工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(19)
§ 8 虚位移原理
关于本章内容：属于分析力学体系
矢量力学 (矢量物理量,动量 动量矩 ) LKMFavr ?????????,,,,,,,,??
牛顿 (I,Newton,1642-1727)
分析力学 (标量物理量：广义坐标,广义速度,能量
T,V,功 W )
iq iq?
拉格朗日 (J.-L,Lagrange,1736-1813)
本章将虚位移原理用于静力学平衡问题。
优点：可避开不必求的许多中间未知约束力。
—— 牛顿三定律
—— 虚位移原理
§ 8,1 位形、约束方程及约束分类
1.质点系的位形
2,约束方程及分类
用数学方程式表示的约束条件，称为约束方程。
系统自由度 其中 l 为独立的完整约束方程数。lnk ?? 3
n个自由质点组成的质点系 —— 任一质点 的位置
可由其直角坐标 确定，称这 3n个
坐标的集合为该质点系的位形，位形给定则质点系
中每一质点的位置就可确定。
iD
iii zyx,,
)~1( ni ?
n个质点的非自由质点系 —— 设自由度,
可用广义坐标 确定质点系的位形：
nk 3?
kqq ~1
),,,,( 21 tqqqxx kii ??
),,,,( 21 tqqqrr kii ??? ?或
(8.1)
(8.2)
ni,...,1?
ni 3,...1?
位形
),( yx
例 2,质点在曲面上运动。
位形 ),,( zyx
约束方程即曲面方程 0),,( ?zyxf （ 2）
例 1.质点在平面的槽内运动。 y
xO
),( yxM
1?k自由度
2?k自由度
例 3,质点 A,B用绳子相连，且绳长 l = l (t ).
x
y B
A ?x
A
广义坐标可选择 ???
21,qxq A
位形 (xA,yA,xB,yB)
约束方程 0?y （ 1）
约束方程
)()()( 222 tlyyxx BABA ????
yA= 0 （ 3）
（ 4）
自由度 k = 2
M
根据研究目的的不同，约束可有不同的分类方式：
双面约束
单面约束
— 如约束方程 0?y 0),,( ?zyxf yA= 0
— 如约束方程 )()()( 222 tlyyxx
BABA ????
完整约束
非完整约束
— 只涉及位形
— 还涉及速度且不可积分
定常约束（不显含时间 t）
非定常约束（显含时间 t）
— 如约束方程 0?y 0),,( ?zyxf yA= 0
— 如约束方程 )()()( 222 tlyyxx
BABA ????
几何约束
运动约束
— 只约束位形
— 除约束位形外还约束速度
§ 8.2 实位移 虚位移
1,位移
M
r?
x3
x1
x2O
质点 M的位移,
idxrd
?
质点系的位移,n个质点,k个自由度
nk 3?
广义坐标
kqq ~1
质点系的位形
),,,,( 21 tqqqxx kii ??
),,,,( 21 tqqqrr kii ??? ? (8.1)
(8.2)
),,2,1( ni ??
)3,,2,1( ni ??
),,2,1( ni ??
dt
t
rdq
q
rrd ik
i
j
j
i
i ?
??
?
?? ?
?
???
1
dt
t
xdq
q
xdx ik
i
j
j
i
i ?
??
?
?? ?
? 1
)3,,2,1( ni ??
(8.3)
(8.4)
质点
系的
位移
其中 ),.,,,2,1(,ksdq
S ?
广义位移 （ dt时间 qS的增量）
2.实位移
3,虚位移
若质点系的位移或广义位移满足以下 2个条件：
（ 1）满足质点系的约束条件
（ 2）满足质点系的动力学方程及初始条件
则称其为实位移或广义实位移。
实位移是惟一确定的真实位移。
若质点系的位移或广义位移只满足质点系的约束条件，
就称为虚位移或广义虚位移。
虚位移是系统约束允许的任意假想位移，
与主动力无关，与时间无关，且不惟一。
实位移表示为：
),,2,1( ni ??
dt
t
rdq
q
rrd ik
i
j
j
i
i ?
??
?
?? ?
?
???
1
dt
t
x
dq
q
x
dx i
k
i
j
j
i
i ?
?
?
?
?
? ?
? 1
)3,,2,1( ni ??
虚位移表示为：
j
k
j j
i
i qq
rr ?? ?
? ?
??
1
?? ),,2,1( ni ??
j
k
j j
i
i qq
xx ?? ?
? ?
??
1
)3,,2,1( ni ??
(8.5)
(8.6)
虚位移 又称为 的变分 (等时变分）。
ir
??
jq?
、
ir
? jq、
实位移与虚位移间的关系：
例如：当质点在某瞬时处于静止时,0?
ird
?
但
ir??
不一定为 0
在定常几何约束情况下，实位移为多个虚位移中的一个。
例如：
M
ird?
ir??
ir??
ir?? P
A
O
A
A
Ard?
Ar?? A
r??
本章为静力学，仅限于讨论定常、几何约束情况。
但在非定常和运动约束情况下则不然。
x
y
O
M
D
v?
tD
r??
dy
Drd
?
vdt
例如：
对自由度为 k的质点系（刚体或刚体系）
位形
ii xr,
? 各点 虚位移 或 不独立ir?? ix?
注意
广义坐标位形
),2,1( kjq j ??
),2,1( kjq j ???广义虚位移 独立
将各点虚位移 或 用独立的广义虚位移表示出来。ir??
ix?
4,单个刚体上各点的虚位移之间关系表示方法
与刚体上各点的速度关系类似 虚速度法
Ci rr
?? ?? ?
任意点的虚
位移均相等平动刚体 Cr
??
c
ir
??
??
ir
??
i?
定
轴
转
动
???? ?? iir?
方向如图
??
定轴转动刚体的虚转角
A
B
刚体一般平面运动
P
??
?
Mr
??
M
??
刚体该瞬时的虚转角
② 虚位移投影关系
刚体该瞬时的速度瞬心为 P
??? ?? PMr M?
方向如图
①
Ar??
Br??
? ? ? ?ABBABA rr ?? ?? ?
③ 两点间虚位移的关系
A
B
Br
??Ar??
BAr
?? BAAB rrr
??? ??? ??
??? ?? ABr BA?
方向如图
??
5,刚体系统各点虚位移之间的关系
找出各点虚位移关系的方法：解析法和几何法。
（ 1）解析法：将各点坐标用广义坐标表示，再求变分。
j
k
j j
i
i qq
rr ?? ?
? ?
??
1
?? ),,2,1( ni ??
j
k
j j
i
i qq
xx ?? ?
? ?
??
1
)3,,2,1( ni ??
(8.5)
(8.6)
（ 2）几何法（虚速度法）
类比于 § 2, § 3章中的速度分析方法（将速
度矢量改为虚位移矢量）。
例 题 1 § 8 虚位移原理
?例题
?A
B
C
D E
F 刚体系统如图所示，
AE=DB=2DF=2EF=2l
C为 AE和 DB的中点，
求 F 和 B两点虚位移的
关系。
例 题 1 § 8 虚位移原理
?例题
?A
B
C
D E
F
解,1.解析法
建立 xy坐标系，选择广义坐标 ?
写出 B,F点的位形：
x
y
?c o s2 lx B ?
0?By
?c o slx F ?
?s in3 ly F ?
求变分可得：
? ? ?? s i n2 lx B ??
0?By?
? ? ?? s i nlx F ??
? ? ?? co s3 ly F ?
例 题 1 § 8 虚位移原理
?例题
jyixrixr FFFBB ????? ????? ????
或以 为广义虚位移，
则 F点的虚位移表示为 Br?
2
1
s in2
s in ?
?
??
? ? ?
? ? ?
?
?
l
l
r
x
B
F
?
? ? ?
? ? ?
?
? c o t
2
3
s in2
c o s3 ??
?
?
l
l
r
y
B
F
?A
B
C
D E
F
x
y
故
BF rx ?? 2
1?
BF ry ??? c o t2
3??
例 题 1 § 8 虚位移原理
?例题
?A
B
C
D E
F
x
y
2.几何法
Br
??
Cr
??
Er
??
Dr
??
FEr
??
FDr
??
E点为杆 DB的速度瞬心。
方向 ? ? ? ?
大小 ?？ ?？
可解出 与
的关系
Br
??
Fr
??
FEEFDD rrrr
???? ???? ????
Fr
??
例 题 2 § 8 虚位移原理
?例题
?A
B
C
y
E H
xR
?
AB=BC=l0,E,H分别
为杆 AB, BC 的中
点，轮子 C半径
R=l0/4,在地面上纯
滚动,EH为一弹簧，
求,（ 1） B,H,C
点虚位移之间的关
系。（ 2）杆 AB，
BC，和轮子的虚转
角（用广义坐标表
示）。
例 题 2 § 8 虚位移原理
?例题
解,1,几何法 系统自由度为 1，选择 ?为广义坐标，广义虚位移为 ??
??? 20lr E ?
??? 0lrB ?
杆 BC的速度瞬心为 P
? ? ?
??
??
?
s in2
s in2
0
0
0
0
l
l
l
l
PB
r
PCr BC
?
???
?
?
2c o s
4
5
2c o s4/
0
2
0
2
0
2
0
??
???
l
lllPH?
????? 2c o s450 ??? lrPBPHr BH
?A
B
C
y
E H
x
R
?
Er
??
Br
??
Cr
??
Hr
??
??
P(BC)
§ 8 虚位移原理
杆 AB, BC，轮子 C
的虚转角分别为：
???? ?AB (?)
????? ?? PBr BBC
(?)
? ? ?
? ? ??
??
s in8
4
s in2
0
0
?
??
l
l
R
r C
C
(?)
例 题 2
?例题
?A
B
C
y
E H
x
R
?
Er
??
Br
??
Cr
??
Hr
??
??
P(BC)
BC??
C??AB??
例 题 2 § 8 虚位移原理
?例题
?A
B
C
y
E H
xR
?
2,解析法 选择 ?为广义坐标。
写出 B,H,C各点位形：
?c o s0lx B ?
?sin0ly B ?
?c o s23 0lx H ?
?s in21 0ly H ?
?co s2 0lx C ?
0?Cy
例 题 2 § 8 虚位移原理
?例题
?A
B
C
y
E H
xR
?
?c o s0lx B ?
?sin0ly B ?
?c o s23 0lx H ?
?s in21 0ly H ?
求变分：
? ??? s in0lx B ??
? ??? co s0ly B ?
? ??? s i n23 0lx H ??
? ??? c o s20ly H ?
? ??? s in2 0lx C ??
0?Cy?
?co s2 0lx C ?
0?Cy
§ 8.3 力的功
1.力的元功和有限功
F?
元功 —— 力 在微小的位移
上作的功。 为 在曲线切
线方向的投影，
?F
rd?
rdds ??
F?
F?
rd?
用直角坐标的分量表示：
F? kFjFiF zyx ??? ??? rd? kdzjdyidx ??? ???
A
B
元功 Wd? rdF ?? ?? dsF ??
?
(8.7)
y
x
z
Wd? rdF ?? ?? dzFdyFdxF
zyx ???
（ 8.8）
若同一质点上作用一力系，合力为
?
?
n
i
iR FF
1
?? ＝
则合力的元功为
质点上合力的元功等于各分力的元功之和。
若力系 各力分别作用在质点系的不
),,2,1( niF i ?? ?同质点上，该力系的总元功为：
其中 是力 作用点的无限小位移。
ird
?
iF
?
RF
?
rd?
iF
?
ird
?
iF
?
Wd? rdF R ?? ??
rdF
n
i
i
?? ?? ?
? 1
?
?
??
n
i
i rdF
1
)( ?
? ?
?
?
n
i
iWd
1
' (8.9)
Wd? ?
?
??
n
i
ii rdF
1
)( ?
? (8.10)
2,实元功 虚功 有限功
当位移为实位移时，力的元功为 实元功
当位移为虚位移时，力的元功为 虚功
实元功
dsF ?? ?
(8.11)
Wd? rdF ?? ?? dzFdyFdxF
zyx ???
(8.13)
虚功 W?? rF ?? ???
sF ?? ??
zFyFxF zyx ??? ???
有限功
（ 8.12）?? ???? 2
1
2
112 rdFWdW
??
力在有限位移上做功，实元功的积分
3.功的计算
(1)内力的功 12F?
21F
?质点系中任意两质点 之
间的相互作用力为内力。且有,21
,MM
2112 FF
?? ??
此一对内力的元功之和为：
式中 为点 M1相对于点 M2的无限小位移。
21rd
?
对于刚体，任意两点间的相对位移为零，故 0
21 ?rd
?
刚体的内力不作功； 而 变形体的内力一般应作功。
21122112221112 )( rdFrrdFrdFrdFWd
????????? ??????????
（ 8.14）
1r
?
21r
?
2r
?
M1
M2
(2)重力的功
设 z轴铅垂向上，重力 gm?
设 h为物体重心 C高度的变化，
BA zzh ??
(重心下降则 h>0；重心上升则 h<0)
A
B
x y
z
C
gm?
h
ABW m g h?
(8.18)
m g d zWd ???
重力的实元功 （ 8.15）
zmgW ?? ??
重力的虚功 （ 8.16)
? ?? BAAB dzmgW )( )( BA zzmg ??
重力的有限功
(8.17)
?? dkWd ???
???? kW ??
? ? ???? 2112 21 )(?? ?? dkWdW
(8.19)
(8.20)
(8.21)
)(21 2221 ?? ??
弹簧连接两质点
21,MM
弹簧原长
0l
，刚度系数 k，
质点所受到的弹簧力
为系统的内力，且 。2112
,FF ??
1221 FF
?? ??
Wd? 221112 rdFrdF ???? ????
21122112 )( rdFrrdF
????? ?????
lr ?21
21
21
012 )( r
rllkF ?? ???
而
（ 3）弹性力的功 1l
1A
2A
2l
1B
2B
l
1M
2M
x
y
z
1r?
2r?
设弹簧在任意位置的长度为 l
取两质点及弹簧为对象，
21F
?
12F
?
21r
?
令弹簧变形量为
0ll ???
022011,llll ???? ??
（ 4）作用于刚体上力系的功
设刚体在平面力系 (作用点为 的力, )
的作用下，刚体作平面运动。 iD iF
? ni,,2,1 ??
力
iF
? 的元功 iWd'
iDii rdFWd
?? ??'
在刚体上取一基点 A
iDv
?
ADA ivv
?? ??
iA ADv ??? ?
??
上式两边同时乘以 dt
Dird
?
ADA irdrd
?? ?? ?dADkrd
iA )( ???
??
kdtdk
??? ?
?? ??
iD
A
iF
?
Ard?
?d?
iDrd
?
iDii rdFWd
?? ??'
?dADkFrdF iiAi )( ????? ????
?dkFADrdF iiAi ???? ????? )(
?dFmrdF iAzAi )( ??? ???
力系的元功
Wd' ?
?
?
n
i
iWd
1
' ??
??
???
n
i
iAz
n
i
Ai dFmrdF
11
)( ?
???
?dMrdF AzAR ??? ??
?dkFMrdF iAAi ????? ???? )(
iD
A
iF
?
Ard?
?d?
iDrd
?
若将基点 A选为刚体的速度瞬心 P点，则
0?Prd ? )0( ?Pv?
若将实位移换为虚位移，同理可计算刚体的虚功 W?
W? ??? AzAR MrF ??? ??
（ 8.23）
?dM Pz? ?dMrdF
AzAR ???
??Wd? （ 8.22）
则刚体的元功为：
其中
?
?
?
n
i
iPzPz FmM
1
)(
?
?
?
?
n
i
iAzAz FmM
1
)(
?
?dM Pz?Wd?
刚体的有限功：
设刚体在力的作用下由位置 1运动至位置 2，有限功为：
若刚体作平动：
0?? 0??d
AR rdFWd
?? ??'
AR rFW
?? ?? ??
? ?? )2( )1(12 AR rdFW ??
12W ?? ??? )2(
)1(
)2(
)1(
?dMrdF AzAR ?
? （ 8.24)
若刚体作定轴转动：
A点取转动轴上一点
0?Ard ?
?dMWd z?'
??? zMW ?
?? 2
1
12
?
?
?dMW z
)( 1212 ?? ?? zMW
当 c o n s tM
z ?
（ 5）约束力的功
元功为零的约束力
固定光滑接触
面的约束力 一端固定柔
绳的约束力
NF
?
rd?
T?
rd?
光滑铰链提供的约束力
0?rd?F?
F?
rd?
纯滚动物体接触点的
约束力（支持力、静
滑动摩擦力）
（内力）
0?rd?
NF
?
若约束力在任意一组虚位移上所作的虚功
之和为零，则称这些约束为理想约束。
0
1
???
?
n
i
iNi rF
?? ?
理想系统, 满足
0
1
???
?
n
i
iNi rF
?? ? 的系统。
当遇到非理想约束时，可将非理想约束力看作主动
力，则余下的约束为理想约束。
其中
NiF
?
ir
??为约束力,为与 对应的虚位移。NiF?
4,有势力的势能与功的关系
若某种力的有限功 只与其起止位置 A和 B有
关，与该力的作用点的路径无关，则这种力称为 有
势力或保守力。
ABW
任选一个参考点 C，设物体所处的位置为 B，则
物体由 B点至 C点，有势力所作的功，称为该物体相
对于 C点的 势能
BV
参考点 C称为 势能零点 。
? ?? CBB rdFV ??
(8.25)
显然
CB
B
CB
WrdFV ????? ? ??
(8.26)
重力和弹簧力均为有势力。
重力：
C
gm?
B
gm?
h
弹簧力,取弹簧未变形 (弹簧为原长 l0 )时为势能零点
势能零点
取 C点为势能零点
变形为,则?
0ll ???
当弹簧长 l 时，
m g hW CB ??
m g hV B ? (8.27)
2
2
1 ?kW ??
2
2
1 ?kV ? (8.28)
有势力的元功为其势能的微分的负值；
有势力的虚功为其势能的变分的负值。
设质点由 (x,y,z)运动到 (x+dx,y+dy,z+dz)
由
212010021012 VVWWWWW ??????
(8.29)
则
),,(),,(' dzzdyydxxVzyxVWd ????? dV??
dVWd ??' (8.30)
将位移 dr 改为 r?
则 VW ?? ?? (8.31)
例 题 3 § 8 虚位移原理
?例题
均质圆轮重,半径 r,弹簧原长,刚度 k,M
为常力偶，轮子在斜面上纯滚动，求轮心 O移动 ds时，
重力、弹性力、力偶 M所作的元功、虚功，及轮心坐
标由 到 时，上述力的有限功。
P? 0l
1S 2S
S
O
M
?
z
例 题 3 § 8 虚位移原理
?例题
S
O
M
?
z
解：系统自由度为 1。
(1)元功：
重力：
P d zWd P ??' dsP ?s i n??
?? dkWd TF ??' dslsk )( 0???
弹性力：
0ls ???
dsd ??
?rdds ?
?s in?? dsdz
设轮子的角位移为 ?d
则轮心位移为
力偶：
ds
r
MMdWd
M ?? ?'
FFN ??,
为理想约束力，对应的 元功为零。
M
??
?d
F?
TF
?
P? NF
?
ds
s?
例 题 3 § 8 虚位移原理
?例题
S
O
M
?
z
因此，系统的元功：
?
?
?
n
i
iWdWd
1
'' ds
r
MlskP ))(s i n(
0 ????? ?
系统的虚功：
s
r
MlskP ?? ))(s i n(
0 ??????
?
?
n
i
iWW
1
??
M
??
?d
F?
TF
?
P? NF
?
ds
s?
例 题 3 § 8 虚位移原理
?例题
S
O
M
?
z
系统从 S1到 S2位置的有限功：
?
?
?
n
i
iWW
1
12
? ????? 2
1
))(s i n( 0S
S
ds
r
MlskP ?
])()[(
2
1 2
02
2
01 lSlSk ????
?s i n)()( 1212 SSPSS
r
M ????
M
??
?d
F?
TF
?
P? NF
?
ds
s?
例 题 4 § 8 虚位移原理
?例题
?A
B
C
y
E H
xR
?
F?
M （ 1）作用于系统的力
系的虚功。
例 8,2中，设弹簧原
长为 l0，刚度系数为 k，
均质杆 AB和 BC均重
mg,轮 C重 m1g,系统
受主动力 和主动力
偶矩 M作用，求：
F?
（ 2）当 ?从 60° 变为
0° 时，系统所受力
系的有限功。
例 题 4 § 8 虚位移原理
?例题
?A
B
C
y
E H
xR
?
F?
M
解,1.受力分析
系统中作功的力：
MF,?,弹性力，
杆 AB,BC的重力。
系统中不作功的力：
轮 C的重力,A,B，
C,E,H处铰的约束
力，轮与地面接触点
的约束力。
例 题 4 § 8 虚位移原理
?例题
?A
B
C
y
E H
xR
?
F?
M
2.虚功表达式
BF yFW ?? ???
EHEmg ymgymgymgW ???? 2??????
mg mg
CM MW ??? ???
C??
???? kW T ???
由于系统自由度为
1，选择一个广义
位移，将各虚位移
用广义虚位移表示。
可选 ?为广义位移。
例 题 4 § 8 虚位移原理
?例题
?A
B
C
y
E H
xR
?
F?
Mmg mg
C??
由例 8.2中求出的结果：
? ??? co s0ly B ?
? ? ??? s i n8?C
(?)
? ???? c o s20lyy HE ??
000 co s llll ???? ??
? ???? s in0l??
? ? ??
? ? ?? ? ?
? ? ??
s i n)1( c o s
s i n8c o s
c o s
2
0
0
0
??
??
????
kl
Mm g l
FlW
例 题 4 § 8 虚位移原理
?例题
?A
B
C
y
E H
xR
?
F?
Mmg mg
C??
3.系统从 ?=60° ~?=0° 的有限
功 同理，系统的实元功为：
???
????
??
dkl
dMdm g l
dFlWd
s i n)1( c o s
s i n8c o s
c o s
2
0
0
0
??
??
???
系统的有限功为：
?? s in)1( c o s(
0
60
2
0
0
6012
??
??
?
?
?
?
?
?
kl
WdW
??? dMlmgF )s i n8co s)( 0 ???
MmgFlkl 4)(2 38 020 ????
例 题 4 § 8 虚位移原理
?例题
系统的有限功也可计算为：
MFl
dMFlW MF
4
2
3
)s in8c o s(
0
0
0
60
??
??? ?
?
??
???
MmgFlklWWWW MFmgT 4)(2 38 0
2
0
12 ??????? ?
m g hWkW mgT ??? ),(21 2221 ??
北京理工大学理学院力学系 韩斌
(19)
§ 8 虚位移原理
关于本章内容：属于分析力学体系
矢量力学 (矢量物理量,动量 动量矩 ) LKMFavr ?????????,,,,,,,,??
牛顿 (I,Newton,1642-1727)
分析力学 (标量物理量：广义坐标,广义速度,能量
T,V,功 W )
iq iq?
拉格朗日 (J.-L,Lagrange,1736-1813)
本章将虚位移原理用于静力学平衡问题。
优点：可避开不必求的许多中间未知约束力。
—— 牛顿三定律
—— 虚位移原理
§ 8,1 位形、约束方程及约束分类
1.质点系的位形
2,约束方程及分类
用数学方程式表示的约束条件，称为约束方程。
系统自由度 其中 l 为独立的完整约束方程数。lnk ?? 3
n个自由质点组成的质点系 —— 任一质点 的位置
可由其直角坐标 确定，称这 3n个
坐标的集合为该质点系的位形，位形给定则质点系
中每一质点的位置就可确定。
iD
iii zyx,,
)~1( ni ?
n个质点的非自由质点系 —— 设自由度,
可用广义坐标 确定质点系的位形：
nk 3?
kqq ~1
),,,,( 21 tqqqxx kii ??
),,,,( 21 tqqqrr kii ??? ?或
(8.1)
(8.2)
ni,...,1?
ni 3,...1?
位形
),( yx
例 2,质点在曲面上运动。
位形 ),,( zyx
约束方程即曲面方程 0),,( ?zyxf （ 2）
例 1.质点在平面的槽内运动。 y
xO
),( yxM
1?k自由度
2?k自由度
例 3,质点 A,B用绳子相连，且绳长 l = l (t ).
x
y B
A ?x
A
广义坐标可选择 ???
21,qxq A
位形 (xA,yA,xB,yB)
约束方程 0?y （ 1）
约束方程
)()()( 222 tlyyxx BABA ????
yA= 0 （ 3）
（ 4）
自由度 k = 2
M
根据研究目的的不同，约束可有不同的分类方式：
双面约束
单面约束
— 如约束方程 0?y 0),,( ?zyxf yA= 0
— 如约束方程 )()()( 222 tlyyxx
BABA ????
完整约束
非完整约束
— 只涉及位形
— 还涉及速度且不可积分
定常约束（不显含时间 t）
非定常约束（显含时间 t）
— 如约束方程 0?y 0),,( ?zyxf yA= 0
— 如约束方程 )()()( 222 tlyyxx
BABA ????
几何约束
运动约束
— 只约束位形
— 除约束位形外还约束速度
§ 8.2 实位移 虚位移
1,位移
M
r?
x3
x1
x2O
质点 M的位移,
idxrd
?
质点系的位移,n个质点,k个自由度
nk 3?
广义坐标
kqq ~1
质点系的位形
),,,,( 21 tqqqxx kii ??
),,,,( 21 tqqqrr kii ??? ? (8.1)
(8.2)
),,2,1( ni ??
)3,,2,1( ni ??
),,2,1( ni ??
dt
t
rdq
q
rrd ik
i
j
j
i
i ?
??
?
?? ?
?
???
1
dt
t
xdq
q
xdx ik
i
j
j
i
i ?
??
?
?? ?
? 1
)3,,2,1( ni ??
(8.3)
(8.4)
质点
系的
位移
其中 ),.,,,2,1(,ksdq
S ?
广义位移 （ dt时间 qS的增量）
2.实位移
3,虚位移
若质点系的位移或广义位移满足以下 2个条件：
（ 1）满足质点系的约束条件
（ 2）满足质点系的动力学方程及初始条件
则称其为实位移或广义实位移。
实位移是惟一确定的真实位移。
若质点系的位移或广义位移只满足质点系的约束条件，
就称为虚位移或广义虚位移。
虚位移是系统约束允许的任意假想位移，
与主动力无关，与时间无关，且不惟一。
实位移表示为：
),,2,1( ni ??
dt
t
rdq
q
rrd ik
i
j
j
i
i ?
??
?
?? ?
?
???
1
dt
t
x
dq
q
x
dx i
k
i
j
j
i
i ?
?
?
?
?
? ?
? 1
)3,,2,1( ni ??
虚位移表示为：
j
k
j j
i
i qq
rr ?? ?
? ?
??
1
?? ),,2,1( ni ??
j
k
j j
i
i qq
xx ?? ?
? ?
??
1
)3,,2,1( ni ??
(8.5)
(8.6)
虚位移 又称为 的变分 (等时变分）。
ir
??
jq?
、
ir
? jq、
实位移与虚位移间的关系：
例如：当质点在某瞬时处于静止时,0?
ird
?
但
ir??
不一定为 0
在定常几何约束情况下，实位移为多个虚位移中的一个。
例如：
M
ird?
ir??
ir??
ir?? P
A
O
A
A
Ard?
Ar?? A
r??
本章为静力学，仅限于讨论定常、几何约束情况。
但在非定常和运动约束情况下则不然。
x
y
O
M
D
v?
tD
r??
dy
Drd
?
vdt
例如：
对自由度为 k的质点系（刚体或刚体系）
位形
ii xr,
? 各点 虚位移 或 不独立ir?? ix?
注意
广义坐标位形
),2,1( kjq j ??
),2,1( kjq j ???广义虚位移 独立
将各点虚位移 或 用独立的广义虚位移表示出来。ir??
ix?
4,单个刚体上各点的虚位移之间关系表示方法
与刚体上各点的速度关系类似 虚速度法
Ci rr
?? ?? ?
任意点的虚
位移均相等平动刚体 Cr
??
c
ir
??
??
ir
??
i?
定
轴
转
动
???? ?? iir?
方向如图
??
定轴转动刚体的虚转角
A
B
刚体一般平面运动
P
??
?
Mr
??
M
??
刚体该瞬时的虚转角
② 虚位移投影关系
刚体该瞬时的速度瞬心为 P
??? ?? PMr M?
方向如图
①
Ar??
Br??
? ? ? ?ABBABA rr ?? ?? ?
③ 两点间虚位移的关系
A
B
Br
??Ar??
BAr
?? BAAB rrr
??? ??? ??
??? ?? ABr BA?
方向如图
??
5,刚体系统各点虚位移之间的关系
找出各点虚位移关系的方法：解析法和几何法。
（ 1）解析法：将各点坐标用广义坐标表示，再求变分。
j
k
j j
i
i qq
rr ?? ?
? ?
??
1
?? ),,2,1( ni ??
j
k
j j
i
i qq
xx ?? ?
? ?
??
1
)3,,2,1( ni ??
(8.5)
(8.6)
（ 2）几何法（虚速度法）
类比于 § 2, § 3章中的速度分析方法（将速
度矢量改为虚位移矢量）。
例 题 1 § 8 虚位移原理
?例题
?A
B
C
D E
F 刚体系统如图所示，
AE=DB=2DF=2EF=2l
C为 AE和 DB的中点，
求 F 和 B两点虚位移的
关系。
例 题 1 § 8 虚位移原理
?例题
?A
B
C
D E
F
解,1.解析法
建立 xy坐标系，选择广义坐标 ?
写出 B,F点的位形：
x
y
?c o s2 lx B ?
0?By
?c o slx F ?
?s in3 ly F ?
求变分可得：
? ? ?? s i n2 lx B ??
0?By?
? ? ?? s i nlx F ??
? ? ?? co s3 ly F ?
例 题 1 § 8 虚位移原理
?例题
jyixrixr FFFBB ????? ????? ????
或以 为广义虚位移，
则 F点的虚位移表示为 Br?
2
1
s in2
s in ?
?
??
? ? ?
? ? ?
?
?
l
l
r
x
B
F
?
? ? ?
? ? ?
?
? c o t
2
3
s in2
c o s3 ??
?
?
l
l
r
y
B
F
?A
B
C
D E
F
x
y
故
BF rx ?? 2
1?
BF ry ??? c o t2
3??
例 题 1 § 8 虚位移原理
?例题
?A
B
C
D E
F
x
y
2.几何法
Br
??
Cr
??
Er
??
Dr
??
FEr
??
FDr
??
E点为杆 DB的速度瞬心。
方向 ? ? ? ?
大小 ?？ ?？
可解出 与
的关系
Br
??
Fr
??
FEEFDD rrrr
???? ???? ????
Fr
??
例 题 2 § 8 虚位移原理
?例题
?A
B
C
y
E H
xR
?
AB=BC=l0,E,H分别
为杆 AB, BC 的中
点，轮子 C半径
R=l0/4,在地面上纯
滚动,EH为一弹簧，
求,（ 1） B,H,C
点虚位移之间的关
系。（ 2）杆 AB，
BC，和轮子的虚转
角（用广义坐标表
示）。
例 题 2 § 8 虚位移原理
?例题
解,1,几何法 系统自由度为 1，选择 ?为广义坐标，广义虚位移为 ??
??? 20lr E ?
??? 0lrB ?
杆 BC的速度瞬心为 P
? ? ?
??
??
?
s in2
s in2
0
0
0
0
l
l
l
l
PB
r
PCr BC
?
???
?
?
2c o s
4
5
2c o s4/
0
2
0
2
0
2
0
??
???
l
lllPH?
????? 2c o s450 ??? lrPBPHr BH
?A
B
C
y
E H
x
R
?
Er
??
Br
??
Cr
??
Hr
??
??
P(BC)
§ 8 虚位移原理
杆 AB, BC，轮子 C
的虚转角分别为：
???? ?AB (?)
????? ?? PBr BBC
(?)
? ? ?
? ? ??
??
s in8
4
s in2
0
0
?
??
l
l
R
r C
C
(?)
例 题 2
?例题
?A
B
C
y
E H
x
R
?
Er
??
Br
??
Cr
??
Hr
??
??
P(BC)
BC??
C??AB??
例 题 2 § 8 虚位移原理
?例题
?A
B
C
y
E H
xR
?
2,解析法 选择 ?为广义坐标。
写出 B,H,C各点位形：
?c o s0lx B ?
?sin0ly B ?
?c o s23 0lx H ?
?s in21 0ly H ?
?co s2 0lx C ?
0?Cy
例 题 2 § 8 虚位移原理
?例题
?A
B
C
y
E H
xR
?
?c o s0lx B ?
?sin0ly B ?
?c o s23 0lx H ?
?s in21 0ly H ?
求变分：
? ??? s in0lx B ??
? ??? co s0ly B ?
? ??? s i n23 0lx H ??
? ??? c o s20ly H ?
? ??? s in2 0lx C ??
0?Cy?
?co s2 0lx C ?
0?Cy
§ 8.3 力的功
1.力的元功和有限功
F?
元功 —— 力 在微小的位移
上作的功。 为 在曲线切
线方向的投影，
?F
rd?
rdds ??
F?
F?
rd?
用直角坐标的分量表示：
F? kFjFiF zyx ??? ??? rd? kdzjdyidx ??? ???
A
B
元功 Wd? rdF ?? ?? dsF ??
?
(8.7)
y
x
z
Wd? rdF ?? ?? dzFdyFdxF
zyx ???
（ 8.8）
若同一质点上作用一力系，合力为
?
?
n
i
iR FF
1
?? ＝
则合力的元功为
质点上合力的元功等于各分力的元功之和。
若力系 各力分别作用在质点系的不
),,2,1( niF i ?? ?同质点上，该力系的总元功为：
其中 是力 作用点的无限小位移。
ird
?
iF
?
RF
?
rd?
iF
?
ird
?
iF
?
Wd? rdF R ?? ??
rdF
n
i
i
?? ?? ?
? 1
?
?
??
n
i
i rdF
1
)( ?
? ?
?
?
n
i
iWd
1
' (8.9)
Wd? ?
?
??
n
i
ii rdF
1
)( ?
? (8.10)
2,实元功 虚功 有限功
当位移为实位移时，力的元功为 实元功
当位移为虚位移时，力的元功为 虚功
实元功
dsF ?? ?
(8.11)
Wd? rdF ?? ?? dzFdyFdxF
zyx ???
(8.13)
虚功 W?? rF ?? ???
sF ?? ??
zFyFxF zyx ??? ???
有限功
（ 8.12）?? ???? 2
1
2
112 rdFWdW
??
力在有限位移上做功，实元功的积分
3.功的计算
(1)内力的功 12F?
21F
?质点系中任意两质点 之
间的相互作用力为内力。且有,21
,MM
2112 FF
?? ??
此一对内力的元功之和为：
式中 为点 M1相对于点 M2的无限小位移。
21rd
?
对于刚体，任意两点间的相对位移为零，故 0
21 ?rd
?
刚体的内力不作功； 而 变形体的内力一般应作功。
21122112221112 )( rdFrrdFrdFrdFWd
????????? ??????????
（ 8.14）
1r
?
21r
?
2r
?
M1
M2
(2)重力的功
设 z轴铅垂向上，重力 gm?
设 h为物体重心 C高度的变化，
BA zzh ??
(重心下降则 h>0；重心上升则 h<0)
A
B
x y
z
C
gm?
h
ABW m g h?
(8.18)
m g d zWd ???
重力的实元功 （ 8.15）
zmgW ?? ??
重力的虚功 （ 8.16)
? ?? BAAB dzmgW )( )( BA zzmg ??
重力的有限功
(8.17)
?? dkWd ???
???? kW ??
? ? ???? 2112 21 )(?? ?? dkWdW
(8.19)
(8.20)
(8.21)
)(21 2221 ?? ??
弹簧连接两质点
21,MM
弹簧原长
0l
，刚度系数 k，
质点所受到的弹簧力
为系统的内力，且 。2112
,FF ??
1221 FF
?? ??
Wd? 221112 rdFrdF ???? ????
21122112 )( rdFrrdF
????? ?????
lr ?21
21
21
012 )( r
rllkF ?? ???
而
（ 3）弹性力的功 1l
1A
2A
2l
1B
2B
l
1M
2M
x
y
z
1r?
2r?
设弹簧在任意位置的长度为 l
取两质点及弹簧为对象，
21F
?
12F
?
21r
?
令弹簧变形量为
0ll ???
022011,llll ???? ??
（ 4）作用于刚体上力系的功
设刚体在平面力系 (作用点为 的力, )
的作用下，刚体作平面运动。 iD iF
? ni,,2,1 ??
力
iF
? 的元功 iWd'
iDii rdFWd
?? ??'
在刚体上取一基点 A
iDv
?
ADA ivv
?? ??
iA ADv ??? ?
??
上式两边同时乘以 dt
Dird
?
ADA irdrd
?? ?? ?dADkrd
iA )( ???
??
kdtdk
??? ?
?? ??
iD
A
iF
?
Ard?
?d?
iDrd
?
iDii rdFWd
?? ??'
?dADkFrdF iiAi )( ????? ????
?dkFADrdF iiAi ???? ????? )(
?dFmrdF iAzAi )( ??? ???
力系的元功
Wd' ?
?
?
n
i
iWd
1
' ??
??
???
n
i
iAz
n
i
Ai dFmrdF
11
)( ?
???
?dMrdF AzAR ??? ??
?dkFMrdF iAAi ????? ???? )(
iD
A
iF
?
Ard?
?d?
iDrd
?
若将基点 A选为刚体的速度瞬心 P点，则
0?Prd ? )0( ?Pv?
若将实位移换为虚位移，同理可计算刚体的虚功 W?
W? ??? AzAR MrF ??? ??
（ 8.23）
?dM Pz? ?dMrdF
AzAR ???
??Wd? （ 8.22）
则刚体的元功为：
其中
?
?
?
n
i
iPzPz FmM
1
)(
?
?
?
?
n
i
iAzAz FmM
1
)(
?
?dM Pz?Wd?
刚体的有限功：
设刚体在力的作用下由位置 1运动至位置 2，有限功为：
若刚体作平动：
0?? 0??d
AR rdFWd
?? ??'
AR rFW
?? ?? ??
? ?? )2( )1(12 AR rdFW ??
12W ?? ??? )2(
)1(
)2(
)1(
?dMrdF AzAR ?
? （ 8.24)
若刚体作定轴转动：
A点取转动轴上一点
0?Ard ?
?dMWd z?'
??? zMW ?
?? 2
1
12
?
?
?dMW z
)( 1212 ?? ?? zMW
当 c o n s tM
z ?
（ 5）约束力的功
元功为零的约束力
固定光滑接触
面的约束力 一端固定柔
绳的约束力
NF
?
rd?
T?
rd?
光滑铰链提供的约束力
0?rd?F?
F?
rd?
纯滚动物体接触点的
约束力（支持力、静
滑动摩擦力）
（内力）
0?rd?
NF
?
若约束力在任意一组虚位移上所作的虚功
之和为零，则称这些约束为理想约束。
0
1
???
?
n
i
iNi rF
?? ?
理想系统, 满足
0
1
???
?
n
i
iNi rF
?? ? 的系统。
当遇到非理想约束时，可将非理想约束力看作主动
力，则余下的约束为理想约束。
其中
NiF
?
ir
??为约束力,为与 对应的虚位移。NiF?
4,有势力的势能与功的关系
若某种力的有限功 只与其起止位置 A和 B有
关，与该力的作用点的路径无关，则这种力称为 有
势力或保守力。
ABW
任选一个参考点 C，设物体所处的位置为 B，则
物体由 B点至 C点，有势力所作的功，称为该物体相
对于 C点的 势能
BV
参考点 C称为 势能零点 。
? ?? CBB rdFV ??
(8.25)
显然
CB
B
CB
WrdFV ????? ? ??
(8.26)
重力和弹簧力均为有势力。
重力：
C
gm?
B
gm?
h
弹簧力,取弹簧未变形 (弹簧为原长 l0 )时为势能零点
势能零点
取 C点为势能零点
变形为,则?
0ll ???
当弹簧长 l 时，
m g hW CB ??
m g hV B ? (8.27)
2
2
1 ?kW ??
2
2
1 ?kV ? (8.28)
有势力的元功为其势能的微分的负值；
有势力的虚功为其势能的变分的负值。
设质点由 (x,y,z)运动到 (x+dx,y+dy,z+dz)
由
212010021012 VVWWWWW ??????
(8.29)
则
),,(),,(' dzzdyydxxVzyxVWd ????? dV??
dVWd ??' (8.30)
将位移 dr 改为 r?
则 VW ?? ?? (8.31)
例 题 3 § 8 虚位移原理
?例题
均质圆轮重,半径 r,弹簧原长,刚度 k,M
为常力偶，轮子在斜面上纯滚动，求轮心 O移动 ds时，
重力、弹性力、力偶 M所作的元功、虚功，及轮心坐
标由 到 时，上述力的有限功。
P? 0l
1S 2S
S
O
M
?
z
例 题 3 § 8 虚位移原理
?例题
S
O
M
?
z
解：系统自由度为 1。
(1)元功：
重力：
P d zWd P ??' dsP ?s i n??
?? dkWd TF ??' dslsk )( 0???
弹性力：
0ls ???
dsd ??
?rdds ?
?s in?? dsdz
设轮子的角位移为 ?d
则轮心位移为
力偶：
ds
r
MMdWd
M ?? ?'
FFN ??,
为理想约束力，对应的 元功为零。
M
??
?d
F?
TF
?
P? NF
?
ds
s?
例 题 3 § 8 虚位移原理
?例题
S
O
M
?
z
因此，系统的元功：
?
?
?
n
i
iWdWd
1
'' ds
r
MlskP ))(s i n(
0 ????? ?
系统的虚功：
s
r
MlskP ?? ))(s i n(
0 ??????
?
?
n
i
iWW
1
??
M
??
?d
F?
TF
?
P? NF
?
ds
s?
例 题 3 § 8 虚位移原理
?例题
S
O
M
?
z
系统从 S1到 S2位置的有限功：
?
?
?
n
i
iWW
1
12
? ????? 2
1
))(s i n( 0S
S
ds
r
MlskP ?
])()[(
2
1 2
02
2
01 lSlSk ????
?s i n)()( 1212 SSPSS
r
M ????
M
??
?d
F?
TF
?
P? NF
?
ds
s?
例 题 4 § 8 虚位移原理
?例题
?A
B
C
y
E H
xR
?
F?
M （ 1）作用于系统的力
系的虚功。
例 8,2中，设弹簧原
长为 l0，刚度系数为 k，
均质杆 AB和 BC均重
mg,轮 C重 m1g,系统
受主动力 和主动力
偶矩 M作用，求：
F?
（ 2）当 ?从 60° 变为
0° 时，系统所受力
系的有限功。
例 题 4 § 8 虚位移原理
?例题
?A
B
C
y
E H
xR
?
F?
M
解,1.受力分析
系统中作功的力：
MF,?,弹性力，
杆 AB,BC的重力。
系统中不作功的力：
轮 C的重力,A,B，
C,E,H处铰的约束
力，轮与地面接触点
的约束力。
例 题 4 § 8 虚位移原理
?例题
?A
B
C
y
E H
xR
?
F?
M
2.虚功表达式
BF yFW ?? ???
EHEmg ymgymgymgW ???? 2??????
mg mg
CM MW ??? ???
C??
???? kW T ???
由于系统自由度为
1，选择一个广义
位移，将各虚位移
用广义虚位移表示。
可选 ?为广义位移。
例 题 4 § 8 虚位移原理
?例题
?A
B
C
y
E H
xR
?
F?
Mmg mg
C??
由例 8.2中求出的结果：
? ??? co s0ly B ?
? ? ??? s i n8?C
(?)
? ???? c o s20lyy HE ??
000 co s llll ???? ??
? ???? s in0l??
? ? ??
? ? ?? ? ?
? ? ??
s i n)1( c o s
s i n8c o s
c o s
2
0
0
0
??
??
????
kl
Mm g l
FlW
例 题 4 § 8 虚位移原理
?例题
?A
B
C
y
E H
xR
?
F?
Mmg mg
C??
3.系统从 ?=60° ~?=0° 的有限
功 同理，系统的实元功为：
???
????
??
dkl
dMdm g l
dFlWd
s i n)1( c o s
s i n8c o s
c o s
2
0
0
0
??
??
???
系统的有限功为：
?? s in)1( c o s(
0
60
2
0
0
6012
??
??
?
?
?
?
?
?
kl
WdW
??? dMlmgF )s i n8co s)( 0 ???
MmgFlkl 4)(2 38 020 ????
例 题 4 § 8 虚位移原理
?例题
系统的有限功也可计算为：
MFl
dMFlW MF
4
2
3
)s in8c o s(
0
0
0
60
??
??? ?
?
??
???
MmgFlklWWWW MFmgT 4)(2 38 0
2
0
12 ??????? ?
m g hWkW mgT ??? ),(21 2221 ??
