工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 24 )
§ 11 轴向拉压
§ 11.1 轴向拉压的应力和变形
1.轴向拉压时的应力
FF
轴向拉压
外力：沿杆件轴线作用的外力
内力：横截面上的轴力 FN 分布内力系的等效
横截面上内力的分布如何？
观察实验：杆件拉伸时的变形
? FN=?A
轴向拉压时的平截面假设：
（ 1）变形前的横截面变形后仍为平面，仍垂直
于杆的轴线。
（ 2）纵向纤维互不挤压。
?P FN=?A
由此得出轴向拉压横截面正应力公式：
A
FN?? （ 11.1）
若轴力或横截面积沿轴线变化 FN=FN(x),A=A(x)
----单向受力假定。
)(
)()(
xA
xFx N?? (11.2)
阶梯杆
锥形杆
P P
拉压正应力公式的适用范围：
圣维南原理
除集中力作用点附近
轴向拉压单元体的应力分析：
A
FN??
?
??
??
?面上的应力：
????
?
?
???
??
?
?
?
c o ss i n2s i n
2
c o s2c o s
22
2
??
???
当 ?=0时，
A
F N???
? ??? ??? 0,m a x,
当 ?=45o时，
A
F N
2245,m a x,??? ??
???
???
2.轴向拉压时的变形
由广义胡克定律：??
x
y
z
P P
?ll
变形仅为沿杆轴的尺寸变化及横向尺寸变化
杆件的纵向伸长量
xzy
Nx
x EA
F
E ????
?? ?????,
（ 11.3）
??? ?????
l
N
l
x
l EA
dxFdxldl ?)( （ 11.4）
若沿整个杆件,FN=常数,EA=常数，则
EA
lFl N??
（ 11.5）
?l 的符号与 FN相同EA—— 杆件的拉压刚度
若沿整个杆件 FN或 E,A为分段常数
???
i ii
iNi
AE
lFl (11.6)
l ?l
FN FN
l1 l2 l3
E1,A1 E2,A2 E3,A3F
N FN
已知,KNP 4?
mmll 1 0 021 ??
mmd 10?
G P aE 2 1 0?
ACl?
求
解：画轴力图
AB段轴力, PF
N ?1
mm
EA
Pl
EA
lFl N 0 0 2 4.0
10
4
10210
10104)(
23
23
111
1 ?
???
??????
?
伸长
d
A B C
P P
P2
1l 2l
例 题 1 § 11 轴向拉压
?例题
)( NF
P
P
AB段变形：
BC段轴力, PF
N ??2
021 ??????? lll AC
由于 ?
??
ii
iNi
AE
lFl
d
A B C
P P
P2
1l 2l
例 题 1 § 11 轴向拉压
?例题
)( NF
P
P
mmEAPlEA lFl N 0 0 2 4.0)(2222 ?????? 实际缩短BC段变形：
长 l,重量为 W的直杆 AB，
上端固定, 杆的 EA已知,
求自重作用下杆中的最大
应力及 B点的位移 。
B?
WF N ?m a x
A
W
A ??? ?? m a x
l
EAA
B
l
Wq?
xlWqdxWxF xN ????)(
例 题 2 § 11 轴向拉压
?例题
x
? ?xFN
xW
NF W
解,1,轴力方程，轴力图
2,杆中应力
Al
Wx
A
xFx N ?? )()(?
? ?
EA
Wldx
lE A
Wx
EA
dxxFl ll N
200 ???? ??
? ?????? EAWllB 2?
例 题 2 § 11 轴向拉压
?例题
l
EAA
B
l
Wq?
NF W3,求 B点位移
杆的总伸长量：
§ 11.2 常温静载下材料的力学性能
通过材料的拉伸、压缩、扭转实验，测定材料的
常规力学性能（应力应变曲线、弹性模量、切变
模量、泊松比等）。
两种典型材料
低碳钢 —— 塑性材料
铸铁 —— 脆性材料
1.低碳钢（塑性材料）的拉伸曲线
低碳钢拉伸实验：
低碳钢拉伸曲线的 4个阶段,3个特征点
?
?
?P?e
?s
?b
AB
C C’
D
E
O ?
?OB：弹性阶段（卸载可逆）
A：比例极限 ?P
B：弹性极限 ?e
?BC’：屈服阶段
（出现塑性变形）
（两者很接近）
? =E?
? =E?
E=tan ?
C：屈服极限 ?s
?C’D:强化阶段
D：强度极限 ?b
?DE：缩颈阶段
（局部收缩阶段）
?0?p ?e
?t
?e:弹性应变, ?p:塑性应变（不可逆的残余应变）?
?
?P?e
?s
?b
AB
C C’
D
E
O ?
? =E?
卸载曲线
卸载后再加载曲线
屈服极限提高：
冷作硬化
，在 C’D段内卸载曲线为弹性直线
E：断裂点
拉伸试验获得的主要材料性能参数：
E,?P,?s,?b
延伸率
%1 0 0
0
0 ???
l
ll?
塑性材料 ?>5%
脆性材料 ?<5%
截面收缩率
%100
0
0 ???
A
AA?
塑性性能与
之成正比
2,低碳钢的压缩曲线
3,铸铁（脆性材料）的拉伸曲线
特点：变形总量很小，断口垂直于轴线
无屈服及缩颈，应力与应变近似正比关系
特征点：
拉伸强度极限 ?bt
4,铸铁压缩曲线
特征点：压缩强度极限 ?bc
特点：断口沿 45o斜面
远高于 ?bt
低碳钢、铸铁拉伸、压缩曲线的比较
5,轴向拉压破坏现象分析
观察拉、压破坏试件的断口方向：
拉伸 压缩
低碳钢 与轴线成 45o斜面
轴向拉压 横截面上 ? 最大与轴线成 45o斜面上 ? 最大
剪断！
拉断！
剪断！
铸铁 与轴线垂直 与轴线成 45o斜面
低碳钢的特点：抗拉能力 >抗剪能力
铸铁的特点：抗拉能力 <抗剪能力 <抗压能力
（常用于拉杆）
（常用于压杆）
拉伸 压缩
低碳钢 与轴线成 45o斜面
剪断！
拉断！
剪断！
铸铁 与轴线垂直 与轴线成 45o斜面
2,线性强化材料
五, 简化的应力 —— 应变曲线
1、理想弹塑性材料
?
?
s?
s?
?
s?
s?
?
E?
E
3、刚塑性材料
4、强化材料，加载 nc?? ?
?
?
s?
?
?
s?
?
?
§ 11.3 轴向拉压时的强度条件
强度失效
断裂
变形过大（出现塑性变形）
一点处失效的准则 —— 构件中任意一点处的失效，
即认为整个构件失效
轴向拉压杆件的强度取决于：
（ 1）轴向拉压时杆件的工作应力
A
FN??
（ 2）杆件材料的特性 —— 极限应力 ?0 脆性 ?
0=?b
塑性 ?0=?s
（ 3）安全因数 n
许用应力 ? ?
n
0?
? ?
对塑性材料 ? ?
n
s?? ?
对脆性材料（如铸铁） ? ? ? ?
n
bt
t
??? ??
?
? ? ? ? nbcc ??? ???
拉伸许用应力
压缩许用应力
（若拉压不同性）
轴向拉压杆件的强度条件
? ??? ?? m a xm a x )( AF N
或 ? ? ? ?
???? ?? ???? m a xm a x
轴向拉压杆件强度条件的应用：
（ 1）强度校核
已知外力、杆的尺寸及材料的 [?]，验证 ? ?
?? ?m a x
注意：工程上若,但? ??? ?
m a x
? ?
? ? %5%100
m a x ???
?
??
仍可认为是安全的
（ 2）截面尺寸设计
已知外力及材料的 [?]，根据,设计 A
? ??m ax,N
FA ?
（ 3）确定承载能力
已知杆件尺寸、材料的 [?]，由 FN,MAX? A [?]，求
出外力的允许值（外力作用方式已知）。
§ 11.4 应力集中的概念及影响
应力集中 —— 由于构件几何形状突变造成局部
应力急剧增高
? ?
??
? ?
? ?max
应力集中的程度由应力集中因数 K表示
?
? m a x?K
解,1,各杆的内力
? ? 0xF 045c o s60c o s 21 ??? ?NN FF
例 题 3 § 11 轴向拉压
?例题
求：结构的许可载荷 ? ?P
已知三角架的两杆材料为铸铁,
截面积为, 2
21 100 mmAA ??
? ?,1 0 0 M P at ??
? ? M P ac 150??
材料的许用应力
对节点 B,C
A
P
??1
??2
B
?45
?60
P
1NF
2NF
?45
?60
21 2 NN FF ???
? ? 0yF 045s i n60s i n 21 ???? PFF NN ?
例 题 3 § 11 轴向拉压
?例题
P
1NF
2NF
?45
?60
C
A
P
??1
??2
B
?45
?60
PFF NN 223 21 ???
21 2 NN FF ???
FFF N 518.026 22 ??????
FFF N 732.0
26
22
1 ????
2,求 ? ?P
由 AB杆强度条件,? ?tN
A
F ??
1
1
? ? kNNAP t 66.131066.13
732.0
100100
732.0
31
1 ???
???? ?
例 题 3 § 11 轴向拉压
?例题
由 CB杆强度条件,? ?
c
N
A
F ??
2
2
? ? kNAP c 96.28
5 1 8.0
1 5 01 0 0
5 1 8.0
2
2 ?
???? ?
? ? ? ?
KN
PPP
66.13
,m in 21
?
?
P
1NF
2NF
?45
?60
C
A
P
??1
??2
B
?45
?60
FFF N 518.026 22 ??????
FFF N 732.0
26
22
1 ????
例 题 4 § 11 轴向拉压
?例题
a a
a a
A B C
D E F
? ?P
已知,ABC,DEF均为刚性杆,BD和 CE二杆的材料、
长度相同,l=1m,E=200Gpa,A1=60mm2,A2=70mm2,
[?]=160Mpa。
(1)当 P=10kN时，求杆中应力并校核，若强度不够可
如何改进？
（ 2）保证结构强度足够，求 ?l1,?l2。
例 题 4 § 11 轴向拉压
?例题
a a
a a
A B C
D E F
? ?P
解,1.受力分析
?杆：二力杆，
设其轴力为 FN1
?杆：多力杆，轴
力分为二段，设其
分别为
ENCN FF 22,
FN1
FN1
CNF 2
ENF 2
例 题 4 § 11 轴向拉压
?例题
a a
a a
A B C
D E F
? ?P
2,求轴力，画轴力图
画出刚性杆 ABC,DEF
的分离体图。
a a
A B C
a a
D E
F
CNF2
ENF2
1NF
1NF
对 ABC,0?? AM
02 21 ?? CNN FF (1)
对 DEF,0??
FM
02 21 ?? ENN FF (2)
对 ?杆,0??
yF
022 ??? PFF ENCN (3)
CNF 2
ENF 2
例 题 4 § 11 轴向拉压
?例题
a a
a a
A B C
D E F
? ?P
(1),(2),(3)联立解出：
NPF CN 42 10313 ?????
NPF EN 42 103434 ?????
NPF N 41 103232 ???
画出轴力图。从图中可知：
+
2P/3
-
4P/3
P/3
NF N 4m a x1 1032 ???
（拉力）
NFF ENN 42m a x2 1034 ????
（压力）
例 题 4 § 11 轴向拉压
?例题
3,求应力并校核强度
杆 BD：
? ? M p aM p a
A
F N
1601.111
603
102 4
1
m a x1
m a x1
???
?
?
??
?
?
?
?
杆 DE,? ? M p aM p a
A
F N 1 6 05.1 9 0
703
104 4
2
ma x2
ma x2 ????
??? ?? ??
杆 DE强度不够！ 改进：
? ?
2
4
m a x2
2 3.831603
104 mmFA N ?
?
??? ?
?
可取 A2’=84mm2
a a
a a
A B C
D E F
? ?P+
2P/3
-
4P/3
P/3
例 题 4 § 11 轴向拉压
?例题
4,改进后求 ?l1,?l2。
mm
EA
lF
l N
56.0
60102 0 03
101102
3
34
1
1
1
?
???
???
???
mm
AE
l
F
AE
l
F
l
E
N
C
N
50.0
84102003
500104
84102003
500101
22
3
4
3
4
2
2
2
2
2
??
???
??
?
???
??
??
?
?
?
?
?
??
a a
a a
A B C
D E F
? ?P+
2P/3
-
4P/3
P/3
（ 1）刚性杆参与平衡，但不变形。
注意
（ 2）列平衡方程可只列相关的。
（ 3）等截面的多力杆，各段内力、应力不同，
按最危险截面设计。
（ 4）静定系统改变其中某一杆的强度，不影响
其他杆的内力，但静不定系统则会引起系统全
部内力分布改变。
（ 5）单位制：力 —— N;力偶矩 —— N.mm ;
面积、长度 —— mm2,mm ;G,E，应力 —— Mpa 。
§ 11.5 连接件的工程实用计算
1,剪切实用计算
连接件 —— 螺钉、螺栓、铆钉、销钉、键等。
特点 —— 本身尺寸较小，接触部位受力情况复杂，
不是典型的杆件，难以精确计算。
例如：轮轴间用键连接
实用计算 —— 假定应力分布的近似计算，实验测
定破坏时假定应力的大小。
受力特点：方向相反, 作用线相距很近的一对力作用
剪切变形：位于两力间的截面发生相对错动
SA
剪切面,发生相对错动的截面，剪切面面积
剪切面上的内力,剪力 FS
F F
双剪切
F
F
单剪切
F
FS F
S
FS F
单剪切 FF
S ?
双剪切
2
FF
S ?
? ?
? ? —剪切许用应力—?
?? ??
S
S
A
F
剪切面上的剪应力分布,假定为均布
S
S
A
F??
剪切面上的强度条件：
实验测定：
? ?
bb
Sb
nA
F??
对某种连接件
例如：两拉压杆的连接销钉
2,挤压实用计算
bsA
构件间相互作用的面称为挤压面
bs?
单位挤压面上的压力称为挤压应力
P
P
PP
P
右板
m axbs?
销钉的上半部分
挤压面 挤压面
假定挤压面上挤压应力均匀分布：
bs
bs
bs A
F??
d
t
挤压强度条件,? ?
bs
bs
bs
bs A
F ?? ??
挤压面面积
挤压面为平面
bsA
为接触面面积
挤压面为曲面，
bsA
为接触面在垂直于挤压
力的平面上的投影面积
tdA bs ??如圆柱挤压面
? ?bs? —— 挤压许用应力，实验测定
例 题 6 § 11 轴向拉压
?例题
FF a
h h
c
m m
n n
木榫接头,a=b=12cm,c=4.5cm,h=35cm,F=40kN,
求接头的剪切应力与挤压应力。
例 题 6 § 11 轴向拉压
?例题
FF a
h h
c
m m
n n
解,1.剪切应力
剪切面,m-m面,n-n面
剪切力
FFS ?
剪切面面积
bhA S ??
M p a
A
F
S
S 952.0
350120
1040 3 ?
?
????
例 题 6 § 11 轴向拉压
?例题
FF a
h h
c
m m
n n
2.挤压应力
挤压面,m-n平面 bcA
bs ??
M p a
A
F
bs
bs
bs 41.712045
1040 3 ?
?
????
例 题 7 § 11 轴向拉压
?例题
键的强度问题 。
已知键的尺寸：
,1001220 mmlhb ?????
mmd 70?,2 mKNM t ??
? ?,60 M P a??
? ?,1 0 0 M P abs ??
试校核键的强度 。
键的
b
tM
O
h
d
例 题 7 § 11 轴向拉压
?例题
b
tM
O
h
d
tM
O
bsF
sF
bsF
解,1.键的受力分析
挤压力
tbs M
dF ??
2 d
MF t
bs
2?
剪切力
d
MFF t
bsS
2??
对轴：
0?? OM
对键,0??
xF
挤压面
? ? M p aM p a
b ld
M
A
F t
S
S
606.28
701 0020
10222 6
???
??
??
???
?
?
l
b
2
h
bs?
?
bsF
SF
例 题 7 § 11 轴向拉压
?例题
b
tM
O
h
d
2.剪切强度条件
3.挤压强度条件
? ? M p aM P a
dl
h
M
A
F
bs
t
bs
bs
bs
1002.95
701006
1022
2
2
6
???
??
??
?
??
??
?
?
安全 ！
§ 11.6 桁架的位移
由于 桁架中的杆件变形，造成杆件的铰接点位移。
求解时注意利用小变形条件，“以切代弧”。
? ?
P
A
B C
三角支架节
点 A的位移
为 ?A=AA’
?
?
c o s
AB
A
lAA ????
? ?
B C
PA’
K H
?lBC
A
A’
?lAB
? ?
K H由三角形 AKA’：
例如：
解,1.求各杆内力,
)(21 拉PF N ? )(2 压PF N ??
A
P
??1
??2
B
C
?45
例 题 5 § 11 轴向拉压
?例题
ml 11 ? 21 1 0 0 mmA ?
22 4 0 0 0 mmA ?G P aE 2001 ? G P aE 102 ? KNP 10?
求,B点的位移
B?
如图三角架 ABC,若已知,,
2,各杆变形,
)(7 0 7.0
11
11
1 伸长mmAE
lFl N ???
212
ll ? )(1 7 7.0
22
22
2 缩短mmAE
lFl N ?????
P
1NF
2NF
3.求 A点位移,
作位移图：以切线代圆弧
例 题 5 § 11 轴向拉压
?例题
B?
2B
3B
4B
1B
B?
?
?l2B点铅垂位移,
3443 BBBBBBf B ???
212 ll ???? mm18.1?
B点水平位移：
? ???????? mmlBBB 1 7 7.023
mmf BBB 2.122 ????? 15.02.1 177.0t a n ????
B
B
f? ?4.8??
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 24 )
§ 11 轴向拉压
§ 11.1 轴向拉压的应力和变形
1.轴向拉压时的应力
FF
轴向拉压
外力：沿杆件轴线作用的外力
内力：横截面上的轴力 FN 分布内力系的等效
横截面上内力的分布如何？
观察实验：杆件拉伸时的变形
? FN=?A
轴向拉压时的平截面假设：
（ 1）变形前的横截面变形后仍为平面，仍垂直
于杆的轴线。
（ 2）纵向纤维互不挤压。
?P FN=?A
由此得出轴向拉压横截面正应力公式：
A
FN?? （ 11.1）
若轴力或横截面积沿轴线变化 FN=FN(x),A=A(x)
----单向受力假定。
)(
)()(
xA
xFx N?? (11.2)
阶梯杆
锥形杆
P P
拉压正应力公式的适用范围：
圣维南原理
除集中力作用点附近
轴向拉压单元体的应力分析：
A
FN??
?
??
??
?面上的应力：
????
?
?
???
??
?
?
?
c o ss i n2s i n
2
c o s2c o s
22
2
??
???
当 ?=0时，
A
F N???
? ??? ??? 0,m a x,
当 ?=45o时，
A
F N
2245,m a x,??? ??
???
???
2.轴向拉压时的变形
由广义胡克定律：??
x
y
z
P P
?ll
变形仅为沿杆轴的尺寸变化及横向尺寸变化
杆件的纵向伸长量
xzy
Nx
x EA
F
E ????
?? ?????,
（ 11.3）
??? ?????
l
N
l
x
l EA
dxFdxldl ?)( （ 11.4）
若沿整个杆件,FN=常数,EA=常数，则
EA
lFl N??
（ 11.5）
?l 的符号与 FN相同EA—— 杆件的拉压刚度
若沿整个杆件 FN或 E,A为分段常数
???
i ii
iNi
AE
lFl (11.6)
l ?l
FN FN
l1 l2 l3
E1,A1 E2,A2 E3,A3F
N FN
已知,KNP 4?
mmll 1 0 021 ??
mmd 10?
G P aE 2 1 0?
ACl?
求
解：画轴力图
AB段轴力, PF
N ?1
mm
EA
Pl
EA
lFl N 0 0 2 4.0
10
4
10210
10104)(
23
23
111
1 ?
???
??????
?
伸长
d
A B C
P P
P2
1l 2l
例 题 1 § 11 轴向拉压
?例题
)( NF
P
P
AB段变形：
BC段轴力, PF
N ??2
021 ??????? lll AC
由于 ?
??
ii
iNi
AE
lFl
d
A B C
P P
P2
1l 2l
例 题 1 § 11 轴向拉压
?例题
)( NF
P
P
mmEAPlEA lFl N 0 0 2 4.0)(2222 ?????? 实际缩短BC段变形：
长 l,重量为 W的直杆 AB，
上端固定, 杆的 EA已知,
求自重作用下杆中的最大
应力及 B点的位移 。
B?
WF N ?m a x
A
W
A ??? ?? m a x
l
EAA
B
l
Wq?
xlWqdxWxF xN ????)(
例 题 2 § 11 轴向拉压
?例题
x
? ?xFN
xW
NF W
解,1,轴力方程，轴力图
2,杆中应力
Al
Wx
A
xFx N ?? )()(?
? ?
EA
Wldx
lE A
Wx
EA
dxxFl ll N
200 ???? ??
? ?????? EAWllB 2?
例 题 2 § 11 轴向拉压
?例题
l
EAA
B
l
Wq?
NF W3,求 B点位移
杆的总伸长量：
§ 11.2 常温静载下材料的力学性能
通过材料的拉伸、压缩、扭转实验，测定材料的
常规力学性能（应力应变曲线、弹性模量、切变
模量、泊松比等）。
两种典型材料
低碳钢 —— 塑性材料
铸铁 —— 脆性材料
1.低碳钢（塑性材料）的拉伸曲线
低碳钢拉伸实验：
低碳钢拉伸曲线的 4个阶段,3个特征点
?
?
?P?e
?s
?b
AB
C C’
D
E
O ?
?OB：弹性阶段（卸载可逆）
A：比例极限 ?P
B：弹性极限 ?e
?BC’：屈服阶段
（出现塑性变形）
（两者很接近）
? =E?
? =E?
E=tan ?
C：屈服极限 ?s
?C’D:强化阶段
D：强度极限 ?b
?DE：缩颈阶段
（局部收缩阶段）
?0?p ?e
?t
?e:弹性应变, ?p:塑性应变（不可逆的残余应变）?
?
?P?e
?s
?b
AB
C C’
D
E
O ?
? =E?
卸载曲线
卸载后再加载曲线
屈服极限提高：
冷作硬化
，在 C’D段内卸载曲线为弹性直线
E：断裂点
拉伸试验获得的主要材料性能参数：
E,?P,?s,?b
延伸率
%1 0 0
0
0 ???
l
ll?
塑性材料 ?>5%
脆性材料 ?<5%
截面收缩率
%100
0
0 ???
A
AA?
塑性性能与
之成正比
2,低碳钢的压缩曲线
3,铸铁（脆性材料）的拉伸曲线
特点：变形总量很小，断口垂直于轴线
无屈服及缩颈，应力与应变近似正比关系
特征点：
拉伸强度极限 ?bt
4,铸铁压缩曲线
特征点：压缩强度极限 ?bc
特点：断口沿 45o斜面
远高于 ?bt
低碳钢、铸铁拉伸、压缩曲线的比较
5,轴向拉压破坏现象分析
观察拉、压破坏试件的断口方向：
拉伸 压缩
低碳钢 与轴线成 45o斜面
轴向拉压 横截面上 ? 最大与轴线成 45o斜面上 ? 最大
剪断！
拉断！
剪断！
铸铁 与轴线垂直 与轴线成 45o斜面
低碳钢的特点：抗拉能力 >抗剪能力
铸铁的特点：抗拉能力 <抗剪能力 <抗压能力
（常用于拉杆）
（常用于压杆）
拉伸 压缩
低碳钢 与轴线成 45o斜面
剪断！
拉断！
剪断！
铸铁 与轴线垂直 与轴线成 45o斜面
2,线性强化材料
五, 简化的应力 —— 应变曲线
1、理想弹塑性材料
?
?
s?
s?
?
s?
s?
?
E?
E
3、刚塑性材料
4、强化材料，加载 nc?? ?
?
?
s?
?
?
s?
?
?
§ 11.3 轴向拉压时的强度条件
强度失效
断裂
变形过大（出现塑性变形）
一点处失效的准则 —— 构件中任意一点处的失效，
即认为整个构件失效
轴向拉压杆件的强度取决于：
（ 1）轴向拉压时杆件的工作应力
A
FN??
（ 2）杆件材料的特性 —— 极限应力 ?0 脆性 ?
0=?b
塑性 ?0=?s
（ 3）安全因数 n
许用应力 ? ?
n
0?
? ?
对塑性材料 ? ?
n
s?? ?
对脆性材料（如铸铁） ? ? ? ?
n
bt
t
??? ??
?
? ? ? ? nbcc ??? ???
拉伸许用应力
压缩许用应力
（若拉压不同性）
轴向拉压杆件的强度条件
? ??? ?? m a xm a x )( AF N
或 ? ? ? ?
???? ?? ???? m a xm a x
轴向拉压杆件强度条件的应用：
（ 1）强度校核
已知外力、杆的尺寸及材料的 [?]，验证 ? ?
?? ?m a x
注意：工程上若,但? ??? ?
m a x
? ?
? ? %5%100
m a x ???
?
??
仍可认为是安全的
（ 2）截面尺寸设计
已知外力及材料的 [?]，根据,设计 A
? ??m ax,N
FA ?
（ 3）确定承载能力
已知杆件尺寸、材料的 [?]，由 FN,MAX? A [?]，求
出外力的允许值（外力作用方式已知）。
§ 11.4 应力集中的概念及影响
应力集中 —— 由于构件几何形状突变造成局部
应力急剧增高
? ?
??
? ?
? ?max
应力集中的程度由应力集中因数 K表示
?
? m a x?K
解,1,各杆的内力
? ? 0xF 045c o s60c o s 21 ??? ?NN FF
例 题 3 § 11 轴向拉压
?例题
求：结构的许可载荷 ? ?P
已知三角架的两杆材料为铸铁,
截面积为, 2
21 100 mmAA ??
? ?,1 0 0 M P at ??
? ? M P ac 150??
材料的许用应力
对节点 B,C
A
P
??1
??2
B
?45
?60
P
1NF
2NF
?45
?60
21 2 NN FF ???
? ? 0yF 045s i n60s i n 21 ???? PFF NN ?
例 题 3 § 11 轴向拉压
?例题
P
1NF
2NF
?45
?60
C
A
P
??1
??2
B
?45
?60
PFF NN 223 21 ???
21 2 NN FF ???
FFF N 518.026 22 ??????
FFF N 732.0
26
22
1 ????
2,求 ? ?P
由 AB杆强度条件,? ?tN
A
F ??
1
1
? ? kNNAP t 66.131066.13
732.0
100100
732.0
31
1 ???
???? ?
例 题 3 § 11 轴向拉压
?例题
由 CB杆强度条件,? ?
c
N
A
F ??
2
2
? ? kNAP c 96.28
5 1 8.0
1 5 01 0 0
5 1 8.0
2
2 ?
???? ?
? ? ? ?
KN
PPP
66.13
,m in 21
?
?
P
1NF
2NF
?45
?60
C
A
P
??1
??2
B
?45
?60
FFF N 518.026 22 ??????
FFF N 732.0
26
22
1 ????
例 题 4 § 11 轴向拉压
?例题
a a
a a
A B C
D E F
? ?P
已知,ABC,DEF均为刚性杆,BD和 CE二杆的材料、
长度相同,l=1m,E=200Gpa,A1=60mm2,A2=70mm2,
[?]=160Mpa。
(1)当 P=10kN时，求杆中应力并校核，若强度不够可
如何改进？
（ 2）保证结构强度足够，求 ?l1,?l2。
例 题 4 § 11 轴向拉压
?例题
a a
a a
A B C
D E F
? ?P
解,1.受力分析
?杆：二力杆，
设其轴力为 FN1
?杆：多力杆，轴
力分为二段，设其
分别为
ENCN FF 22,
FN1
FN1
CNF 2
ENF 2
例 题 4 § 11 轴向拉压
?例题
a a
a a
A B C
D E F
? ?P
2,求轴力，画轴力图
画出刚性杆 ABC,DEF
的分离体图。
a a
A B C
a a
D E
F
CNF2
ENF2
1NF
1NF
对 ABC,0?? AM
02 21 ?? CNN FF (1)
对 DEF,0??
FM
02 21 ?? ENN FF (2)
对 ?杆,0??
yF
022 ??? PFF ENCN (3)
CNF 2
ENF 2
例 题 4 § 11 轴向拉压
?例题
a a
a a
A B C
D E F
? ?P
(1),(2),(3)联立解出：
NPF CN 42 10313 ?????
NPF EN 42 103434 ?????
NPF N 41 103232 ???
画出轴力图。从图中可知：
+
2P/3
-
4P/3
P/3
NF N 4m a x1 1032 ???
（拉力）
NFF ENN 42m a x2 1034 ????
（压力）
例 题 4 § 11 轴向拉压
?例题
3,求应力并校核强度
杆 BD：
? ? M p aM p a
A
F N
1601.111
603
102 4
1
m a x1
m a x1
???
?
?
??
?
?
?
?
杆 DE,? ? M p aM p a
A
F N 1 6 05.1 9 0
703
104 4
2
ma x2
ma x2 ????
??? ?? ??
杆 DE强度不够！ 改进：
? ?
2
4
m a x2
2 3.831603
104 mmFA N ?
?
??? ?
?
可取 A2’=84mm2
a a
a a
A B C
D E F
? ?P+
2P/3
-
4P/3
P/3
例 题 4 § 11 轴向拉压
?例题
4,改进后求 ?l1,?l2。
mm
EA
lF
l N
56.0
60102 0 03
101102
3
34
1
1
1
?
???
???
???
mm
AE
l
F
AE
l
F
l
E
N
C
N
50.0
84102003
500104
84102003
500101
22
3
4
3
4
2
2
2
2
2
??
???
??
?
???
??
??
?
?
?
?
?
??
a a
a a
A B C
D E F
? ?P+
2P/3
-
4P/3
P/3
（ 1）刚性杆参与平衡，但不变形。
注意
（ 2）列平衡方程可只列相关的。
（ 3）等截面的多力杆，各段内力、应力不同，
按最危险截面设计。
（ 4）静定系统改变其中某一杆的强度，不影响
其他杆的内力，但静不定系统则会引起系统全
部内力分布改变。
（ 5）单位制：力 —— N;力偶矩 —— N.mm ;
面积、长度 —— mm2,mm ;G,E，应力 —— Mpa 。
§ 11.5 连接件的工程实用计算
1,剪切实用计算
连接件 —— 螺钉、螺栓、铆钉、销钉、键等。
特点 —— 本身尺寸较小，接触部位受力情况复杂，
不是典型的杆件，难以精确计算。
例如：轮轴间用键连接
实用计算 —— 假定应力分布的近似计算，实验测
定破坏时假定应力的大小。
受力特点：方向相反, 作用线相距很近的一对力作用
剪切变形：位于两力间的截面发生相对错动
SA
剪切面,发生相对错动的截面，剪切面面积
剪切面上的内力,剪力 FS
F F
双剪切
F
F
单剪切
F
FS F
S
FS F
单剪切 FF
S ?
双剪切
2
FF
S ?
? ?
? ? —剪切许用应力—?
?? ??
S
S
A
F
剪切面上的剪应力分布,假定为均布
S
S
A
F??
剪切面上的强度条件：
实验测定：
? ?
bb
Sb
nA
F??
对某种连接件
例如：两拉压杆的连接销钉
2,挤压实用计算
bsA
构件间相互作用的面称为挤压面
bs?
单位挤压面上的压力称为挤压应力
P
P
PP
P
右板
m axbs?
销钉的上半部分
挤压面 挤压面
假定挤压面上挤压应力均匀分布：
bs
bs
bs A
F??
d
t
挤压强度条件,? ?
bs
bs
bs
bs A
F ?? ??
挤压面面积
挤压面为平面
bsA
为接触面面积
挤压面为曲面，
bsA
为接触面在垂直于挤压
力的平面上的投影面积
tdA bs ??如圆柱挤压面
? ?bs? —— 挤压许用应力，实验测定
例 题 6 § 11 轴向拉压
?例题
FF a
h h
c
m m
n n
木榫接头,a=b=12cm,c=4.5cm,h=35cm,F=40kN,
求接头的剪切应力与挤压应力。
例 题 6 § 11 轴向拉压
?例题
FF a
h h
c
m m
n n
解,1.剪切应力
剪切面,m-m面,n-n面
剪切力
FFS ?
剪切面面积
bhA S ??
M p a
A
F
S
S 952.0
350120
1040 3 ?
?
????
例 题 6 § 11 轴向拉压
?例题
FF a
h h
c
m m
n n
2.挤压应力
挤压面,m-n平面 bcA
bs ??
M p a
A
F
bs
bs
bs 41.712045
1040 3 ?
?
????
例 题 7 § 11 轴向拉压
?例题
键的强度问题 。
已知键的尺寸：
,1001220 mmlhb ?????
mmd 70?,2 mKNM t ??
? ?,60 M P a??
? ?,1 0 0 M P abs ??
试校核键的强度 。
键的
b
tM
O
h
d
例 题 7 § 11 轴向拉压
?例题
b
tM
O
h
d
tM
O
bsF
sF
bsF
解,1.键的受力分析
挤压力
tbs M
dF ??
2 d
MF t
bs
2?
剪切力
d
MFF t
bsS
2??
对轴：
0?? OM
对键,0??
xF
挤压面
? ? M p aM p a
b ld
M
A
F t
S
S
606.28
701 0020
10222 6
???
??
??
???
?
?
l
b
2
h
bs?
?
bsF
SF
例 题 7 § 11 轴向拉压
?例题
b
tM
O
h
d
2.剪切强度条件
3.挤压强度条件
? ? M p aM P a
dl
h
M
A
F
bs
t
bs
bs
bs
1002.95
701006
1022
2
2
6
???
??
??
?
??
??
?
?
安全 ！
§ 11.6 桁架的位移
由于 桁架中的杆件变形，造成杆件的铰接点位移。
求解时注意利用小变形条件，“以切代弧”。
? ?
P
A
B C
三角支架节
点 A的位移
为 ?A=AA’
?
?
c o s
AB
A
lAA ????
? ?
B C
PA’
K H
?lBC
A
A’
?lAB
? ?
K H由三角形 AKA’：
例如：
解,1.求各杆内力,
)(21 拉PF N ? )(2 压PF N ??
A
P
??1
??2
B
C
?45
例 题 5 § 11 轴向拉压
?例题
ml 11 ? 21 1 0 0 mmA ?
22 4 0 0 0 mmA ?G P aE 2001 ? G P aE 102 ? KNP 10?
求,B点的位移
B?
如图三角架 ABC,若已知,,
2,各杆变形,
)(7 0 7.0
11
11
1 伸长mmAE
lFl N ???
212
ll ? )(1 7 7.0
22
22
2 缩短mmAE
lFl N ?????
P
1NF
2NF
3.求 A点位移,
作位移图：以切线代圆弧
例 题 5 § 11 轴向拉压
?例题
B?
2B
3B
4B
1B
B?
?
?l2B点铅垂位移,
3443 BBBBBBf B ???
212 ll ???? mm18.1?
B点水平位移：
? ???????? mmlBBB 1 7 7.023
mmf BBB 2.122 ????? 15.02.1 177.0t a n ????
B
B
f? ?4.8??
