力学课程多媒体教学改革课题组材料力学多媒体教学课件南昌航空工业学院工程力学第五章 弯曲应力一、纯弯曲（平面弯曲）
四、弯曲剪应力二、变形现象三、纯弯曲梁横截面上的正应力 σ
五、提高弯曲强度的主要措施一、纯弯曲（平面弯曲）
Q → τ
M → σ
AC,DB段 —— 横力弯曲
CD段 —— 纯弯曲（ Q=0）
二、变形现象平面假设：
中性层：
中性轴：
三、纯弯曲梁横截面上的正应力 σ
① 变形几何关系：
y
y
三、纯弯曲梁横截面上的正应力 σ
② 物理关系：
E E y
③ 静力学关系：
③ 静力学关系：
X 0 N dAA
M Y 0 0
AY
dAzM?
M Z 0 M y dA MZ A
yE y dA M
A
y dA IA Z
2
1
M
EI Z
M y
I Z
条件,
p
1） 2） 平面弯曲
M > 0时 y > 0 σ为拉应力 下边缘各点
y< 0 σ为压应力 上边缘各点
y= 0 中性轴上各点 σ=0
M < 0时
max?
max?
y > 0 σ为压应力 下边缘各点
y< 0 σ为拉应力 上边缘各点
y= 0 中性轴上各点 σ=0
max?
max?
1.横截面上正应力分布状态及截面关于中性轴对称
（塑性材料）
截面关于中性轴不对称
（脆性材料）
m a x m a x MW
Z
m a xyI
M
Z
m a x m a x
,m a xm a x
ZI
yM
m a x
m a x?
M yI
Z
,m axmax?
2,在 L/h>5的细长梁的横力弯曲的正应力计算公式可以近似使用上述纯弯曲的公式，计算精度能满足一般工程要求。
弯曲正应力强度条件,1)对塑性材料等截面梁：
2)对塑性材料变截面梁：
3)对脆性材料等截面梁：
m a x m a x [ ]MW
Z
max
max
[ ]?
M
W Z
m a x
m a x [ ]M
W Z
m a x
m a x [ ]M
W Z
例 1矩形等截面梁,L=3m,h=150mm,b=100mm，
q=3kN/m,yk=50mm,[σ]=10MPa，求危险截面上 K点的正应力 σk，并校核梁的正应力强度。
1) 外力分析：
2) 内力分析 (M图 )：
解：
R R qL kNA B2 4 5.
危险截面在 L/2处 。
3) 应力分析：
I bhZ?
3
12 W
bh
Z?
2
6
K K
Z
M y
I M P a
m a x ( )6 压
m a x m a x ( )M W M P a
Z
9 拉
4) 强度校核：
m a x [ ]9 10M P a M P a
讨论：
1)当已知梁截面上一点的正应力大小,
其余各点的正应力均可用正比例关系求得。
2) 横截面上局部截面上的分布内力的合力和此部分内力对中性轴的合力偶矩：
F dAA
1
M y d AA'
1
例 2.已知铸铁外伸梁 (槽形 ),q=10kN/m,P=20kN，
Iz=4.0× 107mm4,y2=140mm,y1=60mm,[σ+]=
35MPa,[σ-]=140MPa,试校核梁的正应力强度。
1) 外力分析：
2) 内力分析 (M图 )：
解：
M B 0
危险截面 B,D。
R kNE? 5 ( )
2) 内力分析 (M图 )：
危险截面 B,D。
3) 危险点的确定：
M P a70
I
yM
Z
2B
m a xb?
最大压应力点,b点 。
最大拉应力点,a或 d点 。
4) 应力分析：
M P a30
I
yM
Z
1B
a?
M P a35
I
yM
Z
2B
d?
5) 强度校核：
b[ ]m a x [ ]d 强度满足。
讨论：
1)对于脆性材料必须要同时校核拉、压正应力强度。
2)危险截面一般在峰值点或极值点，最好把各点的拉压最大应力计算出来，进行校核，不能遗漏。
作业：
P200 5.4
P202 5.12
P203 5.16
四、弯曲剪应力：
一 ) 矩形截面梁的剪应力：
剪应力 τ的两个假设：
① τ// Q,方向相同；
② τ沿宽度均匀分布。
取微段 dx，两侧面弯矩 M,M+dM，
距中性轴为 y的下部分两侧面的正应力合力为：
y d A
I
dMMN
1A Z
2?
M dMI y dA M dMI S
Z A Z
Z
1
*
*
Z
Z
A
Z
A
Z
1 SI
My d A
I
My d A
I
MN
11
性轴的静距处以外的部分截面对中YS Z*
X 0 0b d x NN 12
)y
4
h(
I2
Q
bI
QS 22
ZZ
*
Z
' ( )
*QS
bI
Q
I
h yZ
Z Z2 4
2
2
讨论：
1) τ沿截面高度按抛物线变化。
2) b为所求 τ的点作水平线的实体宽度。
bh
Qy 5.1,0
m a x中性轴上
,m a xyy?
上、下边缘 0
二 ) 工字形截面梁的剪应力：
1) 腹板上的剪应力 τ计算：
QSbI Z
Z
*
[ ( ) ( )]B H h b h y QbI
Z8 2 4
2 2
2
2
2) 翼缘上的剪应力 τ计算：
垂直分量 QSBI Z
Z
*
水平分量 QH I
Z2
**1 AZA Z y d AI dMMy d AI dMMN
M dMI SZ Z*
N MI SZ Z2? *
S t HZ* 2
X 0 N N t d x1 2 0 '
三 ) 圆形截面梁的剪应力,P183∽ 184
A
Q
3
4
m a x
四 ) 剪应力强度条件：
][
*
m a xm a x
m a x
Z
Z
bI
SQ
注：一般来说，梁的强度是由正应力强度条件来控制，只有在：
① 短梁或在支座附近的截面；
② (铆接或焊接的工字梁 )腹板深而高的梁；
③ 经铆接、焊接或胶合而成的梁，对铆钉、焊缝或胶合面等一般要进行剪切强度计算。
例 1 由三块某种材料的长条胶合而成的悬臂梁，
尺寸如图所示。胶合层的拉剪强度较小，
[τ]=3.4MPa,试求其许用载荷 P，并在此载荷作用下梁中的 τ max和相应的 σmax。
1) 外力分析：
2) 内力分析 (Q,M图 )：
解：
3) 求 [P]：
胶 胶QSbI Z
Z
*
[ ]
[ ],( )P kN? 38 34)求最大剪应力
m a x,32 3 83Qbh MP a
4)求最大正应力
m a xPLW M P a
Z
102
M M? max3
注：若叠梁的板间接触面光滑无约束，则每层板承受的弯矩相等。
例 2 P186 例 5.5
例 3 外伸梁受载及等截面形状如图所示。当梁内最大拉应力 σmax=50MPa，求梁中最大剪应力及所在位置。 1) 外力分析：
2) 内力分析 (Q,M图 )：
解：
3) 求形心位置：
y
A y
A
mmc i ci
i
31 7.
4)求对中性轴的 IZ：
I mmZ34 10 4 4
R PB43 ( )
R PA13 ( )
5) 求 P
( )m a x m a xMI y P I y
Z Z
1
1
P N? 600
6) 求 S
Za*,SZmax*
S mmZa*? 7950 3
S mmZ m a x*? 8009 3
7) 求?
max
M P aIb SQ
Za
Za
a 81.2
*
m a x
M P aIb SQ
Zc
Z
c 7 0 7.0
*
m a xm a x
m a x,a M P a2 81
五、提高弯曲强度的主要措施
m a x m a x [ ]MW
Z
控制条件：
1.合理安排梁的受力情况
1).合理安排支座
2).合理安排载荷
2.梁的合理截面
1).对塑性材料
2).对脆性材料
[ ] [ ]
y
y
m a x
m a x
[ ]
[ ]
3.等强度梁的概念
m a x ( )( ) [ ]M xW x
Z
W x M xZ ( ) ( )[ ]
作业,P204 5.17
P205 5.21
P207 5.26
弯曲应力习题课
1）三关系推导弯曲正应力公式
2）弯曲剪应力公式
3）正应力强度条件和剪应力强度条件
y
I
M
Z
QSbI Z
Z
*
][m a xm a x
ZW
M
m a x [ ]
m a x [ ]
m a x m a x
*
[ ]
Q S
bI
Z
Z
塑性材料 脆性材料例 1 ABD梁由两根 8号槽钢构成,B点由圆截面钢拉杆 BC支承。已知 d=20mm，梁和杆的
[σ]=160MPa，求 [q]及校核钢拉杆的强度。
1) 外力分析：
2) 内力分析 (M图 )：
解：
3) 求许用 [q]：
m a x m a x [ ]M W
Z2
按梁的强度条件
R qA0 75,( ) R qB2 25,( )
按钢拉杆的强度条件
q kN m? 16 2,/
m a x,[ ]2 25
4
2
q
d
q kN m? 50 /
q kN m16 2,/
例 2 槽形铸铁外伸梁如图所示,已知 P=30kN，
a=1m,IZ=2.8× 107mm4,h=200mm,y=-53.2mm，
[σ+]=40MPa,[σ-]=170MPa，试用正应力强度条件校核梁的强度。
1) 外力分析：
2) 内力分析 (M图 )：
解：
3) 强度校核：
R PA4 ( )
)(4P3R C
危险截面,B和 CD
段的所有截面
m ax
( )
.
Pa
h y
I
M P a
z
4 39 3
B截面：
CD段：
3) 强度校核：
[ ]?
m a x
( )
.
Pa
y
I
M Pa
z
4 14 2[ ]?
m ax
( )
.
Pa
y
I
M P a
z
2 28 4[ ]?
m ax
( )
.
Pa
h y
I
M P a
z
2 78 6[ ]?
故该梁的正应力强度满足。
例 3 截面为 T字形的铸铁梁如图所示，欲使梁内最大拉应力与最大压应力之比为 1,3，试求水平翼缘的合理宽度 b。
1) 中性轴的位置：
2) 求 b：
解：
m a x
m a x
y
y
1
2
1
3
( )
m a x
m a x
My I
My I
Z
Z
1
2y y1 2 400
y mm1 100?
y mm2 300?
S Z? 0
b mm? 316
例 4 把直径 d=1mm的钢丝绕在直径为 2m的卷筒上，试计算钢丝中产生的 σmax。若钢丝中的最大应力不超过 200MPa=[σ]，则该卷筒上能绕多粗的钢丝。设钢丝的 E=200GPa。
1) σmax,
2) d：
解：
,1
ZEI
M?
,?
ZEIM?
m a xMW M P a
Z
100
I
W
dZ
Z
2
m a xEd2 200 10 6
mm2d?
例 5 截面为 b× t的钢条，长为 l，重量为 P(均布 ),
放在水平钢性平面上,当钢条 A端作用 P/3的向上拉力时,求 1)钢条脱开钢性平面的距离 d?
2)钢条内的 σmax?
1) d,
2) σmax,
解：
1 1 0
M
EI
C
Z
0)(
2
1
3
2 d
l
PPdM
C
M C? 0
ld
3
2?c
2) σmax,
AC 段内的弯矩方程,
2
2
1
3
)( x
l
PxPxM
M x' ( )? 0
3
lx?
18
)
3
(
2
1
33
2
m a x
Pll
l
PlPM
2
m a x
m a x
m a x 3 bt
Pl
W
M
例 6 设梁的横截面为矩形,高为 300mm,宽为 150mm,
横截面上正弯矩数值为 240kNm,材料的抗拉弹性模量 Et为抗压弹性模量 Ec的 1.5倍,Et=1.5Ec。
若应力未超过材料的比例极限，试求最大拉应力及最大压应力。
1) 中性轴的位置：解：
t cyy bdy bdy Nct 0
00
m a xm a x
y yt cm a x m a x 300
y mmt m a x,? 134 7
mmy c 3.1 6 5m a x?
2) 求 ρ表达式：
m a x m a x0 0 2 4 0t cy y ct My b d yy b d y
1 3 4 7.0
0
1 6 5 3.0
0
240y b d yyEy b d yyE ct
1 240
2 2
0
0 1653
0
0 1347
E y bdy E y bdyt c
..
3) 求 σtmax 及 σcmin,
t
t tE y M P a
m a x
m a x, 119 7
c
c cE y M P a
m a x
m a x, 96 9返回总目录
四、弯曲剪应力二、变形现象三、纯弯曲梁横截面上的正应力 σ
五、提高弯曲强度的主要措施一、纯弯曲（平面弯曲）
Q → τ
M → σ
AC,DB段 —— 横力弯曲
CD段 —— 纯弯曲（ Q=0）
二、变形现象平面假设：
中性层：
中性轴：
三、纯弯曲梁横截面上的正应力 σ
① 变形几何关系：
y
y
三、纯弯曲梁横截面上的正应力 σ
② 物理关系：
E E y
③ 静力学关系：
③ 静力学关系：
X 0 N dAA
M Y 0 0
AY
dAzM?
M Z 0 M y dA MZ A
yE y dA M
A
y dA IA Z
2
1
M
EI Z
M y
I Z
条件,
p
1） 2） 平面弯曲
M > 0时 y > 0 σ为拉应力 下边缘各点
y< 0 σ为压应力 上边缘各点
y= 0 中性轴上各点 σ=0
M < 0时
max?
max?
y > 0 σ为压应力 下边缘各点
y< 0 σ为拉应力 上边缘各点
y= 0 中性轴上各点 σ=0
max?
max?
1.横截面上正应力分布状态及截面关于中性轴对称
（塑性材料）
截面关于中性轴不对称
（脆性材料）
m a x m a x MW
Z
m a xyI
M
Z
m a x m a x
,m a xm a x
ZI
yM
m a x
m a x?
M yI
Z
,m axmax?
2,在 L/h>5的细长梁的横力弯曲的正应力计算公式可以近似使用上述纯弯曲的公式，计算精度能满足一般工程要求。
弯曲正应力强度条件,1)对塑性材料等截面梁：
2)对塑性材料变截面梁：
3)对脆性材料等截面梁：
m a x m a x [ ]MW
Z
max
max
[ ]?
M
W Z
m a x
m a x [ ]M
W Z
m a x
m a x [ ]M
W Z
例 1矩形等截面梁,L=3m,h=150mm,b=100mm，
q=3kN/m,yk=50mm,[σ]=10MPa，求危险截面上 K点的正应力 σk，并校核梁的正应力强度。
1) 外力分析：
2) 内力分析 (M图 )：
解：
R R qL kNA B2 4 5.
危险截面在 L/2处 。
3) 应力分析：
I bhZ?
3
12 W
bh
Z?
2
6
K K
Z
M y
I M P a
m a x ( )6 压
m a x m a x ( )M W M P a
Z
9 拉
4) 强度校核：
m a x [ ]9 10M P a M P a
讨论：
1)当已知梁截面上一点的正应力大小,
其余各点的正应力均可用正比例关系求得。
2) 横截面上局部截面上的分布内力的合力和此部分内力对中性轴的合力偶矩：
F dAA
1
M y d AA'
1
例 2.已知铸铁外伸梁 (槽形 ),q=10kN/m,P=20kN，
Iz=4.0× 107mm4,y2=140mm,y1=60mm,[σ+]=
35MPa,[σ-]=140MPa,试校核梁的正应力强度。
1) 外力分析：
2) 内力分析 (M图 )：
解：
M B 0
危险截面 B,D。
R kNE? 5 ( )
2) 内力分析 (M图 )：
危险截面 B,D。
3) 危险点的确定：
M P a70
I
yM
Z
2B
m a xb?
最大压应力点,b点 。
最大拉应力点,a或 d点 。
4) 应力分析：
M P a30
I
yM
Z
1B
a?
M P a35
I
yM
Z
2B
d?
5) 强度校核：
b[ ]m a x [ ]d 强度满足。
讨论：
1)对于脆性材料必须要同时校核拉、压正应力强度。
2)危险截面一般在峰值点或极值点，最好把各点的拉压最大应力计算出来，进行校核，不能遗漏。
作业：
P200 5.4
P202 5.12
P203 5.16
四、弯曲剪应力：
一 ) 矩形截面梁的剪应力：
剪应力 τ的两个假设：
① τ// Q,方向相同；
② τ沿宽度均匀分布。
取微段 dx，两侧面弯矩 M,M+dM，
距中性轴为 y的下部分两侧面的正应力合力为：
y d A
I
dMMN
1A Z
2?
M dMI y dA M dMI S
Z A Z
Z
1
*
*
Z
Z
A
Z
A
Z
1 SI
My d A
I
My d A
I
MN
11
性轴的静距处以外的部分截面对中YS Z*
X 0 0b d x NN 12
)y
4
h(
I2
Q
bI
QS 22
ZZ
*
Z
' ( )
*QS
bI
Q
I
h yZ
Z Z2 4
2
2
讨论：
1) τ沿截面高度按抛物线变化。
2) b为所求 τ的点作水平线的实体宽度。
bh
Qy 5.1,0
m a x中性轴上
,m a xyy?
上、下边缘 0
二 ) 工字形截面梁的剪应力：
1) 腹板上的剪应力 τ计算：
QSbI Z
Z
*
[ ( ) ( )]B H h b h y QbI
Z8 2 4
2 2
2
2
2) 翼缘上的剪应力 τ计算：
垂直分量 QSBI Z
Z
*
水平分量 QH I
Z2
**1 AZA Z y d AI dMMy d AI dMMN
M dMI SZ Z*
N MI SZ Z2? *
S t HZ* 2
X 0 N N t d x1 2 0 '
三 ) 圆形截面梁的剪应力,P183∽ 184
A
Q
3
4
m a x
四 ) 剪应力强度条件：
][
*
m a xm a x
m a x
Z
Z
bI
SQ
注：一般来说，梁的强度是由正应力强度条件来控制，只有在：
① 短梁或在支座附近的截面；
② (铆接或焊接的工字梁 )腹板深而高的梁；
③ 经铆接、焊接或胶合而成的梁，对铆钉、焊缝或胶合面等一般要进行剪切强度计算。
例 1 由三块某种材料的长条胶合而成的悬臂梁，
尺寸如图所示。胶合层的拉剪强度较小，
[τ]=3.4MPa,试求其许用载荷 P，并在此载荷作用下梁中的 τ max和相应的 σmax。
1) 外力分析：
2) 内力分析 (Q,M图 )：
解：
3) 求 [P]：
胶 胶QSbI Z
Z
*
[ ]
[ ],( )P kN? 38 34)求最大剪应力
m a x,32 3 83Qbh MP a
4)求最大正应力
m a xPLW M P a
Z
102
M M? max3
注：若叠梁的板间接触面光滑无约束，则每层板承受的弯矩相等。
例 2 P186 例 5.5
例 3 外伸梁受载及等截面形状如图所示。当梁内最大拉应力 σmax=50MPa，求梁中最大剪应力及所在位置。 1) 外力分析：
2) 内力分析 (Q,M图 )：
解：
3) 求形心位置：
y
A y
A
mmc i ci
i
31 7.
4)求对中性轴的 IZ：
I mmZ34 10 4 4
R PB43 ( )
R PA13 ( )
5) 求 P
( )m a x m a xMI y P I y
Z Z
1
1
P N? 600
6) 求 S
Za*,SZmax*
S mmZa*? 7950 3
S mmZ m a x*? 8009 3
7) 求?
max
M P aIb SQ
Za
Za
a 81.2
*
m a x
M P aIb SQ
Zc
Z
c 7 0 7.0
*
m a xm a x
m a x,a M P a2 81
五、提高弯曲强度的主要措施
m a x m a x [ ]MW
Z
控制条件：
1.合理安排梁的受力情况
1).合理安排支座
2).合理安排载荷
2.梁的合理截面
1).对塑性材料
2).对脆性材料
[ ] [ ]
y
y
m a x
m a x
[ ]
[ ]
3.等强度梁的概念
m a x ( )( ) [ ]M xW x
Z
W x M xZ ( ) ( )[ ]
作业,P204 5.17
P205 5.21
P207 5.26
弯曲应力习题课
1）三关系推导弯曲正应力公式
2）弯曲剪应力公式
3）正应力强度条件和剪应力强度条件
y
I
M
Z
QSbI Z
Z
*
][m a xm a x
ZW
M
m a x [ ]
m a x [ ]
m a x m a x
*
[ ]
Q S
bI
Z
Z
塑性材料 脆性材料例 1 ABD梁由两根 8号槽钢构成,B点由圆截面钢拉杆 BC支承。已知 d=20mm，梁和杆的
[σ]=160MPa，求 [q]及校核钢拉杆的强度。
1) 外力分析：
2) 内力分析 (M图 )：
解：
3) 求许用 [q]：
m a x m a x [ ]M W
Z2
按梁的强度条件
R qA0 75,( ) R qB2 25,( )
按钢拉杆的强度条件
q kN m? 16 2,/
m a x,[ ]2 25
4
2
q
d
q kN m? 50 /
q kN m16 2,/
例 2 槽形铸铁外伸梁如图所示,已知 P=30kN，
a=1m,IZ=2.8× 107mm4,h=200mm,y=-53.2mm，
[σ+]=40MPa,[σ-]=170MPa，试用正应力强度条件校核梁的强度。
1) 外力分析：
2) 内力分析 (M图 )：
解：
3) 强度校核：
R PA4 ( )
)(4P3R C
危险截面,B和 CD
段的所有截面
m ax
( )
.
Pa
h y
I
M P a
z
4 39 3
B截面：
CD段：
3) 强度校核：
[ ]?
m a x
( )
.
Pa
y
I
M Pa
z
4 14 2[ ]?
m ax
( )
.
Pa
y
I
M P a
z
2 28 4[ ]?
m ax
( )
.
Pa
h y
I
M P a
z
2 78 6[ ]?
故该梁的正应力强度满足。
例 3 截面为 T字形的铸铁梁如图所示，欲使梁内最大拉应力与最大压应力之比为 1,3，试求水平翼缘的合理宽度 b。
1) 中性轴的位置：
2) 求 b：
解：
m a x
m a x
y
y
1
2
1
3
( )
m a x
m a x
My I
My I
Z
Z
1
2y y1 2 400
y mm1 100?
y mm2 300?
S Z? 0
b mm? 316
例 4 把直径 d=1mm的钢丝绕在直径为 2m的卷筒上，试计算钢丝中产生的 σmax。若钢丝中的最大应力不超过 200MPa=[σ]，则该卷筒上能绕多粗的钢丝。设钢丝的 E=200GPa。
1) σmax,
2) d：
解：
,1
ZEI
M?
,?
ZEIM?
m a xMW M P a
Z
100
I
W
dZ
Z
2
m a xEd2 200 10 6
mm2d?
例 5 截面为 b× t的钢条，长为 l，重量为 P(均布 ),
放在水平钢性平面上,当钢条 A端作用 P/3的向上拉力时,求 1)钢条脱开钢性平面的距离 d?
2)钢条内的 σmax?
1) d,
2) σmax,
解：
1 1 0
M
EI
C
Z
0)(
2
1
3
2 d
l
PPdM
C
M C? 0
ld
3
2?c
2) σmax,
AC 段内的弯矩方程,
2
2
1
3
)( x
l
PxPxM
M x' ( )? 0
3
lx?
18
)
3
(
2
1
33
2
m a x
Pll
l
PlPM
2
m a x
m a x
m a x 3 bt
Pl
W
M
例 6 设梁的横截面为矩形,高为 300mm,宽为 150mm,
横截面上正弯矩数值为 240kNm,材料的抗拉弹性模量 Et为抗压弹性模量 Ec的 1.5倍,Et=1.5Ec。
若应力未超过材料的比例极限，试求最大拉应力及最大压应力。
1) 中性轴的位置：解：
t cyy bdy bdy Nct 0
00
m a xm a x
y yt cm a x m a x 300
y mmt m a x,? 134 7
mmy c 3.1 6 5m a x?
2) 求 ρ表达式：
m a x m a x0 0 2 4 0t cy y ct My b d yy b d y
1 3 4 7.0
0
1 6 5 3.0
0
240y b d yyEy b d yyE ct
1 240
2 2
0
0 1653
0
0 1347
E y bdy E y bdyt c
..
3) 求 σtmax 及 σcmin,
t
t tE y M P a
m a x
m a x, 119 7
c
c cE y M P a
m a x
m a x, 96 9返回总目录
