工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 31)
（下册）
§ 17 压杆稳定
§ 17.1 概述
上册 § 8 中曾讨论刚体的平衡稳定性，例如：
本章涉及变形体的平衡稳定性，例如：
压杆失稳
深梁弯曲失稳
易拉罐受压失稳
易拉罐受扭失稳
变形体由于失稳所造
成的破坏是整体破坏 —— 灾难性后果
§ 17.2 压杆稳定的基本概念
本章仅讨论受压杆件的稳定性
例如：两端
铰支杆件，
受轴向压力
crFF ?
crFF ?
两端铰支的细长压杆，受轴向压力 F
直线平
衡状态
—— 稳定！
直线平
衡状态 —— 不稳定！
受扰动后弯曲
去扰后为曲线平衡状态
压杆失稳 —— 压杆丧失直线形式的平衡状态转变
为曲线形式的平衡状态，这一过程称失稳，又称
屈曲 。
受扰动
后弯曲 去扰后
恢复
临界压力 （临界载荷） Fcr —— 使压杆出现失稳
现象的最小载荷
一般的细长压杆，当 时，杆中应力
P?? ?m a xcrFF ?
—— 即强度足够，但失稳破坏 —— 弹性压杆
弹性压杆的平衡路径及分叉屈曲：
：仅 OA 直线一种平衡形式
crFF ?
：二种可能平衡形式crFF ?
—— 稳定
f
F
A
D C
o
crF
B
F-f 曲线
AB 直线
AC（ AD） 曲线
f
F
F
不稳定
且失稳时 增长很快，f 时
crFF 015.1? lf 11.0?
曲线称为压杆的平衡路径曲线。 A点称为平衡路
径的分叉点。 ∴ 细长压杆的屈曲又称为分叉屈曲。
其临界载荷又称为分叉载荷。
fF ?
§ 17.3 细长压杆临界压力 Fcr的确定
1.静力法
以两端铰支,细长等截面直杆为例：
F=Fcr
x
w
l
x
F=Fcr
当 F=Fcr的临界状态时，取微弯平衡状态：
x截面上的弯矩为,wFxM
cr??)(
梁的挠曲线方程为：
wEIFEI xMdx wd cr??? )(2
2
令
EI
Fk cr?2 则有,02 ???? wkw
通解,kxBkxAxw c o ss i n)( ??
A,B为积分常数，由两端支座约束条件定
通解,kxBkxAxw c o ss i n)( ??
F=Fcr
x
w
l
x
F=Fcr
边界约束条件：
x=0,w=0 B=0
x=l,w=0 0s in ?klA
0s in 0 ??? klA?
?,2,1,,???? nlnknkl ??
xlnAxw ?s i n)( ?挠曲线为：
取 n =1, 最小非零解,22 )(
lkEI
F cr ???
2
2
l
EIF
cr
??两端铰支压杆临界压力 欧拉公式
（ 17.1）
2.能量法
F=Fcr
x
w
l
x
F=Fcr
当 F=Fcr的临界状态时,从直线平衡 微弯平衡
应变能的改变量为
?? ????? ll dxwEIdxEI xMV 0 20
2
)(22 )(?
外力功的增加为,lFW
cr ???
dxwdxdxwdxdsld 22 )(21)(1)( ?????????
? ???? l dxwl 0 2)(21
WV ??? ?
?
?
?
??
? l
l
cr
dxw
dxwEI
F
0
2
0
2
)(
)(
F=Fcr
x
w
l
x
F=Fcr
对两端铰支，设
l
xAxw ?s i n)( ? 可满足支座约束条件
0,,0,0 ???? wlxwx
2
2
0
2
0
2
2
2
)c o s(
)s in(
l
EI
dx
l
x
l
dx
l
x
A
l
EI
F
l
l
cr
?
??
??
?
?
??
?
?
利用能量法可求临界压力的近似解
3,其他支承条件细长压杆的临界压力
2
2
l
EIF
cr
??
2
2
)2( l
EIF
cr
??
2
2
)7.0( l
EIF
cr
??
2
2
)5.0( l
EIF
cr
??
长度系数 ?=0.5 ? = 0.7 ? = 1.0 ? = 2.0
F=Fcr
l
两端铰支
F=Fcr
l
一端固支
一端自由
F=Fcr
l
一端固支
一端铰支F=Fcr
l
两端固支
细长压杆临界压力
的欧拉公式 2
2
)( l
EIF
cr ?
?? (17.2)
? —— 长度系数 ?l —— 相当长度
?由压杆两端的支承条件决定，随支承约束条件的
减弱而增加（因而使压杆的 Fcr下降）,即约束条件
越弱的杆 Fcr越小，越容易失稳。
两端为其他支承条件的细长压杆（如介于固支与铰
支之间的弹性支承）,? 值可查工程设计手册。
F
l
F
l
F
l
例如：
? = 2.0 ? = 0.70.7< ? < 2.0
F
l
(a)
F
l
(b)
例如，将以下 4种情形临界压力的大小排序（各
杆材料、杆长、横截面相同）：
F
l
(c)
a a
F
l
(d)
a a
)()()()( dFcFaFbF crcrcrcr ???
§ 17.4 欧拉公式在压杆稳定中的应用
细长压杆临界压力
的欧拉公式 2
2
)( l
EIF
cr ?
?? (17.2)
1,式中的惯性矩 I
I 应为 横截面关于失稳弯曲中性轴的惯性矩 。
计算前应先判断截面一旦发生失稳弯曲，是
以哪根轴为中性轴的弯曲。
(1) 两端支座的约束条件若在横截面内各轴线所
在平面内完全相同，弯曲应发生于 I 数值最小
的平面内；
即公式中的 I 取横截面内的最小惯性矩 Imin
如：两端为球铰铰支，
F
h
b y
z
矩形截面，
zy II ?
失稳弯曲以 y 轴为中性轴，惯性矩应取
12
3
m i n
hbII
y ??
2
2
l
EI
F ycr
?
??
（ 2）两端支座的约束条件在不同平面内不一样，
应综合考虑长度系数 与截面惯性矩 I ；?
绕 y轴失稳弯曲，两端铰支：
F
h
b y
z
zy
2
2
l
EI
F yc r y
?
?
如：两端为柱铰铰支，
绕 z轴失稳弯曲，两端固支：
2
2
)5.0( l
EIF z
c r z
??
比较两者，应取较小者。
2.失稳时的挠曲线表达式
xlAxw ?s i n)( ?对两端铰支压杆
A为不定值，因为推导时采用了近似微分方程
3.欧拉公式为理论解，条件：
压杆无初曲率，轴向压力无偏心，材料均匀
f
F
实际压杆 F-f 曲线
f
F
A
D C
o
crF
B
理想压杆 F-f 曲线
§ 17.5 柔度 临界应力总图
1,临界应力与柔度
在临界压力 作用下，压杆横截面上的正应力为
临界应力,crF
cr?
2
2
2
22
2
2
)()()(
i
l
E
l
Ei
Al
EI
A
F cr
cr ?
?
?
?
?
?
? ????
令压杆的柔度
（长细比）为：
i
l?? ? （ 17.3）
压杆的临界应力为：
2
2
?
?? E
cr ?
（ 17.4)
柔度 反映了压杆的长度、两端约束、截面形状尺
寸因素对压杆临界应力的综合影响。
?
2.欧拉公式适用范围
推导欧拉公式的条件 —— 压杆为 弹性失稳
故应有
Pcr
E ?
?
?? ??
2
2
P?
依材料不同而不同，是材料常数
1 0 0
2 0 0
102 0 6 322 ????? ?
?
??
P
P
E
例如：钢
M P a
G P aE
P 200
206
?
?
?
P
P
E ?
?
?? ??? 2 (17.5)
满足 的压杆，称为 大柔度杆 。
P?? ?
只有大柔度压杆才可用欧拉公式：
2
2
2
2
)(
?
?
?
?
?
E
l
EI
F
cr
cr
?
?
时当 P?? ?
3.中柔度压杆和小柔度压杆
当 时，压杆不再是线弹性应力应变关系，
Pcr ?? ?
ScrP ??? ??
若,临界应力可用经验公式：
直线公式
?? bacr ??
抛物线公式
211 ?? bacr ??
(17.6)
(17.7)
直线公式
?? bacr ??
抛物线公式
211 ?? bacr ??
(17.6)
(17.7)
经验公式适用范围：
PS ??? ??
SScr ba ??? ???
b
a S
S
?? ?? (17.8)
PS ??? ??
满足 的压杆，称为 中柔度杆 。
例如：钢
M P aba S 2 3 5,12.1,3 0 4 ??? ?
6012.1 2 3 53 0 4 ???? S?
若用直线公式，则 应为：S?
满足 的压杆，称为 小柔度杆 。
S?? ?
对小柔度杆，不发生失稳，破坏是由于强度不足
Scr ?? ?
（或 ）
b? S?? ?
4,临界应力总图
S? P?
?
cr?
P?
S?
2
2
?
?? E
cr ?
Scr ?? ?
?? bacr ??
大柔度中柔度小柔度
b
a S
S
?? ??
P
P
E
?
?? 2?
是材料常数
5,压杆的临界压力或临界应力的确定
（ 1）由压杆的材料计算
b
a S
S
?? ??
P
P
E
?
?? 2?
（ 2）由压杆的长度、截面几何参数、两端支
座约束条件求杆的柔度：
i
l?? ?
圆截面
44/
64/
2
4 d
d
di ??
?
?
d
y
zh
b矩形
hbhbhAIi zz 6 312/
3
???
bbhhbAIi yy 6 312/
3
???
支座的约束在各平面内是否相同？
i值对截面内不同的轴是否不同？
特别注意：
i
l?? ? 应取
max?
（ 3）判断该杆柔度的范围：
PS ??? ??
中柔度杆
直线公式 ?? ba
cr ??
抛物线公式
211 ?? bacr ??
P?? ?
大柔度杆
2
2
?
?? E
cr ?
欧拉公式
S?? ?
小柔度杆
Scr ?? ?
（或 ）
b?（强度问题）
（ 4）临界压力与临界应力
crcr AF ??
（ 5）计算临界应力时，可不计横截面内的局
部削弱如钉、孔等影响。
例 题 17-1 § I7 压杆稳定
?例题
矩形截面 (b=12mm,h=20mm) 压杆,
l=300mm,材料为 Q-235A钢,计算其临界压力
(若为中柔度杆,用直线公式 )
(1) 一端固定,一端自由
(2) 两端铰支（球铰）
(3) 两端固定
crF
解：
6
312
3
m i n
m i n
b
bh
hb
A
I
i ???矩形截面
对 Q-235A钢，查表计算得：
60 100 ?? SP ??
h
b
例 题 17-1 § I7 压杆稳定
?例题
2??（ 1）一端固定,一端自由
1002.173
12
6
3
3002
m i n
m a x ???
?
?
?? P
i
l
?
?
? 可用欧拉公式：
kNN
A
E
AF
crcr
3.16103.16
2.173
201210206 3
2
32
2
m a x
2
1
???
????
?
??
?
?
?
?
1??（ 2） 两端铰支（球铰）
6.86
12
6
3
3 0 01
m a x ?
?
???
PS ??? ?? m a x 可用经验公式,
kNN
AbaF cr
7.49107.49
2012)6.8612.1304()(
3
2
???
??????? ?
例 题 17-1 § I7 压杆稳定
?例题
5.0??（ 3）两端固定
S?? ??
?
?
? 3.43
12
6
3
3005.0
m a x
kNNAF scr 4.56104.562012235 33 ??????? ?
§ 17.6 压杆稳定条件与结构的稳定性计算
1,压杆稳定条件
F
工作时的轴向压力
][
][ crst
cr F
n
FF ??
][ stn,稳定安全因数
][ crF,稳定许用载荷
或,工作时的安全因数
][ stcrst nFFn ??
一般钢材 ? ? 0.3~8.1?stn
铸铁 ? ? 5.5~0.5?stn 可查专业手册
重要部件 ? ? 0.6~0.4?stn
2.提高压杆稳定性的措施
对大、中柔度压杆
2
2
?
?? E
cr ? ?? bacr ??
若想提高临界应力，则应：
（ 1）减小杆的柔度 ?
i
l?? ?
加强支座的刚性 —— 使 减小?
减小跨度 l
合理选择截面形状尺寸 —— 增大 i
采用中空截面
合理安排截面方位
例如：
（ 2）合理选材
对大柔度杆
2
2
?
?? E
cr ?
对中柔度杆 ?? ba
cr ??
只与 E有关,各种钢材的 E值相差不多。
选用高强度钢材有效。
a,b与 有关，
PbS ???,,
3.等稳定性问题
y
zh
b 若
zy II ?
则
zy ii ?
若两端支座的约束条件在 xy和 xz两个
平面内不同，则
zy ?? ?
故绕 y轴弯曲失稳和绕 z轴弯曲失稳的柔度不同
z
z
z
y
y
y i
l
i
l ?
?
?
? ??
失稳最先发生于柔度最大的方向。
令各方向弯曲失稳的柔度相等：
z
z
z
y
y
y i
l
i
l ?
?
?
? ???
等稳定设计
—— 最经济合理
zy
z
y
例 题 17-2 § I7 压杆稳定
?例题
pD
d
汽缸直径,65 mmD ?,2.1 M P ap ? 活塞杆长,1 2 5 0 mml ?
材料,2 0 6 G P aE ?,2 2 0 M P aP ?? ? ?,6?stn
试确定活塞杆的直径 d （杆两端可简化为铰支）。
取稳定安全因数
例 题 17-2 § I7 压杆稳定
?例题
由于 d 未知,无法求，
也就不知该选什么公式？
?
解：
pD
d分析：
处理办法是先选用欧拉公式进行计算。求出 d 后，
再校核是否满足欧拉公式条件。
1,计算 crF
NpDF 3 9 8 02.16544 22 ?????? ??
? ? NFnF stcr 2 3 9 0 03 9 8 06 ?????
例 题 17-2 § I7 压杆稳定
?例题
2,用欧拉公式求 d
2
4
32
2
2
)1 2 5 01(
64
102 0 6
)( ?
???
??
d
ul
EIF
cr
??
?
∴ d =24.7 mm 取 d =25 mm
3,校核是否可用欧拉公式
200
4
25
125 01 ????
i
ul?
96
220
10206 3 ???? ?
?
??
P
P
E
可见,用欧拉公式计算是正确的。
结论,取 d =25 mmP
???
例 题 17-3 § I7 压杆稳定
?例题
图示结构,各段材料相同且均是直径为 d的圆截面杆,
C为刚结点。已知
,20 mmd ?
,2 0 0 G P aE ?,2 0 0 M P aP ??,5.0 ma ?
若稳定安全因数 ? ?,5.2?
stn
试按 DE杆的稳定条件确定许可载荷 。][q
2a a Ｃ
a
Ａ Ｂ
ＤaＥ
2a
q
例 题 17-3 § I7 压杆稳定
?例题
解,1,求解静不定：
相当系统,DE切开，代之以轴向压力 1X
2
2qa
2qa
（ M） A B C
DE
q
相当系统上仅作用原载荷时的内力图
1次静不定，
11 ?X
a
1??NF
11 ?X
2
a
（ M）
例 题 17-3 § I7 压杆稳定
?例题
??????????????? aaaaaaaaaEI 32)221(232)221(232)2221[(111?
EA
a
EI
a
EA
aaaa ???????
4
5]
3
2)
2
1 3
2.正则方程 0
1111 ?? FX ??
11 ?X
a
1??NF
11 ?X
2
a
（ M）
例 题 17-3 § I7 压杆稳定
?例题
?F1? ]2)2232(232)21(232)221[(1 222 aqaaaqaaaqaaEI ??????????????
EI
qa
6
5 4??
qX F 3 33.0
11
1
1 ??? ?
?∴
2
2qa
2qa
（ M） A B C
DE
qF D E N 333.0?∴ （压）
11 ?X
a
1??NF
11 ?X
2
a
（ M）
例 题 17-3 § I7 压杆稳定
?例题
2,DE杆两端铰支 1??∴
mmdi 54 ?? ma 5.0? 100?? i l??∴
35.99??
P
P
E
???
而
由于 可选用欧拉公式P?? ? KNAEAF crcr 6222 ???
?
??
kNnFF
st
cr
D E N 8.245.2
62
][][ ????
mkN
Fq D E N 4.74
3 3 3.0
][][ ???
qF D E N 333.0? （压）
2a a Ｃ
a
Ａ Ｂ
ＤaＥ
2a
q
例 题 17-3 § I7 压杆稳定
?例题
注：此题只要求由 DE杆的稳定性确定 [q]，
实际上 [q]还应考虑其他段的弯曲强度。
2a a Ｃ
a
Ａ Ｂ
ＤaＥ
2a
q
例 题 17-4 § I7 压杆稳定
?例题
A B
D
C
l
l l
AB,CD是材料相同的圆截面
杆（直径分别为 d1,d2），材
料的 E,线膨胀系数 ?l 已知，
若 CD 杆为大柔度杆，当 CD
杆的温度升高 ?t为 多少度时，
会发生失稳？
解,1.受力分析
结构为 2次静不定，
取相当系统如图：
A B
D
C
l
l l
X1
X2
X2
例 题 17-4 § I7 压杆稳定
?例题
A B
D
C
l
l l
X1=1
A B
D
C
l
l lX2=1
X2=1
2l
(M1)
2.正则方程
1
l
(M2 )
(FN2 )
0
0
2222121
1212111
????
????
t
t
XX
XX
??
??
例 题 17-4 § I7 压杆稳定
?例题
A B
D
C
l
l l
X1=1
A B
D
C
l
l lX2=1
X2=1
2l
(M1)
3.系数计算
1
3
1
11 3
8)2
3
222
2
1(1
EI
llll
EI ???????
21
3
21
22 3
811)
3
2
2
1(1
EA
l
EI
l
EA
llll
EI ??
?????????
1
l
(M2 )
(FN2 )
例 题 17-4 § I7 压杆稳定
?例题
2l
(M1)
1
l
(M2 )
(FN2 )
1
3
1
2112 6
5)2
6
5
2
1(1
EI
llll
EI ????????? ??
01 ?? t
A B
D
C
l
l l
?t
当相当系统仅有温升 ?t时,1
tllt ?????? ?2
（注意负号,?t 温升使杆伸
长，与 X2设为压力相反）
例 题 17-4 § I7 压杆稳定
?例题
4.代入正则方程
A B
D
C
l
l l
X1
X2
X2
0
6
5
3
8
2
1
3
1
1
3
?? X
EI
lX
EI
l
0)
3
(
6
5
2
21
3
1
1
3
?????? tlX
EA
l
EI
lX
EI
l
l?
联立解得：
2
2
4
12
1
2
12
1
21
32
67
96
967
96
96
7
d
d
l
tEI
A
I
l
tEI
EA
l
EI
l
tl
X lll
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??? （压力）
2
2
4
1
2
1
4
1
1
2
2
2
16
64
,
4
d
d
A
I
d
I
d
A
?
??
??
例 题 17-4 § I7 压杆稳定
?例题
5.CD杆的失稳条件 22
4
12
1
2
67
96
d
d
l
tEI
XF lN C D
?
?
??
?（压力）
A B
D
C
l
l l
CD杆两端铰支，临界压力为：
2
2
2
l
EIF
cr
??
故失稳时的温升为：
2
2
2
2
2
4
12
1
67
96
l
EI
d
d
l
tEIl ??
?
?
?
4
1
2
4
1
2
2
4
2
22
96
)67(
dl
dddlt
l?
? ????
例 题 17-5 § I7 压杆稳定
?例题
b
h
y
z
b1
h1
x
y
C
BA
Fl1
l
x
z
hh1
AB为矩形截面梁（ b1=10mm,h1=20mm,BC为大柔
度矩形截面杆（ b= cm,h= cm,),l1 =10cm,
l=50cm,E=206GPa,[?]=157MPa,[?]=40MPa，
[nst]=1.8,F=4.5kN,F力可在 AB上移动,BC两端为
柱铰（绕 y轴铰支，绕 z轴固支），校核该结构。
3/1 3
例 题 17-5 § I7 压杆稳定
?例题
b
h
y
z
b1
h1
x
y
C
BA
Fl1
l
x
z
hh1
解,1.受力分析
梁 AB：
当 F移到中点时：
4/1m a x FlM ?
当 F移到 A或 B时：
FF S ?m a x
杆 BC：压杆
当 F移到 B处时,FF
N ?m a x
（压）
例 题 17-5 § I7 压杆稳定
?例题
b
h
y
z
b1
h1
x
y
C
BA
Fl1
l
x
z
hh1 2.校核 BC杆的稳定性
绕 y轴失稳，
两端铰支,1?
y?
100
3
6
3
501
6
3
1 ??????
h
l
i
l
y
y
y
?
?
绕 z轴失稳，两端固支,5.0?
z?
150
3
1
6
3
505.0
6
3
5.0 ?
?
?????
b
l
i
l
z
z
z
??
yz ?? ?
故先绕 z轴
发生失稳
例 题 17-5 § I7 压杆稳定
?例题
b
h
y
z
b1
h1
x
y
C
BA
Fl1
l
x
z
hh1
BC杆的临
界压力为：
kN
l
EI
F
z
z
cr
04.9
)5 0 05.0(
10)
3
1
(
12
3
102 0 6
)(
2
4332
2
2
?
?
????
?
?
?
?
?
kNnFF
st
cr
cr 02.58.1
04.9
][][ ???
kNFkNFF crN 02.5][5.4m a x ?????
BC杆稳定
性足够！
例 题 17-5 § I7 压杆稳定
?例题
b
h
y
z
b1
h1
x
y
C
BA
Fl1
l
x
z
hh1
AB梁抗弯正应力强度不够！
3.校核 AB梁
M P aM P a
hb
Fl
W
M
157][8.168
6/2010
4/100105.4
6/
4/
2
3
2
11
1m a x
m a x
???
?
??
?
??
?
?
且：
%5%5.7157 1578.168 ???
M P aM P ahbF S 40][8.3320102 105.4323
3
11
ma x
ma x ?????
???? ??
§ 17.7 提高压杆稳定性的措施
越大稳定性越好cr?
?
?
?
?
?
????
?
2
11
2
2
????
?
?
?
baba
E
crcr
cr
或
大柔度杆
中柔度杆
A
Ii
i
l ??,??
减小柔度
?，可增
加 cr?
1.减小柔度 ?的途径：
(1)增强支承的刚性使 。??
(2)减小压杆长度 l,可增加中间支承。
(3)合理选择截面形状和尺寸使,当 A一定时，
增大 I最经济的方法是采用中空截面 。
?i
或用型钢制成组合截面（但不能使相互连接变弱，
造成各型钢近似为独立杆）。
等稳定性 —— 各弯曲平面内的柔度相等
若两端支座在各个弯曲面内约束相同，即 相同，
则应选 的截面形状 。
yz II ?
?
若两端支座在各个弯曲面内约束不同，则 不同，
则应选 的截面形状,但使
yz II ? zy ?? ?
?
(1)对大柔度杆,选用 E大的材料较好
2
2
?
?? E
cr ?
(3)对小柔度杆,本身即强度问题。
(2)对中柔度杆由于,计算出的
与,有关，
?? bacr ??
P? ? ?bs ??
强度越高,也越高。cr?
cr?
2.合理选用材料
可
选
择
高
强
度
材
料
—— 各种钢材的 E值相差不大！
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 31)
（下册）
§ 17 压杆稳定
§ 17.1 概述
上册 § 8 中曾讨论刚体的平衡稳定性，例如：
本章涉及变形体的平衡稳定性，例如：
压杆失稳
深梁弯曲失稳
易拉罐受压失稳
易拉罐受扭失稳
变形体由于失稳所造
成的破坏是整体破坏 —— 灾难性后果
§ 17.2 压杆稳定的基本概念
本章仅讨论受压杆件的稳定性
例如：两端
铰支杆件，
受轴向压力
crFF ?
crFF ?
两端铰支的细长压杆，受轴向压力 F
直线平
衡状态
—— 稳定！
直线平
衡状态 —— 不稳定！
受扰动后弯曲
去扰后为曲线平衡状态
压杆失稳 —— 压杆丧失直线形式的平衡状态转变
为曲线形式的平衡状态，这一过程称失稳，又称
屈曲 。
受扰动
后弯曲 去扰后
恢复
临界压力 （临界载荷） Fcr —— 使压杆出现失稳
现象的最小载荷
一般的细长压杆，当 时，杆中应力
P?? ?m a xcrFF ?
—— 即强度足够，但失稳破坏 —— 弹性压杆
弹性压杆的平衡路径及分叉屈曲：
：仅 OA 直线一种平衡形式
crFF ?
：二种可能平衡形式crFF ?
—— 稳定
f
F
A
D C
o
crF
B
F-f 曲线
AB 直线
AC（ AD） 曲线
f
F
F
不稳定
且失稳时 增长很快，f 时
crFF 015.1? lf 11.0?
曲线称为压杆的平衡路径曲线。 A点称为平衡路
径的分叉点。 ∴ 细长压杆的屈曲又称为分叉屈曲。
其临界载荷又称为分叉载荷。
fF ?
§ 17.3 细长压杆临界压力 Fcr的确定
1.静力法
以两端铰支,细长等截面直杆为例：
F=Fcr
x
w
l
x
F=Fcr
当 F=Fcr的临界状态时，取微弯平衡状态：
x截面上的弯矩为,wFxM
cr??)(
梁的挠曲线方程为：
wEIFEI xMdx wd cr??? )(2
2
令
EI
Fk cr?2 则有,02 ???? wkw
通解,kxBkxAxw c o ss i n)( ??
A,B为积分常数，由两端支座约束条件定
通解,kxBkxAxw c o ss i n)( ??
F=Fcr
x
w
l
x
F=Fcr
边界约束条件：
x=0,w=0 B=0
x=l,w=0 0s in ?klA
0s in 0 ??? klA?
?,2,1,,???? nlnknkl ??
xlnAxw ?s i n)( ?挠曲线为：
取 n =1, 最小非零解,22 )(
lkEI
F cr ???
2
2
l
EIF
cr
??两端铰支压杆临界压力 欧拉公式
（ 17.1）
2.能量法
F=Fcr
x
w
l
x
F=Fcr
当 F=Fcr的临界状态时,从直线平衡 微弯平衡
应变能的改变量为
?? ????? ll dxwEIdxEI xMV 0 20
2
)(22 )(?
外力功的增加为,lFW
cr ???
dxwdxdxwdxdsld 22 )(21)(1)( ?????????
? ???? l dxwl 0 2)(21
WV ??? ?
?
?
?
??
? l
l
cr
dxw
dxwEI
F
0
2
0
2
)(
)(
F=Fcr
x
w
l
x
F=Fcr
对两端铰支，设
l
xAxw ?s i n)( ? 可满足支座约束条件
0,,0,0 ???? wlxwx
2
2
0
2
0
2
2
2
)c o s(
)s in(
l
EI
dx
l
x
l
dx
l
x
A
l
EI
F
l
l
cr
?
??
??
?
?
??
?
?
利用能量法可求临界压力的近似解
3,其他支承条件细长压杆的临界压力
2
2
l
EIF
cr
??
2
2
)2( l
EIF
cr
??
2
2
)7.0( l
EIF
cr
??
2
2
)5.0( l
EIF
cr
??
长度系数 ?=0.5 ? = 0.7 ? = 1.0 ? = 2.0
F=Fcr
l
两端铰支
F=Fcr
l
一端固支
一端自由
F=Fcr
l
一端固支
一端铰支F=Fcr
l
两端固支
细长压杆临界压力
的欧拉公式 2
2
)( l
EIF
cr ?
?? (17.2)
? —— 长度系数 ?l —— 相当长度
?由压杆两端的支承条件决定，随支承约束条件的
减弱而增加（因而使压杆的 Fcr下降）,即约束条件
越弱的杆 Fcr越小，越容易失稳。
两端为其他支承条件的细长压杆（如介于固支与铰
支之间的弹性支承）,? 值可查工程设计手册。
F
l
F
l
F
l
例如：
? = 2.0 ? = 0.70.7< ? < 2.0
F
l
(a)
F
l
(b)
例如，将以下 4种情形临界压力的大小排序（各
杆材料、杆长、横截面相同）：
F
l
(c)
a a
F
l
(d)
a a
)()()()( dFcFaFbF crcrcrcr ???
§ 17.4 欧拉公式在压杆稳定中的应用
细长压杆临界压力
的欧拉公式 2
2
)( l
EIF
cr ?
?? (17.2)
1,式中的惯性矩 I
I 应为 横截面关于失稳弯曲中性轴的惯性矩 。
计算前应先判断截面一旦发生失稳弯曲，是
以哪根轴为中性轴的弯曲。
(1) 两端支座的约束条件若在横截面内各轴线所
在平面内完全相同，弯曲应发生于 I 数值最小
的平面内；
即公式中的 I 取横截面内的最小惯性矩 Imin
如：两端为球铰铰支，
F
h
b y
z
矩形截面，
zy II ?
失稳弯曲以 y 轴为中性轴，惯性矩应取
12
3
m i n
hbII
y ??
2
2
l
EI
F ycr
?
??
（ 2）两端支座的约束条件在不同平面内不一样，
应综合考虑长度系数 与截面惯性矩 I ；?
绕 y轴失稳弯曲，两端铰支：
F
h
b y
z
zy
2
2
l
EI
F yc r y
?
?
如：两端为柱铰铰支，
绕 z轴失稳弯曲，两端固支：
2
2
)5.0( l
EIF z
c r z
??
比较两者，应取较小者。
2.失稳时的挠曲线表达式
xlAxw ?s i n)( ?对两端铰支压杆
A为不定值，因为推导时采用了近似微分方程
3.欧拉公式为理论解，条件：
压杆无初曲率，轴向压力无偏心，材料均匀
f
F
实际压杆 F-f 曲线
f
F
A
D C
o
crF
B
理想压杆 F-f 曲线
§ 17.5 柔度 临界应力总图
1,临界应力与柔度
在临界压力 作用下，压杆横截面上的正应力为
临界应力,crF
cr?
2
2
2
22
2
2
)()()(
i
l
E
l
Ei
Al
EI
A
F cr
cr ?
?
?
?
?
?
? ????
令压杆的柔度
（长细比）为：
i
l?? ? （ 17.3）
压杆的临界应力为：
2
2
?
?? E
cr ?
（ 17.4)
柔度 反映了压杆的长度、两端约束、截面形状尺
寸因素对压杆临界应力的综合影响。
?
2.欧拉公式适用范围
推导欧拉公式的条件 —— 压杆为 弹性失稳
故应有
Pcr
E ?
?
?? ??
2
2
P?
依材料不同而不同，是材料常数
1 0 0
2 0 0
102 0 6 322 ????? ?
?
??
P
P
E
例如：钢
M P a
G P aE
P 200
206
?
?
?
P
P
E ?
?
?? ??? 2 (17.5)
满足 的压杆，称为 大柔度杆 。
P?? ?
只有大柔度压杆才可用欧拉公式：
2
2
2
2
)(
?
?
?
?
?
E
l
EI
F
cr
cr
?
?
时当 P?? ?
3.中柔度压杆和小柔度压杆
当 时，压杆不再是线弹性应力应变关系，
Pcr ?? ?
ScrP ??? ??
若,临界应力可用经验公式：
直线公式
?? bacr ??
抛物线公式
211 ?? bacr ??
(17.6)
(17.7)
直线公式
?? bacr ??
抛物线公式
211 ?? bacr ??
(17.6)
(17.7)
经验公式适用范围：
PS ??? ??
SScr ba ??? ???
b
a S
S
?? ?? (17.8)
PS ??? ??
满足 的压杆，称为 中柔度杆 。
例如：钢
M P aba S 2 3 5,12.1,3 0 4 ??? ?
6012.1 2 3 53 0 4 ???? S?
若用直线公式，则 应为：S?
满足 的压杆，称为 小柔度杆 。
S?? ?
对小柔度杆，不发生失稳，破坏是由于强度不足
Scr ?? ?
（或 ）
b? S?? ?
4,临界应力总图
S? P?
?
cr?
P?
S?
2
2
?
?? E
cr ?
Scr ?? ?
?? bacr ??
大柔度中柔度小柔度
b
a S
S
?? ??
P
P
E
?
?? 2?
是材料常数
5,压杆的临界压力或临界应力的确定
（ 1）由压杆的材料计算
b
a S
S
?? ??
P
P
E
?
?? 2?
（ 2）由压杆的长度、截面几何参数、两端支
座约束条件求杆的柔度：
i
l?? ?
圆截面
44/
64/
2
4 d
d
di ??
?
?
d
y
zh
b矩形
hbhbhAIi zz 6 312/
3
???
bbhhbAIi yy 6 312/
3
???
支座的约束在各平面内是否相同？
i值对截面内不同的轴是否不同？
特别注意：
i
l?? ? 应取
max?
（ 3）判断该杆柔度的范围：
PS ??? ??
中柔度杆
直线公式 ?? ba
cr ??
抛物线公式
211 ?? bacr ??
P?? ?
大柔度杆
2
2
?
?? E
cr ?
欧拉公式
S?? ?
小柔度杆
Scr ?? ?
（或 ）
b?（强度问题）
（ 4）临界压力与临界应力
crcr AF ??
（ 5）计算临界应力时，可不计横截面内的局
部削弱如钉、孔等影响。
例 题 17-1 § I7 压杆稳定
?例题
矩形截面 (b=12mm,h=20mm) 压杆,
l=300mm,材料为 Q-235A钢,计算其临界压力
(若为中柔度杆,用直线公式 )
(1) 一端固定,一端自由
(2) 两端铰支（球铰）
(3) 两端固定
crF
解：
6
312
3
m i n
m i n
b
bh
hb
A
I
i ???矩形截面
对 Q-235A钢，查表计算得：
60 100 ?? SP ??
h
b
例 题 17-1 § I7 压杆稳定
?例题
2??（ 1）一端固定,一端自由
1002.173
12
6
3
3002
m i n
m a x ???
?
?
?? P
i
l
?
?
? 可用欧拉公式：
kNN
A
E
AF
crcr
3.16103.16
2.173
201210206 3
2
32
2
m a x
2
1
???
????
?
??
?
?
?
?
1??（ 2） 两端铰支（球铰）
6.86
12
6
3
3 0 01
m a x ?
?
???
PS ??? ?? m a x 可用经验公式,
kNN
AbaF cr
7.49107.49
2012)6.8612.1304()(
3
2
???
??????? ?
例 题 17-1 § I7 压杆稳定
?例题
5.0??（ 3）两端固定
S?? ??
?
?
? 3.43
12
6
3
3005.0
m a x
kNNAF scr 4.56104.562012235 33 ??????? ?
§ 17.6 压杆稳定条件与结构的稳定性计算
1,压杆稳定条件
F
工作时的轴向压力
][
][ crst
cr F
n
FF ??
][ stn,稳定安全因数
][ crF,稳定许用载荷
或,工作时的安全因数
][ stcrst nFFn ??
一般钢材 ? ? 0.3~8.1?stn
铸铁 ? ? 5.5~0.5?stn 可查专业手册
重要部件 ? ? 0.6~0.4?stn
2.提高压杆稳定性的措施
对大、中柔度压杆
2
2
?
?? E
cr ? ?? bacr ??
若想提高临界应力，则应：
（ 1）减小杆的柔度 ?
i
l?? ?
加强支座的刚性 —— 使 减小?
减小跨度 l
合理选择截面形状尺寸 —— 增大 i
采用中空截面
合理安排截面方位
例如：
（ 2）合理选材
对大柔度杆
2
2
?
?? E
cr ?
对中柔度杆 ?? ba
cr ??
只与 E有关,各种钢材的 E值相差不多。
选用高强度钢材有效。
a,b与 有关，
PbS ???,,
3.等稳定性问题
y
zh
b 若
zy II ?
则
zy ii ?
若两端支座的约束条件在 xy和 xz两个
平面内不同，则
zy ?? ?
故绕 y轴弯曲失稳和绕 z轴弯曲失稳的柔度不同
z
z
z
y
y
y i
l
i
l ?
?
?
? ??
失稳最先发生于柔度最大的方向。
令各方向弯曲失稳的柔度相等：
z
z
z
y
y
y i
l
i
l ?
?
?
? ???
等稳定设计
—— 最经济合理
zy
z
y
例 题 17-2 § I7 压杆稳定
?例题
pD
d
汽缸直径,65 mmD ?,2.1 M P ap ? 活塞杆长,1 2 5 0 mml ?
材料,2 0 6 G P aE ?,2 2 0 M P aP ?? ? ?,6?stn
试确定活塞杆的直径 d （杆两端可简化为铰支）。
取稳定安全因数
例 题 17-2 § I7 压杆稳定
?例题
由于 d 未知,无法求，
也就不知该选什么公式？
?
解：
pD
d分析：
处理办法是先选用欧拉公式进行计算。求出 d 后，
再校核是否满足欧拉公式条件。
1,计算 crF
NpDF 3 9 8 02.16544 22 ?????? ??
? ? NFnF stcr 2 3 9 0 03 9 8 06 ?????
例 题 17-2 § I7 压杆稳定
?例题
2,用欧拉公式求 d
2
4
32
2
2
)1 2 5 01(
64
102 0 6
)( ?
???
??
d
ul
EIF
cr
??
?
∴ d =24.7 mm 取 d =25 mm
3,校核是否可用欧拉公式
200
4
25
125 01 ????
i
ul?
96
220
10206 3 ???? ?
?
??
P
P
E
可见,用欧拉公式计算是正确的。
结论,取 d =25 mmP
???
例 题 17-3 § I7 压杆稳定
?例题
图示结构,各段材料相同且均是直径为 d的圆截面杆,
C为刚结点。已知
,20 mmd ?
,2 0 0 G P aE ?,2 0 0 M P aP ??,5.0 ma ?
若稳定安全因数 ? ?,5.2?
stn
试按 DE杆的稳定条件确定许可载荷 。][q
2a a Ｃ
a
Ａ Ｂ
ＤaＥ
2a
q
例 题 17-3 § I7 压杆稳定
?例题
解,1,求解静不定：
相当系统,DE切开，代之以轴向压力 1X
2
2qa
2qa
（ M） A B C
DE
q
相当系统上仅作用原载荷时的内力图
1次静不定，
11 ?X
a
1??NF
11 ?X
2
a
（ M）
例 题 17-3 § I7 压杆稳定
?例题
??????????????? aaaaaaaaaEI 32)221(232)221(232)2221[(111?
EA
a
EI
a
EA
aaaa ???????
4
5]
3
2)
2
1 3
2.正则方程 0
1111 ?? FX ??
11 ?X
a
1??NF
11 ?X
2
a
（ M）
例 题 17-3 § I7 压杆稳定
?例题
?F1? ]2)2232(232)21(232)221[(1 222 aqaaaqaaaqaaEI ??????????????
EI
qa
6
5 4??
qX F 3 33.0
11
1
1 ??? ?
?∴
2
2qa
2qa
（ M） A B C
DE
qF D E N 333.0?∴ （压）
11 ?X
a
1??NF
11 ?X
2
a
（ M）
例 题 17-3 § I7 压杆稳定
?例题
2,DE杆两端铰支 1??∴
mmdi 54 ?? ma 5.0? 100?? i l??∴
35.99??
P
P
E
???
而
由于 可选用欧拉公式P?? ? KNAEAF crcr 6222 ???
?
??
kNnFF
st
cr
D E N 8.245.2
62
][][ ????
mkN
Fq D E N 4.74
3 3 3.0
][][ ???
qF D E N 333.0? （压）
2a a Ｃ
a
Ａ Ｂ
ＤaＥ
2a
q
例 题 17-3 § I7 压杆稳定
?例题
注：此题只要求由 DE杆的稳定性确定 [q]，
实际上 [q]还应考虑其他段的弯曲强度。
2a a Ｃ
a
Ａ Ｂ
ＤaＥ
2a
q
例 题 17-4 § I7 压杆稳定
?例题
A B
D
C
l
l l
AB,CD是材料相同的圆截面
杆（直径分别为 d1,d2），材
料的 E,线膨胀系数 ?l 已知，
若 CD 杆为大柔度杆，当 CD
杆的温度升高 ?t为 多少度时，
会发生失稳？
解,1.受力分析
结构为 2次静不定，
取相当系统如图：
A B
D
C
l
l l
X1
X2
X2
例 题 17-4 § I7 压杆稳定
?例题
A B
D
C
l
l l
X1=1
A B
D
C
l
l lX2=1
X2=1
2l
(M1)
2.正则方程
1
l
(M2 )
(FN2 )
0
0
2222121
1212111
????
????
t
t
XX
XX
??
??
例 题 17-4 § I7 压杆稳定
?例题
A B
D
C
l
l l
X1=1
A B
D
C
l
l lX2=1
X2=1
2l
(M1)
3.系数计算
1
3
1
11 3
8)2
3
222
2
1(1
EI
llll
EI ???????
21
3
21
22 3
811)
3
2
2
1(1
EA
l
EI
l
EA
llll
EI ??
?????????
1
l
(M2 )
(FN2 )
例 题 17-4 § I7 压杆稳定
?例题
2l
(M1)
1
l
(M2 )
(FN2 )
1
3
1
2112 6
5)2
6
5
2
1(1
EI
llll
EI ????????? ??
01 ?? t
A B
D
C
l
l l
?t
当相当系统仅有温升 ?t时,1
tllt ?????? ?2
（注意负号,?t 温升使杆伸
长，与 X2设为压力相反）
例 题 17-4 § I7 压杆稳定
?例题
4.代入正则方程
A B
D
C
l
l l
X1
X2
X2
0
6
5
3
8
2
1
3
1
1
3
?? X
EI
lX
EI
l
0)
3
(
6
5
2
21
3
1
1
3
?????? tlX
EA
l
EI
lX
EI
l
l?
联立解得：
2
2
4
12
1
2
12
1
21
32
67
96
967
96
96
7
d
d
l
tEI
A
I
l
tEI
EA
l
EI
l
tl
X lll
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??? （压力）
2
2
4
1
2
1
4
1
1
2
2
2
16
64
,
4
d
d
A
I
d
I
d
A
?
??
??
例 题 17-4 § I7 压杆稳定
?例题
5.CD杆的失稳条件 22
4
12
1
2
67
96
d
d
l
tEI
XF lN C D
?
?
??
?（压力）
A B
D
C
l
l l
CD杆两端铰支，临界压力为：
2
2
2
l
EIF
cr
??
故失稳时的温升为：
2
2
2
2
2
4
12
1
67
96
l
EI
d
d
l
tEIl ??
?
?
?
4
1
2
4
1
2
2
4
2
22
96
)67(
dl
dddlt
l?
? ????
例 题 17-5 § I7 压杆稳定
?例题
b
h
y
z
b1
h1
x
y
C
BA
Fl1
l
x
z
hh1
AB为矩形截面梁（ b1=10mm,h1=20mm,BC为大柔
度矩形截面杆（ b= cm,h= cm,),l1 =10cm,
l=50cm,E=206GPa,[?]=157MPa,[?]=40MPa，
[nst]=1.8,F=4.5kN,F力可在 AB上移动,BC两端为
柱铰（绕 y轴铰支，绕 z轴固支），校核该结构。
3/1 3
例 题 17-5 § I7 压杆稳定
?例题
b
h
y
z
b1
h1
x
y
C
BA
Fl1
l
x
z
hh1
解,1.受力分析
梁 AB：
当 F移到中点时：
4/1m a x FlM ?
当 F移到 A或 B时：
FF S ?m a x
杆 BC：压杆
当 F移到 B处时,FF
N ?m a x
（压）
例 题 17-5 § I7 压杆稳定
?例题
b
h
y
z
b1
h1
x
y
C
BA
Fl1
l
x
z
hh1 2.校核 BC杆的稳定性
绕 y轴失稳，
两端铰支,1?
y?
100
3
6
3
501
6
3
1 ??????
h
l
i
l
y
y
y
?
?
绕 z轴失稳，两端固支,5.0?
z?
150
3
1
6
3
505.0
6
3
5.0 ?
?
?????
b
l
i
l
z
z
z
??
yz ?? ?
故先绕 z轴
发生失稳
例 题 17-5 § I7 压杆稳定
?例题
b
h
y
z
b1
h1
x
y
C
BA
Fl1
l
x
z
hh1
BC杆的临
界压力为：
kN
l
EI
F
z
z
cr
04.9
)5 0 05.0(
10)
3
1
(
12
3
102 0 6
)(
2
4332
2
2
?
?
????
?
?
?
?
?
kNnFF
st
cr
cr 02.58.1
04.9
][][ ???
kNFkNFF crN 02.5][5.4m a x ?????
BC杆稳定
性足够！
例 题 17-5 § I7 压杆稳定
?例题
b
h
y
z
b1
h1
x
y
C
BA
Fl1
l
x
z
hh1
AB梁抗弯正应力强度不够！
3.校核 AB梁
M P aM P a
hb
Fl
W
M
157][8.168
6/2010
4/100105.4
6/
4/
2
3
2
11
1m a x
m a x
???
?
??
?
??
?
?
且：
%5%5.7157 1578.168 ???
M P aM P ahbF S 40][8.3320102 105.4323
3
11
ma x
ma x ?????
???? ??
§ 17.7 提高压杆稳定性的措施
越大稳定性越好cr?
?
?
?
?
?
????
?
2
11
2
2
????
?
?
?
baba
E
crcr
cr
或
大柔度杆
中柔度杆
A
Ii
i
l ??,??
减小柔度
?，可增
加 cr?
1.减小柔度 ?的途径：
(1)增强支承的刚性使 。??
(2)减小压杆长度 l,可增加中间支承。
(3)合理选择截面形状和尺寸使,当 A一定时，
增大 I最经济的方法是采用中空截面 。
?i
或用型钢制成组合截面（但不能使相互连接变弱，
造成各型钢近似为独立杆）。
等稳定性 —— 各弯曲平面内的柔度相等
若两端支座在各个弯曲面内约束相同，即 相同，
则应选 的截面形状 。
yz II ?
?
若两端支座在各个弯曲面内约束不同，则 不同，
则应选 的截面形状,但使
yz II ? zy ?? ?
?
(1)对大柔度杆,选用 E大的材料较好
2
2
?
?? E
cr ?
(3)对小柔度杆,本身即强度问题。
(2)对中柔度杆由于,计算出的
与,有关，
?? bacr ??
P? ? ?bs ??
强度越高,也越高。cr?
cr?
2.合理选用材料
可
选
择
高
强
度
材
料
—— 各种钢材的 E值相差不大！
