工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(21)
§ 9 变形体静力学概述及
一般杆件的内力分析
§ 9.1 变形固体静力学概述
变形固体静力学的任务：
对象 —— 工程中的各种构件、结构 —— 变形体
目的 —— 构件与结构能正常安全地工作
内容
强度：构件受外力不破坏
刚度：构件具有抵抗变形的能力
稳定性：构件保持原有平衡状态的能力
安全 经济一对矛盾
§ 9.2 变形固体基本假设
1.连续性
变形前，变形后，不开裂，不相入
变形前的一个点 —— 变形后仍为一个点
变形前的一条线 —— 变形后仍为一条线
2.均匀性
固体内各点处的力学性能相同
3.各向同性
固体内任意一点沿各个方向的力学性能相同
注意区别均匀性和各向同性
4.小变形
一般要求：最大变形小于最小尺寸
—— 变形后的平衡可按变形前的位置计算
—— 计算变形量时可略去高阶小量
§ 9.3 杆件变形的基本形式
1.构件分类
杆 板 壳 块
2,简图
（ 1） 杆的几何特性：
轴线, 横截面, 形
心, 轴线过横截面
的形心, 横截面与
轴线垂直, 杆可用
其轴线表示 。
轴线
形心
（ 2）载荷（外力）
包括：主动力，约束力
横截面
（ 3）载荷分类
静载 —— 外力从零缓慢增加至终值后保持不变
动载 —— 外力随 t 变化或构件运动
（ 4）载荷作用方式
分布载荷 —— 线分布集度 q(x),[力 ]/[长度 ]
面分布集度 q(x,y), [力 ]/[长度 ]2
集中载荷 —— 集中力，集中力偶
（ 5）约束条件 —— 各种支座、铰链
3.杆件变形的基本形式
(1)轴向拉伸或压缩 (常称为杆）,
?
1F
?
2F ?
3F
拉伸（压缩）演示
拉伸（压缩）演示
1M 2M
(3)扭转 （ 常称为轴 ）,
(2)剪切,
F
F
F
F
剪 切 演 示 （单剪切）
剪 切 演 示 （ 双剪切 ）
扭 转 演 示
矩 形 扭 转
4,弯曲 （ 常称为梁 ）,
F
q M
杆件的变形由上述几种基本变形组合而成时,
称为组合变形 。
变形体静力学主要研究 杆件的拉（压）、扭、弯和
组合变形
§ 9.4 一般杆件的内力分析
引起 内力
变形体产生变形的原因：
产生变形
变形体的分析思路：
载荷、温度湿度
变化、尺寸误差外力 ( )
找出外力 求出内力 求出变形
截面法 （对静定杆件）
内力 —— 在外力的作用下构件一部分对另一部分的
作用力。
载荷 —— 包括主动力和约束力
对特殊的杆件 —— 桁 架中的二力杆：
FN FN
1.一般杆件的内力分量及分类
横截面上只有轴向拉力或压力
—— 用截面法：
对一般杆件 —— 非二力杆
M??
RF?
?
A C
A
BC
BC
RF
?
M?
对截面 C用截面法
M??
RF?
?
A C BCRF
?
M?
建立杆件横截面形心直角坐标系，
RF
?
横截面分
布内力系
的主矢
x
y
z
向坐标轴投影
x方向分量
y方向分量
z方向分量
—— 轴力 FN
合力为 剪力 FS
横截面分
布内力系
的主矩 M?
—— 扭矩 Tx方向分量
y方向分量
z方向分量 合力矩为 弯矩 M
NF
SF
M
T
截
面
的
内
力
分
量
2.内力方程 内力图
以 x坐标表示不同位置的横截面，则该
横截面上的内力分量可表示为：
FN=FN(x), FS=FS(x)
T=T(x), M=M(x)
内力方程 （ 9.1）
将内力方程用函数图形表示出来 —— 内力图
注意 （ 1）内力方程常分段用不同的函数表示
（ 2）分段点也称为控制面，通常,以集中
外力作用点或分布外力集度突变处为分段点
（ 3）根据分段点，分别对每一段杆件运用
截面法列出该段的内力方程
若无特别说明,x轴原点在最左端截面，向右为正
3.轴力方程 轴力图
AB段在 n-n处切开, 取左半或右
半为分离体, 用内力 FN1替代
B CA
1P
2P
3P
n
n
m
m
1NF
1P
n
n
2P
3P
n
n
m
m
3P
2P
1P
m
m
1NF
2NF
2NF
轴力的符号规定：拉为正
压为负
（ 1）分段：分为 AB,BC两段
（ 2）对各段用截面法,
对左半段列平衡方程：
111 )( PxF N ?
BC段在 m-m处切开, 取左半或右
半为分离体, 用内力 FN2替代
对右半段列平衡方程：
322 )( PxF N ??
xx
1
x2
1P
3P
CA
1P
2P
3P
Ba l111 )( PxF N ?
322 )( PxF N ??
轴力方程为：
ax ?? 10
lxa ?? 2
画出轴力图如图。
注意 内力图的规定：
（ 2）内力图与原杆件上下对齐，可不画坐标轴
（ 1） 标出特征点内力的绝对值
（ 3）图的内部打上竖直线，内力的符号用 填入
截面法的步骤：
（ 1）切开 （ 2）代替 （ 3）平衡
未知的内力分量一律假设为该内力的正方向
(FN)
AM
4.扭矩方程 扭矩图
扭矩的符号规定：扭矩矢量
方向与截面外法线方向一致
为正，反之为负
（ 1）求出固定端 A的约束力偶：
a b
A CB
0m
n
n
AM
bmM A 0? 方向如图
（ 2）分段：分为 AB,BC两段
AB段用 n-n截面切开，去
掉右半段，用 T (x1)代替
n
n
x1平衡方程,T(x1)=MA=m0b
m0
x2
)( 1xT
)( 2xT
m
m
BC段用 m-m截面切开，去
掉左半段，用 T (x2)代替
平衡方程,T(x2)=m0(a+b-x2)
扭矩图如图
CBA
bm0
)(T
a b
A CB
0mT(x1)=MA=m0b (0<x1? a)
T(x2)=m0(a+b-x2) (a ? x1? a+b)
扭矩方程为：
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(21)
§ 9 变形体静力学概述及
一般杆件的内力分析
§ 9.1 变形固体静力学概述
变形固体静力学的任务：
对象 —— 工程中的各种构件、结构 —— 变形体
目的 —— 构件与结构能正常安全地工作
内容
强度：构件受外力不破坏
刚度：构件具有抵抗变形的能力
稳定性：构件保持原有平衡状态的能力
安全 经济一对矛盾
§ 9.2 变形固体基本假设
1.连续性
变形前，变形后，不开裂，不相入
变形前的一个点 —— 变形后仍为一个点
变形前的一条线 —— 变形后仍为一条线
2.均匀性
固体内各点处的力学性能相同
3.各向同性
固体内任意一点沿各个方向的力学性能相同
注意区别均匀性和各向同性
4.小变形
一般要求：最大变形小于最小尺寸
—— 变形后的平衡可按变形前的位置计算
—— 计算变形量时可略去高阶小量
§ 9.3 杆件变形的基本形式
1.构件分类
杆 板 壳 块
2,简图
（ 1） 杆的几何特性：
轴线, 横截面, 形
心, 轴线过横截面
的形心, 横截面与
轴线垂直, 杆可用
其轴线表示 。
轴线
形心
（ 2）载荷（外力）
包括：主动力，约束力
横截面
（ 3）载荷分类
静载 —— 外力从零缓慢增加至终值后保持不变
动载 —— 外力随 t 变化或构件运动
（ 4）载荷作用方式
分布载荷 —— 线分布集度 q(x),[力 ]/[长度 ]
面分布集度 q(x,y), [力 ]/[长度 ]2
集中载荷 —— 集中力，集中力偶
（ 5）约束条件 —— 各种支座、铰链
3.杆件变形的基本形式
(1)轴向拉伸或压缩 (常称为杆）,
?
1F
?
2F ?
3F
拉伸（压缩）演示
拉伸（压缩）演示
1M 2M
(3)扭转 （ 常称为轴 ）,
(2)剪切,
F
F
F
F
剪 切 演 示 （单剪切）
剪 切 演 示 （ 双剪切 ）
扭 转 演 示
矩 形 扭 转
4,弯曲 （ 常称为梁 ）,
F
q M
杆件的变形由上述几种基本变形组合而成时,
称为组合变形 。
变形体静力学主要研究 杆件的拉（压）、扭、弯和
组合变形
§ 9.4 一般杆件的内力分析
引起 内力
变形体产生变形的原因：
产生变形
变形体的分析思路：
载荷、温度湿度
变化、尺寸误差外力 ( )
找出外力 求出内力 求出变形
截面法 （对静定杆件）
内力 —— 在外力的作用下构件一部分对另一部分的
作用力。
载荷 —— 包括主动力和约束力
对特殊的杆件 —— 桁 架中的二力杆：
FN FN
1.一般杆件的内力分量及分类
横截面上只有轴向拉力或压力
—— 用截面法：
对一般杆件 —— 非二力杆
M??
RF?
?
A C
A
BC
BC
RF
?
M?
对截面 C用截面法
M??
RF?
?
A C BCRF
?
M?
建立杆件横截面形心直角坐标系，
RF
?
横截面分
布内力系
的主矢
x
y
z
向坐标轴投影
x方向分量
y方向分量
z方向分量
—— 轴力 FN
合力为 剪力 FS
横截面分
布内力系
的主矩 M?
—— 扭矩 Tx方向分量
y方向分量
z方向分量 合力矩为 弯矩 M
NF
SF
M
T
截
面
的
内
力
分
量
2.内力方程 内力图
以 x坐标表示不同位置的横截面，则该
横截面上的内力分量可表示为：
FN=FN(x), FS=FS(x)
T=T(x), M=M(x)
内力方程 （ 9.1）
将内力方程用函数图形表示出来 —— 内力图
注意 （ 1）内力方程常分段用不同的函数表示
（ 2）分段点也称为控制面，通常,以集中
外力作用点或分布外力集度突变处为分段点
（ 3）根据分段点，分别对每一段杆件运用
截面法列出该段的内力方程
若无特别说明,x轴原点在最左端截面，向右为正
3.轴力方程 轴力图
AB段在 n-n处切开, 取左半或右
半为分离体, 用内力 FN1替代
B CA
1P
2P
3P
n
n
m
m
1NF
1P
n
n
2P
3P
n
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m
m
3P
2P
1P
m
m
1NF
2NF
2NF
轴力的符号规定：拉为正
压为负
（ 1）分段：分为 AB,BC两段
（ 2）对各段用截面法,
对左半段列平衡方程：
111 )( PxF N ?
BC段在 m-m处切开, 取左半或右
半为分离体, 用内力 FN2替代
对右半段列平衡方程：
322 )( PxF N ??
xx
1
x2
1P
3P
CA
1P
2P
3P
Ba l111 )( PxF N ?
322 )( PxF N ??
轴力方程为：
ax ?? 10
lxa ?? 2
画出轴力图如图。
注意 内力图的规定：
（ 2）内力图与原杆件上下对齐，可不画坐标轴
（ 1） 标出特征点内力的绝对值
（ 3）图的内部打上竖直线，内力的符号用 填入
截面法的步骤：
（ 1）切开 （ 2）代替 （ 3）平衡
未知的内力分量一律假设为该内力的正方向
(FN)
AM
4.扭矩方程 扭矩图
扭矩的符号规定：扭矩矢量
方向与截面外法线方向一致
为正，反之为负
（ 1）求出固定端 A的约束力偶：
a b
A CB
0m
n
n
AM
bmM A 0? 方向如图
（ 2）分段：分为 AB,BC两段
AB段用 n-n截面切开，去
掉右半段，用 T (x1)代替
n
n
x1平衡方程,T(x1)=MA=m0b
m0
x2
)( 1xT
)( 2xT
m
m
BC段用 m-m截面切开，去
掉左半段，用 T (x2)代替
平衡方程,T(x2)=m0(a+b-x2)
扭矩图如图
CBA
bm0
)(T
a b
A CB
0mT(x1)=MA=m0b (0<x1? a)
T(x2)=m0(a+b-x2) (a ? x1? a+b)
扭矩方程为：
