工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 29)
（下册）
§ 15 能量法
§ 15.1 弹性变形势能及功能原理
弹性变形能（ 应变能 ）
单位,1J=1N·m
—— 构件由于发生弹性变形而储存的能量（如同
弹簧）,。表示为
?V
变形体的 功能原理
—— 弹性范围内，构件受静载外力产生变形的过
程中，能量守恒，即,外力功 =变形能
?VW ?
(15.1)略去动能及能量损耗
F1
?1
注意 外力从 0缓慢增加到终值 F1外力作用点的位移从 0增加到 ?
1
静载 ——
F
?
F=F(?)
O ?1
F1
d?
dF
任意受力构件
F
?O
?VW ?
F1
?1
线弹性、小变形结构
对线弹性、小变形：
112
1 ?FW ?
(15.3)
?? 10? ?FdW
外力功 (15.2)
F1 F2M
设结构中的广义力、广义位移分别为,则
iiF ?,
ii
i
FWV ??? ? 21?
(15.4)
其中，广义位移 是与广义力 相应的
iFi?
1.轴向拉压的应变能
l ?l
EA
lFlFV N
N 22
1 2????
?
轴力沿 x变化：
??
l
N
EA
dxxFV
2
)(2
?
对 桁 架结构,??
i ii
iNi
AE
lFV
2
2
?
(15.5)
2.扭转应变能 T
T
lPGI
lTTV
22
1 2?? ?
?
dx
GI
xTV
l P
?? 2 )(
2
?
(15.6)
3.弯曲应变能 (一般可略去剪力引起的剪切应变能 )
dx
EI
xMV
l
?? 2 )(
2
?
(15.7)
各种基本变形的应
变能统一表达式,dxV
l
?? （刚度） 内力）2(
2
?
(15.8)
拉压 扭转 弯曲
内力 FN T M
刚度 EA GIP EI
EI
dxMdxMMddV 2???
???EI
M?
?
1
MM ? d?
M M
dx
应变能与内力（或载荷）不是线性关
系，故多个载荷作用时，求应变能不
可随意用叠加法。
注意
4.组合变形应变能
组合变形分解为各基本变形后（互不偶合），
分别计算并求和：
dx
EI
xMdx
GI
xTdx
EA
xFV
ll l P
N ?? ? ???
2
)(
2
)(
2
)( 222
?
(15.9)
例 题 15-1 § I5 能量法
?例题
A
B
C
F1
F2
a
a
直杆 AC，作用了轴向力 F1 =P,F2 =2P,求：
（ 1）全部外力作的总外力功
（ 2）若先加 F1,再加 F2,计算总外力功
（ 3）若先加 F2,再加 F1,计算总外力功
（ 4）计算 F1, F2 共同作用下杆的总变形能
（ 5）分别计算 F1 和 F2单独作用时杆的应变能
设杆的 EA已知。
例 题 15-1 § I5 能量法
?例题
A
B
C
F1
F2
a
a
解,1.二力共同作用的总外力功
CBii FFFW ??? 21 2
1
2
1
2
1 ??? ?
3P
2P EAPal ABB 3?? ??
EA
Pa
EA
Pa
EA
Pall
BCABC
523 ????? ???
EA
aP
EA
PaP
EA
PaPW
2
1352
2
13
2
1 2?????
例 题 15-1 § I5 能量法
?例题
A
B
C
F2
a
a
2.先加 F1,再
加 F2的外力功
EA
aP
EA
PaF
EA
aPF
EA
PaFW
2
13222
2
1
2
1 2
1211 ??
???
A
B
C
F1
a
a
P
2P
常力作功静载 (变力 )作功
F1 EA
PaF
B ?)( 1?
EA
aPF
C
22)(
2
???
EA
aPF
B
?? 2)(
2?
例 题 15-1 § I5 能量法
?例题
A
B
C
F2
a
a
3.先加 F2,再加 F1的
外力功
EA
aP
EA
PaF
EA
PaF
EA
aPFW
2
13
2
122
2
1 2
2122 ???
??
A
B
C
F1
a
a
P
2P
常力作功静载 (变力 )作功
F2
EA
PaF
B ?)( 1?
EA
aPF
C
22)(
2
???
EA
aPF
C
??)(
1?
外力功与加载次序无关显然
21 WWW ??
例 题 15-1 § I5 能量法
?例题
4,F1, F2 共同作用下杆的总变形能
EA
aP
EA
aP
EA
aPV
2
13
2
)2(
2
)3( 222 ???
?
A
B
C
F1
F2
a
a
3P
2P 5.分别算 F
1,F2单独作用时杆的应变能
F1 单独作用 A
B
C
F1
a
a
EA
aPV
2
2
1 ??
F2 单独作用
F2
A
B
C
a
aEA aPEA aPV 222 42 2)2( ????
显然
??? VVV ?? 21
5,应变能密度
应变能密度（ 应变比能 ） —— 单位体积内储存的应变能
，单位,1J/m3表示为
?v
?
?
o
线弹性、小变形单拉构件
?
?
o
任意单向拉伸构件
????? dv )(10??
(15.10)
?v
?1
?2
?3
??
单向应力状态
任意应力状
态主单元体)(
2
1
332211 ??????? ???v
(15.11)
??? 21?v
体积改变能密度 和畸变能密度
Vv dv
?1
?2
?3
?m
?m
?m
?1 -?m
?2 -?m
?3 -?m
+
平均应力,)(
3
1
321 ???? ???m
2
321 )(6
21 ???? ????
Ev v
])()()[(61 213232221 ??????? ??????? Ev d
dv vvv ???
(15.12)
利用变形体的功能原理可
计算结构在某点处的位移
?B例如：求 B点位移 ?B
F
AB x
L
FxxM ??)(弯矩方程
弯曲应变能
?? ??? L
l EI
LFdx
EI
Fxdx
EI
xMV
0
3222
62
)(
2
)(
?
外力功
BFW ?? 2
1
根据功能原理
?VW ?
(15.1)
EI
LFF
B 62
1 32???
EI
FL
B 3
3
??
若求 ?中 或 ?B 则无法直接利用功能原理 ！
§ 15.2 变形体的虚位移原理
复习 刚体系统的虚位移原理：
对无弹簧的刚体系统,0?eW?
外力的虚功
对有弹簧的刚体系统,0?? ie WW ??
外力的虚功 弹簧力的虚功
对变形体，也有,0?? ie WW ??
外力的虚功 内力的虚功
(15.13)ei WW ?? ???变形体虚功原理
NFNF
T MM
dx
SF内力虚功的计算（略去剪力 的影响）
从构件中切出微段 dx,FN,T,M 为该微段的外力
??d
??d
?)( ld ?
相应的虚位移为,, ??d??d?)( ld ?
对该单元体，由虚功方程 0)()( ?? ie WdWd ??
得：
])([
)()(
??? ????
??
???
??
MdTdldF
WdWd
N
ei
])([
)()(
??? ????
??
???
??
MdTdldF
WdWd
N
ei
dx
Fi
对整个构件，由虚功方程 0?? ie WW ??
i
i
i
e FW ?? ??
i?
])([ ??? ???? ? ???? MdTdldFW
l
N
i
])([ ??? ???? ?? ???? MdTdldFF
l
Ni
i
i
(15.14)
变形体的虚位移原理
])([ ??? ???? ?? ???? MdTdldFF
l
Ni
i
i
(15.14)
dx
Fi
i?
式中,Fi —— 外力，
MTF N,,—— 外力引起的内力
i?
—— 外力作用点的相应虚位移
??? ??? ddld,,)( —— 与内力相应的虚变形
符号规定,??? ???? ddld
i,,)(,
分别与 Fi, MTF
N,,
方向一致时为正
])([ ??? ???? ?? ???? MdTdldFF
l
Ni
i
i
(15.14)
变形体虚位移原理中，外力 Fi 及相应内力注意
??? ???? ddldi,,)(,MTF N,,
之间毫无关系！是同一结构中的两种不同状态。
与虚位移和虚变形
Fi
MTF N,,
i?
??? ??? ddld,,)(
§ 15.3 单位载荷法
用于计算结构中任意某点处位移的一般方法，
适用于任意受力结构（拉压，扭转，弯曲或
组合变形
1.单位载荷法的推导
设有任意受力结构，求 K点沿 aa方向引起的位移 ?
K
a
a?
选取两个状态：
状态 (a)和状态 (b)
K
a
a?状态（ a）
K
a
a状态（ b）
F0=1
去掉原载荷，仅在 K点沿 aa
方向加一单位载荷 F0=1利用虚位移原理
将（ a）中的位移取为虚位移
将（ b）中的载荷视为外载，引起的内力为 MTF
N,,
??? ??? ????? ????? dMdTdF
lll N )(1
(15.14)
式中 为原载荷下的位移和变形 ??? ???? ddld,,)(,
MTF N,,而 为仅有单位力作用下的内力
2.莫尔定理
??? ??? ????? ????? dMdTdF
lll N )(1
单位载荷法
将单位载荷法用于 线弹性 结构，原载荷引起的变形为：
上式适用于各类结构、各类材料
EI
M d xd
GI
T d xd
EA
dxFld
P
N ??? ??? ??? )(
K
a
a状态（ a）
K
a
a状态（ b）
F0=1
式中,为原载荷引起的内力MTF
N,,
dx
EI
MMdx
GI
TTdx
EA
FF
ll
P
l
NN ??? ????
莫尔积分公式
(15.15)
对 n 根杆的桁 架，上式变为
??
i ii
iNiNi
AE
lFF?
(15.16)
(1)式中 MTF
N,,
为实际载荷作用下的内力
MTF N,,
为仅有单位载荷作用下的内力
注意
(2) 式中已略去了剪力的影响，对平面刚架、曲杆，
一般轴力 FN的影响也可略去，即只计 T,M的影响
（ 3）单位载荷的施加方法
求 K点某方向的 线位移
—— 在 K点沿相应方向加 单位集中力 F0=1
求 K点某转向的 角位移
—— 在 K点沿相应方向加 单位集中力偶 m0=1
F q
?
F0=1 F q
?
m0=1
—— 在两点处沿相应方向加 一对方向相反的单位
集中力 F0=1
求两点间的 相对线位移
求两点间的 相对角位移
—— 在两点处沿相应方向加一对 方向相反的单位
集中力偶 m0=1
F F
F
A B
求 AB两点间的
相对位移 ?AB
F0=1 F0=1 F
BA C
求 B+与 B-截面
的相对转角 ??
??
m0=1m0=1
F q F0=1 F q m
0=1
? ?
(4)计算出的位移的方向
计算出的位移若为正：表示该位移与所加单位载荷
的方向一致，
计算出的位移若为负：表示该位移与所加单位载荷
的方向相反，
(5)注意（ 15.15) 式的量纲：
dx
EI
MMdx
GI
TTdx
EA
FF
ll
P
l
NN ??? ????
莫尔积分公式
(15.15)
[力 ]?[长度 ] —— 功，能
???1
例 题 15-2 § I3 平面图形的几何性质
?例题
x
y
z
O
D
C
B
F水平面内一端固支的 3/4圆弧
杆，横截面是直径为 d 的圆形，
圆弧半径 R, O点受铅垂力 F
作用，设杆的材料弹性模量与
切变模量的关系为,
求 O点铅垂位移及 O截面绕 y
轴转过的转角。
EG 8??
例 题 15-2 § I3 平面图形的几何性质
?例题
解：
x
y
z
O
D
C
B
FA
y
x
A
B
C
D
O
?
1.分段求内力方程
OA段：弯曲
FxxM ?)(
M(x)
Ox
F
T
FS
F? OA
ABCD弧段：
剪力,FF
S ?
（可略去不计）
扭矩,FRT ?)(? )
2
30( ?? ??
例 题 15-2 § I3 平面图形的几何性质
?例题
x
y
z
O
D
C
B
A
2.求 O点铅垂位移 wo
在 O点加铅垂单位力 F0=1
产生的内力为：
OA段：弯曲 xxM ?)(
ABCD弧段：
扭矩,FRT ?)(? )
2
30( ?? ??
F0=1
莫尔积分：
PP
R
O GI
FR
EI
PRRd
GI
RFRdx
EI
xFxw 3323
00 2
3
3 ???
???? ?? ???（ ）
4
33 64
3
19)
4
3
3
1(
d
FR
EGEI
FRw
O ?
? ????? （ ）
圆轴有
322
4d
II P ??? 又 EG 8??
例 题 15-2 § I3 平面图形的几何性质
?例题
x
y
z
O
D
C
B
A
3,求 O截面绕 y轴的转角
在 O截面上加一绕 y 轴
转动的单位力偶 m0=1
y
x
A
B
C
D
O
m0=1
产生的内力为：
OA段：弯曲 1)( ?xM
ABCD弧段：
? OA m
0=1
?1
扭矩,?? co s)( ?T
)230( ?? ??
?? s i n)( ?M弯矩：
例 题 15-2 § I3 平面图形的几何性质
?例题
x
y
z
O
D
C
B
A
OA段：弯曲 1)( ?xM
ABCD弧段,扭 +弯：
?? co s)( ?T
)230( ?? ??
?? s i n)( ?M
y
x
A
B
C
D
O
m0=1
? OA m
0=1
)
8
1(
32
2
c o s1
4
222
??
?
?
????
?
?
?
? ??
Ed
FR
GI
FR
EI
FR
R d x
GI
RFR
dx
EI
Fx
P
A B C D POA
Oy
方向
如图
§ 15.4 计算莫尔积分的图乘法
dx
EI
MMdx
GI
TTdx
EA
FF
ll
P
l
NN ??? ????
莫尔积分公式
(15.15)
对于等截面直杆（及等截面折杆、等截面阶梯杆）
EA,GIP,EI 可移出积分号外，积分只需计算：
???
ll
N
l
N M d xMT d xTdxFF,,
若将 图及 图分别画出，
可利用几何图形计算莫尔积分 —— 图乘法。
MTF N,,MTF N,,
以 的计算为例：
?
l
M d xM
画出梁在原载荷作用下的弯矩图 （ M 图）
及梁在单位载荷下的弯矩图（ M 图）
若在某段梁上，
M 图为一条斜率为 tan?的斜 直线
M 图形状任意
?M(x)
xo A B
xo
M(x)
A B
?
CxC
设 M 图过原点 O，则
?t an)( xxM ? (a)
CC
l
l
l
l
B
A
Mx
dxxxM
dxxxMM d xM
B
A
B
A
???
?
?
????
?
??
?
??
t a n
)(t a n
t a n)(
CM
图乘法计算莫尔积分：
?M(x)
xo A B
xo
M(x)
A B
?
CxC
CM
? ??? B
A
l
l
C
EI
Mdx
EI
MM ??
(15.16)
同理：
? ??? B
A
l
l
P
C
P GI
Tdx
GI
TT ??
式中,? 为 M 图的面积,MC是 M图形心 C对应的
M图上的纵坐标
? ??? B
A
l
l
NCNN
EA
Fdx
EA
FF ??
?M(x)
xo A B
xo
M(x)
A B
?
CxC
CM
（ 1）式中 的面积 ?与 MC均有正负, M图与
M图在 x轴同侧时，图乘后为正，反之为负。注意
（ 2） M 与 M 图互乘时，要求 M 图为一条斜直线，
当 M 图为折线（分段直线）时，可分为几段与 M
图分别互乘再叠加。
（ M）
（ M）
c1
?1
c2
?2
MC1 MC2
EI
M
EI
M CC 2211 ???? ???
（ 3）若梁的弯曲刚度 EI 有变化 时，应按 EI 变化
处分段互乘再叠加。
? ??
i ii
Cii
IE
M??
（ 4） M 图的形状较复杂时，可将 M 图分块 划
分为几个简单图形,分别与 M 图互乘再叠加 。
（ M）
（ M）
?1
?2
c1
c2
MC1MC2
EI
M
EI
M CC 2211 ???? ???
(5)多个载荷同时
作用下的 M 图一
般较复杂，可分别
画出各载荷单独作
用时的 Mi 图，分
别与 M 图作图乘，
然后相加。
Fl
（ M1）
m（ M
2）
l
（ M）
Fm
l
F0=1
l
EI
M
EI
M CC 2211 ???? ???
?1
c1
?2
c2
MC1MC2
（ 6）实际上，作图乘的两张内力图，只要其中之一
为斜直线即可（取其纵坐标），另一张图取面积。
（ 7）只有同种内力图才可互乘。
（ 8）常见图形面积与形心
h
l
S=lh/2
2l/3 h
l
S=2lh/3
5l/8
l
3l/4 h
S=lh/3
§ 15.5 互等定理
在线弹性、小变形条件下，有以下两个定理：
1.功互等定理
同一结构，两种受力状态
2点受 F2 ——
引起位移
?11 ?21
引起位移
?12 ?22
1点受 F1——
记：
jF
为作用于点 j 的广义力
ij?
为 的作用在 i 点引起的广义位移
jF
1 2
F1
1 2
F2
?11 ?21 ?12 ?22
若将两种受力状态叠加，计算全部广义力的功，
可按以下两种加载方式计算：
（ 1）先加 F1,后加 F2,
1 2
F1
?11 ?21
F2
?12 ?22
121222111 2
1
2
1 ??? FFFW ???
1 2
?12 ?22
F2
?11 ?21
212111222 2
1
2
1 ??? FFFW ????
F1
（ 2）先加 F2,后加 F1,
功与加载次序无关，故 WW ??
212121 ?? FF ??
(15.17)功互等定理
（ 2）位移互等定理
212121 ?? FF ??
(15.17)功互等定理
功互等定理：第一组广义力在第二组广义力引起
的位移上作的功，等于第二组广义力在第一组广
义力引起的位移上所作之功。
在 (15,17)式中，令 F1 = F2 即 广义力的数值相等,则有：
2112 ?? ?
(15.18)位移互等定理
注意：力是广义力,F1 与 F2可以量纲不同
（如一个是集中力 N，另一个是力偶 N·m ），
故 ?12与 ?21也可量纲不同，仅数值相同。
例如：
1 2
F=1kN
?2F
1 2
M= 1kN·m
?1M
FM MF 21 ????
由功互等定理：
又 F=1kN,M= 1kN·m
FM 21 ????
二者仅数值相等！
§ 15.5 变形体的势能驻值原理
和最小势能原理
在上册 § 8中曾给出刚体系统（在有势力作用
下）的势能驻值原理（平衡时势能取驻值）及
最小势能原理（稳定平衡时势能取最小值），
对变形体，以上二原理仍成立，但在总势能中应
加上系统的总变形势能（总应变能）,即：
?V
?? VV ??
总势能 = 外力势能 + 变形势能
势能驻值原理 平衡时 0)( ??? ???? VV
最小势能原理 稳定平衡时 0)(22 ???
???? VV
?? VV ??
势能驻值原理 平衡时 0)( ???
???? VV
最小势能原理 稳定平衡时 0)(22 ???
???? VV
计算总势能时，定义未变形状态为势能零点
外力势：
iiFV ???
Fi 广义外力
?i Fi 作用点的广义位移
变形能：
dx
EI
xMdx
GI
xTdx
EA
xFV
ll l P
N ?? ? ???
2
)(
2
)(
2
)( 222
?
(15.9)
例 题 15-3 § I5 能量法
?例题
已知,AD=DB=BC=,
求 C点的挠度
a
cw
F = qa q
A B C
D
2
2qa
2? 3?
2
2qa
1? ⊕
? ?M
解,1.画内力图
4
qa
4
7qa求支座约束力：
)(
42
2 ??
???
?
qa
a
a
qaaqa
F A
)(474 ????? qaqaqaqaF B
(M)
4/2qa
2/2qa
例 题 15-3 § I5 能量法
?例题
F0= 1
A B C
D
2
2qa
2? 3?
2
2qa
1? ⊕
? ?M
2.求 wC，加单位力 F0=1
? ?M
a
画内力图 M 图
1/2 3/2
例 题 15-3 § I5 能量法
?例题
2
2qa
2? 3?
2
2qa
1? ⊕
? ?M
3.图乘法求 wC
21
aM
c ?
aM c 322 ?
? ?M
a
? ?321 3211 cccc MMMEIw ??? ???
? ???
????
?????????
EI
qa
aqa
a
aqa
a
aqa
a
EI
24
5
]
4
3
23
1
3
2
2
2
2
1
22
2
2
1
[
1
4
2
22
aM c 433 ?
例 题 15-4 § I5 能量法
?例题
4/Fl 82ql
4
2ql
1?
2? 3?
4?? ?M
求中间铰两侧截面相对转角。
qF
A
B
C
D E
l/2 l/2 l/2 l
解,1.画内力图
例 题 15-4 § I5 能量法
?例题
? ?M
2/3
1
2.加单位载荷
求 D截面两侧的相对
转角，在 D截面两侧
加一对单位力偶：
A
B
C
D E
l/2 l/2 l/2 l
m0=1
l/1
10 ?ml/1
l/1
l2/5l2/3
10 ?m
例 题 15-4 § I5 能量法
?例题
?
?
?
?????? ????
?
?
???
? ?????
?
??
?
? ????
2
3
3
2
42
1
4
3
42
11 2qlllFl
EI?
?
?
??
???
?
???
? ????
?
??
?
? ???
???
?
???
? ???
2
1
83
2
2
1
3
21
422
1 22 qllqll
???
?
???
? ??
32
3
6
1 23 Flql
EI
? ?M
2/3
1
4/Fl 82ql
4
2ql
1?
2? 3?
4?? ?M
4.图乘法
例 题 15- 5 § I5 能量法
?例题
q
A B
C
l
l
y
z
x
求 C处的线位移 。
解,1.画内力图
BC段为弯曲（ x 轴为
中性轴）
AB段为弯曲（ z 轴为
中性轴） +扭转 )( TM ?
2ql
2
2ql
2
2ql
例 题 15-5 § I5 能量法
?例题
2.求,应在 C处沿 x方向加单位力。
cx?
3.求,在 C处沿 y方向加单位力。
cy?
0?cx? （ ∵ 弯矩不在一个平面内）
1
l
? ?zM l
)( TM ?
2ql
2
2ql
2
2ql
1
l l
? ?TM ?
l
例 题 15-5 § I5 能量法
?例题
3.求,在 C处沿 y方向加单位力。
cy?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
???
? ????
?
?
?
?
?
?
?
?
??? ll
ql
GI
lqlll
ql
l
EI pcy 2
1
3
2
2
1
4
3
23
11 222?
? ???????? ?? GEdql 23118 44?
)( TM ?
2ql
2
2ql
2
2ql
1
l l
? ?TM ?
l
例 题 15-5 § I5 能量法
?例题
4.求,在 C处沿 z向加单位力。
cz?
l
1
? ?zM
0?cz?
)( TM ?
2ql
2
2ql
2
2ql
例 题 15-6 § I5 能量法
?例题
CA B
D
45o
F 组合结构由梁 ABC，
杆 BD组成，求 C截面
的转角。
解,1.画内力图
梁 ABC为弯曲 +拉伸
FN
FN
FN（可略去拉伸）
NF2
2
NF2
2 FFF
N 222/2
2 ?? （压）
例 题 15-6 § I5 能量法
?例题
A
B C
D
45o
F 1.画内力图
FN
FN
FFF N 22
2/2
2 ?? （压）
画出 AC的 M图,DB
的轴力图。
FFN 222 ?
F
F
Fa
(M)
F22
例 题 15-6 § I5 能量法
?例题
A
B C
D
45o
F 2.加单位载荷 m
0=1，画内力图
aa
F N 2
2/2
1 ??
（压）
画出 AC的 M 图,DB
的 FN图。
1
（ M）
a
2F
N
FN
FN NF22
NF2
2
m0=1
例 题 15-6 § I5 能量法
?例题
3.图乘法
1
（ M）
a
2
(FN)
Fa
(M)
F22(F
N)
EI
Fa
EA
F
EI
a
Fa
EI
a
Fa
EA
a
aF
C
6
52
1
23
2
2
2
222
2
??
??
?
??
?
??
??
（ ?）
例 题 15-7 § I5 能量法
?例题
? ? ? ?
? ??
????
?
c o s1
s i n
2
0
???
???? ?
qR
RqR dM
? ??M1,q作用下任一截面上
?
B
Aq
?
?d ?qRd
B
Aq AB?
求 A,B之间相对位移
半径为 R 的开口圆环，沿圆周有均
布法向力 q,
解：
例 题 15-7 § I5 能量法
?例题
? ? ? ??? c o s12 ??? qRM
? ? ? ??? c o s1 ??? RM
? ??M2,单位力作用下?
1
1
? ??
EI
qR
Rd
EI
MM
ds
EI
MM
AB
4
00
3
22
?
??
??
?
?? ??
3.计算莫尔积分
例 题 15-8 § I5 能量法
?例题
已知 各杆 EI相同，求 D截面转角 θD 和垂直位移 fD
q
2
2qa
qa
A B
C
D
a a
a
解：
1.先画载荷内力图
可将均布载荷、集中力、
集中力偶单独作用时的
内力图分别画出。
求 D截面铅垂位移，
在 D点加单位力
例 题 15-8 § I5 能量法
?例题
(M1)
2
2qa
A B
C
D
2
qa
2
2qa
2
qa
A B
C
D
q
(M2)
2
qa
2
2qa
2
qa
qaqa
A B
C
D
qa
2qa
qa
qa
(M3)
A B
C
Da
1
1
1
1
(M1)
)(
3
]
3
2
2
1[2]
3
2
22
1[21 422 ??
?
?
?
?
?
? ????????????
EI
qaaaqaaaqa
EI
f D
例 题 15-8 § I5 能量法
?例题
(M1)
2
2qa
A B
C
D
2
qa
2
2qa
2
qa
A B
C
D
q
(M2)
2
qa
2
2qa
2
qa
qaqa
A B
C
D
qa
2qa
qa
qa
(M3)
EI
qaaqaaqaaqa
EID 2]3
2
2
1
2
1[2
3
2
2
11
2
11 3222 ??
??
?
??
? ???????????????
A B
C
Da1
11
a
1(M2)
负表
示 (?)
F
1
思考,若想求杆 1 的转角（杆 1 长 l ）,如何加
单位载荷？
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 29)
（下册）
§ 15 能量法
§ 15.1 弹性变形势能及功能原理
弹性变形能（ 应变能 ）
单位,1J=1N·m
—— 构件由于发生弹性变形而储存的能量（如同
弹簧）,。表示为
?V
变形体的 功能原理
—— 弹性范围内，构件受静载外力产生变形的过
程中，能量守恒，即,外力功 =变形能
?VW ?
(15.1)略去动能及能量损耗
F1
?1
注意 外力从 0缓慢增加到终值 F1外力作用点的位移从 0增加到 ?
1
静载 ——
F
?
F=F(?)
O ?1
F1
d?
dF
任意受力构件
F
?O
?VW ?
F1
?1
线弹性、小变形结构
对线弹性、小变形：
112
1 ?FW ?
(15.3)
?? 10? ?FdW
外力功 (15.2)
F1 F2M
设结构中的广义力、广义位移分别为,则
iiF ?,
ii
i
FWV ??? ? 21?
(15.4)
其中，广义位移 是与广义力 相应的
iFi?
1.轴向拉压的应变能
l ?l
EA
lFlFV N
N 22
1 2????
?
轴力沿 x变化：
??
l
N
EA
dxxFV
2
)(2
?
对 桁 架结构,??
i ii
iNi
AE
lFV
2
2
?
(15.5)
2.扭转应变能 T
T
lPGI
lTTV
22
1 2?? ?
?
dx
GI
xTV
l P
?? 2 )(
2
?
(15.6)
3.弯曲应变能 (一般可略去剪力引起的剪切应变能 )
dx
EI
xMV
l
?? 2 )(
2
?
(15.7)
各种基本变形的应
变能统一表达式,dxV
l
?? （刚度） 内力）2(
2
?
(15.8)
拉压 扭转 弯曲
内力 FN T M
刚度 EA GIP EI
EI
dxMdxMMddV 2???
???EI
M?
?
1
MM ? d?
M M
dx
应变能与内力（或载荷）不是线性关
系，故多个载荷作用时，求应变能不
可随意用叠加法。
注意
4.组合变形应变能
组合变形分解为各基本变形后（互不偶合），
分别计算并求和：
dx
EI
xMdx
GI
xTdx
EA
xFV
ll l P
N ?? ? ???
2
)(
2
)(
2
)( 222
?
(15.9)
例 题 15-1 § I5 能量法
?例题
A
B
C
F1
F2
a
a
直杆 AC，作用了轴向力 F1 =P,F2 =2P,求：
（ 1）全部外力作的总外力功
（ 2）若先加 F1,再加 F2,计算总外力功
（ 3）若先加 F2,再加 F1,计算总外力功
（ 4）计算 F1, F2 共同作用下杆的总变形能
（ 5）分别计算 F1 和 F2单独作用时杆的应变能
设杆的 EA已知。
例 题 15-1 § I5 能量法
?例题
A
B
C
F1
F2
a
a
解,1.二力共同作用的总外力功
CBii FFFW ??? 21 2
1
2
1
2
1 ??? ?
3P
2P EAPal ABB 3?? ??
EA
Pa
EA
Pa
EA
Pall
BCABC
523 ????? ???
EA
aP
EA
PaP
EA
PaPW
2
1352
2
13
2
1 2?????
例 题 15-1 § I5 能量法
?例题
A
B
C
F2
a
a
2.先加 F1,再
加 F2的外力功
EA
aP
EA
PaF
EA
aPF
EA
PaFW
2
13222
2
1
2
1 2
1211 ??
???
A
B
C
F1
a
a
P
2P
常力作功静载 (变力 )作功
F1 EA
PaF
B ?)( 1?
EA
aPF
C
22)(
2
???
EA
aPF
B
?? 2)(
2?
例 题 15-1 § I5 能量法
?例题
A
B
C
F2
a
a
3.先加 F2,再加 F1的
外力功
EA
aP
EA
PaF
EA
PaF
EA
aPFW
2
13
2
122
2
1 2
2122 ???
??
A
B
C
F1
a
a
P
2P
常力作功静载 (变力 )作功
F2
EA
PaF
B ?)( 1?
EA
aPF
C
22)(
2
???
EA
aPF
C
??)(
1?
外力功与加载次序无关显然
21 WWW ??
例 题 15-1 § I5 能量法
?例题
4,F1, F2 共同作用下杆的总变形能
EA
aP
EA
aP
EA
aPV
2
13
2
)2(
2
)3( 222 ???
?
A
B
C
F1
F2
a
a
3P
2P 5.分别算 F
1,F2单独作用时杆的应变能
F1 单独作用 A
B
C
F1
a
a
EA
aPV
2
2
1 ??
F2 单独作用
F2
A
B
C
a
aEA aPEA aPV 222 42 2)2( ????
显然
??? VVV ?? 21
5,应变能密度
应变能密度（ 应变比能 ） —— 单位体积内储存的应变能
，单位,1J/m3表示为
?v
?
?
o
线弹性、小变形单拉构件
?
?
o
任意单向拉伸构件
????? dv )(10??
(15.10)
?v
?1
?2
?3
??
单向应力状态
任意应力状
态主单元体)(
2
1
332211 ??????? ???v
(15.11)
??? 21?v
体积改变能密度 和畸变能密度
Vv dv
?1
?2
?3
?m
?m
?m
?1 -?m
?2 -?m
?3 -?m
+
平均应力,)(
3
1
321 ???? ???m
2
321 )(6
21 ???? ????
Ev v
])()()[(61 213232221 ??????? ??????? Ev d
dv vvv ???
(15.12)
利用变形体的功能原理可
计算结构在某点处的位移
?B例如：求 B点位移 ?B
F
AB x
L
FxxM ??)(弯矩方程
弯曲应变能
?? ??? L
l EI
LFdx
EI
Fxdx
EI
xMV
0
3222
62
)(
2
)(
?
外力功
BFW ?? 2
1
根据功能原理
?VW ?
(15.1)
EI
LFF
B 62
1 32???
EI
FL
B 3
3
??
若求 ?中 或 ?B 则无法直接利用功能原理 ！
§ 15.2 变形体的虚位移原理
复习 刚体系统的虚位移原理：
对无弹簧的刚体系统,0?eW?
外力的虚功
对有弹簧的刚体系统,0?? ie WW ??
外力的虚功 弹簧力的虚功
对变形体，也有,0?? ie WW ??
外力的虚功 内力的虚功
(15.13)ei WW ?? ???变形体虚功原理
NFNF
T MM
dx
SF内力虚功的计算（略去剪力 的影响）
从构件中切出微段 dx,FN,T,M 为该微段的外力
??d
??d
?)( ld ?
相应的虚位移为,, ??d??d?)( ld ?
对该单元体，由虚功方程 0)()( ?? ie WdWd ??
得：
])([
)()(
??? ????
??
???
??
MdTdldF
WdWd
N
ei
])([
)()(
??? ????
??
???
??
MdTdldF
WdWd
N
ei
dx
Fi
对整个构件，由虚功方程 0?? ie WW ??
i
i
i
e FW ?? ??
i?
])([ ??? ???? ? ???? MdTdldFW
l
N
i
])([ ??? ???? ?? ???? MdTdldFF
l
Ni
i
i
(15.14)
变形体的虚位移原理
])([ ??? ???? ?? ???? MdTdldFF
l
Ni
i
i
(15.14)
dx
Fi
i?
式中,Fi —— 外力，
MTF N,,—— 外力引起的内力
i?
—— 外力作用点的相应虚位移
??? ??? ddld,,)( —— 与内力相应的虚变形
符号规定,??? ???? ddld
i,,)(,
分别与 Fi, MTF
N,,
方向一致时为正
])([ ??? ???? ?? ???? MdTdldFF
l
Ni
i
i
(15.14)
变形体虚位移原理中，外力 Fi 及相应内力注意
??? ???? ddldi,,)(,MTF N,,
之间毫无关系！是同一结构中的两种不同状态。
与虚位移和虚变形
Fi
MTF N,,
i?
??? ??? ddld,,)(
§ 15.3 单位载荷法
用于计算结构中任意某点处位移的一般方法，
适用于任意受力结构（拉压，扭转，弯曲或
组合变形
1.单位载荷法的推导
设有任意受力结构，求 K点沿 aa方向引起的位移 ?
K
a
a?
选取两个状态：
状态 (a)和状态 (b)
K
a
a?状态（ a）
K
a
a状态（ b）
F0=1
去掉原载荷，仅在 K点沿 aa
方向加一单位载荷 F0=1利用虚位移原理
将（ a）中的位移取为虚位移
将（ b）中的载荷视为外载，引起的内力为 MTF
N,,
??? ??? ????? ????? dMdTdF
lll N )(1
(15.14)
式中 为原载荷下的位移和变形 ??? ???? ddld,,)(,
MTF N,,而 为仅有单位力作用下的内力
2.莫尔定理
??? ??? ????? ????? dMdTdF
lll N )(1
单位载荷法
将单位载荷法用于 线弹性 结构，原载荷引起的变形为：
上式适用于各类结构、各类材料
EI
M d xd
GI
T d xd
EA
dxFld
P
N ??? ??? ??? )(
K
a
a状态（ a）
K
a
a状态（ b）
F0=1
式中,为原载荷引起的内力MTF
N,,
dx
EI
MMdx
GI
TTdx
EA
FF
ll
P
l
NN ??? ????
莫尔积分公式
(15.15)
对 n 根杆的桁 架，上式变为
??
i ii
iNiNi
AE
lFF?
(15.16)
(1)式中 MTF
N,,
为实际载荷作用下的内力
MTF N,,
为仅有单位载荷作用下的内力
注意
(2) 式中已略去了剪力的影响，对平面刚架、曲杆，
一般轴力 FN的影响也可略去，即只计 T,M的影响
（ 3）单位载荷的施加方法
求 K点某方向的 线位移
—— 在 K点沿相应方向加 单位集中力 F0=1
求 K点某转向的 角位移
—— 在 K点沿相应方向加 单位集中力偶 m0=1
F q
?
F0=1 F q
?
m0=1
—— 在两点处沿相应方向加 一对方向相反的单位
集中力 F0=1
求两点间的 相对线位移
求两点间的 相对角位移
—— 在两点处沿相应方向加一对 方向相反的单位
集中力偶 m0=1
F F
F
A B
求 AB两点间的
相对位移 ?AB
F0=1 F0=1 F
BA C
求 B+与 B-截面
的相对转角 ??
??
m0=1m0=1
F q F0=1 F q m
0=1
? ?
(4)计算出的位移的方向
计算出的位移若为正：表示该位移与所加单位载荷
的方向一致，
计算出的位移若为负：表示该位移与所加单位载荷
的方向相反，
(5)注意（ 15.15) 式的量纲：
dx
EI
MMdx
GI
TTdx
EA
FF
ll
P
l
NN ??? ????
莫尔积分公式
(15.15)
[力 ]?[长度 ] —— 功，能
???1
例 题 15-2 § I3 平面图形的几何性质
?例题
x
y
z
O
D
C
B
F水平面内一端固支的 3/4圆弧
杆，横截面是直径为 d 的圆形，
圆弧半径 R, O点受铅垂力 F
作用，设杆的材料弹性模量与
切变模量的关系为,
求 O点铅垂位移及 O截面绕 y
轴转过的转角。
EG 8??
例 题 15-2 § I3 平面图形的几何性质
?例题
解：
x
y
z
O
D
C
B
FA
y
x
A
B
C
D
O
?
1.分段求内力方程
OA段：弯曲
FxxM ?)(
M(x)
Ox
F
T
FS
F? OA
ABCD弧段：
剪力,FF
S ?
（可略去不计）
扭矩,FRT ?)(? )
2
30( ?? ??
例 题 15-2 § I3 平面图形的几何性质
?例题
x
y
z
O
D
C
B
A
2.求 O点铅垂位移 wo
在 O点加铅垂单位力 F0=1
产生的内力为：
OA段：弯曲 xxM ?)(
ABCD弧段：
扭矩,FRT ?)(? )
2
30( ?? ??
F0=1
莫尔积分：
PP
R
O GI
FR
EI
PRRd
GI
RFRdx
EI
xFxw 3323
00 2
3
3 ???
???? ?? ???（ ）
4
33 64
3
19)
4
3
3
1(
d
FR
EGEI
FRw
O ?
? ????? （ ）
圆轴有
322
4d
II P ??? 又 EG 8??
例 题 15-2 § I3 平面图形的几何性质
?例题
x
y
z
O
D
C
B
A
3,求 O截面绕 y轴的转角
在 O截面上加一绕 y 轴
转动的单位力偶 m0=1
y
x
A
B
C
D
O
m0=1
产生的内力为：
OA段：弯曲 1)( ?xM
ABCD弧段：
? OA m
0=1
?1
扭矩,?? co s)( ?T
)230( ?? ??
?? s i n)( ?M弯矩：
例 题 15-2 § I3 平面图形的几何性质
?例题
x
y
z
O
D
C
B
A
OA段：弯曲 1)( ?xM
ABCD弧段,扭 +弯：
?? co s)( ?T
)230( ?? ??
?? s i n)( ?M
y
x
A
B
C
D
O
m0=1
? OA m
0=1
)
8
1(
32
2
c o s1
4
222
??
?
?
????
?
?
?
? ??
Ed
FR
GI
FR
EI
FR
R d x
GI
RFR
dx
EI
Fx
P
A B C D POA
Oy
方向
如图
§ 15.4 计算莫尔积分的图乘法
dx
EI
MMdx
GI
TTdx
EA
FF
ll
P
l
NN ??? ????
莫尔积分公式
(15.15)
对于等截面直杆（及等截面折杆、等截面阶梯杆）
EA,GIP,EI 可移出积分号外，积分只需计算：
???
ll
N
l
N M d xMT d xTdxFF,,
若将 图及 图分别画出，
可利用几何图形计算莫尔积分 —— 图乘法。
MTF N,,MTF N,,
以 的计算为例：
?
l
M d xM
画出梁在原载荷作用下的弯矩图 （ M 图）
及梁在单位载荷下的弯矩图（ M 图）
若在某段梁上，
M 图为一条斜率为 tan?的斜 直线
M 图形状任意
?M(x)
xo A B
xo
M(x)
A B
?
CxC
设 M 图过原点 O，则
?t an)( xxM ? (a)
CC
l
l
l
l
B
A
Mx
dxxxM
dxxxMM d xM
B
A
B
A
???
?
?
????
?
??
?
??
t a n
)(t a n
t a n)(
CM
图乘法计算莫尔积分：
?M(x)
xo A B
xo
M(x)
A B
?
CxC
CM
? ??? B
A
l
l
C
EI
Mdx
EI
MM ??
(15.16)
同理：
? ??? B
A
l
l
P
C
P GI
Tdx
GI
TT ??
式中,? 为 M 图的面积,MC是 M图形心 C对应的
M图上的纵坐标
? ??? B
A
l
l
NCNN
EA
Fdx
EA
FF ??
?M(x)
xo A B
xo
M(x)
A B
?
CxC
CM
（ 1）式中 的面积 ?与 MC均有正负, M图与
M图在 x轴同侧时，图乘后为正，反之为负。注意
（ 2） M 与 M 图互乘时，要求 M 图为一条斜直线，
当 M 图为折线（分段直线）时，可分为几段与 M
图分别互乘再叠加。
（ M）
（ M）
c1
?1
c2
?2
MC1 MC2
EI
M
EI
M CC 2211 ???? ???
（ 3）若梁的弯曲刚度 EI 有变化 时，应按 EI 变化
处分段互乘再叠加。
? ??
i ii
Cii
IE
M??
（ 4） M 图的形状较复杂时，可将 M 图分块 划
分为几个简单图形,分别与 M 图互乘再叠加 。
（ M）
（ M）
?1
?2
c1
c2
MC1MC2
EI
M
EI
M CC 2211 ???? ???
(5)多个载荷同时
作用下的 M 图一
般较复杂，可分别
画出各载荷单独作
用时的 Mi 图，分
别与 M 图作图乘，
然后相加。
Fl
（ M1）
m（ M
2）
l
（ M）
Fm
l
F0=1
l
EI
M
EI
M CC 2211 ???? ???
?1
c1
?2
c2
MC1MC2
（ 6）实际上，作图乘的两张内力图，只要其中之一
为斜直线即可（取其纵坐标），另一张图取面积。
（ 7）只有同种内力图才可互乘。
（ 8）常见图形面积与形心
h
l
S=lh/2
2l/3 h
l
S=2lh/3
5l/8
l
3l/4 h
S=lh/3
§ 15.5 互等定理
在线弹性、小变形条件下，有以下两个定理：
1.功互等定理
同一结构，两种受力状态
2点受 F2 ——
引起位移
?11 ?21
引起位移
?12 ?22
1点受 F1——
记：
jF
为作用于点 j 的广义力
ij?
为 的作用在 i 点引起的广义位移
jF
1 2
F1
1 2
F2
?11 ?21 ?12 ?22
若将两种受力状态叠加，计算全部广义力的功，
可按以下两种加载方式计算：
（ 1）先加 F1,后加 F2,
1 2
F1
?11 ?21
F2
?12 ?22
121222111 2
1
2
1 ??? FFFW ???
1 2
?12 ?22
F2
?11 ?21
212111222 2
1
2
1 ??? FFFW ????
F1
（ 2）先加 F2,后加 F1,
功与加载次序无关，故 WW ??
212121 ?? FF ??
(15.17)功互等定理
（ 2）位移互等定理
212121 ?? FF ??
(15.17)功互等定理
功互等定理：第一组广义力在第二组广义力引起
的位移上作的功，等于第二组广义力在第一组广
义力引起的位移上所作之功。
在 (15,17)式中，令 F1 = F2 即 广义力的数值相等,则有：
2112 ?? ?
(15.18)位移互等定理
注意：力是广义力,F1 与 F2可以量纲不同
（如一个是集中力 N，另一个是力偶 N·m ），
故 ?12与 ?21也可量纲不同，仅数值相同。
例如：
1 2
F=1kN
?2F
1 2
M= 1kN·m
?1M
FM MF 21 ????
由功互等定理：
又 F=1kN,M= 1kN·m
FM 21 ????
二者仅数值相等！
§ 15.5 变形体的势能驻值原理
和最小势能原理
在上册 § 8中曾给出刚体系统（在有势力作用
下）的势能驻值原理（平衡时势能取驻值）及
最小势能原理（稳定平衡时势能取最小值），
对变形体，以上二原理仍成立，但在总势能中应
加上系统的总变形势能（总应变能）,即：
?V
?? VV ??
总势能 = 外力势能 + 变形势能
势能驻值原理 平衡时 0)( ??? ???? VV
最小势能原理 稳定平衡时 0)(22 ???
???? VV
?? VV ??
势能驻值原理 平衡时 0)( ???
???? VV
最小势能原理 稳定平衡时 0)(22 ???
???? VV
计算总势能时，定义未变形状态为势能零点
外力势：
iiFV ???
Fi 广义外力
?i Fi 作用点的广义位移
变形能：
dx
EI
xMdx
GI
xTdx
EA
xFV
ll l P
N ?? ? ???
2
)(
2
)(
2
)( 222
?
(15.9)
例 题 15-3 § I5 能量法
?例题
已知,AD=DB=BC=,
求 C点的挠度
a
cw
F = qa q
A B C
D
2
2qa
2? 3?
2
2qa
1? ⊕
? ?M
解,1.画内力图
4
qa
4
7qa求支座约束力：
)(
42
2 ??
???
?
qa
a
a
qaaqa
F A
)(474 ????? qaqaqaqaF B
(M)
4/2qa
2/2qa
例 题 15-3 § I5 能量法
?例题
F0= 1
A B C
D
2
2qa
2? 3?
2
2qa
1? ⊕
? ?M
2.求 wC，加单位力 F0=1
? ?M
a
画内力图 M 图
1/2 3/2
例 题 15-3 § I5 能量法
?例题
2
2qa
2? 3?
2
2qa
1? ⊕
? ?M
3.图乘法求 wC
21
aM
c ?
aM c 322 ?
? ?M
a
? ?321 3211 cccc MMMEIw ??? ???
? ???
????
?????????
EI
qa
aqa
a
aqa
a
aqa
a
EI
24
5
]
4
3
23
1
3
2
2
2
2
1
22
2
2
1
[
1
4
2
22
aM c 433 ?
例 题 15-4 § I5 能量法
?例题
4/Fl 82ql
4
2ql
1?
2? 3?
4?? ?M
求中间铰两侧截面相对转角。
qF
A
B
C
D E
l/2 l/2 l/2 l
解,1.画内力图
例 题 15-4 § I5 能量法
?例题
? ?M
2/3
1
2.加单位载荷
求 D截面两侧的相对
转角，在 D截面两侧
加一对单位力偶：
A
B
C
D E
l/2 l/2 l/2 l
m0=1
l/1
10 ?ml/1
l/1
l2/5l2/3
10 ?m
例 题 15-4 § I5 能量法
?例题
?
?
?
?????? ????
?
?
???
? ?????
?
??
?
? ????
2
3
3
2
42
1
4
3
42
11 2qlllFl
EI?
?
?
??
???
?
???
? ????
?
??
?
? ???
???
?
???
? ???
2
1
83
2
2
1
3
21
422
1 22 qllqll
???
?
???
? ??
32
3
6
1 23 Flql
EI
? ?M
2/3
1
4/Fl 82ql
4
2ql
1?
2? 3?
4?? ?M
4.图乘法
例 题 15- 5 § I5 能量法
?例题
q
A B
C
l
l
y
z
x
求 C处的线位移 。
解,1.画内力图
BC段为弯曲（ x 轴为
中性轴）
AB段为弯曲（ z 轴为
中性轴） +扭转 )( TM ?
2ql
2
2ql
2
2ql
例 题 15-5 § I5 能量法
?例题
2.求,应在 C处沿 x方向加单位力。
cx?
3.求,在 C处沿 y方向加单位力。
cy?
0?cx? （ ∵ 弯矩不在一个平面内）
1
l
? ?zM l
)( TM ?
2ql
2
2ql
2
2ql
1
l l
? ?TM ?
l
例 题 15-5 § I5 能量法
?例题
3.求,在 C处沿 y方向加单位力。
cy?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
???
? ????
?
?
?
?
?
?
?
?
??? ll
ql
GI
lqlll
ql
l
EI pcy 2
1
3
2
2
1
4
3
23
11 222?
? ???????? ?? GEdql 23118 44?
)( TM ?
2ql
2
2ql
2
2ql
1
l l
? ?TM ?
l
例 题 15-5 § I5 能量法
?例题
4.求,在 C处沿 z向加单位力。
cz?
l
1
? ?zM
0?cz?
)( TM ?
2ql
2
2ql
2
2ql
例 题 15-6 § I5 能量法
?例题
CA B
D
45o
F 组合结构由梁 ABC，
杆 BD组成，求 C截面
的转角。
解,1.画内力图
梁 ABC为弯曲 +拉伸
FN
FN
FN（可略去拉伸）
NF2
2
NF2
2 FFF
N 222/2
2 ?? （压）
例 题 15-6 § I5 能量法
?例题
A
B C
D
45o
F 1.画内力图
FN
FN
FFF N 22
2/2
2 ?? （压）
画出 AC的 M图,DB
的轴力图。
FFN 222 ?
F
F
Fa
(M)
F22
例 题 15-6 § I5 能量法
?例题
A
B C
D
45o
F 2.加单位载荷 m
0=1，画内力图
aa
F N 2
2/2
1 ??
（压）
画出 AC的 M 图,DB
的 FN图。
1
（ M）
a
2F
N
FN
FN NF22
NF2
2
m0=1
例 题 15-6 § I5 能量法
?例题
3.图乘法
1
（ M）
a
2
(FN)
Fa
(M)
F22(F
N)
EI
Fa
EA
F
EI
a
Fa
EI
a
Fa
EA
a
aF
C
6
52
1
23
2
2
2
222
2
??
??
?
??
?
??
??
（ ?）
例 题 15-7 § I5 能量法
?例题
? ? ? ?
? ??
????
?
c o s1
s i n
2
0
???
???? ?
qR
RqR dM
? ??M1,q作用下任一截面上
?
B
Aq
?
?d ?qRd
B
Aq AB?
求 A,B之间相对位移
半径为 R 的开口圆环，沿圆周有均
布法向力 q,
解：
例 题 15-7 § I5 能量法
?例题
? ? ? ??? c o s12 ??? qRM
? ? ? ??? c o s1 ??? RM
? ??M2,单位力作用下?
1
1
? ??
EI
qR
Rd
EI
MM
ds
EI
MM
AB
4
00
3
22
?
??
??
?
?? ??
3.计算莫尔积分
例 题 15-8 § I5 能量法
?例题
已知 各杆 EI相同，求 D截面转角 θD 和垂直位移 fD
q
2
2qa
qa
A B
C
D
a a
a
解：
1.先画载荷内力图
可将均布载荷、集中力、
集中力偶单独作用时的
内力图分别画出。
求 D截面铅垂位移，
在 D点加单位力
例 题 15-8 § I5 能量法
?例题
(M1)
2
2qa
A B
C
D
2
qa
2
2qa
2
qa
A B
C
D
q
(M2)
2
qa
2
2qa
2
qa
qaqa
A B
C
D
qa
2qa
qa
qa
(M3)
A B
C
Da
1
1
1
1
(M1)
)(
3
]
3
2
2
1[2]
3
2
22
1[21 422 ??
?
?
?
?
?
? ????????????
EI
qaaaqaaaqa
EI
f D
例 题 15-8 § I5 能量法
?例题
(M1)
2
2qa
A B
C
D
2
qa
2
2qa
2
qa
A B
C
D
q
(M2)
2
qa
2
2qa
2
qa
qaqa
A B
C
D
qa
2qa
qa
qa
(M3)
EI
qaaqaaqaaqa
EID 2]3
2
2
1
2
1[2
3
2
2
11
2
11 3222 ??
??
?
??
? ???????????????
A B
C
Da1
11
a
1(M2)
负表
示 (?)
F
1
思考,若想求杆 1 的转角（杆 1 长 l ）,如何加
单位载荷？
