工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 37)
（下册）
§ 20 动量原理
§ 20.5 动量矩
20.5.1.质点的动量矩
质点的动量对某点之矩 ? ? vmrvmL
O ???
? ?? (20.17)
若在点 O建立直角坐标系 Oxyz，则
? ?
zyx
O
mvmvmv
zyx
kji
vmL
???
??
?
? ? ? ? ? ? kyvxvmjxvxvmizvyvm xyzxyz ??? ??????
x,y,z为质点的坐标，
，, 分别为质点的速度 在 x,y,z轴上的投影。xv yv zv v?
x
y
z
m
O r?
v?
OL
?
(20.18)kLjLiL
zyx
??? ???
（类比于力对点之矩、力对轴之矩）
x
y
z
m
O r?
v?
OL
?
其中，质点动量对 x,y,z轴之矩分别为：
? ?
zyx
O
mvmvmv
zyx
kji
vmL
???
??
?
? ? ? ? ? ? kyvxvmjxvxvmizvyvm xyzxyz ??? ??????
kLjLiL zyx ??? ??? (20.18)
? ? ? ? ? ?xyzzxyyzx yvxvmLxvxvmLzvyvmL ??????,,
(20.19)
质点动量对任意 l 轴之矩：
其中 O为 l 轴上任意一点。
0)( lvmLL Ol ??? ?? (20.20)
l 轴
显然，质点对点的动量矩是一个定位矢量，而质点
对轴的动量矩是一个代数量。
当质点作平面运动时，动量对平面内
某点 O之矩或对 Oz轴之矩均为,O v?
mm vhL O ?? （ 20.21）
符号规定,?为正,?为负
20.5.2,质点系的动量矩
设质点系中质点 相对于某一固定点 O的矢径为,iD ir?
动量为 。iivm? ? ?ni,,2,1 ??
iD
ir?
iivm?
x
y
z
O? ?
iii
n
i
iiO
n
i
O vmrvmLL
????? ??? ??
?? 11
(20.22)
质点系对某固定点 O的动量矩 为：OL?
1.质点系对 固定点、固定轴 的动量矩
质点系对某一固定轴 l 的动量矩 为：lL
? ?iiln
i
l vmLL
??
?
?
1
(20.23)
ir?
iivm?
x
y
z
O
l 轴
?
?
??
n
i
iiiO hvmL
1
（ 20.24）
同理，质点系平面运动时，质点系动量
对平面内某点 O之矩或对 Oz轴之矩均为：
O v?
m符号规定,?为正,?为负
2,质点系对 动点 的动量矩
设在惯性参考系中有任意一动点 A，其速度为 。Av?
固连于动点 A建立平移直角坐标系,zyxA ???
Aii vvv ??? ?? r ? ?ni,,2,1 ?? (20.25)
? ? ? ?iiin
i
iiA
n
i
A vmrvmLL
????? ???? ??
?? 11
(20.26) x’
y’
z’
Av?
A
O
x
y
z
im
iv
?
ir
?
riv
?
ir??
将质点系中各质点的绝对动量 对动
点 A的矩的矢量和定义为 质点系对动点
A的绝对动量矩,用 表示，即：AL?
iivm?
ir??质点系中质点
iD
ivr? 相对速度
绝对速度
iv
?
相对矢径
绝对矢径ir?
将质点系中各质点的相对动量 对动点 A的矩的矢
量和定义为 质点系对动点 A的相对动量矩,用 表示，
即：
iivm r?
rAL?
? ? ? ?iiin
i
iiA
n
i
A vmrvmLL r
1
r
r
1
r ????? ???? ??
??
(20.27)
x’
y’
z’
Av?
A
O
x
y
z
im
iv
?
ir
?
riv
?
ir??
质点系对动点的绝对动量矩和相对动量矩的关系：
将式 (20.25)代入式 (20.26):
)()(
11
riAi
n
i
iii
n
i
iA vvmrvmrL
?????? ??????? ??
??
Ai
n
i
i
r
A
Ai
n
i
irii
n
i
i
vmrL
vmrvmr
???
????
????
??????
?
??
?
??
)(
)()(
1
11
x’
y’
z’
Av?
A
O
x
y
z
im
iv
?
ir
?
riv
?
ir??
? ?ACAA vmrLL ???? ???? r (20.28)
Ai
n
i
i
r
AA vmrLL
???? ???? ?
?
)(
1
由质点系质心 C相对于动点 A
的矢径公式 可得：
m
rm
r
ii
n
i
C
?
??
?
?
?
? 1
i
n
i
iC mrmr ?
?
???
1
??
故 质点系对动点的绝对动量
矩和相对动量矩的关系为：
其中 为质点系质心 C在动系中的
相对坐标,为动点的绝对速度。
Cr??
Av?
? ?ACAA vmrLL ???? ???? r (20.29)
若取动点 A为质点系的质心 C时，,0
CAC vvr
??? ??? 故：
r
CC LL
?? ? (20.30)
质点系对质心的动量矩, 无论是在固定坐标系
还是在质心平移坐标系中计算都是相同的。
故质点系对不同的 A,O两点的动量矩的关系为：
pAOLL OA ??? ???
i
n
i
i vmp
?? ?
?
?
1
（ 20.31）
注意 质点系对某点的动量矩不等于质点系动量对该点之矩！
即
i
n
i
iCCii
n
i
iO vmrprvmrL
??????? ??
??
??????
11
（见书上例 22.4）
3.对惯性系中不同的 A,O两点的动量矩之间关系
类比于力对不同两点的力矩之间的关系，
力对 A,O两点之矩关系为 FAOFmFm
OA
??? ??? )()(
A
O
F?
20.5.3 刚体的动量矩
1,平移刚体的动量矩
当刚体作平移时，建立质心平移坐标
系，各质点的相对速度,故0
r ?iv
?
0r ?? CC LL ?? (20.32)
平移刚体对任意固定点 A的动量矩为：
pACLL CA ??? ???
? ?CA vmACL ?? ?? (20.33)
平移刚体对任意确定点 A的动量矩等于将平移刚体
的质量视为全部集中在质心 C上时对点 A的动量矩。
O
x
y
z
x’
y’
z’
C
Cv
?
A
当平移刚体作平面曲线运动时，对该平面内任一
点的动量矩可视为代数量 。hmvL
CA ??
h
2,定轴转动刚体的动量矩
O
x
y
z
?
md
r?
OL
?在转轴上任取一点 O，
建立惯性参考空间中的直角坐标系 Oxyz，
使 z轴与转轴重合，
则定轴转动刚体的角速度为 k?? ?? ?
设质量为 的微元，相对于点 O的矢径为,md r?
在直角坐标系 Oxyz中的坐标为,? ?zyx,,
kzjyixr ???? ??? 其速度为 rv ??? ?? ?
定轴转动刚体对定点 O的动量矩为
mvrL mO d? ?? ??? ? ? mrrm d? ??? ??? ? ? ?? ? mrrr
m d
2? ??? ???? ??
? ? ? ?? ?? ? mkzjyixzkzyxm d222? ?????? ???? ??
? ? ? ? ? ?? ? kmyxjmyzimxz mmm ??? ??? ??? ????? ddd 22
kJjJiJ zyzxz ??? ??? ???? (20.34)
mvrL mO d? ?? ??? kJjJiJ zyzxz ??? ??? ???? (20.34)
故,定轴转动的刚体对转轴上任意点的动量矩矢量
一般不沿转轴的方向 。
O
x
y
z
?
md
r?
OL
?
特别,当转轴 z 轴为刚体的惯量主轴时,有
0,0 ?? yzxz JJ
?? ??? zzO JkJL ??? 动量矩矢量沿转轴方向
也可用代数量表示：
?zO JL ? 与 转向相同
? (20.35)
例如，刚体作平面定轴转动，转轴
垂直于刚体的质量对称面时。
?
3,一般平面运动刚体的动量矩
建立惯性参考空间中的定系 Oxyz和质
心平移坐标系,zyxC ???
kJjJiJLL zzyzxCC ????? ??? ????? ????? r (20.36)
C ?
CL
O
z
x
y
使三对坐标轴分别平行，且使,
轴垂直于刚体的运动平面，则一般平
面运动刚体相对该平移坐标系为绕
轴的定轴转动：
Oz zC?
zC?
若一般平面运动刚体的运动平面为其质量对称面，
则 轴为刚体对点 C的惯量主轴，即,
上式变为
0?? ???? zyzx JJzC?
??? CC JL ? (20.37)
式中 为一般平面运动刚体对 的转动惯量。CJ zC?
?CC JL ? (20.38)
也可视为代数量CL?
C ?
CL
O
z
x
y
Cv?
??? CC JL ? (20.37)
若对该刚体运动平面上的任意
固定点 A，则有：
对任意固定点 A，则有：
hA
hvmLL CCA ?? (20.40)
CCA vmACLL ?
?? ??? (20.39)
例 题 20-6
§ 20 动量原理?例题
Or
BM
m
? 求系统对转轴 O点的动量矩。
解,轮 O定轴转动，块 B平动，
)( ?? ?rv B
??? 2221 MrmrrMvJL BOO ???????
（负号表示转向为 ?）
例 题 20-7
§ 20 动量原理?例题
A
C rm
Cv
?
均质圆柱，半径为 r，质量为 m，绕有细绳，
A端固定，圆柱质心 C以速度 vC向下运动，
求圆柱对质心 C及定点 A的动量矩。
解,圆柱作一般平面运动
?
r
vC?? （ ?）
CC
r
CC m r vmrJLL 2
1
2
1 2 ???????? ??
若建立质心平移坐标系，则轮子的相对
运动为绕质心的定轴转动
（负号表
示 ?）
CCCCCA mvm r vm r vrmvLL 2
3
2
1 ????????
例 题 20-8
§ 20 动量原理?例题
圆盘 O半径为 r，质量 m，以角
速度 ?转动,均质杆 AB质量为
m，长为 2r，滑块 B质量为 m，
在水平轨道内运动,A,B处为
铰接，某瞬时杆 AB处于水平位
置，求此瞬时系统的动能，动
量，对 O点的动量矩。
O
A B
?
例 题 20-8
§ 20 动量原理?例题
O
A B
?
解,圆盘为定轴转动，滑块为
平动，杆为一般平面运动，
Av
?
Bv
?
杆 AB此瞬时为平动
)( ??? ?rvv BA
系统该时刻的动能：
222222
222
4
5
2
1
2)
2
1
(
2
1
2
1
2
1
2
1
???
?
mrmrmr
mvmvJT BAO
????
???
系统该时刻的动量：
Ci
i
i vmp
?? ?
?
?
3
1
)( 2 ????? ?mrmvmvp BA
例 题 20-8
§ 20 动量原理?例题
O
A B
?
Av
?
Bv
? 系统该瞬时对点 O的动量矩：
???
?
222
2
5
2
2
1
mrmrmr
rvmrvmJL BAOO
????
??? 块杆盘
（ ?）
注意：系统该瞬时的动能、动量、动量矩
都是特殊位置的量，不可求导！
§ 20.6 动量矩定理
20.6.1 质点的动量矩定理
质点对固定点的动量矩定理
? ? ? ?vmrtvmLt O ???? ?? dddd
设质量为 的质点 D对固定点 O的矢径为,作用其
上的合力为
r?m
F?
? ?vmtrvmtr ???? dddd ????
? ?vmtrvmv ???? dd???? ? ?vmtr ?? dd? amr ???? Fr ???? ? ?FM O ???
质点对某一固定点的动量矩对时间的一阶导数
等于作用于其上的合力对同一点的矩。
(20.41)? ? )(
d
d FMvmL
t OO
??? ?
20.6.2 质点系的动量矩定理
1,质点系对固定点的动量矩定理
设作用于质点系中各质点 上内力和外力的
合力分别为 和,
iD ? ?ni,,2,1 ??
??iiF? ? ?eiF? 各质点质量为,对每个质点：im
(20.42)? ??
iiO vmLt
??
d
d ? ?? ? ? ?? ?ei iOiO FMFM ???? ? ? ?ni,,2,1 ??
? ? ??
?
iiO
n
i
vmLt ??
1d
d ? ?? ? ? ?? ?e
1
i
1
iO
n
i
iO
n
i
FMFM ???? ??
??
? ? ?? ? 0i
1
??
?
iO
n
i
FM ???
?tLOdd
?
? ?? ?e
1
iO
n
i
FM ???
?
? ?eOM?? (20.43)
质点系对某一固定点的动量矩对时间的一阶导数
等于作用于其上的外力系对同一点的主矩。
? ? ??
?
iiO
n
i
vmLt ??dd
1
? ?? ? ? ?? ?e
1
i
1
iO
n
i
iO
n
i
FMFM ???? ??
??
?对系统内所有质点求和：
ir?
iivm?
x
y
z
O
)(iiF?
)(eiF?
质点系对某一固定轴的动量矩对时间的一阶导
数等于作用于其上的外力系对同一轴的矩。
式 (20.43)为一矢量式，它可以向过点 O的某一固定
直角坐标轴（如 z轴）上投影：
? ?e
d
d
z
z M
t
L ? (20.44)
? ? tLLttL zzO
z
O
d
d
d
d
d
d ??
???
?
???
? ???
)()( )( ezzeO MM ??
ir?
iivm?
x
y
z
O )(eiF
?
若质点系作平面运动,O点为平面内一点，
可取为代数量,O
L?
)( e
O
O M
dt
dL ? (20.45)
平面运动时 质点系对固定点的动量矩定理
)(,eOO ML 均以逆时针转动为正
质点系对固定轴
的动量矩定理 ? ?edd zz MtL ? (20.44)
?tLOdd
?
? ?? ?e
1
iO
n
i
FM ???
?
? ?eOM?? (20.43)
质点系对固定点的动量矩定理
2,质点系对动点的动量矩定理
? ?ACAA vmrLL ???? ???? r
? OArr
CC ???
??
? ? ? ? ?AACAA amACvmv
t
L
t
L ???
??
????? dddd
r (20.46)
x’
y’
z’
Av?
A
O
x
y
z任选动点 A，建立定坐标系及固连于动
点 A的平移动坐标系，由对动点 A的绝
对、相对动量矩之关系式（ 20.29）：
? ? ? ?ACACAA amrvmtrtLtL ???
???
??????? dddddd
r求导：
Cv
?
Cr
?
Cr?? C
AC
CC vv
dt
OAd
dt
rd
dt
rd ???? ????? )(求导：
0?? AA vv ??又：
质点系对动点 A的绝对、相对动量矩导数之关系
x’
y’
z’
Av?
A
O
x
y
z Cv?
Cr
?
Cr?? C
pOALL AO ??? ???
设点 O为惯性空间中某一固定点，
由 O,A两点的动量矩之间关系：
Cvmp ?? ?其中
t
pOAp
t
OA
t
L
t
L AO
d
d
d
d
d
d
d
d ??
??
?????求导：
? ?43.20
d
d ?
t
L O
?
? ?eOM?
由对定点 O的
动量矩定理
? ? ? ?e
R
15.20
Famdt pd C ??
?
??
动量定理的
微分形式 CA vmvpt
OA ??? ???
d
d及
得,)()( e
RCA
e
O
A FOAvmvM
dt
Ld ????
?
?????
? ? ? ? ? ?eRee FAOMM OA ??? ???又
? ? ? ?
ACA
A vmvM
t
L ???
?
??? edd? (20.47)
由式 (20.46)和 (20.47)得到
? ? ? ?
ACA
A vmvM
t
L ???
?
??? edd (20.47)
质点系对动点的
绝对动量矩定理
? ? ? ?
AA
A amACM
t
L ??
?
???? e
r
d
d (20.48)质点系对动点的相对动量矩定理
? ? ? ? ?
)(
d
d
d
d
)(
A
e
A
AAC
A
r
A
amACM
amACvmv
t
L
t
L
??
???
??
????
?????
(20.46) ? ? ? ?AACAA amACvmv
t
L
t
L ????? ?????
d
d
d
d r
由此可见，质点系对动点的动量矩定理形式复杂，
通常,对动点的动量矩定理只用其特例,
（ 1） 取动点 A为质点系的质心 C
? ? ? ?
ACA
A vmvM
t
L ???
?
??? edd (20.47)
质点系对动点的
绝对动量矩定理
? ? ? ?
AA
A amACM
t
L ??
?
???? e
r
d
d (20.48)质点系对动点的相对动量矩定理
)()(,0,,eCeACACCCA MMACvvLLLL ???????? ??????? 且
)( e
C
C M
dt
Ld ?? ? （ 20.49)
质点系对质心
的动量矩定理
? ? ? ?
ACA
A vmvM
t
L ???
?
??? edd (20.47)
质点系对动点的
绝对动量矩定理
? ? ? ?
AA
A amACM
t
L ??
?
???? e
r
d
d (20.48)质点系对动点的相对动量矩定理
（ 2）当动点 A的加速度 时，即固连于动点
A的平移动系也为一惯性系（ A点在该惯性系中
为一定点）：
0?Aa?
)( e
A
r
A M
dt
Ld ?? ? (20.50)
注意 如果动点是任意选定的，动点的速度、加速度一般未知，故对动点的动量矩定理的一般形式
（ 20.47）和（ 20.48）并不常用，经常使用的
是 质点系对质心的动量矩定理（ 20.49） 。
对刚体、刚体系，动量矩定理常取以下形式：
对固定轴的动量
矩定理 ? ?edd zz MtL ? (20.44)
t
LO
d
d
?
? ?eOM?? (20.43)
对固定点 O的动
量矩定理
)( e
C
C M
dt
Ld ?? ? (20.49)
对质心 C的动量
矩定理
小结
3,有质量对称面的一般平面运动刚体的动量矩定理的
表达式
若所研究的质点系为一个具有质量对称面的刚体，作
用了与质量对称面重合的平面力系，在其质量对称面
内作平面运动。 设 A为刚体运动平面内某一定点，则该
刚体对 A点的相对动量矩为 ??? AA JL ?r (20.51)
为刚体对 Az轴的转动惯量，是一个常数； 为该
刚体运动的角速度。
AJ ??
? ? ? ? ? ?
AA
A amACM
t
L ??? ???? e47.20r
d
d
dt
d?? ?? ? 为刚体运动的角加速度。
? ? ? ?AAA amACMJ ??? ???? e? (20.52)
由对动点的相
对动量矩定理
下面研究式 (20.52)的几种特殊情形：
（ 1）若 点 A固定不动（记为 O点）,则刚体绕 O轴作
定轴转动，则有：
? ?eOO MJ ?? ?? (20.53)
（ 2）若 点 A取为刚体的质心 C,则有,
? ?eCC MJ ?? ?? (20.54)
（ 3）若在某一瞬时,点 A为该刚体的速度瞬心 P，则有：
(20.55)? ? ? ?PPP amPCMJ ??? ???? e?
? ? ? ?
AAA amACMJ
??? ???? e? (20.52)
式 (20.55)与式 (20.53)的形式不同，反映了 瞬时定轴转
动与定轴转动的差别 。
但若在不同瞬时，平面运动刚体的速度瞬心 P与刚体
质心 C的距离 恒等于某一常数,则,PC b ?bv
C ?
求导得,根据平面运动刚体的两点加速度
关系：
?ba C ?t
ntnt PCPCCCP aaaaa ????? ???? (20.56)
(20.55)? ? ? ?PPP amPCMJ ??? ???? e?
? ?eOO MJ ?? ?? (20.53)对固定点 O
对速度瞬心 P
一般地说，,, 也不与 平行，
所以 故一般
0?PC 0?Pa? Pa? PC
? ?ePP MJ ?? ??0)( ???
PamPC
?
将上式沿图示 轴（其正向与 相同）投影得到?
Cv?
P
C
?
tPCa?
nPCa?
tCa?n
Ca?
Cv? ?
?0??? ??? bba P
(20.57)
因 PC与 轴垂直，说明,于是? PCa
P //?
? ? ? ? ? ?
PPP amPCMJ
??? ???? e57.20?
当平面运动刚体的 速度瞬心 P与刚体质心 C的距离恒保
持不变时,平面运动刚体对速度瞬心的动量矩定理才
具有定轴转动的动量矩定理或对质心的动量矩定理同
样简单的形式。
ntnt PCPCCCP aaaaa ????? ???? (20.56)
? ?ePP MJ ?? ?? (20.58)
0
例如,均质圆盘沿水平地面或固定不动曲面作平面
纯滚动；均质直杆的两端分别沿在同一平面内相互
垂直的两条固定直线运动，刚体的速度瞬心与其质
心的距离恒保持不变。
P
C C
P
在动力学中，将一般平面运动刚体的基点选在质心，
根据质心运动定理和对质心的动量矩定理，建立平面
运动刚体的运动微分方程，形式最简单，且不易出错。
动力学
刚体的质心运动 外力系的主矢
质心运动定理
相对于质心的
动量矩定理刚体相对于质心平
移坐标系的转动
外力系对质
心的主矩
刚体的运动 刚体所受到的力系
刚体平面运
动微分方程
)( eRC Fam ?? ?
)( eCC MJ ?? ??
（ 21.59）
20.6.3 质点系的动量矩守恒定律
若外力系对某固定点 O的主矩为零，即 0)( ?e
OM
?
则
0?dtLd O
?
若外力系对质点系质心 C的主矩为零，即 0)( ?e
CM
?
则
0?dtLd O
?
若外力系对某固定轴 l 的矩为零，即 0)( ?e
lM
则
0?dtdL l
若外力系对过质心的某轴 l’ 的矩为零，即 0)( ??elM
则
0??dtdL l
常矢量?OL?
(20.60)
常数?lL
(20.61)
常数??lL
(20.63)
常矢量?CL?
(20.62)
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 37)
（下册）
§ 20 动量原理
§ 20.5 动量矩
20.5.1.质点的动量矩
质点的动量对某点之矩 ? ? vmrvmL
O ???
? ?? (20.17)
若在点 O建立直角坐标系 Oxyz，则
? ?
zyx
O
mvmvmv
zyx
kji
vmL
???
??
?
? ? ? ? ? ? kyvxvmjxvxvmizvyvm xyzxyz ??? ??????
x,y,z为质点的坐标，
，, 分别为质点的速度 在 x,y,z轴上的投影。xv yv zv v?
x
y
z
m
O r?
v?
OL
?
(20.18)kLjLiL
zyx
??? ???
（类比于力对点之矩、力对轴之矩）
x
y
z
m
O r?
v?
OL
?
其中，质点动量对 x,y,z轴之矩分别为：
? ?
zyx
O
mvmvmv
zyx
kji
vmL
???
??
?
? ? ? ? ? ? kyvxvmjxvxvmizvyvm xyzxyz ??? ??????
kLjLiL zyx ??? ??? (20.18)
? ? ? ? ? ?xyzzxyyzx yvxvmLxvxvmLzvyvmL ??????,,
(20.19)
质点动量对任意 l 轴之矩：
其中 O为 l 轴上任意一点。
0)( lvmLL Ol ??? ?? (20.20)
l 轴
显然，质点对点的动量矩是一个定位矢量，而质点
对轴的动量矩是一个代数量。
当质点作平面运动时，动量对平面内
某点 O之矩或对 Oz轴之矩均为,O v?
mm vhL O ?? （ 20.21）
符号规定,?为正,?为负
20.5.2,质点系的动量矩
设质点系中质点 相对于某一固定点 O的矢径为,iD ir?
动量为 。iivm? ? ?ni,,2,1 ??
iD
ir?
iivm?
x
y
z
O? ?
iii
n
i
iiO
n
i
O vmrvmLL
????? ??? ??
?? 11
(20.22)
质点系对某固定点 O的动量矩 为：OL?
1.质点系对 固定点、固定轴 的动量矩
质点系对某一固定轴 l 的动量矩 为：lL
? ?iiln
i
l vmLL
??
?
?
1
(20.23)
ir?
iivm?
x
y
z
O
l 轴
?
?
??
n
i
iiiO hvmL
1
（ 20.24）
同理，质点系平面运动时，质点系动量
对平面内某点 O之矩或对 Oz轴之矩均为：
O v?
m符号规定,?为正,?为负
2,质点系对 动点 的动量矩
设在惯性参考系中有任意一动点 A，其速度为 。Av?
固连于动点 A建立平移直角坐标系,zyxA ???
Aii vvv ??? ?? r ? ?ni,,2,1 ?? (20.25)
? ? ? ?iiin
i
iiA
n
i
A vmrvmLL
????? ???? ??
?? 11
(20.26) x’
y’
z’
Av?
A
O
x
y
z
im
iv
?
ir
?
riv
?
ir??
将质点系中各质点的绝对动量 对动
点 A的矩的矢量和定义为 质点系对动点
A的绝对动量矩,用 表示，即：AL?
iivm?
ir??质点系中质点
iD
ivr? 相对速度
绝对速度
iv
?
相对矢径
绝对矢径ir?
将质点系中各质点的相对动量 对动点 A的矩的矢
量和定义为 质点系对动点 A的相对动量矩,用 表示，
即：
iivm r?
rAL?
? ? ? ?iiin
i
iiA
n
i
A vmrvmLL r
1
r
r
1
r ????? ???? ??
??
(20.27)
x’
y’
z’
Av?
A
O
x
y
z
im
iv
?
ir
?
riv
?
ir??
质点系对动点的绝对动量矩和相对动量矩的关系：
将式 (20.25)代入式 (20.26):
)()(
11
riAi
n
i
iii
n
i
iA vvmrvmrL
?????? ??????? ??
??
Ai
n
i
i
r
A
Ai
n
i
irii
n
i
i
vmrL
vmrvmr
???
????
????
??????
?
??
?
??
)(
)()(
1
11
x’
y’
z’
Av?
A
O
x
y
z
im
iv
?
ir
?
riv
?
ir??
? ?ACAA vmrLL ???? ???? r (20.28)
Ai
n
i
i
r
AA vmrLL
???? ???? ?
?
)(
1
由质点系质心 C相对于动点 A
的矢径公式 可得：
m
rm
r
ii
n
i
C
?
??
?
?
?
? 1
i
n
i
iC mrmr ?
?
???
1
??
故 质点系对动点的绝对动量
矩和相对动量矩的关系为：
其中 为质点系质心 C在动系中的
相对坐标,为动点的绝对速度。
Cr??
Av?
? ?ACAA vmrLL ???? ???? r (20.29)
若取动点 A为质点系的质心 C时，,0
CAC vvr
??? ??? 故：
r
CC LL
?? ? (20.30)
质点系对质心的动量矩, 无论是在固定坐标系
还是在质心平移坐标系中计算都是相同的。
故质点系对不同的 A,O两点的动量矩的关系为：
pAOLL OA ??? ???
i
n
i
i vmp
?? ?
?
?
1
（ 20.31）
注意 质点系对某点的动量矩不等于质点系动量对该点之矩！
即
i
n
i
iCCii
n
i
iO vmrprvmrL
??????? ??
??
??????
11
（见书上例 22.4）
3.对惯性系中不同的 A,O两点的动量矩之间关系
类比于力对不同两点的力矩之间的关系，
力对 A,O两点之矩关系为 FAOFmFm
OA
??? ??? )()(
A
O
F?
20.5.3 刚体的动量矩
1,平移刚体的动量矩
当刚体作平移时，建立质心平移坐标
系，各质点的相对速度,故0
r ?iv
?
0r ?? CC LL ?? (20.32)
平移刚体对任意固定点 A的动量矩为：
pACLL CA ??? ???
? ?CA vmACL ?? ?? (20.33)
平移刚体对任意确定点 A的动量矩等于将平移刚体
的质量视为全部集中在质心 C上时对点 A的动量矩。
O
x
y
z
x’
y’
z’
C
Cv
?
A
当平移刚体作平面曲线运动时，对该平面内任一
点的动量矩可视为代数量 。hmvL
CA ??
h
2,定轴转动刚体的动量矩
O
x
y
z
?
md
r?
OL
?在转轴上任取一点 O，
建立惯性参考空间中的直角坐标系 Oxyz，
使 z轴与转轴重合，
则定轴转动刚体的角速度为 k?? ?? ?
设质量为 的微元，相对于点 O的矢径为,md r?
在直角坐标系 Oxyz中的坐标为,? ?zyx,,
kzjyixr ???? ??? 其速度为 rv ??? ?? ?
定轴转动刚体对定点 O的动量矩为
mvrL mO d? ?? ??? ? ? mrrm d? ??? ??? ? ? ?? ? mrrr
m d
2? ??? ???? ??
? ? ? ?? ?? ? mkzjyixzkzyxm d222? ?????? ???? ??
? ? ? ? ? ?? ? kmyxjmyzimxz mmm ??? ??? ??? ????? ddd 22
kJjJiJ zyzxz ??? ??? ???? (20.34)
mvrL mO d? ?? ??? kJjJiJ zyzxz ??? ??? ???? (20.34)
故,定轴转动的刚体对转轴上任意点的动量矩矢量
一般不沿转轴的方向 。
O
x
y
z
?
md
r?
OL
?
特别,当转轴 z 轴为刚体的惯量主轴时,有
0,0 ?? yzxz JJ
?? ??? zzO JkJL ??? 动量矩矢量沿转轴方向
也可用代数量表示：
?zO JL ? 与 转向相同
? (20.35)
例如，刚体作平面定轴转动，转轴
垂直于刚体的质量对称面时。
?
3,一般平面运动刚体的动量矩
建立惯性参考空间中的定系 Oxyz和质
心平移坐标系,zyxC ???
kJjJiJLL zzyzxCC ????? ??? ????? ????? r (20.36)
C ?
CL
O
z
x
y
使三对坐标轴分别平行，且使,
轴垂直于刚体的运动平面，则一般平
面运动刚体相对该平移坐标系为绕
轴的定轴转动：
Oz zC?
zC?
若一般平面运动刚体的运动平面为其质量对称面，
则 轴为刚体对点 C的惯量主轴，即,
上式变为
0?? ???? zyzx JJzC?
??? CC JL ? (20.37)
式中 为一般平面运动刚体对 的转动惯量。CJ zC?
?CC JL ? (20.38)
也可视为代数量CL?
C ?
CL
O
z
x
y
Cv?
??? CC JL ? (20.37)
若对该刚体运动平面上的任意
固定点 A，则有：
对任意固定点 A，则有：
hA
hvmLL CCA ?? (20.40)
CCA vmACLL ?
?? ??? (20.39)
例 题 20-6
§ 20 动量原理?例题
Or
BM
m
? 求系统对转轴 O点的动量矩。
解,轮 O定轴转动，块 B平动，
)( ?? ?rv B
??? 2221 MrmrrMvJL BOO ???????
（负号表示转向为 ?）
例 题 20-7
§ 20 动量原理?例题
A
C rm
Cv
?
均质圆柱，半径为 r，质量为 m，绕有细绳，
A端固定，圆柱质心 C以速度 vC向下运动，
求圆柱对质心 C及定点 A的动量矩。
解,圆柱作一般平面运动
?
r
vC?? （ ?）
CC
r
CC m r vmrJLL 2
1
2
1 2 ???????? ??
若建立质心平移坐标系，则轮子的相对
运动为绕质心的定轴转动
（负号表
示 ?）
CCCCCA mvm r vm r vrmvLL 2
3
2
1 ????????
例 题 20-8
§ 20 动量原理?例题
圆盘 O半径为 r，质量 m，以角
速度 ?转动,均质杆 AB质量为
m，长为 2r，滑块 B质量为 m，
在水平轨道内运动,A,B处为
铰接，某瞬时杆 AB处于水平位
置，求此瞬时系统的动能，动
量，对 O点的动量矩。
O
A B
?
例 题 20-8
§ 20 动量原理?例题
O
A B
?
解,圆盘为定轴转动，滑块为
平动，杆为一般平面运动，
Av
?
Bv
?
杆 AB此瞬时为平动
)( ??? ?rvv BA
系统该时刻的动能：
222222
222
4
5
2
1
2)
2
1
(
2
1
2
1
2
1
2
1
???
?
mrmrmr
mvmvJT BAO
????
???
系统该时刻的动量：
Ci
i
i vmp
?? ?
?
?
3
1
)( 2 ????? ?mrmvmvp BA
例 题 20-8
§ 20 动量原理?例题
O
A B
?
Av
?
Bv
? 系统该瞬时对点 O的动量矩：
???
?
222
2
5
2
2
1
mrmrmr
rvmrvmJL BAOO
????
??? 块杆盘
（ ?）
注意：系统该瞬时的动能、动量、动量矩
都是特殊位置的量，不可求导！
§ 20.6 动量矩定理
20.6.1 质点的动量矩定理
质点对固定点的动量矩定理
? ? ? ?vmrtvmLt O ???? ?? dddd
设质量为 的质点 D对固定点 O的矢径为,作用其
上的合力为
r?m
F?
? ?vmtrvmtr ???? dddd ????
? ?vmtrvmv ???? dd???? ? ?vmtr ?? dd? amr ???? Fr ???? ? ?FM O ???
质点对某一固定点的动量矩对时间的一阶导数
等于作用于其上的合力对同一点的矩。
(20.41)? ? )(
d
d FMvmL
t OO
??? ?
20.6.2 质点系的动量矩定理
1,质点系对固定点的动量矩定理
设作用于质点系中各质点 上内力和外力的
合力分别为 和,
iD ? ?ni,,2,1 ??
??iiF? ? ?eiF? 各质点质量为,对每个质点：im
(20.42)? ??
iiO vmLt
??
d
d ? ?? ? ? ?? ?ei iOiO FMFM ???? ? ? ?ni,,2,1 ??
? ? ??
?
iiO
n
i
vmLt ??
1d
d ? ?? ? ? ?? ?e
1
i
1
iO
n
i
iO
n
i
FMFM ???? ??
??
? ? ?? ? 0i
1
??
?
iO
n
i
FM ???
?tLOdd
?
? ?? ?e
1
iO
n
i
FM ???
?
? ?eOM?? (20.43)
质点系对某一固定点的动量矩对时间的一阶导数
等于作用于其上的外力系对同一点的主矩。
? ? ??
?
iiO
n
i
vmLt ??dd
1
? ?? ? ? ?? ?e
1
i
1
iO
n
i
iO
n
i
FMFM ???? ??
??
?对系统内所有质点求和：
ir?
iivm?
x
y
z
O
)(iiF?
)(eiF?
质点系对某一固定轴的动量矩对时间的一阶导
数等于作用于其上的外力系对同一轴的矩。
式 (20.43)为一矢量式，它可以向过点 O的某一固定
直角坐标轴（如 z轴）上投影：
? ?e
d
d
z
z M
t
L ? (20.44)
? ? tLLttL zzO
z
O
d
d
d
d
d
d ??
???
?
???
? ???
)()( )( ezzeO MM ??
ir?
iivm?
x
y
z
O )(eiF
?
若质点系作平面运动,O点为平面内一点，
可取为代数量,O
L?
)( e
O
O M
dt
dL ? (20.45)
平面运动时 质点系对固定点的动量矩定理
)(,eOO ML 均以逆时针转动为正
质点系对固定轴
的动量矩定理 ? ?edd zz MtL ? (20.44)
?tLOdd
?
? ?? ?e
1
iO
n
i
FM ???
?
? ?eOM?? (20.43)
质点系对固定点的动量矩定理
2,质点系对动点的动量矩定理
? ?ACAA vmrLL ???? ???? r
? OArr
CC ???
??
? ? ? ? ?AACAA amACvmv
t
L
t
L ???
??
????? dddd
r (20.46)
x’
y’
z’
Av?
A
O
x
y
z任选动点 A，建立定坐标系及固连于动
点 A的平移动坐标系，由对动点 A的绝
对、相对动量矩之关系式（ 20.29）：
? ? ? ?ACACAA amrvmtrtLtL ???
???
??????? dddddd
r求导：
Cv
?
Cr
?
Cr?? C
AC
CC vv
dt
OAd
dt
rd
dt
rd ???? ????? )(求导：
0?? AA vv ??又：
质点系对动点 A的绝对、相对动量矩导数之关系
x’
y’
z’
Av?
A
O
x
y
z Cv?
Cr
?
Cr?? C
pOALL AO ??? ???
设点 O为惯性空间中某一固定点，
由 O,A两点的动量矩之间关系：
Cvmp ?? ?其中
t
pOAp
t
OA
t
L
t
L AO
d
d
d
d
d
d
d
d ??
??
?????求导：
? ?43.20
d
d ?
t
L O
?
? ?eOM?
由对定点 O的
动量矩定理
? ? ? ?e
R
15.20
Famdt pd C ??
?
??
动量定理的
微分形式 CA vmvpt
OA ??? ???
d
d及
得,)()( e
RCA
e
O
A FOAvmvM
dt
Ld ????
?
?????
? ? ? ? ? ?eRee FAOMM OA ??? ???又
? ? ? ?
ACA
A vmvM
t
L ???
?
??? edd? (20.47)
由式 (20.46)和 (20.47)得到
? ? ? ?
ACA
A vmvM
t
L ???
?
??? edd (20.47)
质点系对动点的
绝对动量矩定理
? ? ? ?
AA
A amACM
t
L ??
?
???? e
r
d
d (20.48)质点系对动点的相对动量矩定理
? ? ? ? ?
)(
d
d
d
d
)(
A
e
A
AAC
A
r
A
amACM
amACvmv
t
L
t
L
??
???
??
????
?????
(20.46) ? ? ? ?AACAA amACvmv
t
L
t
L ????? ?????
d
d
d
d r
由此可见，质点系对动点的动量矩定理形式复杂，
通常,对动点的动量矩定理只用其特例,
（ 1） 取动点 A为质点系的质心 C
? ? ? ?
ACA
A vmvM
t
L ???
?
??? edd (20.47)
质点系对动点的
绝对动量矩定理
? ? ? ?
AA
A amACM
t
L ??
?
???? e
r
d
d (20.48)质点系对动点的相对动量矩定理
)()(,0,,eCeACACCCA MMACvvLLLL ???????? ??????? 且
)( e
C
C M
dt
Ld ?? ? （ 20.49)
质点系对质心
的动量矩定理
? ? ? ?
ACA
A vmvM
t
L ???
?
??? edd (20.47)
质点系对动点的
绝对动量矩定理
? ? ? ?
AA
A amACM
t
L ??
?
???? e
r
d
d (20.48)质点系对动点的相对动量矩定理
（ 2）当动点 A的加速度 时，即固连于动点
A的平移动系也为一惯性系（ A点在该惯性系中
为一定点）：
0?Aa?
)( e
A
r
A M
dt
Ld ?? ? (20.50)
注意 如果动点是任意选定的，动点的速度、加速度一般未知，故对动点的动量矩定理的一般形式
（ 20.47）和（ 20.48）并不常用，经常使用的
是 质点系对质心的动量矩定理（ 20.49） 。
对刚体、刚体系，动量矩定理常取以下形式：
对固定轴的动量
矩定理 ? ?edd zz MtL ? (20.44)
t
LO
d
d
?
? ?eOM?? (20.43)
对固定点 O的动
量矩定理
)( e
C
C M
dt
Ld ?? ? (20.49)
对质心 C的动量
矩定理
小结
3,有质量对称面的一般平面运动刚体的动量矩定理的
表达式
若所研究的质点系为一个具有质量对称面的刚体，作
用了与质量对称面重合的平面力系，在其质量对称面
内作平面运动。 设 A为刚体运动平面内某一定点，则该
刚体对 A点的相对动量矩为 ??? AA JL ?r (20.51)
为刚体对 Az轴的转动惯量，是一个常数； 为该
刚体运动的角速度。
AJ ??
? ? ? ? ? ?
AA
A amACM
t
L ??? ???? e47.20r
d
d
dt
d?? ?? ? 为刚体运动的角加速度。
? ? ? ?AAA amACMJ ??? ???? e? (20.52)
由对动点的相
对动量矩定理
下面研究式 (20.52)的几种特殊情形：
（ 1）若 点 A固定不动（记为 O点）,则刚体绕 O轴作
定轴转动，则有：
? ?eOO MJ ?? ?? (20.53)
（ 2）若 点 A取为刚体的质心 C,则有,
? ?eCC MJ ?? ?? (20.54)
（ 3）若在某一瞬时,点 A为该刚体的速度瞬心 P，则有：
(20.55)? ? ? ?PPP amPCMJ ??? ???? e?
? ? ? ?
AAA amACMJ
??? ???? e? (20.52)
式 (20.55)与式 (20.53)的形式不同，反映了 瞬时定轴转
动与定轴转动的差别 。
但若在不同瞬时，平面运动刚体的速度瞬心 P与刚体
质心 C的距离 恒等于某一常数,则,PC b ?bv
C ?
求导得,根据平面运动刚体的两点加速度
关系：
?ba C ?t
ntnt PCPCCCP aaaaa ????? ???? (20.56)
(20.55)? ? ? ?PPP amPCMJ ??? ???? e?
? ?eOO MJ ?? ?? (20.53)对固定点 O
对速度瞬心 P
一般地说，,, 也不与 平行，
所以 故一般
0?PC 0?Pa? Pa? PC
? ?ePP MJ ?? ??0)( ???
PamPC
?
将上式沿图示 轴（其正向与 相同）投影得到?
Cv?
P
C
?
tPCa?
nPCa?
tCa?n
Ca?
Cv? ?
?0??? ??? bba P
(20.57)
因 PC与 轴垂直，说明,于是? PCa
P //?
? ? ? ? ? ?
PPP amPCMJ
??? ???? e57.20?
当平面运动刚体的 速度瞬心 P与刚体质心 C的距离恒保
持不变时,平面运动刚体对速度瞬心的动量矩定理才
具有定轴转动的动量矩定理或对质心的动量矩定理同
样简单的形式。
ntnt PCPCCCP aaaaa ????? ???? (20.56)
? ?ePP MJ ?? ?? (20.58)
0
例如,均质圆盘沿水平地面或固定不动曲面作平面
纯滚动；均质直杆的两端分别沿在同一平面内相互
垂直的两条固定直线运动，刚体的速度瞬心与其质
心的距离恒保持不变。
P
C C
P
在动力学中，将一般平面运动刚体的基点选在质心，
根据质心运动定理和对质心的动量矩定理，建立平面
运动刚体的运动微分方程，形式最简单，且不易出错。
动力学
刚体的质心运动 外力系的主矢
质心运动定理
相对于质心的
动量矩定理刚体相对于质心平
移坐标系的转动
外力系对质
心的主矩
刚体的运动 刚体所受到的力系
刚体平面运
动微分方程
)( eRC Fam ?? ?
)( eCC MJ ?? ??
（ 21.59）
20.6.3 质点系的动量矩守恒定律
若外力系对某固定点 O的主矩为零，即 0)( ?e
OM
?
则
0?dtLd O
?
若外力系对质点系质心 C的主矩为零，即 0)( ?e
CM
?
则
0?dtLd O
?
若外力系对某固定轴 l 的矩为零，即 0)( ?e
lM
则
0?dtdL l
若外力系对过质心的某轴 l’ 的矩为零，即 0)( ??elM
则
0??dtdL l
常矢量?OL?
(20.60)
常数?lL
(20.61)
常数??lL
(20.63)
常矢量?CL?
(20.62)
