第四章 平面力系教学目标
1 掌握平面任意力系向一点简化的方法。会应用解析法求主矢和主矩。熟知平面任意力系简化的结果。
2 深入理解平面任意力系的平衡条件平衡方程的三种形式。
3 理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法。
本章重点
1 平面任意力向作用面内任一点的简化，力系的简化。
2 平面任意力系平衡的解析条件，平衡方程的各种形式。
3 物体及物体系平衡问题的解法。
本章难点主矢与主矩的概念，平面力系简化为合力时，和力作用线的确定。物体系的平衡。
教学过程概述各力的作用线分布在同一平面内的任意力系称为平面任意力系，简称平面力系。平面力系的研究不仅在理论上而且在工程实际应用上都具有重要意义。首先，平面力系是工程中常见的一种力系。另外许多工程结构和构件受力作用时，虽然力的作用线不都在同一平面内，但其作用力系往往具有一对称平面，可将其简化为作用在对称平面内的力系。
平面力系向平面内一点简化
设在刚体上作用一平面力系，各力的作用点如图所示。称简化中心
主矢
主矩
结论：平面力系向作用面内任一点简化，一般可得到一个力和一个力偶，该力通过简化中心，其大小和方向等于力系的主矢，主矢的大小和方向与简化中心无关；该力偶的力偶矩等于力系对简化中心的主矩，主矩的大小和转向与简化中心相关。
2．固定端约束（插入端约束）
概念；物体的一部分固嵌于另一物体中所构成的约束。
实例：电线杆。
当主动力为一平面力系时，物体在固嵌部分所受的力系也是一个平面力系，一般比较复杂，但可向点简化为一力和一力偶，力的大小和方向都是未知的，用表示改变简化中心时主矩的变化量
向点简化
向点简化
要使，必有或
对于平面力系，主矩的改变量也可以用代数量表示，即
4．平面力系简化的最后结果
1）简化结果
（1）平面力系平衡
（2）平面力系简化为一合力偶，力偶矩的大小和转向由主矩决定，与简化中心无关。
（3）平面力系简化为一合力，此合力过简化中心，大小和方向由主矢确定。
（4）平面力系简化为一合力，合力的作用线在点的哪一侧，应使得对之矩与主矩的转向相同。图中
2）合力矩定理
(4.7)
即平面力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点矩的代数和，称为平面力系的合力矩定理。
3）合力作用线方程
由平面内力对点之矩的解析表达式可知其中是合力作用线上任一点例4.1 求如图，所示的作用在梁上的分布载荷的合力的大小和作用线位置。
梁上作用一均布载荷，载荷集度为
梁上作用一线形分布载荷，左端的载荷集度为零，右端的载荷集度为
解：1）“均布载荷”的合力可当作均质杆的重力处理，所以合力的大小为，作用在梁的中心，如图
当载荷不均匀分布时，可以通过积分来 计算合力的大小和作用线位置。在梁上离端处取微元，由于载荷线性分布，在处的集度，于是在上作用力的大小为：
合力的大小为
利用合力矩定理计算合力作用线的位置。设合力的作用线离端的距离为，有
例2,已知：矩形板的四个顶点上分别作用四个力及一个力偶如图所示。其中,,,力偶矩，转向如图所示，图中长度单位为。试分别求:1)力系向点简化结果2)力系向点简化结果3)力系简化的最后结果
解：1 计算力系的主矢：
的解析式
2 向点简化的主矩
即平面力系向点简化得到一力和一力偶，该力过点，其大小和方向与力系的主矢相同。该力偶的力偶矩等于主矩，如图
3、向点简化的主矩利用两点之矩的关系计算
平面力系向点简化仍得到一力和一力偶，该力过点，其大小和方向仍与力系的主矢相同，该力偶的力偶矩等于主矩，如图
4力系简化的最后结果因为主矢，所以力系简化的最后结果为一合力，其大小和方向与主矢相同，作用线方程为：合力为轴的交点坐标为（-3，0）
二、平面力系的平衡方程及其应用。
平面力系的平衡方程基本形式：
平面力系是平面汇交力系和平面力偶系的组合，因而平面力系平衡的必要条件是
，
解析式为：
即平面力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系中各力在作用面内两个直角坐标轴上投影的代数和等于零，力系中各力对于平面内任意点之矩的代数和也等于零。
2）二力矩式
且轴不垂直于、两点连线。
证明：必要性，若平面力系平衡，则，易知成立。
充分性：反证法，假定成立，而力系不平衡，则由前两式知力系不能简化为合力偶，所以必为一合力，且此合力必过，两点，由知此合力必垂直于轴，与已知矛盾，所以(4.11)成立，必有力系平衡。
3）三力矩式 (4.12)
且、、不共线例：平面平行力系的平衡方程。
基本形式：(4.13)
二力矩式：(4.14)
例1：图所示结构中，三处均为铰链约束。横杆在处承受集中载荷，结构各部分尺寸均示于图中，若已知和，试求撑杆的受力以及处的约束力。
解：研究对象,杆受力分析：易知是二力杆，所以点受力如图列平衡方程求解：
研究对象,杆受力分析：易知是二力杆，所以点受力如图列平衡方程求解：
基本方程：
可得
三力矩式：
可得
例 2：如图所示，水平梁受到一分布载荷和一力偶作用，已知、、不计梁自重,求支座的反力。
解：1、研究对象：梁
2、受力分析：如图
3、列方程求解,
解得
例 3：平面钢架的受力及各部分如图所示，端为固定端约束。若图中、、、等均为已知，试求端的约束力。
解：1、研究对象，钢架
2、受力分析：如图
3、列方程求解：
解得
例 4：长凳的几何尺寸和重心位置如图所示，设长凳上的重量为，求重为的人在长凳上的活动范围。
解：1、取研究对象：长凳
2、受力分析：如图所示
3、列平衡方程求解长凳受平行力系作用，但有3个未知量：、的大小和。需要利用翻倒条件补充一个方程。下面分两种情况讨论，当人在长凳的左端时，长凳有向左翻倒的趋势，要保证凳子平衡而不向左翻倒，需满足平衡方程
和限制条件
临界平衡时
解得,
当人在长凳的右端时，长凳有向右翻倒的趋势，要保证凳子平衡而不向右翻倒，需满足平衡方程
和限制条件
临界条件时
解得
所以人在长凳上的活动范围为
2、静定和静不定问题静定和静不定问题概念。
前面例子所讨论的平衡问题，未知力的个数正好等于平衡方程的数目，因而能由平衡方程解出全部未知数。这类问题称为静定问题。相关的结构称为静定结构。工程上为了提高结构的强度常常在静定结构上再附加一个或几个约束，从而使未知约束力的个数大于独立平衡方程的树目。因而，仅仅由平衡方程无法求得全部未知约束力，这时的平衡问题称为超静定问题或静不定问题，相应的结构称为超静定结构或静不定结构。
平面内刚体的自由度以坐标平面内运动的刚体为例，说明平面内运动的刚体自由度。
若刚体平移(平动)，有两个自由度若刚体定轴转动，有一个自由度。
若刚体作平面一般运动，（既有平动又有转动），有3个自由度 。
3）刚体的三种约束状态所谓约束状态是指刚体在空间所收的限制状况。约束状态与自由度有关，自由度大于零称为不完全约束，自由度等于零者称为完全约束。
若自由度 ——未知约束力个数
——独立平衡方程数目则时，为不完全约束
时 为完全约束，且为静定问题
时 为完全约束，但为超静定问题
图所示为不完全约束，图所示为完全约束，且为静定结构，图所示为完全约束，但为超静定结构。
4）超静定次数超静定问题中，未知约束力的个数与独立的平衡方程数目之差，称为超静定次数，与超静定次数对应的约束对于结构保持静定是多余的，故称为多余约束。
静不定次数用之表示由式确定
3．简单多刚体系统平衡问题多刚体系统平衡问题的特点是：仅仅考虑系统的整体或某个局部（单个刚体或局部刚体系统）不能确定全部未知力。为了解决多刚体系统的平衡问题，需将平衡的概念加以扩展，即：系统若整体是平衡的，则组成系统的每一局部以及每一个刚体也必然是平衡的。如刚体系统由个刚体组成，设其中个刚体受平面力偶系作用，个刚体受平面汇交力系或平面平行力系作用，个刚体受平面力系作用，则，分别考虑每个刚体的平衡，总共可得个独立的平衡方程。若未知的外约束力和内约束力的总数为个，如，则刚体系统是静定的，否则是静不定的，静力学只研究静定平衡问题。
例5图示起重机置于组合梁上，各梁的自重不计，已知：，起吊重物，，，试求支座、的约束力。（设梁与起重机光滑接触）
解：1、判断系统的静定性：，其中，，得，而。所以静定。整体不单独静定，而起重机单独静定，故可以研究起重机。
2、取研究对象：起重机
受力分析：如图
列方程求解：
解得：，
3、取研究对象：梁受力分析如图
列方程求解：
解得：
4、选择为研究对象，
受力分析如图
列方程求解：
=0
例6、在图示结构中，各杆自重不计，已知,，，，,、处为铰链联接，试求：
支座、的约束反力铰链的约束反力
解：1、判断系统的静定性：,,静定，单独静定，所以应先研究，然后由于可列两个一元一次方程，所以接着应研究。
2，研究对象：
受力分析如图
列方程求解：
解得：
3、研究对象：
受力分析，如图
列方程求解：
解得：
4、研究对象：
受力分析如图
列方程求解：
解得：，，，
例7、不计自重的三杆，，用铰链、滑槽、销钉连成如图14.18所示结构，图中围成正方形，为正方形中心点，为杆中点，水平杆的端受铅直向下的力作用。固定在水平杆中点的销钉与滑槽光滑接触，试求各约束处的约束力。
解：1．判断系统的静定性,,，，所以系统试静定的。系统整体的约束力数4，不单独静定，但有两个一元一次方程，故仍可先研究整体
2．取研究对象：整体：
分析受力：如图
列平衡方程求解,
3．取研究对象：杆
分析受力：如图
列平衡方程求解：
4．取研究对象：杆
分析受力：如图
列方程求解：
将的值代入中，得：
例8．无重直杆长，长,端用铰链相连，、两端用铰链固定。两杆各与铅垂线的夹角，杆中点作用铅垂力，杆中点作用水平力，试求、两处之约束力。
解：1．判断系统的静定性：,，所以静定，但没有单独静定的物体，也无一元平衡方程，需解联元方程组
2．取为研究对象受力分析列方程：
3．整体为研究对象受力分析列方程：
联立，可得：，
代入，得,，
例9．图示结构由曲杆,及直杆铰链组成，各杆自重不计。已知：，，，试求：曲杆在铰链、处所受的力
解：1．判断系统的静定性：,，静定
2．研究对象整体：
受力分析：如图14.20所示列方程：
3．研究杆受力分析：如图4.20所示列方程：
4．研究
受力分析：如图4.20所示列方程：
代入式可得：
例10．图示一平面桁架，试求3、4、5、6杆的内力
解前说明：
桁架：由一些直杆两端铆接、焊接或榫接而成具有坚固性的杆架结构。若所有杆件的中心线都在一个平面内，称为平面桁架。
节点,桁架中各杆的连接点。
桁架内力计算的假定：
直杆两端都为光滑铰链连接。
杆件自重不计。
架所受的外载荷都作用在节点上，其作用线在桁架平面内。
求解静定 架中各杆件的内力一般采用节点法截面法，下面把这两种方法分别给以说明。
解法一（节点法）
取研究对象：节点
受力分析：如图4.21
列方程求解：
，
取研究对象：节点
受力分析：如图4.21
列方程求解：
3．取研究对象：节点
受力分析：如图4.21
列方程求解：
，
解法二（截面法）
用截面将 4、5、6杆截断，取其右半部分为研究对象受力分析：如图4.21，其中是零力杆：即
列方程求解：
求零力杆的方法,
三杆铰接无外载两杆铰接无外载两杆铰接有外载，其中一杆与外载共线
1 掌握平面任意力系向一点简化的方法。会应用解析法求主矢和主矩。熟知平面任意力系简化的结果。
2 深入理解平面任意力系的平衡条件平衡方程的三种形式。
3 理解简单桁架的简化假设，掌握计算其杆件内力的节点法和截面法。
本章重点
1 平面任意力向作用面内任一点的简化，力系的简化。
2 平面任意力系平衡的解析条件，平衡方程的各种形式。
3 物体及物体系平衡问题的解法。
本章难点主矢与主矩的概念，平面力系简化为合力时，和力作用线的确定。物体系的平衡。
教学过程概述各力的作用线分布在同一平面内的任意力系称为平面任意力系，简称平面力系。平面力系的研究不仅在理论上而且在工程实际应用上都具有重要意义。首先，平面力系是工程中常见的一种力系。另外许多工程结构和构件受力作用时，虽然力的作用线不都在同一平面内，但其作用力系往往具有一对称平面，可将其简化为作用在对称平面内的力系。
平面力系向平面内一点简化
设在刚体上作用一平面力系，各力的作用点如图所示。称简化中心
主矢
主矩
结论：平面力系向作用面内任一点简化，一般可得到一个力和一个力偶，该力通过简化中心，其大小和方向等于力系的主矢，主矢的大小和方向与简化中心无关；该力偶的力偶矩等于力系对简化中心的主矩，主矩的大小和转向与简化中心相关。
2．固定端约束（插入端约束）
概念；物体的一部分固嵌于另一物体中所构成的约束。
实例：电线杆。
当主动力为一平面力系时，物体在固嵌部分所受的力系也是一个平面力系，一般比较复杂，但可向点简化为一力和一力偶，力的大小和方向都是未知的，用表示改变简化中心时主矩的变化量
向点简化
向点简化
要使，必有或
对于平面力系，主矩的改变量也可以用代数量表示，即
4．平面力系简化的最后结果
1）简化结果
（1）平面力系平衡
（2）平面力系简化为一合力偶，力偶矩的大小和转向由主矩决定，与简化中心无关。
（3）平面力系简化为一合力，此合力过简化中心，大小和方向由主矢确定。
（4）平面力系简化为一合力，合力的作用线在点的哪一侧，应使得对之矩与主矩的转向相同。图中
2）合力矩定理
(4.7)
即平面力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点矩的代数和，称为平面力系的合力矩定理。
3）合力作用线方程
由平面内力对点之矩的解析表达式可知其中是合力作用线上任一点例4.1 求如图，所示的作用在梁上的分布载荷的合力的大小和作用线位置。
梁上作用一均布载荷，载荷集度为
梁上作用一线形分布载荷，左端的载荷集度为零，右端的载荷集度为
解：1）“均布载荷”的合力可当作均质杆的重力处理，所以合力的大小为，作用在梁的中心，如图
当载荷不均匀分布时，可以通过积分来 计算合力的大小和作用线位置。在梁上离端处取微元，由于载荷线性分布，在处的集度，于是在上作用力的大小为：
合力的大小为
利用合力矩定理计算合力作用线的位置。设合力的作用线离端的距离为，有
例2,已知：矩形板的四个顶点上分别作用四个力及一个力偶如图所示。其中,,,力偶矩，转向如图所示，图中长度单位为。试分别求:1)力系向点简化结果2)力系向点简化结果3)力系简化的最后结果
解：1 计算力系的主矢：
的解析式
2 向点简化的主矩
即平面力系向点简化得到一力和一力偶，该力过点，其大小和方向与力系的主矢相同。该力偶的力偶矩等于主矩，如图
3、向点简化的主矩利用两点之矩的关系计算
平面力系向点简化仍得到一力和一力偶，该力过点，其大小和方向仍与力系的主矢相同，该力偶的力偶矩等于主矩，如图
4力系简化的最后结果因为主矢，所以力系简化的最后结果为一合力，其大小和方向与主矢相同，作用线方程为：合力为轴的交点坐标为（-3，0）
二、平面力系的平衡方程及其应用。
平面力系的平衡方程基本形式：
平面力系是平面汇交力系和平面力偶系的组合，因而平面力系平衡的必要条件是
，
解析式为：
即平面力系平衡的必要与充分的解析条件是：力系中各力在作用面内两个直角坐标轴上投影的代数和等于零，力系中各力对于平面内任意点之矩的代数和也等于零。
2）二力矩式
且轴不垂直于、两点连线。
证明：必要性，若平面力系平衡，则，易知成立。
充分性：反证法，假定成立，而力系不平衡，则由前两式知力系不能简化为合力偶，所以必为一合力，且此合力必过，两点，由知此合力必垂直于轴，与已知矛盾，所以(4.11)成立，必有力系平衡。
3）三力矩式 (4.12)
且、、不共线例：平面平行力系的平衡方程。
基本形式：(4.13)
二力矩式：(4.14)
例1：图所示结构中，三处均为铰链约束。横杆在处承受集中载荷，结构各部分尺寸均示于图中，若已知和，试求撑杆的受力以及处的约束力。
解：研究对象,杆受力分析：易知是二力杆，所以点受力如图列平衡方程求解：
研究对象,杆受力分析：易知是二力杆，所以点受力如图列平衡方程求解：
基本方程：
可得
三力矩式：
可得
例 2：如图所示，水平梁受到一分布载荷和一力偶作用，已知、、不计梁自重,求支座的反力。
解：1、研究对象：梁
2、受力分析：如图
3、列方程求解,
解得
例 3：平面钢架的受力及各部分如图所示，端为固定端约束。若图中、、、等均为已知，试求端的约束力。
解：1、研究对象，钢架
2、受力分析：如图
3、列方程求解：
解得
例 4：长凳的几何尺寸和重心位置如图所示，设长凳上的重量为，求重为的人在长凳上的活动范围。
解：1、取研究对象：长凳
2、受力分析：如图所示
3、列平衡方程求解长凳受平行力系作用，但有3个未知量：、的大小和。需要利用翻倒条件补充一个方程。下面分两种情况讨论，当人在长凳的左端时，长凳有向左翻倒的趋势，要保证凳子平衡而不向左翻倒，需满足平衡方程
和限制条件
临界平衡时
解得,
当人在长凳的右端时，长凳有向右翻倒的趋势，要保证凳子平衡而不向右翻倒，需满足平衡方程
和限制条件
临界条件时
解得
所以人在长凳上的活动范围为
2、静定和静不定问题静定和静不定问题概念。
前面例子所讨论的平衡问题，未知力的个数正好等于平衡方程的数目，因而能由平衡方程解出全部未知数。这类问题称为静定问题。相关的结构称为静定结构。工程上为了提高结构的强度常常在静定结构上再附加一个或几个约束，从而使未知约束力的个数大于独立平衡方程的树目。因而，仅仅由平衡方程无法求得全部未知约束力，这时的平衡问题称为超静定问题或静不定问题，相应的结构称为超静定结构或静不定结构。
平面内刚体的自由度以坐标平面内运动的刚体为例，说明平面内运动的刚体自由度。
若刚体平移(平动)，有两个自由度若刚体定轴转动，有一个自由度。
若刚体作平面一般运动，（既有平动又有转动），有3个自由度 。
3）刚体的三种约束状态所谓约束状态是指刚体在空间所收的限制状况。约束状态与自由度有关，自由度大于零称为不完全约束，自由度等于零者称为完全约束。
若自由度 ——未知约束力个数
——独立平衡方程数目则时，为不完全约束
时 为完全约束，且为静定问题
时 为完全约束，但为超静定问题
图所示为不完全约束，图所示为完全约束，且为静定结构，图所示为完全约束，但为超静定结构。
4）超静定次数超静定问题中，未知约束力的个数与独立的平衡方程数目之差，称为超静定次数，与超静定次数对应的约束对于结构保持静定是多余的，故称为多余约束。
静不定次数用之表示由式确定
3．简单多刚体系统平衡问题多刚体系统平衡问题的特点是：仅仅考虑系统的整体或某个局部（单个刚体或局部刚体系统）不能确定全部未知力。为了解决多刚体系统的平衡问题，需将平衡的概念加以扩展，即：系统若整体是平衡的，则组成系统的每一局部以及每一个刚体也必然是平衡的。如刚体系统由个刚体组成，设其中个刚体受平面力偶系作用，个刚体受平面汇交力系或平面平行力系作用，个刚体受平面力系作用，则，分别考虑每个刚体的平衡，总共可得个独立的平衡方程。若未知的外约束力和内约束力的总数为个，如，则刚体系统是静定的，否则是静不定的，静力学只研究静定平衡问题。
例5图示起重机置于组合梁上，各梁的自重不计，已知：，起吊重物，，，试求支座、的约束力。（设梁与起重机光滑接触）
解：1、判断系统的静定性：，其中，，得，而。所以静定。整体不单独静定，而起重机单独静定，故可以研究起重机。
2、取研究对象：起重机
受力分析：如图
列方程求解：
解得：，
3、取研究对象：梁受力分析如图
列方程求解：
解得：
4、选择为研究对象，
受力分析如图
列方程求解：
=0
例6、在图示结构中，各杆自重不计，已知,，，，,、处为铰链联接，试求：
支座、的约束反力铰链的约束反力
解：1、判断系统的静定性：,,静定，单独静定，所以应先研究，然后由于可列两个一元一次方程，所以接着应研究。
2，研究对象：
受力分析如图
列方程求解：
解得：
3、研究对象：
受力分析，如图
列方程求解：
解得：
4、研究对象：
受力分析如图
列方程求解：
解得：，，，
例7、不计自重的三杆，，用铰链、滑槽、销钉连成如图14.18所示结构，图中围成正方形，为正方形中心点，为杆中点，水平杆的端受铅直向下的力作用。固定在水平杆中点的销钉与滑槽光滑接触，试求各约束处的约束力。
解：1．判断系统的静定性,,，，所以系统试静定的。系统整体的约束力数4，不单独静定，但有两个一元一次方程，故仍可先研究整体
2．取研究对象：整体：
分析受力：如图
列平衡方程求解,
3．取研究对象：杆
分析受力：如图
列平衡方程求解：
4．取研究对象：杆
分析受力：如图
列方程求解：
将的值代入中，得：
例8．无重直杆长，长,端用铰链相连，、两端用铰链固定。两杆各与铅垂线的夹角，杆中点作用铅垂力，杆中点作用水平力，试求、两处之约束力。
解：1．判断系统的静定性：,，所以静定，但没有单独静定的物体，也无一元平衡方程，需解联元方程组
2．取为研究对象受力分析列方程：
3．整体为研究对象受力分析列方程：
联立，可得：，
代入，得,，
例9．图示结构由曲杆,及直杆铰链组成，各杆自重不计。已知：，，，试求：曲杆在铰链、处所受的力
解：1．判断系统的静定性：,，静定
2．研究对象整体：
受力分析：如图14.20所示列方程：
3．研究杆受力分析：如图4.20所示列方程：
4．研究
受力分析：如图4.20所示列方程：
代入式可得：
例10．图示一平面桁架，试求3、4、5、6杆的内力
解前说明：
桁架：由一些直杆两端铆接、焊接或榫接而成具有坚固性的杆架结构。若所有杆件的中心线都在一个平面内，称为平面桁架。
节点,桁架中各杆的连接点。
桁架内力计算的假定：
直杆两端都为光滑铰链连接。
杆件自重不计。
架所受的外载荷都作用在节点上，其作用线在桁架平面内。
求解静定 架中各杆件的内力一般采用节点法截面法，下面把这两种方法分别给以说明。
解法一（节点法）
取研究对象：节点
受力分析：如图4.21
列方程求解：
，
取研究对象：节点
受力分析：如图4.21
列方程求解：
3．取研究对象：节点
受力分析：如图4.21
列方程求解：
，
解法二（截面法）
用截面将 4、5、6杆截断，取其右半部分为研究对象受力分析：如图4.21，其中是零力杆：即
列方程求解：
求零力杆的方法,
三杆铰接无外载两杆铰接无外载两杆铰接有外载，其中一杆与外载共线
