工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 35 )
（下册）
§ 19.3 动能定理
1,质点的动能定理
动能定理 —— 质点或质点系的动能改变量与作用力的
功之间的数量关系。
Ftvm
??
?dd由牛顿第二定律有
Frtvmtv ??
??
??? dddd
? ? Tmvvvmvvm d21dd21d 2 ???????????? ????左端
WrF dd ???? ??右端 （作用于质点上的合力 的元功）
F?
WT dd ?? (19.21)质点动能定理的微分形式
质点动能的微分等于作用于质点上的合力的元功
rFvvm ???? dd ???
两边点乘 dtv?
mF?
v?
WT dd ?? (19.21)质点动能定理的微分形式
dt
Wd
dt
dT ??或写为
mF?
v?
1v
?
1t
2v
?
2t
L
若质点从 —,沿路径 L从位
置 1— 位置 2，则有：1t 2t
12
2
112
WrdFWddTTT
LL
??? ??????? ??
1212 WTT ??
(19.22)质点动能定理的微分形式
质点在某一运动过程中动能的改变量等于作用
于质点上的合力在同一运动过程中所作的功。
2,质点系的动能定理
对质点系中每个质点，都有式 (19.21)成立,
ii WT dd ??
i
n
i
WT dd
1
?? ?
?
质点系动能定理的微分形式 (19.23)
质点系动能的微分等于作用于质点系上的
全部力（外力和内力）的元功的代数和
i
n
i
i
n
i
WT dd
11
?? ??
??
求和
i
n
i
i
n
i
WT dd
11
????
?
?
???
? ??
??
i
n
i
TT ?
?
?
1
令
设在时间 — 的过程中，质点系发生了某一运动，1t 2t
? ?e12W 为运动过程中质点系的所有外力所作的功；
??i12W 为运动过程中质点系的所有内力所作的功，
对式 (19.23)积分 得到：
? ? ? ?i12e121212 WWWTT ????
质点系动能定理的积分形式
(19.24)
质点系的动能在某一运动过程中的改变量等于
作用于质点系的所有外力和内力在同一运动过
程中所作的功的代数和
? ? ? ?i12e121212 WWWTT ????
质点系动能定理的积分形式
(19.24)
i
n
i
WT dd
1
?? ?
?
质点系动能定理的微分形式 (19.23)
注意
以上式中右端的功是全部外力和全部内力的功
一般，系统的内力总是成对（大小相等，方
向相反）出现，故 内力作功之和为零 ；
但也有成对的 内力作功之和不为零,如：
系统内的 弹簧力, 摩擦力 等。
3,质点系的力之功的计算（复习上册 § 8.3）
?? ??
L
i
i
rdFW ??12
（ 1）重力的功 z h
1
2
C
mg
rFWdW i
ii
i
?? dd ????? ??
m g d zWd ???
m g hW ?12
重力的元功：
从位置 1 到位置 2
重力作的有限功：
（ 2）弹性力的功
0ll ???
伸长量
弹簧刚度系数 k，原长
0l
1l
位置 1
2l
位置 2
弹性力的元功：
?? dkWd ???
从位置 1 到位置 2,
弹性力作的有限功：
)(21 222112 ?? ?? kW
011 ll ??? 022 ll ???
l
任意位置
?k
llkFt
?
?? )( 0
（ 3）约束力的功
对于理想约束，约束力均不作功（如：固
定光滑曲面约束，不可伸长柔绳的约束，
光滑固定铰支座，光滑的中间铰，纯滚动
时接触点的摩擦力和法向反力）。
D
O
A
（ 4）作用在刚体上的主动力系的功
设刚体受力系 作用，作平面运动
iF
?
??
i
iR FF
??力系的主矢
力系对 A点的主矩
)( i
i
AA FmM
???
i
i
i rdFWd
?? ??? ?
i
i L
i rdFW
?? ?? ? ?
12
元功和有限功的计算方法 1,
元功和有限功的计算方法 2, 任选 A点
?dMrdFWd AAR ???? ??
?dMrdFW AAR ?? ??? 212112 ??
iF
?A
?d
Ard?
iF
?A
?d
Ard?
P
若选择某时刻刚体的速度瞬心 P
则有：
?dMWd P??
注意：由于速度瞬心不固定，上
式一般不可积分得出有限功。
若 刚体平移,有：
AR rdFWd
?? ???
AR rdFW
?? ?? ? 2
112
若刚体绕某垂直于运动平
面的 z 轴 定轴转动,有：
?dMWd z??
?dMW z?? 2112
（ 5）系统只受有势力作功时
只受有势力（重力、弹性力），系统存在势能 V,
? ???
i
iWddV
dVWT i
n
i
???? ?
?
dd
1
动能定理的微分形式：
故 0)d( ?? VT
常数?? VT有势系统的机械能守恒 （ 19.25）
注意：系统的势能数值与势能零点有关，故写出
系统的势能时 应指明所选取的势能零点 。
§ 19.4 动能定理的应用
系统动能的变化 系统所受力系的功
动能定理
（代数方程）
（ 1）对一个对象只能列出一个代数方程
—— 求解一个未知量
单自由度系统可直接解出，多自由度系统必须与
其他定理联立
（ 2）可解问题：
动能定理积分形式已知全部作功的力 求速度，角速度
动能定理微分形式已知全部作功的力 求加速度，角加速度
注意 （ 1）分析系统受力时，重点分析系统中
全部 作功的力 （不要忘记 弹性力 ），略去
不作功的力（如理想约束的约束力）。
（ 2） 1212 WTT ??动能定理的积分形式 中，动能改
变量 只与系统初终两个状态的速度、
角速度有关，但力的功 是一个积分计算，
与中间过程有关。
12 TT ?
12W
?kM ?
?
例如：定轴转动圆盘，受主动力
偶 作用,时静止，
求 时的角速度 。?kM ? 0??
0?? ? ?
222
12 4
10
2
1 ?? mRJTT
O ????
2
00012 2
00 ???? ?? kdkMdW ??? ??2
0012 ?? kMW ???
（ 3）若求系统中某点的加速度或某刚体的角加
速度，必须用动能定理的微分形式
WdWT i
n
i
???? ?
?
dd
1注意 的求法：
Td
在系统的任意 一般位置写出其动能 T后，再
对 T求导,在 特殊位置写出的 T不能求导 。
（ 4）系统的动能是系统相对于惯性系的动能，
动能定理式中各速度、角速度量均为 绝对速度,
绝对角速度 。
例 题 19-5 § I9 动能定理
?例题
图示滑轮系统的动、定滑轮均为半径 R的均质圆
盘，重为 P。滑轮上绕有质量忽略不计且不可伸
长的细绳，其一端固定在 A处，另一端接在一刚
性系数为 k的弹簧上。设系统开始处于静止，弹
簧并未变形。求：动滑轮质心 c下落距离 s 时，动
滑轮轮心的速度。（滑轮轴心摩擦忽略不计）
解,研究对象为滑轮系统
所受的约束为理想约束
运动状态：动滑轮作一般平面运动，
定滑轮作定轴转动
应用动能定理，计算动能
A
B c
o
k
I
II
s P P
01 ?T
作功的力：重力，弹性力
例 题 19-5 § I9 动能定理
?例题
计算力的功：
根据系统动能定理
22
1
222
1
22
12 4
3)
2
1(
2
1)(
2
1
2
1
ccBI vg
PR
g
PR
g
PR
g
PJJT ?????? ???
2222
22 )
2(
2
1
2
1
2
1
c
c
oII vg
P
R
vR
g
PJT ???? ?
2
222 4
7
cIII vg
PTTT ???
22
12 2])2(0[2
1 ksPsskPsWWW
TP ???????
P
ksPsgvksPsv
g
P
cc 7
)2(420
4
7 222 ??? ?????
P
ksPga
dt
dsks
dt
dsP
dt
dvv
g
P
c
c
c
)4(24
2
7 ??? ????
A
B c
o
k
I
II
s P P
例 题 19-6 § I9 动能定理
?例题
22222
2 6
1
3
1
2
1
2
1 ??? MLMLJT
z ????
解,研究对象：杆
运动状态为定轴转动
受重力和弹性力作用约束为理想约束，
01 ?T
求动能，位置 1：杆水平，位置 2：杆铅垂
图示均质细直杆质量 M，长为 L，绕其一端在铅垂平面
内转动，其中点由一刚性系数为 k 的弹簧挂住，弹簧
原长为 L。开始时杆静止地处于水平位置。求：杆转动
到铅垂位置时其质心 C的速度。（不计轴承的摩檫）
A’
L/2
L
L/2 C
Mg
O
A
?
例 题 19-6 § I9 动能定理
?例题
计算主动力所作的功
]})21()2 5[({21)(212 22222112 LLLM g LkLMgW ??????? ??
应用刚体的动能定理，有
)2 3 6.0(43)2 3 6.0(32121 M kLgLM kLgLLv C ?????? ?
)
236.0
(3
)236.0(
2
1
0
6
1 222
M
k
L
g
kLM g LML
??
???
?
?
A’
L/2
L
L/2 C
Mg
O
A
?
例 题 19-7 § I9 动能定理
?例题
图示放置于倾角为 的固定斜面上的质量为, 半径为 的均
质圆盘，其中心 A系有一根一端固定，并与斜面平行的弹簧，
同时与一根绕在质量为,半径为 的鼓轮 B上的张紧绳索相
连。在鼓轮上作用一力偶矩为 的常力偶，使系统由静止开
始运动，斜面足够粗糙，圆盘 A沿斜面向上作纯滚动。已知鼓
轮对轮心 B的回转半径为,弹簧的刚度系数为,且初始
时弹簧为原长。若不计弹簧、绳索的质量及轴承 B处摩擦，试
求鼓轮转过 时，圆盘的角速度和角加速度的大小。
? m r
m r
M
2/r k
2/? M
?
A
B
k
C
例 题 19-7 § I9 动能定理
?例题
解,1.受力及运动状态分析
M
?
A
B
k
C
（ 1）初始时系统的动能为
01 ?T
系统为圆盘 A+鼓轮 B+弹簧,各处约束均为理想约束，
作功的力,力偶 M,A盘重力，弹性力,系统 1个自由度
?以鼓轮 B转过的角度 为系统的广义坐标。
AA rv ??圆盘 A纯滚动，有：
?? ??B鼓轮 B角速度为：
?
B?
Av
?A?
mg
mg
??? ??? BABAA rrv ?? ??又
例 题 19-7 § I9 动能定理
?例题
（ 2）当鼓轮转过 角时：?
系统的动能为 222
222 2
1
2
1
2
1
AAABB
AB JmvJTTT ?? ?????
? ? 2222
2
2
1
2
1
2
1
22
1
AAB mrrm
rm ??? ?
?
??
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?? 22
8
7
Amr ??
M
?
A
B
k
C
?
B?
Av
?A?
mg
mg
AA rv ??
??? ??? BA
2.外力功
?????? ???? 222112 2121s i n)( ????? kkrmgMW
? 0
1 ?? ?? r?2
?
? ? 2212 21s i n ???? krrmgMW ???
例 题 19-7 § I9 动能定理
?例题
1212 WTT ?? ? ?
2
2
22
7
2
1
s i n8
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
mr
krm grM
A
????
?
m
krm g rM
rA 7
s i n441 22
2
?????
??
???
?
3.由动能定理的积分形式有
22
8
7
Amr ? ? ?
22
2
1s i n ???? krrmgM ??? (1)
当 时：2/?? ?
例 题 19-7 § I9 动能定理
?例题
4.对积分形式的动能定理两边求导：
? ?
2
2
7
s i n4
mr
krm g rM
A
??? ????
? ?
2
2
2 7
s i n222
mr
krm g rM
A
???
??
???
?
M
?
A
B
k
C
?
B?
Av
?A?
mg
mg
22
8
7
Amr ? ? ?
22
2
1s i n ???? krrmgM ??? (1)
AAmr ??
2
4
7 ? ?
AAA krmg rM ????? 2s i n ???
对任意 ?
角成立
例 题 19-7 § I9 动能定理
?例题
本题提示：
1.求加速度或角加速度，用微分形式的动能定理时，应
在一般位置写出系统的动能再求导。
2.对一般位置的动能 T 求导，可有两种方式：
(1)将 T表达为系统的广义坐标的函数后再求导。
—— T与广义坐标关系简单时。
(2)将 T表达为系统中各部分速度或角速度的函数后求
导，求导后会出现各点或各刚体的加速度、角加速度，
运用运动学知识找出其关系后再代入求解。
—— T的表达式较复杂时。
例 题 19-7 § I9 动能定理
?例题
M
?
A
B
k
C
?
B?
Av
?A?
mg
mg
222
2
1
2
1
2
1
AAABB
AB JmvJTTT ?? ?????
如本例，任意时刻系统的动能为
求导：
AAAAABBB dJdvmvdJdT ???? ???
A
AAAAAA
dmr
dmrrdrmd
r
m
??
??????
2
22
4
7
2
1
))(()
2
(
?
???
AA rv ??
??? ??? BA
AA
A
A mrdt
dmr
dt
dT ???? 22
4
7
4
7 ???
例 题 19-8 § I9 动能定理
?例题
已知：铅垂墙面光滑，圆柱作纯滚动。当 ? = 45?时
系统由静止开始运动。
求：此瞬时圆柱质心 A的加速度。
2
Av
R? ?
1
1
2 2 s i n
A
C
vvl ?
???
1 s in
Avl? ??
例 题 19-8 § I9 动能定理
?例题
解：
mg
Mg
vC
vB
vA
FB
C
D
FP
FfP
?2
?1
1.分析
运动学关系：
??? s i n1 l
v A?????
2 2 2 2 2 2
12
2
2
1 1 1 1 1 1
2 2 12 2 2 2( ) ( )
21 ( 9 )
12 sin
CA
A
T m v m l M v M R
m Mv
??
?
? ? ? ?
??
2
24
2 c o s1 [ ( 9 ) 2 ]
6 s i n s i nA A A
mmd T a M v v d t
l
?
??? ? ?
例 题 19-8 § I9 动能定理
?例题
mg
Mg
vC
vB
vA
FB
C
D
FPFf
P
?2
?1Cm g d yWd ???
112 2 s i nAC
vvl ? ???
??? s i n1 l
v A?????
2 A
vR? ?
dtm g vm g d yWd AC ?c o t21?????
dtvdtvdy ACC ?? c o t2c o s ?????
由动能定理微分形式得：
在初始瞬时有,?= 45?,vA = 0,故有：
3
49A
mga
mM? ?
例 题 19-8 § I9 动能定理
?例题
mg
Mg
vC
vB
vA
FB
C
D
FPFf
P
?2
?1
M
m
l
mvmg
a
WddT
A
A
9
s in
2
s in
c o s
2c o t3
2
4
2
?
?
??
??
?
?
?
?
22
2
1
12
21 ( 9 ) ( 4 9 )
12 s i n AA
mT M v m M v
?? ? ? ?
16 ( 4 9 ) AAd T m M v d v??
由动能定理微分形式也能得到：
3
49A
mga
mM? ?
但此方法是否正确？
如先将 ? = 45?代入动能表达式后再微分，即：
例 题 19-8 § I9 动能定理
?例题
讨论：
dtm g vWddT A ?c o t21???
dtm g vdvvMm AAA ?c o t21)94(61 ???
mg
Mg
vC
vB
vA
FB
C
D
FPFf
P
?2
?1
例 题 19-9 § I9 动能定理
?例题
L
l
mg
Mg
OAC
B
图示系统由杆 OA，绳 ACB，物块 B构成，初
始用手扶杆使 OA在水平位置，系统静止，放
手后，求杆 OA到达铅垂位置时，物块 B的速
度，设杆 OA的质量为 M=3m，物块 B的质量
为 m,OC间的距离 L=4a，杆 OA长 l=3a，
（不计定滑轮的质量）。
A”
?
B’
A’
例 题 19-9 § I9 动能定理
?例题
L
l
mg
Mg
OAC
B
解,系统为单自由度，
杆 OA为定轴转动：
2
2
1
OAOOA JT ??
块 B为平动,2
2
1
BB mvT ?
1.求出运动学量之间关系
x
Bv
?
BB xv ??? ?? ??
OA
且 ?? ?llv OAA ???
Av?
?
注意：
AB vv ??
绳长不变，有 常数
绳 ????? lBCAC
初始时,0
1 ?T
例 题 19-9 § I9 动能定理
?例题
sxv BB ?? ????
求导：
?
B’
L
l
mg
Mg
OAC
B
x
A’
A”Bv? Av?
?
常数绳 ????? lBCAC
令 sAC ??
即 常数?? Bxs
求导,0?? Bxs ??
在三角形 COA’中，由余弦定理：
?co s2222 LllLs ???
?? ?? )s i n(22 ??? Llss
???? s ins in Ll
sv
Ll
ss B
OA ????
??
例 题 19-9 § I9 动能定理
?例题
?
B’
L
l
mg
Mg
OAC
B
x
A’
A”Bv? Av?
?
???? s ins in Ll
sv
Ll
ss B
OA ???
??
任意时刻系统的动能为：
2
2
1
OAOOA JT ?? ?? 22
22
222
s i n2)s i n(33
1
2
1
L
vmsv
Ll
slm B
B ??????
2
2
1
BB mvT ?
当 时，有,222 lLs ???? 90?
???? 902 )( ?BOA TTT
当杆 OA到达铅垂位置时
例 题 19-9 § I9 动能定理
?例题
?
B’
L
l
mg
Mg
OAC
B
x
A’
A”Bv? Av?
?
???? s ins in Ll
sv
Ll
ss B
OA ???
??
杆 OA到达铅垂位置时
系统相对于初始时刻
的动能改变量为：
222
2
2
2
2
22
2
22
22
12
28.1
32
41
)
2
1
)4(2
)5(
(
)
2
1
2
(
290s in2
BBB
BB
B
mvmvmv
a
a
mv
L
lL
v
m
L
vms
TT
????
?
?
??
?
??
例 题 19-9 § I9 动能定理
?例题
求有限功
m g a
a
mgaaamg
M g lCACAmgW
2
1
2
3
3))34(5(
2/)"(
12
?
?????
????
?
B’
L
l
mg
Mg
OAC
B
x
A’
A”Bv? Av?
?
代入动能定理
1212 WTT ??
m g amv B 2128.1 2 ??
6.128.12
gagav
B ????
（ ?）
例 题 19-9 § I9 动能定理
?例题
?
B’
L
l
mg
Mg
OAC
B
x
A’
A”Bv? Av?
?
此题也可用机械
能守恒定律：
2211 VTVT ???
取重力势能零点为各
物体的初始位置，则
0111 ??? BOA VVV
22
lMgV OA ?? )]([ 222 lLlLmgV B ????
0)]([228.1 22222 ????????? lLlLmglMgmvVT B
同样可得：
6.128.12
gagav
B ????
（ ?）
例 题 19-9 § I9 动能定理
?例题
?
B’
L
l
mg
Mg
OAC
B
x
A’
A”Bv?
Av?
?
此题易错之处：
认为 A’点的速度
BA vlv ??? ??
实际上，绳子的 CA’段的方位是不断变化的
?Av?
??Av??
BA vv ???
应有：
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 35 )
（下册）
§ 19.3 动能定理
1,质点的动能定理
动能定理 —— 质点或质点系的动能改变量与作用力的
功之间的数量关系。
Ftvm
??
?dd由牛顿第二定律有
Frtvmtv ??
??
??? dddd
? ? Tmvvvmvvm d21dd21d 2 ???????????? ????左端
WrF dd ???? ??右端 （作用于质点上的合力 的元功）
F?
WT dd ?? (19.21)质点动能定理的微分形式
质点动能的微分等于作用于质点上的合力的元功
rFvvm ???? dd ???
两边点乘 dtv?
mF?
v?
WT dd ?? (19.21)质点动能定理的微分形式
dt
Wd
dt
dT ??或写为
mF?
v?
1v
?
1t
2v
?
2t
L
若质点从 —,沿路径 L从位
置 1— 位置 2，则有：1t 2t
12
2
112
WrdFWddTTT
LL
??? ??????? ??
1212 WTT ??
(19.22)质点动能定理的微分形式
质点在某一运动过程中动能的改变量等于作用
于质点上的合力在同一运动过程中所作的功。
2,质点系的动能定理
对质点系中每个质点，都有式 (19.21)成立,
ii WT dd ??
i
n
i
WT dd
1
?? ?
?
质点系动能定理的微分形式 (19.23)
质点系动能的微分等于作用于质点系上的
全部力（外力和内力）的元功的代数和
i
n
i
i
n
i
WT dd
11
?? ??
??
求和
i
n
i
i
n
i
WT dd
11
????
?
?
???
? ??
??
i
n
i
TT ?
?
?
1
令
设在时间 — 的过程中，质点系发生了某一运动，1t 2t
? ?e12W 为运动过程中质点系的所有外力所作的功；
??i12W 为运动过程中质点系的所有内力所作的功，
对式 (19.23)积分 得到：
? ? ? ?i12e121212 WWWTT ????
质点系动能定理的积分形式
(19.24)
质点系的动能在某一运动过程中的改变量等于
作用于质点系的所有外力和内力在同一运动过
程中所作的功的代数和
? ? ? ?i12e121212 WWWTT ????
质点系动能定理的积分形式
(19.24)
i
n
i
WT dd
1
?? ?
?
质点系动能定理的微分形式 (19.23)
注意
以上式中右端的功是全部外力和全部内力的功
一般，系统的内力总是成对（大小相等，方
向相反）出现，故 内力作功之和为零 ；
但也有成对的 内力作功之和不为零,如：
系统内的 弹簧力, 摩擦力 等。
3,质点系的力之功的计算（复习上册 § 8.3）
?? ??
L
i
i
rdFW ??12
（ 1）重力的功 z h
1
2
C
mg
rFWdW i
ii
i
?? dd ????? ??
m g d zWd ???
m g hW ?12
重力的元功：
从位置 1 到位置 2
重力作的有限功：
（ 2）弹性力的功
0ll ???
伸长量
弹簧刚度系数 k，原长
0l
1l
位置 1
2l
位置 2
弹性力的元功：
?? dkWd ???
从位置 1 到位置 2,
弹性力作的有限功：
)(21 222112 ?? ?? kW
011 ll ??? 022 ll ???
l
任意位置
?k
llkFt
?
?? )( 0
（ 3）约束力的功
对于理想约束，约束力均不作功（如：固
定光滑曲面约束，不可伸长柔绳的约束，
光滑固定铰支座，光滑的中间铰，纯滚动
时接触点的摩擦力和法向反力）。
D
O
A
（ 4）作用在刚体上的主动力系的功
设刚体受力系 作用，作平面运动
iF
?
??
i
iR FF
??力系的主矢
力系对 A点的主矩
)( i
i
AA FmM
???
i
i
i rdFWd
?? ??? ?
i
i L
i rdFW
?? ?? ? ?
12
元功和有限功的计算方法 1,
元功和有限功的计算方法 2, 任选 A点
?dMrdFWd AAR ???? ??
?dMrdFW AAR ?? ??? 212112 ??
iF
?A
?d
Ard?
iF
?A
?d
Ard?
P
若选择某时刻刚体的速度瞬心 P
则有：
?dMWd P??
注意：由于速度瞬心不固定，上
式一般不可积分得出有限功。
若 刚体平移,有：
AR rdFWd
?? ???
AR rdFW
?? ?? ? 2
112
若刚体绕某垂直于运动平
面的 z 轴 定轴转动,有：
?dMWd z??
?dMW z?? 2112
（ 5）系统只受有势力作功时
只受有势力（重力、弹性力），系统存在势能 V,
? ???
i
iWddV
dVWT i
n
i
???? ?
?
dd
1
动能定理的微分形式：
故 0)d( ?? VT
常数?? VT有势系统的机械能守恒 （ 19.25）
注意：系统的势能数值与势能零点有关，故写出
系统的势能时 应指明所选取的势能零点 。
§ 19.4 动能定理的应用
系统动能的变化 系统所受力系的功
动能定理
（代数方程）
（ 1）对一个对象只能列出一个代数方程
—— 求解一个未知量
单自由度系统可直接解出，多自由度系统必须与
其他定理联立
（ 2）可解问题：
动能定理积分形式已知全部作功的力 求速度，角速度
动能定理微分形式已知全部作功的力 求加速度，角加速度
注意 （ 1）分析系统受力时，重点分析系统中
全部 作功的力 （不要忘记 弹性力 ），略去
不作功的力（如理想约束的约束力）。
（ 2） 1212 WTT ??动能定理的积分形式 中，动能改
变量 只与系统初终两个状态的速度、
角速度有关，但力的功 是一个积分计算，
与中间过程有关。
12 TT ?
12W
?kM ?
?
例如：定轴转动圆盘，受主动力
偶 作用,时静止，
求 时的角速度 。?kM ? 0??
0?? ? ?
222
12 4
10
2
1 ?? mRJTT
O ????
2
00012 2
00 ???? ?? kdkMdW ??? ??2
0012 ?? kMW ???
（ 3）若求系统中某点的加速度或某刚体的角加
速度，必须用动能定理的微分形式
WdWT i
n
i
???? ?
?
dd
1注意 的求法：
Td
在系统的任意 一般位置写出其动能 T后，再
对 T求导,在 特殊位置写出的 T不能求导 。
（ 4）系统的动能是系统相对于惯性系的动能，
动能定理式中各速度、角速度量均为 绝对速度,
绝对角速度 。
例 题 19-5 § I9 动能定理
?例题
图示滑轮系统的动、定滑轮均为半径 R的均质圆
盘，重为 P。滑轮上绕有质量忽略不计且不可伸
长的细绳，其一端固定在 A处，另一端接在一刚
性系数为 k的弹簧上。设系统开始处于静止，弹
簧并未变形。求：动滑轮质心 c下落距离 s 时，动
滑轮轮心的速度。（滑轮轴心摩擦忽略不计）
解,研究对象为滑轮系统
所受的约束为理想约束
运动状态：动滑轮作一般平面运动，
定滑轮作定轴转动
应用动能定理，计算动能
A
B c
o
k
I
II
s P P
01 ?T
作功的力：重力，弹性力
例 题 19-5 § I9 动能定理
?例题
计算力的功：
根据系统动能定理
22
1
222
1
22
12 4
3)
2
1(
2
1)(
2
1
2
1
ccBI vg
PR
g
PR
g
PR
g
PJJT ?????? ???
2222
22 )
2(
2
1
2
1
2
1
c
c
oII vg
P
R
vR
g
PJT ???? ?
2
222 4
7
cIII vg
PTTT ???
22
12 2])2(0[2
1 ksPsskPsWWW
TP ???????
P
ksPsgvksPsv
g
P
cc 7
)2(420
4
7 222 ??? ?????
P
ksPga
dt
dsks
dt
dsP
dt
dvv
g
P
c
c
c
)4(24
2
7 ??? ????
A
B c
o
k
I
II
s P P
例 题 19-6 § I9 动能定理
?例题
22222
2 6
1
3
1
2
1
2
1 ??? MLMLJT
z ????
解,研究对象：杆
运动状态为定轴转动
受重力和弹性力作用约束为理想约束，
01 ?T
求动能，位置 1：杆水平，位置 2：杆铅垂
图示均质细直杆质量 M，长为 L，绕其一端在铅垂平面
内转动，其中点由一刚性系数为 k 的弹簧挂住，弹簧
原长为 L。开始时杆静止地处于水平位置。求：杆转动
到铅垂位置时其质心 C的速度。（不计轴承的摩檫）
A’
L/2
L
L/2 C
Mg
O
A
?
例 题 19-6 § I9 动能定理
?例题
计算主动力所作的功
]})21()2 5[({21)(212 22222112 LLLM g LkLMgW ??????? ??
应用刚体的动能定理，有
)2 3 6.0(43)2 3 6.0(32121 M kLgLM kLgLLv C ?????? ?
)
236.0
(3
)236.0(
2
1
0
6
1 222
M
k
L
g
kLM g LML
??
???
?
?
A’
L/2
L
L/2 C
Mg
O
A
?
例 题 19-7 § I9 动能定理
?例题
图示放置于倾角为 的固定斜面上的质量为, 半径为 的均
质圆盘，其中心 A系有一根一端固定，并与斜面平行的弹簧，
同时与一根绕在质量为,半径为 的鼓轮 B上的张紧绳索相
连。在鼓轮上作用一力偶矩为 的常力偶，使系统由静止开
始运动，斜面足够粗糙，圆盘 A沿斜面向上作纯滚动。已知鼓
轮对轮心 B的回转半径为,弹簧的刚度系数为,且初始
时弹簧为原长。若不计弹簧、绳索的质量及轴承 B处摩擦，试
求鼓轮转过 时，圆盘的角速度和角加速度的大小。
? m r
m r
M
2/r k
2/? M
?
A
B
k
C
例 题 19-7 § I9 动能定理
?例题
解,1.受力及运动状态分析
M
?
A
B
k
C
（ 1）初始时系统的动能为
01 ?T
系统为圆盘 A+鼓轮 B+弹簧,各处约束均为理想约束，
作功的力,力偶 M,A盘重力，弹性力,系统 1个自由度
?以鼓轮 B转过的角度 为系统的广义坐标。
AA rv ??圆盘 A纯滚动，有：
?? ??B鼓轮 B角速度为：
?
B?
Av
?A?
mg
mg
??? ??? BABAA rrv ?? ??又
例 题 19-7 § I9 动能定理
?例题
（ 2）当鼓轮转过 角时：?
系统的动能为 222
222 2
1
2
1
2
1
AAABB
AB JmvJTTT ?? ?????
? ? 2222
2
2
1
2
1
2
1
22
1
AAB mrrm
rm ??? ?
?
??
?
???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?? 22
8
7
Amr ??
M
?
A
B
k
C
?
B?
Av
?A?
mg
mg
AA rv ??
??? ??? BA
2.外力功
?????? ???? 222112 2121s i n)( ????? kkrmgMW
? 0
1 ?? ?? r?2
?
? ? 2212 21s i n ???? krrmgMW ???
例 题 19-7 § I9 动能定理
?例题
1212 WTT ?? ? ?
2
2
22
7
2
1
s i n8
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
mr
krm grM
A
????
?
m
krm g rM
rA 7
s i n441 22
2
?????
??
???
?
3.由动能定理的积分形式有
22
8
7
Amr ? ? ?
22
2
1s i n ???? krrmgM ??? (1)
当 时：2/?? ?
例 题 19-7 § I9 动能定理
?例题
4.对积分形式的动能定理两边求导：
? ?
2
2
7
s i n4
mr
krm g rM
A
??? ????
? ?
2
2
2 7
s i n222
mr
krm g rM
A
???
??
???
?
M
?
A
B
k
C
?
B?
Av
?A?
mg
mg
22
8
7
Amr ? ? ?
22
2
1s i n ???? krrmgM ??? (1)
AAmr ??
2
4
7 ? ?
AAA krmg rM ????? 2s i n ???
对任意 ?
角成立
例 题 19-7 § I9 动能定理
?例题
本题提示：
1.求加速度或角加速度，用微分形式的动能定理时，应
在一般位置写出系统的动能再求导。
2.对一般位置的动能 T 求导，可有两种方式：
(1)将 T表达为系统的广义坐标的函数后再求导。
—— T与广义坐标关系简单时。
(2)将 T表达为系统中各部分速度或角速度的函数后求
导，求导后会出现各点或各刚体的加速度、角加速度，
运用运动学知识找出其关系后再代入求解。
—— T的表达式较复杂时。
例 题 19-7 § I9 动能定理
?例题
M
?
A
B
k
C
?
B?
Av
?A?
mg
mg
222
2
1
2
1
2
1
AAABB
AB JmvJTTT ?? ?????
如本例，任意时刻系统的动能为
求导：
AAAAABBB dJdvmvdJdT ???? ???
A
AAAAAA
dmr
dmrrdrmd
r
m
??
??????
2
22
4
7
2
1
))(()
2
(
?
???
AA rv ??
??? ??? BA
AA
A
A mrdt
dmr
dt
dT ???? 22
4
7
4
7 ???
例 题 19-8 § I9 动能定理
?例题
已知：铅垂墙面光滑，圆柱作纯滚动。当 ? = 45?时
系统由静止开始运动。
求：此瞬时圆柱质心 A的加速度。
2
Av
R? ?
1
1
2 2 s i n
A
C
vvl ?
???
1 s in
Avl? ??
例 题 19-8 § I9 动能定理
?例题
解：
mg
Mg
vC
vB
vA
FB
C
D
FP
FfP
?2
?1
1.分析
运动学关系：
??? s i n1 l
v A?????
2 2 2 2 2 2
12
2
2
1 1 1 1 1 1
2 2 12 2 2 2( ) ( )
21 ( 9 )
12 sin
CA
A
T m v m l M v M R
m Mv
??
?
? ? ? ?
??
2
24
2 c o s1 [ ( 9 ) 2 ]
6 s i n s i nA A A
mmd T a M v v d t
l
?
??? ? ?
例 题 19-8 § I9 动能定理
?例题
mg
Mg
vC
vB
vA
FB
C
D
FPFf
P
?2
?1Cm g d yWd ???
112 2 s i nAC
vvl ? ???
??? s i n1 l
v A?????
2 A
vR? ?
dtm g vm g d yWd AC ?c o t21?????
dtvdtvdy ACC ?? c o t2c o s ?????
由动能定理微分形式得：
在初始瞬时有,?= 45?,vA = 0,故有：
3
49A
mga
mM? ?
例 题 19-8 § I9 动能定理
?例题
mg
Mg
vC
vB
vA
FB
C
D
FPFf
P
?2
?1
M
m
l
mvmg
a
WddT
A
A
9
s in
2
s in
c o s
2c o t3
2
4
2
?
?
??
??
?
?
?
?
22
2
1
12
21 ( 9 ) ( 4 9 )
12 s i n AA
mT M v m M v
?? ? ? ?
16 ( 4 9 ) AAd T m M v d v??
由动能定理微分形式也能得到：
3
49A
mga
mM? ?
但此方法是否正确？
如先将 ? = 45?代入动能表达式后再微分，即：
例 题 19-8 § I9 动能定理
?例题
讨论：
dtm g vWddT A ?c o t21???
dtm g vdvvMm AAA ?c o t21)94(61 ???
mg
Mg
vC
vB
vA
FB
C
D
FPFf
P
?2
?1
例 题 19-9 § I9 动能定理
?例题
L
l
mg
Mg
OAC
B
图示系统由杆 OA，绳 ACB，物块 B构成，初
始用手扶杆使 OA在水平位置，系统静止，放
手后，求杆 OA到达铅垂位置时，物块 B的速
度，设杆 OA的质量为 M=3m，物块 B的质量
为 m,OC间的距离 L=4a，杆 OA长 l=3a，
（不计定滑轮的质量）。
A”
?
B’
A’
例 题 19-9 § I9 动能定理
?例题
L
l
mg
Mg
OAC
B
解,系统为单自由度，
杆 OA为定轴转动：
2
2
1
OAOOA JT ??
块 B为平动,2
2
1
BB mvT ?
1.求出运动学量之间关系
x
Bv
?
BB xv ??? ?? ??
OA
且 ?? ?llv OAA ???
Av?
?
注意：
AB vv ??
绳长不变，有 常数
绳 ????? lBCAC
初始时,0
1 ?T
例 题 19-9 § I9 动能定理
?例题
sxv BB ?? ????
求导：
?
B’
L
l
mg
Mg
OAC
B
x
A’
A”Bv? Av?
?
常数绳 ????? lBCAC
令 sAC ??
即 常数?? Bxs
求导,0?? Bxs ??
在三角形 COA’中，由余弦定理：
?co s2222 LllLs ???
?? ?? )s i n(22 ??? Llss
???? s ins in Ll
sv
Ll
ss B
OA ????
??
例 题 19-9 § I9 动能定理
?例题
?
B’
L
l
mg
Mg
OAC
B
x
A’
A”Bv? Av?
?
???? s ins in Ll
sv
Ll
ss B
OA ???
??
任意时刻系统的动能为：
2
2
1
OAOOA JT ?? ?? 22
22
222
s i n2)s i n(33
1
2
1
L
vmsv
Ll
slm B
B ??????
2
2
1
BB mvT ?
当 时，有,222 lLs ???? 90?
???? 902 )( ?BOA TTT
当杆 OA到达铅垂位置时
例 题 19-9 § I9 动能定理
?例题
?
B’
L
l
mg
Mg
OAC
B
x
A’
A”Bv? Av?
?
???? s ins in Ll
sv
Ll
ss B
OA ???
??
杆 OA到达铅垂位置时
系统相对于初始时刻
的动能改变量为：
222
2
2
2
2
22
2
22
22
12
28.1
32
41
)
2
1
)4(2
)5(
(
)
2
1
2
(
290s in2
BBB
BB
B
mvmvmv
a
a
mv
L
lL
v
m
L
vms
TT
????
?
?
??
?
??
例 题 19-9 § I9 动能定理
?例题
求有限功
m g a
a
mgaaamg
M g lCACAmgW
2
1
2
3
3))34(5(
2/)"(
12
?
?????
????
?
B’
L
l
mg
Mg
OAC
B
x
A’
A”Bv? Av?
?
代入动能定理
1212 WTT ??
m g amv B 2128.1 2 ??
6.128.12
gagav
B ????
（ ?）
例 题 19-9 § I9 动能定理
?例题
?
B’
L
l
mg
Mg
OAC
B
x
A’
A”Bv? Av?
?
此题也可用机械
能守恒定律：
2211 VTVT ???
取重力势能零点为各
物体的初始位置，则
0111 ??? BOA VVV
22
lMgV OA ?? )]([ 222 lLlLmgV B ????
0)]([228.1 22222 ????????? lLlLmglMgmvVT B
同样可得：
6.128.12
gagav
B ????
（ ?）
例 题 19-9 § I9 动能定理
?例题
?
B’
L
l
mg
Mg
OAC
B
x
A’
A”Bv?
Av?
?
此题易错之处：
认为 A’点的速度
BA vlv ??? ??
实际上，绳子的 CA’段的方位是不断变化的
?Av?
??Av??
BA vv ???
应有：
