工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 26)
（下册）
附录 II 平面图形的几何性质
1,静矩（一次矩）与形心
任意平面图形 A （例如杆的横截面）
建立 yz 坐标系（ x轴为杆的轴线）
O
C(yc,zc)
y
z
平面图形的形心 C(yc,zc)
定义 图形对 y 轴的 静矩
??
A
y z d AS
(II.1)
图形对 z 轴的 静矩
??
A
z y d AS
(II.2)静矩的单位,m3,cm3,mm3
A
dA
静矩与形心
O
C(yc,zc)
y
z
A
A
S
A
y d A
y zAC ??
?
A
S
A
z d A
z yAC ??
?
，
（ II.3）静矩的性质
（ 1）静矩与轴有关，可正可负可为零。
（ 2）若 yC,zC坐标轴过形心，则有
0?CyS 0?CzS
yC
zC
（ 3）组合图形静矩可分块计算求代数和
A2
c2
A1 c1
221121 CCzzz yAyASSS ????
（ 4）求形心
A
yAyA
A
Sy CCz
C 2211
???
A
zAzA
A
Sz CCy
C
2211 ???
2.惯性矩（二次矩）
定义 图形对 y,z 轴的 轴惯性矩
??
A
y dAzI
2
(II.4)
??
A
z dAyI
2
(II.5)
图形对原点的 极惯性矩
yz
AA
p IIdAzydAI ????? ?? )(
222? (II.6)
惯性矩的单位,m4,cm4,mm4
O
C(yc,zc)
y
z
A
dA
O
y
z
A
惯性矩的性质：
（ 1）惯性矩与轴有关，恒为正。
（ 2）组合图形惯性矩可
分块计算求代数和。
A2
c2
A1 c1
z
y
(3)定义 惯性半径 iz,iy
A
Ii z
z ? A
Ii y
y ?
(II.7)
A
iz
iy
例 题 II-1 § II 平面图形的几何性质
?例题
求矩形截面对 z轴的惯性矩
zh
b
解：
123
)
2
()
2
( 3
33
2
2
222
bh
hh
b
dyybbdyydAyI
h
hAA
z
?
??
?
??? ???
?dA
dy
常见图形的惯性矩：
矩形：
h
b
y
z
圆形：
y
z
d
12
3bh
I z ?
12
3hb
I y ?
64
4d
II yz ???
32
4d
I p ??
z
空心圆形：
y
d
D
)1(
64
64
4
4
44
?
?
??
??
?
??
D
dD
II zy
)1(32 44 ?? ?? DI p
Dd??
3.惯性积
定义
??
A
yz y z d AI
(II.8)
惯性积的性质：
（ 1）惯性积与轴有关，可正可负可为零。
（ 2）若 y,z 轴有一为图形的对称轴，则 Iyz = 0。
O
C(yc,zc)
y
z
A
dA
4.平行移轴公式
若两组坐标轴分别平行，且其
中一组为形心轴，则O C(a,b)
y
z
A
yC
zC
a
b
2AaII
Cyy ??
2AbII
Czz ??
Aa bII CC zyyz ??
(II.9)
(II.11)
(II.10)
A 为图形的面积,a,b 为形心 C 在 yz 坐标系中的坐标
平行移轴公式可用于求组合图形的惯性矩
例 题 II-2 § II 平面图形的几何性质
?例题
求 T形截面对其形心轴的惯性矩。
解：
建立过形心的 zCyC坐标系，及平行于
zC轴的 z轴
24
6)(5
)
4
(
12
)
4
(
12
)
2
()
2
(
22
2
3
2
3
2
2
2
1 21
HhhH
Hh
Hh
Hh
hHHh
Hh
Hh
y
H
hHhI
h
yHhII CzCzz
CCC
??
?
?
???
?
???
?????????
C zC
yC
z
(1)求形心的位置h
h
H
H
A1
A2
4
3
2
)
2
(
2
21
2211 Hh
Hh
H
hHh
h
Hh
AA
yAyA
y CCC
?
?
??
?
?
?
?
yC
(2)求惯性矩
C1
C2
5,转轴公式
O y
z
A
y’z’ 设 y,z为任一对坐标轴，将
其绕 O点逆时针旋转 角，
得到新坐标轴 y’,z’，则有：
?
zyzy
yz
zyzy
z
yz
zyzy
y
IIII
I
IIII
I
I
IIII
I
????
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
??
2s i n2c os
22
2s i n2c os
22
?? 2c o s2s in2 yzzyzy IIII ?????
?
6,主惯性轴, 主惯性矩
（ 1）主惯性轴：若图形对某一对坐标轴的惯性积
等于零，这一对坐标轴就称为主惯性轴。
（ 2）主惯性矩：图形对主惯性轴的惯性矩。
注意：图形对过某点的所有轴的惯性矩中，两个
主惯性矩中的一个是最大值，另一个是最小值。
（ 3）形心主惯性轴：通过形心 C的主惯性轴。
注意：对称轴一定是形心主惯性轴。
（ 4）形心主惯性矩：图形对形心主惯性轴的惯性矩。
比较：应力的主方向，主应力
求图示截面对 z轴的惯性矩 。R
z)1(
R
)2( z
a
a
z)3(
864
)2(
2
1 44 RRI
z
?? ???
1682
1 44 RRI
z
?? ???
42
24
3
1
212 aa
aaI
z ????
??
?
???
4
44
163
1
163 a
aaI
z ??
??
?
? ???? ??
例 题 II-3 § II 平面图形的几何性质
?例题
z
a
a
)4(
负面
积法
a a
z)5(
'z
'y
例 题 II-3 § II 平面图形的几何性质
?例题
正方形对 和 轴的惯性矩均为 。
而 与 轴是形心主惯性轴，,
都是形心主惯性矩。对所有的形心
轴来说,及 中的一个是最大值，
另一个是最小值。
'y 'z 124a
'y 'z 'yI 'zI
'yI 'zI
实际上任意过形心的轴都是正方形的主惯性轴，
对其任意形心轴的惯性矩为一常数。
所以正方形对任一形心轴的惯性 12
4
''
aII
zy ??
12
4a
12
4a
I z ?矩也等于,即：
而,
此结论可推广到任意正多边形，即任意正多边形对
其任意一形心轴的惯性矩为常量。
z
a
a2 a2
? ? 22244
4
)2(
6412
2 aaaaaI
z ??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ??
4
64
17
3
7 a?
?
??
?
? ?? ?
例如，求图
示图形对 z
轴的惯性矩
判断正误
bhhII yy 2121 ???
1212
33 bhBH
I z ??
hH
b
B
z
z轴为槽形的形心轴
例 题 II-4 § II 平面图形的几何性质
?例题
错！
错！
h
y
1y
b
例 题 II-5 § II 平面图形的几何性质
?例题
画出下列图形形心主惯性轴的大致方位
C C C C
C C C
7.工程上常用的各种型钢截面几何参数
工程上常用的工字钢、槽钢、等边角钢、不
等边角钢可查附录 III型钢表
例如：型号为 25a的工字钢
b
d
XX
Y
Y
h
查表可知：
mmd
cmi
cm
h
I
W
cmI
cmA
x
x
x
x
0.8
2.10
4 0 2
2
5 0 2 0
5 4 1.48
3
4
2
?
?
??
?
?
cmSISI
x
x
xx 6.21,??
§ 13 梁的弯曲
§ 13.1 弯曲的概念
1.弯曲的特点
外力 —— 垂直于杆轴线的横向力或作用于轴线
所在平面内的力偶
变形 —— 杆轴线由直线变为曲线
内力 —— 杆件横截面内的剪力 FS，弯矩 M
m
m
2.常见的几种弯曲类型
平面弯曲 —— 外力系为轴线所在平面内的平面力系，
变形后轴线变为平面曲线
对称弯曲 —— 横截面有一纵向对称轴（ y轴），外力
作用于该对称轴与杆轴组成的纵向对
称面内，内力分量为剪力 FS，弯矩 M
纯弯曲：横截面上只有 M，无 FS
剪切弯曲（一般弯曲）,FS,M均有
例如：
a a a
F F
F F
F
F
（ FS）
Fa
（ M）
A B C D
AB,CD段：
剪切弯曲
BC段：纯弯曲
3.列剪力、弯矩方程，画剪力、弯矩图
—— 复习上学期内容
§ 13.2 纯弯曲时横截面上的应力
弯曲正应力公式
纯弯曲实验观察：
M M
平面假设：变形后横截面保持平面且仍与轴线正交
M M
横截面
单向受力假设：纵向纤维间无挤压
中性层
中性轴
将中性轴取为 z轴，纵向对称轴取为 y轴，
杆轴取为 x轴
z
y
x
1,变形几何关系
dx
m
m
n
n
a a
b b
a a
b b
m
m
n
n
MM
?d
O
?
1O
2O
m
m
n
n
a a
b by
微段,截面 mm相对 nn转
动,中性层曲率半径
设 bb线段的线应变
???
????? y
d
ddy ???? )(
（ a）
bb变形后长度
bb变形前长度
变形几何关系
??
y? (a)
2.物理关系
由单向受力假设：
???
yEE ?? (b)
中性轴处y?? ? 0,0 ?? ??
y
z
x
横截面
z
y
3.静力学关系
横截面上的正应力分布力系向截面形心简化得
到截面上的内力分量
dA?
M
y
z
C
0?? ?
A
N dAF ?
(c)
MdAyM
A
z ?? ? ?
(e)
0?? ? dAzM
A
y ?
(d)
x
横截面
z
y
0?? ?
A
N dAF ?
(c)
变形几何关系
??
y? (a)
???
yEE ?? (b)物理关系
0??? z
A
SEy d AE ??
0??? ?
A
z yd AS
中性轴 z轴必过截面形心
0?? ? dAzM
A
y ?
(d)
0??? yz
A
IEy z d AE ??
0??? ?
A
yz y z d AI
yz轴为截面形心主惯性轴
（ y为对称轴，已满足）
MMdAyM z
A
y ??? ? ?
(e)
z
A
IEdAyEM ?? ?? ? 2
zEI
M?
?
1 (13.1)
EIz为梁的 弯曲刚度
纯弯曲时横截
面正应力公式
zI
My?? (13.2)
拉应力区
压应力区
x
M
?max?
?max?
zzz W
M
yI
M
I
My ???
m a x
m a x
m a x /?
横截面上的
最大正应力 (13.3)
截面对 z轴的弯曲截面系数
m a xy
IW z
z ?
(13.4)
m
m y
z
m-m
注意 若截面关于 z轴上下对称，则有：
z
y
ymax1
ymax2 zzzzz Wy IWy IW ????
2m a x
2
1m a x
1
zW
M?? ??
m i nm a x ??
若截面关于 z轴上下不对称，则有：
C
y
z
ymax1
ymax2
?max?
?max?
1m a x
1 y
IW z
z ?
2m a x
2 y
IW z
z ?
?? ? m a xm a x ?? 应分别计算
M
?max?
?max?
如 M为正，则
1
m a x
zW
M???
2
m a x
zW
M???
常见各种形状截面的弯曲截面系数：
矩形：
h
b
y
z
12
3bh
I z ?
62
2bh
h
IW z
z ??
圆形：
y
z
d
64
4d
I z ??
322
3d
d
IW z
z
???
z
空心圆形：
y
d
D
)1(64 4
4
?? ?? DI z
Dd??
)1(32
2
4
3
?? ??? DDIW zz
拉（或压）应力最大值位置
§ 13.3 剪切弯曲时横截面上的应力
弯曲切应力公式
1.剪切弯曲（一般弯曲）时横截面上的正应力
剪切弯曲（一般弯曲）时，横截面上既有 M，也有 FS
横截面上既有 ?,也有 ?
存在 FS使平面假设不再满足，
不再准确，但梁为细长梁时（即 l/h 较大），
故纯弯曲正应力公式
误差不大，满足工程要求，
剪切弯曲时 )( xMM ?
某横截面上的正应力
zI
yxM )(??
zz W
M
I
yM m a xm a xm a x
m a x ???
zz W
M
I
yM m a xm a xm a x
m a x ???
弯曲正应力的最大值
2,剪切弯曲时横截面上的切应力
切应力分布与截面形状有关,
（ 1）矩形截面上的弯曲切应力
假设：
横截面上各点切应力方向平行
于剪力的方向
横截面上切应力沿 z方向均布
)( y?? ?
x
y
z
FS
)(y?y
x
y
z
FS
)(y?y x
y
z
)(y?y
FN1
A1
FN2
dx
M M+dM
y
从梁中切出分离体：
x方向平衡,0
12 ???? SNN FFF
??
?
?
?? ??
z
z
A zA
N
S
I
dMM
y d A
I
dMM
dAF
11
2
?
??
z
z
N SI
MF
1
bdxyF S )(???
b
???
1A
z y d AS
其中
0)( ???? ?? bdxySIMSI dMM z
z
z
z
?
bI
SF
dx
dM
bI
Sy
z
zS
z
z
??
???)(?
bI
SF
dx
dM
bI
Sy
z
zS
z
z
??
???)(?
矩形截面弯曲
切应力公式 (13.5)
y
y
z
A1
矩形截面：
)4(2))2(21()2()( 2
2
yhbyhyyhbyS z ?????????
)
4
(
2
)( 2
2
yh
I
Fy
z
S ??? ?
y
??max
中性轴上切应力最大：
??
2
3
2
3
4
12
2
2
3m a x ????
?
?
A
Fh
bh
F SS
横截面上下缘处,? = 0
?max?
?max?
M
y
z
b
B
Hh
（ 2）工字形截面上的弯曲切应力
主要考虑腹板上的弯曲切应力
腹板
翼缘
)/( m a x
m a x
m a x ?
?
??
zz
S
z
zS
SIb
F
bI
SF?
??
max
y
?min
?min 其中
?
?
??
A
z y d AS m a x
A*
FS
（ 3）圆形、圆环形截面上的弯曲切应力
y
z
FS 最大切应力在中性轴处：
?? 3434m a x ??? AF S
bI
SF
z
zS
y
?
??
任意水平线上某点处
切应力的 y 方向分量K
y
y
z
FS
最大切应力也在中性轴处：
?? 22m a x ??? AF S
max?
max?
y?
注意 （ 1）横截面上切应力的存在使得梁在弯
曲时横截面出现翘曲，不再保持平面。
（ 2）横截面上的正应力与切应力最大值之比
h
l?
m a x
m a x
?
?
对细长梁 ( l/h > 5 ),主要为弯曲正应力。
（ 3）某些形状的截面（薄壁梁如 T梁,L梁、工字梁）
或某些受力情况（如支座附近有较大集中力）下，横截
面上的切应力是主要应力。
max?
中性轴处,m ax?? ?
上下缘,0??
F
4m a x
FlM ?
2m a x
FF
S ?
h
l2
m a x
m a x ?
?
?
22m a x 2
36
4 bh
Fl
bh
Fl ????
bh
F
bh
F
8
3
24
3
m a x ????
3.弯曲中心的概念
观察薄壁杆件弯曲切应力的特点
? 沿壁厚方向均布
?方向与周边相切
O
在截面上形成 切应力流 ??
截面上分布切应力
系向该平面内任意
一点简化，即为该
截面上的内力分量
力 FS
力偶 T
剪力
扭矩
一定存在 某点 e,向 e 点 简化的结果
只有一个合力即剪力 FS而没有扭矩 T
e 点 称为该截面的 弯曲中心
T
FSF
S
e
外力若作用在弯曲中心所在的纵向截面内
该梁仅产生弯曲而不会产生扭转
使梁产生扭转！（梁为弯扭组合变形）
截面的弯曲中心位置的确定 —— 决定于截面的几何
形状、尺寸
例如，确定槽钢的弯曲中心：
常见各种
形状截面
的弯心位
置见书中
表 13.1
而各种实心
形状截面的
弯心与其形
心十分接近
弯曲中心的位置通常有以下规律：
（ 1）具有两个对称轴的截面，两个对称
轴的交点为弯曲中心。
（ 2）具有一个对称轴的截面，弯曲中心
一定位于对称轴上。
（ 3）开口薄壁截面，当其各直线段的中线
交于一点时，该点为弯曲中心。
O O
O
O
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 26)
（下册）
附录 II 平面图形的几何性质
1,静矩（一次矩）与形心
任意平面图形 A （例如杆的横截面）
建立 yz 坐标系（ x轴为杆的轴线）
O
C(yc,zc)
y
z
平面图形的形心 C(yc,zc)
定义 图形对 y 轴的 静矩
??
A
y z d AS
(II.1)
图形对 z 轴的 静矩
??
A
z y d AS
(II.2)静矩的单位,m3,cm3,mm3
A
dA
静矩与形心
O
C(yc,zc)
y
z
A
A
S
A
y d A
y zAC ??
?
A
S
A
z d A
z yAC ??
?
，
（ II.3）静矩的性质
（ 1）静矩与轴有关，可正可负可为零。
（ 2）若 yC,zC坐标轴过形心，则有
0?CyS 0?CzS
yC
zC
（ 3）组合图形静矩可分块计算求代数和
A2
c2
A1 c1
221121 CCzzz yAyASSS ????
（ 4）求形心
A
yAyA
A
Sy CCz
C 2211
???
A
zAzA
A
Sz CCy
C
2211 ???
2.惯性矩（二次矩）
定义 图形对 y,z 轴的 轴惯性矩
??
A
y dAzI
2
(II.4)
??
A
z dAyI
2
(II.5)
图形对原点的 极惯性矩
yz
AA
p IIdAzydAI ????? ?? )(
222? (II.6)
惯性矩的单位,m4,cm4,mm4
O
C(yc,zc)
y
z
A
dA
O
y
z
A
惯性矩的性质：
（ 1）惯性矩与轴有关，恒为正。
（ 2）组合图形惯性矩可
分块计算求代数和。
A2
c2
A1 c1
z
y
(3)定义 惯性半径 iz,iy
A
Ii z
z ? A
Ii y
y ?
(II.7)
A
iz
iy
例 题 II-1 § II 平面图形的几何性质
?例题
求矩形截面对 z轴的惯性矩
zh
b
解：
123
)
2
()
2
( 3
33
2
2
222
bh
hh
b
dyybbdyydAyI
h
hAA
z
?
??
?
??? ???
?dA
dy
常见图形的惯性矩：
矩形：
h
b
y
z
圆形：
y
z
d
12
3bh
I z ?
12
3hb
I y ?
64
4d
II yz ???
32
4d
I p ??
z
空心圆形：
y
d
D
)1(
64
64
4
4
44
?
?
??
??
?
??
D
dD
II zy
)1(32 44 ?? ?? DI p
Dd??
3.惯性积
定义
??
A
yz y z d AI
(II.8)
惯性积的性质：
（ 1）惯性积与轴有关，可正可负可为零。
（ 2）若 y,z 轴有一为图形的对称轴，则 Iyz = 0。
O
C(yc,zc)
y
z
A
dA
4.平行移轴公式
若两组坐标轴分别平行，且其
中一组为形心轴，则O C(a,b)
y
z
A
yC
zC
a
b
2AaII
Cyy ??
2AbII
Czz ??
Aa bII CC zyyz ??
(II.9)
(II.11)
(II.10)
A 为图形的面积,a,b 为形心 C 在 yz 坐标系中的坐标
平行移轴公式可用于求组合图形的惯性矩
例 题 II-2 § II 平面图形的几何性质
?例题
求 T形截面对其形心轴的惯性矩。
解：
建立过形心的 zCyC坐标系，及平行于
zC轴的 z轴
24
6)(5
)
4
(
12
)
4
(
12
)
2
()
2
(
22
2
3
2
3
2
2
2
1 21
HhhH
Hh
Hh
Hh
hHHh
Hh
Hh
y
H
hHhI
h
yHhII CzCzz
CCC
??
?
?
???
?
???
?????????
C zC
yC
z
(1)求形心的位置h
h
H
H
A1
A2
4
3
2
)
2
(
2
21
2211 Hh
Hh
H
hHh
h
Hh
AA
yAyA
y CCC
?
?
??
?
?
?
?
yC
(2)求惯性矩
C1
C2
5,转轴公式
O y
z
A
y’z’ 设 y,z为任一对坐标轴，将
其绕 O点逆时针旋转 角，
得到新坐标轴 y’,z’，则有：
?
zyzy
yz
zyzy
z
yz
zyzy
y
IIII
I
IIII
I
I
IIII
I
????
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
??
2s i n2c os
22
2s i n2c os
22
?? 2c o s2s in2 yzzyzy IIII ?????
?
6,主惯性轴, 主惯性矩
（ 1）主惯性轴：若图形对某一对坐标轴的惯性积
等于零，这一对坐标轴就称为主惯性轴。
（ 2）主惯性矩：图形对主惯性轴的惯性矩。
注意：图形对过某点的所有轴的惯性矩中，两个
主惯性矩中的一个是最大值，另一个是最小值。
（ 3）形心主惯性轴：通过形心 C的主惯性轴。
注意：对称轴一定是形心主惯性轴。
（ 4）形心主惯性矩：图形对形心主惯性轴的惯性矩。
比较：应力的主方向，主应力
求图示截面对 z轴的惯性矩 。R
z)1(
R
)2( z
a
a
z)3(
864
)2(
2
1 44 RRI
z
?? ???
1682
1 44 RRI
z
?? ???
42
24
3
1
212 aa
aaI
z ????
??
?
???
4
44
163
1
163 a
aaI
z ??
??
?
? ???? ??
例 题 II-3 § II 平面图形的几何性质
?例题
z
a
a
)4(
负面
积法
a a
z)5(
'z
'y
例 题 II-3 § II 平面图形的几何性质
?例题
正方形对 和 轴的惯性矩均为 。
而 与 轴是形心主惯性轴，,
都是形心主惯性矩。对所有的形心
轴来说,及 中的一个是最大值，
另一个是最小值。
'y 'z 124a
'y 'z 'yI 'zI
'yI 'zI
实际上任意过形心的轴都是正方形的主惯性轴，
对其任意形心轴的惯性矩为一常数。
所以正方形对任一形心轴的惯性 12
4
''
aII
zy ??
12
4a
12
4a
I z ?矩也等于,即：
而,
此结论可推广到任意正多边形，即任意正多边形对
其任意一形心轴的惯性矩为常量。
z
a
a2 a2
? ? 22244
4
)2(
6412
2 aaaaaI
z ??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ??
4
64
17
3
7 a?
?
??
?
? ?? ?
例如，求图
示图形对 z
轴的惯性矩
判断正误
bhhII yy 2121 ???
1212
33 bhBH
I z ??
hH
b
B
z
z轴为槽形的形心轴
例 题 II-4 § II 平面图形的几何性质
?例题
错！
错！
h
y
1y
b
例 题 II-5 § II 平面图形的几何性质
?例题
画出下列图形形心主惯性轴的大致方位
C C C C
C C C
7.工程上常用的各种型钢截面几何参数
工程上常用的工字钢、槽钢、等边角钢、不
等边角钢可查附录 III型钢表
例如：型号为 25a的工字钢
b
d
XX
Y
Y
h
查表可知：
mmd
cmi
cm
h
I
W
cmI
cmA
x
x
x
x
0.8
2.10
4 0 2
2
5 0 2 0
5 4 1.48
3
4
2
?
?
??
?
?
cmSISI
x
x
xx 6.21,??
§ 13 梁的弯曲
§ 13.1 弯曲的概念
1.弯曲的特点
外力 —— 垂直于杆轴线的横向力或作用于轴线
所在平面内的力偶
变形 —— 杆轴线由直线变为曲线
内力 —— 杆件横截面内的剪力 FS，弯矩 M
m
m
2.常见的几种弯曲类型
平面弯曲 —— 外力系为轴线所在平面内的平面力系，
变形后轴线变为平面曲线
对称弯曲 —— 横截面有一纵向对称轴（ y轴），外力
作用于该对称轴与杆轴组成的纵向对
称面内，内力分量为剪力 FS，弯矩 M
纯弯曲：横截面上只有 M，无 FS
剪切弯曲（一般弯曲）,FS,M均有
例如：
a a a
F F
F F
F
F
（ FS）
Fa
（ M）
A B C D
AB,CD段：
剪切弯曲
BC段：纯弯曲
3.列剪力、弯矩方程，画剪力、弯矩图
—— 复习上学期内容
§ 13.2 纯弯曲时横截面上的应力
弯曲正应力公式
纯弯曲实验观察：
M M
平面假设：变形后横截面保持平面且仍与轴线正交
M M
横截面
单向受力假设：纵向纤维间无挤压
中性层
中性轴
将中性轴取为 z轴，纵向对称轴取为 y轴，
杆轴取为 x轴
z
y
x
1,变形几何关系
dx
m
m
n
n
a a
b b
a a
b b
m
m
n
n
MM
?d
O
?
1O
2O
m
m
n
n
a a
b by
微段,截面 mm相对 nn转
动,中性层曲率半径
设 bb线段的线应变
???
????? y
d
ddy ???? )(
（ a）
bb变形后长度
bb变形前长度
变形几何关系
??
y? (a)
2.物理关系
由单向受力假设：
???
yEE ?? (b)
中性轴处y?? ? 0,0 ?? ??
y
z
x
横截面
z
y
3.静力学关系
横截面上的正应力分布力系向截面形心简化得
到截面上的内力分量
dA?
M
y
z
C
0?? ?
A
N dAF ?
(c)
MdAyM
A
z ?? ? ?
(e)
0?? ? dAzM
A
y ?
(d)
x
横截面
z
y
0?? ?
A
N dAF ?
(c)
变形几何关系
??
y? (a)
???
yEE ?? (b)物理关系
0??? z
A
SEy d AE ??
0??? ?
A
z yd AS
中性轴 z轴必过截面形心
0?? ? dAzM
A
y ?
(d)
0??? yz
A
IEy z d AE ??
0??? ?
A
yz y z d AI
yz轴为截面形心主惯性轴
（ y为对称轴，已满足）
MMdAyM z
A
y ??? ? ?
(e)
z
A
IEdAyEM ?? ?? ? 2
zEI
M?
?
1 (13.1)
EIz为梁的 弯曲刚度
纯弯曲时横截
面正应力公式
zI
My?? (13.2)
拉应力区
压应力区
x
M
?max?
?max?
zzz W
M
yI
M
I
My ???
m a x
m a x
m a x /?
横截面上的
最大正应力 (13.3)
截面对 z轴的弯曲截面系数
m a xy
IW z
z ?
(13.4)
m
m y
z
m-m
注意 若截面关于 z轴上下对称，则有：
z
y
ymax1
ymax2 zzzzz Wy IWy IW ????
2m a x
2
1m a x
1
zW
M?? ??
m i nm a x ??
若截面关于 z轴上下不对称，则有：
C
y
z
ymax1
ymax2
?max?
?max?
1m a x
1 y
IW z
z ?
2m a x
2 y
IW z
z ?
?? ? m a xm a x ?? 应分别计算
M
?max?
?max?
如 M为正，则
1
m a x
zW
M???
2
m a x
zW
M???
常见各种形状截面的弯曲截面系数：
矩形：
h
b
y
z
12
3bh
I z ?
62
2bh
h
IW z
z ??
圆形：
y
z
d
64
4d
I z ??
322
3d
d
IW z
z
???
z
空心圆形：
y
d
D
)1(64 4
4
?? ?? DI z
Dd??
)1(32
2
4
3
?? ??? DDIW zz
拉（或压）应力最大值位置
§ 13.3 剪切弯曲时横截面上的应力
弯曲切应力公式
1.剪切弯曲（一般弯曲）时横截面上的正应力
剪切弯曲（一般弯曲）时，横截面上既有 M，也有 FS
横截面上既有 ?,也有 ?
存在 FS使平面假设不再满足，
不再准确，但梁为细长梁时（即 l/h 较大），
故纯弯曲正应力公式
误差不大，满足工程要求，
剪切弯曲时 )( xMM ?
某横截面上的正应力
zI
yxM )(??
zz W
M
I
yM m a xm a xm a x
m a x ???
zz W
M
I
yM m a xm a xm a x
m a x ???
弯曲正应力的最大值
2,剪切弯曲时横截面上的切应力
切应力分布与截面形状有关,
（ 1）矩形截面上的弯曲切应力
假设：
横截面上各点切应力方向平行
于剪力的方向
横截面上切应力沿 z方向均布
)( y?? ?
x
y
z
FS
)(y?y
x
y
z
FS
)(y?y x
y
z
)(y?y
FN1
A1
FN2
dx
M M+dM
y
从梁中切出分离体：
x方向平衡,0
12 ???? SNN FFF
??
?
?
?? ??
z
z
A zA
N
S
I
dMM
y d A
I
dMM
dAF
11
2
?
??
z
z
N SI
MF
1
bdxyF S )(???
b
???
1A
z y d AS
其中
0)( ???? ?? bdxySIMSI dMM z
z
z
z
?
bI
SF
dx
dM
bI
Sy
z
zS
z
z
??
???)(?
bI
SF
dx
dM
bI
Sy
z
zS
z
z
??
???)(?
矩形截面弯曲
切应力公式 (13.5)
y
y
z
A1
矩形截面：
)4(2))2(21()2()( 2
2
yhbyhyyhbyS z ?????????
)
4
(
2
)( 2
2
yh
I
Fy
z
S ??? ?
y
??max
中性轴上切应力最大：
??
2
3
2
3
4
12
2
2
3m a x ????
?
?
A
Fh
bh
F SS
横截面上下缘处,? = 0
?max?
?max?
M
y
z
b
B
Hh
（ 2）工字形截面上的弯曲切应力
主要考虑腹板上的弯曲切应力
腹板
翼缘
)/( m a x
m a x
m a x ?
?
??
zz
S
z
zS
SIb
F
bI
SF?
??
max
y
?min
?min 其中
?
?
??
A
z y d AS m a x
A*
FS
（ 3）圆形、圆环形截面上的弯曲切应力
y
z
FS 最大切应力在中性轴处：
?? 3434m a x ??? AF S
bI
SF
z
zS
y
?
??
任意水平线上某点处
切应力的 y 方向分量K
y
y
z
FS
最大切应力也在中性轴处：
?? 22m a x ??? AF S
max?
max?
y?
注意 （ 1）横截面上切应力的存在使得梁在弯
曲时横截面出现翘曲，不再保持平面。
（ 2）横截面上的正应力与切应力最大值之比
h
l?
m a x
m a x
?
?
对细长梁 ( l/h > 5 ),主要为弯曲正应力。
（ 3）某些形状的截面（薄壁梁如 T梁,L梁、工字梁）
或某些受力情况（如支座附近有较大集中力）下，横截
面上的切应力是主要应力。
max?
中性轴处,m ax?? ?
上下缘,0??
F
4m a x
FlM ?
2m a x
FF
S ?
h
l2
m a x
m a x ?
?
?
22m a x 2
36
4 bh
Fl
bh
Fl ????
bh
F
bh
F
8
3
24
3
m a x ????
3.弯曲中心的概念
观察薄壁杆件弯曲切应力的特点
? 沿壁厚方向均布
?方向与周边相切
O
在截面上形成 切应力流 ??
截面上分布切应力
系向该平面内任意
一点简化，即为该
截面上的内力分量
力 FS
力偶 T
剪力
扭矩
一定存在 某点 e,向 e 点 简化的结果
只有一个合力即剪力 FS而没有扭矩 T
e 点 称为该截面的 弯曲中心
T
FSF
S
e
外力若作用在弯曲中心所在的纵向截面内
该梁仅产生弯曲而不会产生扭转
使梁产生扭转！（梁为弯扭组合变形）
截面的弯曲中心位置的确定 —— 决定于截面的几何
形状、尺寸
例如，确定槽钢的弯曲中心：
常见各种
形状截面
的弯心位
置见书中
表 13.1
而各种实心
形状截面的
弯心与其形
心十分接近
弯曲中心的位置通常有以下规律：
（ 1）具有两个对称轴的截面，两个对称
轴的交点为弯曲中心。
（ 2）具有一个对称轴的截面，弯曲中心
一定位于对称轴上。
（ 3）开口薄壁截面，当其各直线段的中线
交于一点时，该点为弯曲中心。
O O
O
O
