力系的平衡
平衡的概念与定义；
平衡的充要条件；
平衡方程；
平衡方程应用举例 (1)；
平衡方程应用举例 (2)；
结论与讨论。
平衡的概念与定义平衡的概念与定义
(1) 平衡? 静止或等速直线运动,在这两种情形下，都有
dtdLO= 0dP?dt = 0,
(2) 总体平衡与局部平衡：
重要概念：
整体平衡，局部必然平衡平衡的概念与定义总 体：
对于 刚体? 由二个或二个以上刚体组成的 系统整体平衡局部必然平衡平衡的概念与定义总 体：
对于 变形体? 单个物体,或者由二个以及二个以上物体组成的 系统整体平衡，局部必然平衡平衡的概念与定义局 部,对于 刚体? 组成 系统 的单个刚体或几个刚体组成的 子系统
C
FR1’
FRCy
FRCx
FRAx
FRAy
C
FRCyFRCx
FRBx
FRBy
FR1’
FRAx
FRAy
FR1
FR2
W
整体平衡局部必然平衡平衡的概念与定义局 部：
对于 变形体? 组成物体的任意一部分。
整体平衡，局部必然平衡平衡的概念与定义局 部：
对于 变形体? 组成物体的任意一部分。
整体平衡，局部必然平衡平衡的概念与定义局 部：
对于 变形体? 组成物体的任意一部分。
整体平衡，局部必然平衡平衡的概念与定义
平衡的充要条件应用力系等效定理，与平衡力系等效的力系必须满足：
根据质点系的动量和动量矩定理
dtdLO= MOdP?dt = R,
由平衡的动力学定义
dtdLO= 0dP?dt = 0,
平衡的充要条件平 衡满足这一条件的力系称为,平衡力系,。
这就是平衡的充要条件。可以表示为
R＝ 0,MO＝ 0
R＝ 0,MO＝ 0
平衡的充要条件
平 衡 方 程平衡方程
根据平衡的充要条件
R＝ 0,MO＝ 0
对于一般力系，由
R=Rx i + Ry j + Rz k ＝ 0,
MO= Mox i + Moy j + Moz k ＝ 0
有
Rx= Ry= Rz= 0,
Mox= Moy= Moz= 0
于是得到 空间一般力系 的平衡方程,
Fx = 0,
Fy = 0,
Fz = 0 ;
MOx = 0,
MOy = 0,
MOz = 0。
平衡方程
对于 平面一般力系,平衡方程为：
y
z
x
O yz O
Fx = 0,? MO= 0。 Fy = 0,
平衡方程
面一般力系平衡方程的其他形式：
Fx = 0,
MA = 0,
MB = 0 。
MA = 0，
MB = 0,
MC = 0。
B
A x C
B
A
C
A,B 连线不垂直于 x 轴
A,B,C 三点不在同一条直线上平衡方程
平衡方程应用举例 (1)
平面力系情形平衡方程应用举例例 题 1
,确定四种情形下的约束力图示结构,若 F P 和 l 已知
A
C
B
l
l
l FP
ll
A B D
C
FP ll
A B D
C
M=FP l
l
ll
A
C
B
M=FP l
第一种情形第二种情形例题 1
平衡方程应用举例
A
C
B
l
l
l FP
l
ll
A
C
B
M=FP l
M=FP l
l
ll
A B D
C
FP
l
ll
A B D
C
第三种情形第四种情形例题 1
平衡方程应用举例第一种情形
A l
l
l FP
B D
C
ll FP
A B D
C
FBC
FAy
FAx
d
例题 1
MA ( F ) = 0,FBC? d - FP? 2l = 0
FBC=2?2FP
MB ( F ) = 0,FAy? l - FP?l = 0
FAy= - FP
Fx = 0,FAx+FBCcos? = 0
FAx=-2FP
第一种情形例题 1 ll
FP
A B D
FBC
FAy
FAx
C
d
第二种情形
FAy
FAx
l
ll
A B D
C
ll
A B D
M=FP l
FBx′F
By′
FCx′
FCy′
-FBx′
-FBy′
B
C
分析 BC和
ABD杆受力例题 1
M=FP l
FBx′F
By′
FCx′
FCy′
M=FP l
B
C
考察 BC杆的平衡
Fx = 0,FBx′- FCx′=0 FCx′= FBx′
Fy = 0,FBy′- FCy′=0 FCy′= FBy′
MB ( F ) = 0,FCy′?lBC+FP?l = 0
2= - — FP
ˉ2F
Cy′= FBy′
第二种情形例题 1
FAy
FAx ll
A B D
-FBx′
-FBy′
考察 ABD杆的平衡
C
MB ( F ) = 0,
MA ( F ) = 0,
MC ( F ) = 0,
2FBx′ = — FP
ˉ2
FAy= 0
FAx= -FP
第二种情形例题 1
l
ll
A B D
C
ll
A B D
B
C
M=FP l
M=FP lF
C
FB
FB′FA
第二种情形例题 1 更简单的方 法关于平衡对象的选择
FA
能不能以整体为平衡对象第二种情形
l
ll
A B D
C
例题 1
M=FP l
ll
l
A B D
C M=FP l
FC
第三种情形
FCy
l
ll
A B D
C
FP
FP
FA
l
A B
C
ll
D
FCx
例题 1
第三种情形
ME ( F ) = 0,
MA ( F ) = 0,
MC ( F ) = 0,
FCx? l -FP? 2l = 0
-FA? l - FP? 2l = 0
-FCy? 2l -FA? l = 0
ll
D
FCy
FP
FCx
FA
A B
C E
FCx= 2FP,FCy= FP,FA= -2FP
例题 1
例题 1
第四种情形
ll
A B D
C
M=FP l
FA
FC
l
A B
C
ll
D
M=FP l
MC(F) = 0,FA = FC = FP
平衡方程应用举例 (2)
刚体系统的平衡问题由两个或两个以上刚体组成的系统，称为 刚体系统。
刚体系统平衡问题的特点是：仅仅考察系统整体平衡，无法求得全部未知力。
刚体系统已 知,FP,l,r
求,A,D 二处约束力例题 2
2FP
A
B
C
D
E
l
l
1.5l
l
r
1 5l
l
FP
A
B C
D
E
第一种情形例题 2
第一种情形
2FP
A
B
C
D
E
2FP
A
B
C
D
E
FA y
MA FDE
FBy
FBx
B
CE
2FP
FA x
C r
l
l
1.5l
l
1.5l
l
A
B
D
E
1.5l
l
l l
A
B
D
E
C
l
l
1.5l
l
r
FP
FP
FP
FP
FAy
FAx M
A
例题 2
第二种情形
FP
例题 2
第二种情形
A
B C
D
E
FDE
FBy
FBx
FPFP
FAy
FAx M
A
FP
B
E
C
FP
FP
例题 2
第三种情形
1.5l
l
l l
A
B
D
E
C
l
l
1.5l
l
r
FP 2ql
1.5l
l
l
A
B
D
E
C
l
l
1.5l
l
r
FP
l
q
q—载 荷 集 度
A
B C
D
E
FDE
FBy
FBx
FPFP
FAy
FAx M
A
FP
例题 2
第三种情形
B
E F
P
FP
2ql2ql
例题 2
第四种情形
C
1.5l
l
l l
A
B
D
E
l
l
1.5l
l
r
FP
H
问题,在不改变结构和载荷 FP
的位置与方向的情形下，怎样改变缆索 CH的位置，才能使 A
端的约束力偶 MA减小?
结论与讨论
关于平衡方程
(1) 空间一般力系 平衡方程,
Fx = 0,
Fy = 0,
Fz = 0 ;
MOx = 0,
MOy = 0,
MOz = 0。
结论与讨论平衡方程
(2) 平面一般力系 平衡方程
Fx = 0,? MO= 0。 Fy = 0,
(3) 平面一般力系 平衡方程的其他形式
Fx = 0,
MA = 0,
MB = 0 。
MA = 0，
MB = 0,
MC = 0。
结论与讨论平衡方程
(4) 空间力系和平面力系特殊情形下的平衡方程空间平行力系空间汇交力系空间力偶系 平面力偶系平面汇交力系平面平行力系结论与讨论平衡方程
关于平衡方程中的正负号
l
ll
A B D
C
ll
A B D
B
C
M=FP l
M=FP lF
C
FB
FB′FA
结论与讨论平衡方程
ll
A B D
B
C M=FP lFC
FB
FB′FA
结论与讨论平衡方程
MC(F) = 0,FB = FC = -FP
FB′= -FB = FP
Fx = 0,-FA+ FB′=0
FA=FB′= -FB=FP
ll
A B DFB′F
A
FB′= FB = FP
Fx = 0,-FA- FB′=0
FA= -FB′= -FP
结论与讨论平衡方程
关于刚体系统平衡问题的几点结论
总体、局部的选择 ;
各个局部的选择 — 已知力与未知力均有,尽量一个方程求解一个未知力。
结论与讨论刚体系统
(1) 平衡对象选择的灵活性
(2) 受力分析的复杂性
系统的内部各刚体之间相互作用力 — 只有拆开才出现；
拆开后，各个刚体与刚体之间的作用，要区分作用与反作用（方向相反、大小相等 )。
结论与讨论刚体系统
(3) 对于分布载荷注意应用等效与简化的概念
(4) 逐步学会验证所有结果的正确性
平衡方程的灵活应用。
整体平衡 局部平衡 ;
结论与讨论刚体系统
确定物体在空间的位置所需独立坐标的数目，称为物体的自由度 (N),考察下列平面运动 物体运动的自由度数
关于自由度的概念平移绕定轴转动平面自由运动独立坐标数
1
独立坐标数
3
结论与讨论自由度独立坐标数
2
物体自由度的定义对于刚体和变形体都适用。但是，物体的自由度数却与物体的模型有很大关系。
N = 0
N = 1
N =?
结论与讨论自由度
关于刚体的三种约束状态
独立的平衡方程数 Ne
约束力个数 Nr
运动的自由度数 N =Ne-Nr
完全约束 — Ne=Nr,N=0
不完全约束 — Ne? Nr,N? 0
多余约束 — Ne? Nr,N? 0
结论与讨论约束状态
一般任意运动的自由度数 3
平面力系 独立的平衡方程数 3
结论与讨论约束状态
对于平面问题
完全 约束所需约束力个数 3
约束力个数 Nr ＝ 3 时 — 完全约束
约束力个数 Nr < 3 时 — 不完全约束
约束力个数 Nr > 3 时 — 多余约束结论与讨论约束状态
刚体平面问题三种约束状态示 例不完全约束,自由度数 1完全约束,自由度数 0 多余约束,自由度数 -1
结论与讨论约束状态
机 构 与 结 构机 构 — 不完全约束静定结构 — 完全约束结 构超静定结构 — 多余约束{
不完全约束机构 力方程特点
总有一个 (或几个 )力的方程中只包含主动力而无约束力；
总是有可能在特定条件下平衡 —
包含主动力的自相平衡。
结论与讨论约束状态对于不完全约束是不是任意方向加一约束就可以变成完全约束？
另一种不完全约束结论与讨论约束状态
完全约束与不完全约束的另一种定义
由全部力组成的力系（主动力与约束力 )
应满足的平衡方程数 l
由约束力构成的力系应满足的方程数 r
r < l — 不完全约 束
r?l — 完 全 约 束结论与讨论约束状态
N r-N e= 4 - 3 >0
约束是完全的，但有一个约束是多余的结论与讨论约束状态
关于 多余约束独立平衡方程数
N e = 3
约束力个数
N r = 4
N r = N e
— 静定结构超静定
N r > N e
— 超静定结构
N r - N e = n 超静定次数
超静定问题初步结论与讨论
A B
l l
C
特点,满足平衡方程的约束力有无穷多组解。
结论与讨论超静定
超静定问题特点与解法初步
FP FBFA
FA+FB= FP
超静定
超静定问题特点与解法初步结论与讨论
解法,不能再采用刚体模型，而必须采用变形体模型。
A B
l l
C FP FBFA
A B
l l
C FP
FBA B
l l
C
lAC+?lCB= 0
lAC(FP) +
lAB(FB)= 0
返回总目录本 章 作 业
平衡的概念与定义；
平衡的充要条件；
平衡方程；
平衡方程应用举例 (1)；
平衡方程应用举例 (2)；
结论与讨论。
平衡的概念与定义平衡的概念与定义
(1) 平衡? 静止或等速直线运动,在这两种情形下，都有
dtdLO= 0dP?dt = 0,
(2) 总体平衡与局部平衡：
重要概念：
整体平衡，局部必然平衡平衡的概念与定义总 体：
对于 刚体? 由二个或二个以上刚体组成的 系统整体平衡局部必然平衡平衡的概念与定义总 体：
对于 变形体? 单个物体,或者由二个以及二个以上物体组成的 系统整体平衡，局部必然平衡平衡的概念与定义局 部,对于 刚体? 组成 系统 的单个刚体或几个刚体组成的 子系统
C
FR1’
FRCy
FRCx
FRAx
FRAy
C
FRCyFRCx
FRBx
FRBy
FR1’
FRAx
FRAy
FR1
FR2
W
整体平衡局部必然平衡平衡的概念与定义局 部：
对于 变形体? 组成物体的任意一部分。
整体平衡，局部必然平衡平衡的概念与定义局 部：
对于 变形体? 组成物体的任意一部分。
整体平衡，局部必然平衡平衡的概念与定义局 部：
对于 变形体? 组成物体的任意一部分。
整体平衡，局部必然平衡平衡的概念与定义
平衡的充要条件应用力系等效定理，与平衡力系等效的力系必须满足：
根据质点系的动量和动量矩定理
dtdLO= MOdP?dt = R,
由平衡的动力学定义
dtdLO= 0dP?dt = 0,
平衡的充要条件平 衡满足这一条件的力系称为,平衡力系,。
这就是平衡的充要条件。可以表示为
R＝ 0,MO＝ 0
R＝ 0,MO＝ 0
平衡的充要条件
平 衡 方 程平衡方程
根据平衡的充要条件
R＝ 0,MO＝ 0
对于一般力系，由
R=Rx i + Ry j + Rz k ＝ 0,
MO= Mox i + Moy j + Moz k ＝ 0
有
Rx= Ry= Rz= 0,
Mox= Moy= Moz= 0
于是得到 空间一般力系 的平衡方程,
Fx = 0,
Fy = 0,
Fz = 0 ;
MOx = 0,
MOy = 0,
MOz = 0。
平衡方程
对于 平面一般力系,平衡方程为：
y
z
x
O yz O
Fx = 0,? MO= 0。 Fy = 0,
平衡方程
面一般力系平衡方程的其他形式：
Fx = 0,
MA = 0,
MB = 0 。
MA = 0，
MB = 0,
MC = 0。
B
A x C
B
A
C
A,B 连线不垂直于 x 轴
A,B,C 三点不在同一条直线上平衡方程
平衡方程应用举例 (1)
平面力系情形平衡方程应用举例例 题 1
,确定四种情形下的约束力图示结构,若 F P 和 l 已知
A
C
B
l
l
l FP
ll
A B D
C
FP ll
A B D
C
M=FP l
l
ll
A
C
B
M=FP l
第一种情形第二种情形例题 1
平衡方程应用举例
A
C
B
l
l
l FP
l
ll
A
C
B
M=FP l
M=FP l
l
ll
A B D
C
FP
l
ll
A B D
C
第三种情形第四种情形例题 1
平衡方程应用举例第一种情形
A l
l
l FP
B D
C
ll FP
A B D
C
FBC
FAy
FAx
d
例题 1
MA ( F ) = 0,FBC? d - FP? 2l = 0
FBC=2?2FP
MB ( F ) = 0,FAy? l - FP?l = 0
FAy= - FP
Fx = 0,FAx+FBCcos? = 0
FAx=-2FP
第一种情形例题 1 ll
FP
A B D
FBC
FAy
FAx
C
d
第二种情形
FAy
FAx
l
ll
A B D
C
ll
A B D
M=FP l
FBx′F
By′
FCx′
FCy′
-FBx′
-FBy′
B
C
分析 BC和
ABD杆受力例题 1
M=FP l
FBx′F
By′
FCx′
FCy′
M=FP l
B
C
考察 BC杆的平衡
Fx = 0,FBx′- FCx′=0 FCx′= FBx′
Fy = 0,FBy′- FCy′=0 FCy′= FBy′
MB ( F ) = 0,FCy′?lBC+FP?l = 0
2= - — FP
ˉ2F
Cy′= FBy′
第二种情形例题 1
FAy
FAx ll
A B D
-FBx′
-FBy′
考察 ABD杆的平衡
C
MB ( F ) = 0,
MA ( F ) = 0,
MC ( F ) = 0,
2FBx′ = — FP
ˉ2
FAy= 0
FAx= -FP
第二种情形例题 1
l
ll
A B D
C
ll
A B D
B
C
M=FP l
M=FP lF
C
FB
FB′FA
第二种情形例题 1 更简单的方 法关于平衡对象的选择
FA
能不能以整体为平衡对象第二种情形
l
ll
A B D
C
例题 1
M=FP l
ll
l
A B D
C M=FP l
FC
第三种情形
FCy
l
ll
A B D
C
FP
FP
FA
l
A B
C
ll
D
FCx
例题 1
第三种情形
ME ( F ) = 0,
MA ( F ) = 0,
MC ( F ) = 0,
FCx? l -FP? 2l = 0
-FA? l - FP? 2l = 0
-FCy? 2l -FA? l = 0
ll
D
FCy
FP
FCx
FA
A B
C E
FCx= 2FP,FCy= FP,FA= -2FP
例题 1
例题 1
第四种情形
ll
A B D
C
M=FP l
FA
FC
l
A B
C
ll
D
M=FP l
MC(F) = 0,FA = FC = FP
平衡方程应用举例 (2)
刚体系统的平衡问题由两个或两个以上刚体组成的系统，称为 刚体系统。
刚体系统平衡问题的特点是：仅仅考察系统整体平衡，无法求得全部未知力。
刚体系统已 知,FP,l,r
求,A,D 二处约束力例题 2
2FP
A
B
C
D
E
l
l
1.5l
l
r
1 5l
l
FP
A
B C
D
E
第一种情形例题 2
第一种情形
2FP
A
B
C
D
E
2FP
A
B
C
D
E
FA y
MA FDE
FBy
FBx
B
CE
2FP
FA x
C r
l
l
1.5l
l
1.5l
l
A
B
D
E
1.5l
l
l l
A
B
D
E
C
l
l
1.5l
l
r
FP
FP
FP
FP
FAy
FAx M
A
例题 2
第二种情形
FP
例题 2
第二种情形
A
B C
D
E
FDE
FBy
FBx
FPFP
FAy
FAx M
A
FP
B
E
C
FP
FP
例题 2
第三种情形
1.5l
l
l l
A
B
D
E
C
l
l
1.5l
l
r
FP 2ql
1.5l
l
l
A
B
D
E
C
l
l
1.5l
l
r
FP
l
q
q—载 荷 集 度
A
B C
D
E
FDE
FBy
FBx
FPFP
FAy
FAx M
A
FP
例题 2
第三种情形
B
E F
P
FP
2ql2ql
例题 2
第四种情形
C
1.5l
l
l l
A
B
D
E
l
l
1.5l
l
r
FP
H
问题,在不改变结构和载荷 FP
的位置与方向的情形下，怎样改变缆索 CH的位置，才能使 A
端的约束力偶 MA减小?
结论与讨论
关于平衡方程
(1) 空间一般力系 平衡方程,
Fx = 0,
Fy = 0,
Fz = 0 ;
MOx = 0,
MOy = 0,
MOz = 0。
结论与讨论平衡方程
(2) 平面一般力系 平衡方程
Fx = 0,? MO= 0。 Fy = 0,
(3) 平面一般力系 平衡方程的其他形式
Fx = 0,
MA = 0,
MB = 0 。
MA = 0，
MB = 0,
MC = 0。
结论与讨论平衡方程
(4) 空间力系和平面力系特殊情形下的平衡方程空间平行力系空间汇交力系空间力偶系 平面力偶系平面汇交力系平面平行力系结论与讨论平衡方程
关于平衡方程中的正负号
l
ll
A B D
C
ll
A B D
B
C
M=FP l
M=FP lF
C
FB
FB′FA
结论与讨论平衡方程
ll
A B D
B
C M=FP lFC
FB
FB′FA
结论与讨论平衡方程
MC(F) = 0,FB = FC = -FP
FB′= -FB = FP
Fx = 0,-FA+ FB′=0
FA=FB′= -FB=FP
ll
A B DFB′F
A
FB′= FB = FP
Fx = 0,-FA- FB′=0
FA= -FB′= -FP
结论与讨论平衡方程
关于刚体系统平衡问题的几点结论
总体、局部的选择 ;
各个局部的选择 — 已知力与未知力均有,尽量一个方程求解一个未知力。
结论与讨论刚体系统
(1) 平衡对象选择的灵活性
(2) 受力分析的复杂性
系统的内部各刚体之间相互作用力 — 只有拆开才出现；
拆开后，各个刚体与刚体之间的作用，要区分作用与反作用（方向相反、大小相等 )。
结论与讨论刚体系统
(3) 对于分布载荷注意应用等效与简化的概念
(4) 逐步学会验证所有结果的正确性
平衡方程的灵活应用。
整体平衡 局部平衡 ;
结论与讨论刚体系统
确定物体在空间的位置所需独立坐标的数目，称为物体的自由度 (N),考察下列平面运动 物体运动的自由度数
关于自由度的概念平移绕定轴转动平面自由运动独立坐标数
1
独立坐标数
3
结论与讨论自由度独立坐标数
2
物体自由度的定义对于刚体和变形体都适用。但是，物体的自由度数却与物体的模型有很大关系。
N = 0
N = 1
N =?
结论与讨论自由度
关于刚体的三种约束状态
独立的平衡方程数 Ne
约束力个数 Nr
运动的自由度数 N =Ne-Nr
完全约束 — Ne=Nr,N=0
不完全约束 — Ne? Nr,N? 0
多余约束 — Ne? Nr,N? 0
结论与讨论约束状态
一般任意运动的自由度数 3
平面力系 独立的平衡方程数 3
结论与讨论约束状态
对于平面问题
完全 约束所需约束力个数 3
约束力个数 Nr ＝ 3 时 — 完全约束
约束力个数 Nr < 3 时 — 不完全约束
约束力个数 Nr > 3 时 — 多余约束结论与讨论约束状态
刚体平面问题三种约束状态示 例不完全约束,自由度数 1完全约束,自由度数 0 多余约束,自由度数 -1
结论与讨论约束状态
机 构 与 结 构机 构 — 不完全约束静定结构 — 完全约束结 构超静定结构 — 多余约束{
不完全约束机构 力方程特点
总有一个 (或几个 )力的方程中只包含主动力而无约束力；
总是有可能在特定条件下平衡 —
包含主动力的自相平衡。
结论与讨论约束状态对于不完全约束是不是任意方向加一约束就可以变成完全约束？
另一种不完全约束结论与讨论约束状态
完全约束与不完全约束的另一种定义
由全部力组成的力系（主动力与约束力 )
应满足的平衡方程数 l
由约束力构成的力系应满足的方程数 r
r < l — 不完全约 束
r?l — 完 全 约 束结论与讨论约束状态
N r-N e= 4 - 3 >0
约束是完全的，但有一个约束是多余的结论与讨论约束状态
关于 多余约束独立平衡方程数
N e = 3
约束力个数
N r = 4
N r = N e
— 静定结构超静定
N r > N e
— 超静定结构
N r - N e = n 超静定次数
超静定问题初步结论与讨论
A B
l l
C
特点,满足平衡方程的约束力有无穷多组解。
结论与讨论超静定
超静定问题特点与解法初步
FP FBFA
FA+FB= FP
超静定
超静定问题特点与解法初步结论与讨论
解法,不能再采用刚体模型，而必须采用变形体模型。
A B
l l
C FP FBFA
A B
l l
C FP
FBA B
l l
C
lAC+?lCB= 0
lAC(FP) +
lAB(FB)= 0
返回总目录本 章 作 业
