力矩和力偶理论教学要求
1 对于力对点之力矩矢应有清晰的理解，对于平面问题中力对点之矩应能熟练计算。
2 深入理解力偶和力偶矩的概念。明确力偶的性质和力偶的等效条件。
3 掌握力偶系的合成方法，能应用平衡条件求解力偶系的平衡问题。
本章重点平面问题中的力对点之矩的计算，力偶矩的计算，平面力偶性质和力偶等效条件。
一．力对点之矩与力对轴之矩
1．力对点之矩
1）概念实例：
力对矩心O的力矩取决于下列三要素
① 力对矩心O所决定平面的方位，由法线表示，该平面称为力矩作用平面。
②力矩作用平面内，力绕矩心O的转向。
③ 力矩的大小，
力矩矢
方位：沿过O点力矩作用面的法线，表示力矩作用的方位。
模：等于力矩大小
指向：用右手法则，表示力矩转向
（3.1）
力矩矢是定们矢量。（此式不是力矩的大小，应解释清楚为什么能用表示力矩矢。
2）解析式若
则 （3.2）
于是在、、轴上的投影为
（3.3）
若力及矩心O都位于平面内，则
可用一代数量表示
（3.4）
3）汇交力系的合力矩定理
设有汇交于点A的汇交力系，其合力为，自O至A作矢径，则合力对点O的力矩矢为
将代入上式有
（3.5）
即：汇交力系的合力对任一点的力矩矢等于各个分力对同一点力矩矢的矢量和，对于平面问题有平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于各个分力对同一点矩的代数和。
2．力对轴之矩
1）概念实例,门绕门轴转动
设作用在刚体上的力的作用点为A，将力分解为两个力，其中∥，另一分力在过A且垂直于轴的平面内。
由经验知：分力不会使刚体绕轴转动，正如作用在门上的重力不会使它绕铅垂的门轴转动一样，力对刚体绕轴的转动完全决定于分力对O点之矩，于是力对轴之矩为力在垂直于该轴的平面上的分力对于该轴与平面交点之矩
（3.6）
正负号由右手螺旋法则确定
2）解析式
（3.7a）
同理 （3.7b）
（3.7c）
3．力对点之矩与力对轴之矩之间的关系对比（3.3）及（3.7）可知
（3.8）
上式表明：力对点O之力矩矢在通过该点的任一轴L上的投影等于力对该轴之矩。
即： （3.9）
其中表示沿L方向的单位矢量。
例1：力作用于支架上的点C,如图所示，设，试求力分别对点A,B之矩。
解,因为求力对A、B两点的力臂比较麻烦，故利用合力矩定理求解。
例2：如图所示，力通过点A(3,4,0)和点B(0,0,5),设，图中尺寸单位为m。
求：(1)力对直角坐标轴x,y,z之矩；
(2)力对图中轴OC之矩，点C坐标为(3,0,5)。
解：1.利用式(3.7)计算力对轴x,y,z之矩。
先计算力在坐标轴上的投影，图中
力作用点A的坐标为x=3m,y=4m,z=0
于是
2.利用式(3.8)计算力对坐标轴x,y,z之矩。
先计算力对点O之力矩矢，为此写出力和矢径的解析式：
,
利用式(3.1)有
再利用式(3.8)有
3.计算力对图中轴OC之矩。
先计算沿轴OC的单位矢量：
再利用式(3.9)，有
二．力偶及其性质
1．力偶的概念：
大小相等，方向相反，作用线平行，但不在同一直线上的两个力组成的力系称为力偶，记为。力偶中的两力作用线间垂直距离d称为力偶臂，两力作用线所决定的平面称为力偶作用面，力偶矩
实例：攻螺丝
2．力偶的性质：
性质1：力偶不能简化为一合力。
首先研究两反向平行力的合成：刚体上A、B两点作用反向平行力、，设，因、不相交，不能直接应用力的平行四边形法则合成，故在A和B两点各加一力、，令这两个力大小相等，作用线相同，方向相反，即有，即和是一对平衡力，，，和交于点，由平行四边形法则可求和的合力，必过C点，即
令的指向为正，则的大小为
合力的作用线和的作用线平行，指向与相同，为了确定合力作用线的位置，延长此力的作用线，它与AB连线交于C，将合力沿其作用线移到C点，由合力矩定理，以C为矩心，得
即： 所以
也可得：
若，合力大小为0，则，这结果表明力偶无合力，即它这能与一个力的作用等效。
性质2：力偶对于作用面内任一点之矩的和恒等于力偶矩，与矩心位置无关。因此力偶对刚体的转动效应用力偶矩度量，在平面问题中，力偶矩是个代数量。
O是力偶作用面内任意一点
表明，力偶中两力对其作用面内任一点矩的代数和与矩心无关，只与力偶中任一力的大小和力偶臂的长短有关。在平面问题中，将乘积再冠以适当的正负号，作为力偶使物体转动效应的度量，称为力偶矩，常用符号或表示，即
性质3：力偶中两力在任一轴上投影的代数和等于零。
性质4：同一平面内力偶矩大小相等，转向相同的两力偶对刚体的作用等效，称之为平面力偶的等效定理。
证：（图解）
由此可见和的力偶矩大小相等，转向相同，但是力偶在作用面内的位置，力偶中力的大小和方向及力偶臂的长短都不同，说明这些因素都不足决定力偶等效的因素，而决定力偶等效的因素是力偶矩的大小和转向。因而力偶在其作用平面内常用一弯箭头表示。
性质5：力偶作用平面可以在同一刚体内平行移动，而不改变原力偶对刚体的效应。
证：（图解）
3．力偶性质小结根据力偶的上述性质，可得出空间力偶的等效条件是：力偶矩的大小相等，转向相同，作用面平行的两力偶等效，对于空间力偶的三要素，可以用一个矢量，一力偶矩矢表示。
方位：垂直于力偶作用面，
模：等于力偶的矩大小
指向：用右手法则表示
力偶矩矢是自由矢量。
结论：力偶对刚体的作用用力偶矩矢表示；力偶矩矢相等的两 力偶等效。
三、力偶系的简化与平衡
1．简化：
空间力偶系：
2．平衡：
空间力偶系平衡的必要与充分条件是,
解析表达式
特例：平面问题
例1
已知：简支梁AB上作用有两个平行力，，和一个力偶。，，力偶矩的大小，转向逆时针，不计梁自重。
求：支座A、B的反力。
解：1．研究对象AB梁
2．受力分析
3．列方程求解
,
四．力的平移定理
可见作用于刚体上的力均可从原来的作用点平行地移至同一刚体内任意一点，为不改变原力对刚体的作用效应，必须附加一力偶，该附加力偶的力偶矩等于原力对新作用点的力矩，称为力的平移定理。
1 对于力对点之力矩矢应有清晰的理解，对于平面问题中力对点之矩应能熟练计算。
2 深入理解力偶和力偶矩的概念。明确力偶的性质和力偶的等效条件。
3 掌握力偶系的合成方法，能应用平衡条件求解力偶系的平衡问题。
本章重点平面问题中的力对点之矩的计算，力偶矩的计算，平面力偶性质和力偶等效条件。
一．力对点之矩与力对轴之矩
1．力对点之矩
1）概念实例：
力对矩心O的力矩取决于下列三要素
① 力对矩心O所决定平面的方位，由法线表示，该平面称为力矩作用平面。
②力矩作用平面内，力绕矩心O的转向。
③ 力矩的大小，
力矩矢
方位：沿过O点力矩作用面的法线，表示力矩作用的方位。
模：等于力矩大小
指向：用右手法则，表示力矩转向
（3.1）
力矩矢是定们矢量。（此式不是力矩的大小，应解释清楚为什么能用表示力矩矢。
2）解析式若
则 （3.2）
于是在、、轴上的投影为
（3.3）
若力及矩心O都位于平面内，则
可用一代数量表示
（3.4）
3）汇交力系的合力矩定理
设有汇交于点A的汇交力系，其合力为，自O至A作矢径，则合力对点O的力矩矢为
将代入上式有
（3.5）
即：汇交力系的合力对任一点的力矩矢等于各个分力对同一点力矩矢的矢量和，对于平面问题有平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于各个分力对同一点矩的代数和。
2．力对轴之矩
1）概念实例,门绕门轴转动
设作用在刚体上的力的作用点为A，将力分解为两个力，其中∥，另一分力在过A且垂直于轴的平面内。
由经验知：分力不会使刚体绕轴转动，正如作用在门上的重力不会使它绕铅垂的门轴转动一样，力对刚体绕轴的转动完全决定于分力对O点之矩，于是力对轴之矩为力在垂直于该轴的平面上的分力对于该轴与平面交点之矩
（3.6）
正负号由右手螺旋法则确定
2）解析式
（3.7a）
同理 （3.7b）
（3.7c）
3．力对点之矩与力对轴之矩之间的关系对比（3.3）及（3.7）可知
（3.8）
上式表明：力对点O之力矩矢在通过该点的任一轴L上的投影等于力对该轴之矩。
即： （3.9）
其中表示沿L方向的单位矢量。
例1：力作用于支架上的点C,如图所示，设，试求力分别对点A,B之矩。
解,因为求力对A、B两点的力臂比较麻烦，故利用合力矩定理求解。
例2：如图所示，力通过点A(3,4,0)和点B(0,0,5),设，图中尺寸单位为m。
求：(1)力对直角坐标轴x,y,z之矩；
(2)力对图中轴OC之矩，点C坐标为(3,0,5)。
解：1.利用式(3.7)计算力对轴x,y,z之矩。
先计算力在坐标轴上的投影，图中
力作用点A的坐标为x=3m,y=4m,z=0
于是
2.利用式(3.8)计算力对坐标轴x,y,z之矩。
先计算力对点O之力矩矢，为此写出力和矢径的解析式：
,
利用式(3.1)有
再利用式(3.8)有
3.计算力对图中轴OC之矩。
先计算沿轴OC的单位矢量：
再利用式(3.9)，有
二．力偶及其性质
1．力偶的概念：
大小相等，方向相反，作用线平行，但不在同一直线上的两个力组成的力系称为力偶，记为。力偶中的两力作用线间垂直距离d称为力偶臂，两力作用线所决定的平面称为力偶作用面，力偶矩
实例：攻螺丝
2．力偶的性质：
性质1：力偶不能简化为一合力。
首先研究两反向平行力的合成：刚体上A、B两点作用反向平行力、，设，因、不相交，不能直接应用力的平行四边形法则合成，故在A和B两点各加一力、，令这两个力大小相等，作用线相同，方向相反，即有，即和是一对平衡力，，，和交于点，由平行四边形法则可求和的合力，必过C点，即
令的指向为正，则的大小为
合力的作用线和的作用线平行，指向与相同，为了确定合力作用线的位置，延长此力的作用线，它与AB连线交于C，将合力沿其作用线移到C点，由合力矩定理，以C为矩心，得
即： 所以
也可得：
若，合力大小为0，则，这结果表明力偶无合力，即它这能与一个力的作用等效。
性质2：力偶对于作用面内任一点之矩的和恒等于力偶矩，与矩心位置无关。因此力偶对刚体的转动效应用力偶矩度量，在平面问题中，力偶矩是个代数量。
O是力偶作用面内任意一点
表明，力偶中两力对其作用面内任一点矩的代数和与矩心无关，只与力偶中任一力的大小和力偶臂的长短有关。在平面问题中，将乘积再冠以适当的正负号，作为力偶使物体转动效应的度量，称为力偶矩，常用符号或表示，即
性质3：力偶中两力在任一轴上投影的代数和等于零。
性质4：同一平面内力偶矩大小相等，转向相同的两力偶对刚体的作用等效，称之为平面力偶的等效定理。
证：（图解）
由此可见和的力偶矩大小相等，转向相同，但是力偶在作用面内的位置，力偶中力的大小和方向及力偶臂的长短都不同，说明这些因素都不足决定力偶等效的因素，而决定力偶等效的因素是力偶矩的大小和转向。因而力偶在其作用平面内常用一弯箭头表示。
性质5：力偶作用平面可以在同一刚体内平行移动，而不改变原力偶对刚体的效应。
证：（图解）
3．力偶性质小结根据力偶的上述性质，可得出空间力偶的等效条件是：力偶矩的大小相等，转向相同，作用面平行的两力偶等效，对于空间力偶的三要素，可以用一个矢量，一力偶矩矢表示。
方位：垂直于力偶作用面，
模：等于力偶的矩大小
指向：用右手法则表示
力偶矩矢是自由矢量。
结论：力偶对刚体的作用用力偶矩矢表示；力偶矩矢相等的两 力偶等效。
三、力偶系的简化与平衡
1．简化：
空间力偶系：
2．平衡：
空间力偶系平衡的必要与充分条件是,
解析表达式
特例：平面问题
例1
已知：简支梁AB上作用有两个平行力，，和一个力偶。，，力偶矩的大小，转向逆时针，不计梁自重。
求：支座A、B的反力。
解：1．研究对象AB梁
2．受力分析
3．列方程求解
,
四．力的平移定理
可见作用于刚体上的力均可从原来的作用点平行地移至同一刚体内任意一点，为不改变原力对刚体的作用效应，必须附加一力偶，该附加力偶的力偶矩等于原力对新作用点的力矩，称为力的平移定理。
