工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 36 )
（下册）
§ 20 动量原理
本章内容
动量定理
质心运动定理
动量矩定理
：系统的动量变化与外力的
冲量之关系
：系统质心的运动与外
力系的主矢之关系
：系统的动量矩变化与外
力系的主矩之关系
运动 力
动力学
运动 力
速度变化
大小变化
（动能变化）
力的功
大小、方
向变化
（动量变化）
力的冲量
质心平动
+
绕质心转动
刚
体
的
运
动
力系的主矢
力系的主矩
动能定理
动量定理
质心运动定理
动量矩定理
§ 20.1 动量
1.质点的动量
vmp ?? ? (20.1)
表示质点机械运动的强弱程度，
是一个矢量，与速度的方向一致。
当质点之间存在力的相互作用时，动量可
描述质点之间机械运动的传递关系。
m v?
p?
质点动量的本质：
动量的传递
ii
n
i
vmp ?? ?
?
?
1
(20.2)
?
m
rm
r
ii
n
i
C
?
? ??? 1 (质点系质心的矢径公式 )
对时间求导得到：
m
vm
v
ii
n
i
C
?
? ??
? 1
ii
n
i
C vmvm
?? ?
?
?
1
(20.3)
质点系动量等于想象地将质点系的
质量都集中于质心时质心的动量。
2.质点系动量
Cv?
Cr?
C
Cvmp ?? ?
(20.4)
定义为各质点动量的矢量和：
O
mi
iv?
3,刚体与刚体系统的动量
Cii
n
i
vmp ?? ?
?
?
1
(20.5)
：第 i个刚体的质量；im
：第 i个刚体的质心的速度；
Civ?
Cvmp ?? ?
(20.4)
刚体 系统的动量：
刚体的动量：
质点系动量是表示其质心运动的一个特征量,而
质心运动只是质点系 整体运动 的一个部分。
质点系的动量的特点：
§ 20.2 冲量
元冲量：
力的冲量 —— 度量力在一段时间内的积累效果。
将 定义为任意力 在微小时间间隔 内的元冲量，tFd? tdF?
将 定义为力 在时间间隔 内的冲量，
并用 表示，即：
F??2
1
dtt tF? 12 tt ?
I?
力系的冲量：
将作用于质点系上各力 的冲量的矢量和
定义为力系的冲量，其表达式为 i
F? ? ?ni,,2,1 ??
dtFtFI t
t
n
i
i
t
t i
n
i
)(d 2
1
2
1 11 ?
???
??
??
???
tFtt R d2
1
?? ?
?? 21 dtt tFI ?? (20.6)力的冲量：
力系的冲量
tFI t
t R
d2
1?
? ?? (20.7)
（ 1） 力系的冲量等于力系的主矢在同一时间间
隔内的冲量 。
（ 2）由于 内力系 和 力偶系 的主矢均为零，故 这
两种力系的冲量均为零 。
冲量的特点：
0?ov?
0?p?
ovMp
?? ?
o?
例 题 20-1
§ 20 动量原理?例题
o
M o
v? p
?
?
L M
Cv
?
p?
2
LMp ?? ( )
求以下刚体的动量：
例 题 20-2 § 20 动量原理
?例题
均质杆 OD长 l，质量为 m1，均质杆 AB长 2l，质量
为 2m1，滑块 A,B质量均为 m2,D为 AB的中点，
OD杆绕 O轴以角速度 转动，当 OD杆与水平方
向的夹角为 时，求系统的动量。
?
?
O
y
x
A
B
D
?
?
O
y
x
A
B
D
?
?
例 题 20-2 § 20 动量原理
?例题
解,系统包括四部分：
滑块 A,B，杆 AB,OD，
CDBA vmvmvmvmp
?????
1122 2 ????
Av
?
Dv
?
Cv?
Bv
?
P
1.求各刚体质心的速度
OD杆定轴转动,?
2
lv
C ?
（方向垂直于 OD）
?lv D ? （方向垂直于 OD）
AB杆一般平面运动，速度瞬心为 P：
AB?
??? ???
l
l
PD
v D
AB
（ ?）
例 题 20-2 § 20 动量原理
?例题
??? ????? c o s2 lAPv ABA （ ?）
??? ???
l
l
PD
v D
AB
（ ?）
（ ?）
??? ????? s i n2 lBPv ABB
注意,为各刚体动量的矢量和
2.求系统的动量 p
??
??
s in)
2
5
2(
s ins in2
12
112
lmm
vmvmvmp CDBx
???
????
CDBA vmvmvmvmp
?????
1122 2 ????
O
y
x
A
B
D
?
?
Av
?
Dv
?
Cv?
Bv
?
P
AB?
例 题 20-2 § 20 动量原理
?例题
??
??
c o s)
2
5
2(
c o sc o s2
12
112
lmm
vmvmvmp CDAy
??
???
O
y
x
A
B
D
?
?
Av
?
Dv
?
Cv?
Bv
?
P
AB?
]c o ss i n[)252( 12 jilmmp ??? ??? ?????
或表示为：
?lmmppp yx )252( 1222 ????
?? c o tt a n ???
x
y
p
p
2
??? ???
x
y
p?
?
?
§ 20.3 动量定理
1,质点的动量定理
当质点质量不变时，牛顿第二定律可写为,? ? Fvmt ?? ?dd
? ? tFvm dd ?? ? (20.8)
物理意义,质点的动量的微分等于作用于其上的合力
的元冲量,称为 质点动量定理的微分形式 。
ItFvmvm tt ???? ??? ? d2
1
12 (20.9)
物理意义：质点在 至 时间间隔内动量的改变量
等于作用于其上的合力在同一时间间隔内的冲量，
称为 质点动量定理的积分形式 。
2t1t
在时间间隔 内积分,? ? tFvm t
t
t
t dd
2
1
2
1
?? ?? ?
21 ~ tt
已知质点系中质点,其质量为,速度为,iD im
iv?
2.质点系动量定理
作用于质点系中质点 上的内力为,外力为iD ??i
iF
? ? ?eiF?
由质点的动量定理式 (20.8)有：
? ? tFvm iiii )dF(d ( e )i)( ??? ?? (20.10)? ?ni,,2,1 ??
? ? ? ? ? ?? ? tFFvm iin
i
ii
n
i
dd ei
11
???
?? ??
??
ii
n
i
vmp ?? ?
?
?
1
)2.20(
? ? ? ? ? 0i
1
i
R ?? ?
?
i
n
i
FF ?? ? ? ? ?e
1
e
R i
n
i
FF ?? ?
?
?
? ? ? tFp dd e
R
?? ? (20.11)
物理意义,质点系动量的微分等于作用于其上的外力系
主矢的元冲量,称为 质点系动量定理的微分形式 。
对上式积分 ? ? tFp t
t
t
t dd
e
R
2
1
2
1
?? ?? ?
? ? ? ?ee
R12 d
2
1
ItFpp tt ???? ??? ? (20.12)
质点系在 至 时间间隔内动量的改变量等于作
用于其上的外力系的主矢在同一时间间隔内的冲量，
称为 质点系动量定理的积分形式 。
2t1t
3.动量定理的投影式
动量定理的表达式 (20.11),(20.12)都是矢量式，它们可
以向固连于 惯性参考空间 的 固定直角坐标轴 如 x轴上投
影，得到相应的投影式
? ? ? ? ? ? tFpp xxx ddd eR??? (20.13)
? ?e12 xxx Ipp ?? (20.14)
4.质点系的动量守恒定律
若质点系的外力系的主矢,? ? 0eR ?F?
由此得到 ? ? 0dd eR ?? tFp ??
则质点系的动量守恒：
若质点系的外力系的主矢在某一固连于惯性参考空间
的直角坐标轴如 x轴上的投影,? ? 0e
R ?xF
由此得到 ? ? ? ? ? ? 0ddd eR ??? tFpp xxx?
则质点系的动量在该轴上的投影守恒：
以上结论统称为 质点系的动量守恒定律 。
常矢量?p? (20.15)
c o n s t?xp (20.16)
注意 1.动量为矢量,刚体系统的动量为各刚体
动量的 矢量和 。
2.系统的动量的本质是描述其质量全部放在质心
后 质心所在点的运动 。
3.从质点系动量定理可知,质点系的内力不改变质
点系的动量 （但引起各部分动量的改变）。
太空中拔河, 谁胜谁负？
系统不受外力作用，动量守恒
不分胜负！
( ) 0A A B B A B Cm m m m? ? ? ? ?p v v v
炮弹在空中爆炸
质点系质心的运动只与外力系
的主矢有关，内力并不影响质
点系质心的运动。WF
N1Ff1 FN2 Ff2
人骑自行车在水平路面上
由静止出发开始前进。是
什么力使它有向前运动的
速度？
汽车在水平路面上的起动
和停止，起主要作用的是
什么力？
4.写动量定理或动量守恒定律的投影式，投影轴
必须是 惯性系中的固定坐标轴 。
§ 20.4 质心运动定理
1,质点系的质心运动定理
? ? tFp dd eR)11.20( ?? ?
Cvmp
??? )4.20( ? ? ? ? ?
tFvm C dd eR?? ?
对不变质点系 c o n s t?m
? ? tFvm C dd eR?? ?? ? ?e
Rd
d F
t
vm C ?? ?
? ?eRFam C ?? ? (20.15)
物理意义：质点系的质量与其质心加速度的乘积等于
作用于其上外力系的主矢，称为 质心运动定理 。
质点系质心的运动不仅与质点系的内力无关，而且
与作用于质点系上各外力的作用点位置也无关。
若质点系由 n个刚体组成，则由质心矢径公式知，其
质心运动定理可表示为：
? ?e
R
1
Fam Cii
n
i
??
??
?
(20.16)
式中,im 为第 i个刚体的质量；
Cia? 为第 i个刚体的质心加速度。
质心运动定理的投影式为：
)( eRxCx Fma ? （ 20.17)
)(
1
e
RxC i x
n
i
i Fam ??
?
（ 20.18)
2,质心运动守恒定律
当一个质点系由 n个刚体组成时，若作用于其上的外
力系主矢,? ? 0eR ?F?
且初始时系统的质心速度为零，则根据式 (20.15)容易
知道，系统的质心相对于某固定点 O的矢径：
设系统中各刚体的质心在同一时间间隔内产生有限位
移,Cir?? 则由上式及系统的质心矢径公式可得：
Cii
n
i
C rmrm
?? ?
?
?
1
? ?CiCii
n
i
rrm ?? ??? ?
? 1
常矢量?Cr? (20.17)
0
1
???
?
Cii
n
i
rm ? (20.18)
若外力系的主矢在固连于惯性参考空间的直角坐标
轴如 x轴上的投影为零，即,且初始时系统质
心速度在该轴上的投影等于零，则
? ? 0eR ?xF
? ? 0eR ?? xCx Fma (20.19)
Cii
n
i
C xmmx ?
?
?
1
? ?CiCii
n
i
xxm ??? ?
? 1
假设各刚体的质心对该轴的坐标值在同一时间间隔产生
有限改变量,Cix?
以上结论称为 质心运动的守恒定律 。
c o n s t?Cx (20.20)
0
1
???
?
Cii
n
i
xm (20.21)
? ? ? tFp dd e
R
?? ? (20.11)
? ? ? ?ee
R12 d
2
1
ItFpp tt ???? ??? ? (20.12)
? ? ? ? ? ? tFpp xxx ddd eR??? (20.13)
? ?e12 xxx Ipp ?? (20.14)
若质点系的外力系的主矢,? ? 0eR ?F?
常矢量?p? (20.15)
若质点系的外力系的主矢在某一固连于惯性参考空间
的直角坐标轴如 x轴上的投影,? ? 0e
R ?xF
c o n s t?xp (20.16)
若质点系由 n个刚体组成，其质心运动定理可表示为：
? ?e
R
1
Fam Cii
n
i
??
??
?
(20.16)
式中,im 为第 i个刚体的质量；
Cia? 为第 i个刚体的质心加速度。
质心运动定理的投影式为：
)( eRxCx Fma ? （ 20.17)
)(
1
e
RxC i x
n
i
i Fam ??
?
（ 20.18)
例 题 20-3
§ 20 动量原理?例题
椭圆摆由质量为 mA的滑块 A和
质量为 mB的单摆小球 B构成。
滑块可沿光滑水平面滑动,AB
杆长为 l,质量不计。试建立
系统的运动微分方程，并求水
平面对滑块 A的约束力。
x
y
B
AO
x
y
B
AO
例 题 20-3
§ 20 动量原理?例题
根据质点系动量定理在 x,y方向上
的投影式：
gmA?
gmB?
AF
?
x
?
解,1.系统受力和运动分析
系统受的外力有重力，地面约束力。
系统包括滑块和小球，为 2个自由
度，取 x和 ?为广义坐标
0)( ?? eRxx Fdtdp
gmgmFFdtdp BAAeRyy ???? )(
x
y
B
AO
gmA?
gmB?
AF
?
x
?
例 题 20-3
§ 20 动量原理?例题
2,系统的动量
Av
?
Ae vv
?? ?
rv
?
Bv
?
xvA ?? ??lvr ?
reB vvv
??? ??
?? co s?lvv ABx ??
?? s i n?lv By ?
此式向 x,y投影：
系统的动量为：
)c o s( ????? lxmxm
vmvmp
BA
BxBAxAx
???
??
)s i n( ???? lxmvmvmp BByBAyAy ????
d [ ( c o s ) ] 0
d ABm x m x lt ??? ? ?
gmgmFlxmdtd BAAB ???? )]s i n([ ????
系统运动
微分方程代入动量定理
x
y
B
AO
gmA?
gmB?
AF
?
x
?
例 题 20-3
§ 20 动量原理?例题
3.求地面的约束力
列系统的质心运动定理（ y 轴投影式）：
)( e
Ryiy
i
i Fam ??
Aa
?
Ae aa
?? ?
?ra?
nra?
????
???
c o ss i n
c o ss i n
2??? ll
aaa nrrBy
??
???
代入（ 1）式，得地面约束力为：
gmgmFamam BAAByBAyA ????? (1)
nrreB aaaa ???? ??? ?又
)c o ss i n()( 2 ???? ??? ???? lmgmmF BBAA （ ?）
例 题 20-3
§ 20 动量原理?例题
x
y
B
AO
gmA?
gmB?
AF
?
x
?
Aa
?
Ae aa
?? ?
?ra?
nra?
注意：本题的易错之处
（ 1）将 视为小球的绝对
速度。
??l
(2)在非惯性系中列动量方程。
例 题 20-4
§ 20 动量原理?例题
?
mm
M
r
质量为 m的两个相同小球，穿在质
量为 M，半径为 r的光滑圆环上，
无初速地从最高处滑下，圆环竖直
立于地面上，求 M与 m满足何种关
系时，圆环能从地面跳起来？
解,以小球为对象，分析其受力及运动状态：
?
NF
?
gm?
小球受重力及环的约束力，运动轨迹
为圆周。
na
? ?a?
取 为广义坐标，有：?
2??ra n ? ?? ??ra ?
例 题 20-4
§ 20 动量原理?例题
?
NF
?
gm?
na
? ?a?
?
n
?? s i nrg?? ??
对小球用积分形式动能定理：
)c o s1()(21 12212 ?? ????? m g rWrmTT ?
)c o s1(22 ?? ??? rg?
此式适用于任意位置，求导可得：
?
mm
M
r
)c o s1(22 ?? ??? gra n ?
??? s i ngra ?? ??
???? ???? ?? s i n22 rg
例 题 20-4
§ 20 动量原理?例题
?
mm
M
r
以圆环和小球组成质点系，在铅垂
方向列质点系质心运动定理：
)( e
RyC i y
i
i Fam ??
Nn FmgMgaamM ??????? 2)s i nc o s(20 ?? ?
gm?gm?
gM?
NF
?
?
NF
?
gm?
na
? ?a?
?
n
?? ? s i nc o s aaa nmy ?? （ ?）
0?Mya
)c o s1(22 ?? ??? gra n ?
??? s ingra ?? ??
)c o s2c o s3(2
)]c o s)c o s1(2( s in1[2
2
2
??
???
???
?????
mgMg
mgMgF N
若圆环脱离地面，则 0?
NF
)2c o s3(c o s2 ???? ??mM
例 题 20-4
§ 20 动量原理?例题
?
mm
M
r
若有,mM
3
2?
则上式必在某一 值处可以满足！?
)2c o s3(c o s2 ???? ??mM
22 )
3
1( c o s6
3
2)c o s
3
2( c o s6 ?????? ??? mmmM
)0( ?? ??
即：
例 题 20-5
§ 20 动量原理?例题
已知 AB=l,质量为 m ；平板 DE的质量为 2m，水平面
光滑,初始系统静止 。求 AB倒至 角时 ED的
位移 ?x和速度 v 。
?? 60?
A
B
D E A
B
D EA
B
D E
?
?xv?
例 题 20-5 § 20 动量原理
?例题
解,系统为 AB+DE，外力仅有铅垂方向
的重力和地面支持力。初始系统静
止，故水平方向质心运动守恒。
1.水平方向质心运动守恒
0?? Ci
i
i xm ?
0)s i n2()(2 ???? slmsm ?
设板 DE水平方向位移为向左移动了 s,
A
B
D E
x
y
sx C ??1? slx
C ??? ?s i n22
A
B
D E
?
v?
1Cx?
代入得：
llmmls 12 3s in632 s in ???? ??
（ ?）
例 题 20-5
§ 20 动量原理?例题
2,水平方向动量守恒
00 ?? xx pp
设 时 DE的速度为 v?? 60? （ ?）
A
B
D E
x
y
AD E
?
v?
1Cx?
B
CAB杆的质心为 C，取动点为
AB杆上的 C点，动系固连于
DE （平动），则：
reC vvv
??? ??
rv
?
v
AB
l ?
2
? ?
?? c o s2 ABCx lvv ????
0)c o s2()(2 ?????? ?? ABx lvmvmp
l
v
l
v
AB
12
c o s
6 ??
??
（ ?）
例 题 20-5
§ 20 动量原理?例题
3,机械能守恒
A
B
D E
x
y
AD E
?
v?
1Cx?
B
C
rv
?
取地面为势能零点，
00 VTVT ???
初始：
2,0 00
lmgVT ??
当 时：?? 60?
460c o s21
m g llmgV ???
222
1 2
1
2
12
2
1
ABCC JmvmvT ????
22
2
2
222
31c o s
12
)
12
(
4
)c o s (
2
2)
2
(
v
l
v
vl
l
vl
v
l
v
l
vv
ABABC
????
????
?
????
例 题 20-5
§ 20 动量原理?例题
A
B
D E
x
y
AD E
?
v?
1Cx?
B
C
rv
?
22
2
2
222
31c o s
12
)
12
(
4
)c o s (
2
2)
2
(
v
l
v
vl
l
vl
v
l
v
l
vv
ABABC
????
????
?
????
代入，得：
2
1 2
45 mvT ?
242
45 2 m g lm g lmv ??
90
2 glv ?
103
1 glv ?? （ ?）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 36 )
（下册）
§ 20 动量原理
本章内容
动量定理
质心运动定理
动量矩定理
：系统的动量变化与外力的
冲量之关系
：系统质心的运动与外
力系的主矢之关系
：系统的动量矩变化与外
力系的主矩之关系
运动 力
动力学
运动 力
速度变化
大小变化
（动能变化）
力的功
大小、方
向变化
（动量变化）
力的冲量
质心平动
+
绕质心转动
刚
体
的
运
动
力系的主矢
力系的主矩
动能定理
动量定理
质心运动定理
动量矩定理
§ 20.1 动量
1.质点的动量
vmp ?? ? (20.1)
表示质点机械运动的强弱程度，
是一个矢量，与速度的方向一致。
当质点之间存在力的相互作用时，动量可
描述质点之间机械运动的传递关系。
m v?
p?
质点动量的本质：
动量的传递
ii
n
i
vmp ?? ?
?
?
1
(20.2)
?
m
rm
r
ii
n
i
C
?
? ??? 1 (质点系质心的矢径公式 )
对时间求导得到：
m
vm
v
ii
n
i
C
?
? ??
? 1
ii
n
i
C vmvm
?? ?
?
?
1
(20.3)
质点系动量等于想象地将质点系的
质量都集中于质心时质心的动量。
2.质点系动量
Cv?
Cr?
C
Cvmp ?? ?
(20.4)
定义为各质点动量的矢量和：
O
mi
iv?
3,刚体与刚体系统的动量
Cii
n
i
vmp ?? ?
?
?
1
(20.5)
：第 i个刚体的质量；im
：第 i个刚体的质心的速度；
Civ?
Cvmp ?? ?
(20.4)
刚体 系统的动量：
刚体的动量：
质点系动量是表示其质心运动的一个特征量,而
质心运动只是质点系 整体运动 的一个部分。
质点系的动量的特点：
§ 20.2 冲量
元冲量：
力的冲量 —— 度量力在一段时间内的积累效果。
将 定义为任意力 在微小时间间隔 内的元冲量，tFd? tdF?
将 定义为力 在时间间隔 内的冲量，
并用 表示，即：
F??2
1
dtt tF? 12 tt ?
I?
力系的冲量：
将作用于质点系上各力 的冲量的矢量和
定义为力系的冲量，其表达式为 i
F? ? ?ni,,2,1 ??
dtFtFI t
t
n
i
i
t
t i
n
i
)(d 2
1
2
1 11 ?
???
??
??
???
tFtt R d2
1
?? ?
?? 21 dtt tFI ?? (20.6)力的冲量：
力系的冲量
tFI t
t R
d2
1?
? ?? (20.7)
（ 1） 力系的冲量等于力系的主矢在同一时间间
隔内的冲量 。
（ 2）由于 内力系 和 力偶系 的主矢均为零，故 这
两种力系的冲量均为零 。
冲量的特点：
0?ov?
0?p?
ovMp
?? ?
o?
例 题 20-1
§ 20 动量原理?例题
o
M o
v? p
?
?
L M
Cv
?
p?
2
LMp ?? ( )
求以下刚体的动量：
例 题 20-2 § 20 动量原理
?例题
均质杆 OD长 l，质量为 m1，均质杆 AB长 2l，质量
为 2m1，滑块 A,B质量均为 m2,D为 AB的中点，
OD杆绕 O轴以角速度 转动，当 OD杆与水平方
向的夹角为 时，求系统的动量。
?
?
O
y
x
A
B
D
?
?
O
y
x
A
B
D
?
?
例 题 20-2 § 20 动量原理
?例题
解,系统包括四部分：
滑块 A,B，杆 AB,OD，
CDBA vmvmvmvmp
?????
1122 2 ????
Av
?
Dv
?
Cv?
Bv
?
P
1.求各刚体质心的速度
OD杆定轴转动,?
2
lv
C ?
（方向垂直于 OD）
?lv D ? （方向垂直于 OD）
AB杆一般平面运动，速度瞬心为 P：
AB?
??? ???
l
l
PD
v D
AB
（ ?）
例 题 20-2 § 20 动量原理
?例题
??? ????? c o s2 lAPv ABA （ ?）
??? ???
l
l
PD
v D
AB
（ ?）
（ ?）
??? ????? s i n2 lBPv ABB
注意,为各刚体动量的矢量和
2.求系统的动量 p
??
??
s in)
2
5
2(
s ins in2
12
112
lmm
vmvmvmp CDBx
???
????
CDBA vmvmvmvmp
?????
1122 2 ????
O
y
x
A
B
D
?
?
Av
?
Dv
?
Cv?
Bv
?
P
AB?
例 题 20-2 § 20 动量原理
?例题
??
??
c o s)
2
5
2(
c o sc o s2
12
112
lmm
vmvmvmp CDAy
??
???
O
y
x
A
B
D
?
?
Av
?
Dv
?
Cv?
Bv
?
P
AB?
]c o ss i n[)252( 12 jilmmp ??? ??? ?????
或表示为：
?lmmppp yx )252( 1222 ????
?? c o tt a n ???
x
y
p
p
2
??? ???
x
y
p?
?
?
§ 20.3 动量定理
1,质点的动量定理
当质点质量不变时，牛顿第二定律可写为,? ? Fvmt ?? ?dd
? ? tFvm dd ?? ? (20.8)
物理意义,质点的动量的微分等于作用于其上的合力
的元冲量,称为 质点动量定理的微分形式 。
ItFvmvm tt ???? ??? ? d2
1
12 (20.9)
物理意义：质点在 至 时间间隔内动量的改变量
等于作用于其上的合力在同一时间间隔内的冲量，
称为 质点动量定理的积分形式 。
2t1t
在时间间隔 内积分,? ? tFvm t
t
t
t dd
2
1
2
1
?? ?? ?
21 ~ tt
已知质点系中质点,其质量为,速度为,iD im
iv?
2.质点系动量定理
作用于质点系中质点 上的内力为,外力为iD ??i
iF
? ? ?eiF?
由质点的动量定理式 (20.8)有：
? ? tFvm iiii )dF(d ( e )i)( ??? ?? (20.10)? ?ni,,2,1 ??
? ? ? ? ? ?? ? tFFvm iin
i
ii
n
i
dd ei
11
???
?? ??
??
ii
n
i
vmp ?? ?
?
?
1
)2.20(
? ? ? ? ? 0i
1
i
R ?? ?
?
i
n
i
FF ?? ? ? ? ?e
1
e
R i
n
i
FF ?? ?
?
?
? ? ? tFp dd e
R
?? ? (20.11)
物理意义,质点系动量的微分等于作用于其上的外力系
主矢的元冲量,称为 质点系动量定理的微分形式 。
对上式积分 ? ? tFp t
t
t
t dd
e
R
2
1
2
1
?? ?? ?
? ? ? ?ee
R12 d
2
1
ItFpp tt ???? ??? ? (20.12)
质点系在 至 时间间隔内动量的改变量等于作
用于其上的外力系的主矢在同一时间间隔内的冲量，
称为 质点系动量定理的积分形式 。
2t1t
3.动量定理的投影式
动量定理的表达式 (20.11),(20.12)都是矢量式，它们可
以向固连于 惯性参考空间 的 固定直角坐标轴 如 x轴上投
影，得到相应的投影式
? ? ? ? ? ? tFpp xxx ddd eR??? (20.13)
? ?e12 xxx Ipp ?? (20.14)
4.质点系的动量守恒定律
若质点系的外力系的主矢,? ? 0eR ?F?
由此得到 ? ? 0dd eR ?? tFp ??
则质点系的动量守恒：
若质点系的外力系的主矢在某一固连于惯性参考空间
的直角坐标轴如 x轴上的投影,? ? 0e
R ?xF
由此得到 ? ? ? ? ? ? 0ddd eR ??? tFpp xxx?
则质点系的动量在该轴上的投影守恒：
以上结论统称为 质点系的动量守恒定律 。
常矢量?p? (20.15)
c o n s t?xp (20.16)
注意 1.动量为矢量,刚体系统的动量为各刚体
动量的 矢量和 。
2.系统的动量的本质是描述其质量全部放在质心
后 质心所在点的运动 。
3.从质点系动量定理可知,质点系的内力不改变质
点系的动量 （但引起各部分动量的改变）。
太空中拔河, 谁胜谁负？
系统不受外力作用，动量守恒
不分胜负！
( ) 0A A B B A B Cm m m m? ? ? ? ?p v v v
炮弹在空中爆炸
质点系质心的运动只与外力系
的主矢有关，内力并不影响质
点系质心的运动。WF
N1Ff1 FN2 Ff2
人骑自行车在水平路面上
由静止出发开始前进。是
什么力使它有向前运动的
速度？
汽车在水平路面上的起动
和停止，起主要作用的是
什么力？
4.写动量定理或动量守恒定律的投影式，投影轴
必须是 惯性系中的固定坐标轴 。
§ 20.4 质心运动定理
1,质点系的质心运动定理
? ? tFp dd eR)11.20( ?? ?
Cvmp
??? )4.20( ? ? ? ? ?
tFvm C dd eR?? ?
对不变质点系 c o n s t?m
? ? tFvm C dd eR?? ?? ? ?e
Rd
d F
t
vm C ?? ?
? ?eRFam C ?? ? (20.15)
物理意义：质点系的质量与其质心加速度的乘积等于
作用于其上外力系的主矢，称为 质心运动定理 。
质点系质心的运动不仅与质点系的内力无关，而且
与作用于质点系上各外力的作用点位置也无关。
若质点系由 n个刚体组成，则由质心矢径公式知，其
质心运动定理可表示为：
? ?e
R
1
Fam Cii
n
i
??
??
?
(20.16)
式中,im 为第 i个刚体的质量；
Cia? 为第 i个刚体的质心加速度。
质心运动定理的投影式为：
)( eRxCx Fma ? （ 20.17)
)(
1
e
RxC i x
n
i
i Fam ??
?
（ 20.18)
2,质心运动守恒定律
当一个质点系由 n个刚体组成时，若作用于其上的外
力系主矢,? ? 0eR ?F?
且初始时系统的质心速度为零，则根据式 (20.15)容易
知道，系统的质心相对于某固定点 O的矢径：
设系统中各刚体的质心在同一时间间隔内产生有限位
移,Cir?? 则由上式及系统的质心矢径公式可得：
Cii
n
i
C rmrm
?? ?
?
?
1
? ?CiCii
n
i
rrm ?? ??? ?
? 1
常矢量?Cr? (20.17)
0
1
???
?
Cii
n
i
rm ? (20.18)
若外力系的主矢在固连于惯性参考空间的直角坐标
轴如 x轴上的投影为零，即,且初始时系统质
心速度在该轴上的投影等于零，则
? ? 0eR ?xF
? ? 0eR ?? xCx Fma (20.19)
Cii
n
i
C xmmx ?
?
?
1
? ?CiCii
n
i
xxm ??? ?
? 1
假设各刚体的质心对该轴的坐标值在同一时间间隔产生
有限改变量,Cix?
以上结论称为 质心运动的守恒定律 。
c o n s t?Cx (20.20)
0
1
???
?
Cii
n
i
xm (20.21)
? ? ? tFp dd e
R
?? ? (20.11)
? ? ? ?ee
R12 d
2
1
ItFpp tt ???? ??? ? (20.12)
? ? ? ? ? ? tFpp xxx ddd eR??? (20.13)
? ?e12 xxx Ipp ?? (20.14)
若质点系的外力系的主矢,? ? 0eR ?F?
常矢量?p? (20.15)
若质点系的外力系的主矢在某一固连于惯性参考空间
的直角坐标轴如 x轴上的投影,? ? 0e
R ?xF
c o n s t?xp (20.16)
若质点系由 n个刚体组成，其质心运动定理可表示为：
? ?e
R
1
Fam Cii
n
i
??
??
?
(20.16)
式中,im 为第 i个刚体的质量；
Cia? 为第 i个刚体的质心加速度。
质心运动定理的投影式为：
)( eRxCx Fma ? （ 20.17)
)(
1
e
RxC i x
n
i
i Fam ??
?
（ 20.18)
例 题 20-3
§ 20 动量原理?例题
椭圆摆由质量为 mA的滑块 A和
质量为 mB的单摆小球 B构成。
滑块可沿光滑水平面滑动,AB
杆长为 l,质量不计。试建立
系统的运动微分方程，并求水
平面对滑块 A的约束力。
x
y
B
AO
x
y
B
AO
例 题 20-3
§ 20 动量原理?例题
根据质点系动量定理在 x,y方向上
的投影式：
gmA?
gmB?
AF
?
x
?
解,1.系统受力和运动分析
系统受的外力有重力，地面约束力。
系统包括滑块和小球，为 2个自由
度，取 x和 ?为广义坐标
0)( ?? eRxx Fdtdp
gmgmFFdtdp BAAeRyy ???? )(
x
y
B
AO
gmA?
gmB?
AF
?
x
?
例 题 20-3
§ 20 动量原理?例题
2,系统的动量
Av
?
Ae vv
?? ?
rv
?
Bv
?
xvA ?? ??lvr ?
reB vvv
??? ??
?? co s?lvv ABx ??
?? s i n?lv By ?
此式向 x,y投影：
系统的动量为：
)c o s( ????? lxmxm
vmvmp
BA
BxBAxAx
???
??
)s i n( ???? lxmvmvmp BByBAyAy ????
d [ ( c o s ) ] 0
d ABm x m x lt ??? ? ?
gmgmFlxmdtd BAAB ???? )]s i n([ ????
系统运动
微分方程代入动量定理
x
y
B
AO
gmA?
gmB?
AF
?
x
?
例 题 20-3
§ 20 动量原理?例题
3.求地面的约束力
列系统的质心运动定理（ y 轴投影式）：
)( e
Ryiy
i
i Fam ??
Aa
?
Ae aa
?? ?
?ra?
nra?
????
???
c o ss i n
c o ss i n
2??? ll
aaa nrrBy
??
???
代入（ 1）式，得地面约束力为：
gmgmFamam BAAByBAyA ????? (1)
nrreB aaaa ???? ??? ?又
)c o ss i n()( 2 ???? ??? ???? lmgmmF BBAA （ ?）
例 题 20-3
§ 20 动量原理?例题
x
y
B
AO
gmA?
gmB?
AF
?
x
?
Aa
?
Ae aa
?? ?
?ra?
nra?
注意：本题的易错之处
（ 1）将 视为小球的绝对
速度。
??l
(2)在非惯性系中列动量方程。
例 题 20-4
§ 20 动量原理?例题
?
mm
M
r
质量为 m的两个相同小球，穿在质
量为 M，半径为 r的光滑圆环上，
无初速地从最高处滑下，圆环竖直
立于地面上，求 M与 m满足何种关
系时，圆环能从地面跳起来？
解,以小球为对象，分析其受力及运动状态：
?
NF
?
gm?
小球受重力及环的约束力，运动轨迹
为圆周。
na
? ?a?
取 为广义坐标，有：?
2??ra n ? ?? ??ra ?
例 题 20-4
§ 20 动量原理?例题
?
NF
?
gm?
na
? ?a?
?
n
?? s i nrg?? ??
对小球用积分形式动能定理：
)c o s1()(21 12212 ?? ????? m g rWrmTT ?
)c o s1(22 ?? ??? rg?
此式适用于任意位置，求导可得：
?
mm
M
r
)c o s1(22 ?? ??? gra n ?
??? s i ngra ?? ??
???? ???? ?? s i n22 rg
例 题 20-4
§ 20 动量原理?例题
?
mm
M
r
以圆环和小球组成质点系，在铅垂
方向列质点系质心运动定理：
)( e
RyC i y
i
i Fam ??
Nn FmgMgaamM ??????? 2)s i nc o s(20 ?? ?
gm?gm?
gM?
NF
?
?
NF
?
gm?
na
? ?a?
?
n
?? ? s i nc o s aaa nmy ?? （ ?）
0?Mya
)c o s1(22 ?? ??? gra n ?
??? s ingra ?? ??
)c o s2c o s3(2
)]c o s)c o s1(2( s in1[2
2
2
??
???
???
?????
mgMg
mgMgF N
若圆环脱离地面，则 0?
NF
)2c o s3(c o s2 ???? ??mM
例 题 20-4
§ 20 动量原理?例题
?
mm
M
r
若有,mM
3
2?
则上式必在某一 值处可以满足！?
)2c o s3(c o s2 ???? ??mM
22 )
3
1( c o s6
3
2)c o s
3
2( c o s6 ?????? ??? mmmM
)0( ?? ??
即：
例 题 20-5
§ 20 动量原理?例题
已知 AB=l,质量为 m ；平板 DE的质量为 2m，水平面
光滑,初始系统静止 。求 AB倒至 角时 ED的
位移 ?x和速度 v 。
?? 60?
A
B
D E A
B
D EA
B
D E
?
?xv?
例 题 20-5 § 20 动量原理
?例题
解,系统为 AB+DE，外力仅有铅垂方向
的重力和地面支持力。初始系统静
止，故水平方向质心运动守恒。
1.水平方向质心运动守恒
0?? Ci
i
i xm ?
0)s i n2()(2 ???? slmsm ?
设板 DE水平方向位移为向左移动了 s,
A
B
D E
x
y
sx C ??1? slx
C ??? ?s i n22
A
B
D E
?
v?
1Cx?
代入得：
llmmls 12 3s in632 s in ???? ??
（ ?）
例 题 20-5
§ 20 动量原理?例题
2,水平方向动量守恒
00 ?? xx pp
设 时 DE的速度为 v?? 60? （ ?）
A
B
D E
x
y
AD E
?
v?
1Cx?
B
CAB杆的质心为 C，取动点为
AB杆上的 C点，动系固连于
DE （平动），则：
reC vvv
??? ??
rv
?
v
AB
l ?
2
? ?
?? c o s2 ABCx lvv ????
0)c o s2()(2 ?????? ?? ABx lvmvmp
l
v
l
v
AB
12
c o s
6 ??
??
（ ?）
例 题 20-5
§ 20 动量原理?例题
3,机械能守恒
A
B
D E
x
y
AD E
?
v?
1Cx?
B
C
rv
?
取地面为势能零点，
00 VTVT ???
初始：
2,0 00
lmgVT ??
当 时：?? 60?
460c o s21
m g llmgV ???
222
1 2
1
2
12
2
1
ABCC JmvmvT ????
22
2
2
222
31c o s
12
)
12
(
4
)c o s (
2
2)
2
(
v
l
v
vl
l
vl
v
l
v
l
vv
ABABC
????
????
?
????
例 题 20-5
§ 20 动量原理?例题
A
B
D E
x
y
AD E
?
v?
1Cx?
B
C
rv
?
22
2
2
222
31c o s
12
)
12
(
4
)c o s (
2
2)
2
(
v
l
v
vl
l
vl
v
l
v
l
vv
ABABC
????
????
?
????
代入，得：
2
1 2
45 mvT ?
242
45 2 m g lm g lmv ??
90
2 glv ?
103
1 glv ?? （ ?）
