力学课程多媒体教学改革课题组材料力学多媒体教学课件南昌航空工业学院工程力学第六章 弯曲变形一、引言二、挠曲线的微分方程三、用积分法求弯曲变形四、弯曲刚度条件五、用叠加法求弯曲变形六、简单静不定梁一、引言二、挠曲线的微分方程：
1、弯曲变形的表示方法：
（ 1）挠曲线,V=f（ x）
（ 2）挠度：
（ 3）转角：
（ 4） V与 θ 的关系：
V V?V?（?）(?)
θ,θ,?,
)(1 xf
所以
''' V
dx
dVtg
（ 5） 挠曲线近似微分方程：
)( p
ZEI
xM
x
)(
)(
1?
2
3
2
2
2
1
)(
1
dx
dV
dx
Vd
x?
ZEI
xM
dx
Vd )(
2
2
∵
∴
三、用积分法求弯曲变形：
Cdx
EI
xM
dx
dV
Z
)(?
DCxdxdx
EI
xMV
Z
)(
EIZ——抗弯刚度确定积分常数举例：
边界条件,连续条件：
0,0 0,01
2
A
B
Vx
Vx
0,0 0,01
1
A
A
Vx
x?
右左右左
cc
cc
21
VV
bx,ax
0V,lx
0V,0x
B2
A1
右左右左
CC
CC
VV
l
x
2
EA
aql
2
1
V,lx
0V,0x
B
A
四、弯曲刚度条件：
m a x
m a x
ff
例一、已知 EIZ为常数,M0,l，求 θ A,θ B,及中点的挠度；若
EIMLf 4 2? 试校核刚度。
解,1）外力分析：
2）内力分析：（ M方程）
3）挠曲线方程和转角方程：
)(0 LMR A )(0 L
MR
B
xLMxM 0)(Lx0
x
L
M
dx
VdEI 0
2
2
Z CxL
MEI
Z
20
2?
DCxxLMVEI Z 306
4）确定积分常数：
0,0 AO VVx
0?D得
0, BL VVLx
6
0 LMC?
所以
62
020 LMx
L
MEI
Z
xLMxLMVEI Z 66 030
Z
OA EI
LM
6
0
Z
LB EI
LM
3
0
5）求 θ A,θ B。
（
（
）
）
)
2
1(
6
)
2
1(
6
030
)
2
1( L
LMLMVEI
LZ
)(
16
2
0
)
2
1
(
ZL EI
LM
V
6）刚度校核：
)0(0' 处即令V 062 020
LMx
L
M
3
Lx?
][
39
2
0
m a x fEI
LM
f
Z
刚度满足要求。
例一、长度为 L的梁 AC，其 EI为常数，在自由端承受集中力 P（如图），试求自由端 C的挠度和转角。
解,1）外力分析：
2）内力分析及挠曲线微分方程及其积分
AB段：
)( PR A )(2 PR B
2Lx0 1
12
1
2
Px
dx
VdEI
Z
111
3
1
Z DxC6
Px
VEI
1
2
1
Z
1
Z C2
Px
EI
dx
dV
EI
BC段：
Lx
2
L
2
)
2
L
x(P2Px
dx
Vd
EI 222
2
2
Z
222
3
23
2
Z DxC6
)
2
L
x(
P2
6
Px
VEI
2
2
22
2
Z
2
Z C
2
)
2
L
x(
P2
2
Px
EI
dx
dV
EI?
3）边界条件和光滑连续条件求积分常数：
24,0
2
2121
PLCCDD
)(
EI12
PLL
24
PL
6
)
2
LL(
P2
6
PL|V
Z
32
3
3
Lx 2
Z
22
2
2
Lx EI24
PL5
24
PL
2
)
2
LL(
P2
2
PL|
2
1.边界条件：
2,光滑连续条件：
3.边界条件：
0V,0x A1
右左右左 BBBB21,VV,2
Lxx
0V,
2
Lx
B1
4）求 θ C和 VC：
作业：
P235 6.1 (b) (d)
P236 6.4 (d)
五、用叠加法求弯曲变形：
1,力的叠加原理（力的独立性原理）：
在小变形前提下，当构件或结构同时作用几个载荷时，如果各载荷与其产生的效应 (支反力，
内力，应力和位移、变形等 )成线性关系 (互不影响，各自独立 )，则它们同时作用所产生的总效应即等于各载荷单独作用时所产生的效应之和 (代数和、矢量和 )。
2,求梁的弯曲变形的叠加法是：分别求出各载荷单独作用时的变形 (位移 ),然后把各载荷在同一处的位移进行叠加。
例 1.求 A点的挠度,
Z
A EI
PLPY
3
)(
3
Z
A EI
LMMY
2
)(
2
0
0
Z
A EI
qLqY
8
)(
4
Z
A EI
qLLMPLY
24
3128 4203
关键是把复杂载荷情况分解成若干个简单载荷情况 (有表可查 )
思考题,求 AB的挠曲线方程?
例 2.求 YB:
Z
B EI
aqqY
8
)2()( 4
aYY CCB
a
EI
qa
EI
qa
ZZ
68
34
)(
24
41 4
Z
B EI
qaY
例 3.试求下梁外伸梁 C的挠度和转角 (叠加法、
逐段刚化法 )
)(
2
),(
3
23
11
Z
C
Z
C EI
Pa
EI
Paf?
解：
2） AB段变形,BC段刚化
1） BC段变形,AB段刚化
)(33
2
ZZ
BC EI
ML
EI
P a L
)(
3
2
2
Z
BC EI
LPaaf?
3） C点挠度和转角：
))((
3
3
21
aL
EI
Pafff
Z
CCC
))(32(6
21
aLEIPa
Z
CCC
例 4.
解：
)(0 对称面?C?∵
1）
)( 悬BC ff?
)(
3 8 43
)
4
(
2
3
3
1
ZZ
B EI
PL
EI
LP
f
2）令 CD段刚化
)(
512
3
4
3
2
Z
M
D
M
DB EI
PLLYf?
3）令 DB段刚化：
)(
1 5 3 6
5
4
3
22
3
Z
P
D
P
DB EI
PLLYf?
)(
2 5 6
3 3
Z
BC EI
PLff
4） fB：
例 5.已知 P=60kN,E=200GPa,G=0.4E,求 B截面的垂直位移。 解,1） AC段刚化
m
EI
PLf
AB
B
3
3
1017.6
31
300300
2
P
ACB GI
TLf?
2） AB段刚化
m31005.2
)(22.81022.8 321 mmmfff BBB
作业：
P239 6.10 (b)
P240 6.11 (b)
P245 6.22
例 6.图示各梁，写出确定其积分常数的边界条件和连续性条件。
0,;0,
2
1
C
B VLax Vax
边界条件：
连续性条件：
右左右左
BB
BB
axx
VVaxx
,;,
21
21
k
qL
k
RVLx
Vx
C
C
A
8
,;0,0
2
1
右左右左
BB
BB
L
xx
VV
L
xx
,
2;,
2
21
21
边界条件：
连续性条件：
边界条件：
连续性条件：
0,0;0,0
2
1
A
Ax Vx?
右左右左
BB
BB
L
xx
VV
L
xx
,
2;,
2
21
21
边界条件：
连续性条件：
0,
0,0;0,0
2
1
1
C
A
A
VLax
x
Vx
)(
,21
转角不连续 右左
BB VVaxx
例 7.要求滚轮恰恰走一水平路径，试问须梁的轴线预先弯成怎样的曲线？
解：
])([6 )( 222 xLxLLEI xLPV
Z
C
LEI
xLPx
Z3
)( 22
LEI
xLPxy
Z3
)( 22
例 8.悬臂梁下有一刚性曲面，方程为 y=ax3+bx2+c,
试问梁上作用什么样的载荷方使梁与曲面恰好叠合？（ a>0,b>0)
解,1,∵ 边界条件
0,0 )( AYx
∴ C = 0
∴ y=ax3+bx2
bax
dx
yd 26
2
2
∴
)(2
2
xM
dx
ydEI
Z
∴
)26()( baxEIxM Z∵
)(3
3
xQ
dx
ydEI
Z?
∵ ∴ aEIxQ Z 6)(
)(4
4
xq
dx
ydEI
Z?
∵ ∴ 0)(?xq
2,
3,
ZB a E IP 6
))(26( baLEIM ZB
)(2
2
xM
dx
ydEI
Z
∴
)26()( baxEIxM Z
∵
)(3
3
xQ
dx
ydEI
Z?
∵
∴
aEIxQ Z 6)(
)(4
4
xq
dx
ydEI
Z?
∵
∴ 0)(?xq
2,
3,∴
ZB aEIP 6?
))(26( baLEIM ZB
例 9.一等截面悬臂梁，固定端处与一半径为 R的刚性球相切。今自由端 C处作用一集中力 P，若梁 AB
部分与刚体接触，如图所示，求 C点的挠度 δ？
解,1.设 CB为 x，梁长为 L，则在 B点处：
,1REIPx
Z
2,
3,
PR
EIx Z?
∵
R
xL
B 2
)( 2
))(21)((
2
22
R
xLxLRR
B
Z
BBC EI
Pxx
3
3
)(
R
xL
B
32
22
6
)(
2 RP
EI
R
L Z
C
∴
六、简单静不定梁：
1.静定梁：
静不定梁：
多余约束：除维持结构静平衡所必需的约束外所剩下的其它约束。
多余约束反力：
静不定次数 = 约束个数 -- 静平衡方程个数
2.简单静不定梁的解法：
为了求得静不定梁的全部约束反力 (支反力 ),
一般在原有静平衡方程的基础上,再找与静不定次数相等个数的补充方程,补充方程的寻求仍必须通过两个关系：变形几何关系和物理关系。
例 1.求下梁 B处约束反力。
解,1）判定静不定次数四个未知数，
三个平衡方程。
4 -- 3 = 1（次）
2）选取静定基
（选定多余约束，
解除多余约束。 )
3）建立相当系统
(在静定基上加主动力和多余约束反力。 )
4）变形协调条件
5）物理关系
)0(0 BB Vf
0
BYP BBB
fff
:查表
)3(
6
2
aL
EI
Pa
f
Z
B P
Z
B
B EI
LY
f
BY 3
3
6）补充方程,
0
3
)3(
6
32
Z
B
Z EI
LY
aL
EI
Pa
)3(
2 3
3
2
2
L
a
L
aPY
B
7）联立求解,
1）若要求 MA,YA，即可把 YB代入相应方程（静平衡方程）求解即可！
2）求得所求的支反力后，又可画 M图，
写 M方程，进行强度和刚度的计算。
注,
K
Y B
K
Yff BB
Y
B
P B
例 2.
例 3.匀质梁水平放置，外伸长度为 a，求抬起台面的距离 BC（ b）。
0 qM BBB
0
246
)
2
( 3
2
ZZ EI
qb
EI
b
qa
ab 2?
(也可用以上外伸梁在 B处的转角为 0的条件求解。 )
作业：
P251 6.40
P251 6.43
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1、弯曲变形的表示方法：
（ 1）挠曲线,V=f（ x）
（ 2）挠度：
（ 3）转角：
（ 4） V与 θ 的关系：
V V?V?（?）(?)
θ,θ,?,
)(1 xf
所以
''' V
dx
dVtg
（ 5） 挠曲线近似微分方程：
)( p
ZEI
xM
x
)(
)(
1?
2
3
2
2
2
1
)(
1
dx
dV
dx
Vd
x?
ZEI
xM
dx
Vd )(
2
2
∵
∴
三、用积分法求弯曲变形：
Cdx
EI
xM
dx
dV
Z
)(?
DCxdxdx
EI
xMV
Z
)(
EIZ——抗弯刚度确定积分常数举例：
边界条件,连续条件：
0,0 0,01
2
A
B
Vx
Vx
0,0 0,01
1
A
A
Vx
x?
右左右左
cc
cc
21
VV
bx,ax
0V,lx
0V,0x
B2
A1
右左右左
CC
CC
VV
l
x
2
EA
aql
2
1
V,lx
0V,0x
B
A
四、弯曲刚度条件：
m a x
m a x
ff
例一、已知 EIZ为常数,M0,l，求 θ A,θ B,及中点的挠度；若
EIMLf 4 2? 试校核刚度。
解,1）外力分析：
2）内力分析：（ M方程）
3）挠曲线方程和转角方程：
)(0 LMR A )(0 L
MR
B
xLMxM 0)(Lx0
x
L
M
dx
VdEI 0
2
2
Z CxL
MEI
Z
20
2?
DCxxLMVEI Z 306
4）确定积分常数：
0,0 AO VVx
0?D得
0, BL VVLx
6
0 LMC?
所以
62
020 LMx
L
MEI
Z
xLMxLMVEI Z 66 030
Z
OA EI
LM
6
0
Z
LB EI
LM
3
0
5）求 θ A,θ B。
（
（
）
）
)
2
1(
6
)
2
1(
6
030
)
2
1( L
LMLMVEI
LZ
)(
16
2
0
)
2
1
(
ZL EI
LM
V
6）刚度校核：
)0(0' 处即令V 062 020
LMx
L
M
3
Lx?
][
39
2
0
m a x fEI
LM
f
Z
刚度满足要求。
例一、长度为 L的梁 AC，其 EI为常数，在自由端承受集中力 P（如图），试求自由端 C的挠度和转角。
解,1）外力分析：
2）内力分析及挠曲线微分方程及其积分
AB段：
)( PR A )(2 PR B
2Lx0 1
12
1
2
Px
dx
VdEI
Z
111
3
1
Z DxC6
Px
VEI
1
2
1
Z
1
Z C2
Px
EI
dx
dV
EI
BC段：
Lx
2
L
2
)
2
L
x(P2Px
dx
Vd
EI 222
2
2
Z
222
3
23
2
Z DxC6
)
2
L
x(
P2
6
Px
VEI
2
2
22
2
Z
2
Z C
2
)
2
L
x(
P2
2
Px
EI
dx
dV
EI?
3）边界条件和光滑连续条件求积分常数：
24,0
2
2121
PLCCDD
)(
EI12
PLL
24
PL
6
)
2
LL(
P2
6
PL|V
Z
32
3
3
Lx 2
Z
22
2
2
Lx EI24
PL5
24
PL
2
)
2
LL(
P2
2
PL|
2
1.边界条件：
2,光滑连续条件：
3.边界条件：
0V,0x A1
右左右左 BBBB21,VV,2
Lxx
0V,
2
Lx
B1
4）求 θ C和 VC：
作业：
P235 6.1 (b) (d)
P236 6.4 (d)
五、用叠加法求弯曲变形：
1,力的叠加原理（力的独立性原理）：
在小变形前提下，当构件或结构同时作用几个载荷时，如果各载荷与其产生的效应 (支反力，
内力，应力和位移、变形等 )成线性关系 (互不影响，各自独立 )，则它们同时作用所产生的总效应即等于各载荷单独作用时所产生的效应之和 (代数和、矢量和 )。
2,求梁的弯曲变形的叠加法是：分别求出各载荷单独作用时的变形 (位移 ),然后把各载荷在同一处的位移进行叠加。
例 1.求 A点的挠度,
Z
A EI
PLPY
3
)(
3
Z
A EI
LMMY
2
)(
2
0
0
Z
A EI
qLqY
8
)(
4
Z
A EI
qLLMPLY
24
3128 4203
关键是把复杂载荷情况分解成若干个简单载荷情况 (有表可查 )
思考题,求 AB的挠曲线方程?
例 2.求 YB:
Z
B EI
aqqY
8
)2()( 4
aYY CCB
a
EI
qa
EI
qa
ZZ
68
34
)(
24
41 4
Z
B EI
qaY
例 3.试求下梁外伸梁 C的挠度和转角 (叠加法、
逐段刚化法 )
)(
2
),(
3
23
11
Z
C
Z
C EI
Pa
EI
Paf?
解：
2） AB段变形,BC段刚化
1） BC段变形,AB段刚化
)(33
2
ZZ
BC EI
ML
EI
P a L
)(
3
2
2
Z
BC EI
LPaaf?
3） C点挠度和转角：
))((
3
3
21
aL
EI
Pafff
Z
CCC
))(32(6
21
aLEIPa
Z
CCC
例 4.
解：
)(0 对称面?C?∵
1）
)( 悬BC ff?
)(
3 8 43
)
4
(
2
3
3
1
ZZ
B EI
PL
EI
LP
f
2）令 CD段刚化
)(
512
3
4
3
2
Z
M
D
M
DB EI
PLLYf?
3）令 DB段刚化：
)(
1 5 3 6
5
4
3
22
3
Z
P
D
P
DB EI
PLLYf?
)(
2 5 6
3 3
Z
BC EI
PLff
4） fB：
例 5.已知 P=60kN,E=200GPa,G=0.4E,求 B截面的垂直位移。 解,1） AC段刚化
m
EI
PLf
AB
B
3
3
1017.6
31
300300
2
P
ACB GI
TLf?
2） AB段刚化
m31005.2
)(22.81022.8 321 mmmfff BBB
作业：
P239 6.10 (b)
P240 6.11 (b)
P245 6.22
例 6.图示各梁，写出确定其积分常数的边界条件和连续性条件。
0,;0,
2
1
C
B VLax Vax
边界条件：
连续性条件：
右左右左
BB
BB
axx
VVaxx
,;,
21
21
k
qL
k
RVLx
Vx
C
C
A
8
,;0,0
2
1
右左右左
BB
BB
L
xx
VV
L
xx
,
2;,
2
21
21
边界条件：
连续性条件：
边界条件：
连续性条件：
0,0;0,0
2
1
A
Ax Vx?
右左右左
BB
BB
L
xx
VV
L
xx
,
2;,
2
21
21
边界条件：
连续性条件：
0,
0,0;0,0
2
1
1
C
A
A
VLax
x
Vx
)(
,21
转角不连续 右左
BB VVaxx
例 7.要求滚轮恰恰走一水平路径，试问须梁的轴线预先弯成怎样的曲线？
解：
])([6 )( 222 xLxLLEI xLPV
Z
C
LEI
xLPx
Z3
)( 22
LEI
xLPxy
Z3
)( 22
例 8.悬臂梁下有一刚性曲面，方程为 y=ax3+bx2+c,
试问梁上作用什么样的载荷方使梁与曲面恰好叠合？（ a>0,b>0)
解,1,∵ 边界条件
0,0 )( AYx
∴ C = 0
∴ y=ax3+bx2
bax
dx
yd 26
2
2
∴
)(2
2
xM
dx
ydEI
Z
∴
)26()( baxEIxM Z∵
)(3
3
xQ
dx
ydEI
Z?
∵ ∴ aEIxQ Z 6)(
)(4
4
xq
dx
ydEI
Z?
∵ ∴ 0)(?xq
2,
3,
ZB a E IP 6
))(26( baLEIM ZB
)(2
2
xM
dx
ydEI
Z
∴
)26()( baxEIxM Z
∵
)(3
3
xQ
dx
ydEI
Z?
∵
∴
aEIxQ Z 6)(
)(4
4
xq
dx
ydEI
Z?
∵
∴ 0)(?xq
2,
3,∴
ZB aEIP 6?
))(26( baLEIM ZB
例 9.一等截面悬臂梁，固定端处与一半径为 R的刚性球相切。今自由端 C处作用一集中力 P，若梁 AB
部分与刚体接触，如图所示，求 C点的挠度 δ？
解,1.设 CB为 x，梁长为 L，则在 B点处：
,1REIPx
Z
2,
3,
PR
EIx Z?
∵
R
xL
B 2
)( 2
))(21)((
2
22
R
xLxLRR
B
Z
BBC EI
Pxx
3
3
)(
R
xL
B
32
22
6
)(
2 RP
EI
R
L Z
C
∴
六、简单静不定梁：
1.静定梁：
静不定梁：
多余约束：除维持结构静平衡所必需的约束外所剩下的其它约束。
多余约束反力：
静不定次数 = 约束个数 -- 静平衡方程个数
2.简单静不定梁的解法：
为了求得静不定梁的全部约束反力 (支反力 ),
一般在原有静平衡方程的基础上,再找与静不定次数相等个数的补充方程,补充方程的寻求仍必须通过两个关系：变形几何关系和物理关系。
例 1.求下梁 B处约束反力。
解,1）判定静不定次数四个未知数，
三个平衡方程。
4 -- 3 = 1（次）
2）选取静定基
（选定多余约束，
解除多余约束。 )
3）建立相当系统
(在静定基上加主动力和多余约束反力。 )
4）变形协调条件
5）物理关系
)0(0 BB Vf
0
BYP BBB
fff
:查表
)3(
6
2
aL
EI
Pa
f
Z
B P
Z
B
B EI
LY
f
BY 3
3
6）补充方程,
0
3
)3(
6
32
Z
B
Z EI
LY
aL
EI
Pa
)3(
2 3
3
2
2
L
a
L
aPY
B
7）联立求解,
1）若要求 MA,YA，即可把 YB代入相应方程（静平衡方程）求解即可！
2）求得所求的支反力后，又可画 M图，
写 M方程，进行强度和刚度的计算。
注,
K
Y B
K
Yff BB
Y
B
P B
例 2.
例 3.匀质梁水平放置，外伸长度为 a，求抬起台面的距离 BC（ b）。
0 qM BBB
0
246
)
2
( 3
2
ZZ EI
qb
EI
b
qa
ab 2?
(也可用以上外伸梁在 B处的转角为 0的条件求解。 )
作业：
P251 6.40
P251 6.43
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