工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(23)
§ 10 应力应变分析及应力应变关系
§ 10.1 应力的概念 一点处的应力状态
1.内力在变形体内某一截面上分布的描述
T
M
用截面法求某一截面上的内力，得出该截面上的
内力分量,MTFF
SN,,,—— 截面分布内力系向截
面形心简化后的等效力系
为正确描述变形，应在
该截面上的每一点，描
述内力的状况。
xy
z
NF
SF
RF
?
CM
?
?A
?A
在 P点取面元 ?A,?A上分布内力合力为
在 m-m截面上 P点处定义：
F?? NF?
SF?
F??
SF?
NF?
A
F N
A ?
??
?? 0
lim?
m-m截面上 P
点的正应力
A
F S
A ?
??
?? 0
lim?
m-m截面上 P点的
切应力（剪应力）
A
Fp
A ?
??
??
?
?
0
lim
m-m截面上 P
点的全应力
??
p?
应力的单位,1Pa=1N/m2
1Mpa=106Pa
1Gpa=103Mpa=109Pa
2,变形体内某一点的应力状态 —— 应力张量的概念
正应力、切应力（或全应力） —— 均与 过物体内部的某
一点的一个截面 有关
过物体内部某点 p的所有截面上的应力分
量的总体，称为 变形体在该点的应力状态
描述变形体内部某点的应力状态，应用 二阶张量 描述
§ 10.2应力张量的表示方法（分量表示法）
1.单元体的概念
变形体内某点处取出的边长无限小的体积微元
在直角坐标系下，单元体为无限小正六面体
x
y
z
x
y
z
单元体的三对表面：
正面,外法向与坐标轴同向
负面,外法向与坐标轴反向
单元体是变形体
的最基本模型
2.应力张量的表示方法
单元体每个表面上，都有该点在该截面上的应力
矢量（全应力），可分解为三个分量
每对表面上的应力矢量互为反作用力，共 9个分量
x
y
z
x
y
z
各应力分量的记法
xy? 该分量的指向
所在面的法向
xy?
xz?
xx?
yy?
yz?
yx?
zy?
zz?
zx?
zy?
zz?
zx?
yy?
yz?
yx?
xy?
xz?
xx?
两脚标相同 —— 正应力
两脚标不同 —— 切应力
故应力张量的分量表示为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
???
???
???
?~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zzyzx
yzyyx
xzxyx
???
???
???
?~或
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zzyzx
yzyyx
xzxyx
???
???
???
?~或
若记 x=1,y=2,z=3,则
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
333231
232221
131211
~
???
???
???
?
3.单元体的平衡条件
x
y
z
xy?
xz?
xx?
yy?
yz?
yx?
zy?
zz?
zx?
xC
yC
zC
以单元体为分离体,过其形心 C作 xC,yC,zC轴：
0,0,0 ??? ? ?? CCC xyz MMM
yzzy ?? ?yxxy ?? ? zxxz ?? ?
jiij ?? ?
切应力互等定理
故应力张量为 二阶对称张量
9个分量中，只有 6个独立分量！
§ 10.3 平面应力状态分析
若某点的单元体应力状态满足：
9个应力分量有些为零，不为零的应力分量作用线都在
同一平面内 —— 称为 平面应力状态 或 二向应力状态
x
y
z
xy?
y?
yx?
x?
yx?
y?
xy?
x?
可简化为平面单元体：
x
y
xy?
y?
yx?
x?
yx?
y?
xy?
x?
例如当物体的表面不受力时在表面
取出的单元体
例如外力作用在板平面内的薄板内任意点
取出的单元体
1.平面应力状态的工程表示方法
x
y
x?
y?
y?
x?
y?
x?
y?
x?
正应力, 以拉为正
x? y?
切应力, 以使单元体顺
时针转动为正
x? y?
应力分量的正负号规定,
故切应力互等定理为：
yx ?? ??
2,平面应力状态分析 —— 解析法
若某点的应力状态已知，可求出该点任意
外法线与为 n的斜截面上的应力分量。
已知：某点单元体上的应力分量
xyx ???,,
x
y
x?
y?
y?
x?
y?
x?
y?
x?
n
?
??
??
求该点外法线为 n的斜截面 —— ?面上的正应力,
切应力 。
??
??
沿斜面将单元体切开取分离体，设斜面面积为 dA
??
??
x?
y?
x?
y?
0?? nF ??????? ? s i n)c o s(c o s)c o s( dAdAdA xx ??
0c o s)s i n(s i n)s i n( ??? ?????? dAdA xy
?
n
t
???????? ? 2s in2c o s22 xyxyx ?????
同理 可得：0?? tF
?????? ? 2c o s2s in2 xyx ???
斜面应力公式
???????? ? 2s in2c o s22 xyxyx ?????
?????? ? 2c o s2s in2 xyx ???
（ 10.1）
(10.2)
x
y
x?
y?
y?
x?
y?
x?
y?
x?
n
?
??
??
§ 10.4主平面、主方向、主应力、最大切应力
1,主平面 主方向 主应力
在变形体内某一点处：
若某一方向的斜截面上,则该截面称为 主平面0???
该斜截面的方向角 ?称为 主方向, 记为 ?P，
则有
02c o s2s in2 ???? ?????? ? xyx
(10.2)
0~2?内，得两个值 和,且
1P? 2P? ??? 9012 PP ??
yx
x
P ??
??
???
22t a n （ 10.3）主方向公式
即这两个主平面相互垂直
主平面上的正应力称为 主应力
由斜面应力公式（ 10.1） ????????
? 2s in2c o s22 x
yxyx ?????
02c o s22s in22 ???
?
?
???
? ???? ?????
?
? ?
x
yx
d
d令
yx
x
??
??
???
22t a n 即（ 10.3）式同样有
故，主平面上的正应力达到极值
即主应力分别对应于 ??的极大值和极小值
将 ?P1,?P2代入（ 10.1）得出主平面上的主应力为：
2
2
22 x
yxyx ?????
?
?
???
?
?
???
? ????
??
? （ 10.4)主应力公式
以主平面为单元体的各面则称为主单元体
x
y
x?
y?
y?
x? 1P?
2P?
??
??
从变形体内任意点取出的单元体称为原始单元体
主单元体的各表面上只
有正应力，没有切应力
对平面应力状态,z平
面也为一个主平面，
其上的主应力为零。
故平面应力状态有三个
主应力,???????
按代数值大小排列为 ?1??2 ??3
分别称为 第一主应力，第二主应力，第三主应力，
对任意的一般应力状态，同样存在着三个相互垂
直的主平面及三个主应力。
一般应力状态的分类；
某点的三个主应力全不为零 —— 该点为三向应力状态
某点有一个主应力为零 —— 该点为二向应力状态
某点有二个主应力为零 —— 该点为单向应力状态，简
单应力状态
某点处所有截面上的正应力，其极大值为 ?1，
极小值为 ?3
单向、双向、三向应力状态
2,某点单元体的最大切应力
?????? ? 2c o s2s in2 xyx ???
由斜面应力公式 求导(10.2)
02s in22c o s)( ???? ??????? ? xyxdd
P
yx
x
S ???
?? 2t a n22c o t ??
???
上式的两个解 ?S1,?S2为切应力达到极值的平面
?S与主平面 ?P相差 45o，即 ?P1与 ?P2的角平分线
方向为 ?S1和 ?S2的方向。切应力的极值为：
2
??? ?????
Pi
?P
?S45o
x
??
??
?Pi
注意 同理，某点的三个主应力中，任意二个主应力都可找出一组切应力极值，分别为：
该点单元体的最大切应力 应为三者当中的最大者，即
2
31
m a x
??? ?? （ 10.5）
2
32
1
??? ??
P
2
31
2
??? ??
P 2
21
3
??? ??
P
主切应力
1?
2?
3? 所在平面
3P?
1?
2?
3?
2P?
所在平面
1?
2?
3?
1P? 所在平面
而最大切应力所在平面的法向应为 ?1,?3两方向
的角平分线方向。
?3
?2
?1
?max
思考题,最大切应力所在
平面上的正应力是多少？
? =？
已知初始单元体的应力 (单位,Mpa)，
求主单元体上的应力并画出主单元体。
解：
M P a10905040304040 22
??
?
?????????
?
??
?
?
?
30
80
x
y
例 题 1
§ 10 应力应变分析与应力应变关系
?例题
M P a80?x? 0?y? M P a30??x?
由初始单元体上的应力分量
代入主应力公式：
故三个主应力分别为 M p aM p a 10,0,90
321 ???? ???
2
2
22 x
yxyx ?????
?
? ?
???
?
???
? ????
??
?
?45.181 ?P? ?55.712 ??P?
4
3
80
602ta n ??
P?
求主方向：
例 题 1
§ 10 应力应变分析与应力应变关系?例题
45.18
x
??
??
?55.71?
§ 10.5 应力圆
一点处平面应力状态的图解法。
x
y
x?
y?
y?
x?
y?
x?
y?
x?
由斜面应力公式可得
?????? ? 2c o s2s in2 xyx ???
?
?
???
? ?? (b)
???????? ? 2s in2c o s22 xyxyx ???
?
?
???
? ???? (a)
上两式两边平方后相加
2
2
2
2
22 x
yxyx ???????
?? ????
?
???
? ???
???
?
???
? ??
圆的方程：圆心 ( )
02,yx ?? ?
圆的半径,22
2 x
yx )(R ??? ???
22
2
2
Ryx ????
?
?
???
? ??
?? ?
???
上式在应力坐标系 中为一圆，称为 应力圆 (莫尔圆 )?? ?? ?
O ??
??
圆心 ( )
02,yx ?? ?
2 yx
?? ?
圆的半径,22
2 x
yx )(R ??? ???
? ?xxx,D ??
? ?xyy,D ?? ?
C
R
应力圆的画法：
x
y
x?
y?
y?
x?
y?
x?
y?
x?
已知某点的平面应力状态为
xyx,,???
x面坐标 Dx（ ）
y面坐标 Dy（ ）
xx ??,
xy ?? ?,
两点连线与
轴的交点
为圆心 C?
?
以 CDx为半径画出应力圆
应力圆的物理意义：
圆周上任意一点的坐标值，为该点某一斜截面上
的正应力和切应力
x
y
x?
y?
y?
x?
y?
x?
y?
x?
??
??
?角以逆时针为正
O ??
??
? ?xxx,D ??
? ?xyy,D ?? ?
2 yx
?? ?
C
R2?),( ?? ??
因此，当 连续变化至 时，坐标
绕应力圆的圆心转一周,
? ?? ? ? ??? ??,
应力圆上一点，由 绕圆心转过 角，对应 截
面上的应力
Dx ?2 ?
? ??? ??,
O ??
??
? ?xxx,D ??
? ?xyy,D ?? ?
2 yx
?? ?
C
R
x
y
x?
y?
y?
x?
y?
x?
y?
x?
??
??
2?),( ?? ??
??
??
O C
2
yx ?? ?
2
yx ?? ?
? ?xy y
D
?? ?,
? ?xxxD ??,
??
12P?
22 P?
??
pi?
?2
? ???? ??,D
从应力圆上还可找到：主应力，主方向，主切应力
主应力：
主方向：
zPP,,21 ?? 方向
0?? ???
0,,?? ??? 321,,???
最大切应力：
2
31
m a x
??? ??
??
??
O C
2 yx
?? ?
2 yx
?? ?
? ?xy yD?? ?,
? ?xxxD ??,
??
12P?
22P?
??
pi?
?2
? ???? ??,D
y
x
x?
y?
y?
x?
y?
x?
y?
x? 1P?
2P?
??
??
Pi?
单元体的主应力、主方向、主切应力
（ 2）纯剪切（纯剪）
TT
主单元体
45o?
?
?
?
?
-?
几种工程上常见的应力状态的实例：
（ 1）单向拉伸
（ 2）单向压缩
?
?
?
单拉
- ?
单压
??
??
某点单元体应力状态如图，确
定该点的主应力、主方向，画
出主单元体及其上的应力，并
在应力圆上标出图示截面上的
应力，（单位,）MPa
30
20
50
100
例 题 2
§ 10 应力应变分析与应力应变关系?例题
解,22 20
2
10030
2
10030 ??
?
??
?
? ????
?
?
?
??
?
?
? M Pa
6.24
3.1 0 5
??
??
? ? 7
1 0 030
2022ta n ??
?
???
P?
?8.292 2 ??P?
C
?80
12 P?
??
??
例 题 2 § 10 应力应变分析与应力应变关系
?例题
30
20
50
100
xD
20?
30
yD
100
??
??
22 P?
?9.142 ??? P? 与 ?2对应
主应力为,0,6.24,3.105
321 ??? ??? M p aM p a
?? 1.759021 ??? PP ?? 与 ?1对应
D?M Pa6.78
40 ???
M P a9.3740 ????
?40
主单元体：
?1.75
?9.14
Mpa7.24
M pa3.105
例 题 2 § 10 应力应变分析与应力应变关系
?例题
已知应力圆如图，画
出该点的初始单元体
及应力，主单元体及
应力。（单位,）MPa
解：
C 40
20
yD
xD
??
??
例 题 3 § 10 应力应变分析与应力应变关系
?例题
初始单元体
20
40 x
y
半径 28.28202 ??
? ? M P a28.48202122020 ???????
? ? ? ? M P a28.8201220220 ???????????
12t a n ?P?
??
??
5.1 1 2
5.22
2
1
P
P
?
?
主单元体：
例 题 3 § 10 应力应变分析与应力应变关系
?例题
C 40
20
yD
xD
??
??
20
40 x
y
28.48
28.8
?5.22
112.5°
x
z
y
§ 11.5 三向应力状态
将三个主应力按代数量的大
小顺序排列
321 ??? ??
因此根据每一点的应力状态
都可以找到 3个相互垂直的
主应力和 3个正交的主方向
x
z
y
2?
1?
3?
xy?
xz?
xx?
yy?
yz?
yx?
zy?
zz?
zx?
三向应力圆
空间任意方向截面上的应力, 可由三向应力圆所夹
阴影面中某点 的应力坐标表示。
? ?
K
一点处最大的剪应力
2
31
m a x
??? ??
3?
1?
2?
?
?
1?
3?
2? ?
?
K
?
?
1p?
3p?
max? 2p??
求,,,
1? 2? 3? max?
解：
在, 平面内x y
M P a
10
90504030
2
80
2
80 22
?
?
?
?
?????
?
??
?
???
?
?
?
??
?
?
?
30
80
50
x
y
z
例 题 4 § 10 应力应变分析与应力应变关系
?例题
M P a50??z? 为一个主应力
M P a901 ??
M P a102 ???
M P a503 ???
M Pa702 31m a x ??? ???
C
??
??
yD
xD
50? 10? 90
一点的变形有正应变 (线应变 ) 和切应变 (剪应变 ) ? ?
§ 11.6 应变分析
1,某点处（单元体的）变形的描述 —— 应变
x
y
z
正应变 —— 线段单位长度的改变量，无量纲
切 应变 —— 直角的改变量，单位：弧度 x? y? z?
yxxy ?? ? zyyz ?? ? xzzx ?? ?
某点处的应变 —— 二阶对称应变张量
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zzyzx
yzyyx
xzxyx
???
???
???
?
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
~
在, 坐标下x y
xu x ??? ? yv y ??? ?
2.平面应变状态 （与平面应力状态对应的）
单元体的相应尺寸与应变相乘得单元体的绝对变形量
x
y
x?
y?
y?
x?
y?
x?
y?
x?
x
y x?x? y?xyx ???,,
x
y
u?
x?
y?
v?u??
yu x ???? ?
x?
u?
?
x
y
x?
y?
在, 坐标下,方向到 方向夹角x? y? x x? ?
令,,与平面应力状态的分析
类似有 x?? ?? ?
yx ??? ?? ?
某点各个方位应变的情况称为该点的应变状态
?? ?? ? ?
? ?? ?
2
???????? ? 2s in22c o s22 xyxyx ?????
?????? ? 2c o s22s in22 xyx ???
应变分析公式
斜面应力公式
???????? ? 2s in2c o s22 xyxyx ?????
?????? ? 2c o s2s in2 xyx ???
（ 10.1）
(10.2)
22
222
?
?
??
?
??
???
?
???
? ?
?
?
?
?
?
?
??
?
xyxyx ?????
?
?
yx
x
??
??
?
??02t a n主应变方向：
类似，也可求出该点的主应变，主应变方向
应变花：
321 ??? ??
可证明：在应力或变形不是很大的情况下（线弹性范
围）主应力与主应变 的方向是重合的。
可用于实验测定一点处
的应变状态
xyx ???,,
11 2s in22c o s221 ?
???????
?
xyxyx ?????
22 2s in22c o s222 ?
???????
?
xyxyx ?????
33 2s in22c o s223 ?
???????
?
xyxyx ?????
0?
120?
60?
45?
0?
90?
45
°
45°
胡克定律 ?? E?
比例系数 称为材料的 弹性模量E
??? ????
比例系数 称为泊松比?
??? ???
2
10 ?? ?
§ 11.7 应力应变关系
1.单向应力状态
0? 0
?
横向应变 ??纵向应变 ?
?
??1
在线弹性范围内 ?? G?
剪切胡克定律 —— 切变模量
G
可证明
? ???? 12
EG
?
?
2.纯剪应力状态
只有 作用时
x?
E
x
x
?? ?
E
x
y
??? ??
E
x
z
??? ??
3.广义胡克定律
z?
y?
x?
xy?
E
y
y
?? ?
E
y
x
??? ??
E
y
z
??? ??
只有 作用时y? 只有 作用时z?
E
z
x
??? ??
E
z
y
??? ??
E
z
z
?? ?
只有 作用时zxyzxy ???,,
G
ij
ij
?? ?
0? 0
?
? ?? ?
? ?? ?
? ?? ?
广义胡克定律
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
G
E
E
E
ij
ij
yxzz
xzyy
zyxx
?
?
?????
?????
?????
1
1
1
故某点为任意应力状态时应满足：
对主单元体
1?
2?
3?
? ?? ?3211 1 ????? ??? E
? ?? ?1322 1 ????? ??? E
? ?? ?2133 1 ????? ??? E
已知一构件表面一点的应变：
40 1012 ????
490 106 ?????
445 105.1 ?????
G P aE 2 0 0? 3.0??
求该点的主应力和最大切应力。
0?
45?90
?
例 题 5
§ 10 应力应变分析与应力应变关系?例题
解：
则 ?? 90s in
290c o s2245
xyxyx ?????? ?????
? ? 44
45
10910)5.12612(
2
?? ????????
??? ???? yxx
? ? xxx
EG ?
??? ??? 12
M P a2.691093.12 10200 4
3
???? ?? ?
y?
x?
x?
例 题 5
§ 10 应力应变分析与应力应变关系?例题
0?? ?x 90?? ?y
设
0?
45?90
?
x
y
? ?yxx E ???? ?? 1 ? ?xyy E ???? ?? 1
整理后
M Pa2.2 2 41 2 ???? ? ???? yxx EE
M P a7.521 2 ????? ? ???? xyy EE
M P a1.69 5.2408.1547.852.695.1387.85 22
?
?
?
?????????
?
??
?
?
?
例 题 5 § 10 应力应变分析与应力应变关系
?例题
M P a5.2401 ?? 02 ?? M P a1.693 ???
M Pa8.1542 31m a x ??? ???
平面应力状态下的广义胡克定律
某点的应力状态为纯剪切，在该点
测得与 x轴夹角为 -45?方向上的正
应变是,已知,求
45? ??,E
解：
? ?3145 1 ???? ?? E ? ???? ?? E1
?
??
?? 1
45E
例 题 6
§ 10 应力应变分析与应力应变关系?例题
? x
y
由该点主方向上的广义胡克定律：
由于纯剪切的主方向为与 x轴夹角 ± 45o方向，
主应力为 ?, 0,-?
?45
y
x
?
?
取一体积为 的单元体,受应力作用变形。abcV ?
? ?? ?? ?ccbbaaVV ?????????
? ?? ?? ?321 111 ??? ???? a b c
? ?3211 ??? ???? a b c
4.体积变形
a
c
b
3?
2?
1?
变形后的体积：
aa 1??? bb 2??? cc 3???
各边长的改变量为：
单位体积的改变量
V
V
V
VVV ?????????
321 ????
321 ???? ??? ? ?321
21 ???? ????
E
代入广义胡克定律
体积应变
令 ? ?
3213
1 ???? ???
m 称为该点应力的平均应力
设
? ??213 ??
EK 称为 体变模量
321 ???? ??? ? ?321
21 ???? ????
E
对非主单元体由于剪应变不改变单元体的体积，
上式仍成立。
则 ?? K
m ?
Km?? ?
或 体积应变定律
此时
zyx ???? ???
? ?
3zyxm
???? ???
证明弹性模量与切变模量、泊松比间的关系
? ???? 12
EG
证明：取一纯剪单元体（正方形）
例 题 7 § 10 应力应变分析与应力应变关系
?例题
x??? ?
22
45c o s
45c o s
45
?
? ?
?
?
?
?
?
??
?
??
???
xxBD
BDDB
? ? ?????? EE ?????? 11 3145
?? G?
G245
?? ?
??
? ???? 12
EG则
?
A
B C
D
?
x?
?
D? ?
?
非零主应力分别为,?,-?,主方向为 ± 45o方向
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(23)
§ 10 应力应变分析及应力应变关系
§ 10.1 应力的概念 一点处的应力状态
1.内力在变形体内某一截面上分布的描述
T
M
用截面法求某一截面上的内力，得出该截面上的
内力分量,MTFF
SN,,,—— 截面分布内力系向截
面形心简化后的等效力系
为正确描述变形，应在
该截面上的每一点，描
述内力的状况。
xy
z
NF
SF
RF
?
CM
?
?A
?A
在 P点取面元 ?A,?A上分布内力合力为
在 m-m截面上 P点处定义：
F?? NF?
SF?
F??
SF?
NF?
A
F N
A ?
??
?? 0
lim?
m-m截面上 P
点的正应力
A
F S
A ?
??
?? 0
lim?
m-m截面上 P点的
切应力（剪应力）
A
Fp
A ?
??
??
?
?
0
lim
m-m截面上 P
点的全应力
??
p?
应力的单位,1Pa=1N/m2
1Mpa=106Pa
1Gpa=103Mpa=109Pa
2,变形体内某一点的应力状态 —— 应力张量的概念
正应力、切应力（或全应力） —— 均与 过物体内部的某
一点的一个截面 有关
过物体内部某点 p的所有截面上的应力分
量的总体，称为 变形体在该点的应力状态
描述变形体内部某点的应力状态，应用 二阶张量 描述
§ 10.2应力张量的表示方法（分量表示法）
1.单元体的概念
变形体内某点处取出的边长无限小的体积微元
在直角坐标系下，单元体为无限小正六面体
x
y
z
x
y
z
单元体的三对表面：
正面,外法向与坐标轴同向
负面,外法向与坐标轴反向
单元体是变形体
的最基本模型
2.应力张量的表示方法
单元体每个表面上，都有该点在该截面上的应力
矢量（全应力），可分解为三个分量
每对表面上的应力矢量互为反作用力，共 9个分量
x
y
z
x
y
z
各应力分量的记法
xy? 该分量的指向
所在面的法向
xy?
xz?
xx?
yy?
yz?
yx?
zy?
zz?
zx?
zy?
zz?
zx?
yy?
yz?
yx?
xy?
xz?
xx?
两脚标相同 —— 正应力
两脚标不同 —— 切应力
故应力张量的分量表示为：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
???
???
???
?~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zzyzx
yzyyx
xzxyx
???
???
???
?~或
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zzyzx
yzyyx
xzxyx
???
???
???
?~或
若记 x=1,y=2,z=3,则
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
333231
232221
131211
~
???
???
???
?
3.单元体的平衡条件
x
y
z
xy?
xz?
xx?
yy?
yz?
yx?
zy?
zz?
zx?
xC
yC
zC
以单元体为分离体,过其形心 C作 xC,yC,zC轴：
0,0,0 ??? ? ?? CCC xyz MMM
yzzy ?? ?yxxy ?? ? zxxz ?? ?
jiij ?? ?
切应力互等定理
故应力张量为 二阶对称张量
9个分量中，只有 6个独立分量！
§ 10.3 平面应力状态分析
若某点的单元体应力状态满足：
9个应力分量有些为零，不为零的应力分量作用线都在
同一平面内 —— 称为 平面应力状态 或 二向应力状态
x
y
z
xy?
y?
yx?
x?
yx?
y?
xy?
x?
可简化为平面单元体：
x
y
xy?
y?
yx?
x?
yx?
y?
xy?
x?
例如当物体的表面不受力时在表面
取出的单元体
例如外力作用在板平面内的薄板内任意点
取出的单元体
1.平面应力状态的工程表示方法
x
y
x?
y?
y?
x?
y?
x?
y?
x?
正应力, 以拉为正
x? y?
切应力, 以使单元体顺
时针转动为正
x? y?
应力分量的正负号规定,
故切应力互等定理为：
yx ?? ??
2,平面应力状态分析 —— 解析法
若某点的应力状态已知，可求出该点任意
外法线与为 n的斜截面上的应力分量。
已知：某点单元体上的应力分量
xyx ???,,
x
y
x?
y?
y?
x?
y?
x?
y?
x?
n
?
??
??
求该点外法线为 n的斜截面 —— ?面上的正应力,
切应力 。
??
??
沿斜面将单元体切开取分离体，设斜面面积为 dA
??
??
x?
y?
x?
y?
0?? nF ??????? ? s i n)c o s(c o s)c o s( dAdAdA xx ??
0c o s)s i n(s i n)s i n( ??? ?????? dAdA xy
?
n
t
???????? ? 2s in2c o s22 xyxyx ?????
同理 可得：0?? tF
?????? ? 2c o s2s in2 xyx ???
斜面应力公式
???????? ? 2s in2c o s22 xyxyx ?????
?????? ? 2c o s2s in2 xyx ???
（ 10.1）
(10.2)
x
y
x?
y?
y?
x?
y?
x?
y?
x?
n
?
??
??
§ 10.4主平面、主方向、主应力、最大切应力
1,主平面 主方向 主应力
在变形体内某一点处：
若某一方向的斜截面上,则该截面称为 主平面0???
该斜截面的方向角 ?称为 主方向, 记为 ?P，
则有
02c o s2s in2 ???? ?????? ? xyx
(10.2)
0~2?内，得两个值 和,且
1P? 2P? ??? 9012 PP ??
yx
x
P ??
??
???
22t a n （ 10.3）主方向公式
即这两个主平面相互垂直
主平面上的正应力称为 主应力
由斜面应力公式（ 10.1） ????????
? 2s in2c o s22 x
yxyx ?????
02c o s22s in22 ???
?
?
???
? ???? ?????
?
? ?
x
yx
d
d令
yx
x
??
??
???
22t a n 即（ 10.3）式同样有
故，主平面上的正应力达到极值
即主应力分别对应于 ??的极大值和极小值
将 ?P1,?P2代入（ 10.1）得出主平面上的主应力为：
2
2
22 x
yxyx ?????
?
?
???
?
?
???
? ????
??
? （ 10.4)主应力公式
以主平面为单元体的各面则称为主单元体
x
y
x?
y?
y?
x? 1P?
2P?
??
??
从变形体内任意点取出的单元体称为原始单元体
主单元体的各表面上只
有正应力，没有切应力
对平面应力状态,z平
面也为一个主平面，
其上的主应力为零。
故平面应力状态有三个
主应力,???????
按代数值大小排列为 ?1??2 ??3
分别称为 第一主应力，第二主应力，第三主应力，
对任意的一般应力状态，同样存在着三个相互垂
直的主平面及三个主应力。
一般应力状态的分类；
某点的三个主应力全不为零 —— 该点为三向应力状态
某点有一个主应力为零 —— 该点为二向应力状态
某点有二个主应力为零 —— 该点为单向应力状态，简
单应力状态
某点处所有截面上的正应力，其极大值为 ?1，
极小值为 ?3
单向、双向、三向应力状态
2,某点单元体的最大切应力
?????? ? 2c o s2s in2 xyx ???
由斜面应力公式 求导(10.2)
02s in22c o s)( ???? ??????? ? xyxdd
P
yx
x
S ???
?? 2t a n22c o t ??
???
上式的两个解 ?S1,?S2为切应力达到极值的平面
?S与主平面 ?P相差 45o，即 ?P1与 ?P2的角平分线
方向为 ?S1和 ?S2的方向。切应力的极值为：
2
??? ?????
Pi
?P
?S45o
x
??
??
?Pi
注意 同理，某点的三个主应力中，任意二个主应力都可找出一组切应力极值，分别为：
该点单元体的最大切应力 应为三者当中的最大者，即
2
31
m a x
??? ?? （ 10.5）
2
32
1
??? ??
P
2
31
2
??? ??
P 2
21
3
??? ??
P
主切应力
1?
2?
3? 所在平面
3P?
1?
2?
3?
2P?
所在平面
1?
2?
3?
1P? 所在平面
而最大切应力所在平面的法向应为 ?1,?3两方向
的角平分线方向。
?3
?2
?1
?max
思考题,最大切应力所在
平面上的正应力是多少？
? =？
已知初始单元体的应力 (单位,Mpa)，
求主单元体上的应力并画出主单元体。
解：
M P a10905040304040 22
??
?
?????????
?
??
?
?
?
30
80
x
y
例 题 1
§ 10 应力应变分析与应力应变关系
?例题
M P a80?x? 0?y? M P a30??x?
由初始单元体上的应力分量
代入主应力公式：
故三个主应力分别为 M p aM p a 10,0,90
321 ???? ???
2
2
22 x
yxyx ?????
?
? ?
???
?
???
? ????
??
?
?45.181 ?P? ?55.712 ??P?
4
3
80
602ta n ??
P?
求主方向：
例 题 1
§ 10 应力应变分析与应力应变关系?例题
45.18
x
??
??
?55.71?
§ 10.5 应力圆
一点处平面应力状态的图解法。
x
y
x?
y?
y?
x?
y?
x?
y?
x?
由斜面应力公式可得
?????? ? 2c o s2s in2 xyx ???
?
?
???
? ?? (b)
???????? ? 2s in2c o s22 xyxyx ???
?
?
???
? ???? (a)
上两式两边平方后相加
2
2
2
2
22 x
yxyx ???????
?? ????
?
???
? ???
???
?
???
? ??
圆的方程：圆心 ( )
02,yx ?? ?
圆的半径,22
2 x
yx )(R ??? ???
22
2
2
Ryx ????
?
?
???
? ??
?? ?
???
上式在应力坐标系 中为一圆，称为 应力圆 (莫尔圆 )?? ?? ?
O ??
??
圆心 ( )
02,yx ?? ?
2 yx
?? ?
圆的半径,22
2 x
yx )(R ??? ???
? ?xxx,D ??
? ?xyy,D ?? ?
C
R
应力圆的画法：
x
y
x?
y?
y?
x?
y?
x?
y?
x?
已知某点的平面应力状态为
xyx,,???
x面坐标 Dx（ ）
y面坐标 Dy（ ）
xx ??,
xy ?? ?,
两点连线与
轴的交点
为圆心 C?
?
以 CDx为半径画出应力圆
应力圆的物理意义：
圆周上任意一点的坐标值，为该点某一斜截面上
的正应力和切应力
x
y
x?
y?
y?
x?
y?
x?
y?
x?
??
??
?角以逆时针为正
O ??
??
? ?xxx,D ??
? ?xyy,D ?? ?
2 yx
?? ?
C
R2?),( ?? ??
因此，当 连续变化至 时，坐标
绕应力圆的圆心转一周,
? ?? ? ? ??? ??,
应力圆上一点，由 绕圆心转过 角，对应 截
面上的应力
Dx ?2 ?
? ??? ??,
O ??
??
? ?xxx,D ??
? ?xyy,D ?? ?
2 yx
?? ?
C
R
x
y
x?
y?
y?
x?
y?
x?
y?
x?
??
??
2?),( ?? ??
??
??
O C
2
yx ?? ?
2
yx ?? ?
? ?xy y
D
?? ?,
? ?xxxD ??,
??
12P?
22 P?
??
pi?
?2
? ???? ??,D
从应力圆上还可找到：主应力，主方向，主切应力
主应力：
主方向：
zPP,,21 ?? 方向
0?? ???
0,,?? ??? 321,,???
最大切应力：
2
31
m a x
??? ??
??
??
O C
2 yx
?? ?
2 yx
?? ?
? ?xy yD?? ?,
? ?xxxD ??,
??
12P?
22P?
??
pi?
?2
? ???? ??,D
y
x
x?
y?
y?
x?
y?
x?
y?
x? 1P?
2P?
??
??
Pi?
单元体的主应力、主方向、主切应力
（ 2）纯剪切（纯剪）
TT
主单元体
45o?
?
?
?
?
-?
几种工程上常见的应力状态的实例：
（ 1）单向拉伸
（ 2）单向压缩
?
?
?
单拉
- ?
单压
??
??
某点单元体应力状态如图，确
定该点的主应力、主方向，画
出主单元体及其上的应力，并
在应力圆上标出图示截面上的
应力，（单位,）MPa
30
20
50
100
例 题 2
§ 10 应力应变分析与应力应变关系?例题
解,22 20
2
10030
2
10030 ??
?
??
?
? ????
?
?
?
??
?
?
? M Pa
6.24
3.1 0 5
??
??
? ? 7
1 0 030
2022ta n ??
?
???
P?
?8.292 2 ??P?
C
?80
12 P?
??
??
例 题 2 § 10 应力应变分析与应力应变关系
?例题
30
20
50
100
xD
20?
30
yD
100
??
??
22 P?
?9.142 ??? P? 与 ?2对应
主应力为,0,6.24,3.105
321 ??? ??? M p aM p a
?? 1.759021 ??? PP ?? 与 ?1对应
D?M Pa6.78
40 ???
M P a9.3740 ????
?40
主单元体：
?1.75
?9.14
Mpa7.24
M pa3.105
例 题 2 § 10 应力应变分析与应力应变关系
?例题
已知应力圆如图，画
出该点的初始单元体
及应力，主单元体及
应力。（单位,）MPa
解：
C 40
20
yD
xD
??
??
例 题 3 § 10 应力应变分析与应力应变关系
?例题
初始单元体
20
40 x
y
半径 28.28202 ??
? ? M P a28.48202122020 ???????
? ? ? ? M P a28.8201220220 ???????????
12t a n ?P?
??
??
5.1 1 2
5.22
2
1
P
P
?
?
主单元体：
例 题 3 § 10 应力应变分析与应力应变关系
?例题
C 40
20
yD
xD
??
??
20
40 x
y
28.48
28.8
?5.22
112.5°
x
z
y
§ 11.5 三向应力状态
将三个主应力按代数量的大
小顺序排列
321 ??? ??
因此根据每一点的应力状态
都可以找到 3个相互垂直的
主应力和 3个正交的主方向
x
z
y
2?
1?
3?
xy?
xz?
xx?
yy?
yz?
yx?
zy?
zz?
zx?
三向应力圆
空间任意方向截面上的应力, 可由三向应力圆所夹
阴影面中某点 的应力坐标表示。
? ?
K
一点处最大的剪应力
2
31
m a x
??? ??
3?
1?
2?
?
?
1?
3?
2? ?
?
K
?
?
1p?
3p?
max? 2p??
求,,,
1? 2? 3? max?
解：
在, 平面内x y
M P a
10
90504030
2
80
2
80 22
?
?
?
?
?????
?
??
?
???
?
?
?
??
?
?
?
30
80
50
x
y
z
例 题 4 § 10 应力应变分析与应力应变关系
?例题
M P a50??z? 为一个主应力
M P a901 ??
M P a102 ???
M P a503 ???
M Pa702 31m a x ??? ???
C
??
??
yD
xD
50? 10? 90
一点的变形有正应变 (线应变 ) 和切应变 (剪应变 ) ? ?
§ 11.6 应变分析
1,某点处（单元体的）变形的描述 —— 应变
x
y
z
正应变 —— 线段单位长度的改变量，无量纲
切 应变 —— 直角的改变量，单位：弧度 x? y? z?
yxxy ?? ? zyyz ?? ? xzzx ?? ?
某点处的应变 —— 二阶对称应变张量
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
zzyzx
yzyyx
xzxyx
???
???
???
?
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
~
在, 坐标下x y
xu x ??? ? yv y ??? ?
2.平面应变状态 （与平面应力状态对应的）
单元体的相应尺寸与应变相乘得单元体的绝对变形量
x
y
x?
y?
y?
x?
y?
x?
y?
x?
x
y x?x? y?xyx ???,,
x
y
u?
x?
y?
v?u??
yu x ???? ?
x?
u?
?
x
y
x?
y?
在, 坐标下,方向到 方向夹角x? y? x x? ?
令,,与平面应力状态的分析
类似有 x?? ?? ?
yx ??? ?? ?
某点各个方位应变的情况称为该点的应变状态
?? ?? ? ?
? ?? ?
2
???????? ? 2s in22c o s22 xyxyx ?????
?????? ? 2c o s22s in22 xyx ???
应变分析公式
斜面应力公式
???????? ? 2s in2c o s22 xyxyx ?????
?????? ? 2c o s2s in2 xyx ???
（ 10.1）
(10.2)
22
222
?
?
??
?
??
???
?
???
? ?
?
?
?
?
?
?
??
?
xyxyx ?????
?
?
yx
x
??
??
?
??02t a n主应变方向：
类似，也可求出该点的主应变，主应变方向
应变花：
321 ??? ??
可证明：在应力或变形不是很大的情况下（线弹性范
围）主应力与主应变 的方向是重合的。
可用于实验测定一点处
的应变状态
xyx ???,,
11 2s in22c o s221 ?
???????
?
xyxyx ?????
22 2s in22c o s222 ?
???????
?
xyxyx ?????
33 2s in22c o s223 ?
???????
?
xyxyx ?????
0?
120?
60?
45?
0?
90?
45
°
45°
胡克定律 ?? E?
比例系数 称为材料的 弹性模量E
??? ????
比例系数 称为泊松比?
??? ???
2
10 ?? ?
§ 11.7 应力应变关系
1.单向应力状态
0? 0
?
横向应变 ??纵向应变 ?
?
??1
在线弹性范围内 ?? G?
剪切胡克定律 —— 切变模量
G
可证明
? ???? 12
EG
?
?
2.纯剪应力状态
只有 作用时
x?
E
x
x
?? ?
E
x
y
??? ??
E
x
z
??? ??
3.广义胡克定律
z?
y?
x?
xy?
E
y
y
?? ?
E
y
x
??? ??
E
y
z
??? ??
只有 作用时y? 只有 作用时z?
E
z
x
??? ??
E
z
y
??? ??
E
z
z
?? ?
只有 作用时zxyzxy ???,,
G
ij
ij
?? ?
0? 0
?
? ?? ?
? ?? ?
? ?? ?
广义胡克定律
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
G
E
E
E
ij
ij
yxzz
xzyy
zyxx
?
?
?????
?????
?????
1
1
1
故某点为任意应力状态时应满足：
对主单元体
1?
2?
3?
? ?? ?3211 1 ????? ??? E
? ?? ?1322 1 ????? ??? E
? ?? ?2133 1 ????? ??? E
已知一构件表面一点的应变：
40 1012 ????
490 106 ?????
445 105.1 ?????
G P aE 2 0 0? 3.0??
求该点的主应力和最大切应力。
0?
45?90
?
例 题 5
§ 10 应力应变分析与应力应变关系?例题
解：
则 ?? 90s in
290c o s2245
xyxyx ?????? ?????
? ? 44
45
10910)5.12612(
2
?? ????????
??? ???? yxx
? ? xxx
EG ?
??? ??? 12
M P a2.691093.12 10200 4
3
???? ?? ?
y?
x?
x?
例 题 5
§ 10 应力应变分析与应力应变关系?例题
0?? ?x 90?? ?y
设
0?
45?90
?
x
y
? ?yxx E ???? ?? 1 ? ?xyy E ???? ?? 1
整理后
M Pa2.2 2 41 2 ???? ? ???? yxx EE
M P a7.521 2 ????? ? ???? xyy EE
M P a1.69 5.2408.1547.852.695.1387.85 22
?
?
?
?????????
?
??
?
?
?
例 题 5 § 10 应力应变分析与应力应变关系
?例题
M P a5.2401 ?? 02 ?? M P a1.693 ???
M Pa8.1542 31m a x ??? ???
平面应力状态下的广义胡克定律
某点的应力状态为纯剪切，在该点
测得与 x轴夹角为 -45?方向上的正
应变是,已知,求
45? ??,E
解：
? ?3145 1 ???? ?? E ? ???? ?? E1
?
??
?? 1
45E
例 题 6
§ 10 应力应变分析与应力应变关系?例题
? x
y
由该点主方向上的广义胡克定律：
由于纯剪切的主方向为与 x轴夹角 ± 45o方向，
主应力为 ?, 0,-?
?45
y
x
?
?
取一体积为 的单元体,受应力作用变形。abcV ?
? ?? ?? ?ccbbaaVV ?????????
? ?? ?? ?321 111 ??? ???? a b c
? ?3211 ??? ???? a b c
4.体积变形
a
c
b
3?
2?
1?
变形后的体积：
aa 1??? bb 2??? cc 3???
各边长的改变量为：
单位体积的改变量
V
V
V
VVV ?????????
321 ????
321 ???? ??? ? ?321
21 ???? ????
E
代入广义胡克定律
体积应变
令 ? ?
3213
1 ???? ???
m 称为该点应力的平均应力
设
? ??213 ??
EK 称为 体变模量
321 ???? ??? ? ?321
21 ???? ????
E
对非主单元体由于剪应变不改变单元体的体积，
上式仍成立。
则 ?? K
m ?
Km?? ?
或 体积应变定律
此时
zyx ???? ???
? ?
3zyxm
???? ???
证明弹性模量与切变模量、泊松比间的关系
? ???? 12
EG
证明：取一纯剪单元体（正方形）
例 题 7 § 10 应力应变分析与应力应变关系
?例题
x??? ?
22
45c o s
45c o s
45
?
? ?
?
?
?
?
?
??
?
??
???
xxBD
BDDB
? ? ?????? EE ?????? 11 3145
?? G?
G245
?? ?
??
? ???? 12
EG则
?
A
B C
D
?
x?
?
D? ?
?
非零主应力分别为,?,-?,主方向为 ± 45o方向
