个运动的
方向及摩擦力指向，求解后摩擦力的范围应为：
NSfNS FfFFf ???
根据摩擦力的正负号可判断。
c.同一物体在 多个接触点处存在摩擦的,注意判断运
动趋势时各接触点的 滑动趋势之间的相容性 。
（ 3）静摩擦力的大小：
物体处于平衡状态时，摩擦力 Ff 大小未知，且 NSf FfF ??
物体处于临界平衡状态时,摩擦力不独立。
NSff FfFF ?? m a x,
?
带摩擦圆轮的滚动问题：
设轮的重量为 W,半径为 r，不计重量的 AB杆长 l,轮
与杆及轮与地面的摩擦因数分别为 fSC,fSD,试求：
保证轮子静止时 fSC 和 fSD 应满足的条件？
例 题 15
§ 7 力系的平衡
?例题
D
F?
C
O
?
W?
A
B
(1)对轮子列平衡方程：
0?? iOM 0?? rFrF fDfC fDfC FF ??
解：以轮为对象,轮有向右运动的趋势。
例 题 15
§ 7 力系的平衡
?例题
故 C,D处的摩擦力方向如图。
C
D
O
W??/2
A
B
NDF
?
NCF
?fCF?
fDF
?
BF
?
? ? 0ixF 0c o ss i n ??? fDfCNC FFF ??
NCfC FF ?
?
c o s1
s i n
???
? ? 0iAM
0?????? aFaWaF NCND
WFF NCND ???
例 题 15
§ 7 力系的平衡
?例题
fDF
?
C
D
O
W??/2
A
B
NDF
?
NCF
?fCF?
BF
?
(2)物理条件：
NCSCfC FfF ? NDSDfD FfF ?
NCSCNCfC FfFF ???? ?
?
c o s1
s i n
?
?
c o s1
s i n
??? SCf
例 题 15 § 7 力系的平衡
?例题
(3)以杆 AB为对象：
F?
C
A
B
NCF?
?
fCF?
?
AxF
?
AyF
?
?
? ? 0iAM 0????? lFaF NC Fa
lFF
NCNC ????
WFalWFF NCND ?????
FalFFF NCfCfD ?????? ???? c o s1 s i nc o s1 s i n
)( WFalfFfF SDNDSDfD ???? C
D
O
W??/2
A
B
NDF
?
NCF
?fCF?
BF
?
fDF
?
例 题 15
§ 7 力系的平衡
?例题
)c o s1)((
s inc o s1
s in
?
??
?
??
?
?
?
???
aWFl
Fl
WF
a
l
F
a
l
f SD
fDF
?
C
D
O
W??/2
A
B
NDF
?
NCF
?fCF?
BF
?
F?
C
A
B
NCF?
?
fCF?
?
AxF
?
AyF
?
?
例 题 15 § 7 力系的平衡
?例题
（ 1） C,D处摩擦因数均满足条件时轮子才能保持静止。
结论
（ 2） C处是否打滑（摩擦因数的条件 ），只
与 ?角有关，与力 F、轮子重量 W无关。 ?
?
c o s1
s i n
??SCf
（ 3） D处是否打滑（摩擦因数的条件 ）
)c o s1)((
s in
?
?
??? aWFl
Flf
SD
则与 ?,F,W有关。
（ 4）仅 C处摩擦因数不满足条件，轮子相对于地面纯滚
动，而 C处连滚带滑。
（ 5）若仅 D处摩擦因数不满足条件，轮子相对于杆 AB纯
滚动，而 D处连滚带滑。
（ 6）若 C,D处均不满足条件，轮相对地面、杆均为连滚
带滑向右运动。
D
F?
C
O
? W?A
B
例 题 16
§ 7 力系的平衡
?例题
A
?
?
B
C 重 W，长 2l 的细长均
质杆，放于直角槽内，
已知杆与槽壁间的摩
擦角为 ?m，求平衡时
杆与左槽壁的夹角 ?。
例 题 16 § 7 力系的平衡
?例题
解,1.受力分析
题中所求的平衡状态，
并不一定是临界平衡，
但临界状态是其平衡范
围的边界。
分析杆的滑动趋势，
m in?? ?
和
ma x?? ?
是两个临界平衡状态。
A
?
?
B
C
例 题 16 § 7 力系的平衡
?例题
2.当杆处于 B点下滑,A点上滑的临界状态时 m i n1 ??? ??
A
?
?
B
C
A
?
?1
B
C
xy
W?
NBF
?
fBF
?
NAF
?
fAF
?
0?? ixF 0s i n ??? ?WFF fBNA
①
0?? iyF 0c o s ??? ?WFF fANB
②
? ? 0iCM
0c o sc o s
s inc o s
11
11
?????
???
??
??
lFlF
lFlF
fBNB
fANA
③
物理条件要求：
NBfNBSfBfB FFfFF ???? ?t a nm a x,
④
NAfNAfA FfFF ??? ?t a n ⑤
例 题 16 § 7 力系的平衡
?例题
A
?
?1
B
C
xy
W?
NBF
?
fBF
?
NAF
?
fAF
?
①,②、④、⑤联立求出 后代入③得：
fBfANBNA FFFF,,,
f???? 21m i n ???
3.当杆处于 A点下滑,B点上滑的临界状态时,m a x2 ??? ??
A
?
?2
BCxy
W?
NBF
?
fBF
?
NAF
?
fAF
?
同理，列出平衡方程 和物理条
件 可得：
? ?? ??? 0,0,0 iCiyix MFF
NBfNBfBNAffAfA FfFFFFF ?????? ?? t a n,t a nm a x,
f???? 22m a x ???
故杆平衡的条件为 ff ????? 22 ????
