空间力系和重心教学目标
1 能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。
2 了解空间力系向一点简化的方法和结果。
3 能应用平衡条件求解空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡问题。
4 能正确地画出各种常见空间约束的约束力。
5 对重心应有清晰的概念，能熟练地应用组合法求物体的重心。
本章重点
1 力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。
2 空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系平衡方程的应用。
3 各种常见空间约束的约束力。
4 重心的坐标公式。
本章难点空间矢量的运算，空间结构的几何关系和立体图。
教学过程（下页）
一、空间力系的简化
1．空间力系向一点简化刚体上作用空间力系，将力系中各力向任选的简化中心O简化。
主矢：，与O点选择无关。 （6-1）
主矩：，与O点的选择有关。 （6-2）
主矢和主矩的解析表达式
（6-3）
，，
（6-4）
，，
结论：空间力系向任一点简化，一般可得到一力和一力偶，该力通过简化中心，其大小和方向等于力系的主矢，该力偶的力偶矩矢等于力系对简化中心的主矩。
2．空间力系简化的最后结果
（1）空间力系平衡
，，此空间力系为平衡力系。
（2）空间力系简化为一合力偶
，，此空间力系简化为一合力偶，合力偶矩矢等于力系主矩与简化中心的位置无关。
（3）空间力系简化为一合力
a．，，此空间力系简化为过O点的一合力，合力的大小和方向与主矢相同。
b．，，，这时，与共面，可看作一平面力系，由平面力系简化理论知，此时空间力系简化为一合力。
此合力的作用线过点，大小和方向决定于主矢，其作用线到O点的距离
（6-5）
合力矩定理：
由图6-2知
（6-6）
将上式向通过 点O的任一轴投影，有
（6-7）
若空间力系可以合成为一合力，则合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的矢量和；或合力对任一轴之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和。
（4）空间力系简化为力螺旋（由一力和在该力垂直的平面内的一力偶组成的力系）
，，
小结：空间力系可简化为四种情况，可用主矢与主矩的点积是否为零分为两大类，即
（1）
（2） 力系简化为力螺旋。
二、空间力系的平衡方程及其应用从空间力系的简化结果可得到空间力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢和对任一点的主矩为零，即：
， （6-8）
其解析式为：
（6-9）
空间力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系中各力在直角坐标系每一坐标轴上投影的代数和为零，对每一坐标轴之矩的代数和为零。
特例：空间平行力系的平衡方程令轴与力系各力的作用线平行，有
，， （6-10）
例1．镗刀杆的刀头在镗削工件时受到切向力径向力和轴向力的作用，如图6-5所示。各力的大小 ，，，刀尖B的坐标，，。试求镗刀杆根部约束力。
解：1 取研究对象：镗刀杆。
2．分析受力：镗刀杆根部是固定端约束，由于镗刀杆受天的主动是空间力系，因此当镗刀杆平衡时，固定端的约束力也是一个空间力系，将此力系向点O简化，得到一约束力一约束力偶。约束力用直角坐标轴的三个分量、、表示，约束力偶用三个正交分力偶矩、、表示，如图6-5所示。
3．列平衡方程求解：
,,
,,
,,
,
,
,
例2．图6-6所示传动系统，A是止推轴承，B是向心轴承，在把手端部施加一力，方向如图所示，试求系统平衡时所需重物的重量P以及A、B轴承的约束力。图中长度单位为。
解：1 取研究对象：整体系统。
2．分析受力：如图6-6所示。
3．列平衡方程求解：
,,
,,
,,
,,
,,
,,
本题也可将作用于传动轴上的各力投影在坐标平面上，把空间力系的平衡问题转化为平面力系的平衡问题来处理，对此读者可自行考虑。
例3．边长为、重量为的均质正方形平台，用六根不计自重的直杆支承如图6-7所示。设平台距地面高度为，处载荷沿边，试求各杆内力。
解：
1,取研究对象：平台。
2,分析受力，如图6-7所示，六根支承杆均为二力杆。
3,列平衡方程求解：
,,
,,
,,
,,
,,
,,
三,重心众所周知，重心在力学及工程技术中具有重要的意义。本小节将以平行力系中心为基础，引出重心概念及其计算公式。
1．平行力系中心先以两个平行力为例，说明平行力系中心的概念
、的合力
合力作用线位置用合力矩定理确定假定合力作用线与AB连线交于C，则
即：可得：
从动画可以看出，不管平行力方向如何，合力作用线总过C点，此点称为两平行力中心。
显然，可以把上述概念及方法推广至任意平行力系，设几个力组成一平行力系如图6-9，我们可以逐渐运用两平行力合成的方法求得合力。显然，若力系中各力大小和作用点保持不变，各力沿一转向转动任一角后，其合力仍然通过同一点，并且也转动角，此点称为平行力系中心。
用上述的方法求平行力系是非常麻烦的，在工程实际一般用合力矩定理直接求合力作用线的位置。设是平行力系，令坐标系轴与力的作用线平行。各力作用点为假定平行力系小心C的坐标为，则由合力矩定理对轴取矩
得
对轴取矩 得
将力系转过，使各力与轴平行对轴取矩
由上三式可得
（6-11）
2．重心作用在一物体各质点上的重力可近似地看成是一平行力系，此平行力系中心就称为物体的重心。如将物体分割成许多微单元，每微单元的重力为，则由式（6-11）可得重心C的近似公式为
（6-12）
在极限情况下，，时重心坐标的一般公式为
（6-13）
若物体是均质的，则比重对于整体物体是恒量，由（6-12）、（6-13）知，此时重心位置与比重无关，仅决定于物体的几何形状和尺寸，故又称为物体的形心；或者说均质物体的重心与形心是重合的。
若物体是均质的等厚薄板，设板厚用“”表示，则微小部分的体积，板的整个体积（是板的整个面积），利用式Ⅳ可导出等厚薄板的面积公式为
Ⅴ
3．求形心的几种方法
（1）（2）（3）（4）积分法（简单形体的形心可查表）；
组合法（分割法）；
负面积法（负体积法）；
实验法：悬挂法、称重法。
例4．用积分法求如图6-1的半径为R，圆心角为的扇形OAB的形心。
解：建立坐标系如图，由于关于轴对称，所以形心必定在轴上，即，只需求即可：
当时，扇形OAB为半圆其重心为。
例5．用分割法求图6-13所示均质面积重心的位置。设，，。
解：因轴为对称轴，重心在此轴上，，只需求，由图上的尺寸可以算出这三块矩形的面积及其重心的坐标如下：
I,
II,
III,
得物体重心的坐标：
例6,用负面积法求例5所示面积重心的位置。
解：这个复合形体也可以看由矩形ABCD挖去矩EFGH而得。按照例5所示的尺寸，可得这两个矩形的面积及其重心的坐标如下。
对于矩形ABCD：
,,
对于矩形EFGH：
,,
故两块矩形重心C的坐标为：
结果与前相同。
1 能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。
2 了解空间力系向一点简化的方法和结果。
3 能应用平衡条件求解空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡问题。
4 能正确地画出各种常见空间约束的约束力。
5 对重心应有清晰的概念，能熟练地应用组合法求物体的重心。
本章重点
1 力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。
2 空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系平衡方程的应用。
3 各种常见空间约束的约束力。
4 重心的坐标公式。
本章难点空间矢量的运算，空间结构的几何关系和立体图。
教学过程（下页）
一、空间力系的简化
1．空间力系向一点简化刚体上作用空间力系，将力系中各力向任选的简化中心O简化。
主矢：，与O点选择无关。 （6-1）
主矩：，与O点的选择有关。 （6-2）
主矢和主矩的解析表达式
（6-3）
，，
（6-4）
，，
结论：空间力系向任一点简化，一般可得到一力和一力偶，该力通过简化中心，其大小和方向等于力系的主矢，该力偶的力偶矩矢等于力系对简化中心的主矩。
2．空间力系简化的最后结果
（1）空间力系平衡
，，此空间力系为平衡力系。
（2）空间力系简化为一合力偶
，，此空间力系简化为一合力偶，合力偶矩矢等于力系主矩与简化中心的位置无关。
（3）空间力系简化为一合力
a．，，此空间力系简化为过O点的一合力，合力的大小和方向与主矢相同。
b．，，，这时，与共面，可看作一平面力系，由平面力系简化理论知，此时空间力系简化为一合力。
此合力的作用线过点，大小和方向决定于主矢，其作用线到O点的距离
（6-5）
合力矩定理：
由图6-2知
（6-6）
将上式向通过 点O的任一轴投影，有
（6-7）
若空间力系可以合成为一合力，则合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的矢量和；或合力对任一轴之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和。
（4）空间力系简化为力螺旋（由一力和在该力垂直的平面内的一力偶组成的力系）
，，
小结：空间力系可简化为四种情况，可用主矢与主矩的点积是否为零分为两大类，即
（1）
（2） 力系简化为力螺旋。
二、空间力系的平衡方程及其应用从空间力系的简化结果可得到空间力系平衡的必要和充分条件是力系的主矢和对任一点的主矩为零，即：
， （6-8）
其解析式为：
（6-9）
空间力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系中各力在直角坐标系每一坐标轴上投影的代数和为零，对每一坐标轴之矩的代数和为零。
特例：空间平行力系的平衡方程令轴与力系各力的作用线平行，有
，， （6-10）
例1．镗刀杆的刀头在镗削工件时受到切向力径向力和轴向力的作用，如图6-5所示。各力的大小 ，，，刀尖B的坐标，，。试求镗刀杆根部约束力。
解：1 取研究对象：镗刀杆。
2．分析受力：镗刀杆根部是固定端约束，由于镗刀杆受天的主动是空间力系，因此当镗刀杆平衡时，固定端的约束力也是一个空间力系，将此力系向点O简化，得到一约束力一约束力偶。约束力用直角坐标轴的三个分量、、表示，约束力偶用三个正交分力偶矩、、表示，如图6-5所示。
3．列平衡方程求解：
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例2．图6-6所示传动系统，A是止推轴承，B是向心轴承，在把手端部施加一力，方向如图所示，试求系统平衡时所需重物的重量P以及A、B轴承的约束力。图中长度单位为。
解：1 取研究对象：整体系统。
2．分析受力：如图6-6所示。
3．列平衡方程求解：
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本题也可将作用于传动轴上的各力投影在坐标平面上，把空间力系的平衡问题转化为平面力系的平衡问题来处理，对此读者可自行考虑。
例3．边长为、重量为的均质正方形平台，用六根不计自重的直杆支承如图6-7所示。设平台距地面高度为，处载荷沿边，试求各杆内力。
解：
1,取研究对象：平台。
2,分析受力，如图6-7所示，六根支承杆均为二力杆。
3,列平衡方程求解：
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三,重心众所周知，重心在力学及工程技术中具有重要的意义。本小节将以平行力系中心为基础，引出重心概念及其计算公式。
1．平行力系中心先以两个平行力为例，说明平行力系中心的概念
、的合力
合力作用线位置用合力矩定理确定假定合力作用线与AB连线交于C，则
即：可得：
从动画可以看出，不管平行力方向如何，合力作用线总过C点，此点称为两平行力中心。
显然，可以把上述概念及方法推广至任意平行力系，设几个力组成一平行力系如图6-9，我们可以逐渐运用两平行力合成的方法求得合力。显然，若力系中各力大小和作用点保持不变，各力沿一转向转动任一角后，其合力仍然通过同一点，并且也转动角，此点称为平行力系中心。
用上述的方法求平行力系是非常麻烦的，在工程实际一般用合力矩定理直接求合力作用线的位置。设是平行力系，令坐标系轴与力的作用线平行。各力作用点为假定平行力系小心C的坐标为，则由合力矩定理对轴取矩
得
对轴取矩 得
将力系转过，使各力与轴平行对轴取矩
由上三式可得
（6-11）
2．重心作用在一物体各质点上的重力可近似地看成是一平行力系，此平行力系中心就称为物体的重心。如将物体分割成许多微单元，每微单元的重力为，则由式（6-11）可得重心C的近似公式为
（6-12）
在极限情况下，，时重心坐标的一般公式为
（6-13）
若物体是均质的，则比重对于整体物体是恒量，由（6-12）、（6-13）知，此时重心位置与比重无关，仅决定于物体的几何形状和尺寸，故又称为物体的形心；或者说均质物体的重心与形心是重合的。
若物体是均质的等厚薄板，设板厚用“”表示，则微小部分的体积，板的整个体积（是板的整个面积），利用式Ⅳ可导出等厚薄板的面积公式为
Ⅴ
3．求形心的几种方法
（1）（2）（3）（4）积分法（简单形体的形心可查表）；
组合法（分割法）；
负面积法（负体积法）；
实验法：悬挂法、称重法。
例4．用积分法求如图6-1的半径为R，圆心角为的扇形OAB的形心。
解：建立坐标系如图，由于关于轴对称，所以形心必定在轴上，即，只需求即可：
当时，扇形OAB为半圆其重心为。
例5．用分割法求图6-13所示均质面积重心的位置。设，，。
解：因轴为对称轴，重心在此轴上，，只需求，由图上的尺寸可以算出这三块矩形的面积及其重心的坐标如下：
I,
II,
III,
得物体重心的坐标：
例6,用负面积法求例5所示面积重心的位置。
解：这个复合形体也可以看由矩形ABCD挖去矩EFGH而得。按照例5所示的尺寸，可得这两个矩形的面积及其重心的坐标如下。
对于矩形ABCD：
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对于矩形EFGH：
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故两块矩形重心C的坐标为：
结果与前相同。
