工程力学（ C）
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 39)
（下册）
§ 21 达朗贝尔原理
§ 21.1 惯性力的概念
动力学问题
动能定理
动量定理
动量矩定理
运动学关系
两点速度、
加速度关系
复合运动
联
立
求
解
静力学问题
平衡方程
0?? RF?
0?? OM?
达朗贝尔原理
（动静法）
惯性力 —— 人为引入的假想力，
无施力者，与观察者有关，与真实力同
样有运动、变形效应。
1.第一类惯性力
在非惯性系中引入,使牛顿第二定律形式上仍成立,
2.第二类惯性力
在惯性系中引入,使动力学形式上转
化为静力学问题,
)( cre aaamamF ????? ????
其中：牵连惯性力、科氏惯性力
x
y
z
x’
y’
z’
m
F?
a?
x
y
z
m
F?
a?
NF
?
在非惯性系中
rce amamamF
???? ????? )()( (21.1)
amFF N ??? ??
(21.2)
0)( ???? amFF N ???
(21.3)
amF I ?? ??达朗贝尔惯性力 （ 21.4）
0)( ???? amFF N ???
(21.3)
amF I ?? ??
达朗贝尔惯性力 （ 21.4）
0??? IN FFF ???
(21.5)共点力系平衡方程
质点的达朗贝尔原理：质点在运动的任一
瞬时，主动力、约束力和达朗贝尔惯性力
组成一个形式上的平衡共点力系。
§ 21.2 达朗贝尔原理
x
y
z
m
F?
a?
NF
?
1.质点的达朗贝尔原理
iiIi amF
?? ??达朗贝尔惯性力 （ 21.7）
0??? IiNii FFF ???
(21.8)n个平衡的共点力系
质点系的达朗贝尔原理：质点系在运动的任一瞬时，外
力系和达朗贝尔惯性力系组成一个形式上的平衡力系。
2,质点系的达朗贝尔原理
0)( ???? iiNii amFF ??? (21.6)
对质点系中
任意质点
0)( ?? ??
i
Ii
i
e
i FF
??达朗贝尔原
理平衡方程
0)()( )( ?? ??
i
IiA
e
i
i
A FMFM
????
（ 21.9)
其中内力系自平衡，故外力系与达朗贝尔惯性力系平衡。
0)( ?? ??
i
Ii
i
e
i FF
??达朗贝尔原
理平衡方程
0)()( )( ?? ??
i
IiA
e
i
i
A FMFM
????
（ 21.9)
0)( ?? IReR FF ??达朗贝尔原
理平衡方程
0)( ?? IAeA MM ??
（ 21.9)’
记：
??
i
e
i
e
R FF
)()( ?? ??
i
IiIR FF
??
??
i
IiAIA FMM )(
?????
i
e
iA
e
A FMM )(
)()( ???
达朗贝尔原理的平衡方程中，矩
方程的矩心 A点可以任意选取。
§ 21.3 质点系的达朗贝尔惯性力系的简化
—— 简化为一等效力系（主矢 +主矩）
1.质点系达朗贝尔惯性力系的简化
(1)达朗贝尔惯性力系的主矢
c
i
ii
i
IiIR amamFF
???? ????? ?? )(
0)( ?? ??
i
Ii
i
e
i FF
??代入
即质心运动定理 ci
e
i
e
R amFF
??? ?? ? )()(
m----质点系（刚体）的总质量
----质点系（刚体）质心 C的加速度
Ca
?
（ 21.10）
cIR amF
?? ??达朗贝尔惯性力系主矢
（ 21.10）
cIR amF
?? ??达朗贝尔惯性力系主矢
(2)达朗贝尔惯性力系对任意一固定的 O点的主矩：
? ? ? ??? ????? iiiIiOIO amrFmM ?????
根据 ? ? ? ???
???? iiiiiiO amrvmrdtddtLd ????
?
dt
LdM O
IO
??
???
达朗贝尔惯性力系对固定的 O点主矩：
(21.11)
由 (21.9)’第 2式，令 A点为 O点：
? ? 0Ie ?? OO MM ??
dt
LdM Oe
O
??
?)(
对固定点 O的
动量矩定理
(3)达朗贝尔惯性力系对质点系质心 C（可为
动点）的主矩：
利用对不同点的动量矩之关系：
? ?CCO vmOCLL ??? ???
求导，并利用
Cvdt
OCd ??
? ? ??
?
?
???
???????
t
vmOCvm
t
OC
t
L
t
L C
C
CO
d
d
d
d
d
d
d
d ??
??
???
?
???
??????
t
vmOCvvm
t
L C
CC
C
d
d
d
d ???
?
C
CO amOC
t
L
t
L ??? ???
d
d
d
d
x
y
z
C
ir
?
ir?
?
Cr
? im
O
ia
?Cv?
C
CO amOC
t
L
t
L ??? ???
d
d
d
d
t
LM O
O d
d
I
??
??
cIR amF
?? ??由于
根据力系对不同点主矩之关系，有：
IRICIO FOCMM
??? ???
? ?iCn
i
C FMM I
1
I
??? ?
?
?? ? ? ?? ?e
1
e
iC
n
i
C FMM
??? ?
?
?由定义
由 (21.9)’第 2式，令 A点为质心 C点：
x
y
z
C
ir
?
ir?
?
Cr
? im
O
ia
?Cv?
? ? 0Ie ?? CC MM ?? ? ?edd CC MtL ?
?
? 对质心 C的动量矩定理
t
LM C
IC d
d
??
?? (21.12)
达朗贝尔惯性力系对
质点系质心 C的主矩：
（ 21.10）
cIR amF
?? ??达朗贝尔惯性力系主矢
达朗贝尔惯性力系
对固定点 O的主矩 dtLdM OIO ?? ?? （ 21.11）
达朗贝尔惯性力系
对 质心 C的主矩 dtLdM CIC ?? ?? （ 21.12）
等效于对质点系质心 C的动量矩定理
dt
LdM C
IC
??
??
dt
LdM O
IO
??
??? 等效于质点系对固定点 O的动量矩定理
cIR amF
?? ?? 等效于质点系的质心运动定理
质点系达朗贝尔惯性力系的简化结果
2.平面运动的刚体达朗贝尔惯性力系的简化
若平面运动的刚体具有质量对称面，且质量对称面沿自
身所在平面运动，此时 的方向恒垂直于其质量对称
面，且 CL
?
??? CC JL ?
可用代数量表示,?
CC JL ?
（ 转向与 相同）
CL ?
C
?
Ca
?
dt
LdM C
IC
??
??cIR amF ?? ??
由质点系达朗贝尔惯性力系向质心 C
的简化结果：
得平面运动刚体达朗贝尔惯性力系向质心 C简化的结果：
??? CIC JM ??CIC amF ?? ?? （ 21.13）
??? CIC JM ??CIC amF ?? ?? （ 21.13）
或：
?CIC JM ??
CIC amF
?? ??
（ 21.13）
（ 转向与 转向相反）
ICM
?
C
?
Ca
?ICF
?
ICM
平面运动刚体达朗贝尔惯性力系向质心 C简化的结果：
对刚体平面运动的特例（平面平移、定轴转动），
达朗贝尔惯性力系的简化结果更为简便：
（ 1）刚体平面平移
C Ca?IC
F?
由于,0?? 0??
0,??? ICCIC MamF ??
（ 21.14）
仅有一个达朗贝尔惯性力系的主矢,
此结果也适用于刚体作空间平移运动。
（ 2）刚体定轴转动
O
?
?
C
?Ca?
nCa?
?ICF?
nICF?
nCCC aaa ??? ?? ? nICICIC FFF ??? ?? ?
a.达朗贝尔惯性力系向质心 C简化
的结果为：
nnI CC amF ?? ??
(21.15)
?? CC amF ?? ??I
?CIC JM ??
ICM
b.达朗贝尔惯性力系向转轴 O简化的结果为：
nnI CO amF ?? ??
(21.15)
?? CO amF ?? ??I
?OIO JM ??
O
?
?
C
?Ca?
nCa?
?IOF?
nIOF?
惯性力系向转轴 O简化
IOM
惯性力系向质心 C简化
O
?
?
C
?Ca?
nCa?
?ICF?
nICF?ICM
（ 1）定轴转动刚体的达朗贝尔惯性力
系的这两种简化方法是等价的，最容易
犯的错误是，将达朗贝尔惯性力画在质
心上，而将达朗贝尔惯性力偶按定轴 O，
即式 写出。 ?OIC JM ??
注意
（ 2）以上图示表示达朗贝尔
惯性力和达朗贝尔惯性力偶矩
时，其大小不要再将对应矢量
式前的, 负号, 带入，因为
,负号, 所表示的方向（或转
向）已在图中标出。以后在列
写平衡方程时，就是按图示方
向（或转向）来列写的。
惯性力系向质心 C简化
O
?
?
C
?Ca?
nCa?
?ICF?
nICF?ICM
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
均质轮 C，半径 r，质量 m，
在半径为 R 的固定圆轮上
纯滚动，, 已知，均质
杆 OC长 R+r，质量 M,均
质杆 CA长 l，质量 m，若
l=3r,R=4r,给出该
刚体系统达朗贝尔惯
性力系的简化结果。
??
R
r
C
O
A
?
?
R
r
C
O
A
?
?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
解,设杆 OC的质心为 B
杆 AC的质心为 D
B
D
轮 C一般平面运动，杆 OC定
轴转动，杆 AC定轴转动。?Ca?
nCa?
?Ba?
nBa?
1,运动学关系
轮 C, ?? ra C ?
2
22
5
)( ??
?
r
rR
rva Cn
C ????
杆 OC：
5
??? ?
???? rR
r
rR
v C
OC
(?)
5
?? ?
OC
(?)
OC?
OC?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
杆 OC：
5
??? ?
???? rR
r
rR
v C
OC
(?)
5
?? ?
OC
(?)
252
5
2
???? rrrRa
OCB ????
??
10)5(2
5
2
2
22 ??? rrrRa
OC
n
B ????
??R
r
C
O
A
?
?
B
D ?Ca?
nCa?
?Ba?
nBa?
OC?
OC?
R
r
C
O
A
?
?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
B
D ?Ca?
nCa?
?Ba?
nBa?
nDa?
?Da?
杆 AC：
5
?? ?
?? rR
v C
AC
(?)
5
?? ?
AC
(?)
10
73
52
73 ???? rrODa
ACD ?????
50
73)
5(2
73 222 ??? rrODa
AC
n
D ?????
rrrlROD 2734916)2(
2
222 ?????
AC?
AC?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
2.惯性力系简化结果
R
r
C
O
A
?
?
B
D ?Ca?
nCa?
?Ba?
nBa?
nDa?
?Da?OC
?
OC?
OC?
OC?
（ 1）轮 C，向其质心 C简化：
?? mrF IC ?
5
2?mr
F nIC ?
2
2?
? mrJM CIC ??
（方向
如图）
（ 2）杆 OC，向其质心 B简化：
2
?? rMF
IB ? 10
2?r
MF nIB ?
12
5
12
)( 22 MrrRMM
OCIB ??
?? ?
方
向
如
图
?? raC ?
25?ra nC ?
2
?? ra
B ? 10
2?ran
B ?
5
?? ?
OC
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
（ 3）杆 AC，向其质心 D简化：
?? mrF ID 1073?
2
50
73 ?mrF n
ID ?
?? 2
2
20
3
12
)3( mrrmM
ACID ???
方
向
如
图
R
r
C
O
A
?
?
B
D ?Ca?
nCa?
?Ba?
nBa?
nDa?
?Da?OC
?
OC?
OC?
OC?
5
?? ?
AC
10
73 ?? ra
D ? 50
73 2?ra n
D ?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
此题易错处之一：
将定轴转动杆（如杆 OC）的 达
朗 贝尔 惯性力作用点画在杆的质
心处，而将惯性力偶矩写为：
OCOIC JM ??
或将惯性力画在 O点，
惯性力偶矩写为：
OCCIO JM ??
R
r
C
O
A
?
?
B
D ?Ca?
nCa?
?Ba?
nBa?
nDa?
?Da?OC
?
OC?
OC?
OC?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
此题易错处之二：
将纯滚动轮的 达朗 贝尔 惯性力作
用点画在杆的质心处，而将惯性
力偶矩写为：
?PIC JM ?
R
r
C
O
A
?
?
B
D ?Ca?
nCa?
?Ba?
nBa?
nDa?
?Da?OC
?
OC?
OC?
OC?
正确做法是：将惯性
力画在轮的速度瞬心
P点，惯性力偶矩才
可写为：
?PIP JM ?
§ 21.4 动静法及应用
（ 1）明确研究对象；
（ 2）正确进行受力分析，画出研究对象上所有主动力
和外约束力；
（ 3）正确画出其达朗贝尔惯性力系的等效力系；
（ 4）根据刚化公理，把研究对象刚化在该瞬时位置上；
（ 5）应用静力学平衡条件列写研究对象在此位置上
的动态“平衡”方程（动态的含义是因为这些方程实
质上是含运动学特征量的动力学方程）；
（ 6）解“平衡”方程。
用动静法求解系统的动力学问题的一般步骤：
利用 达朗贝尔原理按照静力学平衡问题的求解方法
求解动力学问题 —— 动静法。
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
?例题
如图所示一半径为,质量为 的均质圆盘通过光滑销
钉 A,B连接一长度为,质量为 均质细杆 AD，已知
系统在力偶矩为 的主动力偶的作用下绕圆盘中心的
光滑轴 O以匀角速度 转动。若,, 。
当系统转至图示位置（点 O,A和 D在同一水平线上）时，
突然拔去销钉 B，试求该瞬时杆 AD的角加速度和 O处约
束力。
l
r2 1m
2m
??tM
12 2mm ? rl 4? rOA ??
A BO D
??tM
C
?
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
?例题
A BO D
??tM
C
?
解,分析,系统在铅垂面内匀角速度转动，主动力偶矩
必定随时间变化。 当销钉 B突然 拔去后的瞬间,主动力
偶 和两刚体的 角速度 都与拔去前的瞬间相同，但两刚体
均有 角加速度 。
（ 1）在未拔销钉 B时求 M(t)
在突然 拔去销钉 B前的瞬间,
取整体为研究对象，画出受力图。
gm?1 gm?
2
OxF
?
OyF
?由达朗贝尔原理知：
:0? ?OM ? ? 022 ??? rrgmM
grmM 16? （ 1）
以 O为原点建立坐标系 Oxy，
此时，系统的 达朗
贝尔惯性力系向 O点简化结果
为过 O点的一个力。
x
y
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
?例题
（ 2） 当拔去销钉 B后的瞬间,
设圆盘和杆的角加速度分别为,,转向均为顺
时针。
1? 2?
先取整体为研究对象，画出受力图（将此瞬时
达朗贝尔惯性力系向各刚体质心简化）。
A BO D
??tM
C
? gm?1 gm?2OxF
?
OyF
?
x
y
1?
2?
nAa?
?Aa?
为求杆质心 C的加速度，由 A,C两点加速度关系：
nCACAnAAC aaaaa ????? ???? ??
1?r 2?r 22?r 22 ?r？
？ ? ? ? ?
nCAa? ?CAa?
222 32 ??? rrra Cx ?????
21 2 ?? rra Cy ???
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
?例题
A BO D
??tM
C
? gm?1 gm?2OxF
?
OyF
?
x
y
1?
2?
nAa?
?Aa?
nCAa? ?CAa?
CMI
xICF
yICF
222 32 ??? rrra Cx ????? 21 2 ?? rra Cy ???
OMI
达朗贝尔惯性力的简化结果为：
11
2
1
21 2)2(
2 ?? mrr
mM
IO ??
2122 63 ?? rmrmF xIC ??
)2(2)2( 211212 ???? ???? rmrmF yIC
21
2
2
22
3
8)4(
12 ?? mrr
mM
IC ??
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
?例题
由达朗贝尔原理列出平衡方程：
:0? ?xF 0I ?? xCOx FF (2)
:0? ?yF 0I21 ???? yCOy FgmgmF (3)
A BO D
??tM
C
? gm?1 gm?2OxF
?
OyF
?
x
y
1?
2?C
MI
xICF
yICF
OMI
:0? ?OM ? ?? ? 022III ?????? rrgmFMMM yCCO (4)
例 题 21-2
§ 21 达朗贝尔原理?例题
A BO D
??tM
C
? gm?1 gm?2OxF
?
OyF
?
x
y
1?
2?C
MI
xICF
yICF
OMI
0I ?? xCOx FF (2)
0I21 ???? yCOy FgmgmF (3)
? ?? ? 022III ?????? rrgmFMMM yCCO (4)
grmM 16? （ 1）
A DC
gm?2
AxF
?
AyF
? CMI x
ICF
yICF再取杆 AD为研究对象，画受力图，
由达朗贝尔原理知：
? ? 022II ??? rgmFM yCC (5):0? ?AM
gr5111 ??? gr562 ?? 216 ?rmF Ox ?? gmF Oy 1513?
联立（ 1） — （ 5），得：
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
?例题
O
A
B
?60
OA杆长 l,质量为 m, AB为
一刚度系数为 k 的弹簧，系统
从图示初始位置由静止进入运
动，设初始位置弹簧的伸长量
为 l,不计弹簧的质量和各处
的摩擦，求杆 OA转至水平位
置的瞬时，杆 OA的角速度、
角加速度及 O处的约束力。
O
A
B
?60
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
?例题
解,系统仅重力、弹性力作功，
机械能守恒：
1122 VTVT ???
初始,0
1 ?T
222
1
2
2
2
11
kllmgklmgV ???? ?
取 O点为重力势能零点，弹簧原
始长度为弹性势能零点。
2
2
2
2 62
1 ?? mlJT
O ??
杆 OA定轴转动，设杆水平时角速度为,则：?
22
22 2
1
2
1 klkV ?? ?
A
?60
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
?例题
O
B
A
?60
代入机械能守恒式中，得：
2226
22
2
2 kll
mgklml ????
l
g3?? ? （ ?）
设杆水平时的角加速度为 ? ??
杆 OA此瞬时的 达朗贝尔惯性
力向质心 C简化：
C
?ICF?
nICF?
ICM
??? 2lmmaF CIC ?? 232 2 mglmmaF nCnIC ??? ?
?? 12
2ml
JM CIC ??
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
?例题
O
B
A
?60??
C
?ICF?
nICF?
ICM
??? 2lmmaF CIC ??
2
3
2
2 mglmmaF n
C
n
IC ??? ?
?? 12
2ml
JM CIC ??
取杆 OA为分离体，画出受力图
O AC
?ICF?
nICF?
ICM
gm?
OxF
?OyF
?
AF
?对杆 OA
0?? OM
060s i n2)( ?????? lFlmgFM AICIC ?
其中弹簧力 klF
A ?
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
?例题
O
B
A
?60??
C
?ICF?
nICF?
ICM
O AC
?ICF?
nICF?
ICM
gm?
OxF
?OyF
?
AF
?
??? 2lmmaF CIC ??
2
3
2
2 mglmmaF n
C
n
IC ??? ?
?? 12
2ml
JM CIC ??
060s i n2)( ?????? lFlmgFM AICIC ?
其中弹簧力
klFA ?
02 32)2(12
2
??????? lkllmgmlml ??
ml
klmg
2
)3(3 ??? (?)
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
?例题
O AC
?ICF?
nICF?
ICM
gm?
OxF
?OyF
?
AF
?
??? 2lmmaF CIC ??
2
3
2
2 mglmmaF n
C
n
IC ??? ?
?? 12
2ml
JM CIC ??
其中弹簧力
klFA ?
0?? xF 060c o s ???? AnICOx FFF
22
360c o s klmgFFF
A
n
ICOx ????????
负号表示（ ?）
0?? yF 060s i n ????? AICOy FmgFF ?
?????? 60s i nAICOy FmgFF ?
klmgklmgml klmgml 4 342 32 )3(32 ???????? (?)
对 OA列 x,y方向的平衡方程：
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
A B
杆 AB长 l,质量为 m，圆轮半径为 r，质量为 m，地
面光滑，杆 AB从水平位置无初速释放，求杆 AB运
动到铅垂位置时，（ 1） A点的速度和 AB杆的角速
度。（ 2） A点的加速度和 AB杆的角加速度。（ 3）
地面对圆轮的支持力。
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
解,画出整体受力图和圆轮的受力图
分析圆轮的受力，圆轮外力均过
质心 A，故对质心动量矩守恒：
000 ???? AAAAAA JLJL ??
0?? A? 圆轮为平动
A
B
C
（ 2）当 AB杆运动到铅垂时，
设杆的角速度为,圆轮 A
点的速度为, AB
?
Av?
AB?
Av?
CAv
?Cv?由 C,A两点速度关系
CAAC vvv
??? ??
A BC
gm? gm?
NF
?
A
gm?
NF
?
AxF
?
AyF
? ′
′
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
由 C,A两点速度关系
CAAC vvv
??? ??
AABCAAC v
lvvv ????? ?
2
投影,(?)
系统整体仅受铅垂方向外力，
故水平方向动量守恒：
00 ???? pmvmvp CA
0)2( ???? AABA vlv ?
l
v A
AB
4?? (?)
A BC
gm? gm?
NF
?
A
B
C
AB?
Av?
CAv
?Cv?
A
gm?
NF
?
AxF
?
AyF
? ′
′
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
l
v A
AB
4?? (?)
(3)系统仅受重力，机械能守恒
设点 A处为势能零点，则：
011 ?? VT初始位置：
杆铅垂位置：
22
2
2
2
222
2
3
5
1222
)
2
(
2
222
AAB
AAB
A
ABCCA
mv
ml
v
l
m
mv
Jmvmv
T
?
?
?
?
??
???
?
?
?2
2
lmgV ??
AABC v
lv ?? ?
2
A BC
gm? gm?
NF
?
A
B
C
AB?
Av?
CAv
?Cv?
A
gm?
NF
?
AxF
?
AyF
? ′
′
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
011 ?? VT初始位置：
杆铅垂位置：
23
5 2
22
lmgmvVT
A ???
23
5 2 m g lmv
A ??
10
3 glv
A ?
(?)
l
ggl
ll
v A
AB 5
24
10
344 ???? ?
(?)
A BC
gm? gm?
NF
?
A
B
C
AB?
Av?
CAv
?Cv?
A
gm?
NF
?
AxF
?
AyF
? ′
′
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
A
B
C
AB?
Aa?
?
Ca
?
(4) 取杆 AB为分离体，设杆 AB的角加速度
AB?
A
B
C
AB?
AyF
?
AxF
?
?ICF?n
ICF
?
ICM
画出受力图：
由 A,C两点的加速度关系：
nCACAAnCCC aaaaaa ?????? ????? ??
?CAa?
nCAa?
n
Ca
?投影：
AABACAC a
laaa ???? ???
2
gl gllaa ABnCAnC 51252422 2 ????? ?
)2( AABIC almF ?? ?? 512 mgF nIC ? ABIC
mlM ?
12
2
?
A
gm?
NF
?
AxF
?
AyF
? ′
′
gm?
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
(5) 对杆 AB:
)2( AABIC almF ?? ??
5
12 mgF n
IC ? ABIC
mlM ?
12
2
?
0?? AM 0
2 ???
lFM
ICIC
?
02)2(12
2
???? lalmml AABAB ??
l
a A
AB 2
3?? (?)
(1)
0??? nICAy FmgF对杆 0?? yF
A
B
C
AB?
gm?
AyF
?
AxF
?
?ICF?n
ICF
?
ICM
mgmgmgF Ay 517512 ???? (?)
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
A
gm?
NF
?
AxF
?
AyF
? ′
′
A
B
C
AB?
Aa?
?
Ca
?
AB?
A
B
C
AB?
gm?
AyF
?
AxF
?
xICF?y
ICF
?
ICM
?CAa?
nCAa?
n
Ca
?
0212
2
???? lFml AxAB?
l
a A
AB 2
3?? (1)
02 ?? lFM AxIC
6
AB
Ax
mlF ??? (2)
0?? CM对杆：
(3)0??
xF 0??? IAAx FF
IAF
?
0???? AyN FmgF0?? yF
(4)
对轮,达朗贝尔 惯性力
AIA maF ?
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
A
B
C
AB?
Aa?
?
Ca
?
AB?
A
B
C
AB?
gm?
AyF
?
AxF
?
xICF?y
ICF
?
ICM
?CAa?
nCAa?
n
Ca
?
A
gm?
NF
?
AxF
?
AyF
?
IAF
?
l
a A
AB 2
3?? (1)
6
AB
Ax
mlF ??? (2)
(3)0??
AAx maF
0??? AyN FmgF
(4)
mgF Ay 517?
(?)
mgmgmgF N 522517 ??? (?)
0?Aa 0?AB?
联立，可求得：
0?AxF
北京理工大学理学院力学系 韩斌
( 39)
（下册）
§ 21 达朗贝尔原理
§ 21.1 惯性力的概念
动力学问题
动能定理
动量定理
动量矩定理
运动学关系
两点速度、
加速度关系
复合运动
联
立
求
解
静力学问题
平衡方程
0?? RF?
0?? OM?
达朗贝尔原理
（动静法）
惯性力 —— 人为引入的假想力，
无施力者，与观察者有关，与真实力同
样有运动、变形效应。
1.第一类惯性力
在非惯性系中引入,使牛顿第二定律形式上仍成立,
2.第二类惯性力
在惯性系中引入,使动力学形式上转
化为静力学问题,
)( cre aaamamF ????? ????
其中：牵连惯性力、科氏惯性力
x
y
z
x’
y’
z’
m
F?
a?
x
y
z
m
F?
a?
NF
?
在非惯性系中
rce amamamF
???? ????? )()( (21.1)
amFF N ??? ??
(21.2)
0)( ???? amFF N ???
(21.3)
amF I ?? ??达朗贝尔惯性力 （ 21.4）
0)( ???? amFF N ???
(21.3)
amF I ?? ??
达朗贝尔惯性力 （ 21.4）
0??? IN FFF ???
(21.5)共点力系平衡方程
质点的达朗贝尔原理：质点在运动的任一
瞬时，主动力、约束力和达朗贝尔惯性力
组成一个形式上的平衡共点力系。
§ 21.2 达朗贝尔原理
x
y
z
m
F?
a?
NF
?
1.质点的达朗贝尔原理
iiIi amF
?? ??达朗贝尔惯性力 （ 21.7）
0??? IiNii FFF ???
(21.8)n个平衡的共点力系
质点系的达朗贝尔原理：质点系在运动的任一瞬时，外
力系和达朗贝尔惯性力系组成一个形式上的平衡力系。
2,质点系的达朗贝尔原理
0)( ???? iiNii amFF ??? (21.6)
对质点系中
任意质点
0)( ?? ??
i
Ii
i
e
i FF
??达朗贝尔原
理平衡方程
0)()( )( ?? ??
i
IiA
e
i
i
A FMFM
????
（ 21.9)
其中内力系自平衡，故外力系与达朗贝尔惯性力系平衡。
0)( ?? ??
i
Ii
i
e
i FF
??达朗贝尔原
理平衡方程
0)()( )( ?? ??
i
IiA
e
i
i
A FMFM
????
（ 21.9)
0)( ?? IReR FF ??达朗贝尔原
理平衡方程
0)( ?? IAeA MM ??
（ 21.9)’
记：
??
i
e
i
e
R FF
)()( ?? ??
i
IiIR FF
??
??
i
IiAIA FMM )(
?????
i
e
iA
e
A FMM )(
)()( ???
达朗贝尔原理的平衡方程中，矩
方程的矩心 A点可以任意选取。
§ 21.3 质点系的达朗贝尔惯性力系的简化
—— 简化为一等效力系（主矢 +主矩）
1.质点系达朗贝尔惯性力系的简化
(1)达朗贝尔惯性力系的主矢
c
i
ii
i
IiIR amamFF
???? ????? ?? )(
0)( ?? ??
i
Ii
i
e
i FF
??代入
即质心运动定理 ci
e
i
e
R amFF
??? ?? ? )()(
m----质点系（刚体）的总质量
----质点系（刚体）质心 C的加速度
Ca
?
（ 21.10）
cIR amF
?? ??达朗贝尔惯性力系主矢
（ 21.10）
cIR amF
?? ??达朗贝尔惯性力系主矢
(2)达朗贝尔惯性力系对任意一固定的 O点的主矩：
? ? ? ??? ????? iiiIiOIO amrFmM ?????
根据 ? ? ? ???
???? iiiiiiO amrvmrdtddtLd ????
?
dt
LdM O
IO
??
???
达朗贝尔惯性力系对固定的 O点主矩：
(21.11)
由 (21.9)’第 2式，令 A点为 O点：
? ? 0Ie ?? OO MM ??
dt
LdM Oe
O
??
?)(
对固定点 O的
动量矩定理
(3)达朗贝尔惯性力系对质点系质心 C（可为
动点）的主矩：
利用对不同点的动量矩之关系：
? ?CCO vmOCLL ??? ???
求导，并利用
Cvdt
OCd ??
? ? ??
?
?
???
???????
t
vmOCvm
t
OC
t
L
t
L C
C
CO
d
d
d
d
d
d
d
d ??
??
???
?
???
??????
t
vmOCvvm
t
L C
CC
C
d
d
d
d ???
?
C
CO amOC
t
L
t
L ??? ???
d
d
d
d
x
y
z
C
ir
?
ir?
?
Cr
? im
O
ia
?Cv?
C
CO amOC
t
L
t
L ??? ???
d
d
d
d
t
LM O
O d
d
I
??
??
cIR amF
?? ??由于
根据力系对不同点主矩之关系，有：
IRICIO FOCMM
??? ???
? ?iCn
i
C FMM I
1
I
??? ?
?
?? ? ? ?? ?e
1
e
iC
n
i
C FMM
??? ?
?
?由定义
由 (21.9)’第 2式，令 A点为质心 C点：
x
y
z
C
ir
?
ir?
?
Cr
? im
O
ia
?Cv?
? ? 0Ie ?? CC MM ?? ? ?edd CC MtL ?
?
? 对质心 C的动量矩定理
t
LM C
IC d
d
??
?? (21.12)
达朗贝尔惯性力系对
质点系质心 C的主矩：
（ 21.10）
cIR amF
?? ??达朗贝尔惯性力系主矢
达朗贝尔惯性力系
对固定点 O的主矩 dtLdM OIO ?? ?? （ 21.11）
达朗贝尔惯性力系
对 质心 C的主矩 dtLdM CIC ?? ?? （ 21.12）
等效于对质点系质心 C的动量矩定理
dt
LdM C
IC
??
??
dt
LdM O
IO
??
??? 等效于质点系对固定点 O的动量矩定理
cIR amF
?? ?? 等效于质点系的质心运动定理
质点系达朗贝尔惯性力系的简化结果
2.平面运动的刚体达朗贝尔惯性力系的简化
若平面运动的刚体具有质量对称面，且质量对称面沿自
身所在平面运动，此时 的方向恒垂直于其质量对称
面，且 CL
?
??? CC JL ?
可用代数量表示,?
CC JL ?
（ 转向与 相同）
CL ?
C
?
Ca
?
dt
LdM C
IC
??
??cIR amF ?? ??
由质点系达朗贝尔惯性力系向质心 C
的简化结果：
得平面运动刚体达朗贝尔惯性力系向质心 C简化的结果：
??? CIC JM ??CIC amF ?? ?? （ 21.13）
??? CIC JM ??CIC amF ?? ?? （ 21.13）
或：
?CIC JM ??
CIC amF
?? ??
（ 21.13）
（ 转向与 转向相反）
ICM
?
C
?
Ca
?ICF
?
ICM
平面运动刚体达朗贝尔惯性力系向质心 C简化的结果：
对刚体平面运动的特例（平面平移、定轴转动），
达朗贝尔惯性力系的简化结果更为简便：
（ 1）刚体平面平移
C Ca?IC
F?
由于,0?? 0??
0,??? ICCIC MamF ??
（ 21.14）
仅有一个达朗贝尔惯性力系的主矢,
此结果也适用于刚体作空间平移运动。
（ 2）刚体定轴转动
O
?
?
C
?Ca?
nCa?
?ICF?
nICF?
nCCC aaa ??? ?? ? nICICIC FFF ??? ?? ?
a.达朗贝尔惯性力系向质心 C简化
的结果为：
nnI CC amF ?? ??
(21.15)
?? CC amF ?? ??I
?CIC JM ??
ICM
b.达朗贝尔惯性力系向转轴 O简化的结果为：
nnI CO amF ?? ??
(21.15)
?? CO amF ?? ??I
?OIO JM ??
O
?
?
C
?Ca?
nCa?
?IOF?
nIOF?
惯性力系向转轴 O简化
IOM
惯性力系向质心 C简化
O
?
?
C
?Ca?
nCa?
?ICF?
nICF?ICM
（ 1）定轴转动刚体的达朗贝尔惯性力
系的这两种简化方法是等价的，最容易
犯的错误是，将达朗贝尔惯性力画在质
心上，而将达朗贝尔惯性力偶按定轴 O，
即式 写出。 ?OIC JM ??
注意
（ 2）以上图示表示达朗贝尔
惯性力和达朗贝尔惯性力偶矩
时，其大小不要再将对应矢量
式前的, 负号, 带入，因为
,负号, 所表示的方向（或转
向）已在图中标出。以后在列
写平衡方程时，就是按图示方
向（或转向）来列写的。
惯性力系向质心 C简化
O
?
?
C
?Ca?
nCa?
?ICF?
nICF?ICM
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
均质轮 C，半径 r，质量 m，
在半径为 R 的固定圆轮上
纯滚动，, 已知，均质
杆 OC长 R+r，质量 M,均
质杆 CA长 l，质量 m，若
l=3r,R=4r,给出该
刚体系统达朗贝尔惯
性力系的简化结果。
??
R
r
C
O
A
?
?
R
r
C
O
A
?
?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
解,设杆 OC的质心为 B
杆 AC的质心为 D
B
D
轮 C一般平面运动，杆 OC定
轴转动，杆 AC定轴转动。?Ca?
nCa?
?Ba?
nBa?
1,运动学关系
轮 C, ?? ra C ?
2
22
5
)( ??
?
r
rR
rva Cn
C ????
杆 OC：
5
??? ?
???? rR
r
rR
v C
OC
(?)
5
?? ?
OC
(?)
OC?
OC?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
杆 OC：
5
??? ?
???? rR
r
rR
v C
OC
(?)
5
?? ?
OC
(?)
252
5
2
???? rrrRa
OCB ????
??
10)5(2
5
2
2
22 ??? rrrRa
OC
n
B ????
??R
r
C
O
A
?
?
B
D ?Ca?
nCa?
?Ba?
nBa?
OC?
OC?
R
r
C
O
A
?
?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
B
D ?Ca?
nCa?
?Ba?
nBa?
nDa?
?Da?
杆 AC：
5
?? ?
?? rR
v C
AC
(?)
5
?? ?
AC
(?)
10
73
52
73 ???? rrODa
ACD ?????
50
73)
5(2
73 222 ??? rrODa
AC
n
D ?????
rrrlROD 2734916)2(
2
222 ?????
AC?
AC?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
2.惯性力系简化结果
R
r
C
O
A
?
?
B
D ?Ca?
nCa?
?Ba?
nBa?
nDa?
?Da?OC
?
OC?
OC?
OC?
（ 1）轮 C，向其质心 C简化：
?? mrF IC ?
5
2?mr
F nIC ?
2
2?
? mrJM CIC ??
（方向
如图）
（ 2）杆 OC，向其质心 B简化：
2
?? rMF
IB ? 10
2?r
MF nIB ?
12
5
12
)( 22 MrrRMM
OCIB ??
?? ?
方
向
如
图
?? raC ?
25?ra nC ?
2
?? ra
B ? 10
2?ran
B ?
5
?? ?
OC
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
（ 3）杆 AC，向其质心 D简化：
?? mrF ID 1073?
2
50
73 ?mrF n
ID ?
?? 2
2
20
3
12
)3( mrrmM
ACID ???
方
向
如
图
R
r
C
O
A
?
?
B
D ?Ca?
nCa?
?Ba?
nBa?
nDa?
?Da?OC
?
OC?
OC?
OC?
5
?? ?
AC
10
73 ?? ra
D ? 50
73 2?ra n
D ?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
此题易错处之一：
将定轴转动杆（如杆 OC）的 达
朗 贝尔 惯性力作用点画在杆的质
心处，而将惯性力偶矩写为：
OCOIC JM ??
或将惯性力画在 O点，
惯性力偶矩写为：
OCCIO JM ??
R
r
C
O
A
?
?
B
D ?Ca?
nCa?
?Ba?
nBa?
nDa?
?Da?OC
?
OC?
OC?
OC?
例 题 21-1 § 21 达朗贝尔原理
?例题
此题易错处之二：
将纯滚动轮的 达朗 贝尔 惯性力作
用点画在杆的质心处，而将惯性
力偶矩写为：
?PIC JM ?
R
r
C
O
A
?
?
B
D ?Ca?
nCa?
?Ba?
nBa?
nDa?
?Da?OC
?
OC?
OC?
OC?
正确做法是：将惯性
力画在轮的速度瞬心
P点，惯性力偶矩才
可写为：
?PIP JM ?
§ 21.4 动静法及应用
（ 1）明确研究对象；
（ 2）正确进行受力分析，画出研究对象上所有主动力
和外约束力；
（ 3）正确画出其达朗贝尔惯性力系的等效力系；
（ 4）根据刚化公理，把研究对象刚化在该瞬时位置上；
（ 5）应用静力学平衡条件列写研究对象在此位置上
的动态“平衡”方程（动态的含义是因为这些方程实
质上是含运动学特征量的动力学方程）；
（ 6）解“平衡”方程。
用动静法求解系统的动力学问题的一般步骤：
利用 达朗贝尔原理按照静力学平衡问题的求解方法
求解动力学问题 —— 动静法。
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
?例题
如图所示一半径为,质量为 的均质圆盘通过光滑销
钉 A,B连接一长度为,质量为 均质细杆 AD，已知
系统在力偶矩为 的主动力偶的作用下绕圆盘中心的
光滑轴 O以匀角速度 转动。若,, 。
当系统转至图示位置（点 O,A和 D在同一水平线上）时，
突然拔去销钉 B，试求该瞬时杆 AD的角加速度和 O处约
束力。
l
r2 1m
2m
??tM
12 2mm ? rl 4? rOA ??
A BO D
??tM
C
?
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
?例题
A BO D
??tM
C
?
解,分析,系统在铅垂面内匀角速度转动，主动力偶矩
必定随时间变化。 当销钉 B突然 拔去后的瞬间,主动力
偶 和两刚体的 角速度 都与拔去前的瞬间相同，但两刚体
均有 角加速度 。
（ 1）在未拔销钉 B时求 M(t)
在突然 拔去销钉 B前的瞬间,
取整体为研究对象，画出受力图。
gm?1 gm?
2
OxF
?
OyF
?由达朗贝尔原理知：
:0? ?OM ? ? 022 ??? rrgmM
grmM 16? （ 1）
以 O为原点建立坐标系 Oxy，
此时，系统的 达朗
贝尔惯性力系向 O点简化结果
为过 O点的一个力。
x
y
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
?例题
（ 2） 当拔去销钉 B后的瞬间,
设圆盘和杆的角加速度分别为,,转向均为顺
时针。
1? 2?
先取整体为研究对象，画出受力图（将此瞬时
达朗贝尔惯性力系向各刚体质心简化）。
A BO D
??tM
C
? gm?1 gm?2OxF
?
OyF
?
x
y
1?
2?
nAa?
?Aa?
为求杆质心 C的加速度，由 A,C两点加速度关系：
nCACAnAAC aaaaa ????? ???? ??
1?r 2?r 22?r 22 ?r？
？ ? ? ? ?
nCAa? ?CAa?
222 32 ??? rrra Cx ?????
21 2 ?? rra Cy ???
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
?例题
A BO D
??tM
C
? gm?1 gm?2OxF
?
OyF
?
x
y
1?
2?
nAa?
?Aa?
nCAa? ?CAa?
CMI
xICF
yICF
222 32 ??? rrra Cx ????? 21 2 ?? rra Cy ???
OMI
达朗贝尔惯性力的简化结果为：
11
2
1
21 2)2(
2 ?? mrr
mM
IO ??
2122 63 ?? rmrmF xIC ??
)2(2)2( 211212 ???? ???? rmrmF yIC
21
2
2
22
3
8)4(
12 ?? mrr
mM
IC ??
例 题 21-2 § 21 达朗贝尔原理
?例题
由达朗贝尔原理列出平衡方程：
:0? ?xF 0I ?? xCOx FF (2)
:0? ?yF 0I21 ???? yCOy FgmgmF (3)
A BO D
??tM
C
? gm?1 gm?2OxF
?
OyF
?
x
y
1?
2?C
MI
xICF
yICF
OMI
:0? ?OM ? ?? ? 022III ?????? rrgmFMMM yCCO (4)
例 题 21-2
§ 21 达朗贝尔原理?例题
A BO D
??tM
C
? gm?1 gm?2OxF
?
OyF
?
x
y
1?
2?C
MI
xICF
yICF
OMI
0I ?? xCOx FF (2)
0I21 ???? yCOy FgmgmF (3)
? ?? ? 022III ?????? rrgmFMMM yCCO (4)
grmM 16? （ 1）
A DC
gm?2
AxF
?
AyF
? CMI x
ICF
yICF再取杆 AD为研究对象，画受力图，
由达朗贝尔原理知：
? ? 022II ??? rgmFM yCC (5):0? ?AM
gr5111 ??? gr562 ?? 216 ?rmF Ox ?? gmF Oy 1513?
联立（ 1） — （ 5），得：
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
?例题
O
A
B
?60
OA杆长 l,质量为 m, AB为
一刚度系数为 k 的弹簧，系统
从图示初始位置由静止进入运
动，设初始位置弹簧的伸长量
为 l,不计弹簧的质量和各处
的摩擦，求杆 OA转至水平位
置的瞬时，杆 OA的角速度、
角加速度及 O处的约束力。
O
A
B
?60
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
?例题
解,系统仅重力、弹性力作功，
机械能守恒：
1122 VTVT ???
初始,0
1 ?T
222
1
2
2
2
11
kllmgklmgV ???? ?
取 O点为重力势能零点，弹簧原
始长度为弹性势能零点。
2
2
2
2 62
1 ?? mlJT
O ??
杆 OA定轴转动，设杆水平时角速度为,则：?
22
22 2
1
2
1 klkV ?? ?
A
?60
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
?例题
O
B
A
?60
代入机械能守恒式中，得：
2226
22
2
2 kll
mgklml ????
l
g3?? ? （ ?）
设杆水平时的角加速度为 ? ??
杆 OA此瞬时的 达朗贝尔惯性
力向质心 C简化：
C
?ICF?
nICF?
ICM
??? 2lmmaF CIC ?? 232 2 mglmmaF nCnIC ??? ?
?? 12
2ml
JM CIC ??
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
?例题
O
B
A
?60??
C
?ICF?
nICF?
ICM
??? 2lmmaF CIC ??
2
3
2
2 mglmmaF n
C
n
IC ??? ?
?? 12
2ml
JM CIC ??
取杆 OA为分离体，画出受力图
O AC
?ICF?
nICF?
ICM
gm?
OxF
?OyF
?
AF
?对杆 OA
0?? OM
060s i n2)( ?????? lFlmgFM AICIC ?
其中弹簧力 klF
A ?
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
?例题
O
B
A
?60??
C
?ICF?
nICF?
ICM
O AC
?ICF?
nICF?
ICM
gm?
OxF
?OyF
?
AF
?
??? 2lmmaF CIC ??
2
3
2
2 mglmmaF n
C
n
IC ??? ?
?? 12
2ml
JM CIC ??
060s i n2)( ?????? lFlmgFM AICIC ?
其中弹簧力
klFA ?
02 32)2(12
2
??????? lkllmgmlml ??
ml
klmg
2
)3(3 ??? (?)
例 题 21-3 § 21 达朗贝尔原理
?例题
O AC
?ICF?
nICF?
ICM
gm?
OxF
?OyF
?
AF
?
??? 2lmmaF CIC ??
2
3
2
2 mglmmaF n
C
n
IC ??? ?
?? 12
2ml
JM CIC ??
其中弹簧力
klFA ?
0?? xF 060c o s ???? AnICOx FFF
22
360c o s klmgFFF
A
n
ICOx ????????
负号表示（ ?）
0?? yF 060s i n ????? AICOy FmgFF ?
?????? 60s i nAICOy FmgFF ?
klmgklmgml klmgml 4 342 32 )3(32 ???????? (?)
对 OA列 x,y方向的平衡方程：
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
A B
杆 AB长 l,质量为 m，圆轮半径为 r，质量为 m，地
面光滑，杆 AB从水平位置无初速释放，求杆 AB运
动到铅垂位置时，（ 1） A点的速度和 AB杆的角速
度。（ 2） A点的加速度和 AB杆的角加速度。（ 3）
地面对圆轮的支持力。
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
解,画出整体受力图和圆轮的受力图
分析圆轮的受力，圆轮外力均过
质心 A，故对质心动量矩守恒：
000 ???? AAAAAA JLJL ??
0?? A? 圆轮为平动
A
B
C
（ 2）当 AB杆运动到铅垂时，
设杆的角速度为,圆轮 A
点的速度为, AB
?
Av?
AB?
Av?
CAv
?Cv?由 C,A两点速度关系
CAAC vvv
??? ??
A BC
gm? gm?
NF
?
A
gm?
NF
?
AxF
?
AyF
? ′
′
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
由 C,A两点速度关系
CAAC vvv
??? ??
AABCAAC v
lvvv ????? ?
2
投影,(?)
系统整体仅受铅垂方向外力，
故水平方向动量守恒：
00 ???? pmvmvp CA
0)2( ???? AABA vlv ?
l
v A
AB
4?? (?)
A BC
gm? gm?
NF
?
A
B
C
AB?
Av?
CAv
?Cv?
A
gm?
NF
?
AxF
?
AyF
? ′
′
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
l
v A
AB
4?? (?)
(3)系统仅受重力，机械能守恒
设点 A处为势能零点，则：
011 ?? VT初始位置：
杆铅垂位置：
22
2
2
2
222
2
3
5
1222
)
2
(
2
222
AAB
AAB
A
ABCCA
mv
ml
v
l
m
mv
Jmvmv
T
?
?
?
?
??
???
?
?
?2
2
lmgV ??
AABC v
lv ?? ?
2
A BC
gm? gm?
NF
?
A
B
C
AB?
Av?
CAv
?Cv?
A
gm?
NF
?
AxF
?
AyF
? ′
′
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
011 ?? VT初始位置：
杆铅垂位置：
23
5 2
22
lmgmvVT
A ???
23
5 2 m g lmv
A ??
10
3 glv
A ?
(?)
l
ggl
ll
v A
AB 5
24
10
344 ???? ?
(?)
A BC
gm? gm?
NF
?
A
B
C
AB?
Av?
CAv
?Cv?
A
gm?
NF
?
AxF
?
AyF
? ′
′
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
A
B
C
AB?
Aa?
?
Ca
?
(4) 取杆 AB为分离体，设杆 AB的角加速度
AB?
A
B
C
AB?
AyF
?
AxF
?
?ICF?n
ICF
?
ICM
画出受力图：
由 A,C两点的加速度关系：
nCACAAnCCC aaaaaa ?????? ????? ??
?CAa?
nCAa?
n
Ca
?投影：
AABACAC a
laaa ???? ???
2
gl gllaa ABnCAnC 51252422 2 ????? ?
)2( AABIC almF ?? ?? 512 mgF nIC ? ABIC
mlM ?
12
2
?
A
gm?
NF
?
AxF
?
AyF
? ′
′
gm?
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
(5) 对杆 AB:
)2( AABIC almF ?? ??
5
12 mgF n
IC ? ABIC
mlM ?
12
2
?
0?? AM 0
2 ???
lFM
ICIC
?
02)2(12
2
???? lalmml AABAB ??
l
a A
AB 2
3?? (?)
(1)
0??? nICAy FmgF对杆 0?? yF
A
B
C
AB?
gm?
AyF
?
AxF
?
?ICF?n
ICF
?
ICM
mgmgmgF Ay 517512 ???? (?)
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
A
gm?
NF
?
AxF
?
AyF
? ′
′
A
B
C
AB?
Aa?
?
Ca
?
AB?
A
B
C
AB?
gm?
AyF
?
AxF
?
xICF?y
ICF
?
ICM
?CAa?
nCAa?
n
Ca
?
0212
2
???? lFml AxAB?
l
a A
AB 2
3?? (1)
02 ?? lFM AxIC
6
AB
Ax
mlF ??? (2)
0?? CM对杆：
(3)0??
xF 0??? IAAx FF
IAF
?
0???? AyN FmgF0?? yF
(4)
对轮,达朗贝尔 惯性力
AIA maF ?
例 题 21-4 § 21 达朗贝尔原理
?例题
A
B
C
AB?
Aa?
?
Ca
?
AB?
A
B
C
AB?
gm?
AyF
?
AxF
?
xICF?y
ICF
?
ICM
?CAa?
nCAa?
n
Ca
?
A
gm?
NF
?
AxF
?
AyF
?
IAF
?
l
a A
AB 2
3?? (1)
6
AB
Ax
mlF ??? (2)
(3)0??
AAx maF
0??? AyN FmgF
(4)
mgF Ay 517?
(?)
mgmgmgF N 522517 ??? (?)
0?Aa 0?AB?
联立，可求得：
0?AxF
