力学课程多媒体教学改革课题组材料力学多媒体教学课件南昌航空工业学院工程力学第八章（ 1） 应力和应变状态一,应力状态概述二、二向应力状态（解析法）
三、二向应力状态分析（图解法）
四、三向应力状态和最大剪应力五、位移与应变分量六、平面应变状态分析七、广义虎克定律一,应力状态概述
)(
)()(
xA
xNx
2sin2?A
2c o s?A
ZI
yxMyx )(),(?
Z
Z
bI
SxQyx *)(),(
1.一般性结论：
1）受力构件上应力随点的位置变化而变化；
2）即使在同一点应力也是随截面的方向变化而变化。
2.一点处的应力状态,
通过受力构件内一点处各个方向的截面上的应力集合。
3.研究方法：
dx,dy,dz 0
4,主平面：剪 (切 )应力为 0 的平面。
主应力：主 平面上的正应力 σ。
一般来说，过受力构件的任意一点都可找到三个互相垂直的主平面，因而每点都有三个相互垂直的主应力（ σ1>σ2>σ3）
应力状态,1）单向（一向）应力状态：
2）平面（二向）应力状态：
3）空间（三向）应力状态：
5,二向、三向应力状态的实例：
1）二向应力状态：薄壁圆筒（ t<<D,L)
0X tpD4'
0Y
t
pD
2''
∵ 0
3 )'','( 3
属二向应力状态。
2）三向应力状态：
二、二向应力状态（解析法）：
在二向应力状态下，已知通过一点的某些截面上的应力（互相垂直的截面）后，如何确定通过这一点的其它斜截面上的应力，从而确定该点的主平面和主应力。
1）斜截面上应力：
0nF
2s i n2c o s
22 xy
yxyx
0?F 2c o s2s i n2 xyyx
正负号规定,σ：拉（ +）压（?）
τ:使单元体绕其内部一点有顺时针转动的趋势为（ +）,
反之为（?）
α,从 x轴正方向转到 α 角终边逆时针（ +）顺时针（?）
0nF
2s i n2c o s
22 xy
yxyx
0?F 2c o s2s i n2 xyyx
2）主平面、主应力：
0dd令
yx
xytg
2
2 0
2
2
22
m a x
m i n
xy
yxyx
0,,,0,0 3m i n2m a x1m i nm a x 则若
m i n32m a x1m i nm a x,0,,0,0 则若
m i n3m a x21m i nm a x,,0,0,0 则若
ma x0, 小的则时若 yx
（ 刚好是剪应力为零的截面 ）
m a x?
3）最大剪应力：
0dd令
xy
yxtg
2
2 1
401
2
2
2
m a x
m i n
xy
yx
4）两个导出公式：
2
m i nm a x
m ax
m i n
yx m i nm a x
例 1.已知如下单元体的应力状态，求图示斜截面上的应力和 σ max,σ min,τ max,τ min及主平面和最大剪应力所在平面的方位。
解,1）取坐标轴
2）已知条件命名
,80,100 yx
30,40xy
3）计算?30°,? 30°,
2s i n2c o s
22030 xy
yxyx
00 60s i n4060c o s
2
)80(100
2
)80(100
)M P a(36.20?
2c o s2s i n
2030 xy
yx
00 60c o s4060sin
2
)80(1 0 0
)M P a(64.97?
4）计算 σ max,σ min及主平面方位角。
2
2
22
m a x
m i n
xy
yxyx
2
2
40
2
)80(1 0 0
2
)80(1 0 0?
5.108
5.88
)M P a(
5.88,0,5.108 321
yx
xy
0
2
2tg
0' 12
0
000'' 789012
0
)80(100
402
4444.0
5）计算 τ max,τ min及其所在平面的方位角。
2
2
2
m a x
m i n
xy
yx
2
2
40
2
)80(100
)M P a(5.98
001 3345
0
0002 1 2 39033
例 2,
解：
1）求主应力、主平面并画出主应力单元体；
2）求最大剪应力及其作用面；
1）取坐标轴
2）已知条件命名
,20,30 yx
20?xy?
3） 主平面方位角
8.0
)20(30
2022tg
0
'' 4070
0
''' 2019
0
4） 主应力
M P a
27
37
m i n
m a x
5）最大剪 应力
)M P a(32
m i n
m a x
'01 4025
'02 2064
例 3,图示简支梁由 36a工字钢制成,P=140kN,L=4m，
A点位于集中力 P左侧截面上的下翼缘与腹板的交界处，试求,1） A点处图中指定斜截面上的应力； 2） A点处的主应力及主应力单元体。
解：
1）外力分析
2) 内力分析 (Q,M图 )
kN70?
)(2PRR BC
3） A点横截面上的 σ,τ
M P a
I
My
Z
A 146
M P a
bI
SQ
Z
ZA
A 5.16
*
4）在单元体上
0,60,5.16,146 0 yAxyx
5）斜截面上的?60°,? 60°,
M P a2.22?
2s i n2c o s22060 xyyxyx
2c o s2s i n
2060 xy
yx M P a55?
6） A点处的主应力及方位
2
2
22
m a x
m i n
xy
yxyx
8.1 4 784.1
)M P a(
2 2 6.0
2
2 0
yx
xytg
'' 226
0
''' 3883
0
84.1,0,8.147 321
作业,
P335 8.2(d)
P335 8.3(d)
P336 8.4(f)
三、二向应力状态分析（图解法）
1.应力圆,
2
2
2
2
2
22
xyyxyx?
则：圆心半径
0,
2
yx
2
2
2 xy
yx
则单元体任意截面上的正应力 σα,剪应力 τα 必将位于此圆上。
xMPa
2.应力圆与它的单元体之间的对应关系,
1）点面对应关系：圆上任一点的纵、横坐标值对应着单元体上某截面上剪、正应力值；
2）圆上每一条半径对应着应力单元体上某截面的外法线；
3）夹角关系：圆上某两条半径夹角等于单元体上对应截面外法线夹角的两倍，且转向相同。
3.应力圆的应用,
1）确定单元体上任一斜截面上的正应力 σα,
剪应力 τα ；
2）确定两个主应力的大小和方位；
3）确定两个最大最小剪应力的大小和方位；
例 1 σx=60MPa,τxy=20.6MPa,σy= 0,τyx=20.6MPa,用图解法求,1）该点的 主应力和主平面的方位；
2）求应与轴线方向成 -450的应力 σ-450,τ -450？
20MPa
测量,
M P aOAA 4.66111
M P aOBB 4.6131
4.342 0 2.170
M P a6.50EO 145
M P a30EO 245
例 2 两相交于一点处的斜截面上的应力如图，试用应力圆求该点的主应力，并画出主应力单元体。
P
P51
P?2?
例 3 已知受力构件的 A点处处于平面应力状态，过
A点两斜截面上的应力圆如图，试用应力圆求该点的主应力、主平面和最大剪应力。
M P aOA 5.2 3 211
M P aOB 5.10713
RM P a 170m a x?
100
作业,
P336 8.5(b)
P336 8.4(e)
P339 8.14
四、三向应力状态和最大剪应力,1.三向应力圆,
已知 σ 1,σ 2,σ 3,l,m,n，求该截面上的应力 σ n,τn 。
31212
2
322
2
32
22
l
nn
12322
2
132
2
13
22
m
nn
23132
2
212
2
21
22
n
nn
2.σ n,τn 的范围,
D点：
3.三向应力状态下的 τmax
和 σ max,σ min
1m a x 3m i n
2
31
ma x
2,0,0
1
ma x321
则若例 1.某一三向应力状态单元体如图所示，
试求它的三个主应力与最大剪应力。
601
513
5.552 31ma x
312
20
五、位移与应变分量
'MM?
1.平面应变状态
2.位移与应变分量的关系
'' NMMN?
'' LMML?
M的位移函数：
vjuiU
),( yxuu?
),( yxvv?
x
u
x?
y
v
y?
)(
x
v
y
u
xy?
六、平面应变状态分析
1.已知某点在 XY平面内两个相互垂直方向的线应变和在此平面内的剪应变，求平面内任意一个方向上的线应变和剪应变。
2s i n
2
2c o s
22
xyyxyx
2c o s
2
2sin
22
xyyx
.,)1 几何关系的连续函数以上完全是为
"","","" 逆时针顺时针直角变大为
,"","""")2 直角变小为压拉
2、主应变及其方向：
yx
xytg
02
2
m i n
m a x
222?
xyyxyx
3、应变图：
4、应变的实例：
例 1、已知,,3 0 0103 0 0 6
0 微应变
,20010200 645,2 0 0102 0 0 690求该点处的主应变及其方向。
解,1）坐标系,x,y，
90° 为 x方向。
2）,102 0 0 6
x?
,10300 6y?
,10200 645
3） 200
90 x
3000 y
2
20045 yx
1221 0 02 0 0 xy?
452s i n
2
452c o s
2
xyyx
3 0 0xy?
4）主应变：
6.0
)300(200
3002
0
yx
xytg
5.15'05.1 0 5''0
2
m i n
m a x 3 0 0
2
3 0 02 0 0
2
3 0 02 0 0?
)(
3 4 2
2 4 2
作业,P340 8.19 (c)
8.20 (a),(b)
8.21
七、广义虎克定律：
p,且为小变形情况和各向同性材料：
1.单向应力状态下虎克定律,
,
E
x
x
,
E
x
y
,
E
x
z
,
G
xy
xy
,0 yzxz
2.纯剪切应力状态的虎克定律,
3.复杂应力状态下的广义虎克定律,
、正应力仅引起线应变（正应变），与?无关。
剪应力仅引起自身平面内的剪应变，与?无关。
+
x?
E
x?
E
y
E
z
y?
E
x
E
y
E
z
z?
E
x
E
y
E
z?
+ +
xyzz
zxyy
zyxx
E
E
E
1
1
1
G
G
G
zx
zx
yz
yz
xy
xy
某点在某方向上的线应变与其三个互相垂直方向的正应力有关。
三个互相垂直的平面，
各平面内的剪应变仅与该平面内的剪应力有关。
若单元体是主单元体，即各面上的应力为主应力；
各方向的主正应变为：
1233
3122
3211
1
1
1
E
E
E 主平面的剪应变为零。
.0312312
例 1、测得 A点处的?x = 4.0× 10 - 4,?y = -1.2× 10 - 4 。
已知,E=200GPa,?=0.3，求 A点在 x和 y方向上的正应力。
解,1、应力状态图：
2,
xyy
yxx
E
E
1
1
平面应力状态
xy
yx
E
E
1
102.1
1
104
4
4 解得：
0,M P a80 yx
讨论题：
若知该点的截面位置及其在截面上的位置，如何推算外力 P？
要测出?xy，又将如何做？
例 2,d=20mm,E=210GPa,?=0.3，
测得,?45o=5.2× 10 - 4，试求 T。
解,1）测点的应力状态
—— 纯剪切应力状态。
3
16
d
T
W
T
t?
2）与?45o有关的正 应力：
4545
3）圆轴承受的 T：
454545 1 E
解得,mNT 7.125
例 3、设在筒内无内压作用时，两端以刚性壁无初应力地夹住。当筒承受内压 P时，试求圆筒作用于刚性壁上的力，设材料的 E、,?已知。
解,1）
t
Pr
1
rt
N
t 22
Pr
2
03
2） ∵ 0
2
01 122 E
解得, 212 PrN
讨论题,若要使筒不掉下，
应有什么条件？
+
作业,P342 8.26
8.27
8.28*
3、主单元体的体积应变：
321
1
V
VV
3
)21(3 321
E
K
m
体积虎克定律,m
4、复杂应力状态下的变形比能,
单位体积内的变形能（歪形能）。
总变形比能 = 体积改变比能 形状改变比能+
fmmV UUU
2
3
2
1
2
1
2
1
332211
13322123222131 EU f
= +
返回总目录
三、二向应力状态分析（图解法）
四、三向应力状态和最大剪应力五、位移与应变分量六、平面应变状态分析七、广义虎克定律一,应力状态概述
)(
)()(
xA
xNx
2sin2?A
2c o s?A
ZI
yxMyx )(),(?
Z
Z
bI
SxQyx *)(),(
1.一般性结论：
1）受力构件上应力随点的位置变化而变化；
2）即使在同一点应力也是随截面的方向变化而变化。
2.一点处的应力状态,
通过受力构件内一点处各个方向的截面上的应力集合。
3.研究方法：
dx,dy,dz 0
4,主平面：剪 (切 )应力为 0 的平面。
主应力：主 平面上的正应力 σ。
一般来说，过受力构件的任意一点都可找到三个互相垂直的主平面，因而每点都有三个相互垂直的主应力（ σ1>σ2>σ3）
应力状态,1）单向（一向）应力状态：
2）平面（二向）应力状态：
3）空间（三向）应力状态：
5,二向、三向应力状态的实例：
1）二向应力状态：薄壁圆筒（ t<<D,L)
0X tpD4'
0Y
t
pD
2''
∵ 0
3 )'','( 3
属二向应力状态。
2）三向应力状态：
二、二向应力状态（解析法）：
在二向应力状态下，已知通过一点的某些截面上的应力（互相垂直的截面）后，如何确定通过这一点的其它斜截面上的应力，从而确定该点的主平面和主应力。
1）斜截面上应力：
0nF
2s i n2c o s
22 xy
yxyx
0?F 2c o s2s i n2 xyyx
正负号规定,σ：拉（ +）压（?）
τ:使单元体绕其内部一点有顺时针转动的趋势为（ +）,
反之为（?）
α,从 x轴正方向转到 α 角终边逆时针（ +）顺时针（?）
0nF
2s i n2c o s
22 xy
yxyx
0?F 2c o s2s i n2 xyyx
2）主平面、主应力：
0dd令
yx
xytg
2
2 0
2
2
22
m a x
m i n
xy
yxyx
0,,,0,0 3m i n2m a x1m i nm a x 则若
m i n32m a x1m i nm a x,0,,0,0 则若
m i n3m a x21m i nm a x,,0,0,0 则若
ma x0, 小的则时若 yx
（ 刚好是剪应力为零的截面 ）
m a x?
3）最大剪应力：
0dd令
xy
yxtg
2
2 1
401
2
2
2
m a x
m i n
xy
yx
4）两个导出公式：
2
m i nm a x
m ax
m i n
yx m i nm a x
例 1.已知如下单元体的应力状态，求图示斜截面上的应力和 σ max,σ min,τ max,τ min及主平面和最大剪应力所在平面的方位。
解,1）取坐标轴
2）已知条件命名
,80,100 yx
30,40xy
3）计算?30°,? 30°,
2s i n2c o s
22030 xy
yxyx
00 60s i n4060c o s
2
)80(100
2
)80(100
)M P a(36.20?
2c o s2s i n
2030 xy
yx
00 60c o s4060sin
2
)80(1 0 0
)M P a(64.97?
4）计算 σ max,σ min及主平面方位角。
2
2
22
m a x
m i n
xy
yxyx
2
2
40
2
)80(1 0 0
2
)80(1 0 0?
5.108
5.88
)M P a(
5.88,0,5.108 321
yx
xy
0
2
2tg
0' 12
0
000'' 789012
0
)80(100
402
4444.0
5）计算 τ max,τ min及其所在平面的方位角。
2
2
2
m a x
m i n
xy
yx
2
2
40
2
)80(100
)M P a(5.98
001 3345
0
0002 1 2 39033
例 2,
解：
1）求主应力、主平面并画出主应力单元体；
2）求最大剪应力及其作用面；
1）取坐标轴
2）已知条件命名
,20,30 yx
20?xy?
3） 主平面方位角
8.0
)20(30
2022tg
0
'' 4070
0
''' 2019
0
4） 主应力
M P a
27
37
m i n
m a x
5）最大剪 应力
)M P a(32
m i n
m a x
'01 4025
'02 2064
例 3,图示简支梁由 36a工字钢制成,P=140kN,L=4m，
A点位于集中力 P左侧截面上的下翼缘与腹板的交界处，试求,1） A点处图中指定斜截面上的应力； 2） A点处的主应力及主应力单元体。
解：
1）外力分析
2) 内力分析 (Q,M图 )
kN70?
)(2PRR BC
3） A点横截面上的 σ,τ
M P a
I
My
Z
A 146
M P a
bI
SQ
Z
ZA
A 5.16
*
4）在单元体上
0,60,5.16,146 0 yAxyx
5）斜截面上的?60°,? 60°,
M P a2.22?
2s i n2c o s22060 xyyxyx
2c o s2s i n
2060 xy
yx M P a55?
6） A点处的主应力及方位
2
2
22
m a x
m i n
xy
yxyx
8.1 4 784.1
)M P a(
2 2 6.0
2
2 0
yx
xytg
'' 226
0
''' 3883
0
84.1,0,8.147 321
作业,
P335 8.2(d)
P335 8.3(d)
P336 8.4(f)
三、二向应力状态分析（图解法）
1.应力圆,
2
2
2
2
2
22
xyyxyx?
则：圆心半径
0,
2
yx
2
2
2 xy
yx
则单元体任意截面上的正应力 σα,剪应力 τα 必将位于此圆上。
xMPa
2.应力圆与它的单元体之间的对应关系,
1）点面对应关系：圆上任一点的纵、横坐标值对应着单元体上某截面上剪、正应力值；
2）圆上每一条半径对应着应力单元体上某截面的外法线；
3）夹角关系：圆上某两条半径夹角等于单元体上对应截面外法线夹角的两倍，且转向相同。
3.应力圆的应用,
1）确定单元体上任一斜截面上的正应力 σα,
剪应力 τα ；
2）确定两个主应力的大小和方位；
3）确定两个最大最小剪应力的大小和方位；
例 1 σx=60MPa,τxy=20.6MPa,σy= 0,τyx=20.6MPa,用图解法求,1）该点的 主应力和主平面的方位；
2）求应与轴线方向成 -450的应力 σ-450,τ -450？
20MPa
测量,
M P aOAA 4.66111
M P aOBB 4.6131
4.342 0 2.170
M P a6.50EO 145
M P a30EO 245
例 2 两相交于一点处的斜截面上的应力如图，试用应力圆求该点的主应力，并画出主应力单元体。
P
P51
P?2?
例 3 已知受力构件的 A点处处于平面应力状态，过
A点两斜截面上的应力圆如图，试用应力圆求该点的主应力、主平面和最大剪应力。
M P aOA 5.2 3 211
M P aOB 5.10713
RM P a 170m a x?
100
作业,
P336 8.5(b)
P336 8.4(e)
P339 8.14
四、三向应力状态和最大剪应力,1.三向应力圆,
已知 σ 1,σ 2,σ 3,l,m,n，求该截面上的应力 σ n,τn 。
31212
2
322
2
32
22
l
nn
12322
2
132
2
13
22
m
nn
23132
2
212
2
21
22
n
nn
2.σ n,τn 的范围,
D点：
3.三向应力状态下的 τmax
和 σ max,σ min
1m a x 3m i n
2
31
ma x
2,0,0
1
ma x321
则若例 1.某一三向应力状态单元体如图所示，
试求它的三个主应力与最大剪应力。
601
513
5.552 31ma x
312
20
五、位移与应变分量
'MM?
1.平面应变状态
2.位移与应变分量的关系
'' NMMN?
'' LMML?
M的位移函数：
vjuiU
),( yxuu?
),( yxvv?
x
u
x?
y
v
y?
)(
x
v
y
u
xy?
六、平面应变状态分析
1.已知某点在 XY平面内两个相互垂直方向的线应变和在此平面内的剪应变，求平面内任意一个方向上的线应变和剪应变。
2s i n
2
2c o s
22
xyyxyx
2c o s
2
2sin
22
xyyx
.,)1 几何关系的连续函数以上完全是为
"","","" 逆时针顺时针直角变大为
,"","""")2 直角变小为压拉
2、主应变及其方向：
yx
xytg
02
2
m i n
m a x
222?
xyyxyx
3、应变图：
4、应变的实例：
例 1、已知,,3 0 0103 0 0 6
0 微应变
,20010200 645,2 0 0102 0 0 690求该点处的主应变及其方向。
解,1）坐标系,x,y，
90° 为 x方向。
2）,102 0 0 6
x?
,10300 6y?
,10200 645
3） 200
90 x
3000 y
2
20045 yx
1221 0 02 0 0 xy?
452s i n
2
452c o s
2
xyyx
3 0 0xy?
4）主应变：
6.0
)300(200
3002
0
yx
xytg
5.15'05.1 0 5''0
2
m i n
m a x 3 0 0
2
3 0 02 0 0
2
3 0 02 0 0?
)(
3 4 2
2 4 2
作业,P340 8.19 (c)
8.20 (a),(b)
8.21
七、广义虎克定律：
p,且为小变形情况和各向同性材料：
1.单向应力状态下虎克定律,
,
E
x
x
,
E
x
y
,
E
x
z
,
G
xy
xy
,0 yzxz
2.纯剪切应力状态的虎克定律,
3.复杂应力状态下的广义虎克定律,
、正应力仅引起线应变（正应变），与?无关。
剪应力仅引起自身平面内的剪应变，与?无关。
+
x?
E
x?
E
y
E
z
y?
E
x
E
y
E
z
z?
E
x
E
y
E
z?
+ +
xyzz
zxyy
zyxx
E
E
E
1
1
1
G
G
G
zx
zx
yz
yz
xy
xy
某点在某方向上的线应变与其三个互相垂直方向的正应力有关。
三个互相垂直的平面，
各平面内的剪应变仅与该平面内的剪应力有关。
若单元体是主单元体，即各面上的应力为主应力；
各方向的主正应变为：
1233
3122
3211
1
1
1
E
E
E 主平面的剪应变为零。
.0312312
例 1、测得 A点处的?x = 4.0× 10 - 4,?y = -1.2× 10 - 4 。
已知,E=200GPa,?=0.3，求 A点在 x和 y方向上的正应力。
解,1、应力状态图：
2,
xyy
yxx
E
E
1
1
平面应力状态
xy
yx
E
E
1
102.1
1
104
4
4 解得：
0,M P a80 yx
讨论题：
若知该点的截面位置及其在截面上的位置，如何推算外力 P？
要测出?xy，又将如何做？
例 2,d=20mm,E=210GPa,?=0.3，
测得,?45o=5.2× 10 - 4，试求 T。
解,1）测点的应力状态
—— 纯剪切应力状态。
3
16
d
T
W
T
t?
2）与?45o有关的正 应力：
4545
3）圆轴承受的 T：
454545 1 E
解得,mNT 7.125
例 3、设在筒内无内压作用时，两端以刚性壁无初应力地夹住。当筒承受内压 P时，试求圆筒作用于刚性壁上的力，设材料的 E、,?已知。
解,1）
t
Pr
1
rt
N
t 22
Pr
2
03
2） ∵ 0
2
01 122 E
解得, 212 PrN
讨论题,若要使筒不掉下，
应有什么条件？
+
作业,P342 8.26
8.27
8.28*
3、主单元体的体积应变：
321
1
V
VV
3
)21(3 321
E
K
m
体积虎克定律,m
4、复杂应力状态下的变形比能,
单位体积内的变形能（歪形能）。
总变形比能 = 体积改变比能 形状改变比能+
fmmV UUU
2
3
2
1
2
1
2
1
332211
13322123222131 EU f
= +
返回总目录
