工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(20)
§ 8.4 虚位移原理
1,虚位移原理
具有双面理想约束的质点系，在某一位置能继续
保持静止平衡的充要条件是：
虚位移原理是分析（静）力学的基本原理。
虚位移原理可用于求解刚体系统的静止平衡问题。
作用于质点系的主动力在该位置任何一组虚位
移上做的虚功之和等于零。即：
0
1
???? ?
?
i
n
i
i rFW
?? ?? （ 8.32）虚功方程
对于理想约束、且无弹簧连接的刚体系统,
对于有弹簧连接的刚体系统或变形体：
0
1
)(
1
?????? ??
??
n
i
i
n
i
ii WrFW
外??? ??
0
1
)(
1
)( ?????? ??
??
m
i
i
n
i
i WWW
内外 ???
对于非理想约束，可将其约束力视为主动力。
若系统全部为有势力作功时，虚功方程为
0???? VW ??
0?? V?
（ 8.33）
比较 § 7 与 § 8,
条件 应用的系统 平衡的含义
§ 7
力系的
平衡
单个刚体
（充要条件） 相对惯性系静止
或匀速直线运动刚体系统
（必要条件）
§ 8
虚位移
原理
刚体系统
（充要条件） 相对惯性系静止
0?? iF?
0?? AM?
0??? iW?
2,虚位移原理的应用
0
1
???? ?
?
i
n
i
i rFW
?? ?? （ 8.32）虚功方程
（ 1）对自由度为 k的系统（机构） —— 有 k个独立的广
义坐标,k个独立的广义虚位移
虚功方程
0)(
)(
1 1
111
?
?
?
??
?
?
?????
? ?
???
? ?
???
j
j
i
k
j
n
i
i
j
k
j j
i
n
i
ii
n
i
i
q
q
r
F
q
q
r
FrFW
?
???
?
?
?
???
（ 8.34）
k个独立方程 已知平衡位置，求此时各主动
力之间关系
已知各主动力，求平衡时的位置01 ??????ni jii qrF
?? j=1,…k
（ 2）对自由度为零的系统（静定结构） —— 求约
束处的约束力
自由度为零，系统无虚位移
解除一个约束，代之以
相应的待求约束力（视
为未知大小的主动力）
系统变为 k=1的机构，
按 (1)求解未知约束力
若求多个约束力，可依次解除相应约束，每次求出
一个约束力
解题指导
（ 1）对系统，正确写出虚功方程：
0???? ? iWW ?? （ 8.32）
是全部作功的力的虚功之和? ?
iW?
—— 正确找出
全部作功之力，
正确写出虚功
（ 2）虚功方程 中
的虚位移，必须表示为独立的虚位移的形式
0
1
?????? ??
?
i
n
i
ii rFWW
?? ???
（ 3）整理虚功方程，令虚功方程中各独立虚位移前
面的系数为零。
例 题 5 § 8 虚位移原理
?例题
杆 OD,CE,CB,DB，弹簧 AB，刚度为 k，弹
簧未变形时, OA=AE=AD=AC=CB=DB=l,求
当 θ角为平衡位置时,P＝？0
?? ?
A
B
C
DE
P?
O
?
解,1.分析
拆除弹簧 AB,用, 表示弹簧对刚体系统的作用F? F??
系统为理想约束系统，各铰处的约束力不作功 。
F 'F? klk )s i n( s i n2
0??? ???
A
B
C
DE
P?
O
?
例 题 5 § 8 虚位移原理
?例题
F? F??
系统自由度为 1，可
选 θ为广义坐标。
2.列虚功方程
系统中作功的力：
主动力,弹簧力，P?
0s i n2s i n2 ??? ll ??
弹簧伸长量
故弹簧力的大小为
方法一
ll l
l l l
例 题 5 § 8 虚位移原理
?例题
A
B
C
DE
P?
O
?
F? F??
建立坐标系 Oxy,各
力的虚功表示为：
BP xPW ?? ??
x
y
AF xFW ?? ??
BF xFW ?? ???? ?
利用解析法建立虚位移的关系：
?s i nlx A ?
?s i n3 lx B ?
? ??? c o slx A ?
? ? ?? c o s3 lx B ?
求变分
l
l l
l l
l
例 题 5 § 8 虚位移原理
?例题
A
B
C
DE
P?
O
?
F? F??
x
y
l
l l
l l
l
系统的虚功方程为 0???????? ?
BABi xFxFxPWW ?????
0)c o s3c o s'3c o s( ??? ????? PllFFl
即
由于 0??? 0c o s3c o s'3c o s ??? ??? PllFFl
P?
F32? kl )s i n( s i n34 0?? ??
例 题 5 § 8 虚位移原理
?例题
方法二 不拆除弹簧（弹簧包括在系统内，有内力作功）
虚功方程为 0?????? 外内 WWW ???
外W?? PW? ?? ? ??c o s3 Pl?
内W??
TW??? ???k??
A
B
C
DE
P?
O
?
F? F??
x
y
l
l l
l l
l
0s i n2s i n2 ??? ll ??
由
????? c o s2 l?
0c o s3c o s2)s i n( s i n2 0 ???????? ? ? ?? ? ???? PllklW
同理可得
P?
F32?
kl )s i n( s i n34 0?? ??
例 题 6 § 8 虚位移原理
?例题
AB,BC,CD为三根等
长、等重的均质杆，与铅
垂墙壁连成正方形 ABCD，
并用柔绳 EH拉住,E,H
分别为 AB,BC的中点，各
杆重 Q，求柔绳的拉力。
H
A
B
CD
E
例 题 6 § 8 虚位移原理
?例题
H
A
B
CD
E解,1.分析
系统的自由度为 0,静定结构
2Q
?
1Q
?
主动力,',,,,
321 TTQQQ
?????
TTTT ????,'??且
2.列虚功方程 (几何法）
?
?
???
n
i
iWW
1
??
HEHGE rTrTrQrQrQ
?????????? ????? ?????????? '
321
0? T
?
'T?
G
T?
'T?
3Q
?
拆除绳 EH，自由度为 1，用
TT ???,
表示绳索对结构的作用力。
例 题 6 § 8 虚位移原理
?例题
且
EG rr ?? ?
EBH rrr ??? 2??
代入上式
0)2'2 22 22( 321 ?????? ErTTQQQ ?
0?Er??
H
A
B
CD
E
G
T?
'T?
2Q
?
1Q
?
3Q
?Hr??
Er??
此机构中，杆 AB,DC为定轴转动，杆 BC为平动，可
判断 E,G,H各点的虚位移方向。
Gr??QTT 24???? （拉力）
HEHGE rTrTrQrQrQ
?????????? ????? ????????? '
321
0?
例 题 7 § 8 虚位移原理
?例题
a
b
aa
A B
C
D
Q?
M
杆 AB,CD由光滑铰
链 C相连，在 AB杆的 B
端作用一铅垂力,在
CD杆上作用一力偶，其
力偶矩为 M，不计杆重，
求 A端的约束反力。
Q?
例 题 7 § 8 虚位移原理
?例题
解：系统的自由度为 0
可依次拆除 A端的
几个约束，将相应
约束力看作主动力
求解。
a
b
aa
A B
C
D
Q?
M
AxF
?
AyF
?
AM
a
b
aa
A B
C
D
Q?
M
例 题 7 § 8 虚位移原理
?例题
(1)求
AM
去掉 A端的转动约束，
用约束力偶矩 MA代替。
AM
A
系统的自由度为 1
主动力：
QMM A ?,,
AB定轴转动,CD一般
平面运动，瞬心为 P，
P
AB的虚转角
1??
CD的虚转角为
2??
则
21 ????? ???? PCACr C 12
2???? ??
1??
2??
Cr
??
例 题 7 § 8 虚位移原理
?例题
0
1
??
?
n
i
iW?
03 211 ???? ?????? MaQM A
a
b
aa
A B
C
D
Q?
M
AM
1??
2??
1??? AM MW A ??
13 ??? aQW Q ?
2??? MW M ?
列虚功方程：
12 2???? ?
代入
0)23( 1 ???? ??MaQM A 01 ????
123 MaQM A ???
（ ?）
例 题 7 § 8 虚位移原理
?例题
(2)求
AxF去掉 A端的水平约束，
用约束力 FAx 代替。
系统的自由度为 1
主动力 QMF
Ax
??,,
AB,CD只能作平动
BCA rrr
??? ??? ??
a
b
aa
B
C
D
Q?
M
A
AxF
?
A
0?QW?
AAxF rFW Ax ?? ?
0?MW?
0
1
??
?
n
i
iW?
0?AAx rF ? 0?AxF
例 题 7 § 8 虚位移原理
?例题
(3)求 AyF
去掉 A端的铅垂约束
系统自由度为 1
主动力,QMF
Ay
??,,
AB平动,CD瞬心为 P
BQ rQW ?? ??AAyF rFW Ay ?? ?
??? MW M ??
Ar?? a
b
aa
A B
C
D
Q?
M
A
AyF
?
P
设 CD的虚转角为 ??
????? arrr BAC ???
则有
Cr
??
??
Br??
0
1
??
?
n
i
iW?
列虚功方程：
例 题 7 § 8 虚位移原理
?例题
0)( ???? AAy raMFQ ?
a
b
aa
B
C
D
Q?
M
A
AyF
?
??
Cr
??
Ar??
Br??
0???? ???? MrFrQ AAyB
??
?
n
i
iW
1
?
即
0?Ar??
a
MQF
Ay ???
（ ?）
§ 9.5 质点系平衡的广义力
1,广义力 以广义力表示的系统平衡条件
? ?
? ? ?
??? n
i
k
j
j
j
i
i qq
rF
1 1
)( ?
??
? ?
? ? ?
??? k
j
j
n
i j
i
i qq
rF
1 1
)( ?
??
? ?W? ?
?
??
n
i
ii rF
1
?? ?虚功方程
各 之间要满足约
束条件，故不是独
立的，可用广义虚
位移
表示为
ir
??
jq? )~1( kj ?
j
k
j j
i
i qq
rr ?? ?
? ?
??
1
??
称为广义坐标 对应的广义力
jqjQ
令
?
? ?
??? n
i j
i
ij q
rFQ
1
?? kj ~1?
（ 8.35)
因此，虚功方程可写为
? ?W? ?
?
?
k
j
jj qQ
1
?
0?
2,广义力的计算
? )( jW? ?
?
??
n
i
ii rF
1
?? ? ?
?
?
k
s
ss qQ
1
? jj qQ ??
由于各个 独立
jq?
0?jQ kj ~1?系统的平衡条件,（ 8.36）
分别计算 k个广义力，
jQ
计算 时，选取一组特殊的
广义虚位移，令 0?
jq? 0?sq?
ks ~1? js?但而
这组虚位移下系统的虚功为：
则
j
j
j q
W
Q
?
??
?
)( j=1~k (8.37)
3,有势力场质点系的平衡问题
设系统的主动力全部为有势力，则系统存在势能 V
),,,( 321 nxxxVV ??
),,,( 21 kqqqVV ??
或选取广义坐标
与 相应的广义力：
jq
jQ ?
? ?
??? n
i j
i
i q
rF
1
??
?
? ?
?? n
i j
i
i q
xF3
1
?
? ?
?
?
??? n
i j
i
i q
x
x
V3
1 jq
V
?
???
i
i x
VF
?
??? )3,,2,1( ni ??
各有势力直角坐标下的
投影 Fi与势能的关系
dVdxFWd i
n
i
i ???? ?
?
3
1
则系统的元功
选取直角坐标 xi
x2
x1
x3
iF
?
(xi1,xi2,xi3)
0?
?
?
jq
V )~1( kj ?平衡条件：
V?
k
k
qqVqqVqqV ??? ?????????? ?2
2
1
1
0?或
4.有势力场中质点系平衡的稳定性
例如：考虑自重的
杆的平衡问题。
即对于保守系统，质点系的平衡位形一定出现在势
能取驻值（ 或 ）的位形处。0?
?
?
jq
V
0?V?
以下仅讨论单自由度系统：
0qq ?
设 在 处系统平衡。
)(qVV ?
将 在
0q
处台劳展开)(qV
???????
??
2
02
2
00 )(!2
1)()()(
00
qq
dq
Vdqq
dq
dVqVqV
qqqq
0q
当 q在 附近时，略去二阶以上小量
注意到，因 处于平衡位置，所以0q
0
0
?
? qqdq
dV
2
02
2
0 )(!2
1)()(
0
qq
dq
VdqVqV
qq
???
?
则
在平衡位置处势能取驻值包括以下几种情况：
(1)取极小值 (2)取极大值 (3)拐点 (4)不变化
q对应的广义力 Q
dq
dV?? )(
02
2
0
qq
dq
Vd
qq
???
?
2
02
2
0 )(!2
1)()(
0
qq
dq
VdqVqV
qq
???
?
则
0)('' 0 ?qV(a) 当 时，有 )()( 0qVqV ?
势能 V在 处取极小值，广义力 Q与广义位移的增
量 的符号相反。0q)(
0qq ?
Q可使质点恢复到平衡位置。
0qq ?
是质点系的稳定平衡位置。故当 时，0)(''
0 ?qV
)()( 0qVqV ?0)('' 0 ?qV
(b)当 时，有
势能 V在 处取极大值，广义力 Q与广义位移的增量
的符号相同。0q)(
0qq ?
Q可使质点离开平衡位置。
q对应的广义力 Q
dq
dV?? )(
02
2
0
qq
dq
Vd
qq
???
?
0)('' 0 ?qV(c)当 时，需考察 V=V(q)更高阶导数
(d)当 V=V(q0)=const时，广义力为零，随遇平衡
0qq ?
是质点系的不稳定平衡位置。故 时，0)(''
0 ?qV
)(a
稳定平衡
)(b
不稳定
平衡
)(d
随遇平衡
在稳定的平衡位形处，质点系的总势能为
最小，称为最小势能原理。
三铰刚架受力如图，
求 C端的约束力。
例 题 8 § 8 虚位移原理
?例题
A
B
C
D
P?
Q?
b
aa
系统的自由度为 2。
主动力：
CyCx FFQP
????,,,
例 题 8 § 8 虚位移原理
?例题
A
B
C
D
P?
Q?
b
aa
解：此为静定结构，自由
度为 0,C端约束力
有,去掉 C端约束，
CyCx FF
??,
2??
1??
计算这两个广义坐标相应的广义力 Q1和 Q2：
CxF
?
CyF
?
2211,?? ?? qq
取一组广义坐标,
1?
2?
为 AB绕 A点定轴转动的方位角
为 BC相对于 AB绕 B点定轴转动的方位角
A
B
C
D
P?
Q?
b
aa
2??
1??
CxF
?
CyF
?
例 题 8 § 8 虚位移原理
?例题
1
)1(
)2( ??
???
?
aFaQbP
yFyQxP
W
Cy
CCyBD
???????
???
?
计算系统的虚功：
0,0 21 ?? ????(1)令此时 BC相对于 AB静止，整个系统绕 A定轴转动：
1??? bx D ??
1221
22 ????? a
ba
abay
B ??????
12 ??? ay C ? 0?Cx?
1Q?
1
)1(
??
??? W aFQaPb
Cy 2?????
y
x
AB不动,BC以 B点为
基点定轴转动：
2Q?
2
)2(
??
??? W bFaF
CyCx ??
例 题 8 § 8 虚位移原理
?例题
A
B
C
D
P?
Q?
b
aa
2??
1??
CxF
?
CyF
?
y
x
0,0 21 ?? ????（ 2）令
2222
22 ????? b
ba
bbax
C ??????
2222
22 ????? a
ba
abay
C ??????
2)2( )( ??? bFaFW CyCx ???
系统的虚功为：
QPabF Cy 212 ??? ( )
CyCx Fb
aF ???
QbaP 22 ??? )22( QbaP ??? ( )
A
B
C
D
P?
Q?
b
aa
2??
1??
CxF
?
CyF
?
y
x
例 题 8 § 8 虚位移原理
?例题
（ 3）广义力平衡条件
021 ?????? aFQaPbQ Cy
02 ??? bFaFQ CyCx
例 题 11 § 8 虚位移原理
?例题
O
r
O
r
r
O’
r
O’
放在固定半圆柱体上的均质半圆柱和均质半圆
柱薄壳（半径均为 r)，分析其平衡的稳定性。
(设物体接触面间有足够的静摩擦力）
r
O
r
r
O
r
解：设上面
物体重心为 C，
m为其质量，
仅有重力作功，
有势系统，存
在势能 V：
)2c o s'c o s2( ?? COrmgm g yV C ???
C
C
求导
)2s in'2s in2( ??? COrmgV ?????
?
?
?
O’
O’O’
gm?
gm?
)2c o s'4c o s2(2
2
??? COrmgV ?????
0??? 为平衡位置
0??? 时
)'2(22
2
COrmgV ????? ?
例 题 11 § 8 虚位移原理
?例题
(地面为零点 )
O
r
O
r
rr
C
C
?
?
?
O’
O’O’
gm?
gm?
例 题 11 § 8 虚位移原理
?例题
)'2(22
2
COrmgV ????? ?
对半圆柱：
?3
4' rCO ? 0)
3
42(2
2
2
??????? ?? rrmgV
不稳定平衡！对半圆柱
薄壳,?rCO 2' ?
0)22(22
2
??????? ?? rrmgV 稳定平衡！
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(20)
§ 8.4 虚位移原理
1,虚位移原理
具有双面理想约束的质点系，在某一位置能继续
保持静止平衡的充要条件是：
虚位移原理是分析（静）力学的基本原理。
虚位移原理可用于求解刚体系统的静止平衡问题。
作用于质点系的主动力在该位置任何一组虚位
移上做的虚功之和等于零。即：
0
1
???? ?
?
i
n
i
i rFW
?? ?? （ 8.32）虚功方程
对于理想约束、且无弹簧连接的刚体系统,
对于有弹簧连接的刚体系统或变形体：
0
1
)(
1
?????? ??
??
n
i
i
n
i
ii WrFW
外??? ??
0
1
)(
1
)( ?????? ??
??
m
i
i
n
i
i WWW
内外 ???
对于非理想约束，可将其约束力视为主动力。
若系统全部为有势力作功时，虚功方程为
0???? VW ??
0?? V?
（ 8.33）
比较 § 7 与 § 8,
条件 应用的系统 平衡的含义
§ 7
力系的
平衡
单个刚体
（充要条件） 相对惯性系静止
或匀速直线运动刚体系统
（必要条件）
§ 8
虚位移
原理
刚体系统
（充要条件） 相对惯性系静止
0?? iF?
0?? AM?
0??? iW?
2,虚位移原理的应用
0
1
???? ?
?
i
n
i
i rFW
?? ?? （ 8.32）虚功方程
（ 1）对自由度为 k的系统（机构） —— 有 k个独立的广
义坐标,k个独立的广义虚位移
虚功方程
0)(
)(
1 1
111
?
?
?
??
?
?
?????
? ?
???
? ?
???
j
j
i
k
j
n
i
i
j
k
j j
i
n
i
ii
n
i
i
q
q
r
F
q
q
r
FrFW
?
???
?
?
?
???
（ 8.34）
k个独立方程 已知平衡位置，求此时各主动
力之间关系
已知各主动力，求平衡时的位置01 ??????ni jii qrF
?? j=1,…k
（ 2）对自由度为零的系统（静定结构） —— 求约
束处的约束力
自由度为零，系统无虚位移
解除一个约束，代之以
相应的待求约束力（视
为未知大小的主动力）
系统变为 k=1的机构，
按 (1)求解未知约束力
若求多个约束力，可依次解除相应约束，每次求出
一个约束力
解题指导
（ 1）对系统，正确写出虚功方程：
0???? ? iWW ?? （ 8.32）
是全部作功的力的虚功之和? ?
iW?
—— 正确找出
全部作功之力，
正确写出虚功
（ 2）虚功方程 中
的虚位移，必须表示为独立的虚位移的形式
0
1
?????? ??
?
i
n
i
ii rFWW
?? ???
（ 3）整理虚功方程，令虚功方程中各独立虚位移前
面的系数为零。
例 题 5 § 8 虚位移原理
?例题
杆 OD,CE,CB,DB，弹簧 AB，刚度为 k，弹
簧未变形时, OA=AE=AD=AC=CB=DB=l,求
当 θ角为平衡位置时,P＝？0
?? ?
A
B
C
DE
P?
O
?
解,1.分析
拆除弹簧 AB,用, 表示弹簧对刚体系统的作用F? F??
系统为理想约束系统，各铰处的约束力不作功 。
F 'F? klk )s i n( s i n2
0??? ???
A
B
C
DE
P?
O
?
例 题 5 § 8 虚位移原理
?例题
F? F??
系统自由度为 1，可
选 θ为广义坐标。
2.列虚功方程
系统中作功的力：
主动力,弹簧力，P?
0s i n2s i n2 ??? ll ??
弹簧伸长量
故弹簧力的大小为
方法一
ll l
l l l
例 题 5 § 8 虚位移原理
?例题
A
B
C
DE
P?
O
?
F? F??
建立坐标系 Oxy,各
力的虚功表示为：
BP xPW ?? ??
x
y
AF xFW ?? ??
BF xFW ?? ???? ?
利用解析法建立虚位移的关系：
?s i nlx A ?
?s i n3 lx B ?
? ??? c o slx A ?
? ? ?? c o s3 lx B ?
求变分
l
l l
l l
l
例 题 5 § 8 虚位移原理
?例题
A
B
C
DE
P?
O
?
F? F??
x
y
l
l l
l l
l
系统的虚功方程为 0???????? ?
BABi xFxFxPWW ?????
0)c o s3c o s'3c o s( ??? ????? PllFFl
即
由于 0??? 0c o s3c o s'3c o s ??? ??? PllFFl
P?
F32? kl )s i n( s i n34 0?? ??
例 题 5 § 8 虚位移原理
?例题
方法二 不拆除弹簧（弹簧包括在系统内，有内力作功）
虚功方程为 0?????? 外内 WWW ???
外W?? PW? ?? ? ??c o s3 Pl?
内W??
TW??? ???k??
A
B
C
DE
P?
O
?
F? F??
x
y
l
l l
l l
l
0s i n2s i n2 ??? ll ??
由
????? c o s2 l?
0c o s3c o s2)s i n( s i n2 0 ???????? ? ? ?? ? ???? PllklW
同理可得
P?
F32?
kl )s i n( s i n34 0?? ??
例 题 6 § 8 虚位移原理
?例题
AB,BC,CD为三根等
长、等重的均质杆，与铅
垂墙壁连成正方形 ABCD，
并用柔绳 EH拉住,E,H
分别为 AB,BC的中点，各
杆重 Q，求柔绳的拉力。
H
A
B
CD
E
例 题 6 § 8 虚位移原理
?例题
H
A
B
CD
E解,1.分析
系统的自由度为 0,静定结构
2Q
?
1Q
?
主动力,',,,,
321 TTQQQ
?????
TTTT ????,'??且
2.列虚功方程 (几何法）
?
?
???
n
i
iWW
1
??
HEHGE rTrTrQrQrQ
?????????? ????? ?????????? '
321
0? T
?
'T?
G
T?
'T?
3Q
?
拆除绳 EH，自由度为 1，用
TT ???,
表示绳索对结构的作用力。
例 题 6 § 8 虚位移原理
?例题
且
EG rr ?? ?
EBH rrr ??? 2??
代入上式
0)2'2 22 22( 321 ?????? ErTTQQQ ?
0?Er??
H
A
B
CD
E
G
T?
'T?
2Q
?
1Q
?
3Q
?Hr??
Er??
此机构中，杆 AB,DC为定轴转动，杆 BC为平动，可
判断 E,G,H各点的虚位移方向。
Gr??QTT 24???? （拉力）
HEHGE rTrTrQrQrQ
?????????? ????? ????????? '
321
0?
例 题 7 § 8 虚位移原理
?例题
a
b
aa
A B
C
D
Q?
M
杆 AB,CD由光滑铰
链 C相连，在 AB杆的 B
端作用一铅垂力,在
CD杆上作用一力偶，其
力偶矩为 M，不计杆重，
求 A端的约束反力。
Q?
例 题 7 § 8 虚位移原理
?例题
解：系统的自由度为 0
可依次拆除 A端的
几个约束，将相应
约束力看作主动力
求解。
a
b
aa
A B
C
D
Q?
M
AxF
?
AyF
?
AM
a
b
aa
A B
C
D
Q?
M
例 题 7 § 8 虚位移原理
?例题
(1)求
AM
去掉 A端的转动约束，
用约束力偶矩 MA代替。
AM
A
系统的自由度为 1
主动力：
QMM A ?,,
AB定轴转动,CD一般
平面运动，瞬心为 P，
P
AB的虚转角
1??
CD的虚转角为
2??
则
21 ????? ???? PCACr C 12
2???? ??
1??
2??
Cr
??
例 题 7 § 8 虚位移原理
?例题
0
1
??
?
n
i
iW?
03 211 ???? ?????? MaQM A
a
b
aa
A B
C
D
Q?
M
AM
1??
2??
1??? AM MW A ??
13 ??? aQW Q ?
2??? MW M ?
列虚功方程：
12 2???? ?
代入
0)23( 1 ???? ??MaQM A 01 ????
123 MaQM A ???
（ ?）
例 题 7 § 8 虚位移原理
?例题
(2)求
AxF去掉 A端的水平约束，
用约束力 FAx 代替。
系统的自由度为 1
主动力 QMF
Ax
??,,
AB,CD只能作平动
BCA rrr
??? ??? ??
a
b
aa
B
C
D
Q?
M
A
AxF
?
A
0?QW?
AAxF rFW Ax ?? ?
0?MW?
0
1
??
?
n
i
iW?
0?AAx rF ? 0?AxF
例 题 7 § 8 虚位移原理
?例题
(3)求 AyF
去掉 A端的铅垂约束
系统自由度为 1
主动力,QMF
Ay
??,,
AB平动,CD瞬心为 P
BQ rQW ?? ??AAyF rFW Ay ?? ?
??? MW M ??
Ar?? a
b
aa
A B
C
D
Q?
M
A
AyF
?
P
设 CD的虚转角为 ??
????? arrr BAC ???
则有
Cr
??
??
Br??
0
1
??
?
n
i
iW?
列虚功方程：
例 题 7 § 8 虚位移原理
?例题
0)( ???? AAy raMFQ ?
a
b
aa
B
C
D
Q?
M
A
AyF
?
??
Cr
??
Ar??
Br??
0???? ???? MrFrQ AAyB
??
?
n
i
iW
1
?
即
0?Ar??
a
MQF
Ay ???
（ ?）
§ 9.5 质点系平衡的广义力
1,广义力 以广义力表示的系统平衡条件
? ?
? ? ?
??? n
i
k
j
j
j
i
i qq
rF
1 1
)( ?
??
? ?
? ? ?
??? k
j
j
n
i j
i
i qq
rF
1 1
)( ?
??
? ?W? ?
?
??
n
i
ii rF
1
?? ?虚功方程
各 之间要满足约
束条件，故不是独
立的，可用广义虚
位移
表示为
ir
??
jq? )~1( kj ?
j
k
j j
i
i qq
rr ?? ?
? ?
??
1
??
称为广义坐标 对应的广义力
jqjQ
令
?
? ?
??? n
i j
i
ij q
rFQ
1
?? kj ~1?
（ 8.35)
因此，虚功方程可写为
? ?W? ?
?
?
k
j
jj qQ
1
?
0?
2,广义力的计算
? )( jW? ?
?
??
n
i
ii rF
1
?? ? ?
?
?
k
s
ss qQ
1
? jj qQ ??
由于各个 独立
jq?
0?jQ kj ~1?系统的平衡条件,（ 8.36）
分别计算 k个广义力，
jQ
计算 时，选取一组特殊的
广义虚位移，令 0?
jq? 0?sq?
ks ~1? js?但而
这组虚位移下系统的虚功为：
则
j
j
j q
W
Q
?
??
?
)( j=1~k (8.37)
3,有势力场质点系的平衡问题
设系统的主动力全部为有势力，则系统存在势能 V
),,,( 321 nxxxVV ??
),,,( 21 kqqqVV ??
或选取广义坐标
与 相应的广义力：
jq
jQ ?
? ?
??? n
i j
i
i q
rF
1
??
?
? ?
?? n
i j
i
i q
xF3
1
?
? ?
?
?
??? n
i j
i
i q
x
x
V3
1 jq
V
?
???
i
i x
VF
?
??? )3,,2,1( ni ??
各有势力直角坐标下的
投影 Fi与势能的关系
dVdxFWd i
n
i
i ???? ?
?
3
1
则系统的元功
选取直角坐标 xi
x2
x1
x3
iF
?
(xi1,xi2,xi3)
0?
?
?
jq
V )~1( kj ?平衡条件：
V?
k
k
qqVqqVqqV ??? ?????????? ?2
2
1
1
0?或
4.有势力场中质点系平衡的稳定性
例如：考虑自重的
杆的平衡问题。
即对于保守系统，质点系的平衡位形一定出现在势
能取驻值（ 或 ）的位形处。0?
?
?
jq
V
0?V?
以下仅讨论单自由度系统：
0qq ?
设 在 处系统平衡。
)(qVV ?
将 在
0q
处台劳展开)(qV
???????
??
2
02
2
00 )(!2
1)()()(
00
dq
Vdqq
dq
dVqVqV
qqqq
0q
当 q在 附近时，略去二阶以上小量
注意到，因 处于平衡位置，所以0q
0
0
?
? qqdq
dV
2
02
2
0 )(!2
1)()(
0
dq
VdqVqV
???
?
则
在平衡位置处势能取驻值包括以下几种情况：
(1)取极小值 (2)取极大值 (3)拐点 (4)不变化
q对应的广义力 Q
dq
dV?? )(
02
2
0
dq
Vd
???
?
2
02
2
0 )(!2
1)()(
0
dq
VdqVqV
???
?
则
0)('' 0 ?qV(a) 当 时，有 )()( 0qVqV ?
势能 V在 处取极小值，广义力 Q与广义位移的增
量 的符号相反。0q)(
0qq ?
Q可使质点恢复到平衡位置。
0qq ?
是质点系的稳定平衡位置。故当 时，0)(''
0 ?qV
)()( 0qVqV ?0)('' 0 ?qV
(b)当 时，有
势能 V在 处取极大值，广义力 Q与广义位移的增量
的符号相同。0q)(
0qq ?
Q可使质点离开平衡位置。
q对应的广义力 Q
dq
dV?? )(
02
2
0
dq
Vd
???
?
0)('' 0 ?qV(c)当 时，需考察 V=V(q)更高阶导数
(d)当 V=V(q0)=const时，广义力为零，随遇平衡
0qq ?
是质点系的不稳定平衡位置。故 时，0)(''
0 ?qV
)(a
稳定平衡
)(b
不稳定
平衡
)(d
随遇平衡
在稳定的平衡位形处，质点系的总势能为
最小，称为最小势能原理。
三铰刚架受力如图，
求 C端的约束力。
例 题 8 § 8 虚位移原理
?例题
A
B
C
D
P?
Q?
b
aa
系统的自由度为 2。
主动力：
CyCx FFQP
????,,,
例 题 8 § 8 虚位移原理
?例题
A
B
C
D
P?
Q?
b
aa
解：此为静定结构，自由
度为 0,C端约束力
有,去掉 C端约束，
CyCx FF
??,
2??
1??
计算这两个广义坐标相应的广义力 Q1和 Q2：
CxF
?
CyF
?
2211,?? ?? qq
取一组广义坐标,
1?
2?
为 AB绕 A点定轴转动的方位角
为 BC相对于 AB绕 B点定轴转动的方位角
A
B
C
D
P?
Q?
b
aa
2??
1??
CxF
?
CyF
?
例 题 8 § 8 虚位移原理
?例题
1
)1(
)2( ??
???
?
aFaQbP
yFyQxP
W
Cy
CCyBD
???????
???
?
计算系统的虚功：
0,0 21 ?? ????(1)令此时 BC相对于 AB静止，整个系统绕 A定轴转动：
1??? bx D ??
1221
22 ????? a
ba
abay
B ??????
12 ??? ay C ? 0?Cx?
1Q?
1
)1(
??
??? W aFQaPb
Cy 2?????
y
x
AB不动,BC以 B点为
基点定轴转动：
2Q?
2
)2(
??
??? W bFaF
CyCx ??
例 题 8 § 8 虚位移原理
?例题
A
B
C
D
P?
Q?
b
aa
2??
1??
CxF
?
CyF
?
y
x
0,0 21 ?? ????（ 2）令
2222
22 ????? b
ba
bbax
C ??????
2222
22 ????? a
ba
abay
C ??????
2)2( )( ??? bFaFW CyCx ???
系统的虚功为：
QPabF Cy 212 ??? ( )
CyCx Fb
aF ???
QbaP 22 ??? )22( QbaP ??? ( )
A
B
C
D
P?
Q?
b
aa
2??
1??
CxF
?
CyF
?
y
x
例 题 8 § 8 虚位移原理
?例题
（ 3）广义力平衡条件
021 ?????? aFQaPbQ Cy
02 ??? bFaFQ CyCx
例 题 11 § 8 虚位移原理
?例题
O
r
O
r
r
O’
r
O’
放在固定半圆柱体上的均质半圆柱和均质半圆
柱薄壳（半径均为 r)，分析其平衡的稳定性。
(设物体接触面间有足够的静摩擦力）
r
O
r
r
O
r
解：设上面
物体重心为 C，
m为其质量，
仅有重力作功，
有势系统，存
在势能 V：
)2c o s'c o s2( ?? COrmgm g yV C ???
C
C
求导
)2s in'2s in2( ??? COrmgV ?????
?
?
?
O’
O’O’
gm?
gm?
)2c o s'4c o s2(2
2
??? COrmgV ?????
0??? 为平衡位置
0??? 时
)'2(22
2
COrmgV ????? ?
例 题 11 § 8 虚位移原理
?例题
(地面为零点 )
O
r
O
r
rr
C
C
?
?
?
O’
O’O’
gm?
gm?
例 题 11 § 8 虚位移原理
?例题
)'2(22
2
COrmgV ????? ?
对半圆柱：
?3
4' rCO ? 0)
3
42(2
2
2
??????? ?? rrmgV
不稳定平衡！对半圆柱
薄壳,?rCO 2' ?
0)22(22
2
??????? ?? rrmgV 稳定平衡！
