工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 27)
（下册）
§ 13 梁的弯曲
§ 13.4 弯曲强度条件与梁的强度计算
1,弯曲正应力强度条件
梁弯曲时达到 Mmax的截面称 正应力危险截面,
梁的上下缘距中性轴最远处（此处切应力恰好为零），
—— 单向应力状态
(M)
Fl/4
F
CA B
C
M=Fl/4 ?
max?
?max?
?max?
?max?
该截面上 正应力的危险点,
正应力强度条件
当截面上下不对称时：
? ? ? ?t??? ?? ??m a x ? ? ? ?c??? ?? ??m a x (13.7)
C
M=Fl/4 ?
max?
?max?
?max?
?max?
? ??? ???
?
?
???
?
?
m a x
m a x
zW
M (13.6)
当截面上下对称时：
2.弯曲切应力强度条件
梁弯曲时，横截面上切应力的危险点：
剪力最大截面的中性轴上（此处正应力恰好为零），
—— 纯剪切应力状态F
CA B
(FS)
F/2
F/2
F/2 ?
max
?max
切应力强度条件
? ??? ???
?
?
???
?? ?
m a x
m a x bI
SF
z
zS
(13.8)
3.梁的弯曲强度计算
（ 1）一般的细长非薄壁梁（跨高比 l/h 较大），可
只校核正应力强度条件（此时切应力强度条件多自
动满足）。 F
CA B
l
h
，应正确找出梁的拉应力危险点和压应
力危险点（可能不在同一截面上）并分别校核。
(2)注意脆性材料且截面上下不对称的梁,? ? ? ??? ? ??
?? ? m a xm a x ??
(3)薄壁梁、跨度小的高梁（ l/h 较小）或支座附近
有较大集中力 —— 除校核正应力强度条件外，还
应校核切应力强度条件。
(4) 组合梁的特殊面（胶接面，焊接面，铆接面）
—— 应进行切应力强度校核。
(5)注意：薄壁梁截面上的特殊点,正应力、切应力
同时较大 —— 属于平面应力状态,这些点的强度校
核见 § I4 组合变形 。
?
?
??
4.梁的强度计算问题步骤
三类问题
强度校核
截面设计
（正应力强度、切应力强度）
（一般从正应力强度出发设
计截面，再校核切应力强度）
确定允许载荷
（一般从正应力强度出发定最
大载荷，再校核切应力强度）
（ 1）先根据梁的受力，画出剪力、弯矩图，从中找
出 。
m axm axm ax,,SFMM
??
（ 3）综合考虑内力及截面几何特点，找出梁的危
险截面、危险点位置。
（ 2）根据截面几何参数，计算截面形心及关于中性
轴的, 。
21,,zzz WWI ?maxzS
（ 4）分别计算 并带入强度
条件校核。 m a xm a xm a x,,???
??
（ 5）截面设计或确定允许载荷，一般先考虑正
应力强度进行计算，再用切应力强度条件校核。
例 题 13-1 § I3 梁的弯曲
?例题
A B C D
Fq
2m 3m 1m
200
200
30
30
图示铸铁梁受力如图，截面为 T形，尺寸如图，已知：
q=10kN/m, F=20kN, [?+]=30Mpa,[?-]=60Mpa，
试校核该梁的正应力强度条件。
例 题 13-1 § I3 梁的弯曲
?例题
A B C D
Fq
2m 3m 1m
解,1.截面几何参数计算
200
200
30
30
z
y
c
截面形心坐标：
mm
y
5.157
230200
10030200)15200(30200
1
?
??
??????
?
mmyy 5.7230200 12 ????
y1
y2
例 题 13-1 § I3 梁的弯曲
?例题
A B C D
Fq
2m 3m 1m y1
y2
解,1.截面几何参数计算
200
200
30
30
z
y
c
47
2
3
2
3
1001.6
)5.157215(30200
12
30200
)1005.157(30200
12
20030
mm
I
z
??
????
?
?
????
?
?截面对 z轴
的惯性矩：
例 题 13-1 § I3 梁的弯曲
?例题
A B C D
Fq
2m 3m 1m
z
y
c
200
200
30
30
y1
y2
2.画内力图
10kN
10kN20kN
(FS)
(M)
10kNm
20kNm
kNFF BSS 20m a x ?? ?
mkNMM C ???? 10m a x
mkNMM B ???? 20m a x
例 题 13-1 § I3 梁的弯曲
?例题
A B C D
Fq
2m 3m 1m
z
y
c
200
200
30
30
y1
y2
3.校核正应力强度(M)
10kNm
20kNm B面,M p aI yM
z
4.521001.6 5.1 5 71020 7
6
1m a x
m a x ??
???? ???
M p aI yM
z
1.241001.6 5.721020 7
6
2m a x
m a x ??
???? ???
C面：
M p aI yM
z
2.261001.6 5.1 5 71010 7
6
1m a x
m a x ??
???? ???
例 题 13-1 § I3 梁的弯曲
?例题
A B C D
Fq
2m 3m 1m
z
y
c
200
200
30
30
y1
y2
3.校核正应力强度(M)
10kNm
20kNm
? ? M p aM p a 604.52m a x ??? ?? ??
? ? M p aM p a 302.26m a x ???? ?? ??
例 题 13-2 § I3 梁的弯曲
?例题
解,1.内力图
2.根据正应力强度选择截面
a a
l
F q
A B
F试为图示梁选用工字钢型号
已知：
材料特性,? ? M p a160??
? ? M p a100?? kN210 kN208
208
210
8
kN8
8.41
mkN ?45
)(M
)( SF
危险截面：中间截面 mkNM ?? 45
m a x
? ??? ??
zW
M m a x
m a x?
例 题 13-2 § I3 梁的弯曲
?例题
a a
l
F q
A B
F
kN210
kN208
208
210
8
kN8
8.41
mkN ?45
)(M
)( SF
查表，初选 I22a，截面参数为：
3309 cmW z ? cmSI
zz 9.18,?
mmd 5.7?
3.校核切应力强度
kNF S 2 1 0m a x ?
M paM P a
dSI
F
dI
SF
zz
S
z
zS
100][148
5.7189
10210
):(
3
m a x
m a x
*
m a xm a x
m a x
???
?
?
?
??
?
?
例 题 13-2 § I3 梁的弯曲
?例题
4.改用 I25b
cmSI zz 27.21/ * ?
mmd 10? a a
l
F q
A B
F
kN210
kN208
208
210
8
kN8
8.41
mkN ?45
)(M
)( SF
M paM P a
dSI
F
zz
S
10 0][7.98
107.21 2
1021 0
):(
3
m a x
m a x
m a x
???
?
?
?
?
?
?
故选择 I25b可同时满足正
应力强度和切应力强度。
例 题 13-3 § I3 梁的弯曲
?例题
A B
L
C D
l
b
B
H
图示主梁 AB为 I22a工字梁，副梁 CD为矩形截面梁，
B=4cm,H=12cm,两梁材料相同，,? ? M p a100??
? ? M p a50??, L=4m,l=1m,副梁可在主梁上移动，
（ 1）若在副梁中点加集中力 F,求 F的最大允许值 [F]
（ 2）若不用副梁,F力直接加在主梁上，则 [F]=？
F
例 题 13-3 § I3 梁的弯曲
?例题
（ 1）在副梁中
点加力 F，求最
大允许值 [F]
解：
[F]应保证主、
副梁均安全
副梁和主梁的内力图：
Fl/4
(M)
lF/2 F/2
?
A B
L
C D
l
b
B
H
F
C D
l
F
F/2 F/2
(FS)
(M)
MC MD
FA FB
2/m a x FF S ??
4m a x
FlM ??
例 题 13-3 § I3 梁的弯曲
?例题
lF/2 F/2
?
A B
L
C D
l
b
B
H
F
(FS)
(M)
MC MD
FA FB
)21( LlLFF A ??? ?
当
8
7
)
2
1(
,0
m a x
F
L
l
FF S ???
??
求最大内力：
??? )21( LlLFFM AC ????
0??ddM C令
)(766.0
75.1m a x
mNF
MM
mC
??
??
??
mlL 75.142 ????
例 题 13-3 § I3 梁的弯曲
?例题
A B
L
C D
l
b
B
H
2/m a x FF S ??
4m a x
FlM ??
8
7)
21(m a x
F
L
lFF
S ???
)(7 6 6.0m a x mNFM ??
由副梁正应力强度条件：
? ? M p aFWM 10012040 6410 23m a x ??????? ?
kNNF 4.38104.38 3 ????
由主梁正应
力强度条件,? ? M p aFWM 10010309 10766.0 33m a x ????? ?
kNNF 4.40104.40 3 ????
例 题 13-3 § I3 梁的弯曲
?例题
A B
L
C D
l
b
B
H
2/m a x FF S ??
4m a x
FlM ??
8
7)
21(m a x
F
L
lFF
S ???
)(7 6 6.0m a x mNFM ??
由主梁切应
力强度条件：
kNNF 811081 3 ????
? ? M p aFSIb F
zz
S 50
5.71898
7
):( m a x
m a x ??
??? ?
综合以上结果，应取 [F] = 38.4kN
§ I3 梁的弯曲?例题
A B
L
C D
l
b
B
H
（ 2）若不用副梁,F力直接加在主梁上，则 [F]=？
F
若 F力直接加在主梁上，则
?
FFL S ?? m a x,0?
4/,2/ m a x FLML ???? ?
??
zW
FL
4
kNNF 9.30109.30 3 ???
? ???):(
zz SIb
F
例 题 13-3
kNNF 9.70109.70 3 ???
则有,[F] = 30.9kN
思考：
最合理的主梁
和副梁设计？
例 题 13-4 § I3 梁的弯曲
?例题
D
d
直径为 d 的钢丝绳缠绕在直径
为 D 的圆柱上，已知钢材料的
屈服极限为,若使钢丝绳缠
绕后不产生塑性变形,D 的最
小值应为多少？
S?
解,钢丝绳缠绕后产生弯曲变形，钢丝绳横截面
内产生弯曲应力，若弯曲应力过大，超出屈
服极限，绳内将出现塑性变形。
设弯曲后钢丝绳的曲率半径为 ?，则绳横截面内的
弯矩为：
zEI
M?
?
1
?
zEIM ?
例 题 13-4 § I3 梁的弯曲
?例题
D
d
?
zEIM ?
钢丝绳横截面的弯曲正应力
??
Ey
I
My
z
?? SEy ?
?? ??
m a x
m a x
又：
2,22 m a x
dydD ????
SdD
d
E
??
?
?
?
2
2
dEdD
S
?? ?
例 题 13-5 § I3 梁的弯曲
?例题
简支梁由两块木板组成
（未粘接），两板光滑
接触，
求 b
2h
2h
A
C B
P
2l 2l
??
?M
2M
2M
P
解,各板平面假设成立
单板
kNlbhP 2.23 0 0 03 1 0 02 0 0103][][
22
?? ???? ?
§ 13.5 弯曲时挠曲线的近似微分方程
1.弯曲变形的描述
F
x
w
x
挠曲线（轴）
w(x)
?(x)
?(x)
弯曲使梁的任意 x 截面产生弯曲位移：
（ 1）截面形心的铅垂位移 —— 挠度 w(x)(向上为正 )
（ 2）截面绕中性轴转过的角度 —— 转角 ?(x)(?为正 )
F
x
w
x
挠曲线（轴）
w(x)
?(x)
?(x)
挠度方程 w = w(x) (13.9)
转角方程 ? = ?(x) (13.10)
由平面假设，小变形时得：
dx
dw?? ?? t a n (13.11)挠度转角关系
2.挠曲线近似微分方程
由变形几何关系：
EI
xM
x
)(
)(
1 ?
?
平面曲线 w = w(x) 的曲率为
2
3
2 ]))((1[
)(
)(
1)(
xw
xw
x
x
??
??
???
?
?
小变形简化,01 ???? ?
dx
dw
)()(1 xwx ????? ?
EI
xMxw )()( ????
符号的选择,与 w轴及 M的符号规定有关 —— 取 +号
挠曲线近似微分方程
EI
xM
dx
wd )(
2
2
?
(13.12)
（若梁的 M(x)分段表示，上式也应分段表示）
0)( ??? xw
M>0
§ 13.6 计算梁的位移的积分法
挠曲线近似微分方程
EI
xM
dx
wd )(
2
2
?
(13.12)
对上式积分一次，得转角方程：
CdxEIMdxdwx
l
??? ?)(?
(13.13)
再积分一次，得挠度方程：
DCxdxdx
EI
Mdxxxw
l ll
????
?
?
???
?
?? ? ?? )()( ?
(13.14)
其中,C,D为积分常数
对分段的 M(x),每段有 2个常数,— 若分 n段，有 2n个常数。
积分常数的确定：
对静定梁 —— 支座处有 2个位移约束条件
若梁的 M(x)方程分为 n段表示 —— 共有 n-1个分段点
共有 2n个积分常数
确定 2n个积分常数的条件（定解条件）：
支座处的约束条件（ 2个）
分段点处的挠度、转角连续条件（ 2(n-1)个 ）
共 2n个
条件
常见的支座约束条件：
0,
0,0
??
??
wlx
wx
0,0,0 ???? dxdwwx ?
（ 2）固支端（ ）0,0 ?? ?w
（ 1）铰支座（ ）0?w
x
w
l
例如：
x
w
l
例如：
（ 3）弹簧铰支座（弹簧系数 k）
例如,2/FwkF
BT ??x
w F
l l
BA
FT
k
Fwlxwx
2,20,0 ?????
常见的分段点连续条件：
（ 1）连续的挠曲轴上的分段点
连续挠曲线上任意一点只有一个挠度、一个转角。
第 i个分段点处：
挠度连续
ii xxixxi ww ??? ? 1
xi
i
x
wi(x) wi+1(x)
Mi(x) Mi+1(x)
转角连续
ii xxixxi ??? ? 1??
(2) 中间铰处 仅挠度连续，转角不连续
B点挠度连续 lxlx ww ?? ? 21BA Cw1(x) w2(x)l l
例 题 13-5 § I3 梁的弯曲
?例题
指出以下各梁共几个积分常数并写出全部定解条件。
a a a x
w F q(1)
解,此梁应分为
3段积分，
共 6个常数。
w1(x) w2(x) w3(x)
定解条件：
dx
dw
dx
dw
wwax
dx
dw
dx
dw
wwax
wx
32
32
21
21
1
,0,2
,,
0,0
????
???
??
例 题 13-5 § I3 梁的弯曲
?例题
w1(x) w2(x)
解,此梁应分为 2段积分，共 4个常数。
定解条件：
x
w
la
q(2)
弹簧系数为 k
q
ql/2 ql/2
k
ql
wlax
wwax
wx
2
,
,
0,0,0
2
21
11
????
??
??? ?
例 题 13-6 § I3 梁的弯曲
?例题
求图示梁的 和
max? maxf
解：
AC段,? ?
111 Fxl
bxM ? )0(
1 ax ??
BFAFF
l
bF
A ? Fl
aF
B ?
CB段,)(
2 lxa ?? )()( 2222 axFx
l
FbxM ???
1x
2x
l
Fa
b
w
x
A
BCEI
1.列内力方程
应分为 2段列内力方程：
例 题 13-6 § I3 梁的弯曲
?例题
BFAF
1x
2x
l
Fa
b
w
x
A
BCEI
2.分段积分,
AC：
1
2
11 2
1 CFx
l
bwEI ???
111
3
11 6
1 DxCFx
l
bE I w ???
? ? 22232322 6161 DxCaxFFxlbE I w ?????
? ? 222222 2121 CaxFFxlbwEI ?????CB：
AC,? ? 111 FxlbxM ?
CB,)()(
2222 axFxl
FbxM ???
w1(x) w2(x)
例 题 13-6 § I3 梁的弯曲
?例题
3.定解条件：
解得常数为：
BFAF
1x
2x
l
Fa
b
w
x
A
BCEI
w1(x) w2(x)
例 题 13-6 § I3 梁的弯曲
?例题
BFAF
1x
2x
l
Fa
b
w
x
A
BCEI
?? ?B
设 a>b
4.求最大转角：
例 题 13-6 § I3 梁的弯曲
?例题
BFAF
1x
2x
l
Fa
b
w
x
A
BCEI
?? ?B
5.求最大挠度：
fmax
设 a>b，应在 AC段出现，令 0
11 ?? ?dx
dw
得：
f中 与 fmax相差
由于内力 是载荷 的线性函数。
称为 叠加原理
§ 13.6 位移计算中的叠加原理
1.叠加原理（对线弹性材料，小变形）
因此
同理，结构中的位移 （如 ） 也是载荷
的线性函数，故也有
??,,,wu
mqF wwww ???
mqF ???? ???
2.弯曲位移计算的载荷叠加法 利用基本变形表 13.2
求图示梁的
EI
2l 2l
q
P
A B
C
cf
?
ET
qlf
cq 3 8 4
5 4?
EI
Plf
cP 48
3
?
q
cqf
P
cPf
?
例 题 13-7 § I3 梁的弯曲
?例题
求
例 题 13-8 § I3 梁的弯曲
?例题
qdx
)43(48 22 xlEIPxf CP ??
xlqxl qxq 00 22/)( ??
求
A
2
q
1Cf 2Cf
2
q
2
q
?
例 题 13-9 § I3 梁的弯曲
?例题
求
解：
3.求结构位移的变形叠加法 —— 分段刚化法
cqf
例 题 13-9 § I3 梁的弯曲
?例题
A
A
先用载荷叠加法：
（ 1）
（ 2）
对情况（ 1）：
梁的 BC段无变形。
对情况（ 2）,应用分段刚化法。
1
? ??? EIFaf CF 3 31
(a)AB段刚化,BC段变形
例 题 13-9 § I3 梁的弯曲
?例题
A B
1CFf
(b)BC段刚化,AB段变形
A B C
F
C
A
B C
Fa
?B2
2CFf
例 题 13-10 § I3 梁的弯曲
?例题
A BC
D
l l
l
EI
EAw
x
F
求图示结构 C点的挠度。
解：
1.BD刚化,AB变形
A BCl lEI
w
x
F
B点相当于简支座：
wC1
EI
Fl
EI
lFw
C 648
)2( 33
1 ????
2.AB刚化,BD变形
例 题 13-10 § I3 梁的弯曲
?例题
A BC
D
l l
l
EI
EAw
x
F
wB2
EI
Fl
EI
lFw
C 648
)2( 33
1 ????
2.AB刚化,BD变形
wC2 BD杆轴向拉伸：
EA
Fl
EA
l
F
EA
lFlw
w N B DBDBC
42
2
222
2
2 ??????
?
???
EA
Fl
EI
Flwww
CCC 46
3
21 ?????
（负号表示 ）
已知梁的直径 d 及
求
解,（ 1） AB刚化 BC变形
F
B
C
1Cf
1C?
例 题 13-11 § I3 梁的弯曲
?例题
a
a
F
A
B C
（ ?）
x y
z
(C截面绕 x 轴转过的角度）
（ 2） BC刚化 AB变形
例 题 13-11 § I3 梁的弯曲
?例题
a
a
F
A
B C
F
FaM ?
B
C
A
F
2Cf
02 ?C?
x y
z
对圆截面杆：
F 使 AB段弯曲
02 ?C?
M 使 AB段扭转
C截面绕 y轴转过的角度：
EI
Fa
BFC 2
2
?? ??
BF?
例 题 13-11 § I3 梁的弯曲
?例题
a
a
F
A
B C
F
FaM ?
x y
z
FaM ?
（ ?）
例 题 13-12 § I3 梁的弯曲
?例题
h
b
l
一弯曲钢梁，截面为矩形，两端各加力 F，使其平直
地与刚性平面 MN接触，已知梁的 E,l,b,h，及 ?,
求,（ 1） F力多大可将梁压平？
（ 2）压平时梁中的最大正应力。
F F
?
例 题 13-12 § I3 梁的弯曲
?例题
h
b
l
解,曲梁压平产生弯曲变形，梁中产生弯曲应力。
压平后与刚平面接触 —— 地面对梁有均布支持力 q。
q
F F 由平衡条件得：
l
FqFql 2,2 ??
F F
?
例 题 13-12 § I3 梁的弯曲
?例题
h
b
l
q
F F
l
FqFql 2,2 ??
F F
?
均布载荷简支梁
的弯曲挠曲线为：
)2(24 323 xlxlEIqxw ???
若曲梁变形前的弯曲
形状恰好为此形状，则 F力刚好可使该曲梁压平。
压平时，
EI
qlllll
EI
qlw
384
5)
842(482
432
3 ????
??? 中?
例 题 13-12 § I3 梁的弯曲
?例题
h
b
l
q
F F
l
FqFql 2,2 ??
F F
?
EI
ql
3 8 4
5 4??
3
33
34 5
16
125
192
25
384
2 l
bhEbh
l
El
l
EIqlF ??? ??????
8
2
m a x
qlM ?
22
2
2
2
ma x
ma x 5
24
4
326
8 l
hE
bh
l
l
F
bh
ql
W
M
z
?? ???????
4.画出挠曲线的大致形状
(1)满足支座约束条件
(2)挠曲线的凹凸性
(3) 处为挠曲线的拐点
挠曲线的大致形状可根据支座及弯矩图判断。
例如：
l a
A
C B
q
拐点
281qa
q a lql 2121 2 ?
（ M）
?A=0 ?B=0
§ 13.6 提高弯曲强度和刚度的措施
][m a xm a x ?? ?? WM
（ 1） 合理安排梁的受力
1.提高梁的强度的措施
分散载荷
4
Pl
)(M
2l 2l
P
2/P
3/l 3/l3/l
2/P
Pl61
)(M
支座位置
)(M
8/81 2 Plql ?
lPq /?
l
l2.0 l2.0l6.0
q
10/401 2 Plql ?
2501 ql
)(M
(2) 梁的合理截面
放置方向
y
z
b
h z
y
h
b
截面形状
(3) 等强度梁
使所有横截面上的最大正应力相同或近似相同
? ??? ??? c o n s txW xMx )( )()(m a x
汽车上使用的叠板簧 2P 2P
车床的车刀架伸臂
P
吊车用鱼腹梁
P
2.提高梁的刚度的措施
梁的弯曲变形
EI
xMw )(???
（ 1）减小 M(x)
（ 2） 减小跨度
（ 3）选择合理截面，增大 Iz
（ 4） 注意各种钢材的 E值相差不大！
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 27)
（下册）
§ 13 梁的弯曲
§ 13.4 弯曲强度条件与梁的强度计算
1,弯曲正应力强度条件
梁弯曲时达到 Mmax的截面称 正应力危险截面,
梁的上下缘距中性轴最远处（此处切应力恰好为零），
—— 单向应力状态
(M)
Fl/4
F
CA B
C
M=Fl/4 ?
max?
?max?
?max?
?max?
该截面上 正应力的危险点,
正应力强度条件
当截面上下不对称时：
? ? ? ?t??? ?? ??m a x ? ? ? ?c??? ?? ??m a x (13.7)
C
M=Fl/4 ?
max?
?max?
?max?
?max?
? ??? ???
?
?
???
?
?
m a x
m a x
zW
M (13.6)
当截面上下对称时：
2.弯曲切应力强度条件
梁弯曲时，横截面上切应力的危险点：
剪力最大截面的中性轴上（此处正应力恰好为零），
—— 纯剪切应力状态F
CA B
(FS)
F/2
F/2
F/2 ?
max
?max
切应力强度条件
? ??? ???
?
?
???
?? ?
m a x
m a x bI
SF
z
zS
(13.8)
3.梁的弯曲强度计算
（ 1）一般的细长非薄壁梁（跨高比 l/h 较大），可
只校核正应力强度条件（此时切应力强度条件多自
动满足）。 F
CA B
l
h
，应正确找出梁的拉应力危险点和压应
力危险点（可能不在同一截面上）并分别校核。
(2)注意脆性材料且截面上下不对称的梁,? ? ? ??? ? ??
?? ? m a xm a x ??
(3)薄壁梁、跨度小的高梁（ l/h 较小）或支座附近
有较大集中力 —— 除校核正应力强度条件外，还
应校核切应力强度条件。
(4) 组合梁的特殊面（胶接面，焊接面，铆接面）
—— 应进行切应力强度校核。
(5)注意：薄壁梁截面上的特殊点,正应力、切应力
同时较大 —— 属于平面应力状态,这些点的强度校
核见 § I4 组合变形 。
?
?
??
4.梁的强度计算问题步骤
三类问题
强度校核
截面设计
（正应力强度、切应力强度）
（一般从正应力强度出发设
计截面，再校核切应力强度）
确定允许载荷
（一般从正应力强度出发定最
大载荷，再校核切应力强度）
（ 1）先根据梁的受力，画出剪力、弯矩图，从中找
出 。
m axm axm ax,,SFMM
??
（ 3）综合考虑内力及截面几何特点，找出梁的危
险截面、危险点位置。
（ 2）根据截面几何参数，计算截面形心及关于中性
轴的, 。
21,,zzz WWI ?maxzS
（ 4）分别计算 并带入强度
条件校核。 m a xm a xm a x,,???
??
（ 5）截面设计或确定允许载荷，一般先考虑正
应力强度进行计算，再用切应力强度条件校核。
例 题 13-1 § I3 梁的弯曲
?例题
A B C D
Fq
2m 3m 1m
200
200
30
30
图示铸铁梁受力如图，截面为 T形，尺寸如图，已知：
q=10kN/m, F=20kN, [?+]=30Mpa,[?-]=60Mpa，
试校核该梁的正应力强度条件。
例 题 13-1 § I3 梁的弯曲
?例题
A B C D
Fq
2m 3m 1m
解,1.截面几何参数计算
200
200
30
30
z
y
c
截面形心坐标：
mm
y
5.157
230200
10030200)15200(30200
1
?
??
??????
?
mmyy 5.7230200 12 ????
y1
y2
例 题 13-1 § I3 梁的弯曲
?例题
A B C D
Fq
2m 3m 1m y1
y2
解,1.截面几何参数计算
200
200
30
30
z
y
c
47
2
3
2
3
1001.6
)5.157215(30200
12
30200
)1005.157(30200
12
20030
mm
I
z
??
????
?
?
????
?
?截面对 z轴
的惯性矩：
例 题 13-1 § I3 梁的弯曲
?例题
A B C D
Fq
2m 3m 1m
z
y
c
200
200
30
30
y1
y2
2.画内力图
10kN
10kN20kN
(FS)
(M)
10kNm
20kNm
kNFF BSS 20m a x ?? ?
mkNMM C ???? 10m a x
mkNMM B ???? 20m a x
例 题 13-1 § I3 梁的弯曲
?例题
A B C D
Fq
2m 3m 1m
z
y
c
200
200
30
30
y1
y2
3.校核正应力强度(M)
10kNm
20kNm B面,M p aI yM
z
4.521001.6 5.1 5 71020 7
6
1m a x
m a x ??
???? ???
M p aI yM
z
1.241001.6 5.721020 7
6
2m a x
m a x ??
???? ???
C面：
M p aI yM
z
2.261001.6 5.1 5 71010 7
6
1m a x
m a x ??
???? ???
例 题 13-1 § I3 梁的弯曲
?例题
A B C D
Fq
2m 3m 1m
z
y
c
200
200
30
30
y1
y2
3.校核正应力强度(M)
10kNm
20kNm
? ? M p aM p a 604.52m a x ??? ?? ??
? ? M p aM p a 302.26m a x ???? ?? ??
例 题 13-2 § I3 梁的弯曲
?例题
解,1.内力图
2.根据正应力强度选择截面
a a
l
F q
A B
F试为图示梁选用工字钢型号
已知：
材料特性,? ? M p a160??
? ? M p a100?? kN210 kN208
208
210
8
kN8
8.41
mkN ?45
)(M
)( SF
危险截面：中间截面 mkNM ?? 45
m a x
? ??? ??
zW
M m a x
m a x?
例 题 13-2 § I3 梁的弯曲
?例题
a a
l
F q
A B
F
kN210
kN208
208
210
8
kN8
8.41
mkN ?45
)(M
)( SF
查表，初选 I22a，截面参数为：
3309 cmW z ? cmSI
zz 9.18,?
mmd 5.7?
3.校核切应力强度
kNF S 2 1 0m a x ?
M paM P a
dSI
F
dI
SF
zz
S
z
zS
100][148
5.7189
10210
):(
3
m a x
m a x
*
m a xm a x
m a x
???
?
?
?
??
?
?
例 题 13-2 § I3 梁的弯曲
?例题
4.改用 I25b
cmSI zz 27.21/ * ?
mmd 10? a a
l
F q
A B
F
kN210
kN208
208
210
8
kN8
8.41
mkN ?45
)(M
)( SF
M paM P a
dSI
F
zz
S
10 0][7.98
107.21 2
1021 0
):(
3
m a x
m a x
m a x
???
?
?
?
?
?
?
故选择 I25b可同时满足正
应力强度和切应力强度。
例 题 13-3 § I3 梁的弯曲
?例题
A B
L
C D
l
b
B
H
图示主梁 AB为 I22a工字梁，副梁 CD为矩形截面梁，
B=4cm,H=12cm,两梁材料相同，,? ? M p a100??
? ? M p a50??, L=4m,l=1m,副梁可在主梁上移动，
（ 1）若在副梁中点加集中力 F,求 F的最大允许值 [F]
（ 2）若不用副梁,F力直接加在主梁上，则 [F]=？
F
例 题 13-3 § I3 梁的弯曲
?例题
（ 1）在副梁中
点加力 F，求最
大允许值 [F]
解：
[F]应保证主、
副梁均安全
副梁和主梁的内力图：
Fl/4
(M)
lF/2 F/2
?
A B
L
C D
l
b
B
H
F
C D
l
F
F/2 F/2
(FS)
(M)
MC MD
FA FB
2/m a x FF S ??
4m a x
FlM ??
例 题 13-3 § I3 梁的弯曲
?例题
lF/2 F/2
?
A B
L
C D
l
b
B
H
F
(FS)
(M)
MC MD
FA FB
)21( LlLFF A ??? ?
当
8
7
)
2
1(
,0
m a x
F
L
l
FF S ???
??
求最大内力：
??? )21( LlLFFM AC ????
0??ddM C令
)(766.0
75.1m a x
mNF
MM
mC
??
??
??
mlL 75.142 ????
例 题 13-3 § I3 梁的弯曲
?例题
A B
L
C D
l
b
B
H
2/m a x FF S ??
4m a x
FlM ??
8
7)
21(m a x
F
L
lFF
S ???
)(7 6 6.0m a x mNFM ??
由副梁正应力强度条件：
? ? M p aFWM 10012040 6410 23m a x ??????? ?
kNNF 4.38104.38 3 ????
由主梁正应
力强度条件,? ? M p aFWM 10010309 10766.0 33m a x ????? ?
kNNF 4.40104.40 3 ????
例 题 13-3 § I3 梁的弯曲
?例题
A B
L
C D
l
b
B
H
2/m a x FF S ??
4m a x
FlM ??
8
7)
21(m a x
F
L
lFF
S ???
)(7 6 6.0m a x mNFM ??
由主梁切应
力强度条件：
kNNF 811081 3 ????
? ? M p aFSIb F
zz
S 50
5.71898
7
):( m a x
m a x ??
??? ?
综合以上结果，应取 [F] = 38.4kN
§ I3 梁的弯曲?例题
A B
L
C D
l
b
B
H
（ 2）若不用副梁,F力直接加在主梁上，则 [F]=？
F
若 F力直接加在主梁上，则
?
FFL S ?? m a x,0?
4/,2/ m a x FLML ???? ?
??
zW
FL
4
kNNF 9.30109.30 3 ???
? ???):(
zz SIb
F
例 题 13-3
kNNF 9.70109.70 3 ???
则有,[F] = 30.9kN
思考：
最合理的主梁
和副梁设计？
例 题 13-4 § I3 梁的弯曲
?例题
D
d
直径为 d 的钢丝绳缠绕在直径
为 D 的圆柱上，已知钢材料的
屈服极限为,若使钢丝绳缠
绕后不产生塑性变形,D 的最
小值应为多少？
S?
解,钢丝绳缠绕后产生弯曲变形，钢丝绳横截面
内产生弯曲应力，若弯曲应力过大，超出屈
服极限，绳内将出现塑性变形。
设弯曲后钢丝绳的曲率半径为 ?，则绳横截面内的
弯矩为：
zEI
M?
?
1
?
zEIM ?
例 题 13-4 § I3 梁的弯曲
?例题
D
d
?
zEIM ?
钢丝绳横截面的弯曲正应力
??
Ey
I
My
z
?? SEy ?
?? ??
m a x
m a x
又：
2,22 m a x
dydD ????
SdD
d
E
??
?
?
?
2
2
dEdD
S
?? ?
例 题 13-5 § I3 梁的弯曲
?例题
简支梁由两块木板组成
（未粘接），两板光滑
接触，
求 b
2h
2h
A
C B
P
2l 2l
??
?M
2M
2M
P
解,各板平面假设成立
单板
kNlbhP 2.23 0 0 03 1 0 02 0 0103][][
22
?? ???? ?
§ 13.5 弯曲时挠曲线的近似微分方程
1.弯曲变形的描述
F
x
w
x
挠曲线（轴）
w(x)
?(x)
?(x)
弯曲使梁的任意 x 截面产生弯曲位移：
（ 1）截面形心的铅垂位移 —— 挠度 w(x)(向上为正 )
（ 2）截面绕中性轴转过的角度 —— 转角 ?(x)(?为正 )
F
x
w
x
挠曲线（轴）
w(x)
?(x)
?(x)
挠度方程 w = w(x) (13.9)
转角方程 ? = ?(x) (13.10)
由平面假设，小变形时得：
dx
dw?? ?? t a n (13.11)挠度转角关系
2.挠曲线近似微分方程
由变形几何关系：
EI
xM
x
)(
)(
1 ?
?
平面曲线 w = w(x) 的曲率为
2
3
2 ]))((1[
)(
)(
1)(
xw
xw
x
x
??
??
???
?
?
小变形简化,01 ???? ?
dx
dw
)()(1 xwx ????? ?
EI
xMxw )()( ????
符号的选择,与 w轴及 M的符号规定有关 —— 取 +号
挠曲线近似微分方程
EI
xM
dx
wd )(
2
2
?
(13.12)
（若梁的 M(x)分段表示，上式也应分段表示）
0)( ??? xw
M>0
§ 13.6 计算梁的位移的积分法
挠曲线近似微分方程
EI
xM
dx
wd )(
2
2
?
(13.12)
对上式积分一次，得转角方程：
CdxEIMdxdwx
l
??? ?)(?
(13.13)
再积分一次，得挠度方程：
DCxdxdx
EI
Mdxxxw
l ll
????
?
?
???
?
?? ? ?? )()( ?
(13.14)
其中,C,D为积分常数
对分段的 M(x),每段有 2个常数,— 若分 n段，有 2n个常数。
积分常数的确定：
对静定梁 —— 支座处有 2个位移约束条件
若梁的 M(x)方程分为 n段表示 —— 共有 n-1个分段点
共有 2n个积分常数
确定 2n个积分常数的条件（定解条件）：
支座处的约束条件（ 2个）
分段点处的挠度、转角连续条件（ 2(n-1)个 ）
共 2n个
条件
常见的支座约束条件：
0,
0,0
??
??
wlx
wx
0,0,0 ???? dxdwwx ?
（ 2）固支端（ ）0,0 ?? ?w
（ 1）铰支座（ ）0?w
x
w
l
例如：
x
w
l
例如：
（ 3）弹簧铰支座（弹簧系数 k）
例如,2/FwkF
BT ??x
w F
l l
BA
FT
k
Fwlxwx
2,20,0 ?????
常见的分段点连续条件：
（ 1）连续的挠曲轴上的分段点
连续挠曲线上任意一点只有一个挠度、一个转角。
第 i个分段点处：
挠度连续
ii xxixxi ww ??? ? 1
xi
i
x
wi(x) wi+1(x)
Mi(x) Mi+1(x)
转角连续
ii xxixxi ??? ? 1??
(2) 中间铰处 仅挠度连续，转角不连续
B点挠度连续 lxlx ww ?? ? 21BA Cw1(x) w2(x)l l
例 题 13-5 § I3 梁的弯曲
?例题
指出以下各梁共几个积分常数并写出全部定解条件。
a a a x
w F q(1)
解,此梁应分为
3段积分，
共 6个常数。
w1(x) w2(x) w3(x)
定解条件：
dx
dw
dx
dw
wwax
dx
dw
dx
dw
wwax
wx
32
32
21
21
1
,0,2
,,
0,0
????
???
??
例 题 13-5 § I3 梁的弯曲
?例题
w1(x) w2(x)
解,此梁应分为 2段积分，共 4个常数。
定解条件：
x
w
la
q(2)
弹簧系数为 k
q
ql/2 ql/2
k
ql
wlax
wwax
wx
2
,
,
0,0,0
2
21
11
????
??
??? ?
例 题 13-6 § I3 梁的弯曲
?例题
求图示梁的 和
max? maxf
解：
AC段,? ?
111 Fxl
bxM ? )0(
1 ax ??
BFAFF
l
bF
A ? Fl
aF
B ?
CB段,)(
2 lxa ?? )()( 2222 axFx
l
FbxM ???
1x
2x
l
Fa
b
w
x
A
BCEI
1.列内力方程
应分为 2段列内力方程：
例 题 13-6 § I3 梁的弯曲
?例题
BFAF
1x
2x
l
Fa
b
w
x
A
BCEI
2.分段积分,
AC：
1
2
11 2
1 CFx
l
bwEI ???
111
3
11 6
1 DxCFx
l
bE I w ???
? ? 22232322 6161 DxCaxFFxlbE I w ?????
? ? 222222 2121 CaxFFxlbwEI ?????CB：
AC,? ? 111 FxlbxM ?
CB,)()(
2222 axFxl
FbxM ???
w1(x) w2(x)
例 题 13-6 § I3 梁的弯曲
?例题
3.定解条件：
解得常数为：
BFAF
1x
2x
l
Fa
b
w
x
A
BCEI
w1(x) w2(x)
例 题 13-6 § I3 梁的弯曲
?例题
BFAF
1x
2x
l
Fa
b
w
x
A
BCEI
?? ?B
设 a>b
4.求最大转角：
例 题 13-6 § I3 梁的弯曲
?例题
BFAF
1x
2x
l
Fa
b
w
x
A
BCEI
?? ?B
5.求最大挠度：
fmax
设 a>b，应在 AC段出现，令 0
11 ?? ?dx
dw
得：
f中 与 fmax相差
由于内力 是载荷 的线性函数。
称为 叠加原理
§ 13.6 位移计算中的叠加原理
1.叠加原理（对线弹性材料，小变形）
因此
同理，结构中的位移 （如 ） 也是载荷
的线性函数，故也有
??,,,wu
mqF wwww ???
mqF ???? ???
2.弯曲位移计算的载荷叠加法 利用基本变形表 13.2
求图示梁的
EI
2l 2l
q
P
A B
C
cf
?
ET
qlf
cq 3 8 4
5 4?
EI
Plf
cP 48
3
?
q
cqf
P
cPf
?
例 题 13-7 § I3 梁的弯曲
?例题
求
例 题 13-8 § I3 梁的弯曲
?例题
qdx
)43(48 22 xlEIPxf CP ??
xlqxl qxq 00 22/)( ??
求
A
2
q
1Cf 2Cf
2
q
2
q
?
例 题 13-9 § I3 梁的弯曲
?例题
求
解：
3.求结构位移的变形叠加法 —— 分段刚化法
cqf
例 题 13-9 § I3 梁的弯曲
?例题
A
A
先用载荷叠加法：
（ 1）
（ 2）
对情况（ 1）：
梁的 BC段无变形。
对情况（ 2）,应用分段刚化法。
1
? ??? EIFaf CF 3 31
(a)AB段刚化,BC段变形
例 题 13-9 § I3 梁的弯曲
?例题
A B
1CFf
(b)BC段刚化,AB段变形
A B C
F
C
A
B C
Fa
?B2
2CFf
例 题 13-10 § I3 梁的弯曲
?例题
A BC
D
l l
l
EI
EAw
x
F
求图示结构 C点的挠度。
解：
1.BD刚化,AB变形
A BCl lEI
w
x
F
B点相当于简支座：
wC1
EI
Fl
EI
lFw
C 648
)2( 33
1 ????
2.AB刚化,BD变形
例 题 13-10 § I3 梁的弯曲
?例题
A BC
D
l l
l
EI
EAw
x
F
wB2
EI
Fl
EI
lFw
C 648
)2( 33
1 ????
2.AB刚化,BD变形
wC2 BD杆轴向拉伸：
EA
Fl
EA
l
F
EA
lFlw
w N B DBDBC
42
2
222
2
2 ??????
?
???
EA
Fl
EI
Flwww
CCC 46
3
21 ?????
（负号表示 ）
已知梁的直径 d 及
求
解,（ 1） AB刚化 BC变形
F
B
C
1Cf
1C?
例 题 13-11 § I3 梁的弯曲
?例题
a
a
F
A
B C
（ ?）
x y
z
(C截面绕 x 轴转过的角度）
（ 2） BC刚化 AB变形
例 题 13-11 § I3 梁的弯曲
?例题
a
a
F
A
B C
F
FaM ?
B
C
A
F
2Cf
02 ?C?
x y
z
对圆截面杆：
F 使 AB段弯曲
02 ?C?
M 使 AB段扭转
C截面绕 y轴转过的角度：
EI
Fa
BFC 2
2
?? ??
BF?
例 题 13-11 § I3 梁的弯曲
?例题
a
a
F
A
B C
F
FaM ?
x y
z
FaM ?
（ ?）
例 题 13-12 § I3 梁的弯曲
?例题
h
b
l
一弯曲钢梁，截面为矩形，两端各加力 F，使其平直
地与刚性平面 MN接触，已知梁的 E,l,b,h，及 ?,
求,（ 1） F力多大可将梁压平？
（ 2）压平时梁中的最大正应力。
F F
?
例 题 13-12 § I3 梁的弯曲
?例题
h
b
l
解,曲梁压平产生弯曲变形，梁中产生弯曲应力。
压平后与刚平面接触 —— 地面对梁有均布支持力 q。
q
F F 由平衡条件得：
l
FqFql 2,2 ??
F F
?
例 题 13-12 § I3 梁的弯曲
?例题
h
b
l
q
F F
l
FqFql 2,2 ??
F F
?
均布载荷简支梁
的弯曲挠曲线为：
)2(24 323 xlxlEIqxw ???
若曲梁变形前的弯曲
形状恰好为此形状，则 F力刚好可使该曲梁压平。
压平时，
EI
qlllll
EI
qlw
384
5)
842(482
432
3 ????
??? 中?
例 题 13-12 § I3 梁的弯曲
?例题
h
b
l
q
F F
l
FqFql 2,2 ??
F F
?
EI
ql
3 8 4
5 4??
3
33
34 5
16
125
192
25
384
2 l
bhEbh
l
El
l
EIqlF ??? ??????
8
2
m a x
qlM ?
22
2
2
2
ma x
ma x 5
24
4
326
8 l
hE
bh
l
l
F
bh
ql
W
M
z
?? ???????
4.画出挠曲线的大致形状
(1)满足支座约束条件
(2)挠曲线的凹凸性
(3) 处为挠曲线的拐点
挠曲线的大致形状可根据支座及弯矩图判断。
例如：
l a
A
C B
q
拐点
281qa
q a lql 2121 2 ?
（ M）
?A=0 ?B=0
§ 13.6 提高弯曲强度和刚度的措施
][m a xm a x ?? ?? WM
（ 1） 合理安排梁的受力
1.提高梁的强度的措施
分散载荷
4
Pl
)(M
2l 2l
P
2/P
3/l 3/l3/l
2/P
Pl61
)(M
支座位置
)(M
8/81 2 Plql ?
lPq /?
l
l2.0 l2.0l6.0
q
10/401 2 Plql ?
2501 ql
)(M
(2) 梁的合理截面
放置方向
y
z
b
h z
y
h
b
截面形状
(3) 等强度梁
使所有横截面上的最大正应力相同或近似相同
? ??? ??? c o n s txW xMx )( )()(m a x
汽车上使用的叠板簧 2P 2P
车床的车刀架伸臂
P
吊车用鱼腹梁
P
2.提高梁的刚度的措施
梁的弯曲变形
EI
xMw )(???
（ 1）减小 M(x)
（ 2） 减小跨度
（ 3）选择合理截面，增大 Iz
（ 4） 注意各种钢材的 E值相差不大！
