工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(22)
常见梁的横截面形式
对称弯曲 或 平面弯曲,
梁有一纵向对称面，
外力作用在对称面内，
梁变形后，轴线仍在
该对称面内；
5,梁的内力 剪力弯矩方程 剪力弯矩图
x
M qF
1F 2F
q
简支梁
F
外伸梁
悬臂梁
M
常见的几种简单静定梁：
梁横截面上的内力符号规定, q
x
BA
AF BF
l
? ?xFS
? ?xM
q
B
BF? ?xF
S
? ?xM
x
xq
A
AF
剪力
SF
弯矩 M
为正
M
MS
F
为正
SF
C
对 x截面用截面法切开,C为截
面形心，
0?? iyF 0??? SA FqxF
以 AB梁整体为对象，可求 A
处和 B处的约束力：
2
qlFF
BA ??
（ ?）
qxqlxF S ??? 2)(
0?? iCM 02)( ???? xFqxxxM A 22)( 2qxq lxxM ???
取左半段为分离体：
2m a x
qlF
S ?
2
m a x 8
1 qlM ?
q
x
BA
AF BF
l
（ M）
2
8
1ql
qxqlxF S ?? 2)(
22)(
2qxq lx
xM ??
lx ??0
lx ??0
该梁内力
方程为：
（ FS） 2
ql
2
ql
例 题 1
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
简支梁在中点处受集
中力偶作用，左半段
有均布载荷，试求 A+，
C-,C+,B-各面上的
内力并列出剪力和弯
矩方程。
A B
q
2qa
a C a
例 题 1
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
解,1.建立 x轴（向右为正），以整体为对象求出
支座约束力：
)(
4
5
2
2
3
0
22
??
?
???? qa
a
qaqa
FM AB
A B
q
2qa
a C a
AF BF )(
4
10 ??????? qaqaFFF
ABy
x
2.求指定截面的内力：
A+面：
AF
SF M
0
4
5
?
??
M
qaFF AS
例 题 1
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
C-面：
AF
M
SF
C+面：
AF
SF
M
2qa
B-面：
A B
q
2qa
a C a
AF BF
x
BF
SF
M
0
4
1
?
??
M
qaFF BS
222
4
1
2
1
4
1
qaqaqaaFM
qaqaFF
A
AS
?????
???
22
4
3
2
1
4
1
qaqaaFM
qaqaFF
A
AS
???
???
例 题 1
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
M(x1)
)( 1xFS
A B
q
2qa
a C a
AF BF
x
BF
)( 2xFSM(x2)
3.列内力方程 应分为两段：
AC段：
AF x
1
)0(
24
5
)(
)0(
4
5
)(
1
2
1
11
111
ax
qx
qaxxM
axqxqaxF S
????
????
CB段：
x2
)2(
)2(
4
)2()(
)2(
4
)(
2
222
22
axa
xa
qa
xaFxM
axa
qa
xF
B
S
??
???????
???
用截面法求任意截面上的内力时：解题指导
（ 1）对静定结构先求出全部约束力。
（ 2）用截面法切开取任意一半为分离体，截面
上的 各未知内力分量一律设为正向 。
（ 3）列平衡方程求出各内力分量的大小。
（ 4）列内力方程注意 正确分段,分段点截面又
称为控制面。
（ 5）注意内力分量的正负符号规定,以变形定
正负,与外力分量以坐标轴方向定正负不同。
6,梁的载荷集度 q,剪力 FS,弯矩 M之间的微分关系
dx
x
q(x)
x
lAF
BF
A B
SF SS dFF ?
M+dMM
设 x轴向右为正, q(x)向上为正
在 x截面处切取 dx梁段
0?? iyF
0)()( ???? SSS dFFdxxqF
q(x)
C
dx
)( xqdxdF S ??
? ? 0iCM
0)(2)( ??????? dMMdxdxxqdxFM S
SFdx
dM ??
（ 见 § 13.2,§ 13.3）
SFdx
dM ?)( xq
dx
dF S ? )(
2
2
xqdxMd ?
(9.3)
7.利用微分关系绘制剪力弯矩图
根据微分关系（ 9.3）式，可推断 FS图、
M图各段曲线的斜率（曲线走向）及 M图
的曲率（弯曲形状），再结合分段点
（控制面）的内力数值，就可确定全部
内力图。
FS为平行于轴线的直线, M为斜率是 FS的斜直线 。
根据微分关系绘图原则：
SFdx
dM ?)(xq
dx
dF S ? )(
2
2
xqdxMd ?
（ 1）某段梁若 q(x)=0,则 FS=常数,M=一次函数
（ 2）若 q(x)=常数 =q,则 FS=一次函数,M=二次函数
FS为斜率是 q的斜直线,M为抛物线：当 q>0,
当 q<0,q=0
FS
M
q < 0q >0
(3)若某截面处 FS=0 SF
dx
dM ?)(xq
dx
dF S ? )(
2
2
xqdxMd ?
则该截面上 M取极值：当 q>0,M取到极小值
当 q<0,M取到极大值
（ 4）集中力 F作用处,FS突变，跳跃值为 F,M有尖点；
集中力偶 M作用处,M突变，跳跃值为 M,FS不受影响。
F
F
M
M
FS
q < 0
M
q > 0
（ 5）在梁的左右两个端面上作用的集中力、集中
力偶，就是该截面上的 FS,M
利用微分关系作内力图步骤：
（ 1）以整体为对象求支座约束力。
（ 2）根据外力的作用点正确分段，分段点为控制面。
（ 3）利用截面法求控制面上的 FS,M,得到控制点。
（ 4）分段判断各段曲线形状，连接各控制点。
（ 5）各控制点数值标绝对值。
（ 6）内力图突变处向上突变还是向下突变，视该集
中载荷对未画部分的作用是正作用还是负作用而定。
（ 7）凡 FS=0和 M=0的截面，要标出其 x坐标位置
例 题 2
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
2qa q qa
2
a a a
A B C D
外伸梁受力如
图，绘制剪力
弯矩图，并求
和
maxSF maxM
例 题 2
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
2qa q qa
2
a a a
A B C D
解,1.求约束力
BF DF
)(
2
7
2
322 2
??
?????
?
qa
a
qaaqaaaq
F B
)(21274 ???? qaqaqaF D
2.作内力图
2qa
qa23
qa21
2
a
22qa
2qa
22 qaM B ??
222
2
122
2
7 qaqaaqaqaM
C ???????
222
8
1
8
1
4
1 qaqaqaM
E ???
281qa
E
SF
( )
(M)
例 题 2
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
2qa q qa
2
a a a
A B C D
BF DF
2qa
qa23
qa21
2
a
22qa
2qa
281qa
E
3.求内力的最大值
从图中可见：
qaF S 2m a x ?
2
m a x 2 qaM ?
(M)
SF
( )
例 题 3
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
a 2a
q
2
qa
A B C
悬臂梁受力如图，作剪力
弯矩图，并求 和
。
maxSF
maxM
例 题 3
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
a 2a
q
2
qa
A B C
解,1.求约束力
FC
MC
)(2322 ???? qaqaqaF C
2322
2qa
aqaaqaM C ?????
(?)
2
2qa
M B ?
2,作内力图
SF
( )
(M)
2
qa
2
3qa
a23
2
2qa
8
5
4
3
2
3
22
3
2
3
2
2
m a x
qa
aa
q
qaaqa
M
?
?????
2
2qa
8
5 2qa
MMAX
MC
FC
q
例 题 3
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
3.求内力的最大值
设距右端 xE处 M=0
2
3qa8
5 2qa
a 2a
q
2
qa
A B C
FC
M
SF
( )
(M)
2
qa
a23
2
2qa
2
2qa
xE
FC
M
xE 02223 2 ????? EEE xqxqaxqa
03 22 ??? aaxx EE
aaax E 2 532 53 ????
从图中可见：
qaF S 23m a x ? 2m a x 85 qaM ?
例 题 4
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
A B C D
q
qa
2a 2aa
带有中间铰的梁，
受力如图，作剪
力弯矩图。
例 题 4
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
A B C D
q
qa
2a 2aa
解,1.求约束力
此梁仍为静定，因有中
间铰，必须在中间铰处
切开才可求全部约束力。
A B
qa
2a a C
D
q
2aCF
DF
)(22 ???? qaqaFF DC
对 CD：
BF
CF?
AF
对 ABC,)(??? qaF
C
)(32 32 ???? qaa aqaF B
)(23 ???? qaqaqaF A
例 题 4
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
2.作内力图
SF
( )
(M)
qa
2qa qa
qa
a
22 qaM B ??
22qa
2
2
1qa
22
2
m a x
qaaqaaqaM ??????
注意：中间铰处
0?CM
A B C D
q
qa
2a 2aaqa 3qa qa
思考题 比较以下两梁的内力图：
A
B
C
B
C
M M
A
M
A
B
C
a a a a
MA=M
A
B
C
MM
A=M
a
MF
C ?
a
MF
B ?BF?
a
MF
A ?
SF
( )
(M)
SF
( )
(M)
M
a
M
M M
8.平面刚架的内力图
平面刚架 —— 轴线由几段直线构成折线，折点为刚
节点（保持夹角不变）的平面框架结构。
刚架横截面上的内力 —— 轴力,剪力,弯矩 MNF SF
主要内力分量有时可忽略
刚架内力及内力图画法的规定：
（ 1）刚架任意截面上的内力分量可用截面法求得。
（ 2） 轴力图、剪力图可画在刚架任一侧，标出正负号
（仍规定 FN拉为正,FS?为正）。
（ 3） 弯矩图的绝对值画在刚架受压一侧，不标正负号。
（ 4）刚架的各直线段画内力图与梁的画法类似。
例 题 4
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
A
B C D
1m 1m
4kN·m5kN
2m
求作图示刚架的
内力图。
例 题 4
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
A
B C D
1m 1m
4kN·m5kN
2m
解,1.求约束力
DF
AxF
AyF
))((32 1214 ?????? kNF D
))((221 ???? kNF Ax
)(235 ???? kNF Ay
例 题 4
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
A
B C D
1m 1m
4kN·m5kN
2m
3kN
2kN
2kN
2.作内力图
(FN)
轴力图：
2kN
2kN
kNF N 2??AB段
例 题 4
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
A
B C D
1m 1m
4kN·m5kN
2m
3kN
2kN
2kN
剪力图：
(FS)2kN
3kN 2kN2kNA
FSB-
FNB-M
B-
0212 ?????SBF
例 题 4
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
A
B C D
1m 1m
4kN·m5kN
2m
3kN
2kN
2kN
(M)
2kN
2kN
A
FSB-
FNB-M
B-
mkNM B ??????? 212122
2kN·m
3kN
?SCF
MC-
MC-=3-4= - 1 kN·m
1kN·m
3kN·m
2/3m
弯矩图：
9.利用对称性与反对称性简化作图
若结构关于某一轴：
（ 1）结构几何对称，约束对称，载荷对称
—— 则 FS图反对称,FN图和 M图对称。
（ 2）结构几何对称，约束对称，载荷反对称
—— 则 FS图对称,FN图和 M图反对称。
例 题 5
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
求作内力图。
a a a a
q qqa/2
A BC
例 题 5
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
解,1.求约束力
a a a a
q qqa/2
A BC
)(
4
5
2
2/
??
??
??
qa
qaqaqa
FF BA
AF BF
例 题 5
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
2.作内力图
2
2
1 qaM
A ??
a a a a
q qqa/2
A BC
4
5qa
4
5qa 24
1
2
3
4
5 qaaqaaqaM
C ??????
SF
( )
(M)
qaF SA ???
qa
qa/4
qa/4
qa
2
2
1qa 2
2
1qa
2
4
1qa
A- MA
FSA-_
MC
FSC-_
C-5qa/4
例 题 6
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
3a
a a a
Fa Fa
F F
A
B C
D
求作图示刚架
的内力图。
例 题 6
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
3a
a a a
Fa Fa
F F
A
B C
D
解,1.求约束力
AF DF
33
F
a
FaFaFaFF
DA ?
????
例 题 6
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
3a
a a a
Fa Fa
F F
A
B C
D
2.作内力图
3
F
3
F
轴力图：
(FN)
F/3 F/3
例 题 6
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
3a
a a a
Fa Fa
F F
A
B C
D
3
F
3
F
剪力图：
(FS)
F/3 F/3
4F/3
例 题 6
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
3a
a a a
Fa Fa
F F
A
B C
D
3
F
3
F
弯矩图：
(M)
Fa
Fa 2Fa/3
2Fa/3
Fa
10.用叠加法作 内力 图
A
B C
q qaP?
aa2
A
B C
qaP?
PM
2qa
A
B C
q
221qa
qM
++qa/2
3qa/2
qa
a/2
MMM qP ??2a
281qa
2qa
Ma
11.平面曲杆
2F
A
O
B
?
a
F
曲杆横截面上的内力规定：
轴力,FN 拉为正
剪力,FS 使曲杆微元顺时针转动为正
弯矩,M使曲杆轴线曲率增加为正
NF
SFM
例如：半径为 a的 1/4圆弧曲杆,在 ?截面处切开：
内力方程为：
??
??
??
s in)c o s1(2
c o ss in2
s inc o s2
FRFRM
FFF
FFF
S
N
???
??
??
曲杆：轴线为曲线的杆件
极值点：
0s i n2c o s 00 ???? ??? PaPaddM
2
1
0
??tg o6.260 ??
? ? FaM 2 3 6.00 ???
曲杆的弯矩图：
Fa
A
B
6.26
Fa2 6 3.0
M
?? s i n2)c o s1( FRFRM ???
(各点的内力数值在垂直于
杆轴的方向上取值）
例 题 7
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
一端固定的直角曲杆，
位于水平面内，受力
如图，已知,N=2P,画
出该曲杆的内力图。
例 题 7
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
解,1.求固支端约束力
Pa
2P
P
PL2.画内力图
Pa M
P
FS
PL
M
P
FS
Pa
T
2P F
N
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(22)
常见梁的横截面形式
对称弯曲 或 平面弯曲,
梁有一纵向对称面，
外力作用在对称面内，
梁变形后，轴线仍在
该对称面内；
5,梁的内力 剪力弯矩方程 剪力弯矩图
x
M qF
1F 2F
q
简支梁
F
外伸梁
悬臂梁
M
常见的几种简单静定梁：
梁横截面上的内力符号规定, q
x
BA
AF BF
l
? ?xFS
? ?xM
q
B
BF? ?xF
S
? ?xM
x
xq
A
AF
剪力
SF
弯矩 M
为正
M
MS
F
为正
SF
C
对 x截面用截面法切开,C为截
面形心，
0?? iyF 0??? SA FqxF
以 AB梁整体为对象，可求 A
处和 B处的约束力：
2
qlFF
BA ??
（ ?）
qxqlxF S ??? 2)(
0?? iCM 02)( ???? xFqxxxM A 22)( 2qxq lxxM ???
取左半段为分离体：
2m a x
qlF
S ?
2
m a x 8
1 qlM ?
q
x
BA
AF BF
l
（ M）
2
8
1ql
qxqlxF S ?? 2)(
22)(
2qxq lx
xM ??
lx ??0
lx ??0
该梁内力
方程为：
（ FS） 2
ql
2
ql
例 题 1
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
简支梁在中点处受集
中力偶作用，左半段
有均布载荷，试求 A+，
C-,C+,B-各面上的
内力并列出剪力和弯
矩方程。
A B
q
2qa
a C a
例 题 1
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
解,1.建立 x轴（向右为正），以整体为对象求出
支座约束力：
)(
4
5
2
2
3
0
22
??
?
???? qa
a
qaqa
FM AB
A B
q
2qa
a C a
AF BF )(
4
10 ??????? qaqaFFF
ABy
x
2.求指定截面的内力：
A+面：
AF
SF M
0
4
5
?
??
M
qaFF AS
例 题 1
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
C-面：
AF
M
SF
C+面：
AF
SF
M
2qa
B-面：
A B
q
2qa
a C a
AF BF
x
BF
SF
M
0
4
1
?
??
M
qaFF BS
222
4
1
2
1
4
1
qaqaqaaFM
qaqaFF
A
AS
?????
???
22
4
3
2
1
4
1
qaqaaFM
qaqaFF
A
AS
???
???
例 题 1
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
M(x1)
)( 1xFS
A B
q
2qa
a C a
AF BF
x
BF
)( 2xFSM(x2)
3.列内力方程 应分为两段：
AC段：
AF x
1
)0(
24
5
)(
)0(
4
5
)(
1
2
1
11
111
ax
qx
qaxxM
axqxqaxF S
????
????
CB段：
x2
)2(
)2(
4
)2()(
)2(
4
)(
2
222
22
axa
xa
qa
xaFxM
axa
qa
xF
B
S
??
???????
???
用截面法求任意截面上的内力时：解题指导
（ 1）对静定结构先求出全部约束力。
（ 2）用截面法切开取任意一半为分离体，截面
上的 各未知内力分量一律设为正向 。
（ 3）列平衡方程求出各内力分量的大小。
（ 4）列内力方程注意 正确分段,分段点截面又
称为控制面。
（ 5）注意内力分量的正负符号规定,以变形定
正负,与外力分量以坐标轴方向定正负不同。
6,梁的载荷集度 q,剪力 FS,弯矩 M之间的微分关系
dx
x
q(x)
x
lAF
BF
A B
SF SS dFF ?
M+dMM
设 x轴向右为正, q(x)向上为正
在 x截面处切取 dx梁段
0?? iyF
0)()( ???? SSS dFFdxxqF
q(x)
C
dx
)( xqdxdF S ??
? ? 0iCM
0)(2)( ??????? dMMdxdxxqdxFM S
SFdx
dM ??
（ 见 § 13.2,§ 13.3）
SFdx
dM ?)( xq
dx
dF S ? )(
2
2
xqdxMd ?
(9.3)
7.利用微分关系绘制剪力弯矩图
根据微分关系（ 9.3）式，可推断 FS图、
M图各段曲线的斜率（曲线走向）及 M图
的曲率（弯曲形状），再结合分段点
（控制面）的内力数值，就可确定全部
内力图。
FS为平行于轴线的直线, M为斜率是 FS的斜直线 。
根据微分关系绘图原则：
SFdx
dM ?)(xq
dx
dF S ? )(
2
2
xqdxMd ?
（ 1）某段梁若 q(x)=0,则 FS=常数,M=一次函数
（ 2）若 q(x)=常数 =q,则 FS=一次函数,M=二次函数
FS为斜率是 q的斜直线,M为抛物线：当 q>0,
当 q<0,q=0
FS
M
q < 0q >0
(3)若某截面处 FS=0 SF
dx
dM ?)(xq
dx
dF S ? )(
2
2
xqdxMd ?
则该截面上 M取极值：当 q>0,M取到极小值
当 q<0,M取到极大值
（ 4）集中力 F作用处,FS突变，跳跃值为 F,M有尖点；
集中力偶 M作用处,M突变，跳跃值为 M,FS不受影响。
F
F
M
M
FS
q < 0
M
q > 0
（ 5）在梁的左右两个端面上作用的集中力、集中
力偶，就是该截面上的 FS,M
利用微分关系作内力图步骤：
（ 1）以整体为对象求支座约束力。
（ 2）根据外力的作用点正确分段，分段点为控制面。
（ 3）利用截面法求控制面上的 FS,M,得到控制点。
（ 4）分段判断各段曲线形状，连接各控制点。
（ 5）各控制点数值标绝对值。
（ 6）内力图突变处向上突变还是向下突变，视该集
中载荷对未画部分的作用是正作用还是负作用而定。
（ 7）凡 FS=0和 M=0的截面，要标出其 x坐标位置
例 题 2
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
2qa q qa
2
a a a
A B C D
外伸梁受力如
图，绘制剪力
弯矩图，并求
和
maxSF maxM
例 题 2
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
2qa q qa
2
a a a
A B C D
解,1.求约束力
BF DF
)(
2
7
2
322 2
??
?????
?
qa
a
qaaqaaaq
F B
)(21274 ???? qaqaqaF D
2.作内力图
2qa
qa23
qa21
2
a
22qa
2qa
22 qaM B ??
222
2
122
2
7 qaqaaqaqaM
C ???????
222
8
1
8
1
4
1 qaqaqaM
E ???
281qa
E
SF
( )
(M)
例 题 2
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
2qa q qa
2
a a a
A B C D
BF DF
2qa
qa23
qa21
2
a
22qa
2qa
281qa
E
3.求内力的最大值
从图中可见：
qaF S 2m a x ?
2
m a x 2 qaM ?
(M)
SF
( )
例 题 3
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
a 2a
q
2
qa
A B C
悬臂梁受力如图，作剪力
弯矩图，并求 和
。
maxSF
maxM
例 题 3
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
a 2a
q
2
qa
A B C
解,1.求约束力
FC
MC
)(2322 ???? qaqaqaF C
2322
2qa
aqaaqaM C ?????
(?)
2
2qa
M B ?
2,作内力图
SF
( )
(M)
2
qa
2
3qa
a23
2
2qa
8
5
4
3
2
3
22
3
2
3
2
2
m a x
qa
aa
q
qaaqa
M
?
?????
2
2qa
8
5 2qa
MMAX
MC
FC
q
例 题 3
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
3.求内力的最大值
设距右端 xE处 M=0
2
3qa8
5 2qa
a 2a
q
2
qa
A B C
FC
M
SF
( )
(M)
2
qa
a23
2
2qa
2
2qa
xE
FC
M
xE 02223 2 ????? EEE xqxqaxqa
03 22 ??? aaxx EE
aaax E 2 532 53 ????
从图中可见：
qaF S 23m a x ? 2m a x 85 qaM ?
例 题 4
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
A B C D
q
qa
2a 2aa
带有中间铰的梁，
受力如图，作剪
力弯矩图。
例 题 4
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
A B C D
q
qa
2a 2aa
解,1.求约束力
此梁仍为静定，因有中
间铰，必须在中间铰处
切开才可求全部约束力。
A B
qa
2a a C
D
q
2aCF
DF
)(22 ???? qaqaFF DC
对 CD：
BF
CF?
AF
对 ABC,)(??? qaF
C
)(32 32 ???? qaa aqaF B
)(23 ???? qaqaqaF A
例 题 4
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
2.作内力图
SF
( )
(M)
qa
2qa qa
qa
a
22 qaM B ??
22qa
2
2
1qa
22
2
m a x
qaaqaaqaM ??????
注意：中间铰处
0?CM
A B C D
q
qa
2a 2aaqa 3qa qa
思考题 比较以下两梁的内力图：
A
B
C
B
C
M M
A
M
A
B
C
a a a a
MA=M
A
B
C
MM
A=M
a
MF
C ?
a
MF
B ?BF?
a
MF
A ?
SF
( )
(M)
SF
( )
(M)
M
a
M
M M
8.平面刚架的内力图
平面刚架 —— 轴线由几段直线构成折线，折点为刚
节点（保持夹角不变）的平面框架结构。
刚架横截面上的内力 —— 轴力,剪力,弯矩 MNF SF
主要内力分量有时可忽略
刚架内力及内力图画法的规定：
（ 1）刚架任意截面上的内力分量可用截面法求得。
（ 2） 轴力图、剪力图可画在刚架任一侧，标出正负号
（仍规定 FN拉为正,FS?为正）。
（ 3） 弯矩图的绝对值画在刚架受压一侧，不标正负号。
（ 4）刚架的各直线段画内力图与梁的画法类似。
例 题 4
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
A
B C D
1m 1m
4kN·m5kN
2m
求作图示刚架的
内力图。
例 题 4
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
A
B C D
1m 1m
4kN·m5kN
2m
解,1.求约束力
DF
AxF
AyF
))((32 1214 ?????? kNF D
))((221 ???? kNF Ax
)(235 ???? kNF Ay
例 题 4
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
A
B C D
1m 1m
4kN·m5kN
2m
3kN
2kN
2kN
2.作内力图
(FN)
轴力图：
2kN
2kN
kNF N 2??AB段
例 题 4
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
A
B C D
1m 1m
4kN·m5kN
2m
3kN
2kN
2kN
剪力图：
(FS)2kN
3kN 2kN2kNA
FSB-
FNB-M
B-
0212 ?????SBF
例 题 4
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
A
B C D
1m 1m
4kN·m5kN
2m
3kN
2kN
2kN
(M)
2kN
2kN
A
FSB-
FNB-M
B-
mkNM B ??????? 212122
2kN·m
3kN
?SCF
MC-
MC-=3-4= - 1 kN·m
1kN·m
3kN·m
2/3m
弯矩图：
9.利用对称性与反对称性简化作图
若结构关于某一轴：
（ 1）结构几何对称，约束对称，载荷对称
—— 则 FS图反对称,FN图和 M图对称。
（ 2）结构几何对称，约束对称，载荷反对称
—— 则 FS图对称,FN图和 M图反对称。
例 题 5
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
求作内力图。
a a a a
q qqa/2
A BC
例 题 5
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
解,1.求约束力
a a a a
q qqa/2
A BC
)(
4
5
2
2/
??
??
??
qa
qaqaqa
FF BA
AF BF
例 题 5
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
2.作内力图
2
2
1 qaM
A ??
a a a a
q qqa/2
A BC
4
5qa
4
5qa 24
1
2
3
4
5 qaaqaaqaM
C ??????
SF
( )
(M)
qaF SA ???
qa
qa/4
qa/4
qa
2
2
1qa 2
2
1qa
2
4
1qa
A- MA
FSA-_
MC
FSC-_
C-5qa/4
例 题 6
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
3a
a a a
Fa Fa
F F
A
B C
D
求作图示刚架
的内力图。
例 题 6
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
3a
a a a
Fa Fa
F F
A
B C
D
解,1.求约束力
AF DF
33
F
a
FaFaFaFF
DA ?
????
例 题 6
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
3a
a a a
Fa Fa
F F
A
B C
D
2.作内力图
3
F
3
F
轴力图：
(FN)
F/3 F/3
例 题 6
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
3a
a a a
Fa Fa
F F
A
B C
D
3
F
3
F
剪力图：
(FS)
F/3 F/3
4F/3
例 题 6
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
3a
a a a
Fa Fa
F F
A
B C
D
3
F
3
F
弯矩图：
(M)
Fa
Fa 2Fa/3
2Fa/3
Fa
10.用叠加法作 内力 图
A
B C
q qaP?
aa2
A
B C
qaP?
PM
2qa
A
B C
q
221qa
qM
++qa/2
3qa/2
qa
a/2
MMM qP ??2a
281qa
2qa
Ma
11.平面曲杆
2F
A
O
B
?
a
F
曲杆横截面上的内力规定：
轴力,FN 拉为正
剪力,FS 使曲杆微元顺时针转动为正
弯矩,M使曲杆轴线曲率增加为正
NF
SFM
例如：半径为 a的 1/4圆弧曲杆,在 ?截面处切开：
内力方程为：
??
??
??
s in)c o s1(2
c o ss in2
s inc o s2
FRFRM
FFF
FFF
S
N
???
??
??
曲杆：轴线为曲线的杆件
极值点：
0s i n2c o s 00 ???? ??? PaPaddM
2
1
0
??tg o6.260 ??
? ? FaM 2 3 6.00 ???
曲杆的弯矩图：
Fa
A
B
6.26
Fa2 6 3.0
M
?? s i n2)c o s1( FRFRM ???
(各点的内力数值在垂直于
杆轴的方向上取值）
例 题 7
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
一端固定的直角曲杆，
位于水平面内，受力
如图，已知,N=2P,画
出该曲杆的内力图。
例 题 7
§ 9 变形体静力学概述
及一般杆件内力分析
?例题
解,1.求固支端约束力
Pa
2P
P
PL2.画内力图
Pa M
P
FS
PL
M
P
FS
Pa
T
2P F
N
