工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(17)
§ 7 力系的平衡
（ 1）力系的平衡条件。
（ 2）求刚体系统平衡时的约束力或平衡时的位置。
（ 3）求桁架 (二力直杆系统）的内力。
（ 4）带有摩擦的平衡问题。
本章内容是静力学部分的核心，包括：
关于,平衡,的概
念（ 1）物体或物体系统的平衡 —— 相对于惯性参考
空间静止或匀速直线平移。
（ 2）平衡力系 —— 即零力系，力系的主矢和主矩
均为零。
★
★
注意 区分以下几个概念：
力系的平衡，单个刚体的平衡，刚体系的平衡，
变形体的平衡
（ 1）单个刚体的平衡 力系的平衡
力系的平衡单个刚体的平衡
（ 2）刚体系的平衡 力系的平衡
力系的平衡刚体系的平衡
（ 3）变形体的平衡 刚化后仍平衡 力系平衡
变形体的平衡 刚化后仍平衡 力系平衡
（ 4）仅在静力学中：
单个刚体的平衡 力系的平衡
§ 7,1 力系的平衡条件及平衡方程
1.空间力系的平衡方程
平衡力系所要满足的条件称为力系的平衡条件 ；
任意空间力系平衡的充要条件是：力系的主矢
和对任一确定点 O的主矩 全为零。
OM
?
RF
?
即
RF
?
OM
? ?
?
?
n
i
iO FM
1
)(
?? 0?
0??
?
?
n
i
iF
1
?
（ 7.1）
在 O点建立 Oxyz 直角坐标系，以上两个矢量方
程可写为 6个独立的代数方程：
O
Di iF?
RO FF
?? ?
OM
?
x
y
z
l1
l3
l2
0,0,0
0,0,0
111
111
???
???
???
???
???
???
n
i
iz
n
i
iy
n
i
ix
n
i
iz
n
i
iy
n
i
ix
MMM
FFF
(7.2)注意
（ 1）解题时，矩心 O可任选；力的投影轴、取矩
轴也可斜交；力的投影轴、取矩轴也可不一致，
但要保证 6个方程是独立的。
（ 2）巧妙选择投影轴、取矩轴，可使每个方程只
含一个未知量，避免解联立方程组。
（ 3）任意空间力系，独立的力的投影方程只
有 3个，但矩方程最多可有 6个。
特殊的空间力系及独立平衡方程个数：
（ 1）空间汇交力系 —— 3个独立方程
0)( ?? ? iO FM ??
∵ 各力交于 O点
平衡方程仅有
0?? ? iR FF ??
即 ??? ??? 0,0,0
iziyix FFF
（ 2）空间力偶系 —— 3个独立方程
iF
?
O
3F
?
2F
?
1F
?
iM
?
O
3M
?
2M
?
1M
?
0?? ? iR FF ???
平衡方程仅有
0?? ? iO MM ??
即 ??? ??? 0,0,0
iziyix MMM
（ 3）空间平行力系
x
y
z
设各力平行于 z 轴，则有
0,0,0 ??? ??? iziyix MFF
平衡方程仅有
??? ??? 0,0,0 iyixiz MMF
— 3个独立方程
（ 4）其他
例如：空间各力与某轴 l 相交
l
—— 仅有 5个独
立的平衡方程
各力对 l 轴之矩恒为零
iF
?
O
3F
?
2F
?
1F
?
2.平面任意力系的平衡方程
（ 1）在平面内任取点 A：
x
y
O
iF
?各力均位于 Oxy平面内，故平衡
方程（ 7.1）中
0,0,0 ??? ??? iyixiz MMF
A
0
1
??
?
n
i
ixF 0
1
??
?
n
i
iyF 0)(
1
??
?
n
i
iA FM
?
称它为平面力系平衡方程的基本形式。由于其中只
有一个力矩式，故常称一矩式。
一矩式 (7.4)
故平面任意力系的平衡方程为：
0,0,0 ??? ??? iziyix MFF
(7.3)
平面任意力系的平衡方程还有以下三种常用形式：
（ 2）在平面上任取 A,B两点及不垂直于 AB连线的 x轴：
由力系平衡 0?RF? 0)(
1
?? ?
?
n
i
iOO FMM
?
因此，对任一轴 x，
0
1
??
?
n
i
ixF
且
0)()(
11
??????
???? ??
??
R
n
i
iO
n
i
iA FAOFMFM
同理
0)(
1
??
?
n
i
iB FM
? 必要性得证。
二矩式
0)(
1
??
?
n
i
iA FM
?
0)(
1
??
?
n
i
iB FM
? 0
1
??
?
n
i
ixF
且 x轴与 不垂直AB
(7.5)
证明, 已知平面力系平衡，证明二矩式成立。(a)必要性：
x
A
B
iF
?
O
(b)充分性,二矩式成立，则平面力系平衡。
由
0)(
1
?? ?
?
n
i
iAA FMM
? 0)(
1
?? ?
?
n
i
iBB FMM
?
将 A,B 点视为简化中心,则力系不可能简化为力偶，
而只能是通过 A,B两点的合力。
又由于 x 轴与 不垂直，AB
若 不为零，则其在 x 轴的投影必不
为零； RF
?
这与 矛盾。
0
1
?? ?
?
n
i
ixRx FF
所以
0?RF?
x
A
B
RF
?
充分性得证。
(3)在平面上任取三点 A,B,C不共线,
上述三组方程，每组中独立的平衡方程的个数均为 3，
若找到第四个方程，则必是前 3个方程的线性组合，
不是独立的。
因此，对于 单个刚体, 在平面力系作用下的平衡
问题，只能写出 3个独立的平衡方程,求解 3个未
知量；当未知量超过 3个时，问题无法求解。
例如,1F?
三矩式
0)(
1
??
?
n
i
iA FM
?
0)(
1
??
?
n
i
iB FM
?
0)(
1
??
?
n
i
iC FM
? (7.6)
2F
?
1F
?
2F
?
3、特殊平面力系的平衡方程
（ 1）平面汇交力系,设汇交点为 A
0)(
1
??
?
n
i
iB FM
? 0)(
1
??
?
n
i
iC FM
?或
(A,B,C
三点不共线 )
0
1
??
?
n
i
iM
0
1
??
?
n
i
ixF 0)(
1
??
?
n
i
iB FM
?或
（ AB连线不
垂直于 x轴）
（ 2）平面力偶系,（各力偶 Mi作用面相互平行即可）
0
1
??
?
n
i
ixF 0
1
??
?
n
i
iyF
两个独立方程！
一个独立方程！
A x
y
BC
（ 3）平面平行力系：
设各力与 y 轴平行
0
1
??
?
n
i
iyF 0)(
1
??
?
n
i
iA FM
?
O x
y
iF
?
nF
?
1F
?
或
0)(
1
??
?
n
i
iA FM
?
0)(
1
??
?
n
i
iB FM
?
其中 与各 不平行。AB
iF
? 两个独立方程！
A
B
例 题 1
§ 7 力系的平衡
?例题
a ?
l
F
r
r
Q??
Q?
A B
求 A,B处的约束力。
QQ ?? ???
已知支架受力如图，
其中,
解：取梁 AB为分离体，画受力图。
由
0)(
1
??
?
n
i
iA FM
?
例 题 1 § 7 力系的平衡
?例题
a ?
l
F
r
r
Q??
Q?
A B
A B
F
Qr2
列出该梁的平衡方程。
lF NB ??co s Fa? Qr2? 0?
（以逆时针为正）
选矩心为 A点：
AyF
?
AxF
?
NBF?
?c o s
2
l
QrFa ?? (方向如图 )
（平面任意力系 3个独立方程）
?
NBF
?
例 题 1
§ 7 力系的平衡
?例题
若取矩心为 B点，则有：
0)(
1
??
?
n
i
iB FM
?
02)( ?????? QralFlF Ay
该式不再独立，可作为校核。
?
BN
?
A B
F
Qr2
AyF
?
AxF
?AxF? ?tg2l QrFa ??
(→)
AyF?
l
QralF 2)( ??? (↑)
0
1
??
?
n
i
ixF
0s in ?? ?NBAx FF由
由
0
1
??
?
n
i
iyF
0c o s ??? FFF NBAy ?
求一端固支、一端自由的梁 (悬臂
梁 )固支端的约束力。 A
B
l
q
解：取 AB为分离体，画出受力图。
AM
AyF
?
AxF
?
Q?
由
0
1
??
?
n
i
ixF
AxF?
0?
由
0
1
??
?
n
i
iyF
AyF
Q? 0?
由
0)(
1
??
?
n
i
iA FM
? 0
2
?? lQM A
例 题 2
§ 7 力系的平衡
?例题
均布载荷（同向平行力系）合力为 Q?
AyF?
Q? ql? (↑)
AM Ql21? 22
1 ql? (?)
A B
例 题 3
§ 7 力系的平衡
?例题
起重机的配重问题
已知轨距 b＝ 3m，机重
G＝ 500kN,e ＝ 1.5m,
最大起重量 P＝ 250kN，
l =10m,a =6m。求起
重机满载与空载时均不
翻倒的配重 Q值。 A B
b
l
a e
Q?
G?
P?
解, (1)满载情况 P =250kN;
取起重机为分离体画受力图，
0)(
1
??
?
n
i
iB FM
?
0)( ????? PlGebNbaQ A
满载不翻倒限制条件
0?AN
0?
b
PlGebaQ ???? )(AN
G?
则 Q
ba
GePl
?
?? =361kN
A B
b
l
a e
AN
?
BN
?
P?
Q?
例 题 3
§ 7 力系的平衡
?例题
平面平行力系,2个独立方程，
以 B点为矩心：
(2)空载情况,P =0
0)(
1
??
?
n
i
iA FM
?
0)( ???? ebGbNQa B
0?BN空载不翻倒限制条件
BN
b
QaebG ??? )( 0?
Q
a
ebG )( ?? =375kN
?? Q
361kN 375kN∴
G?
A B
b
l
a e
AN
?
BN
?
Q?
例 题 3 § 7 力系的平衡
?例题
以 A点为矩心：
例 题 4
§ 7 力系的平衡
?例题
均质长方形薄板，重量
P=200N，角 A由光滑球
铰链固定，角 B处嵌入
固定的光滑水平滑槽内，
滑槽约束了角 B在 x,z方
向的运动,EC为钢索，
将板支持在水平位置上，
试求板在 A,B处的约
束力及钢索的拉力。
A
CD
x
y
z
E
B
4m2m
例 题 4
§ 7 力系的平衡
?例题
A
CD
x
y
z
E
B
4m2m
解：
1.以板为对象画出受力图，
A
CD
x
y
z
E
B
4m2m
TF
?
BxF
?
BzF
?
AyF
?
AzF
?
AxF
?
P
例 题 4
§ 7 力系的平衡
?例题
2.列出板的平衡方程
解法一
空间任意力系,6个独立方程。
A
CD
x
y
z
E
B
4m2m
TF
?
BxF
?
BzF
?
AyF
?
AzF
?
AxF
?
P
?
2TF?
1TF
?
0?? izM 04 ??? BxF 0?? BxF
TTTT FFFF 6
30
204
164c o s
1 ??
??? ?
TTTT FFFF 6
6
204
2s i n
2 ???? ?
0?? iyM 021 2 ???? TFP NPFF T
T 61 0 06
3
6
6 2 ???? (拉力 )
例 题 4 § 7 力系的平衡
?例题
0?? ixM 04242 ?????? BzT FPF
0422 0 061 0 06 6 ???????? BzF
0?? ixF 0
164
2
1 ????? TBxAx FFF
NF Ax 1 0 020261 0 0630 ?????
? ? 0iyF 02041 ??? TAy FF NF Ay 2 0 020461 0 0630 ?????
? ? 0izF 02 ???? BzTAz FFPF
NFPF TAz 1 0 06 661 0 02 0 06 6 ????????
A
CD
x
y
z
E
B
4m2m
TF
?
BxF
?
BzF
?
AyF
?
AzF
?
AxF
?
P
?
2TF?
1TF
?
A
CD
x
y
z
E
B
4m2m
TF
?
BxF
?
BzF
?
AyF
?
AzF
?
AxF
?
P
?
2TF?
1TF
?
例 题 4
§ 7 力系的平衡
?例题
解法二 分别取 AC,BC,AB,l1,l2,z 为矩轴：
l1l
2
0?? iACM 0?? BzF
0?? iBCM 024 ???? PF Az NPF Az 1 0 02 ???
0?? iABM 022 2 ???? TFP
NPF T 610066 ????
(拉力 )
01 ?? ilM 02
20
44
1 ????? TAx FF
NFF TAx 100202630 ?????
例 题 4
§ 7 力系的平衡
?例题
A
CD
x
y
z
E
B
4m2m
TF
?
BxF
?
ByF
?
AyF
?
AzF
?
AxF
?
P
?
2TF?
1TF
?
l1l
2
0?? izM
0?? BxF
04 ??BxF
02 ?? ilM 024 ???? AyAx FF
NFF AxAy 2002 ???
例 题 5
§ 7 力系的平衡
?例题
A
B
C
D E
q
P? 图示支架结构,AB=AC=BC=2l，
D,E分别为 AB,AC的中点，杆
DE上作用有三角形分布载荷,B
点作用有铅垂集中力,P = ql,
试求 DE杆在 D,E两处的约束力。
12
5
例 题 5 § 7 力系的平衡
?例题
A
B
C
D E
q
P?
q
解,刚体系统的平衡问题。1.受力分析：
根据所求，以杆 DE为研究对象取分离体：
4个未知力,3个方程；
DxF
?
DyF
?
EyF
?
ExF
?
以 BC杆为研究对象取分离体：
D E
BxF
?
ByF
?
B
C
E
CF
?EyF??
ExF?
?
增加 3个未知力,3个方程；
例 题 5
§ 7 力系的平衡
?例题
A
B
C
D E
q
P?
CF
?
AxF
?AyF
?
ql/2
以整体为研究对象取分离体：
增加 2 个未知力,3个方程； 共 9个未知力,9个方程。
2.以整体为研究对象，取 A点为矩心：
0?? iAM 0
6
7
22 ?????
lqlPllF
C 224
7
2
qlqlPF
C ????
(↑)
DxF
?
DyF
?
EyF
?
ExF
?
D E
BxF
?
ByF
?
B
C
E
CF
?EyF??
ExF?
?
q
例 题 5
§ 7 力系的平衡
?例题
2.以 BC杆为研究对象：
P?
A
B
C
D E
CF
?
AxF
?AyF
?
ql/2BxF?
ByF
?
B
C
E
CF
?EyF??
ExF?
?
)(
3
1
EyEx FqlF ?????
(1)
0?? iBM 0
22
3 ???????? lFlFlF
EyExC
例 题 5
§ 7 力系的平衡
?例题
3.以 DE杆为研究对象：
0?? iDM 0
3
2
2 ???? l
qllF
Ey 3
qlF
Ey ??
(↑)DxF?
DyF
?
EyF
?
ExF
?
D E
ql/2
qlFqlF EyEx
9
32)(
3
1 ??????由（ 1）式
（ ←）
? ? 0ixF 0?? ExDx FF qlFF ExDx 9 32?????
（负表
示 ← ）
02 ??? qlFF EyDy0?? iyF 632 qlqlqlF Dy ????
(↑)
qlF Ex 9 32??
(→)
例 题 6
§ 7 力系的平衡
?例题
F?
a
a
a
a a
A
B
C
D
E
G
H
M
支架结构受力如图，已知,M=Fa/2,
求铰支座 A,B处的约束力。
例 题 6
§ 7 力系的平衡
?例题
M
F?
F?
a
a
a
a a
A
B
C
D
E
G
H
M
解,1.受力分析
以整体为研究对象，
AxF
?AyF?
BxF
?
BxF
?
A,B处共 4个未知
力,3个独立方程；
例 题 6
§ 7 力系的平衡
?例题
F?
a
a
a
a a
A
B
C
D
E
G
H
M 以 ED杆为研究对象，
三力汇交，增加 1个未知力,2个独立方程；
取出 DC杆，为二力杆，
增加 2个未知力,1个
独立方程；
E D
DF
?
CF?
?
DF?
?
EF
? F?
例 题 6
§ 7 力系的平衡
?例题
F?
a
a
a
a a
A
B
C
D
E
G
H
M
取出 EHB杆为研究对象，
增加 2个未知力,3个
独立方程；
CF?
?
DF?
?
E D
DF
?EF? F?
E
H
BBxF
?
BxF
?
EF?
?
HxF
?
HxF
?
例 题 6
§ 7 力系的平衡
?例题
2.以整体为对象,列平衡方程
0?? iHM 0?????? aFMFaaF BxAy
(1)
0?? iyF 0??? FFF ByAy
(2)
0?? ixF 0?? BxAx FF
(3)
3.以 DC(二力杆 )为对象有,
CD FF ???
CF?
?
DF?
?
M
F?
AxF
?AyF?
BxF
?
BxF
?
H
E
A
B
C
D
例 题 6
§ 7 力系的平衡
?例题
E D
DF
?EF? F?
4.以 ED为对象,列平衡方程,
0?? iDM 02
2
2 ???? FaaF
E
FF E 22?? (↗ )
5.以 EHB为对象,列平衡方程,
0?? iHM 0
2
2 ?????? aFaF
BxE
22
2
2
2
2
2 FFFF
EBx ?????????
(负号表示 ←)
E
H
BBxF
?
BxF
?
EF?
?
HxF
?
HxF
?
例 题 6 § 7 力系的平衡
?例题
0?????? aFMFaaF BxAy (1)
0??? FFF ByAy (2)
0?? BxAx FF (3)
6.将求得的 代入式 (1),(2),(3):
2
FF
Bx ??
由 (1)式,
FaMFFF BxAy 2?????
(负号表示 ↓)
由 (2)式, FFFF
AyBy 3???
(↑)
由 (3)式,
2
FFF
BxAx ???
(→)
刚体系统平衡问题的求解思路
1.求解思路
（ 1）根据所求的未知约束力，先对所涉及的刚体
进行受力分析，找出其中的已知主动力、未知约束
力（要求的和不必求的）。分析未知力个数及独立
平衡方程个数。
（ 2）若缺少方程，再对未知约束力涉及的其他刚体
（或刚体系）取分离体，引入新的未知力并分析增
加的平衡方程个数。直到未知力个数与平衡方程个
数相等。
（ 3）对涉及的各分离体列出适当的平衡方程（注意
各方程的独立性），求出全部待求未知力。
2.关于独立的平衡方程个数
注意：刚体系统中如果每个刚体的平衡方程
全部成立，则整体的平衡方程为恒等式，不
再提供独立的方程。
3.注意利用矩形式的平衡方程，可通过选择适
当的矩心使得方程中尽量少出现未知力。
求解所用到的全部方程必须是相互独立的。
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(17)
§ 7 力系的平衡
（ 1）力系的平衡条件。
（ 2）求刚体系统平衡时的约束力或平衡时的位置。
（ 3）求桁架 (二力直杆系统）的内力。
（ 4）带有摩擦的平衡问题。
本章内容是静力学部分的核心，包括：
关于,平衡,的概
念（ 1）物体或物体系统的平衡 —— 相对于惯性参考
空间静止或匀速直线平移。
（ 2）平衡力系 —— 即零力系，力系的主矢和主矩
均为零。
★
★
注意 区分以下几个概念：
力系的平衡，单个刚体的平衡，刚体系的平衡，
变形体的平衡
（ 1）单个刚体的平衡 力系的平衡
力系的平衡单个刚体的平衡
（ 2）刚体系的平衡 力系的平衡
力系的平衡刚体系的平衡
（ 3）变形体的平衡 刚化后仍平衡 力系平衡
变形体的平衡 刚化后仍平衡 力系平衡
（ 4）仅在静力学中：
单个刚体的平衡 力系的平衡
§ 7,1 力系的平衡条件及平衡方程
1.空间力系的平衡方程
平衡力系所要满足的条件称为力系的平衡条件 ；
任意空间力系平衡的充要条件是：力系的主矢
和对任一确定点 O的主矩 全为零。
OM
?
RF
?
即
RF
?
OM
? ?
?
?
n
i
iO FM
1
)(
?? 0?
0??
?
?
n
i
iF
1
?
（ 7.1）
在 O点建立 Oxyz 直角坐标系，以上两个矢量方
程可写为 6个独立的代数方程：
O
Di iF?
RO FF
?? ?
OM
?
x
y
z
l1
l3
l2
0,0,0
0,0,0
111
111
???
???
???
???
???
???
n
i
iz
n
i
iy
n
i
ix
n
i
iz
n
i
iy
n
i
ix
MMM
FFF
(7.2)注意
（ 1）解题时，矩心 O可任选；力的投影轴、取矩
轴也可斜交；力的投影轴、取矩轴也可不一致，
但要保证 6个方程是独立的。
（ 2）巧妙选择投影轴、取矩轴，可使每个方程只
含一个未知量，避免解联立方程组。
（ 3）任意空间力系，独立的力的投影方程只
有 3个，但矩方程最多可有 6个。
特殊的空间力系及独立平衡方程个数：
（ 1）空间汇交力系 —— 3个独立方程
0)( ?? ? iO FM ??
∵ 各力交于 O点
平衡方程仅有
0?? ? iR FF ??
即 ??? ??? 0,0,0
iziyix FFF
（ 2）空间力偶系 —— 3个独立方程
iF
?
O
3F
?
2F
?
1F
?
iM
?
O
3M
?
2M
?
1M
?
0?? ? iR FF ???
平衡方程仅有
0?? ? iO MM ??
即 ??? ??? 0,0,0
iziyix MMM
（ 3）空间平行力系
x
y
z
设各力平行于 z 轴，则有
0,0,0 ??? ??? iziyix MFF
平衡方程仅有
??? ??? 0,0,0 iyixiz MMF
— 3个独立方程
（ 4）其他
例如：空间各力与某轴 l 相交
l
—— 仅有 5个独
立的平衡方程
各力对 l 轴之矩恒为零
iF
?
O
3F
?
2F
?
1F
?
2.平面任意力系的平衡方程
（ 1）在平面内任取点 A：
x
y
O
iF
?各力均位于 Oxy平面内，故平衡
方程（ 7.1）中
0,0,0 ??? ??? iyixiz MMF
A
0
1
??
?
n
i
ixF 0
1
??
?
n
i
iyF 0)(
1
??
?
n
i
iA FM
?
称它为平面力系平衡方程的基本形式。由于其中只
有一个力矩式，故常称一矩式。
一矩式 (7.4)
故平面任意力系的平衡方程为：
0,0,0 ??? ??? iziyix MFF
(7.3)
平面任意力系的平衡方程还有以下三种常用形式：
（ 2）在平面上任取 A,B两点及不垂直于 AB连线的 x轴：
由力系平衡 0?RF? 0)(
1
?? ?
?
n
i
iOO FMM
?
因此，对任一轴 x，
0
1
??
?
n
i
ixF
且
0)()(
11
??????
???? ??
??
R
n
i
iO
n
i
iA FAOFMFM
同理
0)(
1
??
?
n
i
iB FM
? 必要性得证。
二矩式
0)(
1
??
?
n
i
iA FM
?
0)(
1
??
?
n
i
iB FM
? 0
1
??
?
n
i
ixF
且 x轴与 不垂直AB
(7.5)
证明, 已知平面力系平衡，证明二矩式成立。(a)必要性：
x
A
B
iF
?
O
(b)充分性,二矩式成立，则平面力系平衡。
由
0)(
1
?? ?
?
n
i
iAA FMM
? 0)(
1
?? ?
?
n
i
iBB FMM
?
将 A,B 点视为简化中心,则力系不可能简化为力偶，
而只能是通过 A,B两点的合力。
又由于 x 轴与 不垂直，AB
若 不为零，则其在 x 轴的投影必不
为零； RF
?
这与 矛盾。
0
1
?? ?
?
n
i
ixRx FF
所以
0?RF?
x
A
B
RF
?
充分性得证。
(3)在平面上任取三点 A,B,C不共线,
上述三组方程，每组中独立的平衡方程的个数均为 3，
若找到第四个方程，则必是前 3个方程的线性组合，
不是独立的。
因此，对于 单个刚体, 在平面力系作用下的平衡
问题，只能写出 3个独立的平衡方程,求解 3个未
知量；当未知量超过 3个时，问题无法求解。
例如,1F?
三矩式
0)(
1
??
?
n
i
iA FM
?
0)(
1
??
?
n
i
iB FM
?
0)(
1
??
?
n
i
iC FM
? (7.6)
2F
?
1F
?
2F
?
3、特殊平面力系的平衡方程
（ 1）平面汇交力系,设汇交点为 A
0)(
1
??
?
n
i
iB FM
? 0)(
1
??
?
n
i
iC FM
?或
(A,B,C
三点不共线 )
0
1
??
?
n
i
iM
0
1
??
?
n
i
ixF 0)(
1
??
?
n
i
iB FM
?或
（ AB连线不
垂直于 x轴）
（ 2）平面力偶系,（各力偶 Mi作用面相互平行即可）
0
1
??
?
n
i
ixF 0
1
??
?
n
i
iyF
两个独立方程！
一个独立方程！
A x
y
BC
（ 3）平面平行力系：
设各力与 y 轴平行
0
1
??
?
n
i
iyF 0)(
1
??
?
n
i
iA FM
?
O x
y
iF
?
nF
?
1F
?
或
0)(
1
??
?
n
i
iA FM
?
0)(
1
??
?
n
i
iB FM
?
其中 与各 不平行。AB
iF
? 两个独立方程！
A
B
例 题 1
§ 7 力系的平衡
?例题
a ?
l
F
r
r
Q??
Q?
A B
求 A,B处的约束力。
QQ ?? ???
已知支架受力如图，
其中,
解：取梁 AB为分离体，画受力图。
由
0)(
1
??
?
n
i
iA FM
?
例 题 1 § 7 力系的平衡
?例题
a ?
l
F
r
r
Q??
Q?
A B
A B
F
Qr2
列出该梁的平衡方程。
lF NB ??co s Fa? Qr2? 0?
（以逆时针为正）
选矩心为 A点：
AyF
?
AxF
?
NBF?
?c o s
2
l
QrFa ?? (方向如图 )
（平面任意力系 3个独立方程）
?
NBF
?
例 题 1
§ 7 力系的平衡
?例题
若取矩心为 B点，则有：
0)(
1
??
?
n
i
iB FM
?
02)( ?????? QralFlF Ay
该式不再独立，可作为校核。
?
BN
?
A B
F
Qr2
AyF
?
AxF
?AxF? ?tg2l QrFa ??
(→)
AyF?
l
QralF 2)( ??? (↑)
0
1
??
?
n
i
ixF
0s in ?? ?NBAx FF由
由
0
1
??
?
n
i
iyF
0c o s ??? FFF NBAy ?
求一端固支、一端自由的梁 (悬臂
梁 )固支端的约束力。 A
B
l
q
解：取 AB为分离体，画出受力图。
AM
AyF
?
AxF
?
Q?
由
0
1
??
?
n
i
ixF
AxF?
0?
由
0
1
??
?
n
i
iyF
AyF
Q? 0?
由
0)(
1
??
?
n
i
iA FM
? 0
2
?? lQM A
例 题 2
§ 7 力系的平衡
?例题
均布载荷（同向平行力系）合力为 Q?
AyF?
Q? ql? (↑)
AM Ql21? 22
1 ql? (?)
A B
例 题 3
§ 7 力系的平衡
?例题
起重机的配重问题
已知轨距 b＝ 3m，机重
G＝ 500kN,e ＝ 1.5m,
最大起重量 P＝ 250kN，
l =10m,a =6m。求起
重机满载与空载时均不
翻倒的配重 Q值。 A B
b
l
a e
Q?
G?
P?
解, (1)满载情况 P =250kN;
取起重机为分离体画受力图，
0)(
1
??
?
n
i
iB FM
?
0)( ????? PlGebNbaQ A
满载不翻倒限制条件
0?AN
0?
b
PlGebaQ ???? )(AN
G?
则 Q
ba
GePl
?
?? =361kN
A B
b
l
a e
AN
?
BN
?
P?
Q?
例 题 3
§ 7 力系的平衡
?例题
平面平行力系,2个独立方程，
以 B点为矩心：
(2)空载情况,P =0
0)(
1
??
?
n
i
iA FM
?
0)( ???? ebGbNQa B
0?BN空载不翻倒限制条件
BN
b
QaebG ??? )( 0?
Q
a
ebG )( ?? =375kN
?? Q
361kN 375kN∴
G?
A B
b
l
a e
AN
?
BN
?
Q?
例 题 3 § 7 力系的平衡
?例题
以 A点为矩心：
例 题 4
§ 7 力系的平衡
?例题
均质长方形薄板，重量
P=200N，角 A由光滑球
铰链固定，角 B处嵌入
固定的光滑水平滑槽内，
滑槽约束了角 B在 x,z方
向的运动,EC为钢索，
将板支持在水平位置上，
试求板在 A,B处的约
束力及钢索的拉力。
A
CD
x
y
z
E
B
4m2m
例 题 4
§ 7 力系的平衡
?例题
A
CD
x
y
z
E
B
4m2m
解：
1.以板为对象画出受力图，
A
CD
x
y
z
E
B
4m2m
TF
?
BxF
?
BzF
?
AyF
?
AzF
?
AxF
?
P
例 题 4
§ 7 力系的平衡
?例题
2.列出板的平衡方程
解法一
空间任意力系,6个独立方程。
A
CD
x
y
z
E
B
4m2m
TF
?
BxF
?
BzF
?
AyF
?
AzF
?
AxF
?
P
?
2TF?
1TF
?
0?? izM 04 ??? BxF 0?? BxF
TTTT FFFF 6
30
204
164c o s
1 ??
??? ?
TTTT FFFF 6
6
204
2s i n
2 ???? ?
0?? iyM 021 2 ???? TFP NPFF T
T 61 0 06
3
6
6 2 ???? (拉力 )
例 题 4 § 7 力系的平衡
?例题
0?? ixM 04242 ?????? BzT FPF
0422 0 061 0 06 6 ???????? BzF
0?? ixF 0
164
2
1 ????? TBxAx FFF
NF Ax 1 0 020261 0 0630 ?????
? ? 0iyF 02041 ??? TAy FF NF Ay 2 0 020461 0 0630 ?????
? ? 0izF 02 ???? BzTAz FFPF
NFPF TAz 1 0 06 661 0 02 0 06 6 ????????
A
CD
x
y
z
E
B
4m2m
TF
?
BxF
?
BzF
?
AyF
?
AzF
?
AxF
?
P
?
2TF?
1TF
?
A
CD
x
y
z
E
B
4m2m
TF
?
BxF
?
BzF
?
AyF
?
AzF
?
AxF
?
P
?
2TF?
1TF
?
例 题 4
§ 7 力系的平衡
?例题
解法二 分别取 AC,BC,AB,l1,l2,z 为矩轴：
l1l
2
0?? iACM 0?? BzF
0?? iBCM 024 ???? PF Az NPF Az 1 0 02 ???
0?? iABM 022 2 ???? TFP
NPF T 610066 ????
(拉力 )
01 ?? ilM 02
20
44
1 ????? TAx FF
NFF TAx 100202630 ?????
例 题 4
§ 7 力系的平衡
?例题
A
CD
x
y
z
E
B
4m2m
TF
?
BxF
?
ByF
?
AyF
?
AzF
?
AxF
?
P
?
2TF?
1TF
?
l1l
2
0?? izM
0?? BxF
04 ??BxF
02 ?? ilM 024 ???? AyAx FF
NFF AxAy 2002 ???
例 题 5
§ 7 力系的平衡
?例题
A
B
C
D E
q
P? 图示支架结构,AB=AC=BC=2l，
D,E分别为 AB,AC的中点，杆
DE上作用有三角形分布载荷,B
点作用有铅垂集中力,P = ql,
试求 DE杆在 D,E两处的约束力。
12
5
例 题 5 § 7 力系的平衡
?例题
A
B
C
D E
q
P?
q
解,刚体系统的平衡问题。1.受力分析：
根据所求，以杆 DE为研究对象取分离体：
4个未知力,3个方程；
DxF
?
DyF
?
EyF
?
ExF
?
以 BC杆为研究对象取分离体：
D E
BxF
?
ByF
?
B
C
E
CF
?EyF??
ExF?
?
增加 3个未知力,3个方程；
例 题 5
§ 7 力系的平衡
?例题
A
B
C
D E
q
P?
CF
?
AxF
?AyF
?
ql/2
以整体为研究对象取分离体：
增加 2 个未知力,3个方程； 共 9个未知力,9个方程。
2.以整体为研究对象，取 A点为矩心：
0?? iAM 0
6
7
22 ?????
lqlPllF
C 224
7
2
qlqlPF
C ????
(↑)
DxF
?
DyF
?
EyF
?
ExF
?
D E
BxF
?
ByF
?
B
C
E
CF
?EyF??
ExF?
?
q
例 题 5
§ 7 力系的平衡
?例题
2.以 BC杆为研究对象：
P?
A
B
C
D E
CF
?
AxF
?AyF
?
ql/2BxF?
ByF
?
B
C
E
CF
?EyF??
ExF?
?
)(
3
1
EyEx FqlF ?????
(1)
0?? iBM 0
22
3 ???????? lFlFlF
EyExC
例 题 5
§ 7 力系的平衡
?例题
3.以 DE杆为研究对象：
0?? iDM 0
3
2
2 ???? l
qllF
Ey 3
qlF
Ey ??
(↑)DxF?
DyF
?
EyF
?
ExF
?
D E
ql/2
qlFqlF EyEx
9
32)(
3
1 ??????由（ 1）式
（ ←）
? ? 0ixF 0?? ExDx FF qlFF ExDx 9 32?????
（负表
示 ← ）
02 ??? qlFF EyDy0?? iyF 632 qlqlqlF Dy ????
(↑)
qlF Ex 9 32??
(→)
例 题 6
§ 7 力系的平衡
?例题
F?
a
a
a
a a
A
B
C
D
E
G
H
M
支架结构受力如图，已知,M=Fa/2,
求铰支座 A,B处的约束力。
例 题 6
§ 7 力系的平衡
?例题
M
F?
F?
a
a
a
a a
A
B
C
D
E
G
H
M
解,1.受力分析
以整体为研究对象，
AxF
?AyF?
BxF
?
BxF
?
A,B处共 4个未知
力,3个独立方程；
例 题 6
§ 7 力系的平衡
?例题
F?
a
a
a
a a
A
B
C
D
E
G
H
M 以 ED杆为研究对象，
三力汇交，增加 1个未知力,2个独立方程；
取出 DC杆，为二力杆，
增加 2个未知力,1个
独立方程；
E D
DF
?
CF?
?
DF?
?
EF
? F?
例 题 6
§ 7 力系的平衡
?例题
F?
a
a
a
a a
A
B
C
D
E
G
H
M
取出 EHB杆为研究对象，
增加 2个未知力,3个
独立方程；
CF?
?
DF?
?
E D
DF
?EF? F?
E
H
BBxF
?
BxF
?
EF?
?
HxF
?
HxF
?
例 题 6
§ 7 力系的平衡
?例题
2.以整体为对象,列平衡方程
0?? iHM 0?????? aFMFaaF BxAy
(1)
0?? iyF 0??? FFF ByAy
(2)
0?? ixF 0?? BxAx FF
(3)
3.以 DC(二力杆 )为对象有,
CD FF ???
CF?
?
DF?
?
M
F?
AxF
?AyF?
BxF
?
BxF
?
H
E
A
B
C
D
例 题 6
§ 7 力系的平衡
?例题
E D
DF
?EF? F?
4.以 ED为对象,列平衡方程,
0?? iDM 02
2
2 ???? FaaF
E
FF E 22?? (↗ )
5.以 EHB为对象,列平衡方程,
0?? iHM 0
2
2 ?????? aFaF
BxE
22
2
2
2
2
2 FFFF
EBx ?????????
(负号表示 ←)
E
H
BBxF
?
BxF
?
EF?
?
HxF
?
HxF
?
例 题 6 § 7 力系的平衡
?例题
0?????? aFMFaaF BxAy (1)
0??? FFF ByAy (2)
0?? BxAx FF (3)
6.将求得的 代入式 (1),(2),(3):
2
FF
Bx ??
由 (1)式,
FaMFFF BxAy 2?????
(负号表示 ↓)
由 (2)式, FFFF
AyBy 3???
(↑)
由 (3)式,
2
FFF
BxAx ???
(→)
刚体系统平衡问题的求解思路
1.求解思路
（ 1）根据所求的未知约束力，先对所涉及的刚体
进行受力分析，找出其中的已知主动力、未知约束
力（要求的和不必求的）。分析未知力个数及独立
平衡方程个数。
（ 2）若缺少方程，再对未知约束力涉及的其他刚体
（或刚体系）取分离体，引入新的未知力并分析增
加的平衡方程个数。直到未知力个数与平衡方程个
数相等。
（ 3）对涉及的各分离体列出适当的平衡方程（注意
各方程的独立性），求出全部待求未知力。
2.关于独立的平衡方程个数
注意：刚体系统中如果每个刚体的平衡方程
全部成立，则整体的平衡方程为恒等式，不
再提供独立的方程。
3.注意利用矩形式的平衡方程，可通过选择适
当的矩心使得方程中尽量少出现未知力。
求解所用到的全部方程必须是相互独立的。
