工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 38)
（下册）
§ 20.7 动力学基本定理的综合应用
动力学基本定理包括：动能定理，动量定理（质心
运动定理）及动量矩定理。
重点,综合应用基本定理求解平面运动的刚体系统
的动力学问题。
难点,针对具体问题，选择适当的求解思路，应
用适当的定理，使求解过程尽量简洁。
解题指导：
1.基本定理中涉及的各基本物理量（动能、动量、
动量矩、转动惯量等）要概念清楚，能正确地进
行计算。
2.深刻理解各基本定理的特点，根据所求解的
具体问题，适当选用定理。
动能定理 —— 标量方程，仅可求未知量大小
—— 仅与作功的力有关（作功的有外
力也可有内力）
动量定理 质心运动定理
—— 矢量方程（可列投影方程），可求未知量大小
和方向
—— 只与外力系的主矢有关
动量矩定理
—— 本质为矢量方程，但对作平面运动的研究对象
为一标量方程
—— 矩心选固定点或刚体的质心，方程形式最简单
动量守恒、质心运动守恒、动量矩守恒
—— 各有其成立的条件，可用于求解系统的运动状态
3.选用定理的基本原则
（ 1）正确分析系统的受力，首先判断是否满足某个
守恒定律（包括是否在某投影轴上满足守恒定律），
根据相应守恒定律求出未知运动学量（速度、角速
度或位移）。
（ 2）求约束力的问题，一般不能选用动能定理
（理想约束力不作功），可用其他几个定理。
（ 3）当作用力是时间的函数时，优先考虑用动量
定理或动量矩定理求速度或角速度，当作用力是
路程的函数或力的功容易计算时，优先考虑用动
能定理求速度或角速度。
（ 4）单自由度系统：速度（角速度）和加速度
（角加速度）可用动能定理的积分和微分形式求；
进一步求约束力可用其他定理。
（ 5）若求加速度或角加速度，对质点系可用动量
或质心运动定理；对定轴转动刚体，可用对转轴
的动量矩定理；对一般平面运动刚体，可同时选
用质心运动定理和对质心的动量矩定理。
（ 6）研究对象的选取：单自由度系统用动能定
理时及不需求系统内部相互作用力时，可选整体
为研究对象；求系统内部的相互作用力时，可切
取适当分离体为研究对象。
（ 7）列动力学基本定理的方程时，常涉及多个
运动学量（如某点速度、加速度，某刚体的角速
度、角加速度），需要列出运动学补充方程（如
利用两点速度关系、两点加速度关系，速度合成
关系、加速度合成关系,角速度合成关系、角加速
度合成关系）；有时还需补充力的某些条件。
（ 8）对于刚体系统，求解时首先分析清楚各刚体
的运动状态（平移、定轴转动、一般平面运动）。
例 题 20-7 § 20 动量原理
?例题
图示均质细杆 AB质量为 m,长为 L,其 B端与光滑水平
面接触,初始时杆与铅垂线的夹角为 。试求杆无初
速度释放的瞬间,水平面对杆的约束力。
?0
y
xo
对杆进行受力分析：
Oxyz建立图示直角坐标系
解,
C
B
A
?
NF
?
mg杆受重力和地面支持力，
0)( ?F eRx 0?Cv?由于,且初始
常数?Cx
根据质心运动守恒，有
?co s2ly C ?
(1)即质心沿铅垂线运动：
?
?
例 题 20-7 § 20 动量原理
?例题
???????? c o s2s in2c o s22s in
2
2 lllly
C ?????? ?????
00
2 s in
212
1 ?? lFml
N ??
(4)
对时间求导：?co s
2
ly
C ?
(1)
将初瞬时,代入得初瞬时质心
y方向加速度：
0,0 ?? ???
(2)
0
0
0 s in2 ?
?ly
C ????
由质心运动定理：
y
xo
C
B
A
?
NF
?
mg
?
?mgFym NC ??0??
(3)
?? ?? 2sinly C ??
对质心 C的动量矩定理
例 题 20-7 § 20 动量原理
?例题
y
xo
C
B
A
?
NF
?
mg
?
?
联立 (2)(3)(4)解得：
(2)
0
0
0 s in2 ?
?ly
C ????
mgFym NC ??0?? (3)
00
2 s in
212
1 ?? lFml
N ??
(4)
l
g
mg
F
N
)s in31(
s in6
s in31
0
2
0
0
0
2
?
?
?
?
?
?
?
? （ ?）
（ ?）
例 题 20-8 § 20 动量原理
?例题
位于铅垂平面的均质杆 AB和 BD,
长度均为 L，重量都是 P，杆 AB
的 A端固定铰支,B端与杆 BD铰
接。杆 BD的 D端与可铅垂滑动的
滑块 D铰接。今用一细绳将 B点拉
住,使杆 AB和 BD位于同一直线上,
该直线与水平面间的夹角为,
系统保持平衡,各处摩擦和滑块 D
的质量与大小略去不计。
?30
试求（ 1）剪断绳子瞬时,滑槽对于滑块 D的约束力
（ 2）杆 AB运动至水平位置时,杆 AB的角速度
030
D
B
A
030
D
B
A
例 题 20-8
§ 20 动量原理?例题
1.求剪断绳子后滑槽对滑块 D的约束力
由于初瞬时两杆角速度 和
均为零，故
?1 ?2
1?? Laa BB ??
解：
设 AB杆有顺时针角加速度, BD杆
有逆时针角加速度
1?
2?
以 B点为基点分析
D点的加速度：
绳剪断后,AB杆定轴转动,BD杆作
一般平面运动,在初始瞬时，
?BB aa ?? ?
1?
2?
nDBDBBD aaaa ???? ??? ?
Da?
?DBa?
nDBa?
2?L
022 ??L1?L
? ? ?
例 题 20-8 § 20 动量原理
?例题
分别在 x,y方向投影：
030s i n30s i n 21 ????? ?? LLa Dx
nDBDBBD aaaa ???? ??? ?
2?L
022 ??L1?L
? ? ?
030
D
B
A ?BB aa ?? ?
1?
2?
Da?
?DBa?
nDBa?
21 ?? ??
030co s30co s 21 ?????? ?? LLa D
对 BD杆的质心 C有：
BDBC aaaa
????
2
1)(
2
1 ???
故：
12 ?
La
C ?
（方向垂直于 BD）
Ca?
C
例 题 20-8 § 20 动量原理
?例题
030
D
B
A ?BB aa ?? ?
1?
2?
Da?
?DBa?
nDBa? C
a?
C
取 BD杆为研究对象，受力如图,BD杆
作一般平面运动。
030
D
B
C
DF
?
ByF
?
BxF
? P
?
列 BD杆的质心运动方程：
对 BD杆列关于质心 C的动量矩方程：
Ca
?
2?
DBxC FFag
P ??030s in
PFagP ByC ??? 030c o s
(1)
(2)
000
2
2 30c o s
230s in230s in212
1 LFLFLFL
g
P
ByBxD ???????
(3)
21 ?? ?
12 ?
La
C ?
例 题 20-8 § 20 动量原理
?例题
030
D
B
A ?BB aa ?? ?
1?
2?
Da?
?DBa?
nDBa? C
a?
C
030
D
B
C
DF
?
ByF
?
BxF
? P
?
Ca
?
2?
取 AB为研究对象，受力如图,AB杆作定轴
转动，列对定点 A的动量矩方程，有：
030
B
A
1?
ByF?
?
BxF?
?
AyF
?
AxF
?
P?
21 ?? ?
12 ?
La
C ?
?????????? 30s in30c o s)2(31 12 LFLPLFLgP BxBy? (4)
考虑到：
ByByBxBx FFFF ????,
及
12 ?
La
C ? 21 ?? ?
例 题 20-8 § 20 动量原理
?例题
030
D
B
C
DF
?
ByF
?
BxF
? P
?
Ca
?
2?
030
B
A
1?
ByF?
?
BxF?
?
AyF
?
AxF
?
P?
21 ?? ?
12 ?
La
C ?
?????????? 30s in30c o s)2(31 12 LFLPLFLgP BxBy?
(4)
DBxC FFag
P ??030s in
PFagP ByC ??? 030c o s
(1)
(2)
000
2
2 30c o s
230s in230s in212
1 LFLFLFL
g
P
ByBxD ???????
(3)
联
立
求
解
gL4 3321 ?? ??
PFD 43?
解得：
(?)
(方向分别如图 )
例 题 20-8 § 20 动量原理
?例题
030
D
B
A
位置 1：剪断
绳子的瞬间
01 ??
02 ??
位置 2：
AB运动至
水平位置
D
BA
1?
2.求剪断绳子后杆 AB运动至水平位置时
的角速度
1?
P?
P?
取整个系统为研究对象，利用
动能定理求解。
位置 1：剪断的瞬间，两杆角速度
均为零,BD杆质心速度也为零。
01 ?? T
位置 2：当 AB杆定轴转动至水平位置
时，设 AB杆角速度为,此时 BD
杆为瞬时平动。 1?
例 题 20-8 § 20 动量原理
?例题
030
D
B
A
位置 1：剪断
绳子的瞬间
01 ??
02 ??
位置 2：
AB运动至
水平位置
D
BA
1?
2
1
22
1
2
1
2
2 3
2)(
2
1)
3
1(
2
1 ??? L
g
PL
g
PL
g
PT ????
系统在运动过程中重力所作的功：
? ?
]
2
332
1[
)]13(
2
[
4
30s in
2
3
30s in
2
2
2
0
0
12
?
??
???
??
PL
LL
LP
L
PW
1212 WTT ??
L
g9 9 4.0
1 ??
得
代入
(?)
P?
P?
例 题 20-9 § 20 动量原理
?例题
两根均质杆 AD,BD质量都是 M,长度都为 L,用光滑的
铰链 D连接并放在光滑水平面上，如图所示。开始时
系统静止于铅直面内，且杆对水平面的倾角是 。
求两杆运动到与水平面成倾角 时铰链 D的速度和加
速度，并求水平面的支持力。
?0
?
?0
D
A B
C1 C2
解,系统由于质量分布和受力
对称，以及所给的初始条件，
将保留在原铅直平面内运动，
它的位置用 角确定。?
例 题 20-9 § 20 动量原理
?例题
?0
D
A B
C1 C2
取整个系统为研究对象，受力如图。
应用动能定理的积分形式求速度，用动量定理或质心
运动定理求地面支持力。
(1) 求铰链 D的速度和加速度
由于对称，在系统的铅垂平面内取固定坐标系 Oxy，
C2
? ?
C1
y
xO
1P
?AF
?
BF
?
2P
?
例 题 20-9 § 20 动量原理
?例题
?0
D
A B
C1 C2
D
A B
C2
? ?
C1
y
xO
在系统的运动过程中，,系统的初速度等于零，
因此系统的质心 C在水平方向的位置守恒，即 C将沿铅垂
线下降。
0)( ?eRxF
1P
?AF
?
BF
?
2P
?Dv
?
1Cv
?
故 D点也沿铅垂线下降,D点速度为铅垂方向。
P1 P2
初始时动能,01 ?T
)2121(22 212 12 ADCCAD JmvTT ????
系统在任意位置的动能：
例 题 20-9 § 20 动量原理
?例题
?0
D
A B
C1 C2
而
?? c o s1 L
v
DP
v DD
AD ?? ??? c o s2c o s2111
DDADC v
L
vLCPv ???? 2
1 12
1 mLJ
C ?
)2121(22 212 12 ADCCAD JmvTT ????
?2
2
2 c o s2
DmvT ??
D
A B
C2
? ?
C1
y
xO
1P
?AF
?
BF
?
2P
?Dv
?
1Cv
?
P1 P2
例 题 20-9 § 20 动量原理
?例题
D
A B
C2
? ?
C1
y
xO
1P
?AF
?
BF
?
2P
?Dv
?
1Cv
?
P1 P2
运动中仅有系统的重力作功：
)s i n( s i n)s i n( s i n22 0012 ???? ???? m g LLmgW
代入 得：1212 WTT ?? )s in( s in
c o s2 02
2
??? ?? m g Lmv D
)s i n( s i n3c o s 0 ??? ?? gLv D
（ ?）
还可由 求得：
??? c o sL
v D
AD ??? ?
L
gL )s i n( s i n3 0 ??? ????
（ ?）
?2
2
2 co s2 D
mvT ?
01?T
例 题 20-9 § 20 动量原理
?例题
D
A B
C2
? ?
C1
y
xO
1P
?AF
?
BF
?
2P
?Dv
?
1Cv
?
P1 P2
)1s i n3s i ns i n2(23 20 ???? ???gva DD ?
（ ?）
D点加速度也为铅垂方向，故可由 D点速度求导得到。
)s i n( s i n3c o s 0 ??? ?? gLv D LgL )s i n( s i n3 0 ??? ????
由于
例 题 20-9 § 20 动量原理
?例题
D
A B
C2
? ?
C1
y
xO
1P
?AF
?
BF
?
2P
?Dv
?
1Cv
?
P1 P2
mgFFym BAC 22 1 ?????
(2)求水平面的支持力
)( eRyC iy
i i
Fam ??根据质心运动定理,得：
由对称性得
BA FF ?
又由于
21
D
C
yy ?
)1s i n3s i n2(4322 201 ???????? ??gayy DDC ????
即
mg
ymmgFF CBA
)s in
2
3
s in
4
9
4
1
( 02
1
?? ???
??? ??
(?)
例 题 20-10 § 20 动量原理
?例题
A
BII
I
E
D
均质圆盘 I,II的半径均为 R，质量均为
m，绕有无重的细绳，求系统从静止开
始运动时，（ 1）轮 II中心 B的加速度。
（ 2）绳子的张力。
解,系统为 2个自由度，所受外力为重
力和铰支座 A处的约束力。
（ 1）求轮 II中心 B的加速度
设轮 I角速度为,角加速度为,
轮 II角速度为 角加速度为 。1
? 1?
2? 2?
1?
1?
2?
2?
建立固连于绳上的平动坐标系，则轮 II的相对运动为
沿 DE的纯滚动，轮心 B的速度为：
reB vvv
??? ??
例 题 20-10 § 20 动量原理
?例题
A
BII
I
E
D
1?
1?
2?
2?
reB vvv
??? ??
1?Rvv De ???
Dv
?
Bv
?
rv
?
2?Rv r ?
)( 21 ?? ????? Rvvv rDB (?)
AxF
?AyF
?
gm?
gm?
以整体为研究对象，系统外力对定点
A之矩为零，故由动量矩守恒：
00 ?? AA LL
0)(2 12
2
21 ????????? ????
mRJJLLL
I I BIAI I AIAA
21 ?? ?
求导,21 ?? ?
22 ?Rv B ?
2
2 22 ?? R
dt
dR
dt
dva B
B ???
Ba
?
例 题 20-10 § 20 动量原理
?例题
22 ?Rv B ?
2
2 22 ?? R
dt
dR
dt
dva B
B ??? A
BII
I
E
D
1?
1?
2?
2?
Dv
?
Bv
?
rv
?
AxF
?AyF
?
gm?
gm?
Ba
?
以轮 II为研究对象，
B E
gm?
Ba
?
II
2?
2?
TF
?
对定点 D列轮 II的动量矩定理：
)( e
DIID Mdt
dL ?
对轮 II：
4
5)
2(2
2
2
B
B
B
BIIBIID
m R vRmv
R
vmRRmvJL ????? ?
代入得：
m g Rm R vdtd B ?)45(
gdtdva BB 54???
(?)
R
g
R
a B
5
2
22 ???
还可得到：
例 题 20-10 § 20 动量原理
?例题
（ 2）求绳子的张力
对轮 II，列对质心 B的动量矩定理：
)(2 eBIIB MJ ??
即,RFmR
T?2
2
2
1 ?
55
2
2
1
2
1
2
mg
R
gmRmRF
T ????? ?
（拉力）
A
BII
I
E
D
1?
1?
2?
2?
Dv
?
Bv
?
rv
?
AxF
?AyF
?
gm?
gm?
Ba
?
B E
gm?
Ba
?
II
2?
2?
TF
?
R
g
R
a B
5
2
22 ???
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 38)
（下册）
§ 20.7 动力学基本定理的综合应用
动力学基本定理包括：动能定理，动量定理（质心
运动定理）及动量矩定理。
重点,综合应用基本定理求解平面运动的刚体系统
的动力学问题。
难点,针对具体问题，选择适当的求解思路，应
用适当的定理，使求解过程尽量简洁。
解题指导：
1.基本定理中涉及的各基本物理量（动能、动量、
动量矩、转动惯量等）要概念清楚，能正确地进
行计算。
2.深刻理解各基本定理的特点，根据所求解的
具体问题，适当选用定理。
动能定理 —— 标量方程，仅可求未知量大小
—— 仅与作功的力有关（作功的有外
力也可有内力）
动量定理 质心运动定理
—— 矢量方程（可列投影方程），可求未知量大小
和方向
—— 只与外力系的主矢有关
动量矩定理
—— 本质为矢量方程，但对作平面运动的研究对象
为一标量方程
—— 矩心选固定点或刚体的质心，方程形式最简单
动量守恒、质心运动守恒、动量矩守恒
—— 各有其成立的条件，可用于求解系统的运动状态
3.选用定理的基本原则
（ 1）正确分析系统的受力，首先判断是否满足某个
守恒定律（包括是否在某投影轴上满足守恒定律），
根据相应守恒定律求出未知运动学量（速度、角速
度或位移）。
（ 2）求约束力的问题，一般不能选用动能定理
（理想约束力不作功），可用其他几个定理。
（ 3）当作用力是时间的函数时，优先考虑用动量
定理或动量矩定理求速度或角速度，当作用力是
路程的函数或力的功容易计算时，优先考虑用动
能定理求速度或角速度。
（ 4）单自由度系统：速度（角速度）和加速度
（角加速度）可用动能定理的积分和微分形式求；
进一步求约束力可用其他定理。
（ 5）若求加速度或角加速度，对质点系可用动量
或质心运动定理；对定轴转动刚体，可用对转轴
的动量矩定理；对一般平面运动刚体，可同时选
用质心运动定理和对质心的动量矩定理。
（ 6）研究对象的选取：单自由度系统用动能定
理时及不需求系统内部相互作用力时，可选整体
为研究对象；求系统内部的相互作用力时，可切
取适当分离体为研究对象。
（ 7）列动力学基本定理的方程时，常涉及多个
运动学量（如某点速度、加速度，某刚体的角速
度、角加速度），需要列出运动学补充方程（如
利用两点速度关系、两点加速度关系，速度合成
关系、加速度合成关系,角速度合成关系、角加速
度合成关系）；有时还需补充力的某些条件。
（ 8）对于刚体系统，求解时首先分析清楚各刚体
的运动状态（平移、定轴转动、一般平面运动）。
例 题 20-7 § 20 动量原理
?例题
图示均质细杆 AB质量为 m,长为 L,其 B端与光滑水平
面接触,初始时杆与铅垂线的夹角为 。试求杆无初
速度释放的瞬间,水平面对杆的约束力。
?0
y
xo
对杆进行受力分析：
Oxyz建立图示直角坐标系
解,
C
B
A
?
NF
?
mg杆受重力和地面支持力，
0)( ?F eRx 0?Cv?由于,且初始
常数?Cx
根据质心运动守恒，有
?co s2ly C ?
(1)即质心沿铅垂线运动：
?
?
例 题 20-7 § 20 动量原理
?例题
???????? c o s2s in2c o s22s in
2
2 lllly
C ?????? ?????
00
2 s in
212
1 ?? lFml
N ??
(4)
对时间求导：?co s
2
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C ?
(1)
将初瞬时,代入得初瞬时质心
y方向加速度：
0,0 ?? ???
(2)
0
0
0 s in2 ?
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C ????
由质心运动定理：
y
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A
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NF
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mg
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?mgFym NC ??0??
(3)
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对质心 C的动量矩定理
例 题 20-7 § 20 动量原理
?例题
y
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C
B
A
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mg
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联立 (2)(3)(4)解得：
(2)
0
0
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?ly
C ????
mgFym NC ??0?? (3)
00
2 s in
212
1 ?? lFml
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l
g
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)s in31(
s in6
s in31
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2
?
?
?
?
?
?
?
? （ ?）
（ ?）
例 题 20-8 § 20 动量原理
?例题
位于铅垂平面的均质杆 AB和 BD,
长度均为 L，重量都是 P，杆 AB
的 A端固定铰支,B端与杆 BD铰
接。杆 BD的 D端与可铅垂滑动的
滑块 D铰接。今用一细绳将 B点拉
住,使杆 AB和 BD位于同一直线上,
该直线与水平面间的夹角为,
系统保持平衡,各处摩擦和滑块 D
的质量与大小略去不计。
?30
试求（ 1）剪断绳子瞬时,滑槽对于滑块 D的约束力
（ 2）杆 AB运动至水平位置时,杆 AB的角速度
030
D
B
A
030
D
B
A
例 题 20-8
§ 20 动量原理?例题
1.求剪断绳子后滑槽对滑块 D的约束力
由于初瞬时两杆角速度 和
均为零，故
?1 ?2
1?? Laa BB ??
解：
设 AB杆有顺时针角加速度, BD杆
有逆时针角加速度
1?
2?
以 B点为基点分析
D点的加速度：
绳剪断后,AB杆定轴转动,BD杆作
一般平面运动,在初始瞬时，
?BB aa ?? ?
1?
2?
nDBDBBD aaaa ???? ??? ?
Da?
?DBa?
nDBa?
2?L
022 ??L1?L
? ? ?
例 题 20-8 § 20 动量原理
?例题
分别在 x,y方向投影：
030s i n30s i n 21 ????? ?? LLa Dx
nDBDBBD aaaa ???? ??? ?
2?L
022 ??L1?L
? ? ?
030
D
B
A ?BB aa ?? ?
1?
2?
Da?
?DBa?
nDBa?
21 ?? ??
030co s30co s 21 ?????? ?? LLa D
对 BD杆的质心 C有：
BDBC aaaa
????
2
1)(
2
1 ???
故：
12 ?
La
C ?
（方向垂直于 BD）
Ca?
C
例 题 20-8 § 20 动量原理
?例题
030
D
B
A ?BB aa ?? ?
1?
2?
Da?
?DBa?
nDBa? C
a?
C
取 BD杆为研究对象，受力如图,BD杆
作一般平面运动。
030
D
B
C
DF
?
ByF
?
BxF
? P
?
列 BD杆的质心运动方程：
对 BD杆列关于质心 C的动量矩方程：
Ca
?
2?
DBxC FFag
P ??030s in
PFagP ByC ??? 030c o s
(1)
(2)
000
2
2 30c o s
230s in230s in212
1 LFLFLFL
g
P
ByBxD ???????
(3)
21 ?? ?
12 ?
La
C ?
例 题 20-8 § 20 动量原理
?例题
030
D
B
A ?BB aa ?? ?
1?
2?
Da?
?DBa?
nDBa? C
a?
C
030
D
B
C
DF
?
ByF
?
BxF
? P
?
Ca
?
2?
取 AB为研究对象，受力如图,AB杆作定轴
转动，列对定点 A的动量矩方程，有：
030
B
A
1?
ByF?
?
BxF?
?
AyF
?
AxF
?
P?
21 ?? ?
12 ?
La
C ?
?????????? 30s in30c o s)2(31 12 LFLPLFLgP BxBy? (4)
考虑到：
ByByBxBx FFFF ????,
及
12 ?
La
C ? 21 ?? ?
例 题 20-8 § 20 动量原理
?例题
030
D
B
C
DF
?
ByF
?
BxF
? P
?
Ca
?
2?
030
B
A
1?
ByF?
?
BxF?
?
AyF
?
AxF
?
P?
21 ?? ?
12 ?
La
C ?
?????????? 30s in30c o s)2(31 12 LFLPLFLgP BxBy?
(4)
DBxC FFag
P ??030s in
PFagP ByC ??? 030c o s
(1)
(2)
000
2
2 30c o s
230s in230s in212
1 LFLFLFL
g
P
ByBxD ???????
(3)
联
立
求
解
gL4 3321 ?? ??
PFD 43?
解得：
(?)
(方向分别如图 )
例 题 20-8 § 20 动量原理
?例题
030
D
B
A
位置 1：剪断
绳子的瞬间
01 ??
02 ??
位置 2：
AB运动至
水平位置
D
BA
1?
2.求剪断绳子后杆 AB运动至水平位置时
的角速度
1?
P?
P?
取整个系统为研究对象，利用
动能定理求解。
位置 1：剪断的瞬间，两杆角速度
均为零,BD杆质心速度也为零。
01 ?? T
位置 2：当 AB杆定轴转动至水平位置
时，设 AB杆角速度为,此时 BD
杆为瞬时平动。 1?
例 题 20-8 § 20 动量原理
?例题
030
D
B
A
位置 1：剪断
绳子的瞬间
01 ??
02 ??
位置 2：
AB运动至
水平位置
D
BA
1?
2
1
22
1
2
1
2
2 3
2)(
2
1)
3
1(
2
1 ??? L
g
PL
g
PL
g
PT ????
系统在运动过程中重力所作的功：
? ?
]
2
332
1[
)]13(
2
[
4
30s in
2
3
30s in
2
2
2
0
0
12
?
??
???
??
PL
LL
LP
L
PW
1212 WTT ??
L
g9 9 4.0
1 ??
得
代入
(?)
P?
P?
例 题 20-9 § 20 动量原理
?例题
两根均质杆 AD,BD质量都是 M,长度都为 L,用光滑的
铰链 D连接并放在光滑水平面上，如图所示。开始时
系统静止于铅直面内，且杆对水平面的倾角是 。
求两杆运动到与水平面成倾角 时铰链 D的速度和加
速度，并求水平面的支持力。
?0
?
?0
D
A B
C1 C2
解,系统由于质量分布和受力
对称，以及所给的初始条件，
将保留在原铅直平面内运动，
它的位置用 角确定。?
例 题 20-9 § 20 动量原理
?例题
?0
D
A B
C1 C2
取整个系统为研究对象，受力如图。
应用动能定理的积分形式求速度，用动量定理或质心
运动定理求地面支持力。
(1) 求铰链 D的速度和加速度
由于对称，在系统的铅垂平面内取固定坐标系 Oxy，
C2
? ?
C1
y
xO
1P
?AF
?
BF
?
2P
?
例 题 20-9 § 20 动量原理
?例题
?0
D
A B
C1 C2
D
A B
C2
? ?
C1
y
xO
在系统的运动过程中，,系统的初速度等于零，
因此系统的质心 C在水平方向的位置守恒，即 C将沿铅垂
线下降。
0)( ?eRxF
1P
?AF
?
BF
?
2P
?Dv
?
1Cv
?
故 D点也沿铅垂线下降,D点速度为铅垂方向。
P1 P2
初始时动能,01 ?T
)2121(22 212 12 ADCCAD JmvTT ????
系统在任意位置的动能：
例 题 20-9 § 20 动量原理
?例题
?0
D
A B
C1 C2
而
?? c o s1 L
v
DP
v DD
AD ?? ??? c o s2c o s2111
DDADC v
L
vLCPv ???? 2
1 12
1 mLJ
C ?
)2121(22 212 12 ADCCAD JmvTT ????
?2
2
2 c o s2
DmvT ??
D
A B
C2
? ?
C1
y
xO
1P
?AF
?
BF
?
2P
?Dv
?
1Cv
?
P1 P2
例 题 20-9 § 20 动量原理
?例题
D
A B
C2
? ?
C1
y
xO
1P
?AF
?
BF
?
2P
?Dv
?
1Cv
?
P1 P2
运动中仅有系统的重力作功：
)s i n( s i n)s i n( s i n22 0012 ???? ???? m g LLmgW
代入 得：1212 WTT ?? )s in( s in
c o s2 02
2
??? ?? m g Lmv D
)s i n( s i n3c o s 0 ??? ?? gLv D
（ ?）
还可由 求得：
??? c o sL
v D
AD ??? ?
L
gL )s i n( s i n3 0 ??? ????
（ ?）
?2
2
2 co s2 D
mvT ?
01?T
例 题 20-9 § 20 动量原理
?例题
D
A B
C2
? ?
C1
y
xO
1P
?AF
?
BF
?
2P
?Dv
?
1Cv
?
P1 P2
)1s i n3s i ns i n2(23 20 ???? ???gva DD ?
（ ?）
D点加速度也为铅垂方向，故可由 D点速度求导得到。
)s i n( s i n3c o s 0 ??? ?? gLv D LgL )s i n( s i n3 0 ??? ????
由于
例 题 20-9 § 20 动量原理
?例题
D
A B
C2
? ?
C1
y
xO
1P
?AF
?
BF
?
2P
?Dv
?
1Cv
?
P1 P2
mgFFym BAC 22 1 ?????
(2)求水平面的支持力
)( eRyC iy
i i
Fam ??根据质心运动定理,得：
由对称性得
BA FF ?
又由于
21
D
C
yy ?
)1s i n3s i n2(4322 201 ???????? ??gayy DDC ????
即
mg
ymmgFF CBA
)s in
2
3
s in
4
9
4
1
( 02
1
?? ???
??? ??
(?)
例 题 20-10 § 20 动量原理
?例题
A
BII
I
E
D
均质圆盘 I,II的半径均为 R，质量均为
m，绕有无重的细绳，求系统从静止开
始运动时，（ 1）轮 II中心 B的加速度。
（ 2）绳子的张力。
解,系统为 2个自由度，所受外力为重
力和铰支座 A处的约束力。
（ 1）求轮 II中心 B的加速度
设轮 I角速度为,角加速度为,
轮 II角速度为 角加速度为 。1
? 1?
2? 2?
1?
1?
2?
2?
建立固连于绳上的平动坐标系，则轮 II的相对运动为
沿 DE的纯滚动，轮心 B的速度为：
reB vvv
??? ??
例 题 20-10 § 20 动量原理
?例题
A
BII
I
E
D
1?
1?
2?
2?
reB vvv
??? ??
1?Rvv De ???
Dv
?
Bv
?
rv
?
2?Rv r ?
)( 21 ?? ????? Rvvv rDB (?)
AxF
?AyF
?
gm?
gm?
以整体为研究对象，系统外力对定点
A之矩为零，故由动量矩守恒：
00 ?? AA LL
0)(2 12
2
21 ????????? ????
mRJJLLL
I I BIAI I AIAA
21 ?? ?
求导,21 ?? ?
22 ?Rv B ?
2
2 22 ?? R
dt
dR
dt
dva B
B ???
Ba
?
例 题 20-10 § 20 动量原理
?例题
22 ?Rv B ?
2
2 22 ?? R
dt
dR
dt
dva B
B ??? A
BII
I
E
D
1?
1?
2?
2?
Dv
?
Bv
?
rv
?
AxF
?AyF
?
gm?
gm?
Ba
?
以轮 II为研究对象，
B E
gm?
Ba
?
II
2?
2?
TF
?
对定点 D列轮 II的动量矩定理：
)( e
DIID Mdt
dL ?
对轮 II：
4
5)
2(2
2
2
B
B
B
BIIBIID
m R vRmv
R
vmRRmvJL ????? ?
代入得：
m g Rm R vdtd B ?)45(
gdtdva BB 54???
(?)
R
g
R
a B
5
2
22 ???
还可得到：
例 题 20-10 § 20 动量原理
?例题
（ 2）求绳子的张力
对轮 II，列对质心 B的动量矩定理：
)(2 eBIIB MJ ??
即,RFmR
T?2
2
2
1 ?
55
2
2
1
2
1
2
mg
R
gmRmRF
T ????? ?
（拉力）
A
BII
I
E
D
1?
1?
2?
2?
Dv
?
Bv
?
rv
?
AxF
?AyF
?
gm?
gm?
Ba
?
B E
gm?
Ba
?
II
2?
2?
TF
?
R
g
R
a B
5
2
22 ???
