工程力学( C)
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 39)
(下册)
§ 21 达朗贝尔原理
§ 21.1 惯性力的概念
动力学问题
动能定理
动量定理
动量矩定理
运动学关系
两点速度、
加速度关系
复合运动
联
立
求
解
静力学问题
平衡方程
0?? RF?
0?? OM?
达朗贝尔原理
(动静法)
惯性力 —— 人为引入的假想力,
无施力者,与观察者有关,与真实力同
样有运动、变形效应。
1.第一类惯性力
在非惯性系中引入,使牛顿第二定律形式上仍成立,
2.第二类惯性力
在惯性系中引入,使动力学形式上转
化为静力学问题,
)( cre aaamamF ????? ????
其中:牵连惯性力、科氏惯性力
x
y
z
x’
y’
z’
m
F?
a?
x
y
z
m
F?
a?
NF
?
在非惯性系中
rce amamamF
???? ????? )()( (21.1)
amFF N ??? ??
(21.2)
0)( ???? amFF N ???
(21.3)
amF I ?? ??达朗贝尔惯性力 ( 21.4)
0)( ???? amFF N ???
(21.3)
amF I ?? ??
达朗贝尔惯性力 ( 21.4)
0??? IN FFF ???
(21.5)共点力系平衡方程
质点的达朗贝尔原理:质点在运动的任一
瞬时,主动力、约束力和达朗贝尔惯性力
组成一个形式上的平衡共点力系。
§ 21.2 达朗贝尔原理
x
y
z
m
F?
a?
NF
?
1.质点的达朗贝尔原理
iiIi amF
?? ??达朗贝尔惯性力 ( 21.7)
0??? IiNii FFF ???
(21.8)n个平衡的共点力系
质点系的达朗贝尔原理:质点系在运动的任一瞬时,外
力系和达朗贝尔惯性力系组成一个形式上的平衡力系。
2,质点系的达朗贝尔原理
0)( ???? iiNii amFF ??? (21.6)
对质点系中
任意质点
0)( ?? ??
i
Ii
i
e
i FF
??达朗贝尔原
理平衡方程
0)()( )( ?? ??
i
IiA
e
i
i
A FMFM
????
( 21.9)
其中内力系自平衡,故外力系与达朗贝尔惯性力系平衡。
0)( ?? ??
i
Ii
i
e
i FF
??达朗贝尔原
理平衡方程
0)()( )( ?? ??
i
IiA
e
i
i
A FMFM
????
( 21.9)
0)( ?? IReR FF ??达朗贝尔原
理平衡方程
0)( ?? IAeA MM ??
( 21.9)’
记:
??
i
e
i
e
R FF
)()( ?? ??
i
IiIR FF
??
??
i
IiAIA FMM )(
?????
i
e
iA
e
A FMM )(
)()( ???
达朗贝尔原理的平衡方程中,矩
方程的矩心 A点可以任意选取。
§ 21.3 质点系的达朗贝尔惯性力系的简化
—— 简化为一等效力系(主矢 +主矩)
1.质点系达朗贝尔惯性力系的简化
(1)达朗贝尔惯性力系的主矢
c
i
ii
i
IiIR amamFF
???? ????? ?? )(
0)( ?? ??
i
Ii
i
e
i FF
??代入
即质心运动定理 ci
e
i
e
R amFF
??? ?? ? )()(
m----质点系(刚体)的总质量
----质点系(刚体)质心 C的加速度
Ca
?
( 21.10)
cIR amF
?? ??达朗贝尔惯性力系主矢
( 21.10)
cIR amF
?? ??达朗贝尔惯性力系主矢
(2)达朗贝尔惯性力系对任意一固定的 O点的主矩:
? ? ? ??? ????? iiiIiOIO amrFmM ?????
根据 ? ? ? ???
???? iiiiiiO amrvmrdtddtLd ????
?
dt
LdM O
IO
??
???
达朗贝尔惯性力系对固定的 O点主矩:
(21.11)
由 (21.9)’第 2式,令 A点为 O点:
? ? 0Ie ?? OO MM ??
dt
LdM Oe
O
??
?)(
对固定点 O的
动量矩定理
(3)达朗贝尔惯性力系对质点系质心 C(可为
动点)的主矩:
利用对不同点的动量矩之关系:
? ?CCO vmOCLL ??? ???
求导,并利用
Cvdt
OCd ??
? ? ??
?
?
???
???????
t
vmOCvm
t
OC
t
L
t
L C
C
CO
d
d
d
d
d
d
d
d ??
??
???
?
???
??????
t
vmOCvvm
t
L C
CC
C
d
d
d
d ???
?
C
CO amOC
t
L
t
L ??? ???
d
d
d
d
x
y
z
C
ir
?
ir?
?
Cr
? im
O
ia
?Cv?
C
CO amOC
t
L
t
L ??? ???
d
d
d
d
t
LM O
O d
d
I
??
??
cIR amF
?? ??由于
根据力系对不同点主矩之关系,有:
IRICIO FOCMM
??? ???
? ?iCn
i
C FMM I
1
I
??? ?
?
?? ? ? ?? ?e
1
e
iC
n
i
C FMM
??? ?
?
?由定义
由 (21.9)’第 2式,令 A点为质心 C点:
x
y
z
C
ir
?
ir?
?
Cr
? im
O
ia
?Cv?
? ? 0Ie ?? CC MM ?? ? ?edd CC MtL ?
?
? 对质心 C的动量矩定理
t
LM C
IC d
d
??
?? (21.12)
达朗贝尔惯性力系对
质点系质心 C的主矩:
( 21.10)
cIR amF
?? ??达朗贝尔惯性力系主矢
达朗贝尔惯性力系
对固定点 O的主矩 dtLdM OIO ?? ?? ( 21.11)
达朗贝尔惯性力系
对 质心 C的主矩 dtLdM CIC ?? ?? ( 21.12)
等效于对质点系质心 C的动量矩定理
dt
LdM C
IC
??
??
dt
LdM O
IO
??
??? 等效于质点系对固定点 O的动量矩定理
cIR amF
?? ?? 等效于质点系的质心运动定理
质点系达朗贝尔惯性力系的简化结果
2.平面运动的刚体达朗贝尔惯性力系的简化
若平面运动的刚体具有质量对称面,且质量对称面沿自
身所在平面运动,此时 的方向恒垂直于其质量对称
面,且 CL
?
??? CC JL ?
可用代数量表示,?
CC JL ?
( 转向与 相同)
CL ?
C
?
Ca
?
dt
LdM C
IC
??
??cIR amF ?? ??
由质点系达朗贝尔惯性力系向质心 C
的简化结果:
得平面运动刚体达朗贝尔惯性力系向质心 C简化的结果:
??? CIC JM ??CIC amF ?? ?? ( 21.13)
??? CIC JM ??CIC amF ?? ?? ( 21.13)
或:
?CIC JM ??
CIC amF
?? ??
( 21.13)
( 转向与 转向相反)
ICM
?
C
?
Ca
?ICF
?
ICM
平面运动刚体达朗贝尔惯性力系向质心 C简化的结果:
对刚体平面运动的特例(平面平移、定轴转动),
达朗贝尔惯性力系的简化结果更为简便:
( 1)刚体平面平移
C Ca?IC
F?
由于,0?? 0??
0,??? ICCIC MamF ??
( 21.14)
仅有一个达朗贝尔惯性力系的主矢,
此结果也适用于刚体作空间平移运动。
( 2)刚体定轴转动
O
?
?
C
?Ca?
nCa?
?ICF?
nICF?
nCCC aaa ??? ?? ? nICICIC FFF ??? ?? ?
a.达朗贝尔惯性力系向质心 C简化
的结果为:
nnI CC amF ?? ??
(21.15)
?? CC amF ?? ??I
?CIC JM ??
ICM
b.达朗贝尔惯性力系向转轴 O简化的结果为:
nnI CO amF ?? ??
(21.15)
?? CO amF ?? ??I
?OIO JM ??
O
?
?
C
?Ca?
nCa?
?IOF?
nIOF?
惯性力系向转轴 O简化
IOM
惯性力系向质心 C简化
O
?
?
C
?Ca?
nCa?
?ICF?
nICF?ICM
( 1)定轴转动刚体的达朗贝尔惯性力
系的这两种简化方法是等价的,最容易
犯的错误是,将达朗贝尔惯性力画在质
心上,而将达朗贝尔惯性力偶按定轴 O,
即式 写出。 ?OIC JM ??
注意
( 2)以上图示表示达朗贝尔
惯性力和达朗贝尔惯性力偶矩
时,其大小不要再将对应矢量
式前的, 负号, 带入,因为
,负号, 所表示的方向(或转
向)已在图中标出。以后在列
写平衡方程时,就是按图示方
向(或转向)来列写的。
惯性力系向质心 C简化
O
?
?
C
?Ca?
nCa?
?ICF?
nICF?ICM
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
均质轮 C,半径 r,质量 m,
在半径为 R 的固定圆轮上
纯滚动,, 已知,均质
杆 OC长 R+r,质量 M,均
质杆 CA长 l,质量 m,若
l=3r,R=4r,给出该
刚体系统达朗贝尔惯
性力系的简化结果。
??
R
r
C
O
A
?
?
R
r
C
O
A
?
?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
解,设杆 OC的质心为 B
杆 AC的质心为 D
B
D
轮 C一般平面运动,杆 OC定
轴转动,杆 AC定轴转动。?Ca?
nCa?
?Ba?
nBa?
1,运动学关系
轮 C, ?? ra C ?
2
22
5
)( ??
?
r
rR
rva Cn
C ????
杆 OC:
5
??? ?
???? rR
r
rR
v C
OC
(?)
5
?? ?
OC
(?)
OC?
OC?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
杆 OC:
5
??? ?
???? rR
r
rR
v C
OC
(?)
5
?? ?
OC
(?)
252
5
2
???? rrrRa
OCB ????
??
10)5(2
5
2
2
22 ??? rrrRa
OC
n
B ????
??R
r
C
O
A
?
?
B
D ?Ca?
nCa?
?Ba?
nBa?
OC?
OC?
R
r
C
O
A
?
?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
B
D ?Ca?
nCa?
?Ba?
nBa?
nDa?
?Da?
杆 AC:
5
?? ?
?? rR
v C
AC
(?)
5
?? ?
AC
(?)
10
73
52
73 ???? rrODa
ACD ?????
50
73)
5(2
73 222 ??? rrODa
AC
n
D ?????
rrrlROD 2734916)2(
2
222 ?????
AC?
AC?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
2.惯性力系简化结果
R
r
C
O
A
?
?
B
D ?Ca?
nCa?
?Ba?
nBa?
nDa?
?Da?OC
?
OC?
OC?
OC?
( 1)轮 C,向其质心 C简化:
?? mrF IC ?
5
2?mr
F nIC ?
2
2?
? mrJM CIC ??
(方向
如图)
( 2)杆 OC,向其质心 B简化:
2
?? rMF
IB ? 10
2?r
MF nIB ?
12
5
12
)( 22 MrrRMM
OCIB ??
?? ?
方
向
如
图
?? raC ?
25?ra nC ?
2
?? ra
B ? 10
2?ran
B ?
5
?? ?
OC
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
( 3)杆 AC,向其质心 D简化:
?? mrF ID 1073?
2
50
73 ?mrF n
ID ?
?? 2
2
20
3
12
)3( mrrmM
ACID ???
方
向
如
图
R
r
C
O
A
?
?
B
D ?Ca?
nCa?
?Ba?
nBa?
nDa?
?Da?OC
?
OC?
OC?
OC?
5
?? ?
AC
10
73 ?? ra
D ? 50
73 2?ra n
D ?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
此题易错处之一:
将定轴转动杆(如杆 OC)的 达
朗 贝尔 惯性力作用点画在杆的质
心处,而将惯性力偶矩写为:
OCOIC JM ??
或将惯性力画在 O点,
惯性力偶矩写为:
OCCIO JM ??
R
r
C
O
A
?
?
B
D ?Ca?
nCa?
?Ba?
nBa?
nDa?
?Da?OC
?
OC?
OC?
OC?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
此题易错处之二:
将纯滚动轮的 达朗 贝尔 惯性力作
用点画在杆的质心处,而将惯性
力偶矩写为:
?PIC JM ?
R
r
C
O
A
?
?
B
D ?Ca?
nCa?
?Ba?
nBa?
nDa?
?Da?OC
?
OC?
OC?
OC?
正确做法是:将惯性
力画在轮的速度瞬心
P点,惯性力偶矩才
可写为:
?PIP JM ?
§ 21.4 动静法及应用
( 1)明确研究对象;
( 2)正确进行受力分析,画出研究对象上所有主动力
和外约束力;
( 3)正确画出其达朗贝尔惯性力系的等效力系;
( 4)根据刚化公理,把研究对象刚化在该瞬时位置上;
( 5)应用静力学平衡条件列写研究对象在此位置上
的动态“平衡”方程(动态的含义是因为这些方程实
质上是含运动学特征量的动力学方程);
( 6)解“平衡”方程。
用动静法求解系统的动力学问题的一般步骤:
利用 达朗贝尔原理按照静力学平衡问题的求解方法
求解动力学问题 —— 动静法。
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
?例题
如图所示一半径为,质量为 的均质圆盘通过光滑销
钉 A,B连接一长度为,质量为 均质细杆 AD,已知
系统在力偶矩为 的主动力偶的作用下绕圆盘中心的
光滑轴 O以匀角速度 转动。若,, 。
当系统转至图示位置(点 O,A和 D在同一水平线上)时,
突然拔去销钉 B,试求该瞬时杆 AD的角加速度和 O处约
束力。
l
r2 1m
2m
??tM
12 2mm ? rl 4? rOA ??
A BO D
??tM
C
?
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
?例题
A BO D
??tM
C
?
解,分析,系统在铅垂面内匀角速度转动,主动力偶矩
必定随时间变化。 当销钉 B突然 拔去后的瞬间,主动力
偶 和两刚体的 角速度 都与拔去前的瞬间相同,但两刚体
均有 角加速度 。
( 1)在未拔销钉 B时求 M(t)
在突然 拔去销钉 B前的瞬间,
取整体为研究对象,画出受力图。
gm?1 gm?
2
OxF
?
OyF
?由达朗贝尔原理知:
:0? ?OM ? ? 022 ??? rrgmM
grmM 16? ( 1)
以 O为原点建立坐标系 Oxy,
此时,系统的 达朗
贝尔惯性力系向 O点简化结果
为过 O点的一个力。
x
y
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
?例题
( 2) 当拔去销钉 B后的瞬间,
设圆盘和杆的角加速度分别为,,转向均为顺
时针。
1? 2?
先取整体为研究对象,画出受力图(将此瞬时
达朗贝尔惯性力系向各刚体质心简化)。
A BO D
??tM
C
? gm?1 gm?2OxF
?
OyF
?
x
y
1?
2?
nAa?
?Aa?
为求杆质心 C的加速度,由 A,C两点加速度关系:
nCACAnAAC aaaaa ????? ???? ??
1?r 2?r 22?r 22 ?r?
? ? ? ? ?
nCAa? ?CAa?
222 32 ??? rrra Cx ?????
21 2 ?? rra Cy ???
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
?例题
A BO D
??tM
C
? gm?1 gm?2OxF
?
OyF
?
x
y
1?
2?
nAa?
?Aa?
nCAa? ?CAa?
CMI
xICF
yICF
222 32 ??? rrra Cx ????? 21 2 ?? rra Cy ???
OMI
达朗贝尔惯性力的简化结果为:
11
2
1
21 2)2(
2 ?? mrr
mM
IO ??
2122 63 ?? rmrmF xIC ??
)2(2)2( 211212 ???? ???? rmrmF yIC
21
2
2
22
3
8)4(
12 ?? mrr
mM
IC ??
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
?例题
由达朗贝尔原理列出平衡方程:
:0? ?xF 0I ?? xCOx FF (2)
:0? ?yF 0I21 ???? yCOy FgmgmF (3)
A BO D
??tM
C
? gm?1 gm?2OxF
?
OyF
?
x
y
1?
2?C
MI
xICF
yICF
OMI
:0? ?OM ? ?? ? 022III ?????? rrgmFMMM yCCO (4)
例 题 21-2
§ 21 达朗贝尔原理?例题
A BO D
??tM
C
? gm?1 gm?2OxF
?
OyF
?
x
y
1?
2?C
MI
xICF
yICF
OMI
0I ?? xCOx FF (2)
0I21 ???? yCOy FgmgmF (3)
? ?? ? 022III ?????? rrgmFMMM yCCO (4)
grmM 16? ( 1)
A DC
gm?2
AxF
?
AyF
? CMI x
ICF
yICF再取杆 AD为研究对象,画受力图,
由达朗贝尔原理知:
? ? 022II ??? rgmFM yCC (5):0? ?AM
gr5111 ??? gr562 ?? 216 ?rmF Ox ?? gmF Oy 1513?
联立( 1) — ( 5),得:
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
?例题
O
A
B
?60
OA杆长 l,质量为 m, AB为
一刚度系数为 k 的弹簧,系统
从图示初始位置由静止进入运
动,设初始位置弹簧的伸长量
为 l,不计弹簧的质量和各处
的摩擦,求杆 OA转至水平位
置的瞬时,杆 OA的角速度、
角加速度及 O处的约束力。
O
A
B
?60
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
?例题
解,系统仅重力、弹性力作功,
机械能守恒:
1122 VTVT ???
初始,0
1 ?T
222
1
2
2
2
11
kllmgklmgV ???? ?
取 O点为重力势能零点,弹簧原
始长度为弹性势能零点。
2
2
2
2 62
1 ?? mlJT
O ??
杆 OA定轴转动,设杆水平时角速度为,则:?
22
22 2
1
2
1 klkV ?? ?
A
?60
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
?例题
O
B
A
?60
代入机械能守恒式中,得:
2226
22
2
2 kll
mgklml ????
l
g3?? ? ( ?)
设杆水平时的角加速度为 ? ??
杆 OA此瞬时的 达朗贝尔惯性
力向质心 C简化:
C
?ICF?
nICF?
ICM
??? 2lmmaF CIC ?? 232 2 mglmmaF nCnIC ??? ?
?? 12
2ml
JM CIC ??
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
?例题
O
B
A
?60??
C
?ICF?
nICF?
ICM
??? 2lmmaF CIC ??
2
3
2
2 mglmmaF n
C
n
IC ??? ?
?? 12
2ml
JM CIC ??
取杆 OA为分离体,画出受力图
O AC
?ICF?
nICF?
ICM
gm?
OxF
?OyF
?
AF
?对杆 OA
0?? OM
060s i n2)( ?????? lFlmgFM AICIC ?
其中弹簧力 klF
A ?
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
?例题
O
B
A
?60??
C
?ICF?
nICF?
ICM
O AC
?ICF?
nICF?
ICM
gm?
OxF
?OyF
?
AF
?
??? 2lmmaF CIC ??
2
3
2
2 mglmmaF n
C
n
IC ??? ?
?? 12
2ml
JM CIC ??
060s i n2)( ?????? lFlmgFM AICIC ?
其中弹簧力
klFA ?
02 32)2(12
2
??????? lkllmgmlml ??
ml
klmg
2
)3(3 ??? (?)
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
?例题
O AC
?ICF?
nICF?
ICM
gm?
OxF
?OyF
?
AF
?
??? 2lmmaF CIC ??
2
3
2
2 mglmmaF n
C
n
IC ??? ?
?? 12
2ml
JM CIC ??
其中弹簧力
klFA ?
0?? xF 060c o s ???? AnICOx FFF
22
360c o s klmgFFF
A
n
ICOx ????????
负号表示( ?)
0?? yF 060s i n ????? AICOy FmgFF ?
?????? 60s i nAICOy FmgFF ?
klmgklmgml klmgml 4 342 32 )3(32 ???????? (?)
对 OA列 x,y方向的平衡方程:
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
A B
杆 AB长 l,质量为 m,圆轮半径为 r,质量为 m,地
面光滑,杆 AB从水平位置无初速释放,求杆 AB运
动到铅垂位置时,( 1) A点的速度和 AB杆的角速
度。( 2) A点的加速度和 AB杆的角加速度。( 3)
地面对圆轮的支持力。
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
解,画出整体受力图和圆轮的受力图
分析圆轮的受力,圆轮外力均过
质心 A,故对质心动量矩守恒:
000 ???? AAAAAA JLJL ??
0?? A? 圆轮为平动
A
B
C
( 2)当 AB杆运动到铅垂时,
设杆的角速度为,圆轮 A
点的速度为, AB
?
Av?
AB?
Av?
CAv
?Cv?由 C,A两点速度关系
CAAC vvv
??? ??
A BC
gm? gm?
NF
?
A
gm?
NF
?
AxF
?
AyF
? ′
′
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
由 C,A两点速度关系
CAAC vvv
??? ??
AABCAAC v
lvvv ????? ?
2
投影,(?)
系统整体仅受铅垂方向外力,
故水平方向动量守恒:
00 ???? pmvmvp CA
0)2( ???? AABA vlv ?
l
v A
AB
4?? (?)
A BC
gm? gm?
NF
?
A
B
C
AB?
Av?
CAv
?Cv?
A
gm?
NF
?
AxF
?
AyF
? ′
′
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
l
v A
AB
4?? (?)
(3)系统仅受重力,机械能守恒
设点 A处为势能零点,则:
011 ?? VT初始位置:
杆铅垂位置:
22
2
2
2
222
2
3
5
1222
)
2
(
2
222
AAB
AAB
A
ABCCA
mv
ml
v
l
m
mv
Jmvmv
T
?
?
?
?
??
???
?
?
?2
2
lmgV ??
AABC v
lv ?? ?
2
A BC
gm? gm?
NF
?
A
B
C
AB?
Av?
CAv
?Cv?
A
gm?
NF
?
AxF
?
AyF
? ′
′
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
011 ?? VT初始位置:
杆铅垂位置:
23
5 2
22
lmgmvVT
A ???
23
5 2 m g lmv
A ??
10
3 glv
A ?
(?)
l
ggl
ll
v A
AB 5
24
10
344 ???? ?
(?)
A BC
gm? gm?
NF
?
A
B
C
AB?
Av?
CAv
?Cv?
A
gm?
NF
?
AxF
?
AyF
? ′
′
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
A
B
C
AB?
Aa?
?
Ca
?
(4) 取杆 AB为分离体,设杆 AB的角加速度
AB?
A
B
C
AB?
AyF
?
AxF
?
?ICF?n
ICF
?
ICM
画出受力图:
由 A,C两点的加速度关系:
nCACAAnCCC aaaaaa ?????? ????? ??
?CAa?
nCAa?
n
Ca
?投影:
AABACAC a
laaa ???? ???
2
gl gllaa ABnCAnC 51252422 2 ????? ?
)2( AABIC almF ?? ?? 512 mgF nIC ? ABIC
mlM ?
12
2
?
A
gm?
NF
?
AxF
?
AyF
? ′
′
gm?
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
(5) 对杆 AB:
)2( AABIC almF ?? ??
5
12 mgF n
IC ? ABIC
mlM ?
12
2
?
0?? AM 0
2 ???
lFM
ICIC
?
02)2(12
2
???? lalmml AABAB ??
l
a A
AB 2
3?? (?)
(1)
0??? nICAy FmgF对杆 0?? yF
A
B
C
AB?
gm?
AyF
?
AxF
?
?ICF?n
ICF
?
ICM
mgmgmgF Ay 517512 ???? (?)
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
A
gm?
NF
?
AxF
?
AyF
? ′
′
A
B
C
AB?
Aa?
?
Ca
?
AB?
A
B
C
AB?
gm?
AyF
?
AxF
?
xICF?y
ICF
?
ICM
?CAa?
nCAa?
n
Ca
?
0212
2
???? lFml AxAB?
l
a A
AB 2
3?? (1)
02 ?? lFM AxIC
6
AB
Ax
mlF ??? (2)
0?? CM对杆:
(3)0??
xF 0??? IAAx FF
IAF
?
0???? AyN FmgF0?? yF
(4)
对轮,达朗贝尔 惯性力
AIA maF ?
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
A
B
C
AB?
Aa?
?
Ca
?
AB?
A
B
C
AB?
gm?
AyF
?
AxF
?
xICF?y
ICF
?
ICM
?CAa?
nCAa?
n
Ca
?
A
gm?
NF
?
AxF
?
AyF
?
IAF
?
l
a A
AB 2
3?? (1)
6
AB
Ax
mlF ??? (2)
(3)0??
AAx maF
0??? AyN FmgF
(4)
mgF Ay 517?
(?)
mgmgmgF N 522517 ??? (?)
0?Aa 0?AB?
联立,可求得:
0?AxF
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 39)
(下册)
§ 21 达朗贝尔原理
§ 21.1 惯性力的概念
动力学问题
动能定理
动量定理
动量矩定理
运动学关系
两点速度、
加速度关系
复合运动
联
立
求
解
静力学问题
平衡方程
0?? RF?
0?? OM?
达朗贝尔原理
(动静法)
惯性力 —— 人为引入的假想力,
无施力者,与观察者有关,与真实力同
样有运动、变形效应。
1.第一类惯性力
在非惯性系中引入,使牛顿第二定律形式上仍成立,
2.第二类惯性力
在惯性系中引入,使动力学形式上转
化为静力学问题,
)( cre aaamamF ????? ????
其中:牵连惯性力、科氏惯性力
x
y
z
x’
y’
z’
m
F?
a?
x
y
z
m
F?
a?
NF
?
在非惯性系中
rce amamamF
???? ????? )()( (21.1)
amFF N ??? ??
(21.2)
0)( ???? amFF N ???
(21.3)
amF I ?? ??达朗贝尔惯性力 ( 21.4)
0)( ???? amFF N ???
(21.3)
amF I ?? ??
达朗贝尔惯性力 ( 21.4)
0??? IN FFF ???
(21.5)共点力系平衡方程
质点的达朗贝尔原理:质点在运动的任一
瞬时,主动力、约束力和达朗贝尔惯性力
组成一个形式上的平衡共点力系。
§ 21.2 达朗贝尔原理
x
y
z
m
F?
a?
NF
?
1.质点的达朗贝尔原理
iiIi amF
?? ??达朗贝尔惯性力 ( 21.7)
0??? IiNii FFF ???
(21.8)n个平衡的共点力系
质点系的达朗贝尔原理:质点系在运动的任一瞬时,外
力系和达朗贝尔惯性力系组成一个形式上的平衡力系。
2,质点系的达朗贝尔原理
0)( ???? iiNii amFF ??? (21.6)
对质点系中
任意质点
0)( ?? ??
i
Ii
i
e
i FF
??达朗贝尔原
理平衡方程
0)()( )( ?? ??
i
IiA
e
i
i
A FMFM
????
( 21.9)
其中内力系自平衡,故外力系与达朗贝尔惯性力系平衡。
0)( ?? ??
i
Ii
i
e
i FF
??达朗贝尔原
理平衡方程
0)()( )( ?? ??
i
IiA
e
i
i
A FMFM
????
( 21.9)
0)( ?? IReR FF ??达朗贝尔原
理平衡方程
0)( ?? IAeA MM ??
( 21.9)’
记:
??
i
e
i
e
R FF
)()( ?? ??
i
IiIR FF
??
??
i
IiAIA FMM )(
?????
i
e
iA
e
A FMM )(
)()( ???
达朗贝尔原理的平衡方程中,矩
方程的矩心 A点可以任意选取。
§ 21.3 质点系的达朗贝尔惯性力系的简化
—— 简化为一等效力系(主矢 +主矩)
1.质点系达朗贝尔惯性力系的简化
(1)达朗贝尔惯性力系的主矢
c
i
ii
i
IiIR amamFF
???? ????? ?? )(
0)( ?? ??
i
Ii
i
e
i FF
??代入
即质心运动定理 ci
e
i
e
R amFF
??? ?? ? )()(
m----质点系(刚体)的总质量
----质点系(刚体)质心 C的加速度
Ca
?
( 21.10)
cIR amF
?? ??达朗贝尔惯性力系主矢
( 21.10)
cIR amF
?? ??达朗贝尔惯性力系主矢
(2)达朗贝尔惯性力系对任意一固定的 O点的主矩:
? ? ? ??? ????? iiiIiOIO amrFmM ?????
根据 ? ? ? ???
???? iiiiiiO amrvmrdtddtLd ????
?
dt
LdM O
IO
??
???
达朗贝尔惯性力系对固定的 O点主矩:
(21.11)
由 (21.9)’第 2式,令 A点为 O点:
? ? 0Ie ?? OO MM ??
dt
LdM Oe
O
??
?)(
对固定点 O的
动量矩定理
(3)达朗贝尔惯性力系对质点系质心 C(可为
动点)的主矩:
利用对不同点的动量矩之关系:
? ?CCO vmOCLL ??? ???
求导,并利用
Cvdt
OCd ??
? ? ??
?
?
???
???????
t
vmOCvm
t
OC
t
L
t
L C
C
CO
d
d
d
d
d
d
d
d ??
??
???
?
???
??????
t
vmOCvvm
t
L C
CC
C
d
d
d
d ???
?
C
CO amOC
t
L
t
L ??? ???
d
d
d
d
x
y
z
C
ir
?
ir?
?
Cr
? im
O
ia
?Cv?
C
CO amOC
t
L
t
L ??? ???
d
d
d
d
t
LM O
O d
d
I
??
??
cIR amF
?? ??由于
根据力系对不同点主矩之关系,有:
IRICIO FOCMM
??? ???
? ?iCn
i
C FMM I
1
I
??? ?
?
?? ? ? ?? ?e
1
e
iC
n
i
C FMM
??? ?
?
?由定义
由 (21.9)’第 2式,令 A点为质心 C点:
x
y
z
C
ir
?
ir?
?
Cr
? im
O
ia
?Cv?
? ? 0Ie ?? CC MM ?? ? ?edd CC MtL ?
?
? 对质心 C的动量矩定理
t
LM C
IC d
d
??
?? (21.12)
达朗贝尔惯性力系对
质点系质心 C的主矩:
( 21.10)
cIR amF
?? ??达朗贝尔惯性力系主矢
达朗贝尔惯性力系
对固定点 O的主矩 dtLdM OIO ?? ?? ( 21.11)
达朗贝尔惯性力系
对 质心 C的主矩 dtLdM CIC ?? ?? ( 21.12)
等效于对质点系质心 C的动量矩定理
dt
LdM C
IC
??
??
dt
LdM O
IO
??
??? 等效于质点系对固定点 O的动量矩定理
cIR amF
?? ?? 等效于质点系的质心运动定理
质点系达朗贝尔惯性力系的简化结果
2.平面运动的刚体达朗贝尔惯性力系的简化
若平面运动的刚体具有质量对称面,且质量对称面沿自
身所在平面运动,此时 的方向恒垂直于其质量对称
面,且 CL
?
??? CC JL ?
可用代数量表示,?
CC JL ?
( 转向与 相同)
CL ?
C
?
Ca
?
dt
LdM C
IC
??
??cIR amF ?? ??
由质点系达朗贝尔惯性力系向质心 C
的简化结果:
得平面运动刚体达朗贝尔惯性力系向质心 C简化的结果:
??? CIC JM ??CIC amF ?? ?? ( 21.13)
??? CIC JM ??CIC amF ?? ?? ( 21.13)
或:
?CIC JM ??
CIC amF
?? ??
( 21.13)
( 转向与 转向相反)
ICM
?
C
?
Ca
?ICF
?
ICM
平面运动刚体达朗贝尔惯性力系向质心 C简化的结果:
对刚体平面运动的特例(平面平移、定轴转动),
达朗贝尔惯性力系的简化结果更为简便:
( 1)刚体平面平移
C Ca?IC
F?
由于,0?? 0??
0,??? ICCIC MamF ??
( 21.14)
仅有一个达朗贝尔惯性力系的主矢,
此结果也适用于刚体作空间平移运动。
( 2)刚体定轴转动
O
?
?
C
?Ca?
nCa?
?ICF?
nICF?
nCCC aaa ??? ?? ? nICICIC FFF ??? ?? ?
a.达朗贝尔惯性力系向质心 C简化
的结果为:
nnI CC amF ?? ??
(21.15)
?? CC amF ?? ??I
?CIC JM ??
ICM
b.达朗贝尔惯性力系向转轴 O简化的结果为:
nnI CO amF ?? ??
(21.15)
?? CO amF ?? ??I
?OIO JM ??
O
?
?
C
?Ca?
nCa?
?IOF?
nIOF?
惯性力系向转轴 O简化
IOM
惯性力系向质心 C简化
O
?
?
C
?Ca?
nCa?
?ICF?
nICF?ICM
( 1)定轴转动刚体的达朗贝尔惯性力
系的这两种简化方法是等价的,最容易
犯的错误是,将达朗贝尔惯性力画在质
心上,而将达朗贝尔惯性力偶按定轴 O,
即式 写出。 ?OIC JM ??
注意
( 2)以上图示表示达朗贝尔
惯性力和达朗贝尔惯性力偶矩
时,其大小不要再将对应矢量
式前的, 负号, 带入,因为
,负号, 所表示的方向(或转
向)已在图中标出。以后在列
写平衡方程时,就是按图示方
向(或转向)来列写的。
惯性力系向质心 C简化
O
?
?
C
?Ca?
nCa?
?ICF?
nICF?ICM
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
均质轮 C,半径 r,质量 m,
在半径为 R 的固定圆轮上
纯滚动,, 已知,均质
杆 OC长 R+r,质量 M,均
质杆 CA长 l,质量 m,若
l=3r,R=4r,给出该
刚体系统达朗贝尔惯
性力系的简化结果。
??
R
r
C
O
A
?
?
R
r
C
O
A
?
?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
解,设杆 OC的质心为 B
杆 AC的质心为 D
B
D
轮 C一般平面运动,杆 OC定
轴转动,杆 AC定轴转动。?Ca?
nCa?
?Ba?
nBa?
1,运动学关系
轮 C, ?? ra C ?
2
22
5
)( ??
?
r
rR
rva Cn
C ????
杆 OC:
5
??? ?
???? rR
r
rR
v C
OC
(?)
5
?? ?
OC
(?)
OC?
OC?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
杆 OC:
5
??? ?
???? rR
r
rR
v C
OC
(?)
5
?? ?
OC
(?)
252
5
2
???? rrrRa
OCB ????
??
10)5(2
5
2
2
22 ??? rrrRa
OC
n
B ????
??R
r
C
O
A
?
?
B
D ?Ca?
nCa?
?Ba?
nBa?
OC?
OC?
R
r
C
O
A
?
?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
B
D ?Ca?
nCa?
?Ba?
nBa?
nDa?
?Da?
杆 AC:
5
?? ?
?? rR
v C
AC
(?)
5
?? ?
AC
(?)
10
73
52
73 ???? rrODa
ACD ?????
50
73)
5(2
73 222 ??? rrODa
AC
n
D ?????
rrrlROD 2734916)2(
2
222 ?????
AC?
AC?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
2.惯性力系简化结果
R
r
C
O
A
?
?
B
D ?Ca?
nCa?
?Ba?
nBa?
nDa?
?Da?OC
?
OC?
OC?
OC?
( 1)轮 C,向其质心 C简化:
?? mrF IC ?
5
2?mr
F nIC ?
2
2?
? mrJM CIC ??
(方向
如图)
( 2)杆 OC,向其质心 B简化:
2
?? rMF
IB ? 10
2?r
MF nIB ?
12
5
12
)( 22 MrrRMM
OCIB ??
?? ?
方
向
如
图
?? raC ?
25?ra nC ?
2
?? ra
B ? 10
2?ran
B ?
5
?? ?
OC
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
( 3)杆 AC,向其质心 D简化:
?? mrF ID 1073?
2
50
73 ?mrF n
ID ?
?? 2
2
20
3
12
)3( mrrmM
ACID ???
方
向
如
图
R
r
C
O
A
?
?
B
D ?Ca?
nCa?
?Ba?
nBa?
nDa?
?Da?OC
?
OC?
OC?
OC?
5
?? ?
AC
10
73 ?? ra
D ? 50
73 2?ra n
D ?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
此题易错处之一:
将定轴转动杆(如杆 OC)的 达
朗 贝尔 惯性力作用点画在杆的质
心处,而将惯性力偶矩写为:
OCOIC JM ??
或将惯性力画在 O点,
惯性力偶矩写为:
OCCIO JM ??
R
r
C
O
A
?
?
B
D ?Ca?
nCa?
?Ba?
nBa?
nDa?
?Da?OC
?
OC?
OC?
OC?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
此题易错处之二:
将纯滚动轮的 达朗 贝尔 惯性力作
用点画在杆的质心处,而将惯性
力偶矩写为:
?PIC JM ?
R
r
C
O
A
?
?
B
D ?Ca?
nCa?
?Ba?
nBa?
nDa?
?Da?OC
?
OC?
OC?
OC?
正确做法是:将惯性
力画在轮的速度瞬心
P点,惯性力偶矩才
可写为:
?PIP JM ?
§ 21.4 动静法及应用
( 1)明确研究对象;
( 2)正确进行受力分析,画出研究对象上所有主动力
和外约束力;
( 3)正确画出其达朗贝尔惯性力系的等效力系;
( 4)根据刚化公理,把研究对象刚化在该瞬时位置上;
( 5)应用静力学平衡条件列写研究对象在此位置上
的动态“平衡”方程(动态的含义是因为这些方程实
质上是含运动学特征量的动力学方程);
( 6)解“平衡”方程。
用动静法求解系统的动力学问题的一般步骤:
利用 达朗贝尔原理按照静力学平衡问题的求解方法
求解动力学问题 —— 动静法。
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
?例题
如图所示一半径为,质量为 的均质圆盘通过光滑销
钉 A,B连接一长度为,质量为 均质细杆 AD,已知
系统在力偶矩为 的主动力偶的作用下绕圆盘中心的
光滑轴 O以匀角速度 转动。若,, 。
当系统转至图示位置(点 O,A和 D在同一水平线上)时,
突然拔去销钉 B,试求该瞬时杆 AD的角加速度和 O处约
束力。
l
r2 1m
2m
??tM
12 2mm ? rl 4? rOA ??
A BO D
??tM
C
?
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
?例题
A BO D
??tM
C
?
解,分析,系统在铅垂面内匀角速度转动,主动力偶矩
必定随时间变化。 当销钉 B突然 拔去后的瞬间,主动力
偶 和两刚体的 角速度 都与拔去前的瞬间相同,但两刚体
均有 角加速度 。
( 1)在未拔销钉 B时求 M(t)
在突然 拔去销钉 B前的瞬间,
取整体为研究对象,画出受力图。
gm?1 gm?
2
OxF
?
OyF
?由达朗贝尔原理知:
:0? ?OM ? ? 022 ??? rrgmM
grmM 16? ( 1)
以 O为原点建立坐标系 Oxy,
此时,系统的 达朗
贝尔惯性力系向 O点简化结果
为过 O点的一个力。
x
y
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
?例题
( 2) 当拔去销钉 B后的瞬间,
设圆盘和杆的角加速度分别为,,转向均为顺
时针。
1? 2?
先取整体为研究对象,画出受力图(将此瞬时
达朗贝尔惯性力系向各刚体质心简化)。
A BO D
??tM
C
? gm?1 gm?2OxF
?
OyF
?
x
y
1?
2?
nAa?
?Aa?
为求杆质心 C的加速度,由 A,C两点加速度关系:
nCACAnAAC aaaaa ????? ???? ??
1?r 2?r 22?r 22 ?r?
? ? ? ? ?
nCAa? ?CAa?
222 32 ??? rrra Cx ?????
21 2 ?? rra Cy ???
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
?例题
A BO D
??tM
C
? gm?1 gm?2OxF
?
OyF
?
x
y
1?
2?
nAa?
?Aa?
nCAa? ?CAa?
CMI
xICF
yICF
222 32 ??? rrra Cx ????? 21 2 ?? rra Cy ???
OMI
达朗贝尔惯性力的简化结果为:
11
2
1
21 2)2(
2 ?? mrr
mM
IO ??
2122 63 ?? rmrmF xIC ??
)2(2)2( 211212 ???? ???? rmrmF yIC
21
2
2
22
3
8)4(
12 ?? mrr
mM
IC ??
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
?例题
由达朗贝尔原理列出平衡方程:
:0? ?xF 0I ?? xCOx FF (2)
:0? ?yF 0I21 ???? yCOy FgmgmF (3)
A BO D
??tM
C
? gm?1 gm?2OxF
?
OyF
?
x
y
1?
2?C
MI
xICF
yICF
OMI
:0? ?OM ? ?? ? 022III ?????? rrgmFMMM yCCO (4)
例 题 21-2
§ 21 达朗贝尔原理?例题
A BO D
??tM
C
? gm?1 gm?2OxF
?
OyF
?
x
y
1?
2?C
MI
xICF
yICF
OMI
0I ?? xCOx FF (2)
0I21 ???? yCOy FgmgmF (3)
? ?? ? 022III ?????? rrgmFMMM yCCO (4)
grmM 16? ( 1)
A DC
gm?2
AxF
?
AyF
? CMI x
ICF
yICF再取杆 AD为研究对象,画受力图,
由达朗贝尔原理知:
? ? 022II ??? rgmFM yCC (5):0? ?AM
gr5111 ??? gr562 ?? 216 ?rmF Ox ?? gmF Oy 1513?
联立( 1) — ( 5),得:
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
?例题
O
A
B
?60
OA杆长 l,质量为 m, AB为
一刚度系数为 k 的弹簧,系统
从图示初始位置由静止进入运
动,设初始位置弹簧的伸长量
为 l,不计弹簧的质量和各处
的摩擦,求杆 OA转至水平位
置的瞬时,杆 OA的角速度、
角加速度及 O处的约束力。
O
A
B
?60
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
?例题
解,系统仅重力、弹性力作功,
机械能守恒:
1122 VTVT ???
初始,0
1 ?T
222
1
2
2
2
11
kllmgklmgV ???? ?
取 O点为重力势能零点,弹簧原
始长度为弹性势能零点。
2
2
2
2 62
1 ?? mlJT
O ??
杆 OA定轴转动,设杆水平时角速度为,则:?
22
22 2
1
2
1 klkV ?? ?
A
?60
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
?例题
O
B
A
?60
代入机械能守恒式中,得:
2226
22
2
2 kll
mgklml ????
l
g3?? ? ( ?)
设杆水平时的角加速度为 ? ??
杆 OA此瞬时的 达朗贝尔惯性
力向质心 C简化:
C
?ICF?
nICF?
ICM
??? 2lmmaF CIC ?? 232 2 mglmmaF nCnIC ??? ?
?? 12
2ml
JM CIC ??
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
?例题
O
B
A
?60??
C
?ICF?
nICF?
ICM
??? 2lmmaF CIC ??
2
3
2
2 mglmmaF n
C
n
IC ??? ?
?? 12
2ml
JM CIC ??
取杆 OA为分离体,画出受力图
O AC
?ICF?
nICF?
ICM
gm?
OxF
?OyF
?
AF
?对杆 OA
0?? OM
060s i n2)( ?????? lFlmgFM AICIC ?
其中弹簧力 klF
A ?
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
?例题
O
B
A
?60??
C
?ICF?
nICF?
ICM
O AC
?ICF?
nICF?
ICM
gm?
OxF
?OyF
?
AF
?
??? 2lmmaF CIC ??
2
3
2
2 mglmmaF n
C
n
IC ??? ?
?? 12
2ml
JM CIC ??
060s i n2)( ?????? lFlmgFM AICIC ?
其中弹簧力
klFA ?
02 32)2(12
2
??????? lkllmgmlml ??
ml
klmg
2
)3(3 ??? (?)
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
?例题
O AC
?ICF?
nICF?
ICM
gm?
OxF
?OyF
?
AF
?
??? 2lmmaF CIC ??
2
3
2
2 mglmmaF n
C
n
IC ??? ?
?? 12
2ml
JM CIC ??
其中弹簧力
klFA ?
0?? xF 060c o s ???? AnICOx FFF
22
360c o s klmgFFF
A
n
ICOx ????????
负号表示( ?)
0?? yF 060s i n ????? AICOy FmgFF ?
?????? 60s i nAICOy FmgFF ?
klmgklmgml klmgml 4 342 32 )3(32 ???????? (?)
对 OA列 x,y方向的平衡方程:
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
A B
杆 AB长 l,质量为 m,圆轮半径为 r,质量为 m,地
面光滑,杆 AB从水平位置无初速释放,求杆 AB运
动到铅垂位置时,( 1) A点的速度和 AB杆的角速
度。( 2) A点的加速度和 AB杆的角加速度。( 3)
地面对圆轮的支持力。
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
解,画出整体受力图和圆轮的受力图
分析圆轮的受力,圆轮外力均过
质心 A,故对质心动量矩守恒:
000 ???? AAAAAA JLJL ??
0?? A? 圆轮为平动
A
B
C
( 2)当 AB杆运动到铅垂时,
设杆的角速度为,圆轮 A
点的速度为, AB
?
Av?
AB?
Av?
CAv
?Cv?由 C,A两点速度关系
CAAC vvv
??? ??
A BC
gm? gm?
NF
?
A
gm?
NF
?
AxF
?
AyF
? ′
′
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
由 C,A两点速度关系
CAAC vvv
??? ??
AABCAAC v
lvvv ????? ?
2
投影,(?)
系统整体仅受铅垂方向外力,
故水平方向动量守恒:
00 ???? pmvmvp CA
0)2( ???? AABA vlv ?
l
v A
AB
4?? (?)
A BC
gm? gm?
NF
?
A
B
C
AB?
Av?
CAv
?Cv?
A
gm?
NF
?
AxF
?
AyF
? ′
′
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
l
v A
AB
4?? (?)
(3)系统仅受重力,机械能守恒
设点 A处为势能零点,则:
011 ?? VT初始位置:
杆铅垂位置:
22
2
2
2
222
2
3
5
1222
)
2
(
2
222
AAB
AAB
A
ABCCA
mv
ml
v
l
m
mv
Jmvmv
T
?
?
?
?
??
???
?
?
?2
2
lmgV ??
AABC v
lv ?? ?
2
A BC
gm? gm?
NF
?
A
B
C
AB?
Av?
CAv
?Cv?
A
gm?
NF
?
AxF
?
AyF
? ′
′
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
011 ?? VT初始位置:
杆铅垂位置:
23
5 2
22
lmgmvVT
A ???
23
5 2 m g lmv
A ??
10
3 glv
A ?
(?)
l
ggl
ll
v A
AB 5
24
10
344 ???? ?
(?)
A BC
gm? gm?
NF
?
A
B
C
AB?
Av?
CAv
?Cv?
A
gm?
NF
?
AxF
?
AyF
? ′
′
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
A
B
C
AB?
Aa?
?
Ca
?
(4) 取杆 AB为分离体,设杆 AB的角加速度
AB?
A
B
C
AB?
AyF
?
AxF
?
?ICF?n
ICF
?
ICM
画出受力图:
由 A,C两点的加速度关系:
nCACAAnCCC aaaaaa ?????? ????? ??
?CAa?
nCAa?
n
Ca
?投影:
AABACAC a
laaa ???? ???
2
gl gllaa ABnCAnC 51252422 2 ????? ?
)2( AABIC almF ?? ?? 512 mgF nIC ? ABIC
mlM ?
12
2
?
A
gm?
NF
?
AxF
?
AyF
? ′
′
gm?
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
(5) 对杆 AB:
)2( AABIC almF ?? ??
5
12 mgF n
IC ? ABIC
mlM ?
12
2
?
0?? AM 0
2 ???
lFM
ICIC
?
02)2(12
2
???? lalmml AABAB ??
l
a A
AB 2
3?? (?)
(1)
0??? nICAy FmgF对杆 0?? yF
A
B
C
AB?
gm?
AyF
?
AxF
?
?ICF?n
ICF
?
ICM
mgmgmgF Ay 517512 ???? (?)
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
A
gm?
NF
?
AxF
?
AyF
? ′
′
A
B
C
AB?
Aa?
?
Ca
?
AB?
A
B
C
AB?
gm?
AyF
?
AxF
?
xICF?y
ICF
?
ICM
?CAa?
nCAa?
n
Ca
?
0212
2
???? lFml AxAB?
l
a A
AB 2
3?? (1)
02 ?? lFM AxIC
6
AB
Ax
mlF ??? (2)
0?? CM对杆:
(3)0??
xF 0??? IAAx FF
IAF
?
0???? AyN FmgF0?? yF
(4)
对轮,达朗贝尔 惯性力
AIA maF ?
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
A
B
C
AB?
Aa?
?
Ca
?
AB?
A
B
C
AB?
gm?
AyF
?
AxF
?
xICF?y
ICF
?
ICM
?CAa?
nCAa?
n
Ca
?
A
gm?
NF
?
AxF
?
AyF
?
IAF
?
l
a A
AB 2
3?? (1)
6
AB
Ax
mlF ??? (2)
(3)0??
AAx maF
0??? AyN FmgF
(4)
mgF Ay 517?
(?)
mgmgmgF N 522517 ??? (?)
0?Aa 0?AB?
联立,可求得:
0?AxF