工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(5)
§ 3 复合运动
§ 3.1 绝对运动、相对运动、牵连运动
1,固定参考空间（ 定系 ） ----常与地球固连
绝对运动 ----研究对象相对于定系的运动
2,运动参考空间（ 动系 ） ----常固连于相对地球作平
面运动（平动、定轴转动、一般平面运动）的刚体上
研究对象 ----点 M的运动（ 动点 M） ---- 与选取的参考
空间有关
相对运动 ----研究对象相对于动系的运动
牵连运动 ----动系相对于定系的运动
3,复合运动 ---- 研究对象的绝对运动可分解为相对运
动与牵连运动的合成
绝对运动 = 相对运动 + 牵连运动
4,复合运动
的实例
5,本章的研究目的
工程机构各部件之间运动的传递通常是通过相互
间的 接触点 完成的。接触点有两种：
（ 1）两部件在 接触点无相对运动 ----该点有惟一的
轨迹、速度、加速度。
（ 2）两部件在 接触点有相对运动 ----该接触点实
际为 两个物质点,这两点的轨迹、速度、加速度
一般不完全相同 。
----应用本章复合运动的知识求解
----可用 § 2刚体平面运动的知识求解
O
A
B
O
A A点
顶板上的点 A
OA杆上的点 A’
A点 —— 唯一，既是杆 OA上的
点，又是杆 AB上的点
6,本章研究的关键
解题之前必须明确：
（ 1）研究对象 ----动点 是哪个刚体上的哪一点？
（ 2）参考系 定系：固连大地
动系, 与哪个运动的物体固连
（ 3）动点的 绝对运动、相对运动、牵连运动 各为如何？
§ 3.2 变矢量的绝对导数与相对导数
变矢量 —— 大小、方向随时间 t 变化的矢量)(ta?
变矢量的时间变化率（导数）与参考空间有关
O 定系
O’ 动系
t 时刻
)(ta?
O 定系
d?
t +?t 时刻动系相对定系转过 d?
)(ta?
)( tta ??? a??
)(ta?
a??~
ea
??
定系中,矢量的变化为 绝对变化 即 绝对增量, 绝对微分a?? ad?
动系中,矢量的变化为 相对变化 即 相对增量, 相对微分a??~ ad?~
eaaa ??? ????? ~
从图中可知 其中 为 大小不变，仅
方向随动系改变时的变化 e
a?? )(ta?
故
adadadadad e ?????? ?????? ~~
故有绝对导数与相对导数之间的关系
)(
~
ta
dt
d
dt
ad
dt
ad ?
???
????
即
a
dt
ad
dt
ad
e
???? ??? ?~ （ 3.1）
其中
dt
d
e
?? ??? 为动系 t 时刻相对定系的角速度矢量
特例：当动系相对于定系的牵连运动
为平动时，有 ?e=0，故
dt
ad
dt
ad ?? ~? 当 ?e=0 时 （ 3.2）
§ 3.3 点的复合运动的分析法求
解1, 动点的运动方程
研究对象：动点 M
定系：参考点 O，直角坐标系 OXi
动系：参考点 O’，直角坐标系 O’Xe
动点 M的绝对运动 )(trr ?? ?
动点 M的相对运动 )( trr ??? ??
动系的牵连运动 )( trr
OO ?? ?
??
)()()( trtrtr O ??? ? ???且 （ 3.3)
M
O
xi1
xi2
xi3
O’
xe1
xe2
xe3
M
O
xi1
xi2
xi3
O’
xe1
xe2
xe32,动点的速度、加速度
动点 M的绝对速度 (3.4)
dt
rdv
a
??
?
动点 M的绝对加速度
dt
vda a
a
??
?
（ 3.5)
动点 M的相对速度 (3.6)
dt
rdv
r
?? ?? ~
动点 M的相对加速度
dt
vda r
r
?? ~
?
(3.7)
3.分析法描述动点 M的运动方程、速度、加速度
动点 M 的绝对运动方程 ? ?)()()(
321 txtxtx iii
动点 M 的相对运动方程 ? ?
)()()( 321 txtxtx eee
动、定两坐标系的变换矩阵为正交矩阵 ? ?)(tQ
其中 （ 3.8）
jiij itetQ
?? ?? )()(
M
O
xi1
xi2
xi3
O’
xe1
xe2
xe3
两坐标系基矢量的变换关系为
? ? ? ?? ?itQte ?? )()( ?
? ? ? ? ? ?)()( tetQi T ?? ? (3.10)
(3.9)
不同参考系中的运动方程间关系为
? ? ? ? ? ? ? ?)()()()( txtQtxtx eTiOi ?? ?
? ? ? ? ? ? ? ?))()(()()( txtxtQtx iOie ??? (3.12)
(3.11)
由 (3.3)(3.9)(3.10)
O
xi1
xi2
xi3
O’
xe1
xe2
xe3
?
可选择动系的 xe1xe2平面平行于定系
的 xi1xi2平面，则牵连运动方程为
? ? ? ?)( txx iOiO ?? ? )(t?? ?,(3.13)
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
100
0c o ss i n
0s i nc o s
)( ??
??
tQ
坐标变换矩阵为
(3.14)
速度、加速度的分析法解析表达式见教材 § 3.3.2
§ 3.4 点的复合运动的矢量法求解
1,速度合成定理
M
O
xi1
xi2
xi3
O’
xe1
xe2
xe3
Or??
r? r?
?
动点 M，定系 O，动系 O’
由运动方程关系 (3.3))()()( trtrtr
O ??? ?
???
两边求绝对导数
dt
rd
dt
rd
dt
rd O ??? ? ???
根据速度的定义有
O
O v
dt
rd
?
? ? ?
? 动系参考点的绝对速度
而 为相对矢径的绝对导数，
dt
rd ?? 根据 (3.1)式，有
rvrdt rddtrd ere ?????????? ?????
??
??
~
动点相对速度
avdt
rd ?? ? 动点绝对速度
rvvv erOa ????? ? ????? ?故 (3.15)
记 牵连速度 为 (3.16)rvv
eOe ???? ?
???? ?
则 (3.15)变为
牵连速度的物理意义：
M
O
xi1
xi2
xi3
O’
xe1
xe2
xe3
Or??
r? r?
? 动系（一个刚体）上牵连点 m与
参考点 O’的两点速度关系即为
rvmOvv
vvv
eOeOe
OmOm
????????
??
?
? ??
?
??
??????
???
??
rea vvv
??? ??
(3.17)速度合成定理
动系中该瞬时与动点 M
重合的点 m（牵连点）
相对于定系的绝对速度
m
关于牵连点的实例：
动点：滑块 M，动系：固连于摇杆
任意瞬时的牵连点为 m
利用复合运动求解运动学问题的求解步骤
（ 1）选择适当的 动点与动系
同一题目，动点、动系的选择不惟一。
动点的选择 ----部件之间的接触点
----相交点，圆轮的圆心
动系的选择 ----注意：
b.相对运动的轨迹要清楚
a.动点对动系一定要有相对运动
（ 3）对动点写出 速度合成关系
rea vvv
??? ??
分析各速度矢量的方向、大小，求解矢量方程
（ 2）分析 动点的绝对运动轨迹, 相对运动轨迹 及 动系
相对于定系的牵连运动状态
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(5)
§ 3 复合运动
§ 3.1 绝对运动、相对运动、牵连运动
1,固定参考空间（ 定系 ） ----常与地球固连
绝对运动 ----研究对象相对于定系的运动
2,运动参考空间（ 动系 ） ----常固连于相对地球作平
面运动（平动、定轴转动、一般平面运动）的刚体上
研究对象 ----点 M的运动（ 动点 M） ---- 与选取的参考
空间有关
相对运动 ----研究对象相对于动系的运动
牵连运动 ----动系相对于定系的运动
3,复合运动 ---- 研究对象的绝对运动可分解为相对运
动与牵连运动的合成
绝对运动 = 相对运动 + 牵连运动
4,复合运动
的实例
5,本章的研究目的
工程机构各部件之间运动的传递通常是通过相互
间的 接触点 完成的。接触点有两种：
（ 1）两部件在 接触点无相对运动 ----该点有惟一的
轨迹、速度、加速度。
（ 2）两部件在 接触点有相对运动 ----该接触点实
际为 两个物质点,这两点的轨迹、速度、加速度
一般不完全相同 。
----应用本章复合运动的知识求解
----可用 § 2刚体平面运动的知识求解
O
A
B
O
A A点
顶板上的点 A
OA杆上的点 A’
A点 —— 唯一，既是杆 OA上的
点，又是杆 AB上的点
6,本章研究的关键
解题之前必须明确：
（ 1）研究对象 ----动点 是哪个刚体上的哪一点？
（ 2）参考系 定系：固连大地
动系, 与哪个运动的物体固连
（ 3）动点的 绝对运动、相对运动、牵连运动 各为如何？
§ 3.2 变矢量的绝对导数与相对导数
变矢量 —— 大小、方向随时间 t 变化的矢量)(ta?
变矢量的时间变化率（导数）与参考空间有关
O 定系
O’ 动系
t 时刻
)(ta?
O 定系
d?
t +?t 时刻动系相对定系转过 d?
)(ta?
)( tta ??? a??
)(ta?
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??
定系中,矢量的变化为 绝对变化 即 绝对增量, 绝对微分a?? ad?
动系中,矢量的变化为 相对变化 即 相对增量, 相对微分a??~ ad?~
eaaa ??? ????? ~
从图中可知 其中 为 大小不变，仅
方向随动系改变时的变化 e
a?? )(ta?
故
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故有绝对导数与相对导数之间的关系
)(
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dt
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即
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dt
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e
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其中
dt
d
e
?? ??? 为动系 t 时刻相对定系的角速度矢量
特例：当动系相对于定系的牵连运动
为平动时，有 ?e=0，故
dt
ad
dt
ad ?? ~? 当 ?e=0 时 （ 3.2）
§ 3.3 点的复合运动的分析法求
解1, 动点的运动方程
研究对象：动点 M
定系：参考点 O，直角坐标系 OXi
动系：参考点 O’，直角坐标系 O’Xe
动点 M的绝对运动 )(trr ?? ?
动点 M的相对运动 )( trr ??? ??
动系的牵连运动 )( trr
OO ?? ?
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M
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M
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xe32,动点的速度、加速度
动点 M的绝对速度 (3.4)
dt
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动点 M的绝对加速度
dt
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a
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（ 3.5)
动点 M的相对速度 (3.6)
dt
rdv
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动点 M的相对加速度
dt
vda r
r
?? ~
?
(3.7)
3.分析法描述动点 M的运动方程、速度、加速度
动点 M 的绝对运动方程 ? ?)()()(
321 txtxtx iii
动点 M 的相对运动方程 ? ?
)()()( 321 txtxtx eee
动、定两坐标系的变换矩阵为正交矩阵 ? ?)(tQ
其中 （ 3.8）
jiij itetQ
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M
O
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O’
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两坐标系基矢量的变换关系为
? ? ? ?? ?itQte ?? )()( ?
? ? ? ? ? ?)()( tetQi T ?? ? (3.10)
(3.9)
不同参考系中的运动方程间关系为
? ? ? ? ? ? ? ?)()()()( txtQtxtx eTiOi ?? ?
? ? ? ? ? ? ? ?))()(()()( txtxtQtx iOie ??? (3.12)
(3.11)
由 (3.3)(3.9)(3.10)
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可选择动系的 xe1xe2平面平行于定系
的 xi1xi2平面，则牵连运动方程为
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速度、加速度的分析法解析表达式见教材 § 3.3.2
§ 3.4 点的复合运动的矢量法求解
1,速度合成定理
M
O
xi1
xi2
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O’
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xe2
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Or??
r? r?
?
动点 M，定系 O，动系 O’
由运动方程关系 (3.3))()()( trtrtr
O ??? ?
???
两边求绝对导数
dt
rd
dt
rd
dt
rd O ??? ? ???
根据速度的定义有
O
O v
dt
rd
?
? ? ?
? 动系参考点的绝对速度
而 为相对矢径的绝对导数，
dt
rd ?? 根据 (3.1)式，有
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??
??
~
动点相对速度
avdt
rd ?? ? 动点绝对速度
rvvv erOa ????? ? ????? ?故 (3.15)
记 牵连速度 为 (3.16)rvv
eOe ???? ?
???? ?
则 (3.15)变为
牵连速度的物理意义：
M
O
xi1
xi2
xi3
O’
xe1
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Or??
r? r?
? 动系（一个刚体）上牵连点 m与
参考点 O’的两点速度关系即为
rvmOvv
vvv
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OmOm
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??
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??
??????
???
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(3.17)速度合成定理
动系中该瞬时与动点 M
重合的点 m（牵连点）
相对于定系的绝对速度
m
关于牵连点的实例：
动点：滑块 M，动系：固连于摇杆
任意瞬时的牵连点为 m
利用复合运动求解运动学问题的求解步骤
（ 1）选择适当的 动点与动系
同一题目，动点、动系的选择不惟一。
动点的选择 ----部件之间的接触点
----相交点，圆轮的圆心
动系的选择 ----注意：
b.相对运动的轨迹要清楚
a.动点对动系一定要有相对运动
（ 3）对动点写出 速度合成关系
rea vvv
??? ??
分析各速度矢量的方向、大小，求解矢量方程
（ 2）分析 动点的绝对运动轨迹, 相对运动轨迹 及 动系
相对于定系的牵连运动状态
