工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(9)
§ 3.5 刚体的复合运动
讨论同一刚体在不同参考系（定系和动系）中的运动
学量（角速度、角加速度）之间的关系。
设刚体的绝对运动为平面运动，所选择的动系牵连运
动也为平面运动，则刚体的相对运动也为平面运动。
1,刚体的角速度、角加速度合成关系
A
B
x
y
O
?a
x’
y’
O’
?r
?e
任意时刻方位角之间有
)()()( ttt rea ??? ?? (3.23)
求导得 rea ??? ??? ??
角速度合成关系
rea
rea
???
???
??? ??
??
(3.24)
(3.25)
即得
刚体在不同参考系中方位角的定义
对（ 3.25）式求导：
dt
d
dt
d
dt
d rea ??? ??? ??
而
dt
d
dt
d e
e
a
a
???? ???? ??,
rre
rr
dt
d
dt
d ????? ????? ???? ~
利用（ 3.1）式，并注意到
re ??
?? //
0
2.刚体平面运动的分解 —— 分解为平动 +定轴转动
任选一个动系，则绝对运动为平面运动的刚体可分解为
绝对运动（平面运动） = 牵连运动 + 相对运动
其中牵连与相对运动各为何种运动，取决于动系的运动。
rea ???
??? ?? (3.26) 角加速度合成关系即
若选择一个特殊的动系 ——
动系原点 O’与刚体上的一点
A铰接,动系以点 A的运动规
律作平动,则有
y’
x’
O x
y
A
B
BAr?
刚体的绝对运动 —— 平面运动
动系的牵连运动 —— 与点 A相同规律的平动
刚体的相对运动 —— 绕 A轴的定轴转动
0,0 ??? ee ?? ??
根据刚体角速度、角加速度合成关系有 rara ???? ???? ??,
若选取刚体上的点 B 为动点，则由速度合成关系
BArABrBeBa rvvvv
?????? ????? ?(1)
若选取刚体上的点 B 为动点，则由速度合
成关系
BArABrBeBa rvvvv
?????? ????? ?(1)
又，在定系中，根据 AB两点速度关系
BAaABAAB rvvvv
?????? ????? ?（ 2）
考虑到,故两式完全相同。
ra ??
?? ?
0
定系中 AB两点加速度关系
)( BAaaBAaA
n
BABAAB
rra
aaaa
??????
????
??????
???
???
? (4)
BcBrBeBa aaaa
???? ???动点 B加速度合成关系
(3)
)( BArrBArAnBrBrA rraaaa ????????? ????????? ????
同样，两式完全相同。
y’
x’
O x
y
A
B
BAr?
3.一种刚体平面运动的特殊形式 —— 可分解为两个
定轴转动的合成
x
y
A
O
S
x’
y’
若平面图形 S的运动满足：
S上一点 A距定系中某固定
点 O距离始终不变 （即 A
点绝对运动轨迹为圆），
可取动系固连于 OA连线（动系绕 O轴定轴转动），
则 S的相对运动为绕 A轴的定轴转动。
由于 O轴 //A轴，故 分解为绕两平行轴转动的合成 。
其中特例,若
re ?? ??
则根据角速度合成关系有
0??? rea ???
刚体此种特殊的运动称为 转动偶。
利用刚体的复合运动解题的注意事项
2.常见的各种轮系机构、行星传动机构可利用刚体的
复合运动观点进行求解。
1.刚体的复合运动给出的是刚体的整体运动学量 ——
刚体的角速度、角加速度的合成关系。
4.求解过程中，常同时利用点的复合运动关系式（如
动点的速度合成关系、加速度合成关系）。
3.在某一参考系中作 定轴转动的定轴轮系机构 的传动，
两相互接触的齿轮或带轮角速度之间满足关系：
1
2
1
2
2
1
R
R
z
z ??
?
? 其中,zi为齿数,Ri为轮子半径。
行星齿轮减速机构如图所
示, 作定轴转动的齿轮 Ⅰ, 同
啮合于固定内齿轮 Ⅲ 的行星齿
轮 Ⅱ, 带动系杆 Ⅳ (OA)转动 。
已知各齿轮的齿数分别是 z1，
z2和 z3。 假定齿轮 Ⅰ 角速度的
大小是 ω1, 转向沿逆钟向, 试
求系杆 Ⅳ 即 OA的角速度 ω4 。
ω1
Ⅰ
Ⅱ
O
A
ω4
Ⅲ
Ⅳ
ω1 ω4
例 题 10
§ 3 复合运动
?例题
例 题 10
?例题
§ 3 复合运动
ω1
Ⅰ
Ⅱ
O
A
ω4
Ⅲ
Ⅳ
ω1 ω4
已知齿轮 Ⅰ 的绝对角速度 ω1
(?), 故如能求出它对于动系的
相对角速度 ω1r,就可以求出牵
连角速度 ω4 。
ω 3r= ω4
解,把动系固连于系杆 OA上, 则牵连角速度 ωe就是
待求的角速度 ω4 （ 设为 ?）, 即 ωe = ω4 （ ?） 。
轮系对于动系的相对运动是定
轴轮系传动, 设内齿轮 Ⅲ 的
例 题 10
?例题
§ 3 复合运动
即有 ω 3= ωe - ω3r= ω4 - ω3r= 0, 故有 ω3r= ω4 (?)
相对角速度 ω 3r(?),绝对角速度 ω 3=0。由角速度合成关系
ω1
Ⅰ
Ⅱ
O
A
ω4
Ⅲ
Ⅳ
ω1 ω4
由此可得齿轮 Ⅰ 的相对角速度
4
1
3
r3
1
3
1r ??? z
z
z
z ?? (?)
对相对运动应用定轴系传动比公式,设 ω2r(?),ω1r (?),有
例 题 10
?例题
根据刚体角速度合成公式，
§ 3 复合运动
ω 3r= ω4
ω1
Ⅰ
Ⅱ
O
A
ω4
Ⅲ
Ⅳ
ω1 ω4
ω2r
ω1r
故求得杆 OA 的绝对角速度为
1
31
1
4 ??? zz
z
OA ???
(?)
,
1
2
1
2
r2
r1
R
R
z
z ??
?
?,
2
3
2
3
r3
r
R
R
z
z ??
?
?
其中 zi为齿轮齿数,Ri为齿轮半径
4
1
3
4r1e1 ????? z
z???? (?)求得齿轮 Ⅰ 的绝对角速度
例 题 11
?例题 § 3 复合运动
曲柄连杆滑块机构，连杆
AB相对于曲柄 OA以匀角
速度 ?r 作顺时针方向转动，
已知 OA=l,AB= l,求图
示瞬时滑块 B的速度和加
速度。
3
例题 6 的另一种解法
O
A
B?r
O
A
B?r
例 题 11
?例题
§ 3 复合运动
解,1.运动分析 杆 OA定轴转动，杆 AB一般
平面运动，滑块 B水平平动。
已知的运动学量为 AB杆相
对于 OA杆的角速度，即将
动系固连于 OA杆时,AB杆
的相对角速度为 ?r 。
2.速度分析
由 AB两点绝对速度方向均为水平可知，杆 AB
为瞬时平动 即 0?AB
a?
Bv?
建立动系与杆 OA固连，则有 （设为 ?）OAe ?? ?
?OA
Av?
且 0,?? ABarABr ??? 故 rOAreABa ????? ????,0(?)
rOABA llvv ?? ????
(?)
例 题 11
?例题 § 3 复合运动
O
A
B?r
Av?
Bv?
?OA
2.加速度分析
由于 ?r=常数，故 ?r=0,由角加
速度合成关系 rea ??? ??
有
OAreAB ???? ??? 设为 (?)
定系中 AB两点的加速度有
nBABAnAAB aaaaa ????? ???? ??
方向 ? ? ? ?
0
大小？ l?OA
2OAl? ABl ??3
Ba?
?Aa?
nAa?
?BAa?
OA?
AB?
分别在 x,y方向上投影 2
3
3
rOAAB ??? ??
(?) 2
3
3
rB la ??
(?)
例 题 12
?例题 § 3 复合运动
图示机构，已知系杆 OA=3R,AE=1.5R，系杆 OA
的角速度 ω0=常数，试求图示位置曲柄 O1B的角速
度和角加速度。
O A
R R
?
??
Ш
E
O1
h
??
B
60o
O A
R R
?
??
Ш
E
O1
h
??
B
60o
例 题 12
?例题 § 3 复合运动
解：
1.运动分析,杆 OA,O1B定轴转动，轮 ?不动，
轮 ??, Ш 和套筒 E一般平面运动。
2.速度分析,建立 动系 e1与杆 OA固连 (绕 O定轴转动动系 )。
轮系 ?, ??, Ш的相对运动为定轴轮系运动，
各轮相对角速度有
2
1
1
2
2
1 ??
R
R
r
r
?
? 2
2
3
3
2 ??
R
R
r
r
?
?
312 22 rrr ??? ???
(1)
方向如图
?r1
?r2
?r3动系 e1
例 题 12
?例题 § 3 复合运动
由于 ?e= ?0 (?),根据角速度合成关系，
有
01101,0 ????? ????? rra
(?)
故 013 ??? ?? rr 012 22 ??? ?? rr(?) (?)
设 ?a2为 (?)，则有 0202 3 ???? ??? ra (?)
设 ?a3为 (?)，则有
000303 ????? ????? ra
轮 Ш 平动！
?a2
?a3
O A
R R
?
??
Ш
E
O1
h
??
B
60o
?r1
?r2
?r3动系 e1
?a2
?a3
O A
R R
?
??
Ш
E
O1
h
??
B
60o
?r1
?r2
?r3
例 题 12
?例题 § 3 复合运动
由于轮 Ш 平动，故
03 ?Rvv AE ??
(?)
建立 动系 e2与曲柄 O1B固连 (定轴转动动系 ),动点为套筒 E。
ErEeE vvv
??? ??
方向 ? ? ?
vA vE
Eev?
Erv?
大小 ? O1E· ?O1B?
得
h
R
BO
v E
BO 4
3360c o s 0
1
1
?? ???
2
3360s in 0?Rvv
EEr ???
(?)
(?)
?O1B
动系 e1
动系 e2
?a2
?a3
O A
R R
?
??
Ш
E
O1
h
??
B
60o
?r1
?r2
?r3
?O1B
例 题 12
?例题 § 3 复合运动
3.加速度分析,对动点 E，动系 e2，有
EcErEeE aaaa
???? ??? 而轮 Ш平动，故 (?)nAAE aaa ??? ??
即
EcEr
n
EeEe
n
A aaaaa
????? ???? ?
方向 ? ? ? ? ?
大小 3R O1E? O1E? 2
0? BO1? 21BO? ErBO v12?
Ea?
nAa?
?Eea?
nEea?
Era?
Eca?
?
在 ?方向投影，得
2
028
32718
1 ?? Rh
Rh
BO
???
(负号表示 ?)
?O1B
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(9)
§ 3.5 刚体的复合运动
讨论同一刚体在不同参考系（定系和动系）中的运动
学量（角速度、角加速度）之间的关系。
设刚体的绝对运动为平面运动，所选择的动系牵连运
动也为平面运动，则刚体的相对运动也为平面运动。
1,刚体的角速度、角加速度合成关系
A
B
x
y
O
?a
x’
y’
O’
?r
?e
任意时刻方位角之间有
)()()( ttt rea ??? ?? (3.23)
求导得 rea ??? ??? ??
角速度合成关系
rea
rea
???
???
??? ??
??
(3.24)
(3.25)
即得
刚体在不同参考系中方位角的定义
对（ 3.25）式求导：
dt
d
dt
d
dt
d rea ??? ??? ??
而
dt
d
dt
d e
e
a
a
???? ???? ??,
rre
rr
dt
d
dt
d ????? ????? ???? ~
利用（ 3.1）式，并注意到
re ??
?? //
0
2.刚体平面运动的分解 —— 分解为平动 +定轴转动
任选一个动系，则绝对运动为平面运动的刚体可分解为
绝对运动（平面运动） = 牵连运动 + 相对运动
其中牵连与相对运动各为何种运动，取决于动系的运动。
rea ???
??? ?? (3.26) 角加速度合成关系即
若选择一个特殊的动系 ——
动系原点 O’与刚体上的一点
A铰接,动系以点 A的运动规
律作平动,则有
y’
x’
O x
y
A
B
BAr?
刚体的绝对运动 —— 平面运动
动系的牵连运动 —— 与点 A相同规律的平动
刚体的相对运动 —— 绕 A轴的定轴转动
0,0 ??? ee ?? ??
根据刚体角速度、角加速度合成关系有 rara ???? ???? ??,
若选取刚体上的点 B 为动点，则由速度合成关系
BArABrBeBa rvvvv
?????? ????? ?(1)
若选取刚体上的点 B 为动点，则由速度合
成关系
BArABrBeBa rvvvv
?????? ????? ?(1)
又，在定系中，根据 AB两点速度关系
BAaABAAB rvvvv
?????? ????? ?（ 2）
考虑到,故两式完全相同。
ra ??
?? ?
0
定系中 AB两点加速度关系
)( BAaaBAaA
n
BABAAB
rra
aaaa
??????
????
??????
???
???
? (4)
BcBrBeBa aaaa
???? ???动点 B加速度合成关系
(3)
)( BArrBArAnBrBrA rraaaa ????????? ????????? ????
同样，两式完全相同。
y’
x’
O x
y
A
B
BAr?
3.一种刚体平面运动的特殊形式 —— 可分解为两个
定轴转动的合成
x
y
A
O
S
x’
y’
若平面图形 S的运动满足：
S上一点 A距定系中某固定
点 O距离始终不变 （即 A
点绝对运动轨迹为圆），
可取动系固连于 OA连线（动系绕 O轴定轴转动），
则 S的相对运动为绕 A轴的定轴转动。
由于 O轴 //A轴，故 分解为绕两平行轴转动的合成 。
其中特例,若
re ?? ??
则根据角速度合成关系有
0??? rea ???
刚体此种特殊的运动称为 转动偶。
利用刚体的复合运动解题的注意事项
2.常见的各种轮系机构、行星传动机构可利用刚体的
复合运动观点进行求解。
1.刚体的复合运动给出的是刚体的整体运动学量 ——
刚体的角速度、角加速度的合成关系。
4.求解过程中，常同时利用点的复合运动关系式（如
动点的速度合成关系、加速度合成关系）。
3.在某一参考系中作 定轴转动的定轴轮系机构 的传动，
两相互接触的齿轮或带轮角速度之间满足关系：
1
2
1
2
2
1
R
R
z
z ??
?
? 其中,zi为齿数,Ri为轮子半径。
行星齿轮减速机构如图所
示, 作定轴转动的齿轮 Ⅰ, 同
啮合于固定内齿轮 Ⅲ 的行星齿
轮 Ⅱ, 带动系杆 Ⅳ (OA)转动 。
已知各齿轮的齿数分别是 z1，
z2和 z3。 假定齿轮 Ⅰ 角速度的
大小是 ω1, 转向沿逆钟向, 试
求系杆 Ⅳ 即 OA的角速度 ω4 。
ω1
Ⅰ
Ⅱ
O
A
ω4
Ⅲ
Ⅳ
ω1 ω4
例 题 10
§ 3 复合运动
?例题
例 题 10
?例题
§ 3 复合运动
ω1
Ⅰ
Ⅱ
O
A
ω4
Ⅲ
Ⅳ
ω1 ω4
已知齿轮 Ⅰ 的绝对角速度 ω1
(?), 故如能求出它对于动系的
相对角速度 ω1r,就可以求出牵
连角速度 ω4 。
ω 3r= ω4
解,把动系固连于系杆 OA上, 则牵连角速度 ωe就是
待求的角速度 ω4 （ 设为 ?）, 即 ωe = ω4 （ ?） 。
轮系对于动系的相对运动是定
轴轮系传动, 设内齿轮 Ⅲ 的
例 题 10
?例题
§ 3 复合运动
即有 ω 3= ωe - ω3r= ω4 - ω3r= 0, 故有 ω3r= ω4 (?)
相对角速度 ω 3r(?),绝对角速度 ω 3=0。由角速度合成关系
ω1
Ⅰ
Ⅱ
O
A
ω4
Ⅲ
Ⅳ
ω1 ω4
由此可得齿轮 Ⅰ 的相对角速度
4
1
3
r3
1
3
1r ??? z
z
z
z ?? (?)
对相对运动应用定轴系传动比公式,设 ω2r(?),ω1r (?),有
例 题 10
?例题
根据刚体角速度合成公式，
§ 3 复合运动
ω 3r= ω4
ω1
Ⅰ
Ⅱ
O
A
ω4
Ⅲ
Ⅳ
ω1 ω4
ω2r
ω1r
故求得杆 OA 的绝对角速度为
1
31
1
4 ??? zz
z
OA ???
(?)
,
1
2
1
2
r2
r1
R
R
z
z ??
?
?,
2
3
2
3
r3
r
R
R
z
z ??
?
?
其中 zi为齿轮齿数,Ri为齿轮半径
4
1
3
4r1e1 ????? z
z???? (?)求得齿轮 Ⅰ 的绝对角速度
例 题 11
?例题 § 3 复合运动
曲柄连杆滑块机构，连杆
AB相对于曲柄 OA以匀角
速度 ?r 作顺时针方向转动，
已知 OA=l,AB= l,求图
示瞬时滑块 B的速度和加
速度。
3
例题 6 的另一种解法
O
A
B?r
O
A
B?r
例 题 11
?例题
§ 3 复合运动
解,1.运动分析 杆 OA定轴转动，杆 AB一般
平面运动，滑块 B水平平动。
已知的运动学量为 AB杆相
对于 OA杆的角速度，即将
动系固连于 OA杆时,AB杆
的相对角速度为 ?r 。
2.速度分析
由 AB两点绝对速度方向均为水平可知，杆 AB
为瞬时平动 即 0?AB
a?
Bv?
建立动系与杆 OA固连，则有 （设为 ?）OAe ?? ?
?OA
Av?
且 0,?? ABarABr ??? 故 rOAreABa ????? ????,0(?)
rOABA llvv ?? ????
(?)
例 题 11
?例题 § 3 复合运动
O
A
B?r
Av?
Bv?
?OA
2.加速度分析
由于 ?r=常数，故 ?r=0,由角加
速度合成关系 rea ??? ??
有
OAreAB ???? ??? 设为 (?)
定系中 AB两点的加速度有
nBABAnAAB aaaaa ????? ???? ??
方向 ? ? ? ?
0
大小？ l?OA
2OAl? ABl ??3
Ba?
?Aa?
nAa?
?BAa?
OA?
AB?
分别在 x,y方向上投影 2
3
3
rOAAB ??? ??
(?) 2
3
3
rB la ??
(?)
例 题 12
?例题 § 3 复合运动
图示机构，已知系杆 OA=3R,AE=1.5R，系杆 OA
的角速度 ω0=常数，试求图示位置曲柄 O1B的角速
度和角加速度。
O A
R R
?
??
Ш
E
O1
h
??
B
60o
O A
R R
?
??
Ш
E
O1
h
??
B
60o
例 题 12
?例题 § 3 复合运动
解：
1.运动分析,杆 OA,O1B定轴转动，轮 ?不动，
轮 ??, Ш 和套筒 E一般平面运动。
2.速度分析,建立 动系 e1与杆 OA固连 (绕 O定轴转动动系 )。
轮系 ?, ??, Ш的相对运动为定轴轮系运动，
各轮相对角速度有
2
1
1
2
2
1 ??
R
R
r
r
?
? 2
2
3
3
2 ??
R
R
r
r
?
?
312 22 rrr ??? ???
(1)
方向如图
?r1
?r2
?r3动系 e1
例 题 12
?例题 § 3 复合运动
由于 ?e= ?0 (?),根据角速度合成关系，
有
01101,0 ????? ????? rra
(?)
故 013 ??? ?? rr 012 22 ??? ?? rr(?) (?)
设 ?a2为 (?)，则有 0202 3 ???? ??? ra (?)
设 ?a3为 (?)，则有
000303 ????? ????? ra
轮 Ш 平动！
?a2
?a3
O A
R R
?
??
Ш
E
O1
h
??
B
60o
?r1
?r2
?r3动系 e1
?a2
?a3
O A
R R
?
??
Ш
E
O1
h
??
B
60o
?r1
?r2
?r3
例 题 12
?例题 § 3 复合运动
由于轮 Ш 平动，故
03 ?Rvv AE ??
(?)
建立 动系 e2与曲柄 O1B固连 (定轴转动动系 ),动点为套筒 E。
ErEeE vvv
??? ??
方向 ? ? ?
vA vE
Eev?
Erv?
大小 ? O1E· ?O1B?
得
h
R
BO
v E
BO 4
3360c o s 0
1
1
?? ???
2
3360s in 0?Rvv
EEr ???
(?)
(?)
?O1B
动系 e1
动系 e2
?a2
?a3
O A
R R
?
??
Ш
E
O1
h
??
B
60o
?r1
?r2
?r3
?O1B
例 题 12
?例题 § 3 复合运动
3.加速度分析,对动点 E，动系 e2，有
EcErEeE aaaa
???? ??? 而轮 Ш平动，故 (?)nAAE aaa ??? ??
即
EcEr
n
EeEe
n
A aaaaa
????? ???? ?
方向 ? ? ? ? ?
大小 3R O1E? O1E? 2
0? BO1? 21BO? ErBO v12?
Ea?
nAa?
?Eea?
nEea?
Era?
Eca?
?
在 ?方向投影，得
2
028
32718
1 ?? Rh
Rh
BO
???
(负号表示 ?)
?O1B
