力系的等效与简化
引 言
力对点之矩
力对轴之矩
力系及其基本特征量
力系等效定理
力偶与力偶系
一般力系的简化
结论讨论
引言
力对点之矩 ;
力对轴之矩 ;
力 系 ;
特殊力系? 力 偶 ;
等 效 ;
简 化。
需要建立或者重新认识的几个概念
力对点之矩
F
F ( Fx,Fy,Fz )
r ( x,y,z )
B
Mo ( F ) = r?F
M O ( F ) =F d
力对点之矩的定义
Mo ( F ) = r?F
= (Fzy-Fyz) i +(Fxz-Fzx) j+(Fyx-Fxy) k
力对点之矩的矢量运算
i j k
x y z
Fx Fy Fz
=
F
Fx
Fy
Fz
x
z
y
r
力 矩 矢 量 的 方 向
M= r?F
按右手定则
F
r
MO
力对点之矩 几点结论
力对 点 之 矩是一种矢量 ;
矢量的模
矢量方向由右手定则确定 ;
矢量作用在 O点,垂直于 r 和 F
所在的平面 。
M O ( F ) =F d
Fr
MO
力对轴之矩
力对轴之矩实例
F
F Fz
Fx
Fy
定义,力使物体绕某一轴转动效应的量度,称为力对该轴之矩,
力对轴之矩的定义
力对轴之矩的计算方法一,将力向垂直于该轴的平面投影,力的投影与投影至轴的垂直距离的乘积,
Mz (F)
= Fxyd
=? 2(?OAB)
方法二,将力向三个坐标轴方向分解,分别求三个分力对轴之矩，然后将三个分力对轴之矩的代数值相加。
力对轴之矩的计算
力对轴之矩代数量的正负号
力对轴之矩与力对 点之 矩的关系
M O ( F ) =F d
Mz (F) = Fxyd
Fxy= F cos?
Mz (F) = M O ( F )cos?
结论,力对点之矩的矢量在某一轴上的投影,等于这一力对该轴之矩 。
力对轴之矩与力对 点之 矩的关系
F
力对轴之矩与力对 点之 矩的关系
Mo
F
特殊情形
r
结 论,当 轴 垂直于 r 和 F 所在的平面时,力 对点之矩与力对轴之矩在数值上相等 。
力对轴之矩与力对 点之 矩的关系
F
r
Mo=M A-A
特殊情形
汇交力系的合力之矩定理
F2
d2
FRd
汇交力系
FR=? Fi
i=1
n
MO(FR)=? M O(Fi)i=1
n
O
d1
F1
汇交力系的合力之矩定理例 题已 知,F,l1,
l2,?,
求,MO(F)
汇交力系的合力之矩定理例 题
MO (F) = MO (F cos?)
+MO(F sin?)
力系及其基本特 征 量两个或两个以上的力所构成的系统称为 力系,又称力的集合 。
F1
F2
FnF
3
M1
Mn
力 系
力 系 的 主 矢
FR
MA
x
力系中所有力的矢量和称为力系的 主矢。
FR=? Fi
i=1
n
其分量式为：
力 系 的 主 矢
FRx= Fix?i=1n
FRy= Fiy?i=1n
i=1
nF
Rz= Fi
z
力系主矢的特点：
对于给定的力系，主矢唯一；
主矢仅与各力的大小和方向有关，主矢不涉及作用点和作用线,因而主矢是 自由矢 。
力 系 的 主 矢
力 系 的 主 矩力系中所有的力对同一点
(矩心 )之矩的矢量和称为力系的 主矩
MO =?
i=1
n
MO(Fi)?
i=1
n
ri?Fi=
主矩 的分量式
M ox =?
i=1
n
[ Mo(Fi)]x
M oy =?
i=1
n
[ Mo(Fi)]y
M oz =?
i=1
n
[ Mo(Fi)]z
力 系 的 主 矩
= M z(Fi)?
n
i=1
= Mx(Fi)?
n
i=1
= My(Fi)?
n
i=1
力 系 的 主 矩力系主矩的特点,
力系主矩 MO与矩心 ( O )
的位 置有关 ;
力系主矩是 定位矢,其作用点为矩心。
力系等效定理力系等效的含义对于运动效应二 者 等 效
FP FP′
FP FP′
对于变形效应二者不等效对于运动效应二者依然等效力系等效的含义
FP FP′
FP FP′
怎 样 判 断 不 同 力 系 的运 动 效 应 是 否 相 同
如何判断力系等效
MCFB
FA
FC
ME
MD
定理,两个力系对刚体运动效应相等的条件是主矢相等和对同一点的主矩相等,
力系等效定理力系等效定理是质点系动力学普遍定理的推论或引理物理学中关于质点系运动状态的基本特征量,
动量 (线动量 ),P ; 动量矩 (角动量 ),LO
力系等效的动力学含义线动量和角动量对时间的导数分别等于作用在质点系上的主矢 (FR)和主矩 (MO)，
即
d P
d t =FR
d LO
d t = MO
若两力系的 F R 和 MO 分别相等,质点系运动特征量 P 和 LO变化率相同,即二者对质点系所产生的运动效应相同,此即等效。
力系等效的动力学含义
力偶与力偶系
力 偶,大小相等,方向相反,不共线的两个力所组成的力系,
力偶的定义
F2
F1
r1
r2
rBA
力 偶 实 例
力 偶 实 例
F1
F2
力偶作用面,
二力所在平面。
力 偶 臂,
二力作用线之间的垂直距离。
力偶的作用面与力偶 臂
F1
F2
特点一,力偶无合力,即主矢 FR=0.
特点二,力偶对刚体的运动效应只与力偶矩矢量有关,
力 偶 的 特 点
力 偶 矩 矢 量力偶对 O点之矩等于这个力系中的两个力对该点之矩之和
MO = MO(F) + MO(F′)
= rA?F + rB? F′
= rA?F - rB? F
=( rA - rB )?F
= rBA?F
其方向亦可由右手定则确定。
力 偶 矩 矢 量
O1
关于力偶性质的推论
只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不变。
F F ′ F F ′
只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不变。
关于力偶性质的推论
F F ′ F
F ′
保持力偶矩矢量不变，分别改变力和力偶臂大小，其作用效果不变。
关于力偶性质的推论
F F ′ F / 2 F′/ 2
只要保持力偶矩矢量大小和方向不变,
力偶可在与 其作用面平行的平面内移动 。
关于力偶性质的推论
M=Fdk
力偶系及其合成力偶系,由两个或两个以上力偶组成的特殊力系
y
Mx
Mx
My
力偶系及其合成力偶系合成的结果,
仍然是一个力偶，
其力偶矩矢量等于原力偶系中所有力偶矩矢量之和。即
M=? M ii=1
n
M
力偶系及其合成
力偶与力偶系例题已知,M1 和 M2
(M1=M2 =M
0),
及其作用面,
求,合力偶 。
例 题 1
解,首先将已知力偶矩
(大小和方向 )表示成矢量表达式
M1=M1? r1
M2=M2? r2
其中
r1= rCB?rAB
r2= rDC?rAC
rCB,rAB,rDC,rAC
都可以表示成 i,j k 的形式
力偶与力偶系例题结 果,M=M1+M2
=(0.555i+1.279j+0.899k)M0
力偶与力偶系例题例题 2
已知,结构受力如图所示,图中 M,r均为已知,且 l=2r.
试,画出 AB和 BDC杆的受力图 ;
求 A,C二处的约束力,
力偶与力偶系例题例题 2
受力分析,
1,AB杆为二力杆 ;
2,BDC杆的 A,B
二处分别受有一个方向虽然未知、
但可以判断出的力,
力偶与力偶系例题例题 2
讨 论怎样确定 B,C二处的约束力
力偶与力偶系例题
一般力系的简化
简化的含义
F1 F
n
F3F2
Fn
Mn
力向一点平移
F,力 ;
O,简化中心 ;
,F与 O所 ;
在平面 ;n,? 平面的法线 ;
en,n方向的单位矢,F
r
力向一点平移
F
r F
r
r
力向一点平移在 O点作用什么力系才能使二者等效?
F
r
F
力向一点平移加减平衡力系
( F,-F ),
二 者 等 效
F
r
F
F
－ F
力向一点平移力向一点平移的结果,一个力和一个力偶,力偶的力偶矩等于原来力对平移点之矩,
F
F
－ F M
力向一点平移实例
F
F
-F
F
力向一点平移实例
F
F
－ F
F
M
F
Mx
My
一般力系的简化
F1
F2
F3
Fn
F1
M 1
将每个力向简化中心平移
F1
F2
F3
Fn
F1
F2F
n
M1
M2M
n
F1
F2F
n
M1
M2M
n
FRz
FRx FRy
MyM
x
Mz FR
MO
一般力系简化的结果一般力系汇交力系 力 偶 系合 力
FR=?Fi
合 力 偶
MO=? MO ( Fi )
一般力系简化结果的应用
固定端约束的约束力平面载荷作用的情形
一般力系简化结果的应用
固定端约束的约束力平面分布约束力简化结果,
FA x ;
FA y ;
MA
一般力系简化结果的应用
固定端约束的约束力
FAx
FAy
结论与讨论根据力系的基本特征量 (主矢 FR和主矩 MO),
力系可分为,
只有主矢者? 汇交力系 ;
只有主矩者? 力偶或力偶系 ;
二者兼有者? 一般力系,
关于力系的分类在刚体静力学中,等效是指运动效应,关于这一问题请参阅,学习研究问题集,
中的 B-2 题,
力系的等效是有条件的
关于几个力学矢量的分类请判断力矢量、力矩矢量、力偶矩矢量、主矢,主矩分别属于下列矢量中的哪一种：
自由矢 ;? 滑动矢 ;? 定位矢,
请分析合力与主矢、合力偶矩矢量与主矩的相同点和不同点,
几种能产生约束力偶的约束活 页 铰滑 动 轴 承止 推 轴 承夹 持 铰 支 座三 维 固 定 端
能产生约束力偶的约束? 活页铰
能产生约束力偶的约束? 滑动轴承
能产生约束力偶的约束? 止推轴承
能产生约束力偶的约束? 夹持铰支座
能产生约束力偶的约束? 三维固定端
力系向某一点 (O )简化的几种结果特 殊 情 形
FR =MO= 0? 零力系 (平衡力系 )
FR= 0,MO = 0? 合力偶
FR= 0,MO= 0? 合 力
FR= 0,MO= 0 (FR? MO )? 合 力
(还可以再简化 )
一般 力系简化的最后结果一般情形下的简化结果
FR= 0,MO= 0
F R垂直于 MO
F R平行于 MO
F R既不平行也不垂直于 MO
三种结果都还可以再简化
MO
FR
最后结果 F
R
d=M/FR
x
y
z
MOx
MOy
FR
x
y
z M
Ox F
R
d=M/FR
最后结果
FR
MO
x
y
z
一般 力系简化的最后结果
x
y
z M
Ox F
R
d=M/FR
力 螺 旋
一般 力系简化结果的应用研 究,力系如图所示,若
FT,FQ,h,e等为已知，求：
1,向 C 点简化结果
2,最后简化结果
FT
－ FT
FQ
h
e
C
一般 力系的合力之矩定理如果力系有合力 (FR),在汇交力系合力之矩 定理 的基础上,即,
加以扩展,合力不仅包含力，而且包含力偶,于是有,
MO(FR)＝? MO(Fi)
MO(FR)＝? MO(Fi) +? MO(Mi)
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引 言
力对点之矩
力对轴之矩
力系及其基本特征量
力系等效定理
力偶与力偶系
一般力系的简化
结论讨论
引言
力对点之矩 ;
力对轴之矩 ;
力 系 ;
特殊力系? 力 偶 ;
等 效 ;
简 化。
需要建立或者重新认识的几个概念
力对点之矩
F
F ( Fx,Fy,Fz )
r ( x,y,z )
B
Mo ( F ) = r?F
M O ( F ) =F d
力对点之矩的定义
Mo ( F ) = r?F
= (Fzy-Fyz) i +(Fxz-Fzx) j+(Fyx-Fxy) k
力对点之矩的矢量运算
i j k
x y z
Fx Fy Fz
=
F
Fx
Fy
Fz
x
z
y
r
力 矩 矢 量 的 方 向
M= r?F
按右手定则
F
r
MO
力对点之矩 几点结论
力对 点 之 矩是一种矢量 ;
矢量的模
矢量方向由右手定则确定 ;
矢量作用在 O点,垂直于 r 和 F
所在的平面 。
M O ( F ) =F d
Fr
MO
力对轴之矩
力对轴之矩实例
F
F Fz
Fx
Fy
定义,力使物体绕某一轴转动效应的量度,称为力对该轴之矩,
力对轴之矩的定义
力对轴之矩的计算方法一,将力向垂直于该轴的平面投影,力的投影与投影至轴的垂直距离的乘积,
Mz (F)
= Fxyd
=? 2(?OAB)
方法二,将力向三个坐标轴方向分解,分别求三个分力对轴之矩，然后将三个分力对轴之矩的代数值相加。
力对轴之矩的计算
力对轴之矩代数量的正负号
力对轴之矩与力对 点之 矩的关系
M O ( F ) =F d
Mz (F) = Fxyd
Fxy= F cos?
Mz (F) = M O ( F )cos?
结论,力对点之矩的矢量在某一轴上的投影,等于这一力对该轴之矩 。
力对轴之矩与力对 点之 矩的关系
F
力对轴之矩与力对 点之 矩的关系
Mo
F
特殊情形
r
结 论,当 轴 垂直于 r 和 F 所在的平面时,力 对点之矩与力对轴之矩在数值上相等 。
力对轴之矩与力对 点之 矩的关系
F
r
Mo=M A-A
特殊情形
汇交力系的合力之矩定理
F2
d2
FRd
汇交力系
FR=? Fi
i=1
n
MO(FR)=? M O(Fi)i=1
n
O
d1
F1
汇交力系的合力之矩定理例 题已 知,F,l1,
l2,?,
求,MO(F)
汇交力系的合力之矩定理例 题
MO (F) = MO (F cos?)
+MO(F sin?)
力系及其基本特 征 量两个或两个以上的力所构成的系统称为 力系,又称力的集合 。
F1
F2
FnF
3
M1
Mn
力 系
力 系 的 主 矢
FR
MA
x
力系中所有力的矢量和称为力系的 主矢。
FR=? Fi
i=1
n
其分量式为：
力 系 的 主 矢
FRx= Fix?i=1n
FRy= Fiy?i=1n
i=1
nF
Rz= Fi
z
力系主矢的特点：
对于给定的力系，主矢唯一；
主矢仅与各力的大小和方向有关，主矢不涉及作用点和作用线,因而主矢是 自由矢 。
力 系 的 主 矢
力 系 的 主 矩力系中所有的力对同一点
(矩心 )之矩的矢量和称为力系的 主矩
MO =?
i=1
n
MO(Fi)?
i=1
n
ri?Fi=
主矩 的分量式
M ox =?
i=1
n
[ Mo(Fi)]x
M oy =?
i=1
n
[ Mo(Fi)]y
M oz =?
i=1
n
[ Mo(Fi)]z
力 系 的 主 矩
= M z(Fi)?
n
i=1
= Mx(Fi)?
n
i=1
= My(Fi)?
n
i=1
力 系 的 主 矩力系主矩的特点,
力系主矩 MO与矩心 ( O )
的位 置有关 ;
力系主矩是 定位矢,其作用点为矩心。
力系等效定理力系等效的含义对于运动效应二 者 等 效
FP FP′
FP FP′
对于变形效应二者不等效对于运动效应二者依然等效力系等效的含义
FP FP′
FP FP′
怎 样 判 断 不 同 力 系 的运 动 效 应 是 否 相 同
如何判断力系等效
MCFB
FA
FC
ME
MD
定理,两个力系对刚体运动效应相等的条件是主矢相等和对同一点的主矩相等,
力系等效定理力系等效定理是质点系动力学普遍定理的推论或引理物理学中关于质点系运动状态的基本特征量,
动量 (线动量 ),P ; 动量矩 (角动量 ),LO
力系等效的动力学含义线动量和角动量对时间的导数分别等于作用在质点系上的主矢 (FR)和主矩 (MO)，
即
d P
d t =FR
d LO
d t = MO
若两力系的 F R 和 MO 分别相等,质点系运动特征量 P 和 LO变化率相同,即二者对质点系所产生的运动效应相同,此即等效。
力系等效的动力学含义
力偶与力偶系
力 偶,大小相等,方向相反,不共线的两个力所组成的力系,
力偶的定义
F2
F1
r1
r2
rBA
力 偶 实 例
力 偶 实 例
F1
F2
力偶作用面,
二力所在平面。
力 偶 臂,
二力作用线之间的垂直距离。
力偶的作用面与力偶 臂
F1
F2
特点一,力偶无合力,即主矢 FR=0.
特点二,力偶对刚体的运动效应只与力偶矩矢量有关,
力 偶 的 特 点
力 偶 矩 矢 量力偶对 O点之矩等于这个力系中的两个力对该点之矩之和
MO = MO(F) + MO(F′)
= rA?F + rB? F′
= rA?F - rB? F
=( rA - rB )?F
= rBA?F
其方向亦可由右手定则确定。
力 偶 矩 矢 量
O1
关于力偶性质的推论
只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不变。
F F ′ F F ′
只要保持力偶矩矢量不变，力偶可在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不变。
关于力偶性质的推论
F F ′ F
F ′
保持力偶矩矢量不变，分别改变力和力偶臂大小，其作用效果不变。
关于力偶性质的推论
F F ′ F / 2 F′/ 2
只要保持力偶矩矢量大小和方向不变,
力偶可在与 其作用面平行的平面内移动 。
关于力偶性质的推论
M=Fdk
力偶系及其合成力偶系,由两个或两个以上力偶组成的特殊力系
y
Mx
Mx
My
力偶系及其合成力偶系合成的结果,
仍然是一个力偶，
其力偶矩矢量等于原力偶系中所有力偶矩矢量之和。即
M=? M ii=1
n
M
力偶系及其合成
力偶与力偶系例题已知,M1 和 M2
(M1=M2 =M
0),
及其作用面,
求,合力偶 。
例 题 1
解,首先将已知力偶矩
(大小和方向 )表示成矢量表达式
M1=M1? r1
M2=M2? r2
其中
r1= rCB?rAB
r2= rDC?rAC
rCB,rAB,rDC,rAC
都可以表示成 i,j k 的形式
力偶与力偶系例题结 果,M=M1+M2
=(0.555i+1.279j+0.899k)M0
力偶与力偶系例题例题 2
已知,结构受力如图所示,图中 M,r均为已知,且 l=2r.
试,画出 AB和 BDC杆的受力图 ;
求 A,C二处的约束力,
力偶与力偶系例题例题 2
受力分析,
1,AB杆为二力杆 ;
2,BDC杆的 A,B
二处分别受有一个方向虽然未知、
但可以判断出的力,
力偶与力偶系例题例题 2
讨 论怎样确定 B,C二处的约束力
力偶与力偶系例题
一般力系的简化
简化的含义
F1 F
n
F3F2
Fn
Mn
力向一点平移
F,力 ;
O,简化中心 ;
,F与 O所 ;
在平面 ;n,? 平面的法线 ;
en,n方向的单位矢,F
r
力向一点平移
F
r F
r
r
力向一点平移在 O点作用什么力系才能使二者等效?
F
r
F
力向一点平移加减平衡力系
( F,-F ),
二 者 等 效
F
r
F
F
－ F
力向一点平移力向一点平移的结果,一个力和一个力偶,力偶的力偶矩等于原来力对平移点之矩,
F
F
－ F M
力向一点平移实例
F
F
-F
F
力向一点平移实例
F
F
－ F
F
M
F
Mx
My
一般力系的简化
F1
F2
F3
Fn
F1
M 1
将每个力向简化中心平移
F1
F2
F3
Fn
F1
F2F
n
M1
M2M
n
F1
F2F
n
M1
M2M
n
FRz
FRx FRy
MyM
x
Mz FR
MO
一般力系简化的结果一般力系汇交力系 力 偶 系合 力
FR=?Fi
合 力 偶
MO=? MO ( Fi )
一般力系简化结果的应用
固定端约束的约束力平面载荷作用的情形
一般力系简化结果的应用
固定端约束的约束力平面分布约束力简化结果,
FA x ;
FA y ;
MA
一般力系简化结果的应用
固定端约束的约束力
FAx
FAy
结论与讨论根据力系的基本特征量 (主矢 FR和主矩 MO),
力系可分为,
只有主矢者? 汇交力系 ;
只有主矩者? 力偶或力偶系 ;
二者兼有者? 一般力系,
关于力系的分类在刚体静力学中,等效是指运动效应,关于这一问题请参阅,学习研究问题集,
中的 B-2 题,
力系的等效是有条件的
关于几个力学矢量的分类请判断力矢量、力矩矢量、力偶矩矢量、主矢,主矩分别属于下列矢量中的哪一种：
自由矢 ;? 滑动矢 ;? 定位矢,
请分析合力与主矢、合力偶矩矢量与主矩的相同点和不同点,
几种能产生约束力偶的约束活 页 铰滑 动 轴 承止 推 轴 承夹 持 铰 支 座三 维 固 定 端
能产生约束力偶的约束? 活页铰
能产生约束力偶的约束? 滑动轴承
能产生约束力偶的约束? 止推轴承
能产生约束力偶的约束? 夹持铰支座
能产生约束力偶的约束? 三维固定端
力系向某一点 (O )简化的几种结果特 殊 情 形
FR =MO= 0? 零力系 (平衡力系 )
FR= 0,MO = 0? 合力偶
FR= 0,MO= 0? 合 力
FR= 0,MO= 0 (FR? MO )? 合 力
(还可以再简化 )
一般 力系简化的最后结果一般情形下的简化结果
FR= 0,MO= 0
F R垂直于 MO
F R平行于 MO
F R既不平行也不垂直于 MO
三种结果都还可以再简化
MO
FR
最后结果 F
R
d=M/FR
x
y
z
MOx
MOy
FR
x
y
z M
Ox F
R
d=M/FR
最后结果
FR
MO
x
y
z
一般 力系简化的最后结果
x
y
z M
Ox F
R
d=M/FR
力 螺 旋
一般 力系简化结果的应用研 究,力系如图所示,若
FT,FQ,h,e等为已知，求：
1,向 C 点简化结果
2,最后简化结果
FT
－ FT
FQ
h
e
C
一般 力系的合力之矩定理如果力系有合力 (FR),在汇交力系合力之矩 定理 的基础上,即,
加以扩展,合力不仅包含力，而且包含力偶,于是有,
MO(FR)＝? MO(Fi)
MO(FR)＝? MO(Fi) +? MO(Mi)
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