工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(11)
§ 5 静力学基本概念
§ 5.0 概述
静力学 —— 研究物体系统在力系作用下平衡的规律。
力系 —— 一群力。
平衡 —— 相对于惯性系静止或匀速直线运动。
本章重点 —— ?力对点之矩、力对轴之矩的计算
(§ 5.1,§ 5.2)
?基本力学概念和基本公理 (§ 5.3,§ 5.4)
?物体系统的受力分析,取分离体、画
受力图 (§ 5.5,§ 5.6)
§ 5.1 力和力偶
1,力的定义
力是物体与物体之间的机械作用,其结果
（ 1）改变物体的运动状态 —— 外效应、运动效应
（ 2）使物体产生变形 —— 内效应、变形效应
力的三要素
作用于变形体的力：大小、方向、作用点
作用于刚体的力：大小、方向、作用线
特例（力系的主矢）：大小、方向
一般 （定位矢量） ),( Fr ??
O r?
F?
（滑动矢量） F?
（自由矢量）
F?
2.力对点之矩，力对轴之矩
力的单位 —— N,kN
力的合成与分解
力的投影 见 § 1.1矢量代数基础
（ 1）力对点之矩（矢量）
F?
r?
x
y
z
O
h
力矢 ),( Fr ??矩心 O，
特点
)(FMO ??
① 力对点之矩为
一个定位矢量；
② 三要素：大小、方向、矩心；
③ 的大小为 MO=Fh,单位,N·m,kN ·m 。)(FM
O
??
kFMjFMiFM
kyFxFjxFzFizFyF
FFF
zyx
kji
FrFM
OzOyOx
xyzxyz
zyx
O
??????
???
???
????
)()()(
)()()(
)(
???
??????
???
(5.1)
定义
?平面力系,力对点之矩可用代数量表示。
（ 2）力对轴之矩（代数量）
力对点之矩式中 kMjMiMFM
OzOyOxO
????? ???)(
—— 力对 x 轴之矩
—— 力对 y 轴之矩
—— 力对 z 轴之矩)()(
)()(
)()(
FMFM
FMFM
FMFM
zOz
yOy
xOx
??
??
??
?
?
?
力对任意 l 轴（方向 l° ）之矩为
??? lFMFM Al ???? )()( A为 l 轴上任意一点 (5.2)定义
F?
x
y
z
A
r?)(FMA
??
l 轴
?l?
特点 ① 力对轴之矩为一代数量,单位,N·m,kN ·m ；
② 代数量的符号由右手螺旋法则定出；
③ 当力与某轴共面时，力对该轴之
矩为 0。 （ 力和轴平行或力的作
用线通过矩轴）
力 Ｆ 对任一 z
轴的矩, 等于这
力在 z轴的垂直面
上的投影 F? 对该
投影面和 z轴交点
的矩 。
④ 力对轴之矩的大小
(3)合力矩定理
若
)()()( 21
21
FMFMFM
FFF
OOO
??????
???
??
??则 （ 5.3）
（ 4）合力对轴之矩定理
若
则 )()()( 21 FMFMFM FFF lll ???
???
??
?? （ 5.4）
（ 5） 力对点之矩、力对轴之矩的计算
利用合力矩定理
计算力对点之矩
方向垂直于 与 组成平面
FhFM O ?)( ?? r
? F?
计算力对轴之矩 利用定义 利用合力对轴之矩定理 ??? lFMFM Al
??? )()(
例 题 1
§ 5 静力学基本概念?例题
手柄 ABCE在平面 Axy内,
在 D处作用一个力 F,如图所
示, 它在垂直于 y轴的平面内,
偏离铅直线的角度为 α。 如果
CD=b,杆 BC平行于 x轴,杆 CE
平行于 y轴, AB和 BC的长度
都等于 l。 试求力 对 x,y和 z
三轴的矩 。
F?
应用合力矩定理求解。
力 F 沿坐标轴的投影分别为：
?
?
c os
0
s in
FF
F
FF
z
y
x
??
?
?
由于力与轴平行或相交时力
对该轴的矩为零，则有
解,方法 1
例 题 1
§ 5 静力学基本概念?例题
xF?
zF?
应用力对轴的矩之解析表达式求解。
? ?
? ?
? ? xyz
zxy
yzx
yFxFM
xFzFM
zFyFM
??
??
??
F
F
F
?? c o s,0,s i n FFFFF zyx ????
因为力在坐标轴上的投影分别为：
0,,????? zblylx
力作用点 D 的坐标为：
则
方法 2
例 题 1
§ 5 静力学基本概念?例题
例 题 2
§ 5 静力学基本概念?例题
在直角弯杆的 C端作
用着力 F，试求这力对坐
标轴以及坐标原点 O的矩。
已知 OA =a = 6 m,AB=b=
4 m,BC=c=3 m,α=30o,
β=60o。
由图示可以求出力 F 在各
坐标轴上的投影和力 F 作用
点 C 的坐标分别为：
解：
x= b = 4 m
y= a = 6 m
z= c =－ 3 m
?? c o s c o sFF x ?
?? s in c o sFF y ?
? s inFF z ?
例 题 2
§ 5 静力学基本概念?例题
mN 105 s i n c o s s i n ???? ??? cFaFM x
mN 66
s i n c o s c o s
???
??? ??? bFcFM y
mN 8 c o s c o s s i n c o s ???? ???? aFbFM z
mN 3.124222 ????? zyxO MMMM
例 题 2
§ 5 静力学基本概念?例题
力 F 对坐标轴之矩为：
则可求得力 F 对坐标轴之矩及
对原点 O之矩的大小和方向 。
力 F 对原点 O之矩大小：
8 4 5.0),c o s ( ??
O
x
O M
MiM
5 3 1.0),c o s ( ???
O
y
O M
MjM
064.0),c o s ( ??
O
z
O M
MkM
例 题 2
§ 5 静力学基本概念?例题
力 F 对原点 O之矩方向余弦：
3.力偶和力偶矩
定义 大小相等、方向相反、不
共线的两个力 和
组成的力系称为 力偶,记
为 。
21 FF
??
),( 21 FF ??
力偶的性质
1F
?
2F
?
（ 1）力偶中的两力矢量和恒为 0。 0
21 ?? FF
??
（ 2）力偶中的两力对空间任意点之矩的矢量和
恒相等且不为 0，称为 力偶矩 。),(
21 FFM
???
)()(
)()(),(
2122112112
12112211
2121
FMFrFMFr
FrFrFrFr
FMFMFFM
DD
OO
????????
????????
???????
??????
????????
??
(5.5)
O
D2D1
1r?
2r?
12r?
21r?
1F
?
2F
?
O
D2D1
1r?
2r?
(3)力偶的三要素：
① 作用面 —— 两个力所在的平面
② 力偶的转向 —— 在力偶的作用面内，
由右手螺旋法确定。
③ 力偶矩的大小 ——
FdFFM ?),( 21 ???
d
力偶矩为自由矢量！
力偶矩的大小只取决于乘积 Fd !
d0
M=F0d0=Fd
例 题 3
§ 5 静力学基本概念?例题
O
x
y
z
C(0,0,c)
B(0,b,0)
A(a,0,0)
1F
?
2F
? 已知,a=5m,b=4m,c=3m,
,二 力大
小相等方向相反，求力偶矩。
kNFFF 1021 ??? ??
),( 21 FFM ???
例 题 3
§ 5 静力学基本概念?例题
解：
21
2121 )()(),(
FCAFAC
FMFMFFM CA
?
???????
????
??
kciaAC ?? ???
kFjFF ??? ?? c o ss i n1 ??
?? c o ss in0
0),( 121
?
????? ca
kji
FFACFFM
???
????
mkNkji ????? )403924( ???
5
3c o s
5
4s i n ?? ???
O
x
y
z
C(0,0,c)
B(0,b,0)
A(a,0,0)
1F
?
2F
?
?
5 4
3
§ 5.2 力系的主矢和力系对某点的主矩
1.力系的分类
共线力系
平面力系
空间力系
平行力系
汇交力系
力偶系
特殊力系
任意力系 一般力系
从力的作用线区分为：
2.力系的特征量
（ 1）力系的 主矢
力系的特征量 —— 表征力系的整体作用效应
力系中各力的矢量和，记为
RF
?
???
?
???
????
?
izRziyRyixRx
RzRyRx
n
i
iR
FFFFFF
kFjFiFFF
,,
1
?????
(5.6)
R
Rz
R
R
Ry
R
R
Rx
R
RzRyRxRR
F
F
kF
F
F
jF
F
F
iF
FFFFF
???
????
),c o s (,),c o s (,),c o s (
222
??????
?
(5.7)
力系主矢的特点 —— 主矢为自由矢量 （只有大小、方向，
无起始 点）
RF
?
1F
?
3F
?
4F
?2F
?
M?
（ 2）力系对某点的 主矩
取矩心为 O,力系中各力对 O点之矩的矢量和,记为 OM?
i
n
i
i
n
i
iOO FrFMM
????? ??? ??
?? 11
)( (5.8)
力系主矩的特点 — 主矩与矩心有关,对不同的矩心 O与 A，
若两矩心满足
ii rOAr ???
??
则
ARiii
iiiiO
MFOAFrFOA
FrOAFrM
?????
?????
????????
??????
??
?? )(
O
A
iF
?
ir?
ir??
RAO FOAMM
??? ??? （ 5.9）
力系对不同点主矩的之间的关系
故力系的 主矩是一个定位矢量, 位于
矩心处，一般将主矢也画于矩心点上。
1F
?
3F
?
4F
?2F
?
RF
?
O
OM
?
例 题 4
§ 5 静力学基本概念?例题
O
x
y
z
C(a,a,0)
B(0,0,2a)
A(0,0,a)
1F
? 2F?
45o
如图，力系中 分
别作用于点 A(0,0,a)和点
B(0,0,2a)，已知,a=3m,
F1=4kN,F2=6kN,求力系
的主矢及力系对点 O、点
C(a,a,0)的主矩。
21,FF
??
例 题 4
§ 5 静力学基本概念?例题
解：
kjkjF
iF
?????
??
2323)
2
2
2
2(6
4
2
1
????
?
又 jiCOkrkr ?????? 3363 21 ?????
主矢
kjiFF iR ????? 23234 ???? ?对点 O的主矩
ji
kjikji
FrFrM O
??
??????
?????
12218
23230
600
004
3002211
???
?
??????
O
x
y
z
C(a,a,0)
B(0,0,2a)
A(0,0,a)
1F
? 2F?
45o
例 题 4
§ 5 静力学基本概念?例题
求对点 C的主矩，利用两点
主矩关系
kji
kji
ji
FCOMM
ROC
???
???
??
???
)2912()2912(29
23234
03312218
??????
?
??????
???
O
x
y
z
C(a,a,0)
B(0,0,2a)
A(0,0,a)
1F
? 2F?
45o
B(0,0,2a)
A(0,0,a)
1F
? 2F?
45o
B(0,0,2a)
A(0,0,a)
1F
? 2F?
45o
例 题 4 § 5 静力学基本概念
?例题
O
x
y
z
C(a,a,0)
O
x
y
z
C(a,a,0)
RF
?
RF
?
OM
?
CM
?
力系的主矢和力
系对点 O的主矩
力系的主矢和力
系对点 C的主矩
主矢 kjiF
R
???? 23234 ???
jiM O ??? 12218 ??? kjiM C ???? )2912()2912(29 ??????
主矩
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(11)
§ 5 静力学基本概念
§ 5.0 概述
静力学 —— 研究物体系统在力系作用下平衡的规律。
力系 —— 一群力。
平衡 —— 相对于惯性系静止或匀速直线运动。
本章重点 —— ?力对点之矩、力对轴之矩的计算
(§ 5.1,§ 5.2)
?基本力学概念和基本公理 (§ 5.3,§ 5.4)
?物体系统的受力分析,取分离体、画
受力图 (§ 5.5,§ 5.6)
§ 5.1 力和力偶
1,力的定义
力是物体与物体之间的机械作用,其结果
（ 1）改变物体的运动状态 —— 外效应、运动效应
（ 2）使物体产生变形 —— 内效应、变形效应
力的三要素
作用于变形体的力：大小、方向、作用点
作用于刚体的力：大小、方向、作用线
特例（力系的主矢）：大小、方向
一般 （定位矢量） ),( Fr ??
O r?
F?
（滑动矢量） F?
（自由矢量）
F?
2.力对点之矩，力对轴之矩
力的单位 —— N,kN
力的合成与分解
力的投影 见 § 1.1矢量代数基础
（ 1）力对点之矩（矢量）
F?
r?
x
y
z
O
h
力矢 ),( Fr ??矩心 O，
特点
)(FMO ??
① 力对点之矩为
一个定位矢量；
② 三要素：大小、方向、矩心；
③ 的大小为 MO=Fh,单位,N·m,kN ·m 。)(FM
O
??
kFMjFMiFM
kyFxFjxFzFizFyF
FFF
zyx
kji
FrFM
OzOyOx
xyzxyz
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O
??????
???
???
????
)()()(
)()()(
)(
???
??????
???
(5.1)
定义
?平面力系,力对点之矩可用代数量表示。
（ 2）力对轴之矩（代数量）
力对点之矩式中 kMjMiMFM
OzOyOxO
????? ???)(
—— 力对 x 轴之矩
—— 力对 y 轴之矩
—— 力对 z 轴之矩)()(
)()(
)()(
FMFM
FMFM
FMFM
zOz
yOy
xOx
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?
?
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力对任意 l 轴（方向 l° ）之矩为
??? lFMFM Al ???? )()( A为 l 轴上任意一点 (5.2)定义
F?
x
y
z
A
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l 轴
?l?
特点 ① 力对轴之矩为一代数量,单位,N·m,kN ·m ；
② 代数量的符号由右手螺旋法则定出；
③ 当力与某轴共面时，力对该轴之
矩为 0。 （ 力和轴平行或力的作
用线通过矩轴）
力 Ｆ 对任一 z
轴的矩, 等于这
力在 z轴的垂直面
上的投影 F? 对该
投影面和 z轴交点
的矩 。
④ 力对轴之矩的大小
(3)合力矩定理
若
)()()( 21
21
FMFMFM
FFF
OOO
??????
???
??
??则 （ 5.3）
（ 4）合力对轴之矩定理
若
则 )()()( 21 FMFMFM FFF lll ???
???
??
?? （ 5.4）
（ 5） 力对点之矩、力对轴之矩的计算
利用合力矩定理
计算力对点之矩
方向垂直于 与 组成平面
FhFM O ?)( ?? r
? F?
计算力对轴之矩 利用定义 利用合力对轴之矩定理 ??? lFMFM Al
??? )()(
例 题 1
§ 5 静力学基本概念?例题
手柄 ABCE在平面 Axy内,
在 D处作用一个力 F,如图所
示, 它在垂直于 y轴的平面内,
偏离铅直线的角度为 α。 如果
CD=b,杆 BC平行于 x轴,杆 CE
平行于 y轴, AB和 BC的长度
都等于 l。 试求力 对 x,y和 z
三轴的矩 。
F?
应用合力矩定理求解。
力 F 沿坐标轴的投影分别为：
?
?
c os
0
s in
FF
F
FF
z
y
x
??
?
?
由于力与轴平行或相交时力
对该轴的矩为零，则有
解,方法 1
例 题 1
§ 5 静力学基本概念?例题
xF?
zF?
应用力对轴的矩之解析表达式求解。
? ?
? ?
? ? xyz
zxy
yzx
yFxFM
xFzFM
zFyFM
??
??
??
F
F
F
?? c o s,0,s i n FFFFF zyx ????
因为力在坐标轴上的投影分别为：
0,,????? zblylx
力作用点 D 的坐标为：
则
方法 2
例 题 1
§ 5 静力学基本概念?例题
例 题 2
§ 5 静力学基本概念?例题
在直角弯杆的 C端作
用着力 F，试求这力对坐
标轴以及坐标原点 O的矩。
已知 OA =a = 6 m,AB=b=
4 m,BC=c=3 m,α=30o,
β=60o。
由图示可以求出力 F 在各
坐标轴上的投影和力 F 作用
点 C 的坐标分别为：
解：
x= b = 4 m
y= a = 6 m
z= c =－ 3 m
?? c o s c o sFF x ?
?? s in c o sFF y ?
? s inFF z ?
例 题 2
§ 5 静力学基本概念?例题
mN 105 s i n c o s s i n ???? ??? cFaFM x
mN 66
s i n c o s c o s
???
??? ??? bFcFM y
mN 8 c o s c o s s i n c o s ???? ???? aFbFM z
mN 3.124222 ????? zyxO MMMM
例 题 2
§ 5 静力学基本概念?例题
力 F 对坐标轴之矩为：
则可求得力 F 对坐标轴之矩及
对原点 O之矩的大小和方向 。
力 F 对原点 O之矩大小：
8 4 5.0),c o s ( ??
O
x
O M
MiM
5 3 1.0),c o s ( ???
O
y
O M
MjM
064.0),c o s ( ??
O
z
O M
MkM
例 题 2
§ 5 静力学基本概念?例题
力 F 对原点 O之矩方向余弦：
3.力偶和力偶矩
定义 大小相等、方向相反、不
共线的两个力 和
组成的力系称为 力偶,记
为 。
21 FF
??
),( 21 FF ??
力偶的性质
1F
?
2F
?
（ 1）力偶中的两力矢量和恒为 0。 0
21 ?? FF
??
（ 2）力偶中的两力对空间任意点之矩的矢量和
恒相等且不为 0，称为 力偶矩 。),(
21 FFM
???
)()(
)()(),(
2122112112
12112211
2121
FMFrFMFr
FrFrFrFr
FMFMFFM
DD
OO
????????
????????
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??????
????????
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(5.5)
O
D2D1
1r?
2r?
12r?
21r?
1F
?
2F
?
O
D2D1
1r?
2r?
(3)力偶的三要素：
① 作用面 —— 两个力所在的平面
② 力偶的转向 —— 在力偶的作用面内，
由右手螺旋法确定。
③ 力偶矩的大小 ——
FdFFM ?),( 21 ???
d
力偶矩为自由矢量！
力偶矩的大小只取决于乘积 Fd !
d0
M=F0d0=Fd
例 题 3
§ 5 静力学基本概念?例题
O
x
y
z
C(0,0,c)
B(0,b,0)
A(a,0,0)
1F
?
2F
? 已知,a=5m,b=4m,c=3m,
,二 力大
小相等方向相反，求力偶矩。
kNFFF 1021 ??? ??
),( 21 FFM ???
例 题 3
§ 5 静力学基本概念?例题
解：
21
2121 )()(),(
FCAFAC
FMFMFFM CA
?
???????
????
??
kciaAC ?? ???
kFjFF ??? ?? c o ss i n1 ??
?? c o ss in0
0),( 121
?
????? ca
kji
FFACFFM
???
????
mkNkji ????? )403924( ???
5
3c o s
5
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O
x
y
z
C(0,0,c)
B(0,b,0)
A(a,0,0)
1F
?
2F
?
?
5 4
3
§ 5.2 力系的主矢和力系对某点的主矩
1.力系的分类
共线力系
平面力系
空间力系
平行力系
汇交力系
力偶系
特殊力系
任意力系 一般力系
从力的作用线区分为：
2.力系的特征量
（ 1）力系的 主矢
力系的特征量 —— 表征力系的整体作用效应
力系中各力的矢量和，记为
RF
?
???
?
???
????
?
izRziyRyixRx
RzRyRx
n
i
iR
FFFFFF
kFjFiFFF
,,
1
?????
(5.6)
R
Rz
R
R
Ry
R
R
Rx
R
RzRyRxRR
F
F
kF
F
F
jF
F
F
iF
FFFFF
???
????
),c o s (,),c o s (,),c o s (
222
??????
?
(5.7)
力系主矢的特点 —— 主矢为自由矢量 （只有大小、方向，
无起始 点）
RF
?
1F
?
3F
?
4F
?2F
?
M?
（ 2）力系对某点的 主矩
取矩心为 O,力系中各力对 O点之矩的矢量和,记为 OM?
i
n
i
i
n
i
iOO FrFMM
????? ??? ??
?? 11
)( (5.8)
力系主矩的特点 — 主矩与矩心有关,对不同的矩心 O与 A，
若两矩心满足
ii rOAr ???
??
则
ARiii
iiiiO
MFOAFrFOA
FrOAFrM
?????
?????
????????
??????
??
?? )(
O
A
iF
?
ir?
ir??
RAO FOAMM
??? ??? （ 5.9）
力系对不同点主矩的之间的关系
故力系的 主矩是一个定位矢量, 位于
矩心处，一般将主矢也画于矩心点上。
1F
?
3F
?
4F
?2F
?
RF
?
O
OM
?
例 题 4
§ 5 静力学基本概念?例题
O
x
y
z
C(a,a,0)
B(0,0,2a)
A(0,0,a)
1F
? 2F?
45o
如图，力系中 分
别作用于点 A(0,0,a)和点
B(0,0,2a)，已知,a=3m,
F1=4kN,F2=6kN,求力系
的主矢及力系对点 O、点
C(a,a,0)的主矩。
21,FF
??
例 题 4
§ 5 静力学基本概念?例题
解：
kjkjF
iF
?????
??
2323)
2
2
2
2(6
4
2
1
????
?
又 jiCOkrkr ?????? 3363 21 ?????
主矢
kjiFF iR ????? 23234 ???? ?对点 O的主矩
ji
kjikji
FrFrM O
??
??????
?????
12218
23230
600
004
3002211
???
?
??????
O
x
y
z
C(a,a,0)
B(0,0,2a)
A(0,0,a)
1F
? 2F?
45o
例 题 4
§ 5 静力学基本概念?例题
求对点 C的主矩，利用两点
主矩关系
kji
kji
ji
FCOMM
ROC
???
???
??
???
)2912()2912(29
23234
03312218
??????
?
??????
???
O
x
y
z
C(a,a,0)
B(0,0,2a)
A(0,0,a)
1F
? 2F?
45o
B(0,0,2a)
A(0,0,a)
1F
? 2F?
45o
B(0,0,2a)
A(0,0,a)
1F
? 2F?
45o
例 题 4 § 5 静力学基本概念
?例题
O
x
y
z
C(a,a,0)
O
x
y
z
C(a,a,0)
RF
?
RF
?
OM
?
CM
?
力系的主矢和力
系对点 O的主矩
力系的主矢和力
系对点 C的主矩
主矢 kjiF
R
???? 23234 ???
jiM O ??? 12218 ??? kjiM C ???? )2912()2912(29 ??????
主矩
