工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 28)
（下册）
§ 14 组合变形
§ 14.1 组合变形的概念与分析方法
1,组合变形的概念
组合变形 —— 杆件在外力作用下，同时产生两
种或两种以上基本变形的情况。
例如：（ a）坡屋顶上的横梁
斜弯曲
例如：（ b)厂房边柱
压（拉）弯组合
M
FN
例如：（ c）传动轴
弯扭组合
FT1 FT2
MT
弯曲弯扭组合
弯曲弯扭拉组合
斜弯曲（双向弯曲）
2.组合变形的分析方法
分析方法：在线弹性小变形范围内，采用叠加原理，
先分解成基本变形，分别计算相应的应力分量，然后
将同一点的同一截面上的相应应力分量叠加 。
分解 分算 叠加
条件,（ 1）材料处于线弹性
（ 2）小变形 —— 各基本变形之间无耦合
w F
F1
当挠度 w 较大时梁的横截面上有：
M附加 =Fw 轴向拉压与弯曲耦合！
分解 —— 将载荷分解为几组静力等效的载荷，每组
对应一种基本变形。
分算 —— 每种基本变形分别计算。
叠加 —— 将几种基本变形的结果（内力、应力、应
变、位移等）分别叠加。
3.组合变形的强度计算
找出结构中的危险截面和危险点
危险点为单
向应力状态
危险点为纯
剪应力状态
危险点为复杂应力
状态（二向、三向
应力状态）
? ??? ?m a x ? ??? ?ma x 强度理论
§ 14.2 强度理论
强度理论 —— 依据实验及材料破坏现象的分析，
所提出的强度失效假说，适用于任意应力状态。
统一表达式,? ?
?? ?ri
1.第一强度理论（最大拉应力理论）
解释断裂失效，适用于脆性材料。
某点的最大拉应力（即某点的第一主应力 ）
是破坏的原因,1
?
强度条件为,? ???? ??
11r
(14.1)
其中 称为该强度理论的相当应力
ri?
b?? ?1
当 时破坏发生。
缺点：未考虑第二、第三主应力的影响，
单压、二向压缩无法使用。
2.第二强度理论（最大拉应变理论）
解释断裂失效，适用于脆性材料。
某点的最大拉应变（即某点的第一主应变 ）
是破坏的原因。 1
?
强度条件为,? ?
?????? ???? )( 3212r
(14.2)
b?? ?1
当 时破坏发生。
EE
b?????? ???? )( 321
1?
缺点：与实际情况不完全符合，用途不如第一强度
理论更广。
3.第三强度理论（最大切应力理论）
解释屈服失效，适用于塑性材料。
某点的最大切应力是引起该点屈服的原因。
22
31
m a x
S
S
????? ????当 时屈服发生。
强度条件为,? ?
???? ??? 313r
(14.3)
缺点：未考虑第二主应力的影响。
4.第四强度理论（畸变能理论）
解释屈服失效，适用于塑性材料。
某点的畸变比能是引起该点屈服的原因。
22
13
2
32
2
21 3
1])()()[(
6
1
Sd EEu ?
???????? ?????????
强度条件为：
? ????????? ??????? ])()()[(
2
1 2
13
2
32
2
214r
(14.4)5.莫尔强度理论
适用于拉压不同性的脆性材料。
强度条件为,? ?
? ? ? ???
? ??? ??
?
???
31rM
(14.5)
根据大量的材料力学性能实验结果归纳而成。
当 时转化为第三强度理论。? ? ? ?
?? ? ??
6.几种常见的典型危险点的强度计算
工程上常见的拉、扭、弯及它们的组合变形，
其危险点常为以下三类应力状态：
（ 1）第一类危险点 —— 单向应力状态
如：轴向拉伸的危险点
FF ?=F/A?
弯曲时的正应力危险点
F ?=M/W?
?? 对第一类危险点，主应力为：
0,321 ??? ????
选用不同强度理论时的相当应力为：
???
????
????
??????
???
??
???
???
????
??
1
2
1
2
14
313
3212
11
][
2
1
)(
rM
r
r
r
r
? ??? ?
F
（ 2）第二类危险点 —— 纯剪切应力状态
如：扭转时的危险点
TT
?
PW
T??
?
?
?
?
弯曲时的切应力危险点 ?
bI
SF
z
zS
?
? m a x?
?
?
?
?
?
?
?
? 对第二类危险点，主应力为：
????? ???? 321,0,
选用不同强度理论时的相当应力为：
? ?
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
??
?????
????
???????
???
)1(
3]4[
2
1
2
)1()(
31
222
4
313
3212
11
?
?
?
?
????
????
???
?????
??
rM
r
r
r
r
? ? ? ??? ?? ?
选用不同强度理论时,ki不同
可改写为,? ?
i?? ?
? ? ? ??? ii k?
（ 3）第三类危险点 —— 二向应力状态
如：弯曲时
拉 +扭组合变形：
TT
FF
T
F
??
?
?
??
?
?
弯 +扭组合变形：
对第三类危险点，主应力为：
22
1 4/2 ??
?? ???
22
3 4/2 ??
?? ???
02 ??
若选用第三或第四强度理论：
? ????? ??? 223 4r
? ????? ??? 224 3r
对第三类危险点，第三或第四强度理论的强度条件为：
??
?
?
? ???? ?? 22 4第三强度理论 (14.6)
? ???? ?? 22 3第四强度理论 (14.7)
T
F
若为弯 +扭组合变形，危险截面的弯矩 M，扭矩 T，则：
zW
M??
PW
T??
由于圆轴有：
32
3d
W z ?? zP WdW 216
3
?? ?
? ??? ?????
zPz
r W
TM
W
T
W
M 2222
3 )(4)(
? ??? ?????
zPz
r W
TM
W
T
W
M 2222
4
75.0)(3)(
（ 4）其他类型危险点
如：危险点为三向应力状态
?
?
?
?
若 0?? ??
?????? ????? 321,,
若 0?? ??
?????? ????? 321,,
代入 的表达式中，得各强度理论的强度条件。ri?
例 题 14-1 § I4 组合变形
?例题
（ 1）图示结构,F力
沿 z方向作用，求 A截
面上的内力分量。z
x
y F
L2L
LA
B
C
D 解：
F
L2L
LA
B
C
D
沿 A截面切开，
取整体为对象，
列平衡方程：
FSz M
y
T
A截面上的内力分量
FFSz ?剪力
FLM y 2?弯矩
FLT ?扭矩
方向
如图
杆的 AD段为弯 +扭,CD段为弯曲,DB段无变形
例 题 14-1 § I4 组合变形
?例题
（ 2）一端固支的空间刚架受力如图，
2Fa力偶作用在 xy平面内,F力沿 x方
向作用，求 A,B-,B+,C+截面上的
内力分量。
解：
2Fa
F
A B
C
D
沿 A截面切开：
FNA
MzA MyA
弯矩
轴力 FF
NA ?
FaFaFaM zA ??? 2
FaM yA ?
F
x
z
y
A B
C
D
2Fa
例 题 14-1 § I4 组合变形
?例题
沿 B- 截面切开,F
NB-
MzB-
MyB-
弯矩
轴力 FF
NB ??
FaFaFaM zB ???? 2
FaM yB ??
沿 B+ 截面切开：
B
F
2Fa C
D
F
x
z
y
A B
2Fa C
D
TB+FSxB+
MyB+
F
B
C
D
2Fa
FF S x B ??剪力
扭矩 FaFaFaT
B ???? 2
弯矩
FaM yB ??
例 题 14-1 § I4 组合变形
?例题
沿 C+ 截面切开：
MzC+
F
C
D
F
x
z
y
A B
2Fa C
D
FSxC+
FF S x c ??剪力
弯矩 FaM
zC ??
§ 14.3 组合变形典型之一 —— 斜弯曲
斜弯曲 —— 梁上横向载荷的作用方向过横截面
的弯曲中心，但不与横截面形心主轴平行。
1.斜弯曲与对称弯曲、平面弯曲的区别：
§ 13中讨论过的 对称弯曲,
截面有一纵向对称轴（ y轴），载荷作用于纵向对
称面内。
§ 13中讨论过的 平面弯曲,
截面虽无纵向对称轴，但载荷作用面过弯曲中
心，且平行于截面的形心惯性主轴。
o o
对称弯曲、平面弯曲 —— 中性轴都与载荷平面垂直
EI
M
dx
wd
bI
SF
I
My
z
zS ????
?
2
2
,,??
截面有纵向对称轴，但载
荷不作用在纵向对称面内
截面无纵向对称轴，载荷过弯曲
中心，但不平行于形心惯性主轴
斜弯曲
（双向弯曲）
? F
o
?F
斜弯曲可分解为截面两个相互
垂直的形心主惯性平面内的弯曲
? F
o
?F
若载荷不过弯曲中心，且不平行于主惯性平面
—— 可将载荷平移致弯曲中心,为斜弯曲 +扭转
? F
c
?F
T T
例 题 14-2 § I4 组合变形
?例题
F
x
y
z
L
A B
?
矩形截面梁的斜弯曲 y
z
F ?
解：
外力过弯曲中心（即形心），但外力作用线不与
形心主惯性轴重合,将其沿两个主惯性轴分解。
产生以 z 为中性轴的弯曲，?cosF
?sinF 产生以 y 为中性轴的弯曲，
?cosF
?sinF
1.分解
例 题 14-2 § I4 组合变形
?例题
F
x
y
z
L
A B
?
y
z
F ? ?cosF
?sinF
2.分算
x
y
?cosF
L
x
弯矩,)(co s)( xLFxM
z ?? ?
x截面上任意点处 (y,z)的正应力：
zz
z
I
yxLF
I
yM )(c o s ?????? ??
（ y,z）
（ 1） 产生以?cosF
z 为中性轴的弯曲
?cosFL
例 题 14-2 § I4 组合变形
?例题
F
x
y
z
L
A B
?
y
z
F ? ?cosF
?sinF
弯矩,)(s i n)( xLFxM
y ?? ?
x截面上任意点处 (y,z)的正应力：
yy
y
I
zxLF
I
zM )(s i n ??????? ??
（ y,z）
（ 2） 产生以?sinF
y 为中性轴的弯曲
x
z
?sinF
L
x
?sinFL
例 题 14-2 § I4 组合变形
?例题
F
x
y
z
L
A B
?
y
z
F ? ?cosF
?sinF
x截面上任意点处 (y,z)的总正应力：
)
s inc o s
)((
)(s in)(c o s
yz
yz
I
z
I
y
xLF
I
zxLF
I
yxLF
??
??
???
????
?
?
?
???????
（ y,z）
0,0 ????? ??0,0 ????? ??
0,0 ????? ?? 0,0 ????? ??
?sinF
?cosF
x
z
L
x
z
3.叠加
总应力是 y,z的线性函数，在截面上分布为一斜平面
2.斜弯曲的特点
(1)斜弯曲的中性轴位置
中性轴 —— 由截面上弯曲正应力为零的点组成
令 0??
0s inc o s ?? z
I
y
I yz
??
上式为中性轴应满足的方程，
为一条过原点的直线
y
z
F ?
中性轴的斜率为：
?? t a nt a n
y
z
I
I
z
y ???
?
)s i nc o s)((
yz I
z
I
yxLF ??? ????斜弯曲的应力
中性轴与载荷垂直 —— 平面弯曲
?? t a nt a n
y
z
I
I
z
y ???中性轴的斜率为：
y
z
F ?
?
若 ?? ??
yz II
则
?? ?? yz II
若 则
中性轴与载荷不垂直 —— 斜弯曲
例如：圆形、正多边形截面均有
yz II ?
故总是平面弯曲！F
?
?
F
y
z
例如：圆形、正多边形截面均有
yz II ?
故总是平面弯曲！
F?
?
F
y
z
F
y
z
My
Mz
y
z
M总
Wm a x
总M??
对圆截面轴
（ 2）中性轴把截面划分为拉应力区和压应力区
y
z
F ?
?
拉应力区
压应力区
0??
（ 3）斜弯曲梁的强度计算
正确找出危险截面,在危险截面上正确找出危险点
危险点 —— 距中性轴最远的点
外凸尖角处
截面周边平行于
中性轴的切线与
周边的切点
?max?
?max?
F
0??
?max?
?max?
y
z
F ? ?cosF
?sinF
b
h
F
yzy
y
z
z
W
LF
W
LF
W
M
W
M ??
? s i nc o sm a xm a xm a x ?????
yzy
y
z
z
W
LF
W
LF
W
M
W
M ??
? s inc o sm a xm a xm a x ???????
LFM z ?co sm a x ?
LFM y ?s i nm a x ?
危险截面在固支端：
例如：例 14.2中
F
若截面改为圆形，
危险点应力为何？
?max?
?max?
特别注意：圆形截面总是平面弯曲，且无尖点，
F?
?
F
y
z
F
y
z
My
Mz
y
z
M总
故危险点应力 应按矢量合成后的 M总 计算。
max?
22
zy MMM ??总
?max?
?max?
?max?
?max??max?
?max?
?max?
?max?
中性轴
总
W
M
m a x ??
对圆截面轴
强度条件：
? ? ? ????? ?? ???? m a xm a x
（ 4）斜弯曲的挠度
分别计算出两个方向的挠度分量后，按矢量
合成为总挠度。
22
zy www ??
wy
例如例 14.2
y
z
F ? ?cosF
?sinF
?wz
w
y
z
z
y EI
LFw
EI
LFw
3
s i n
3
c o s 33 ?? ??
??? t a nt a nt a n ????
y
z
y
z
I
I
w
w
?
?? ??
总挠度矢量方向总
是垂直于中性轴！
但一般不在载荷的作用面内！
§ 14.3 组合变形典型之二
—— 拉（压）弯组合、偏心拉压
拉（压）弯组合 —— 载荷为轴向力 +横向力（或轴向
平面内力偶）
偏心拉压 —— 所受轴向力作用线不与轴线重合
（偏心力）
拉弯组合
e
偏心拉伸
例 题 14-3 § I4 组合变形
?例题
矩形截面偏心拉伸
载荷作用在横截
面任意 （ yp,zp）
位置, 求与轴线
垂直的横截面上
任意点 （ y,z）
的应力 。
例 题 14-3 § I4 组合变形
?例题
解,偏心拉伸力 F向截面的形心 O处简化得1.分解
z
y
F?z
F
yFO
轴向拉力 F,xy平面内的力偶
Fz yFM ??
xz平面内的力偶
Fy zFM ??
y
z
F
My My
My
Mz
F
My
Mz
y
F
z
F
I
zFz
I
yFy
A
F
???
????????? ????
例 题 14-3 § I4 组合变形
?例题
z
y
F?z
F
yFOF
3.叠加
2.分算
y
F
y
y
z
F
z
z
I
zFz
I
zM
I
yFy
I
yM
A
F
?????
????
??
?
?
?
在任意横截面上的点（ y,z）处：
拉压正应力
以 z为中性轴
弯曲正应力
以 y为中性轴
弯曲正应力
例 题 14-3 § I4 组合变形
?例题
)1(
)
//
1(
22
z
i
z
y
i
y
A
F
z
AI
z
y
AI
y
A
F
I
zFz
I
yFy
A
F
y
F
z
F
y
F
z
F
y
F
z
F
???
???
?????
总应力为
截面上的中性轴：
01 22 ??? z
i
zy
i
y
y
F
z
F
令 0?? 得中性轴方程
z
y
F?z
F
yFOM
y
Mz
中性轴
ay
ax
F
z
y y
ia 2??
F
y
z z
ia 2??
截距
中性轴与偏心
拉力作用点分
布于形心两侧
例 题 14-3 § I4 组合变形
?例题
z
y
?F（ zF,yF）
O
中性轴
拉应力区
压应力区
?max?
?max?
中性轴将截面划分为受拉
区和受压区：
危险点：外凸尖点，或周边
平行于中性轴的切线切点。
中性轴
截面核心的概念：
轴向压力 F 作用点若在靠近横截面
形心的某一区域内，则横截面上的
正应力均为压应力，该区域称为该
截面的核心。
F
z
y y
ia 2??
F
y
z z
ia 2??
截距
z
y
Fz
F
yFOM
y
Mz
中性轴
ay
ax
中性轴
h
b
h/6
b/6
D
D/4
此概念常用
于建筑结构
§ 14.3 组合变形典型之三 —— 弯扭组合
常见于各种传动轴、曲柄、空间折杆，载荷为横向力
或轴线平面内的力偶与横截面内的力偶共同作用
FT1 FT2
MT
已知曲拐 ABC的 AB段直
径 d及, 试写出校核
杆 AB强度时的强度条件。
][?
杆 AB为弯扭组合变形
l y
z
a
P
A
B
C
x
例 题 14-4 § I4 组合变形
?例题
解：
A
B
z
y
P
Pam ?
x
杆 BC 为弯曲变形
1.分解
危险截面为固支端 A
PlM
PaT
?
? Pa
T
P
M
Pl
PaT ?
A
B
z
y
P
PaM ?
x
例 题 14-4 § I4 组合变形
?例题
危险点为 K,K’
危险截面上的应力分布：
圆周边界上的扭转切应力最大：
PW
T??
W
M??水平直径两端的弯曲正应力最大：
A
B
z
y
P
PaM ?
x
K?
K
z
y
PW
T??
K
K?
z
y
W
M??
例 题 14-4 § I4 组合变形
?例题
2.叠加
22)
2(2 ?
?? ???
3
1
?
?
02 ??
K ?
危险点的应力状态为第三类危险点
K
?+
K
?
?=
例 题 14-4 § I4 组合变形
?例题
3.强度条件
][4 223 ???? ???r
][3 224 ???? ???r
A
B
z
y
P
PaM ?
x
][
)()(1
)(4)(
22
22
2222
3
?
?
?
?
?
?
?????
W
alP
W
PaPl
TM
WW
T
W
M
p
r
][
75.0
75.0
1
22
22
4
?
?
?
?
?
??
W
alP
TM
W
r
例 题 14-4 § I4 组合变形
?例题
圆轴弯曲正应力 3
32 dW
??
W
M?? 抗弯截面系数
162
3d
WW p ???圆轴扭转切应力
PW
T?? 抗扭截面系数
A
B
z
y
P
PaM ?
x
?45K K
z
y
例 题 14-5 § I4 组合变形
?例题
x
y
z 180 60
a
K
A B
C
DP2
P
圆截面直角拐 ABC处于水平面内，直径 d=20mm。测得 AB
杆上的 K点沿与轴线 45度方向的线应变为 （ K
点在水平直径的前端）。若材料,弹性模
量 E=200GPa,泊松比,且 P=200N。试用第三强
度理论校核该直角拐的强度（不计弯曲剪应力）。
5
45 10
10 ???
?? ?
解：
图M
P24.0
P36.0
Pa
图T
Pa危险截面可能在
截面 A或 B+处
例 题 14-5 § I4 组合变形
?例题
x
y
z 180 60
a
K
A B
C
DP2
P
画出杆的内力图
截面 A处的内力为,
AB段为扭 +斜弯曲
PaT ?
PM z 24.0?
PM y 36.0?
(单位
N·m)
BC段为弯曲
截面 B+处的内力为：
PaM B ??
例 题 14-5 § I4 组合变形
?例题
? ? ? ? PPPMMM yz 43.036.024.0 2222 ?????总
图M
P24.0
P36.0
Pa
图T
Pa
对圆截面杆的斜弯曲，应求出总弯矩后按平面弯曲计算：
A截面上的扭转：
A截面上的斜弯曲：
PP W
Pa
W
T ???
需要先求出 a =？
3
16 dW P
?? 3
32 dW
??
例 题 14-5 § I4 组合变形
?例题
? ? ? ? PPPMMM yz 43.036.024.0 2222 ?????总
x
y
?
?45
1?
3?
? ?? ? ??????? EE ????? 11 32145 ?
PP W
Pa
W
TE ??
?? ?
??
1
45 ?
?? ?1 ?? ??302 ??
P
WEa P?
?? ?
?
1
45 ?
? ?
mm40
200
20
16
25.01
101010200 353
?
?
?
?
???
?
? ?
?
K点处为纯剪切应力状态
? ? ? ?
M P a
PP
W
MT
W
r
110
43.004.0
1
1
22
22
3
?
??
???
总
?
例 题 14-5 § I4 组合变形
?例题
x
y
z 180 60
a
K
A B
C
DP2
P
图M
P24.0
P36.0
Pa
图T
Pa
PPaT 04.0???
PMMM yz 43.022 ???总
A截面：
B+截面：
PPaM B 04.0??? ?
根据第三强度理论，显然
危险截面应为 A截面
? ??? ?3r 安全
，皮带轮直径,mmD 300?
传动轴 ACB，电动机输出力矩,
皮带张力
21 2TT ?,轴用钢材的,M Pa160][ ??
根据第四强度理论设计传动轴的直径 d 。
例 题 14-6 § I4 组合变形
?例题
T1 T2
MtA
BC
2l 2l
例 题 14-6 § I4 组合变形
?例题
P
Mt
解,1.轴 AB外力的分解
T1 T2
MtA
BC
2l 2l
A
B
C
2l 2l
221 3 TTTP ???
tt MDT
DTDTM ????
2211 2
1
22?
Mt1 kNTP 203 2 ???
NDMT t 3
6
2 1067.63 0 0
1022 ??????
kN67.6?
杆的 AC段为弯曲，
CB段为弯 +扭。
外力向轴线处简化
例 题 14-6 § I4 组合变形
?例题
2.画内力图
mkNPlM ????? 14 2.0204
mkNMT t ??? 1
危险截面为 C
3.按强度条件设计 d
][75.01 224 ?? ??? TMWr
mmd 8.431 60 1075.01323
6
?? ???? ?
可取 mmd 44?
Pl/4
(M)
(T)
Mt
P
Mt
A
B
C
2l 2l
Mt1
=20kN
mkN ??1
例 题 14-7 § I4 组合变形
?例题
试按第三强度
理论校核齿轮
轴 AB的强度。
mmDmmD 1 3 0,50 21 ??
kNP y 83.3?
kNP z 3 9 3.1?
kNP y 4 7 3.1' ?
kNP z 5 3 6.0' ?
mmd 22?
M Pa180][ ??
50
50
50
x
y
z
yP
zP
zP?
yP?
1
2
A
E
C
B
D1
D2
d
解,1.分解
mmNDPM yt ??????? 5
3
1
1 10958.02
501083.3
2
mmNDPM yt ??????? 5
3
2'
2 10958.02
13010473.1
2
例 题 14-7 § I4 组合变形
?例题
将外力向 AB的轴线上简化
1tM 2tM
yP
zP
yP?
zP?
y
z
A
B
x
C E
2.分别画内力图
mmNM t ??? 52 109 5 8.0
)(T
例 题 14-7 § I4 组合变形
?例题
1tM 2tM
yP
zP
yP?
zP?
y
z
A
B
x
C E
扭矩图
例 题 14-7 § I4 组合变形
?例题
1tM 2tM
yP
zP
yP?
zP?
y
z
A
B
x
C E
铅垂面内
的弯矩图
y
yP yP?
523.1
125.1
)( zM
单位：
mmN ?510
例 题 14-7 § I4 组合变形
?例题
1tM 2tM
yP
zP
yP?
zP?
y
z
A
B
x
C E
z
zP zP? 水平面内
的弯矩图
375.0
0535.0
)( yM
单位：
mmN ?510
各截面双向弯曲的总弯矩
22 yz MMM ??总
)10( 5 mmNM ?总
568.1
130.1
危险截面
例 题 14-7 § I4 组合变形
?例题
1tM 2tM
yP
zP
yP?
zP?
y
z
A
B
x
C E
?C mmNT ??? 510958.0
mmNM ??? 5105 6 8.1
3.强度条件
][1 223 ?? ??? TMWr 332 dW ??
M p aM P ar 180][17610958.0568.12232 5223
3
??????? ???
安全 !
例 题 14-7 § I4 组合变形
?例题
1tM 2tM
yP
zP
yP?
zP?
y
z
A
B
x
C E
例 题 14-8 § I4 组合变形
?例题
折架结构 ABC水平放置,AB与 BC垂直,AB为圆形截
面，直径 D,试求,A截面圆周上与水平 y 轴成 60° 角
的直径相交点 K的主应力。
a
2P
P
x
y
z
2a A
B
C
y60°
K
A截面
z
D
例 题 14-8 § I4 组合变形
?例题
a
2P
P
x
y
z
2a A
B
C
y60°
K
A截面
z
D
AB段内力分析
外力向 B截面 简化如图
解：
2P
P
T=Pa y
z
x
A
例 题 14-8 § I4 组合变形
?例题
A截面内力
2P
P
T=Pa y
z
x
A
PaT
PaaPM
PaaPM
z
y
?
???
???
422
22
3
16
D
Pa
W
T
p ?
? ??
3
64)60c o s
2( D
PaD
I
M
z
z
M ?? ????
（拉）
3
332)60s in
2( D
PaD
I
M
y
y
M ?? ?????
（拉）
分别计算 K点各项应力：
60°
Mz
My
y
zK
T
例 题 14-8 § I4 组合变形
?例题
3
16
D
Pa
W
T
p ?
? ??
3
64)60c o s
2( D
PaD
I
M
z
zM
?? ????
（拉）
3
332)60s in
2( D
PaD
I
M
y
y
M ?? ?????
（拉）
K点的单元体为二向应力状态
K点的正应力叠加后为：
)32(32 3 ??????? DPaMM ????
???
?
???
?
??
?????
??
?
13.0
6.716)
2(2 3
22
3
1
D
aP
??
??
?
? 0
2 ??
K
?
?MM ??? ?????
60°
Mz
My
y
zK
T
另法：先将弯矩 Mz,My在 KL轴和其
垂直方向 QN投影
PaPaPa
MMM yzQN
)32(32
60s i n60c o s
????
????
)32(32 3 ???? D aPWM KL ??
3
16
D
aP
W
aP
p ?
? ????
Q
N
例 题 14-8 § I4 组合变形
?例题
K点仅有 MQN引起的弯曲正应力
及 T 引起的扭转切应力
60°
My
Mz
K
L
y
z
T
MKL MQN
§ 14.4 组合变形的一般情况
计算任意截面上的内力,找出危险截面
m
m
比如 m-m截面：
x
m
m
z
y
SzF
SyF
NF T
yM
zM
内力分量有
zySzSyN MMTFFF,,,,,
A
F N
N ??
p
T I
T?? ?
z
I
M
y
y
M ?
'? y
I
M
z
z
M ????
扭矩 T
内力, 轴力
NF
x
m
m
z
y
SzF
SyF
NF T
yM
zM
弯曲剪力
SzF SyF
弯矩 yMzM
bI
SF
z
zSy
w
?
??? （弯曲切应力一般可忽略）
bI
SF
y
ySz
w
?
????
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 28)
（下册）
§ 14 组合变形
§ 14.1 组合变形的概念与分析方法
1,组合变形的概念
组合变形 —— 杆件在外力作用下，同时产生两
种或两种以上基本变形的情况。
例如：（ a）坡屋顶上的横梁
斜弯曲
例如：（ b)厂房边柱
压（拉）弯组合
M
FN
例如：（ c）传动轴
弯扭组合
FT1 FT2
MT
弯曲弯扭组合
弯曲弯扭拉组合
斜弯曲（双向弯曲）
2.组合变形的分析方法
分析方法：在线弹性小变形范围内，采用叠加原理，
先分解成基本变形，分别计算相应的应力分量，然后
将同一点的同一截面上的相应应力分量叠加 。
分解 分算 叠加
条件,（ 1）材料处于线弹性
（ 2）小变形 —— 各基本变形之间无耦合
w F
F1
当挠度 w 较大时梁的横截面上有：
M附加 =Fw 轴向拉压与弯曲耦合！
分解 —— 将载荷分解为几组静力等效的载荷，每组
对应一种基本变形。
分算 —— 每种基本变形分别计算。
叠加 —— 将几种基本变形的结果（内力、应力、应
变、位移等）分别叠加。
3.组合变形的强度计算
找出结构中的危险截面和危险点
危险点为单
向应力状态
危险点为纯
剪应力状态
危险点为复杂应力
状态（二向、三向
应力状态）
? ??? ?m a x ? ??? ?ma x 强度理论
§ 14.2 强度理论
强度理论 —— 依据实验及材料破坏现象的分析，
所提出的强度失效假说，适用于任意应力状态。
统一表达式,? ?
?? ?ri
1.第一强度理论（最大拉应力理论）
解释断裂失效，适用于脆性材料。
某点的最大拉应力（即某点的第一主应力 ）
是破坏的原因,1
?
强度条件为,? ???? ??
11r
(14.1)
其中 称为该强度理论的相当应力
ri?
b?? ?1
当 时破坏发生。
缺点：未考虑第二、第三主应力的影响，
单压、二向压缩无法使用。
2.第二强度理论（最大拉应变理论）
解释断裂失效，适用于脆性材料。
某点的最大拉应变（即某点的第一主应变 ）
是破坏的原因。 1
?
强度条件为,? ?
?????? ???? )( 3212r
(14.2)
b?? ?1
当 时破坏发生。
EE
b?????? ???? )( 321
1?
缺点：与实际情况不完全符合，用途不如第一强度
理论更广。
3.第三强度理论（最大切应力理论）
解释屈服失效，适用于塑性材料。
某点的最大切应力是引起该点屈服的原因。
22
31
m a x
S
S
????? ????当 时屈服发生。
强度条件为,? ?
???? ??? 313r
(14.3)
缺点：未考虑第二主应力的影响。
4.第四强度理论（畸变能理论）
解释屈服失效，适用于塑性材料。
某点的畸变比能是引起该点屈服的原因。
22
13
2
32
2
21 3
1])()()[(
6
1
Sd EEu ?
???????? ?????????
强度条件为：
? ????????? ??????? ])()()[(
2
1 2
13
2
32
2
214r
(14.4)5.莫尔强度理论
适用于拉压不同性的脆性材料。
强度条件为,? ?
? ? ? ???
? ??? ??
?
???
31rM
(14.5)
根据大量的材料力学性能实验结果归纳而成。
当 时转化为第三强度理论。? ? ? ?
?? ? ??
6.几种常见的典型危险点的强度计算
工程上常见的拉、扭、弯及它们的组合变形，
其危险点常为以下三类应力状态：
（ 1）第一类危险点 —— 单向应力状态
如：轴向拉伸的危险点
FF ?=F/A?
弯曲时的正应力危险点
F ?=M/W?
?? 对第一类危险点，主应力为：
0,321 ??? ????
选用不同强度理论时的相当应力为：
???
????
????
??????
???
??
???
???
????
??
1
2
1
2
14
313
3212
11
][
2
1
)(
rM
r
r
r
r
? ??? ?
F
（ 2）第二类危险点 —— 纯剪切应力状态
如：扭转时的危险点
TT
?
PW
T??
?
?
?
?
弯曲时的切应力危险点 ?
bI
SF
z
zS
?
? m a x?
?
?
?
?
?
?
?
? 对第二类危险点，主应力为：
????? ???? 321,0,
选用不同强度理论时的相当应力为：
? ?
? ?
? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
??
?????
????
???????
???
)1(
3]4[
2
1
2
)1()(
31
222
4
313
3212
11
?
?
?
?
????
????
???
?????
??
rM
r
r
r
r
? ? ? ??? ?? ?
选用不同强度理论时,ki不同
可改写为,? ?
i?? ?
? ? ? ??? ii k?
（ 3）第三类危险点 —— 二向应力状态
如：弯曲时
拉 +扭组合变形：
TT
FF
T
F
??
?
?
??
?
?
弯 +扭组合变形：
对第三类危险点，主应力为：
22
1 4/2 ??
?? ???
22
3 4/2 ??
?? ???
02 ??
若选用第三或第四强度理论：
? ????? ??? 223 4r
? ????? ??? 224 3r
对第三类危险点，第三或第四强度理论的强度条件为：
??
?
?
? ???? ?? 22 4第三强度理论 (14.6)
? ???? ?? 22 3第四强度理论 (14.7)
T
F
若为弯 +扭组合变形，危险截面的弯矩 M，扭矩 T，则：
zW
M??
PW
T??
由于圆轴有：
32
3d
W z ?? zP WdW 216
3
?? ?
? ??? ?????
zPz
r W
TM
W
T
W
M 2222
3 )(4)(
? ??? ?????
zPz
r W
TM
W
T
W
M 2222
4
75.0)(3)(
（ 4）其他类型危险点
如：危险点为三向应力状态
?
?
?
?
若 0?? ??
?????? ????? 321,,
若 0?? ??
?????? ????? 321,,
代入 的表达式中，得各强度理论的强度条件。ri?
例 题 14-1 § I4 组合变形
?例题
（ 1）图示结构,F力
沿 z方向作用，求 A截
面上的内力分量。z
x
y F
L2L
LA
B
C
D 解：
F
L2L
LA
B
C
D
沿 A截面切开，
取整体为对象，
列平衡方程：
FSz M
y
T
A截面上的内力分量
FFSz ?剪力
FLM y 2?弯矩
FLT ?扭矩
方向
如图
杆的 AD段为弯 +扭,CD段为弯曲,DB段无变形
例 题 14-1 § I4 组合变形
?例题
（ 2）一端固支的空间刚架受力如图，
2Fa力偶作用在 xy平面内,F力沿 x方
向作用，求 A,B-,B+,C+截面上的
内力分量。
解：
2Fa
F
A B
C
D
沿 A截面切开：
FNA
MzA MyA
弯矩
轴力 FF
NA ?
FaFaFaM zA ??? 2
FaM yA ?
F
x
z
y
A B
C
D
2Fa
例 题 14-1 § I4 组合变形
?例题
沿 B- 截面切开,F
NB-
MzB-
MyB-
弯矩
轴力 FF
NB ??
FaFaFaM zB ???? 2
FaM yB ??
沿 B+ 截面切开：
B
F
2Fa C
D
F
x
z
y
A B
2Fa C
D
TB+FSxB+
MyB+
F
B
C
D
2Fa
FF S x B ??剪力
扭矩 FaFaFaT
B ???? 2
弯矩
FaM yB ??
例 题 14-1 § I4 组合变形
?例题
沿 C+ 截面切开：
MzC+
F
C
D
F
x
z
y
A B
2Fa C
D
FSxC+
FF S x c ??剪力
弯矩 FaM
zC ??
§ 14.3 组合变形典型之一 —— 斜弯曲
斜弯曲 —— 梁上横向载荷的作用方向过横截面
的弯曲中心，但不与横截面形心主轴平行。
1.斜弯曲与对称弯曲、平面弯曲的区别：
§ 13中讨论过的 对称弯曲,
截面有一纵向对称轴（ y轴），载荷作用于纵向对
称面内。
§ 13中讨论过的 平面弯曲,
截面虽无纵向对称轴，但载荷作用面过弯曲中
心，且平行于截面的形心惯性主轴。
o o
对称弯曲、平面弯曲 —— 中性轴都与载荷平面垂直
EI
M
dx
wd
bI
SF
I
My
z
zS ????
?
2
2
,,??
截面有纵向对称轴，但载
荷不作用在纵向对称面内
截面无纵向对称轴，载荷过弯曲
中心，但不平行于形心惯性主轴
斜弯曲
（双向弯曲）
? F
o
?F
斜弯曲可分解为截面两个相互
垂直的形心主惯性平面内的弯曲
? F
o
?F
若载荷不过弯曲中心，且不平行于主惯性平面
—— 可将载荷平移致弯曲中心,为斜弯曲 +扭转
? F
c
?F
T T
例 题 14-2 § I4 组合变形
?例题
F
x
y
z
L
A B
?
矩形截面梁的斜弯曲 y
z
F ?
解：
外力过弯曲中心（即形心），但外力作用线不与
形心主惯性轴重合,将其沿两个主惯性轴分解。
产生以 z 为中性轴的弯曲，?cosF
?sinF 产生以 y 为中性轴的弯曲，
?cosF
?sinF
1.分解
例 题 14-2 § I4 组合变形
?例题
F
x
y
z
L
A B
?
y
z
F ? ?cosF
?sinF
2.分算
x
y
?cosF
L
x
弯矩,)(co s)( xLFxM
z ?? ?
x截面上任意点处 (y,z)的正应力：
zz
z
I
yxLF
I
yM )(c o s ?????? ??
（ y,z）
（ 1） 产生以?cosF
z 为中性轴的弯曲
?cosFL
例 题 14-2 § I4 组合变形
?例题
F
x
y
z
L
A B
?
y
z
F ? ?cosF
?sinF
弯矩,)(s i n)( xLFxM
y ?? ?
x截面上任意点处 (y,z)的正应力：
yy
y
I
zxLF
I
zM )(s i n ??????? ??
（ y,z）
（ 2） 产生以?sinF
y 为中性轴的弯曲
x
z
?sinF
L
x
?sinFL
例 题 14-2 § I4 组合变形
?例题
F
x
y
z
L
A B
?
y
z
F ? ?cosF
?sinF
x截面上任意点处 (y,z)的总正应力：
)
s inc o s
)((
)(s in)(c o s
yz
yz
I
z
I
y
xLF
I
zxLF
I
yxLF
??
??
???
????
?
?
?
???????
（ y,z）
0,0 ????? ??0,0 ????? ??
0,0 ????? ?? 0,0 ????? ??
?sinF
?cosF
x
z
L
x
z
3.叠加
总应力是 y,z的线性函数，在截面上分布为一斜平面
2.斜弯曲的特点
(1)斜弯曲的中性轴位置
中性轴 —— 由截面上弯曲正应力为零的点组成
令 0??
0s inc o s ?? z
I
y
I yz
??
上式为中性轴应满足的方程，
为一条过原点的直线
y
z
F ?
中性轴的斜率为：
?? t a nt a n
y
z
I
I
z
y ???
?
)s i nc o s)((
yz I
z
I
yxLF ??? ????斜弯曲的应力
中性轴与载荷垂直 —— 平面弯曲
?? t a nt a n
y
z
I
I
z
y ???中性轴的斜率为：
y
z
F ?
?
若 ?? ??
yz II
则
?? ?? yz II
若 则
中性轴与载荷不垂直 —— 斜弯曲
例如：圆形、正多边形截面均有
yz II ?
故总是平面弯曲！F
?
?
F
y
z
例如：圆形、正多边形截面均有
yz II ?
故总是平面弯曲！
F?
?
F
y
z
F
y
z
My
Mz
y
z
M总
Wm a x
总M??
对圆截面轴
（ 2）中性轴把截面划分为拉应力区和压应力区
y
z
F ?
?
拉应力区
压应力区
0??
（ 3）斜弯曲梁的强度计算
正确找出危险截面,在危险截面上正确找出危险点
危险点 —— 距中性轴最远的点
外凸尖角处
截面周边平行于
中性轴的切线与
周边的切点
?max?
?max?
F
0??
?max?
?max?
y
z
F ? ?cosF
?sinF
b
h
F
yzy
y
z
z
W
LF
W
LF
W
M
W
M ??
? s i nc o sm a xm a xm a x ?????
yzy
y
z
z
W
LF
W
LF
W
M
W
M ??
? s inc o sm a xm a xm a x ???????
LFM z ?co sm a x ?
LFM y ?s i nm a x ?
危险截面在固支端：
例如：例 14.2中
F
若截面改为圆形，
危险点应力为何？
?max?
?max?
特别注意：圆形截面总是平面弯曲，且无尖点，
F?
?
F
y
z
F
y
z
My
Mz
y
z
M总
故危险点应力 应按矢量合成后的 M总 计算。
max?
22
zy MMM ??总
?max?
?max?
?max?
?max??max?
?max?
?max?
?max?
中性轴
总
W
M
m a x ??
对圆截面轴
强度条件：
? ? ? ????? ?? ???? m a xm a x
（ 4）斜弯曲的挠度
分别计算出两个方向的挠度分量后，按矢量
合成为总挠度。
22
zy www ??
wy
例如例 14.2
y
z
F ? ?cosF
?sinF
?wz
w
y
z
z
y EI
LFw
EI
LFw
3
s i n
3
c o s 33 ?? ??
??? t a nt a nt a n ????
y
z
y
z
I
I
w
w
?
?? ??
总挠度矢量方向总
是垂直于中性轴！
但一般不在载荷的作用面内！
§ 14.3 组合变形典型之二
—— 拉（压）弯组合、偏心拉压
拉（压）弯组合 —— 载荷为轴向力 +横向力（或轴向
平面内力偶）
偏心拉压 —— 所受轴向力作用线不与轴线重合
（偏心力）
拉弯组合
e
偏心拉伸
例 题 14-3 § I4 组合变形
?例题
矩形截面偏心拉伸
载荷作用在横截
面任意 （ yp,zp）
位置, 求与轴线
垂直的横截面上
任意点 （ y,z）
的应力 。
例 题 14-3 § I4 组合变形
?例题
解,偏心拉伸力 F向截面的形心 O处简化得1.分解
z
y
F?z
F
yFO
轴向拉力 F,xy平面内的力偶
Fz yFM ??
xz平面内的力偶
Fy zFM ??
y
z
F
My My
My
Mz
F
My
Mz
y
F
z
F
I
zFz
I
yFy
A
F
???
????????? ????
例 题 14-3 § I4 组合变形
?例题
z
y
F?z
F
yFOF
3.叠加
2.分算
y
F
y
y
z
F
z
z
I
zFz
I
zM
I
yFy
I
yM
A
F
?????
????
??
?
?
?
在任意横截面上的点（ y,z）处：
拉压正应力
以 z为中性轴
弯曲正应力
以 y为中性轴
弯曲正应力
例 题 14-3 § I4 组合变形
?例题
)1(
)
//
1(
22
z
i
z
y
i
y
A
F
z
AI
z
y
AI
y
A
F
I
zFz
I
yFy
A
F
y
F
z
F
y
F
z
F
y
F
z
F
???
???
?????
总应力为
截面上的中性轴：
01 22 ??? z
i
zy
i
y
y
F
z
F
令 0?? 得中性轴方程
z
y
F?z
F
yFOM
y
Mz
中性轴
ay
ax
F
z
y y
ia 2??
F
y
z z
ia 2??
截距
中性轴与偏心
拉力作用点分
布于形心两侧
例 题 14-3 § I4 组合变形
?例题
z
y
?F（ zF,yF）
O
中性轴
拉应力区
压应力区
?max?
?max?
中性轴将截面划分为受拉
区和受压区：
危险点：外凸尖点，或周边
平行于中性轴的切线切点。
中性轴
截面核心的概念：
轴向压力 F 作用点若在靠近横截面
形心的某一区域内，则横截面上的
正应力均为压应力，该区域称为该
截面的核心。
F
z
y y
ia 2??
F
y
z z
ia 2??
截距
z
y
Fz
F
yFOM
y
Mz
中性轴
ay
ax
中性轴
h
b
h/6
b/6
D
D/4
此概念常用
于建筑结构
§ 14.3 组合变形典型之三 —— 弯扭组合
常见于各种传动轴、曲柄、空间折杆，载荷为横向力
或轴线平面内的力偶与横截面内的力偶共同作用
FT1 FT2
MT
已知曲拐 ABC的 AB段直
径 d及, 试写出校核
杆 AB强度时的强度条件。
][?
杆 AB为弯扭组合变形
l y
z
a
P
A
B
C
x
例 题 14-4 § I4 组合变形
?例题
解：
A
B
z
y
P
Pam ?
x
杆 BC 为弯曲变形
1.分解
危险截面为固支端 A
PlM
PaT
?
? Pa
T
P
M
Pl
PaT ?
A
B
z
y
P
PaM ?
x
例 题 14-4 § I4 组合变形
?例题
危险点为 K,K’
危险截面上的应力分布：
圆周边界上的扭转切应力最大：
PW
T??
W
M??水平直径两端的弯曲正应力最大：
A
B
z
y
P
PaM ?
x
K?
K
z
y
PW
T??
K
K?
z
y
W
M??
例 题 14-4 § I4 组合变形
?例题
2.叠加
22)
2(2 ?
?? ???
3
1
?
?
02 ??
K ?
危险点的应力状态为第三类危险点
K
?+
K
?
?=
例 题 14-4 § I4 组合变形
?例题
3.强度条件
][4 223 ???? ???r
][3 224 ???? ???r
A
B
z
y
P
PaM ?
x
][
)()(1
)(4)(
22
22
2222
3
?
?
?
?
?
?
?????
W
alP
W
PaPl
TM
WW
T
W
M
p
r
][
75.0
75.0
1
22
22
4
?
?
?
?
?
??
W
alP
TM
W
r
例 题 14-4 § I4 组合变形
?例题
圆轴弯曲正应力 3
32 dW
??
W
M?? 抗弯截面系数
162
3d
WW p ???圆轴扭转切应力
PW
T?? 抗扭截面系数
A
B
z
y
P
PaM ?
x
?45K K
z
y
例 题 14-5 § I4 组合变形
?例题
x
y
z 180 60
a
K
A B
C
DP2
P
圆截面直角拐 ABC处于水平面内，直径 d=20mm。测得 AB
杆上的 K点沿与轴线 45度方向的线应变为 （ K
点在水平直径的前端）。若材料,弹性模
量 E=200GPa,泊松比,且 P=200N。试用第三强
度理论校核该直角拐的强度（不计弯曲剪应力）。
5
45 10
10 ???
?? ?
解：
图M
P24.0
P36.0
Pa
图T
Pa危险截面可能在
截面 A或 B+处
例 题 14-5 § I4 组合变形
?例题
x
y
z 180 60
a
K
A B
C
DP2
P
画出杆的内力图
截面 A处的内力为,
AB段为扭 +斜弯曲
PaT ?
PM z 24.0?
PM y 36.0?
(单位
N·m)
BC段为弯曲
截面 B+处的内力为：
PaM B ??
例 题 14-5 § I4 组合变形
?例题
? ? ? ? PPPMMM yz 43.036.024.0 2222 ?????总
图M
P24.0
P36.0
Pa
图T
Pa
对圆截面杆的斜弯曲，应求出总弯矩后按平面弯曲计算：
A截面上的扭转：
A截面上的斜弯曲：
PP W
Pa
W
T ???
需要先求出 a =？
3
16 dW P
?? 3
32 dW
??
例 题 14-5 § I4 组合变形
?例题
? ? ? ? PPPMMM yz 43.036.024.0 2222 ?????总
x
y
?
?45
1?
3?
? ?? ? ??????? EE ????? 11 32145 ?
PP W
Pa
W
TE ??
?? ?
??
1
45 ?
?? ?1 ?? ??302 ??
P
WEa P?
?? ?
?
1
45 ?
? ?
mm40
200
20
16
25.01
101010200 353
?
?
?
?
???
?
? ?
?
K点处为纯剪切应力状态
? ? ? ?
M P a
PP
W
MT
W
r
110
43.004.0
1
1
22
22
3
?
??
???
总
?
例 题 14-5 § I4 组合变形
?例题
x
y
z 180 60
a
K
A B
C
DP2
P
图M
P24.0
P36.0
Pa
图T
Pa
PPaT 04.0???
PMMM yz 43.022 ???总
A截面：
B+截面：
PPaM B 04.0??? ?
根据第三强度理论，显然
危险截面应为 A截面
? ??? ?3r 安全
，皮带轮直径,mmD 300?
传动轴 ACB，电动机输出力矩,
皮带张力
21 2TT ?,轴用钢材的,M Pa160][ ??
根据第四强度理论设计传动轴的直径 d 。
例 题 14-6 § I4 组合变形
?例题
T1 T2
MtA
BC
2l 2l
例 题 14-6 § I4 组合变形
?例题
P
Mt
解,1.轴 AB外力的分解
T1 T2
MtA
BC
2l 2l
A
B
C
2l 2l
221 3 TTTP ???
tt MDT
DTDTM ????
2211 2
1
22?
Mt1 kNTP 203 2 ???
NDMT t 3
6
2 1067.63 0 0
1022 ??????
kN67.6?
杆的 AC段为弯曲，
CB段为弯 +扭。
外力向轴线处简化
例 题 14-6 § I4 组合变形
?例题
2.画内力图
mkNPlM ????? 14 2.0204
mkNMT t ??? 1
危险截面为 C
3.按强度条件设计 d
][75.01 224 ?? ??? TMWr
mmd 8.431 60 1075.01323
6
?? ???? ?
可取 mmd 44?
Pl/4
(M)
(T)
Mt
P
Mt
A
B
C
2l 2l
Mt1
=20kN
mkN ??1
例 题 14-7 § I4 组合变形
?例题
试按第三强度
理论校核齿轮
轴 AB的强度。
mmDmmD 1 3 0,50 21 ??
kNP y 83.3?
kNP z 3 9 3.1?
kNP y 4 7 3.1' ?
kNP z 5 3 6.0' ?
mmd 22?
M Pa180][ ??
50
50
50
x
y
z
yP
zP
zP?
yP?
1
2
A
E
C
B
D1
D2
d
解,1.分解
mmNDPM yt ??????? 5
3
1
1 10958.02
501083.3
2
mmNDPM yt ??????? 5
3
2'
2 10958.02
13010473.1
2
例 题 14-7 § I4 组合变形
?例题
将外力向 AB的轴线上简化
1tM 2tM
yP
zP
yP?
zP?
y
z
A
B
x
C E
2.分别画内力图
mmNM t ??? 52 109 5 8.0
)(T
例 题 14-7 § I4 组合变形
?例题
1tM 2tM
yP
zP
yP?
zP?
y
z
A
B
x
C E
扭矩图
例 题 14-7 § I4 组合变形
?例题
1tM 2tM
yP
zP
yP?
zP?
y
z
A
B
x
C E
铅垂面内
的弯矩图
y
yP yP?
523.1
125.1
)( zM
单位：
mmN ?510
例 题 14-7 § I4 组合变形
?例题
1tM 2tM
yP
zP
yP?
zP?
y
z
A
B
x
C E
z
zP zP? 水平面内
的弯矩图
375.0
0535.0
)( yM
单位：
mmN ?510
各截面双向弯曲的总弯矩
22 yz MMM ??总
)10( 5 mmNM ?总
568.1
130.1
危险截面
例 题 14-7 § I4 组合变形
?例题
1tM 2tM
yP
zP
yP?
zP?
y
z
A
B
x
C E
?C mmNT ??? 510958.0
mmNM ??? 5105 6 8.1
3.强度条件
][1 223 ?? ??? TMWr 332 dW ??
M p aM P ar 180][17610958.0568.12232 5223
3
??????? ???
安全 !
例 题 14-7 § I4 组合变形
?例题
1tM 2tM
yP
zP
yP?
zP?
y
z
A
B
x
C E
例 题 14-8 § I4 组合变形
?例题
折架结构 ABC水平放置,AB与 BC垂直,AB为圆形截
面，直径 D,试求,A截面圆周上与水平 y 轴成 60° 角
的直径相交点 K的主应力。
a
2P
P
x
y
z
2a A
B
C
y60°
K
A截面
z
D
例 题 14-8 § I4 组合变形
?例题
a
2P
P
x
y
z
2a A
B
C
y60°
K
A截面
z
D
AB段内力分析
外力向 B截面 简化如图
解：
2P
P
T=Pa y
z
x
A
例 题 14-8 § I4 组合变形
?例题
A截面内力
2P
P
T=Pa y
z
x
A
PaT
PaaPM
PaaPM
z
y
?
???
???
422
22
3
16
D
Pa
W
T
p ?
? ??
3
64)60c o s
2( D
PaD
I
M
z
z
M ?? ????
（拉）
3
332)60s in
2( D
PaD
I
M
y
y
M ?? ?????
（拉）
分别计算 K点各项应力：
60°
Mz
My
y
zK
T
例 题 14-8 § I4 组合变形
?例题
3
16
D
Pa
W
T
p ?
? ??
3
64)60c o s
2( D
PaD
I
M
z
zM
?? ????
（拉）
3
332)60s in
2( D
PaD
I
M
y
y
M ?? ?????
（拉）
K点的单元体为二向应力状态
K点的正应力叠加后为：
)32(32 3 ??????? DPaMM ????
???
?
???
?
??
?????
??
?
13.0
6.716)
2(2 3
22
3
1
D
aP
??
??
?
? 0
2 ??
K
?
?MM ??? ?????
60°
Mz
My
y
zK
T
另法：先将弯矩 Mz,My在 KL轴和其
垂直方向 QN投影
PaPaPa
MMM yzQN
)32(32
60s i n60c o s
????
????
)32(32 3 ???? D aPWM KL ??
3
16
D
aP
W
aP
p ?
? ????
Q
N
例 题 14-8 § I4 组合变形
?例题
K点仅有 MQN引起的弯曲正应力
及 T 引起的扭转切应力
60°
My
Mz
K
L
y
z
T
MKL MQN
§ 14.4 组合变形的一般情况
计算任意截面上的内力,找出危险截面
m
m
比如 m-m截面：
x
m
m
z
y
SzF
SyF
NF T
yM
zM
内力分量有
zySzSyN MMTFFF,,,,,
A
F N
N ??
p
T I
T?? ?
z
I
M
y
y
M ?
'? y
I
M
z
z
M ????
扭矩 T
内力, 轴力
NF
x
m
m
z
y
SzF
SyF
NF T
yM
zM
弯曲剪力
SzF SyF
弯矩 yMzM
bI
SF
z
zSy
w
?
??? （弯曲切应力一般可忽略）
bI
SF
y
ySz
w
?
????
