工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 25)
（下册）
§ 12 扭转
§ 12.1 圆轴扭转时的应力分析
1,扭转的概念
4种基本变形（轴向拉压、剪切、扭转、弯曲）之一
特点：
几何 —— 直杆（轴）
圆截面轴（实心、空心）
非圆截面轴
外力 —— 仅有轴横截面内的外力偶
内力 —— 横截面上只有扭矩
变形 —— 横截面绕轴线转动，任意两横截面产
生相对扭转角
例如，传动轴：主动轮 1，从动轮 2,3
1 2 3
Mt1 Mt2 Mt3
已知：轴的转速 —— n (转 /分,r/min)
该轮传递的功率（输入或输出） —— N (KW)
则该轮处的外力偶矩为：
m in )/(
)(9 5 4 9)(
rn
KWNmNM
t ??
主动轮或输入功率处 Mt与 n 同向；
从动轮或输出功率处 Mt与 n 反向。
1 2 3
Mt1 Mt2 Mt3
mNnNM t ???? 1.2 2 2 83 0 0709 5 4 99 5 4 91
mNM t ??? 9.9 5 43 0 0309 5 4 92
mNM t ??? 2.1 2 7 3300409 5 4 93
70KW
30KW 40KWn=300 r/min若已知：
2228.1N?m 954.9N?m 1273.2N?m
x1 x
22228.1N?m
T(x1)
1273.2N?m
T(x2)
mNxT ?? 1.2 2 2 8)( 1 mNxT ?? 2.1 2 7 3)( 2
(T)
2228.1N?m
1273.2N?m
2,圆轴扭转应力分析
（ 1）圆轴扭转变形几何关系
MtMt
单元体：纯剪切 ?
变形后观察：轴向线，仍为直线，长短不变，倾斜 ?角
圆周线，大小形状不变，绕杆轴转动
圆轴扭转平面假定：横截面变形后仍为平面，
形状大小不变，绕杆轴转过一个角度。
R
B’
C’
?R d?
表层处的单元体 ABCD
的切应变：
dx
dR
dx
Rd
AB
BB
R
??? ????
O1 O2
A B
CD
dx
R
dx
d
dx
d ?????
? ??
(a)
?R
O1 O2
A B
CD
B’
C’
d?
dx
?
距离杆的轴线 O1O2
半径为 ?处的单元体
的切应变为：
其中
dx
d?? ?? 称为 单位长度的扭转角
在某一横截面上
?dxd?
常数
?在横截面上半径为 ?处切应变,
且 半径
?? ? ?
???
?
??
T
（ 2） 物理关系
由剪切胡克定律
dx
dGG ????
?? ??
（ b）
故横截面上半径为 ?处切应力
?? ? ?
圆心 ? =0处,0
0 ????
圆截面周边 ?=R处，
m a x?? ? ?? R
横截面上切应力沿半径三角形
分布，且方向垂直于半径。
?
??
T
max?
max?
（ 3）静力学关系
dx
d
dx
d ?????
? ??
(a)
dx
dGG ????
?? ??
（ b）
T
max?
max?
?dA
??
横截面上分布切应力构成的合
力偶矩就是该截面上的扭矩 T
dAdxdGdAdxdGdAT
AAA ???
??? 2??????? ?
称为 截面极惯性矩,单位,m4,cm4,mm4
记几何量 dAI
Ap ??
2? (12.1)
由此可求出
dx
d?
dx
dGIdA
dx
dGT
pA
??? ??? ? 2(c)
dx
dGIT
p
?? (c)
dx
d
dx
d ?????
? ??
(a)
dx
dGG ????
?? ?? （ b）
故得出：
pGI
T
dx
d ??? ?? (12.2)
pp I
T
GI
TG ???
? ??
(12.3)
ppp W
T
R
I
T
I
TR
???m a x?
(12.4)
记 扭转截面系数
R
IW p
p ?单位,m3,cm3,mm3
(12.5)
以上分析只适用于圆截面轴（实心、空心、圆锥轴）
几何量 Ip,Wp,
32
2
42/
0
22 DddAI
D
Ap
?????? ??? ??
16
2
32
34 D
D
D
R
I
W pp
??
?
?
??
实心圆轴，直径 D,
D
)1(3232 )( 4
444
??? ???? DdDI p
)1(162/ 4
3
?? ??? DD IW pp
空心圆轴，内、外径 d,D,?=d/D,
Dd
圆轴扭转时横截面上的切应力分布：
T
pW
T?
m a x?
pW
T?
m a x?
pW
T?
m ax?
实心圆轴,T
pW
T?
max?
pW
T?
max?
pW
T?
max?
空心圆轴：
实验：圆轴扭转
3,扭转时轴内各点的应力状态
??
??
??
??
主单元体,?1 =??
?3= -??
45°
45
°主方向为 ± 45°
主应力：
?1= ??, ?2= 0, ?3= - ??
?
各点为纯剪切：
pI
T ??
? ?
?
?
??-??
4,扭转应力的测量
TT
?max
?1= ?max
?3= - ?max
-
45°
纯剪应力状态：由广义胡克定律 ? ?
)(1 3211 ????? ??? E
m a x
m a xm a x
3145
)1()()(1 ?????????
EEE
??????
??
?
??
???
??
1
45
m a x
E
W
T
p
5,圆轴扭转时的变形分析
由单位长度的扭转角：
pGI
T
dx
d ??? ?? (12.2)
故得出相距 dx的两截面间的相对扭转角：
pGI
Td xd ??
l
TT
xA B
?? ?? l
p
lAB GI
T d xd
0
??
A, B两截面间的相对扭转角为：
（ 12.5）
若轴在 l 段内扭矩 T=常数，则：
pGI
Tl?? (12.6) ?的单位为弧度
pGI
Tl?? (12.6)
扭转变形公式
其中 GIp称为 扭转刚度
若轴中扭矩为分段常数
??
i pii
ii
IG
lT? (12.7)
l1 l2 l3
G1Ip1 G2Ip2 G3Ip3
轴向拉压与扭转的比较
轴向拉压 扭转
构件几何 直杆 圆截面直杆
外力 轴向外力 横截面内力偶矩
横截面
内力
轴力 FN 扭矩 T
应力公式
变形公式
A
FN??
pI
T??
? ?
pW
T?
m a x?
EA
lFl N??
pGI
Tl??
6.材料扭转时的力学性能
材料的扭转试验：
低碳钢：薄壁圆管扭转
低碳钢
（塑性）：
沿横截面、
纵向线出
现滑移线
铸铁：圆轴扭转
铸铁（脆性）：
沿 45° 斜面断
开
7.圆轴扭转的强度与刚度计算
（ 1）扭转强度条件
工作时最大切应力 ? ?
?? ???
?
?
?
?
?
?
?
m a x
m a x
pW
T (12.8)
许用切应力
? ? nu?? ?
塑性材料：
脆性材料：
su ?? ?
bu ?? ?
对等截面圆轴，即：
? ??? ??
pW
T m a x
m a x
（ 2）扭转刚度条件
轴类构件对扭转角的限制条件：
单位长度的扭转角 ? ?
?
?
? ????
?
?
???
?
????
m a x
1 8 0
pGI
T
(12.9)
单位长度许用扭转角 ? ??? 常用单位：
° /m
工程上,精密仪器传动轴 ? ? m/5.0~25.0 ?????
一般传动轴 ? ? m/0.1~5.0 ?????
? ? m/0.2 ????刚度要求不高的轴
例 题 1 § 12 扭转
?例题
A B C
Mt1 Mt2 M
t3
l1 l2
d1 d2
n
一阶梯轴，轴直径 d2=2d1,
输入功率 N3=30KW,输出功
率 N1 =13KW,N2=17KW,轴
的转速 n=200rpm,若轴材料
的 G=80Gpa,[?]=50Mpa,
(1)根据强度条件设计 d1,d2
(2)按此设计若 [??]=1.8o/m,
校核刚度条件
例 题 1 § 12 扭转
?例题
A B C
Mt1 Mt2 M
t3
l1 l2
d1 d2
n
解,1.求出各轮处的外力
偶矩，画出扭矩图
mN
n
NM
t
??
??
6 2 1
2 0 0
139 5 4 99 5 4 9 3
1
mN
n
NM
t
??
??
8 0 9
2 0 0
179 5 4 99 5 4 9 2
2
mN
n
NM
t
??
??
1 4 3 0
2 0 0
309 5 4 99 5 4 9 3
3
(T)
621N?m
1430N ?m
例 题 1 § 12 扭转
?例题
A B C
Mt1 Mt2 M
t3
l1 l2
d1 d2
n
(T)
621N?m
1430N ?m
3.强度设计
AB段,? ??
?? ?? 3
1
m a x,1
16
d
T AB
? ?
mm
T
d AC
8.39
50
106 2 11616
3
3
31
?
?
??
??
???
取 d1=40mm,则 d2=80mm
校核 BC段：
? ??? ??
?
?? M p a2.14
8016
101 4 3 0
3
3
? ???? ??
3
2
m a x,2
16 d
T BC
例 题 1 § 12 扭转
?例题
A B C
Mt1 Mt2 M
t3
l1 l2
d1 d2
n
(T)
621N?m
1430N ?m
4.刚度条件的校核
AB段：
??
???? 1 8 0
1p
AB
AB GI
T
? ? mm /8.1/77.1
1 8 0
4080
32106 2 1
4
3
??????
?
?
??
??
?
?
??
BC段：
??
???? 1 8 0
2p
BC
BC GI
T
? ? mm /8.1/254.0
180
8080
32101 4 3 0
4
3
??????
?
?
??
??
?
?
??
注意单位！
例 题 2 § 12 扭转
?例题
l1 l2
Mt Mt
d1 d2
(1)求此轴两端的允许外力偶矩 [Mt]。
(2)若要求 l1,l2两段的扭转角相等,l1和 l2各长多少？
(3)校核在最大允许外力偶矩作用下，刚度条件
[??]=2o/m是否满足？
图示传动轴全长
L=510mm，外径
D=50mm，长为 l1的
一段内径 d1 =25mm，
另一段长为 l2，内径 d2 =38mm，材料的许用切应力
[? ]=70Mpa,G=80Gpa，
例 题 2 § 12 扭转
?例题
l1 l2
Mt Mt
d1 d2
解：
1.求允许外力偶矩
由 l1段的强度条件：
? ??? ??
1
m a x,1
p
t
W
M
? ? ? ? ? ?
mN
mmN
D
WM
pt
??
????????
?
??
1611
101.16170))
2
1
(1(50
16
16
)1(
443
4
1
3
1
?
?
??
?
例 题 2 § 12 扭转
?例题
l1 l2
Mt Mt
d1 d2由 l2段的强度条件：
? ??? ??
2
m a x,2
p
t
W
M
? ? ? ? ? ?
mN
mmN
D
WM
pt
??
????????
?
??
1 1 4 5
105.11470))
50
38
(1(50
16
16
)1(
443
4
2
3
2
?
?
??
?
应取 [Mt]=Min(1611N·m,1145N·m)=1145N·m
例 题 2 § 12 扭转
?例题
l1 l2
Mt Mt
d1 d2
2.求 l1和 l2
要求 ?1=?2,则：
2
2
2
1
1
1
p
t
p
t
GI
lM
GI
lM ??? ??
4.1)50/38(1 )2/1(111 4
4
4
2
4
1
2
1
2
1 ?
?
??
?
????
?
?
p
p
I
I
l
l mmll 51021 ??
mmlmml 2 1 22 9 8 21 ???
例 题 2 § 12 扭转
?例题
3.校核刚度
l1 l2
Mt Mt
d1 d2
对 l1段：
? ? mm
GI
M
p
t
/2/43.1
180
))2/1(1(50
32
1080
10101145180
443
33
1
1
??????
?
?
????
??
?
?
???
?
???
?
对 l2段：
? ????? ???????????? mllGI M
p
t /01.243.1
2 9 8
2 1 21 8 0
1
2
1
2
2
%5%5.02 201.2 ???
但 满足刚度条件
8.非圆截面轴的扭转
与圆截面轴的扭转有本质区别：
不满足平截面假定 —— 横截面出现翘曲
比较：圆截面轴的扭转
矩形截面轴自由扭转的结果：
（ 1）截面周边处 ?的
方向与边界相切
（ 2）四个角点处 ?=0
?max
T
b
h
? =0 ? =0
? =0 ? =0
短边中点处切应力也较大：
m a x1 ??? ?
（ 3）截面内切应力最大
值发生在长边中点处：
2m a x hb
T
?? ?
(12.10)
(4)总扭转角
3hbG
Tl
GI
Tl
t ?
? ?? (12.11)
其中,为与 有
关的因数，可查表 12.1
???,,bh
h/b 1.0 1.2 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 6.0 8.0 10.0 ?
? 0.208 0.219 0.231 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333
? 0.141 0.166 0.196 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333
? 1.000 0.930 0.858 0.796 0.767 0.753 0.754 0.743 0.743 0.743 0.743
表 12.1 矩形截面杆扭转时的因数 ?,?,?
当 h/b??,即截面为狭长矩形（狭长条）,?=1/3,?=1/3
h h
b
b
22m a x
3
hb
T
hb
T ??
??
33
3
G h b
Tl
hbG
Tl ??
??
(12.12)
(12.13)
上式也可用于 L形,C形,U 形等 (展开计算长度 )
9,薄壁杆件的自由扭转
工程中常见的各种型钢（ T,I,L,U，, 等）
特点：横截面内壁厚远小于另一方向尺寸
（ 1）开口薄壁杆自由扭转
h1
h2
?1
?2
h1
?1
h2
?2
由若干个狭长条组
合而成，截面中线
不构成封闭曲线。
可分割为若干个狭长条
设每个狭长条为 hi,?i
该条上担负扭矩为 Ti，扭转角为 ?i
则有：
截面上的总扭矩
??
i
iTT
截面的扭转角
i???? ???? ?21
对每一个狭长条，有：
3
3
ii
i
i Gh
lT
?? ?
即
3
3
33 iii
ii
i hl
G
l
GhT ???? ??
t
i
ii
i
i Il
Gh
l
GTT ??? ???? ??
3
3
??
i
ii
t
hI
3
3? (12.14)
tGI
Tl?? ? (12.15)
h1
?1
h2
?2 T1
T2
T
33
33
ii
t
ii
t
i
h
I
Th
GI
Tl
l
GT ?? ?????
(12.16)
h1
?1
h2
?2
由式 (12.12)，对第 i个狭长条上
的最大切应力，有,
33
33
ii
t
ii
t
i
h
I
Th
GI
Tl
l
GT ?? ?????
(12.16)
t
iii
tiiii
i
i I
Th
I
T
hh
T ??
??
? ?????
3
33 3
22m a x,
（ 12.17）故整个截面上的最大切应力为：
tI
T m a x
m a x
?? ? (12.18)
截面上各部分的切应力与截面宽度呈正比
T
开口薄壁杆的扭转切应力
（ 2）闭口薄壁杆自由扭转
横截面由内、外的封闭曲线构成
截面中线 s
壁厚 ? = ?(s)
?(s)
C ?
????s? 设：沿壁厚方向上切应力均布
????s?
剪力流的含义：单位长度中线的横截面积上的内力
ds
T
剪力流,t ??? = ??s??(s) = 常数 （ 12.19）
??? ????
SSS
tdstt d sdsssT ?????? 2)()(
（ 12.20）
?为截面中线 s 包围的面积
?
??? ????
SSS
tdstt d sdsssT ?????? 2)()(
（ 12.20）
C ?
????s?
ds
T
?
Tsst ??? )()(22 ????
)(2)( s
Ts
??? ?
（ 12.21)
截面上的最大切应力为：
m i n
m a x 2 ???
T? (12.22)
截面两端的扭转角：
??
S s
ds
G
Tl
)(4 2 ??
?
(12.23)
例 题 3 § 12 扭转
?例题
试比较相同材料（ [?]=50Mpa），不同形状的几种截
面（但截面积相同）的杆件，依强度条件求出的最大
允许扭矩。
100 d=100
D=150
d=100
D=150 300
8.5 8.5
300
单位,mm
(1) (2) (3) (4) (5)
例 题 3 § 12 扭转
?例题
100 d=100
D=150
d=100
D=150 300
8.5 8.5
300
单位,mm
(1) (2) (3) (4) (5)
解,（ 1）实心正方形
50][100208.0208.0 322m a x ?????? ??? TaThbT
mkNmmNT ???????? 4.101004.150102 0 8.0 76
mkN ?4.10
例 题 3 § 12 扭转
?例题
100 d=100
D=150
d=100
D=150 300
8.5 8.5
300
单位,mm
(1) (2) (3) (4) (5)
(2)闭口空心圆
][
)
3
21(
16
150)1(
16 4
43
4
3m a x ??
??
? ?
??
?
?
?? T
D
T
W
T
p
mkNT ?????? 3.2750)321(15016 4
4
2?
mkN ?4.10
mkN ?3.27
例 题 3 § 12 扭转
?例题
100 d=100
D=150
d=100
D=150 300
8.5 8.5
300
单位,mm
(1) (2) (3) (4) (5)
(3)开口空心圆
][25125333.025125 222m a x ?????? ?????????? TThbT
kNT 09.45025125333.0 2 ?????? ?
(展开为狭长矩形）
mkN ?4.10
mkN ?3.27 mkN ?09.4
例 题 3 § 12 扭转
?例题
100 d=100
D=150
d=100
D=150 300
8.5 8.5
300
单位,mm
(1) (2) (3) (4) (5)
(4)闭口空心正方形
][5.85.2 9 122 2m a x ???? ????? TT
mkNT ?????? 2.72505.85.2912 2
mkN ?4.10
mkN ?3.27 mkN ?09.4 mkN ?2.72
例 题 3 § 12 扭转
?例题
100 d=100
D=150
d=100
D=150 300
8.5 8.5
300
单位,mm
(1) (2) (3) (4) (5)
(5)开口空心正方形
mkNT ??????? 4.1505.845.2 9 13 3 3.0 2
][5.845.291333.0 22m a x ??? ?????? ThbT
抗扭强度依次增加：
(展开为狭长矩形）
mkN ?4.10
mkN ?3.27 mkN ?09.4 mkN ?2.72 mkN ?4.1
（ 5）（ 3）（ 1）（ 2）（ 4）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 25)
（下册）
§ 12 扭转
§ 12.1 圆轴扭转时的应力分析
1,扭转的概念
4种基本变形（轴向拉压、剪切、扭转、弯曲）之一
特点：
几何 —— 直杆（轴）
圆截面轴（实心、空心）
非圆截面轴
外力 —— 仅有轴横截面内的外力偶
内力 —— 横截面上只有扭矩
变形 —— 横截面绕轴线转动，任意两横截面产
生相对扭转角
例如，传动轴：主动轮 1，从动轮 2,3
1 2 3
Mt1 Mt2 Mt3
已知：轴的转速 —— n (转 /分,r/min)
该轮传递的功率（输入或输出） —— N (KW)
则该轮处的外力偶矩为：
m in )/(
)(9 5 4 9)(
rn
KWNmNM
t ??
主动轮或输入功率处 Mt与 n 同向；
从动轮或输出功率处 Mt与 n 反向。
1 2 3
Mt1 Mt2 Mt3
mNnNM t ???? 1.2 2 2 83 0 0709 5 4 99 5 4 91
mNM t ??? 9.9 5 43 0 0309 5 4 92
mNM t ??? 2.1 2 7 3300409 5 4 93
70KW
30KW 40KWn=300 r/min若已知：
2228.1N?m 954.9N?m 1273.2N?m
x1 x
22228.1N?m
T(x1)
1273.2N?m
T(x2)
mNxT ?? 1.2 2 2 8)( 1 mNxT ?? 2.1 2 7 3)( 2
(T)
2228.1N?m
1273.2N?m
2,圆轴扭转应力分析
（ 1）圆轴扭转变形几何关系
MtMt
单元体：纯剪切 ?
变形后观察：轴向线，仍为直线，长短不变，倾斜 ?角
圆周线，大小形状不变，绕杆轴转动
圆轴扭转平面假定：横截面变形后仍为平面，
形状大小不变，绕杆轴转过一个角度。
R
B’
C’
?R d?
表层处的单元体 ABCD
的切应变：
dx
dR
dx
Rd
AB
BB
R
??? ????
O1 O2
A B
CD
dx
R
dx
d
dx
d ?????
? ??
(a)
?R
O1 O2
A B
CD
B’
C’
d?
dx
?
距离杆的轴线 O1O2
半径为 ?处的单元体
的切应变为：
其中
dx
d?? ?? 称为 单位长度的扭转角
在某一横截面上
?dxd?
常数
?在横截面上半径为 ?处切应变,
且 半径
?? ? ?
???
?
??
T
（ 2） 物理关系
由剪切胡克定律
dx
dGG ????
?? ??
（ b）
故横截面上半径为 ?处切应力
?? ? ?
圆心 ? =0处,0
0 ????
圆截面周边 ?=R处，
m a x?? ? ?? R
横截面上切应力沿半径三角形
分布，且方向垂直于半径。
?
??
T
max?
max?
（ 3）静力学关系
dx
d
dx
d ?????
? ??
(a)
dx
dGG ????
?? ??
（ b）
T
max?
max?
?dA
??
横截面上分布切应力构成的合
力偶矩就是该截面上的扭矩 T
dAdxdGdAdxdGdAT
AAA ???
??? 2??????? ?
称为 截面极惯性矩,单位,m4,cm4,mm4
记几何量 dAI
Ap ??
2? (12.1)
由此可求出
dx
d?
dx
dGIdA
dx
dGT
pA
??? ??? ? 2(c)
dx
dGIT
p
?? (c)
dx
d
dx
d ?????
? ??
(a)
dx
dGG ????
?? ?? （ b）
故得出：
pGI
T
dx
d ??? ?? (12.2)
pp I
T
GI
TG ???
? ??
(12.3)
ppp W
T
R
I
T
I
TR
???m a x?
(12.4)
记 扭转截面系数
R
IW p
p ?单位,m3,cm3,mm3
(12.5)
以上分析只适用于圆截面轴（实心、空心、圆锥轴）
几何量 Ip,Wp,
32
2
42/
0
22 DddAI
D
Ap
?????? ??? ??
16
2
32
34 D
D
D
R
I
W pp
??
?
?
??
实心圆轴，直径 D,
D
)1(3232 )( 4
444
??? ???? DdDI p
)1(162/ 4
3
?? ??? DD IW pp
空心圆轴，内、外径 d,D,?=d/D,
Dd
圆轴扭转时横截面上的切应力分布：
T
pW
T?
m a x?
pW
T?
m a x?
pW
T?
m ax?
实心圆轴,T
pW
T?
max?
pW
T?
max?
pW
T?
max?
空心圆轴：
实验：圆轴扭转
3,扭转时轴内各点的应力状态
??
??
??
??
主单元体,?1 =??
?3= -??
45°
45
°主方向为 ± 45°
主应力：
?1= ??, ?2= 0, ?3= - ??
?
各点为纯剪切：
pI
T ??
? ?
?
?
??-??
4,扭转应力的测量
TT
?max
?1= ?max
?3= - ?max
-
45°
纯剪应力状态：由广义胡克定律 ? ?
)(1 3211 ????? ??? E
m a x
m a xm a x
3145
)1()()(1 ?????????
EEE
??????
??
?
??
???
??
1
45
m a x
E
W
T
p
5,圆轴扭转时的变形分析
由单位长度的扭转角：
pGI
T
dx
d ??? ?? (12.2)
故得出相距 dx的两截面间的相对扭转角：
pGI
Td xd ??
l
TT
xA B
?? ?? l
p
lAB GI
T d xd
0
??
A, B两截面间的相对扭转角为：
（ 12.5）
若轴在 l 段内扭矩 T=常数，则：
pGI
Tl?? (12.6) ?的单位为弧度
pGI
Tl?? (12.6)
扭转变形公式
其中 GIp称为 扭转刚度
若轴中扭矩为分段常数
??
i pii
ii
IG
lT? (12.7)
l1 l2 l3
G1Ip1 G2Ip2 G3Ip3
轴向拉压与扭转的比较
轴向拉压 扭转
构件几何 直杆 圆截面直杆
外力 轴向外力 横截面内力偶矩
横截面
内力
轴力 FN 扭矩 T
应力公式
变形公式
A
FN??
pI
T??
? ?
pW
T?
m a x?
EA
lFl N??
pGI
Tl??
6.材料扭转时的力学性能
材料的扭转试验：
低碳钢：薄壁圆管扭转
低碳钢
（塑性）：
沿横截面、
纵向线出
现滑移线
铸铁：圆轴扭转
铸铁（脆性）：
沿 45° 斜面断
开
7.圆轴扭转的强度与刚度计算
（ 1）扭转强度条件
工作时最大切应力 ? ?
?? ???
?
?
?
?
?
?
?
m a x
m a x
pW
T (12.8)
许用切应力
? ? nu?? ?
塑性材料：
脆性材料：
su ?? ?
bu ?? ?
对等截面圆轴，即：
? ??? ??
pW
T m a x
m a x
（ 2）扭转刚度条件
轴类构件对扭转角的限制条件：
单位长度的扭转角 ? ?
?
?
? ????
?
?
???
?
????
m a x
1 8 0
pGI
T
(12.9)
单位长度许用扭转角 ? ??? 常用单位：
° /m
工程上,精密仪器传动轴 ? ? m/5.0~25.0 ?????
一般传动轴 ? ? m/0.1~5.0 ?????
? ? m/0.2 ????刚度要求不高的轴
例 题 1 § 12 扭转
?例题
A B C
Mt1 Mt2 M
t3
l1 l2
d1 d2
n
一阶梯轴，轴直径 d2=2d1,
输入功率 N3=30KW,输出功
率 N1 =13KW,N2=17KW,轴
的转速 n=200rpm,若轴材料
的 G=80Gpa,[?]=50Mpa,
(1)根据强度条件设计 d1,d2
(2)按此设计若 [??]=1.8o/m,
校核刚度条件
例 题 1 § 12 扭转
?例题
A B C
Mt1 Mt2 M
t3
l1 l2
d1 d2
n
解,1.求出各轮处的外力
偶矩，画出扭矩图
mN
n
NM
t
??
??
6 2 1
2 0 0
139 5 4 99 5 4 9 3
1
mN
n
NM
t
??
??
8 0 9
2 0 0
179 5 4 99 5 4 9 2
2
mN
n
NM
t
??
??
1 4 3 0
2 0 0
309 5 4 99 5 4 9 3
3
(T)
621N?m
1430N ?m
例 题 1 § 12 扭转
?例题
A B C
Mt1 Mt2 M
t3
l1 l2
d1 d2
n
(T)
621N?m
1430N ?m
3.强度设计
AB段,? ??
?? ?? 3
1
m a x,1
16
d
T AB
? ?
mm
T
d AC
8.39
50
106 2 11616
3
3
31
?
?
??
??
???
取 d1=40mm,则 d2=80mm
校核 BC段：
? ??? ??
?
?? M p a2.14
8016
101 4 3 0
3
3
? ???? ??
3
2
m a x,2
16 d
T BC
例 题 1 § 12 扭转
?例题
A B C
Mt1 Mt2 M
t3
l1 l2
d1 d2
n
(T)
621N?m
1430N ?m
4.刚度条件的校核
AB段：
??
???? 1 8 0
1p
AB
AB GI
T
? ? mm /8.1/77.1
1 8 0
4080
32106 2 1
4
3
??????
?
?
??
??
?
?
??
BC段：
??
???? 1 8 0
2p
BC
BC GI
T
? ? mm /8.1/254.0
180
8080
32101 4 3 0
4
3
??????
?
?
??
??
?
?
??
注意单位！
例 题 2 § 12 扭转
?例题
l1 l2
Mt Mt
d1 d2
(1)求此轴两端的允许外力偶矩 [Mt]。
(2)若要求 l1,l2两段的扭转角相等,l1和 l2各长多少？
(3)校核在最大允许外力偶矩作用下，刚度条件
[??]=2o/m是否满足？
图示传动轴全长
L=510mm，外径
D=50mm，长为 l1的
一段内径 d1 =25mm，
另一段长为 l2，内径 d2 =38mm，材料的许用切应力
[? ]=70Mpa,G=80Gpa，
例 题 2 § 12 扭转
?例题
l1 l2
Mt Mt
d1 d2
解：
1.求允许外力偶矩
由 l1段的强度条件：
? ??? ??
1
m a x,1
p
t
W
M
? ? ? ? ? ?
mN
mmN
D
WM
pt
??
????????
?
??
1611
101.16170))
2
1
(1(50
16
16
)1(
443
4
1
3
1
?
?
??
?
例 题 2 § 12 扭转
?例题
l1 l2
Mt Mt
d1 d2由 l2段的强度条件：
? ??? ??
2
m a x,2
p
t
W
M
? ? ? ? ? ?
mN
mmN
D
WM
pt
??
????????
?
??
1 1 4 5
105.11470))
50
38
(1(50
16
16
)1(
443
4
2
3
2
?
?
??
?
应取 [Mt]=Min(1611N·m,1145N·m)=1145N·m
例 题 2 § 12 扭转
?例题
l1 l2
Mt Mt
d1 d2
2.求 l1和 l2
要求 ?1=?2,则：
2
2
2
1
1
1
p
t
p
t
GI
lM
GI
lM ??? ??
4.1)50/38(1 )2/1(111 4
4
4
2
4
1
2
1
2
1 ?
?
??
?
????
?
?
p
p
I
I
l
l mmll 51021 ??
mmlmml 2 1 22 9 8 21 ???
例 题 2 § 12 扭转
?例题
3.校核刚度
l1 l2
Mt Mt
d1 d2
对 l1段：
? ? mm
GI
M
p
t
/2/43.1
180
))2/1(1(50
32
1080
10101145180
443
33
1
1
??????
?
?
????
??
?
?
???
?
???
?
对 l2段：
? ????? ???????????? mllGI M
p
t /01.243.1
2 9 8
2 1 21 8 0
1
2
1
2
2
%5%5.02 201.2 ???
但 满足刚度条件
8.非圆截面轴的扭转
与圆截面轴的扭转有本质区别：
不满足平截面假定 —— 横截面出现翘曲
比较：圆截面轴的扭转
矩形截面轴自由扭转的结果：
（ 1）截面周边处 ?的
方向与边界相切
（ 2）四个角点处 ?=0
?max
T
b
h
? =0 ? =0
? =0 ? =0
短边中点处切应力也较大：
m a x1 ??? ?
（ 3）截面内切应力最大
值发生在长边中点处：
2m a x hb
T
?? ?
(12.10)
(4)总扭转角
3hbG
Tl
GI
Tl
t ?
? ?? (12.11)
其中,为与 有
关的因数，可查表 12.1
???,,bh
h/b 1.0 1.2 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 6.0 8.0 10.0 ?
? 0.208 0.219 0.231 0.246 0.258 0.267 0.282 0.299 0.307 0.313 0.333
? 0.141 0.166 0.196 0.229 0.249 0.263 0.281 0.299 0.307 0.313 0.333
? 1.000 0.930 0.858 0.796 0.767 0.753 0.754 0.743 0.743 0.743 0.743
表 12.1 矩形截面杆扭转时的因数 ?,?,?
当 h/b??,即截面为狭长矩形（狭长条）,?=1/3,?=1/3
h h
b
b
22m a x
3
hb
T
hb
T ??
??
33
3
G h b
Tl
hbG
Tl ??
??
(12.12)
(12.13)
上式也可用于 L形,C形,U 形等 (展开计算长度 )
9,薄壁杆件的自由扭转
工程中常见的各种型钢（ T,I,L,U，, 等）
特点：横截面内壁厚远小于另一方向尺寸
（ 1）开口薄壁杆自由扭转
h1
h2
?1
?2
h1
?1
h2
?2
由若干个狭长条组
合而成，截面中线
不构成封闭曲线。
可分割为若干个狭长条
设每个狭长条为 hi,?i
该条上担负扭矩为 Ti，扭转角为 ?i
则有：
截面上的总扭矩
??
i
iTT
截面的扭转角
i???? ???? ?21
对每一个狭长条，有：
3
3
ii
i
i Gh
lT
?? ?
即
3
3
33 iii
ii
i hl
G
l
GhT ???? ??
t
i
ii
i
i Il
Gh
l
GTT ??? ???? ??
3
3
??
i
ii
t
hI
3
3? (12.14)
tGI
Tl?? ? (12.15)
h1
?1
h2
?2 T1
T2
T
33
33
ii
t
ii
t
i
h
I
Th
GI
Tl
l
GT ?? ?????
(12.16)
h1
?1
h2
?2
由式 (12.12)，对第 i个狭长条上
的最大切应力，有,
33
33
ii
t
ii
t
i
h
I
Th
GI
Tl
l
GT ?? ?????
(12.16)
t
iii
tiiii
i
i I
Th
I
T
hh
T ??
??
? ?????
3
33 3
22m a x,
（ 12.17）故整个截面上的最大切应力为：
tI
T m a x
m a x
?? ? (12.18)
截面上各部分的切应力与截面宽度呈正比
T
开口薄壁杆的扭转切应力
（ 2）闭口薄壁杆自由扭转
横截面由内、外的封闭曲线构成
截面中线 s
壁厚 ? = ?(s)
?(s)
C ?
????s? 设：沿壁厚方向上切应力均布
????s?
剪力流的含义：单位长度中线的横截面积上的内力
ds
T
剪力流,t ??? = ??s??(s) = 常数 （ 12.19）
??? ????
SSS
tdstt d sdsssT ?????? 2)()(
（ 12.20）
?为截面中线 s 包围的面积
?
??? ????
SSS
tdstt d sdsssT ?????? 2)()(
（ 12.20）
C ?
????s?
ds
T
?
Tsst ??? )()(22 ????
)(2)( s
Ts
??? ?
（ 12.21)
截面上的最大切应力为：
m i n
m a x 2 ???
T? (12.22)
截面两端的扭转角：
??
S s
ds
G
Tl
)(4 2 ??
?
(12.23)
例 题 3 § 12 扭转
?例题
试比较相同材料（ [?]=50Mpa），不同形状的几种截
面（但截面积相同）的杆件，依强度条件求出的最大
允许扭矩。
100 d=100
D=150
d=100
D=150 300
8.5 8.5
300
单位,mm
(1) (2) (3) (4) (5)
例 题 3 § 12 扭转
?例题
100 d=100
D=150
d=100
D=150 300
8.5 8.5
300
单位,mm
(1) (2) (3) (4) (5)
解,（ 1）实心正方形
50][100208.0208.0 322m a x ?????? ??? TaThbT
mkNmmNT ???????? 4.101004.150102 0 8.0 76
mkN ?4.10
例 题 3 § 12 扭转
?例题
100 d=100
D=150
d=100
D=150 300
8.5 8.5
300
单位,mm
(1) (2) (3) (4) (5)
(2)闭口空心圆
][
)
3
21(
16
150)1(
16 4
43
4
3m a x ??
??
? ?
??
?
?
?? T
D
T
W
T
p
mkNT ?????? 3.2750)321(15016 4
4
2?
mkN ?4.10
mkN ?3.27
例 题 3 § 12 扭转
?例题
100 d=100
D=150
d=100
D=150 300
8.5 8.5
300
单位,mm
(1) (2) (3) (4) (5)
(3)开口空心圆
][25125333.025125 222m a x ?????? ?????????? TThbT
kNT 09.45025125333.0 2 ?????? ?
(展开为狭长矩形）
mkN ?4.10
mkN ?3.27 mkN ?09.4
例 题 3 § 12 扭转
?例题
100 d=100
D=150
d=100
D=150 300
8.5 8.5
300
单位,mm
(1) (2) (3) (4) (5)
(4)闭口空心正方形
][5.85.2 9 122 2m a x ???? ????? TT
mkNT ?????? 2.72505.85.2912 2
mkN ?4.10
mkN ?3.27 mkN ?09.4 mkN ?2.72
例 题 3 § 12 扭转
?例题
100 d=100
D=150
d=100
D=150 300
8.5 8.5
300
单位,mm
(1) (2) (3) (4) (5)
(5)开口空心正方形
mkNT ??????? 4.1505.845.2 9 13 3 3.0 2
][5.845.291333.0 22m a x ??? ?????? ThbT
抗扭强度依次增加：
(展开为狭长矩形）
mkN ?4.10
mkN ?3.27 mkN ?09.4 mkN ?2.72 mkN ?4.1
（ 5）（ 3）（ 1）（ 2）（ 4）
