力学课程多媒体教学改革课题组材料力学多媒体教学课件南昌航空工业学院工程力学第四章 弯曲内力一、平面弯曲二、梁的计算简图三、梁的内力四、梁的内力方程和内力图五,q,Q和 M间的关系及其应用六、平面刚架和平面曲杆的弯曲内力一、平面弯曲受力特点：
变形特点：
纵向对称轴：
纵向对称面：
平面弯曲：
梁：
载荷条件：
二、梁的计算简图：
1、梁的简化：
2、载荷类型：
3、支座类型：
4、梁的类型：
三、梁的内力,剪力和弯矩
1.利用截面法,加 Q,M
左段,Y 0
Q R PA 1
M Fc( ) 0
)(1 asPmsRM A
——剪力
——弯矩
)( 截面一侧FQ
)()( 截面一侧FMM C
Q,M正负号规定：
按变形,按外力实际作用方向：
左上右下错动趋势,+”
左下右上错动趋势,-”
截面左侧 截面右侧
P P（ +）
（ -）P （ -）
（ +）
P
,Q”
,)( 截面一侧FQ?
)()( 截面一侧FMM C
2.
按变形,按外力实际作用方向：
截面左侧 截面右侧
,M”
P P（ +）
（ -）P （ -）
（ +）
P
（ +） （ +）
（ -） （ -）
（ +）
（ -）
例 1：求下图 1-1,2-2,3-3,4-4,5-5的 Q,M值。
1）外力分析：
2）内力分析：
,0)(FM D )(
2
1 qaY
C
,0 Y )(
2
5 qaY
D
11Q qa
2
111M 2
8
1 qa?
解：
22Q qa22M 2
2
1 qa?
33Q qa
2
3qa? qa
2
1?
33M 2
2
1 qa2
2
1 qa? 0
CY
44Q qaqaqa
2
3
2
1
44M 22
2
1
2
3 qaaqaqaqa
55Q qa
55M
2qa?
66Q qa
66M 2
2
1 qa?
77Q qa
77M 0
例 2：求下图悬臂梁 1-1,2-2截面上的 Q,M值。
1）外力分析：
2）内力分析：
解：
11Q aq
02
1?
11M 2
00 6
1
3
1
2
1 aqaaq
22Q aq
022M 20aq?
四、梁的剪力方程和弯矩方程； Q,M图：
1.剪力方程,
2.弯矩方程,
3.剪力图,
4.弯矩图,
Q = Q(x)
M = M(x)
例 1设 b > a 1) 外力分析：
2) 内力分析 (方程 )：
解,支反力
R Pba bA R Paa bB
，
AC段：
BC段：
ba
PbxQ
)( 1
ba
P b xxM
1
1 )(
)0( 1 ax
)0( 1 ax
ba
PaP
ba
PbxQ
)( 2
ba
xbaPaaxP
ba
P b xxM
)()()( 2
2
2
2
)( 2 baxa
)( 2 baxa
3) Q,M图：
Q Pba bmax
M Pa ba bm a x
例 2设 b > a
1) 外力分析：
2) 内力分析 (方程 )：
解,支反力
R ma bA( ) R ma bB( )，
分为两段,AC段,BC段
AC段：
BC段：
ba
mxQ
)(
1
ba
mx)x(M 1
1?
)0( 1 ax
)0( 1 ax
ba
mxQ
)(
2
ba
xbamm
ba
mxxM
)()( 22
2
)( 2 baxa
)( 2 baxa
3) Q,M图：
Q ma bmax
ba
mbM
m a x
例 3 1) 外力分析：
2) 内力分析 (方程 )：
解,支反力
R R qlA B 12
3) Q,M图：
Q qlm a x? 12
M qlmax? 18 2
在 Q=0处,M取最大值。
Q x ql qx( )12
M x q l x qx( )12 12 2
( )0x l
小结,1) 分段点：
2) 突变 (Q,M方程的开闭区间 )：
3) 极值点：
4) 转折：
例 4
1) 外力分析：
2) 内力分析 (方程 )：
解,支反力
R kNA15 ( )
R kNB10 ( )
分为三段,CA段,AD段,DB段
CA段：
AD段：
5)( 1xQ
11 5)( xxM
)10( 1 x
)10( 1 x
10155)( 2xQ
1510)1(155)( 2222 xxxxM
)21( 2 x
)21( 2 xDB段：
1510)2(10155)( 333 xxxQ
2
3333 )2(2
15)1(155)( xqxxxM
)42( 2 x
)42( 2 x40305 323 xx
3) Q,M图：
Q kNm a x? 10
M kN mm a x5
作业：
P155 4.1(g),(d)
P156 4.4(c),(d)
五、载荷集度 q、剪力 Q和弯矩 M间的关系及其应用：
1.微分关系：
Y 0 dQ x
dx q x
( ) ( )?
M Fc( ) 0 dM x
dx Q x
( ) ( )?
d M x
dx q x
2
2
( ) ( )?
Q x Q x q x dxx x( ) ( ) ( )2 1
1
2
M x M x Q x dxx x( ) ( ) ( )2 1
1
2
——q,Q,M微分关系
——q,Q,M积分关系
2.某一梁段上载荷图、剪力图、弯矩图三图的形状关系：
q图 Q图 M图水平直线 斜直线斜直线 抛物线抛物线 立方抛物线三图形状口诀,0—平 —斜 —抛 —抛
3.弯矩 M的极值,dM x
dx Q x
( ) ( ) 0
4.两截面的 Q,M的差值：
1） x2与 x1两截面的剪力之差等于两截面载荷图的面积；
2） x2与 x1两截面的弯矩之差等于两截面剪力图的面积；
由三者积分关系可知：
利用以上关系可以用来绘制和校核 Q图和 M图。
例 1,1) 外力分析：
2) 分析各段内力图的形状及计算控制面的内力值：
解：
R R PA B
AC段,
画下梁的 Q,M图。
CB段：
图斜直线图水平 MQ
.,,转折突变点有集中载荷 MQC
PlMMPQ CAA,0,
图斜直线图水平 MQ
0,, BCC MPlMPQ
3) Q,M图：
Q Pm a x?
M Plm a x?
例 2.
1) 外力分析：
2) 内力分析 (方程 )：
解：
AC段,平 —斜 —抛
3) Q,M图：
,m a x qaQ? M qa
m a x?
3
2
2
画下悬臂梁的 Q,M图。
CB段,0—平 —斜从左边向右边绘制
qaQQ CA,0
2
2
1,0 qaMM
CA
qaQqaQ BC,
22
2
3,
2
1 qaMqaM
BC
例 3
1) 外力分析：
2) 内力分析 (方程 )：
解,支反力
Y kNA3 ( )
Y kNB2 ( )
CA段,0—平 —斜绘制下图外伸梁的 Q,M图。
AD段,0—平 —斜
DB段：平 —斜 —抛分三段：
mkNMMkNQQ ACAC 4,0,2 左右左右
mkNMmkNMkNQQ DADA 1,4,1 左右左右
0,5.1,3,1 左右左右 BDBD MmkNMkNQkNQ
3) Q,M图：
Q kNm a x? 3
M kN mm a x4
mkNMMkNQQ ACAC 4,0,2 左右左右
mkNMmkNMkNQQ DADA 1,4,1 左右左右
0,5.1,3,1 左右左右 BDBD MmkNMkNQkNQ
1）按控制面分段，利用某梁段上 q,Q,M的微分关系确定其内力图的形状：
q图 Q图 M图水平直线 斜直线斜直线 抛物线抛物线 立方抛物线
“控制面法”或“混合法”作 Q,M图小结：
3）在集中力作用处,Q图有突变；
在集中力偶作用处,M图有突变。
4）有 q(x) ≠ 0的梁段，若 Q=0,则弯矩在该处有极值。
2）计算控制面的 Q值,M值。
5）全梁的 ∣ M∣ max可能发生在集中力、集中力偶作用的或 Q = 0的截面上。
作业：
P156 4.4 (i) (l)
P163 4.13 (a)
六、平面刚架和平面曲杆的弯曲内力
1.平面刚架：
2）截面上存在的内力：
N,Q,M
1）刚结点处变形受力特点：
i 夹角不变，不能相对转动；
i i 传递力和力矩。
正负号规定：
N：拉 ( + )、压 ( - )；
Q：使杆顺时针为正,反之为负 ;
M：画在 凹 入的一侧。
例 1
1) 外力分析：
2) 内力分析 (M方程 )：
解：
M FA ( ) 0
3) M,Q,N图：
,80m a x kNQ?
M kN mm a x160
画上图刚架的内力图。
Y kNC? 80
BC段,M(x1)=80x1，
Q(x1)=-80,N(x1)=0
BA段：
2
2
2
22 1 6 0202
1)( xxMxM
B
N kNm a x? 80
“M”
“Q”
“N”
80)(,20)( 222 xNxxQ
2.平面曲杆的内力,
2.1 平面曲杆,
2.2 内力正负号规定,
2.3 内力方程,利用截面法
2.4 N,Q,M图：描点
3.习题课：
1) 1) 外力分析：
2) 内力分析 (方程 )：
解：
R PA? 34
AC段,
3) 作 Q,M图：
Q Pm a x,? 34 M Pamax? 34
画下梁的 Q,M图。
CB段：
R PB? 14
Q x P( )1 34?
M x Px( )1 134?
Q x P( )2 14M x Px( )2 2
1
4?
2) 1) 外力分析：
2) 内力分析 (方程 )：
解：
R qaA? 14
AC段,
3) 作 Q,M图：
Q qam a x? 34
M qam a x? 34 2
画下梁的 Q,M图。
CB段：
R qaB? 34
3)
1) 先看载荷图 (q图 )解：
2) 作 Q图：
已知 M图，试作 Q图和 q图。
M kN mA1
( )M kN mD3
P kNB? 3 ( )向下
)(2 向下kNP C?
( M M PD A C 2
3)
P kND? 5 ( )向上
4)
1) 外力分析：
2) 内力分析 (方程 )：
解：
R qaA? 12 ( )下
AB段,
3) 作 Q,M图：
Q qam a x? M qam a x? 2
试写下图复梁的 Q,M方程并作 Q,M图。
BC段：
R qaB? 32 ( )上
R qaD? ( )上
CD段：
Q x qa( )1 2
M x qa x( )1 12
Q x qa( )2?
M x q a x qa( )2 23
Q x qa qx( )3 3
)( 3 开始的原点从 Dx
桥式起重机大梁的跨度为 L，轮距为 d，每个轮子的压力为 P，试问小车行驶到什么位置时，
梁内的 Mmax达到最大？其值为多少？
5)
解,M图由三段组成，最大弯矩必发生在集中载荷作用处的截面。
选 C轮为研究对象。
一、轮 C的位置：
R PL Px PdLA2 2
M L dL Px PL xxC2 2 2
dM x
dx
( )? 0 x L d2 4
二,Mmax值
M PL L dC m ax ( )8 2 2
6)试导出梁中最大弯矩公式。
解,梁和载荷对称，最大弯矩必发生在跨度中间的截面。
当 n为奇数时,
M P L Pn L Ln Pn L Lnmax ( ) ( )2 2 2 1 2 2 1
1).
2).
当 n为偶数时,3).
P
n
L
n L
n( )2
1
2
1
Pl Pn L n Pn Ln4 2 12 1 1 2( ) ( )(n 12 )n n PL18
M P L Pn L Ln Pn L Lnmax ( ) ( )2 2 2 1 2 2 1
P
n
L
n L
n( )2
2
1
Pl Pn L n Pn Ln4 2 2 1 1 2( ) ( )(n2)nn PL28 1( )
简支梁承受集度为 p(x)的轴向分布载荷 (如图 ).7)
①
②
试导出载荷集度与轴力、剪力、弯矩间的微分关系； 若 p(x)=q=常数,试作 N,Q,M图。
解,1.取微段,静平衡方程,
X 0 dN
dx p x? ( )
Y 0 dQ
dx? 0
M 0 0 dM
dx p
h Q
2
2.作 N,Q,M图 (方程 )
N qLm a x?
Q qhmax? 2
M qhLmax? 2
N x qL qx( )
Q x qh( )
M x qh L x( ) ( )2
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变形特点：
纵向对称轴：
纵向对称面：
平面弯曲：
梁：
载荷条件：
二、梁的计算简图：
1、梁的简化：
2、载荷类型：
3、支座类型：
4、梁的类型：
三、梁的内力,剪力和弯矩
1.利用截面法,加 Q,M
左段,Y 0
Q R PA 1
M Fc( ) 0
)(1 asPmsRM A
——剪力
——弯矩
)( 截面一侧FQ
)()( 截面一侧FMM C
Q,M正负号规定：
按变形,按外力实际作用方向：
左上右下错动趋势,+”
左下右上错动趋势,-”
截面左侧 截面右侧
P P（ +）
（ -）P （ -）
（ +）
P
,Q”
,)( 截面一侧FQ?
)()( 截面一侧FMM C
2.
按变形,按外力实际作用方向：
截面左侧 截面右侧
,M”
P P（ +）
（ -）P （ -）
（ +）
P
（ +） （ +）
（ -） （ -）
（ +）
（ -）
例 1：求下图 1-1,2-2,3-3,4-4,5-5的 Q,M值。
1）外力分析：
2）内力分析：
,0)(FM D )(
2
1 qaY
C
,0 Y )(
2
5 qaY
D
11Q qa
2
111M 2
8
1 qa?
解：
22Q qa22M 2
2
1 qa?
33Q qa
2
3qa? qa
2
1?
33M 2
2
1 qa2
2
1 qa? 0
CY
44Q qaqaqa
2
3
2
1
44M 22
2
1
2
3 qaaqaqaqa
55Q qa
55M
2qa?
66Q qa
66M 2
2
1 qa?
77Q qa
77M 0
例 2：求下图悬臂梁 1-1,2-2截面上的 Q,M值。
1）外力分析：
2）内力分析：
解：
11Q aq
02
1?
11M 2
00 6
1
3
1
2
1 aqaaq
22Q aq
022M 20aq?
四、梁的剪力方程和弯矩方程； Q,M图：
1.剪力方程,
2.弯矩方程,
3.剪力图,
4.弯矩图,
Q = Q(x)
M = M(x)
例 1设 b > a 1) 外力分析：
2) 内力分析 (方程 )：
解,支反力
R Pba bA R Paa bB
，
AC段：
BC段：
ba
PbxQ
)( 1
ba
P b xxM
1
1 )(
)0( 1 ax
)0( 1 ax
ba
PaP
ba
PbxQ
)( 2
ba
xbaPaaxP
ba
P b xxM
)()()( 2
2
2
2
)( 2 baxa
)( 2 baxa
3) Q,M图：
Q Pba bmax
M Pa ba bm a x
例 2设 b > a
1) 外力分析：
2) 内力分析 (方程 )：
解,支反力
R ma bA( ) R ma bB( )，
分为两段,AC段,BC段
AC段：
BC段：
ba
mxQ
)(
1
ba
mx)x(M 1
1?
)0( 1 ax
)0( 1 ax
ba
mxQ
)(
2
ba
xbamm
ba
mxxM
)()( 22
2
)( 2 baxa
)( 2 baxa
3) Q,M图：
Q ma bmax
ba
mbM
m a x
例 3 1) 外力分析：
2) 内力分析 (方程 )：
解,支反力
R R qlA B 12
3) Q,M图：
Q qlm a x? 12
M qlmax? 18 2
在 Q=0处,M取最大值。
Q x ql qx( )12
M x q l x qx( )12 12 2
( )0x l
小结,1) 分段点：
2) 突变 (Q,M方程的开闭区间 )：
3) 极值点：
4) 转折：
例 4
1) 外力分析：
2) 内力分析 (方程 )：
解,支反力
R kNA15 ( )
R kNB10 ( )
分为三段,CA段,AD段,DB段
CA段：
AD段：
5)( 1xQ
11 5)( xxM
)10( 1 x
)10( 1 x
10155)( 2xQ
1510)1(155)( 2222 xxxxM
)21( 2 x
)21( 2 xDB段：
1510)2(10155)( 333 xxxQ
2
3333 )2(2
15)1(155)( xqxxxM
)42( 2 x
)42( 2 x40305 323 xx
3) Q,M图：
Q kNm a x? 10
M kN mm a x5
作业：
P155 4.1(g),(d)
P156 4.4(c),(d)
五、载荷集度 q、剪力 Q和弯矩 M间的关系及其应用：
1.微分关系：
Y 0 dQ x
dx q x
( ) ( )?
M Fc( ) 0 dM x
dx Q x
( ) ( )?
d M x
dx q x
2
2
( ) ( )?
Q x Q x q x dxx x( ) ( ) ( )2 1
1
2
M x M x Q x dxx x( ) ( ) ( )2 1
1
2
——q,Q,M微分关系
——q,Q,M积分关系
2.某一梁段上载荷图、剪力图、弯矩图三图的形状关系：
q图 Q图 M图水平直线 斜直线斜直线 抛物线抛物线 立方抛物线三图形状口诀,0—平 —斜 —抛 —抛
3.弯矩 M的极值,dM x
dx Q x
( ) ( ) 0
4.两截面的 Q,M的差值：
1） x2与 x1两截面的剪力之差等于两截面载荷图的面积；
2） x2与 x1两截面的弯矩之差等于两截面剪力图的面积；
由三者积分关系可知：
利用以上关系可以用来绘制和校核 Q图和 M图。
例 1,1) 外力分析：
2) 分析各段内力图的形状及计算控制面的内力值：
解：
R R PA B
AC段,
画下梁的 Q,M图。
CB段：
图斜直线图水平 MQ
.,,转折突变点有集中载荷 MQC
PlMMPQ CAA,0,
图斜直线图水平 MQ
0,, BCC MPlMPQ
3) Q,M图：
Q Pm a x?
M Plm a x?
例 2.
1) 外力分析：
2) 内力分析 (方程 )：
解：
AC段,平 —斜 —抛
3) Q,M图：
,m a x qaQ? M qa
m a x?
3
2
2
画下悬臂梁的 Q,M图。
CB段,0—平 —斜从左边向右边绘制
qaQQ CA,0
2
2
1,0 qaMM
CA
qaQqaQ BC,
22
2
3,
2
1 qaMqaM
BC
例 3
1) 外力分析：
2) 内力分析 (方程 )：
解,支反力
Y kNA3 ( )
Y kNB2 ( )
CA段,0—平 —斜绘制下图外伸梁的 Q,M图。
AD段,0—平 —斜
DB段：平 —斜 —抛分三段：
mkNMMkNQQ ACAC 4,0,2 左右左右
mkNMmkNMkNQQ DADA 1,4,1 左右左右
0,5.1,3,1 左右左右 BDBD MmkNMkNQkNQ
3) Q,M图：
Q kNm a x? 3
M kN mm a x4
mkNMMkNQQ ACAC 4,0,2 左右左右
mkNMmkNMkNQQ DADA 1,4,1 左右左右
0,5.1,3,1 左右左右 BDBD MmkNMkNQkNQ
1）按控制面分段，利用某梁段上 q,Q,M的微分关系确定其内力图的形状：
q图 Q图 M图水平直线 斜直线斜直线 抛物线抛物线 立方抛物线
“控制面法”或“混合法”作 Q,M图小结：
3）在集中力作用处,Q图有突变；
在集中力偶作用处,M图有突变。
4）有 q(x) ≠ 0的梁段，若 Q=0,则弯矩在该处有极值。
2）计算控制面的 Q值,M值。
5）全梁的 ∣ M∣ max可能发生在集中力、集中力偶作用的或 Q = 0的截面上。
作业：
P156 4.4 (i) (l)
P163 4.13 (a)
六、平面刚架和平面曲杆的弯曲内力
1.平面刚架：
2）截面上存在的内力：
N,Q,M
1）刚结点处变形受力特点：
i 夹角不变，不能相对转动；
i i 传递力和力矩。
正负号规定：
N：拉 ( + )、压 ( - )；
Q：使杆顺时针为正,反之为负 ;
M：画在 凹 入的一侧。
例 1
1) 外力分析：
2) 内力分析 (M方程 )：
解：
M FA ( ) 0
3) M,Q,N图：
,80m a x kNQ?
M kN mm a x160
画上图刚架的内力图。
Y kNC? 80
BC段,M(x1)=80x1，
Q(x1)=-80,N(x1)=0
BA段：
2
2
2
22 1 6 0202
1)( xxMxM
B
N kNm a x? 80
“M”
“Q”
“N”
80)(,20)( 222 xNxxQ
2.平面曲杆的内力,
2.1 平面曲杆,
2.2 内力正负号规定,
2.3 内力方程,利用截面法
2.4 N,Q,M图：描点
3.习题课：
1) 1) 外力分析：
2) 内力分析 (方程 )：
解：
R PA? 34
AC段,
3) 作 Q,M图：
Q Pm a x,? 34 M Pamax? 34
画下梁的 Q,M图。
CB段：
R PB? 14
Q x P( )1 34?
M x Px( )1 134?
Q x P( )2 14M x Px( )2 2
1
4?
2) 1) 外力分析：
2) 内力分析 (方程 )：
解：
R qaA? 14
AC段,
3) 作 Q,M图：
Q qam a x? 34
M qam a x? 34 2
画下梁的 Q,M图。
CB段：
R qaB? 34
3)
1) 先看载荷图 (q图 )解：
2) 作 Q图：
已知 M图，试作 Q图和 q图。
M kN mA1
( )M kN mD3
P kNB? 3 ( )向下
)(2 向下kNP C?
( M M PD A C 2
3)
P kND? 5 ( )向上
4)
1) 外力分析：
2) 内力分析 (方程 )：
解：
R qaA? 12 ( )下
AB段,
3) 作 Q,M图：
Q qam a x? M qam a x? 2
试写下图复梁的 Q,M方程并作 Q,M图。
BC段：
R qaB? 32 ( )上
R qaD? ( )上
CD段：
Q x qa( )1 2
M x qa x( )1 12
Q x qa( )2?
M x q a x qa( )2 23
Q x qa qx( )3 3
)( 3 开始的原点从 Dx
桥式起重机大梁的跨度为 L，轮距为 d，每个轮子的压力为 P，试问小车行驶到什么位置时，
梁内的 Mmax达到最大？其值为多少？
5)
解,M图由三段组成，最大弯矩必发生在集中载荷作用处的截面。
选 C轮为研究对象。
一、轮 C的位置：
R PL Px PdLA2 2
M L dL Px PL xxC2 2 2
dM x
dx
( )? 0 x L d2 4
二,Mmax值
M PL L dC m ax ( )8 2 2
6)试导出梁中最大弯矩公式。
解,梁和载荷对称，最大弯矩必发生在跨度中间的截面。
当 n为奇数时,
M P L Pn L Ln Pn L Lnmax ( ) ( )2 2 2 1 2 2 1
1).
2).
当 n为偶数时,3).
P
n
L
n L
n( )2
1
2
1
Pl Pn L n Pn Ln4 2 12 1 1 2( ) ( )(n 12 )n n PL18
M P L Pn L Ln Pn L Lnmax ( ) ( )2 2 2 1 2 2 1
P
n
L
n L
n( )2
2
1
Pl Pn L n Pn Ln4 2 2 1 1 2( ) ( )(n2)nn PL28 1( )
简支梁承受集度为 p(x)的轴向分布载荷 (如图 ).7)
①
②
试导出载荷集度与轴力、剪力、弯矩间的微分关系； 若 p(x)=q=常数,试作 N,Q,M图。
解,1.取微段,静平衡方程,
X 0 dN
dx p x? ( )
Y 0 dQ
dx? 0
M 0 0 dM
dx p
h Q
2
2.作 N,Q,M图 (方程 )
N qLm a x?
Q qhmax? 2
M qhLmax? 2
N x qL qx( )
Q x qh( )
M x qh L x( ) ( )2
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