工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(8)
例 题 3
?例题
如图所示为裁纸板的简图 。
纸板 ABCD放在传送带上, 并
以匀速 v1=0.05 m·s-1与 传送带一
起运动, 裁纸刀固定在刀架 K
上, 刀架 K以匀速 v2=0.13 m·s-1
沿固定导杆 EF运动, 试问导杆
EF的安装角 θ应取何值才能使
切割下的纸板成矩形?
§ 3 复合运动
A B
CD
E
F
K
θ
v1 v2
例 题 3
?例题 § 3 复合运动
A B
CD
E
F
K
θ
v1 v2
例 题 3
1,选择动点，动系与 定系 。
相对运动－根据题目裁为矩形纸的要求，裁纸刀 K相
于纸板应为垂直于纸板运动方向的直线运动。
牵连运动－ 水平向左的直线平动。
绝对运动－ 沿导杆 EF的直线运动。
动系－固连于纸板 ABCD上 。
动点－取刀架 K为动点。
2,运动分析。
解,
定系－ 固连于机座。
§ 3 复合运动?例题
y
x
y’
x’
例 题 3
?例题
故导杆的安装角
3,速度分析。
由几何关系可得
§ 3 复合运动
方向? ? ?
大小 v2 v1?
绝对速度 va,va=v2,方向沿杆 EF向左上 。
牵连速度 ve,ve=v1, 方向 水平向左 。
相对速度 vr,大小未知，方向
垂直于纸板运动方向。
A B
CD
E
F
K
θ
v1 2vva ?? ?
1vve ?? ?
θ rv?
速度合成定理
例 题 4
§ 3 复合运动?例题
O
A
BC
D
60o
30o
30o
?0
曲柄 OA=2l，以角速
度 ?0 绕 O轴作定轴转动，
图示瞬时，杆 BC处于水
平位置,AB=OB=l，求
此时套筒 D相对于杆 BC
和杆 OA的速度。
例 题 4
§ 3 复合运动?例题
O
A
BC
D
60o
30o
30o
?0
解,1,运动状态分析
杆 OA定轴转动，杆 BC在
水平方向直线平动，杆 AD
为一般平面运动。套筒 B可
在杆 OA上滑动，套筒 D可
在杆 BC上滑动。
2,动点与动系选取之一
动点 1— 套筒 D
动系 1---固连于杆 BC
动系 1的牵连运动为水平平动，动点 1的相对运动轨迹
为沿 BC的直线，绝对运动轨迹也为沿 BC的直线。
动系 1
3,速度分析
例 题 4
§ 3 复合运动?例题
O
A
BC
D
60o
30o
30o
?0
方向 ? ? ?
1Drv
?
1Dev
? Dav?
大小？？？
对动点 1，有速度合成关系
11 DrDeDa vvv
??? ?? (1)
且由于 BC平动，有
BaDe vv
?? ?
1 (2)
4,动点动系的选取之二
动点 2---套筒 B,动系 2---固连于杆 OA
动系 2牵连运动为绕 O轴的定轴转动，动点 2绝对运
动轨迹为水平直线，相对运动轨迹为沿 OA的直线。
动系 2
动系 1
Bav??
例 题 4 § 3 复合运动
?例题
O
A
BC
D
60o
30o
30o
?0
1Drv?
1Dev? Dav?
方向 ? ? ?
Bav?
2Brv?
2Bev?
大小？ l?0?
解出
3
2
30c o s
02 ?lvv Be
Ba ???
(?)
5,在定系中，由 A,D两点速度
关系
D A aAaDa vvv
??? ??
将（ 1）、（ 2）代入，有
D AaAaDrBa vvvv
???? ???
1
方向 ? ? ? ?
大小 ?？ 2l?0?
动系 2
Aav?
DAav
?
动点动系 2的速度合成关
系
22 BrBeBa vvv
??? ?? (3)
Bav??
D A aAaDrDe vv
?? ??
11
例 题 4 § 3 复合运动
?例题
?？ 2l?0?
D AaAaDrBa vvvv
???? ???
1
O
A
BC
D
60o
30o
30o
?0
1Drv?
1Dev? Dav?
Bav?
2Brv?
2Bev?
动系 2
Aav?
DAav
?
在杆 AD方向的 ?轴上投影
?
??????? 60c o s230c o s30c o s32 010 ?? lvl Dr
求出 0
1 ?Drv
即 套筒相对于杆 BC的速度为零 。故
BaDeDrDeDa vvvvv
????? ????
111而套筒 B相对于杆 OA的速度由 B点速度合成关系 (3) 求出
3330 022 /t a n ?lvv BeBr ??? (方向如图 )故 2BrOAD vv ?? ?,
即 套筒 D相对于杆 OA的速度大小为,方向由 B指向 A330 /?l
22 BrBeBa vvv
??? ?? (3)
§ 3.4.2 加速度合成定理
M
O
xi1
xi2
xi3
O’
xe1
xe2
xe3
Or??
r? r?
?
rea vvv
??? ??由速度合成定理 (3.17)
其中牵连速度为 (3.16)rvv
eOe ???? ?
???? ?
dt
rdr
dt
d
dt
vd
dt
vd
e
eOe ???????
??????
??'
???
?
???
? ??????????
? rdt
rdra
eeeO
??????? ??? ~
注意 rdtrddtrd e ?????? ???? ?~
对 (3.17)式求绝对导数
dt
vd
dt
vd
dt
vd rea ??? ?? (3.18)
式中
dt
vda a
a
??
? 动点的绝对加速度
???
?
???
? ??????????
? rdt
rdra
eeeO
??????? ??? ~
dt
rdr
dt
d
dt
vd
dt
vd
e
eOe ???????
??????
??'
)( rvra eereeO ?????????? ? ???????? ????
rerre
rr vav
dt
vd
dt
vd ??????? ?????? ??~又
rerea vaaa
????? ???? ?2故
)( rraa eeeOe ???????? ? ??????? ???定义 动点的牵连加速度 (3.19)
定义 动点的科氏加速度
rec va
??? ?? ?2 (3.21)
其中 动点的相对加速度
dt
vda r
r
?? ~
? (3.20)
加速度合成关系
crea aaaa
???? ??? (3.22)因此得动点的
加速度合成关系式中各量的物理意义：
绝对加速度 ----定系中动点的加速度
aa
?
相对加速度 ---- 动系中动点的加速度
ra
?
牵连加速度 ----动系中与动点 M重合的 m点（牵
连点）相对于定系的绝对加速度
ea?
科氏加速度 ----为动点的相对速度与动系的牵连
角速度共同引起的附加加速度
ca
?
科氏加速度的大小
rec va ?2?
?
动系及动点在同一平面内作平面运动时
科氏加速度的方向：由 的方向随 ?e 的转
动方向旋转 90o后得到
rv?
?e
ca?
rv?
例 题 5
?例题 § 3 复合运动
A
B
n
φ
R
v
a
凸轮在水平面上向右
作减速运动, 如图所示,
设凸轮半径为 R,图示瞬
时的速度和加速度分别为
和, 求杆 AB在图示
位置时的加速度 。
v? a
?
例 题 5
?例题 § 3 复合运动
例 题 5
?例题
解,1,选择动点，动系与 定系 。
动系－ Ox′y′，固连于凸轮。
2,运动分析。
绝对运动－直线运动。
牵连运动－水平平 动。
动点－ 顶杆 AB的端点 A。
相对运动－沿凸轮轮廓圆周线运动。
定系－ 固连于机座。
§ 3 复合运动
A
B
n
φ
R
v
a
O x'
y'
例 题 5
?例题
3,速度分析。
φ
根据速度合成定理
§ 3 复合运动
A
B
n
φ
R
v
a
O x'
y'
ve
vavr
绝对速度, 大小未知，方向沿杆
AB 向上 。
av
?
牵连速度, ve= v, 方向 水平向右 。
ev?
相对速度, 大小未知，方向沿
凸轮圆周的切线 。
rv?
方向 ? ? ?
大小？ v?
可求得,(方向如图 )
A
B
n
φ
R
va
O
例 题 5
?例题
4,加速度分析。
§ 3 复合运动
?ra?
ae
nra
绝对加速度,大小未知, 为所要求
的量，方向沿直线 AB。
aa
?
牵连加速度, ae= a, 沿 水平 方 向 。
ea
?
相对加速度切向分量, 大小 未知,
垂直于 OA，假设 指向 右下。
?ra?
相对加速度法向分量,
大小为 arn = vr 2 / R,方向 沿 OA，
指向 O。
nra?
aa?
例 题 5
?例题
根据加速度合成定理
上式投影到凸轮圆周的法线 n 上，得
§ 3 复合运动
A
B
n
φ
R
va
O
?ra?
ae
nra aa?
方向 ? ? ? ?
大小？ a?
?2
2
sinR
v
0
解得杆 AB在图示位置时的加速度
(?)
例 题 6
?例题 § 3 复合运动
O
A
B?r
曲柄连杆滑块机构，连杆
AB相对于曲柄 OA以匀角
速度 ?r 作顺时针方向转动，
已知 OA=l,AB= l,求图
示瞬时滑块 B的速度和加
速度。
3
例 题 6
?例题 § 3 复合运动
O
A
B?r
解,1,运动分析, 杆 OA定轴转动，杆 AB一般平面
运动，滑块 B水平平动。
2.动点动系选择, 动点 ----滑块 B，
动系 ----固连于杆 OA
动点绝对运动轨迹 --水平直线，
动点相对运动轨迹 — 以 A为圆心,AB为半径的圆周
动系的牵连运动 — 绕 O轴定
轴转动
3.速度分析, 由动点 B的速度合成关系
?OA
rea vvv
??? ??
方向 ? ? ?
大小？ OB·?OA? AB·?r
由于
rr lv ?3?
故求得
rra lvv ?? ?? t an
rreOA l
v
l
v ?
?? ??? c o s22
(?)
(?)
av?
rv?
ev
?
?l
l3
例 题 6
?例题 § 3 复合运动
3,加速度分析：
O
A
B匀 ?r
?OA
?
由动点加速度合成关系
cnrrneea aaaaaa
?????? ????? ??
0
方向 ? ? ? ? ?
大小？？ 2l 2
OA? 23 rl? rOA l?? 32
aa?
?ea?nea?
nra?
?ra? = 0
上式在 ?方向投影，得
??????? c o s32c o s32c o s 22 rrrra llla ???
ca?
由此解得
2
3
3
ra la ??
(?)
?
rv
?
例 题 7
?例题 § 3 复合运动
?
O
O1
A
B
C
D
60o
30o
杆 OA和杆 O1B的长度
均为 r，连杆 AB长为 2r，
当杆 OA以匀角速度 ?
绕 O轴作定轴转动时，
通过连杆 AB与套筒 C
带动连杆 CD沿水平轨
道滑动。在图示位置，
OA水平,O1B铅垂，
AC=CB=r,试求此瞬时
杆 CD的速度和加速度。
例 题 7
?例题 § 3 复合运动
?
O
O1
A
B
C
D
60o
30o
解,1.运动分析,OA,O1B杆为定轴转动,CD杆水平
平动,AB杆一般平面运动，套筒 C复
合运动。
2.动点动系选择,
动点 ----套筒上的 C点
动系 ----固连于 AB杆
动点绝对轨迹 ----水平直线
动点相对轨迹 ----沿 AB直线运动
牵连运动 ----一般平面运动
3.速度分析, 由动点 C的速度合成关系
CreCa vvv
??? ??
其中 即 此瞬时杆 AB上与套筒 C点重合的 C’点的绝对速度ev?
例 题 7
?例题 § 3 复合运动
?
O
O1
A
B
C
D
60o
30o
由 A点和 B点的速度方向可确定杆 AB此时的速度瞬心为 P
P 且 ??? ???
r
r
PA
v A
AB
(?)
故
???
??
rrPBv
rPCv
ABB
ABc
32
2
3
'
??????
???
(方向如图）
(?)Bv?
Av?
'Cv?
故动点 C的速度合成关系为
CrCCreCa vvvvv
????? ????
'
方向 ? ? ?
大小？ r??
Cav?
Crv?
由此解得 ?rvvvv C
CrCaCD 3
3
30c o s2
' ?
????
方向分别如图
例 题 7
?例题 § 3 复合运动
3.加速度分析：
?
O
O1
A
B
C
D
60o
30o
其中,为 AB杆上与套筒 C
点重合的点 C’的绝对加速度。
由于 C’点为 AB杆 AB连线的中
点，故有
ea
?
)(21' BACe aaaa ???? ???
(2)
nAa?
?Ba?
nBa?
方向 ? ? ? ? ?
大小？ r??? rv
B/2
22 ABr?
?BAa?
nBAa?
Crv?
ra?
aa?
Ca?
定系中由杆 AB的两点加速度关系
nBABAnAnBBB aaaaaa ?????? ????? ?? （ 3）
由动点 C加速度合成关系
CreaCD aaaaa
????? ???? (1)
例 题 7
?例题
§ 3 复合运动
?
O
O1
A
B
C
D
60o
30o
?Ba?
nBa?
?BAa?
nBAa?
nAa?
Crv?
ra?
aa?
a? C
?
上式在 ?方向投影可得
2)335( ?? ra B ?? (?)?
利用此结果，并将（ 2）代入（ 1）
Cr
n
BB
n
Aa aaaaaa
?????? ????? )(
2
1 ?
方向 ? ? ? ? ? ?
大小？ ? ? ?？ ?
在 ?方向投影，求得 2
3
3613 ?raa
aCD
??? (?)
定系中由杆 AB的两点加速度关系
nBABAnAnBBB aaaaaa ?????? ????? ?? （ 3）
大小？ r??? rv
B/2
22 ABr?
CreaCD aaaaa ????? ????
(1)
)(21' BACe aaaa ???? ??? (2)
例 题 8
?例题 § 3 复合运动
两个半径均为 R，圆心分
别为 O和 O’的圆环可分
别绕 A,B轴定轴转动，
已知 AB之间距离为 3R，
两个圆环的角速度均为
?=常数，转向分别如图，
当 AOO’B四点位于同一
直线上时，求两圆环相
交点 M的速度和加速度。
A B
M
O O’?
?
A B
M
O O’?
?
例 题 8
?例题 § 3 复合运动
解,1.运动分析
圆环 A和圆环 B均为定轴转动，
但所求的 相交点 M既非圆环 A上
的固定物质点，也非圆环 B上的
固定物质点,在运动中,M点
作为任意时刻的相交点，其在
两环上的相对位置是不断变化
的，可视为有一小环 M同时套在两环上，取小环 M为研究对象。
2.动点动系的选择
动点 --小环 M,动系 e1--固连于圆环 A,动系 e2— 固连于圆环 B
两动系的牵连运动 --均为定轴转动,动点在两动系中的相对
运动轨迹 --分别沿圆周 A和圆周 B, 动点的绝对运动轨迹 --？
例 题 8
?例题 § 3 复合运动
3.速度分析
2211 rerea vvvvv
????? ????
方向 ? ? ? ?
大小 AM·?？ BM·?？A B
M
O O’?
?
1ev
?
2ev
?
其中 RRRBMAM 34 22 ????
1rv?
2rv?
?
??
?????
30
)90c o s (c o s 211
?
?? ere vvv
在 ?方向投影
故得
?Rvvv eer 330c o s/30t a n 121 ?????
方向如图
??
在 ?方向投影 ?? c o ss i n 221 ree vvv ??? 方向如图?Rv r 32 ?
故 ?Rvvv reax 330c o s60c o s 11 ??????
060c o s60s i n 11 ????? reay vvv
(?)
av?
例 题 8
?例题 § 3 复合运动
3.加速度分析
22221111 cnrrnecnrrnea aaaaaaaaa
????????? ???????? ??
方向 ? ? ? ? ? ? ? ?
大小 ?？ ? ? ?？ ? ?
在 ?方向投影求出 2
2 32 ?? Ra r ??
(?)
故求出
233
0
?Ra
a
ay
ax
?
? （ ?）
?
A B
M
O O’?
?
1rv?
2rv
?
?? y
x
nra1? ?1ra?
nea1?
1Ca?
?
A B
M
O O’?
?
1rv?
2rv
?
?? y
x
nea2?
nra2?
?2ra?
2Ca
?
例 题 8
?例题 § 3 复合运动
A B
M
O O’?
?
av?
aa
?
最终结果，相交点 M的速度、加速度分别为：
233
3
?
?
Ra
Rv
M
M
?
?
(?)
(?)
例 题 9
?例题 § 3 复合运动
O
O1
L
A
B
C D
E?
?
?
摇杆机构，曲柄 OA
长 l,以匀角速度 ?
绕 O轴转动，带动滑
块 A在导杆 BCD的滑
槽内运动，使得杆
BE沿套筒 O1滑动，
套筒可绕 O1轴定轴
转动，已知 ?=60o，
?=30?，求此时套筒
O1的角加速度。
例 题 9
?例题 § 3 复合运动
O
O1
L
A
B
C D
E?
?
?
解,1.运动分析
套筒 O1、杆 OA定轴转动，
导杆 BCD沿铅垂直线平
动，滑块 A曲线平动，杆
BE一般平面运动。
运动的传递 ----通过可变
接触点 A,O1及不变接
触点 B。
2.速度分析
（ 1）取动点为滑块 A，动系 e1固连于导杆 BCD（平动动系）。
绝对运动轨迹 — 以 O为圆心的圆周，相对运动轨迹 — 水平直线，
e1的牵连运动 — 铅垂方向直线平动。
e1
例 题 9
?例题 § 3 复合运动
O
O1
L
A
B
C D
E?
?
?
由速度合成关系
11 ArAeA vvv
??? ??
方向 ? ? ?Av
?
1Aev?
1Arv? 大小 l? v
CD? vAr1?
求出
2/3s in
2/c o s
1 ??
??
lvv
lvv
AAr
ACD
??
??
(?)
(?)
（ 2）取动点为 B点，动系 e2固连于套筒 O1（定轴转动动系），
绝对运动轨迹 — 铅垂方向直线，相对运动轨迹 — 沿 BE的直线，
e2的牵连运动 — 绕 O轴的定轴转动。
e1 e2
O
O1
L
A
B
C D
E?
?
?
Av? 1Aev?
1Arv?
例 题 9
?例题 § 3 复合运动
由速度合成关系
22 BrBeB vvv
??? ??
方向 ? ? ?
大小 vCD O1B·?O1? vBr2?
Bv
?
2Bev
?2Brv?
求出
L
l
L
l
v
L
v
L
v
CDO
CDOBe
8
3
c o s
2
c o s
c o s
c o s
2
2
1
12
?
?
??
?
??
?
???
??
(?)
4s i n2
?? lvv
CDBr ??
(?)
?O1 e2
e1
O
O1
L
A
B
C D
E?
?
?
例 题 9
?例题 § 3 复合运动
3.加速度分析
（ 1）对动点 A、动系 e1
111 crenAAA aaaaaa
?????? ????? ?
方向 ? ? ?
0 0
大小 l??
n
Aa
?
1ea
?
1ra?
求得
22
1 2
360s ins in ??? llaaa n
ACDe ?????
(?)
故 B点 2
1 2
3 ?laa
eB ??
(?)e1 e2
例 题 9
?例题 § 3 复合运动
O
O1
L
A
B
C D
E?
?
?
n
Aa
?
1ea
?
1ra?
（ 2）对动点 B、动系 e2
2222 crneeB aaaaa
????? ???? ?
方向 ? ? ? ? ?
大小 ? O1B·?O1? O1B ·?2O1? 2·?O1 ·vBr2
Ba?
nea2?
?2ea?
2ra?
2ca?
?O1
?
在 ?方向投影，可求得
)32 338 33(21 LlLlO ??? ??
（ ?）
?O1
e2e1
2Brv
?
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(8)
例 题 3
?例题
如图所示为裁纸板的简图 。
纸板 ABCD放在传送带上, 并
以匀速 v1=0.05 m·s-1与 传送带一
起运动, 裁纸刀固定在刀架 K
上, 刀架 K以匀速 v2=0.13 m·s-1
沿固定导杆 EF运动, 试问导杆
EF的安装角 θ应取何值才能使
切割下的纸板成矩形?
§ 3 复合运动
A B
CD
E
F
K
θ
v1 v2
例 题 3
?例题 § 3 复合运动
A B
CD
E
F
K
θ
v1 v2
例 题 3
1,选择动点，动系与 定系 。
相对运动－根据题目裁为矩形纸的要求，裁纸刀 K相
于纸板应为垂直于纸板运动方向的直线运动。
牵连运动－ 水平向左的直线平动。
绝对运动－ 沿导杆 EF的直线运动。
动系－固连于纸板 ABCD上 。
动点－取刀架 K为动点。
2,运动分析。
解,
定系－ 固连于机座。
§ 3 复合运动?例题
y
x
y’
x’
例 题 3
?例题
故导杆的安装角
3,速度分析。
由几何关系可得
§ 3 复合运动
方向? ? ?
大小 v2 v1?
绝对速度 va,va=v2,方向沿杆 EF向左上 。
牵连速度 ve,ve=v1, 方向 水平向左 。
相对速度 vr,大小未知，方向
垂直于纸板运动方向。
A B
CD
E
F
K
θ
v1 2vva ?? ?
1vve ?? ?
θ rv?
速度合成定理
例 题 4
§ 3 复合运动?例题
O
A
BC
D
60o
30o
30o
?0
曲柄 OA=2l，以角速
度 ?0 绕 O轴作定轴转动，
图示瞬时，杆 BC处于水
平位置,AB=OB=l，求
此时套筒 D相对于杆 BC
和杆 OA的速度。
例 题 4
§ 3 复合运动?例题
O
A
BC
D
60o
30o
30o
?0
解,1,运动状态分析
杆 OA定轴转动，杆 BC在
水平方向直线平动，杆 AD
为一般平面运动。套筒 B可
在杆 OA上滑动，套筒 D可
在杆 BC上滑动。
2,动点与动系选取之一
动点 1— 套筒 D
动系 1---固连于杆 BC
动系 1的牵连运动为水平平动，动点 1的相对运动轨迹
为沿 BC的直线，绝对运动轨迹也为沿 BC的直线。
动系 1
3,速度分析
例 题 4
§ 3 复合运动?例题
O
A
BC
D
60o
30o
30o
?0
方向 ? ? ?
1Drv
?
1Dev
? Dav?
大小？？？
对动点 1，有速度合成关系
11 DrDeDa vvv
??? ?? (1)
且由于 BC平动，有
BaDe vv
?? ?
1 (2)
4,动点动系的选取之二
动点 2---套筒 B,动系 2---固连于杆 OA
动系 2牵连运动为绕 O轴的定轴转动，动点 2绝对运
动轨迹为水平直线，相对运动轨迹为沿 OA的直线。
动系 2
动系 1
Bav??
例 题 4 § 3 复合运动
?例题
O
A
BC
D
60o
30o
30o
?0
1Drv?
1Dev? Dav?
方向 ? ? ?
Bav?
2Brv?
2Bev?
大小？ l?0?
解出
3
2
30c o s
02 ?lvv Be
Ba ???
(?)
5,在定系中，由 A,D两点速度
关系
D A aAaDa vvv
??? ??
将（ 1）、（ 2）代入，有
D AaAaDrBa vvvv
???? ???
1
方向 ? ? ? ?
大小 ?？ 2l?0?
动系 2
Aav?
DAav
?
动点动系 2的速度合成关
系
22 BrBeBa vvv
??? ?? (3)
Bav??
D A aAaDrDe vv
?? ??
11
例 题 4 § 3 复合运动
?例题
?？ 2l?0?
D AaAaDrBa vvvv
???? ???
1
O
A
BC
D
60o
30o
30o
?0
1Drv?
1Dev? Dav?
Bav?
2Brv?
2Bev?
动系 2
Aav?
DAav
?
在杆 AD方向的 ?轴上投影
?
??????? 60c o s230c o s30c o s32 010 ?? lvl Dr
求出 0
1 ?Drv
即 套筒相对于杆 BC的速度为零 。故
BaDeDrDeDa vvvvv
????? ????
111而套筒 B相对于杆 OA的速度由 B点速度合成关系 (3) 求出
3330 022 /t a n ?lvv BeBr ??? (方向如图 )故 2BrOAD vv ?? ?,
即 套筒 D相对于杆 OA的速度大小为,方向由 B指向 A330 /?l
22 BrBeBa vvv
??? ?? (3)
§ 3.4.2 加速度合成定理
M
O
xi1
xi2
xi3
O’
xe1
xe2
xe3
Or??
r? r?
?
rea vvv
??? ??由速度合成定理 (3.17)
其中牵连速度为 (3.16)rvv
eOe ???? ?
???? ?
dt
rdr
dt
d
dt
vd
dt
vd
e
eOe ???????
??????
??'
???
?
???
? ??????????
? rdt
rdra
eeeO
??????? ??? ~
注意 rdtrddtrd e ?????? ???? ?~
对 (3.17)式求绝对导数
dt
vd
dt
vd
dt
vd rea ??? ?? (3.18)
式中
dt
vda a
a
??
? 动点的绝对加速度
???
?
???
? ??????????
? rdt
rdra
eeeO
??????? ??? ~
dt
rdr
dt
d
dt
vd
dt
vd
e
eOe ???????
??????
??'
)( rvra eereeO ?????????? ? ???????? ????
rerre
rr vav
dt
vd
dt
vd ??????? ?????? ??~又
rerea vaaa
????? ???? ?2故
)( rraa eeeOe ???????? ? ??????? ???定义 动点的牵连加速度 (3.19)
定义 动点的科氏加速度
rec va
??? ?? ?2 (3.21)
其中 动点的相对加速度
dt
vda r
r
?? ~
? (3.20)
加速度合成关系
crea aaaa
???? ??? (3.22)因此得动点的
加速度合成关系式中各量的物理意义：
绝对加速度 ----定系中动点的加速度
aa
?
相对加速度 ---- 动系中动点的加速度
ra
?
牵连加速度 ----动系中与动点 M重合的 m点（牵
连点）相对于定系的绝对加速度
ea?
科氏加速度 ----为动点的相对速度与动系的牵连
角速度共同引起的附加加速度
ca
?
科氏加速度的大小
rec va ?2?
?
动系及动点在同一平面内作平面运动时
科氏加速度的方向：由 的方向随 ?e 的转
动方向旋转 90o后得到
rv?
?e
ca?
rv?
例 题 5
?例题 § 3 复合运动
A
B
n
φ
R
v
a
凸轮在水平面上向右
作减速运动, 如图所示,
设凸轮半径为 R,图示瞬
时的速度和加速度分别为
和, 求杆 AB在图示
位置时的加速度 。
v? a
?
例 题 5
?例题 § 3 复合运动
例 题 5
?例题
解,1,选择动点，动系与 定系 。
动系－ Ox′y′，固连于凸轮。
2,运动分析。
绝对运动－直线运动。
牵连运动－水平平 动。
动点－ 顶杆 AB的端点 A。
相对运动－沿凸轮轮廓圆周线运动。
定系－ 固连于机座。
§ 3 复合运动
A
B
n
φ
R
v
a
O x'
y'
例 题 5
?例题
3,速度分析。
φ
根据速度合成定理
§ 3 复合运动
A
B
n
φ
R
v
a
O x'
y'
ve
vavr
绝对速度, 大小未知，方向沿杆
AB 向上 。
av
?
牵连速度, ve= v, 方向 水平向右 。
ev?
相对速度, 大小未知，方向沿
凸轮圆周的切线 。
rv?
方向 ? ? ?
大小？ v?
可求得,(方向如图 )
A
B
n
φ
R
va
O
例 题 5
?例题
4,加速度分析。
§ 3 复合运动
?ra?
ae
nra
绝对加速度,大小未知, 为所要求
的量，方向沿直线 AB。
aa
?
牵连加速度, ae= a, 沿 水平 方 向 。
ea
?
相对加速度切向分量, 大小 未知,
垂直于 OA，假设 指向 右下。
?ra?
相对加速度法向分量,
大小为 arn = vr 2 / R,方向 沿 OA，
指向 O。
nra?
aa?
例 题 5
?例题
根据加速度合成定理
上式投影到凸轮圆周的法线 n 上，得
§ 3 复合运动
A
B
n
φ
R
va
O
?ra?
ae
nra aa?
方向 ? ? ? ?
大小？ a?
?2
2
sinR
v
0
解得杆 AB在图示位置时的加速度
(?)
例 题 6
?例题 § 3 复合运动
O
A
B?r
曲柄连杆滑块机构，连杆
AB相对于曲柄 OA以匀角
速度 ?r 作顺时针方向转动，
已知 OA=l,AB= l,求图
示瞬时滑块 B的速度和加
速度。
3
例 题 6
?例题 § 3 复合运动
O
A
B?r
解,1,运动分析, 杆 OA定轴转动，杆 AB一般平面
运动，滑块 B水平平动。
2.动点动系选择, 动点 ----滑块 B，
动系 ----固连于杆 OA
动点绝对运动轨迹 --水平直线，
动点相对运动轨迹 — 以 A为圆心,AB为半径的圆周
动系的牵连运动 — 绕 O轴定
轴转动
3.速度分析, 由动点 B的速度合成关系
?OA
rea vvv
??? ??
方向 ? ? ?
大小？ OB·?OA? AB·?r
由于
rr lv ?3?
故求得
rra lvv ?? ?? t an
rreOA l
v
l
v ?
?? ??? c o s22
(?)
(?)
av?
rv?
ev
?
?l
l3
例 题 6
?例题 § 3 复合运动
3,加速度分析：
O
A
B匀 ?r
?OA
?
由动点加速度合成关系
cnrrneea aaaaaa
?????? ????? ??
0
方向 ? ? ? ? ?
大小？？ 2l 2
OA? 23 rl? rOA l?? 32
aa?
?ea?nea?
nra?
?ra? = 0
上式在 ?方向投影，得
??????? c o s32c o s32c o s 22 rrrra llla ???
ca?
由此解得
2
3
3
ra la ??
(?)
?
rv
?
例 题 7
?例题 § 3 复合运动
?
O
O1
A
B
C
D
60o
30o
杆 OA和杆 O1B的长度
均为 r，连杆 AB长为 2r，
当杆 OA以匀角速度 ?
绕 O轴作定轴转动时，
通过连杆 AB与套筒 C
带动连杆 CD沿水平轨
道滑动。在图示位置，
OA水平,O1B铅垂，
AC=CB=r,试求此瞬时
杆 CD的速度和加速度。
例 题 7
?例题 § 3 复合运动
?
O
O1
A
B
C
D
60o
30o
解,1.运动分析,OA,O1B杆为定轴转动,CD杆水平
平动,AB杆一般平面运动，套筒 C复
合运动。
2.动点动系选择,
动点 ----套筒上的 C点
动系 ----固连于 AB杆
动点绝对轨迹 ----水平直线
动点相对轨迹 ----沿 AB直线运动
牵连运动 ----一般平面运动
3.速度分析, 由动点 C的速度合成关系
CreCa vvv
??? ??
其中 即 此瞬时杆 AB上与套筒 C点重合的 C’点的绝对速度ev?
例 题 7
?例题 § 3 复合运动
?
O
O1
A
B
C
D
60o
30o
由 A点和 B点的速度方向可确定杆 AB此时的速度瞬心为 P
P 且 ??? ???
r
r
PA
v A
AB
(?)
故
???
??
rrPBv
rPCv
ABB
ABc
32
2
3
'
??????
???
(方向如图）
(?)Bv?
Av?
'Cv?
故动点 C的速度合成关系为
CrCCreCa vvvvv
????? ????
'
方向 ? ? ?
大小？ r??
Cav?
Crv?
由此解得 ?rvvvv C
CrCaCD 3
3
30c o s2
' ?
????
方向分别如图
例 题 7
?例题 § 3 复合运动
3.加速度分析：
?
O
O1
A
B
C
D
60o
30o
其中,为 AB杆上与套筒 C
点重合的点 C’的绝对加速度。
由于 C’点为 AB杆 AB连线的中
点，故有
ea
?
)(21' BACe aaaa ???? ???
(2)
nAa?
?Ba?
nBa?
方向 ? ? ? ? ?
大小？ r??? rv
B/2
22 ABr?
?BAa?
nBAa?
Crv?
ra?
aa?
Ca?
定系中由杆 AB的两点加速度关系
nBABAnAnBBB aaaaaa ?????? ????? ?? （ 3）
由动点 C加速度合成关系
CreaCD aaaaa
????? ???? (1)
例 题 7
?例题
§ 3 复合运动
?
O
O1
A
B
C
D
60o
30o
?Ba?
nBa?
?BAa?
nBAa?
nAa?
Crv?
ra?
aa?
a? C
?
上式在 ?方向投影可得
2)335( ?? ra B ?? (?)?
利用此结果，并将（ 2）代入（ 1）
Cr
n
BB
n
Aa aaaaaa
?????? ????? )(
2
1 ?
方向 ? ? ? ? ? ?
大小？ ? ? ?？ ?
在 ?方向投影，求得 2
3
3613 ?raa
aCD
??? (?)
定系中由杆 AB的两点加速度关系
nBABAnAnBBB aaaaaa ?????? ????? ?? （ 3）
大小？ r??? rv
B/2
22 ABr?
CreaCD aaaaa ????? ????
(1)
)(21' BACe aaaa ???? ??? (2)
例 题 8
?例题 § 3 复合运动
两个半径均为 R，圆心分
别为 O和 O’的圆环可分
别绕 A,B轴定轴转动，
已知 AB之间距离为 3R，
两个圆环的角速度均为
?=常数，转向分别如图，
当 AOO’B四点位于同一
直线上时，求两圆环相
交点 M的速度和加速度。
A B
M
O O’?
?
A B
M
O O’?
?
例 题 8
?例题 § 3 复合运动
解,1.运动分析
圆环 A和圆环 B均为定轴转动，
但所求的 相交点 M既非圆环 A上
的固定物质点，也非圆环 B上的
固定物质点,在运动中,M点
作为任意时刻的相交点，其在
两环上的相对位置是不断变化
的，可视为有一小环 M同时套在两环上，取小环 M为研究对象。
2.动点动系的选择
动点 --小环 M,动系 e1--固连于圆环 A,动系 e2— 固连于圆环 B
两动系的牵连运动 --均为定轴转动,动点在两动系中的相对
运动轨迹 --分别沿圆周 A和圆周 B, 动点的绝对运动轨迹 --？
例 题 8
?例题 § 3 复合运动
3.速度分析
2211 rerea vvvvv
????? ????
方向 ? ? ? ?
大小 AM·?？ BM·?？A B
M
O O’?
?
1ev
?
2ev
?
其中 RRRBMAM 34 22 ????
1rv?
2rv?
?
??
?????
30
)90c o s (c o s 211
?
?? ere vvv
在 ?方向投影
故得
?Rvvv eer 330c o s/30t a n 121 ?????
方向如图
??
在 ?方向投影 ?? c o ss i n 221 ree vvv ??? 方向如图?Rv r 32 ?
故 ?Rvvv reax 330c o s60c o s 11 ??????
060c o s60s i n 11 ????? reay vvv
(?)
av?
例 题 8
?例题 § 3 复合运动
3.加速度分析
22221111 cnrrnecnrrnea aaaaaaaaa
????????? ???????? ??
方向 ? ? ? ? ? ? ? ?
大小 ?？ ? ? ?？ ? ?
在 ?方向投影求出 2
2 32 ?? Ra r ??
(?)
故求出
233
0
?Ra
a
ay
ax
?
? （ ?）
?
A B
M
O O’?
?
1rv?
2rv
?
?? y
x
nra1? ?1ra?
nea1?
1Ca?
?
A B
M
O O’?
?
1rv?
2rv
?
?? y
x
nea2?
nra2?
?2ra?
2Ca
?
例 题 8
?例题 § 3 复合运动
A B
M
O O’?
?
av?
aa
?
最终结果，相交点 M的速度、加速度分别为：
233
3
?
?
Ra
Rv
M
M
?
?
(?)
(?)
例 题 9
?例题 § 3 复合运动
O
O1
L
A
B
C D
E?
?
?
摇杆机构，曲柄 OA
长 l,以匀角速度 ?
绕 O轴转动，带动滑
块 A在导杆 BCD的滑
槽内运动，使得杆
BE沿套筒 O1滑动，
套筒可绕 O1轴定轴
转动，已知 ?=60o，
?=30?，求此时套筒
O1的角加速度。
例 题 9
?例题 § 3 复合运动
O
O1
L
A
B
C D
E?
?
?
解,1.运动分析
套筒 O1、杆 OA定轴转动，
导杆 BCD沿铅垂直线平
动，滑块 A曲线平动，杆
BE一般平面运动。
运动的传递 ----通过可变
接触点 A,O1及不变接
触点 B。
2.速度分析
（ 1）取动点为滑块 A，动系 e1固连于导杆 BCD（平动动系）。
绝对运动轨迹 — 以 O为圆心的圆周，相对运动轨迹 — 水平直线，
e1的牵连运动 — 铅垂方向直线平动。
e1
例 题 9
?例题 § 3 复合运动
O
O1
L
A
B
C D
E?
?
?
由速度合成关系
11 ArAeA vvv
??? ??
方向 ? ? ?Av
?
1Aev?
1Arv? 大小 l? v
CD? vAr1?
求出
2/3s in
2/c o s
1 ??
??
lvv
lvv
AAr
ACD
??
??
(?)
(?)
（ 2）取动点为 B点，动系 e2固连于套筒 O1（定轴转动动系），
绝对运动轨迹 — 铅垂方向直线，相对运动轨迹 — 沿 BE的直线，
e2的牵连运动 — 绕 O轴的定轴转动。
e1 e2
O
O1
L
A
B
C D
E?
?
?
Av? 1Aev?
1Arv?
例 题 9
?例题 § 3 复合运动
由速度合成关系
22 BrBeB vvv
??? ??
方向 ? ? ?
大小 vCD O1B·?O1? vBr2?
Bv
?
2Bev
?2Brv?
求出
L
l
L
l
v
L
v
L
v
CDO
CDOBe
8
3
c o s
2
c o s
c o s
c o s
2
2
1
12
?
?
??
?
??
?
???
??
(?)
4s i n2
?? lvv
CDBr ??
(?)
?O1 e2
e1
O
O1
L
A
B
C D
E?
?
?
例 题 9
?例题 § 3 复合运动
3.加速度分析
（ 1）对动点 A、动系 e1
111 crenAAA aaaaaa
?????? ????? ?
方向 ? ? ?
0 0
大小 l??
n
Aa
?
1ea
?
1ra?
求得
22
1 2
360s ins in ??? llaaa n
ACDe ?????
(?)
故 B点 2
1 2
3 ?laa
eB ??
(?)e1 e2
例 题 9
?例题 § 3 复合运动
O
O1
L
A
B
C D
E?
?
?
n
Aa
?
1ea
?
1ra?
（ 2）对动点 B、动系 e2
2222 crneeB aaaaa
????? ???? ?
方向 ? ? ? ? ?
大小 ? O1B·?O1? O1B ·?2O1? 2·?O1 ·vBr2
Ba?
nea2?
?2ea?
2ra?
2ca?
?O1
?
在 ?方向投影，可求得
)32 338 33(21 LlLlO ??? ??
（ ?）
?O1
e2e1
2Brv
?
